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IV PRUEBA DE DESARROLLO – TIPO (A) Sección : ………………………..………………... Asignatura : CALCULO II Docente : Ing. Saúl Matías Caro

Apellidos : ………………………..…………………… Nombres : …………………………………………….. Fecha : 27/11/2018 Duración: 80 min.

INSTRUCCIONES: Lea atentamente cada enunciado y resuelva consignando todo el procedimiento en las hojas

asignadas. La limpieza y el orden influirán en la calificación final.

Instrucciones: Señalar las indicaciones necesarias que deberá tener en cuenta el estudiante para el desarrollo de la evaluación.

1. Calcular la integral por fracciones parciales:

∫

(4p)

4𝑥 2 − 8𝑥 + 1 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 3)

2. Sea R la región del plano limitada por las rectas : 𝑙1 : 𝑦 = −2𝑥 − 3 ; 𝑙2 : 7𝑥 − 𝑦 + 9 = 0 ; 𝑙3 ∶ 4𝑥 − 𝑦 + 2 = 0. Calcular el volumen del solido obtenido al rotar R alrededor del eje: 𝑦 = −8 (4p)



3. Evalúa la siguiente integral impropia integral convergente o divergente

x  1  1  x x2  1  dx

y concluya si se trata de una (4p)



4. Evaluar la integral

(2 x  y 2 )dA

(5p)

R

Sobre la región triangular R encerrado entre las rectas

𝑦 = −𝑥 + 1

y = - x + 1; y = x + 1  y = 3 𝑦=𝑥+1

𝑦=3

5. Calcular:

(3p)



( x 3 y 3 z ).dV

Q

Siendo Q el recinto comprendida por las desigualdades: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ; 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦

SOLUCIONARIO 1. SOLUCION

Entonces tenemos: = 3∫

1 𝑥 1 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥+2 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 − 2𝑥 + 3

1 2𝑥 1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + ∫ 2 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 − 2𝑥 + 3 1 2𝑥 − 2 + 2 1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + ∫ 2 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 − 2𝑥 + 3 1 2𝑥 − 2 1 1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + [∫ 2 𝑑𝑥 + 2 ∫ 2 𝑑𝑥] − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 − 2𝑥 + 3

1 1 1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑙𝑛|𝑥 2 − 2𝑥 + 3| + ∫ 2 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 − 2𝑥 + 3 1 1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑙𝑛|𝑥 2 − 2𝑥 + 3| − 3 ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 − 2𝑥 + 3

En el tercer termino completando cuadrados 1 1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑙𝑛|𝑥 2 − 2𝑥 + 3| − 3 ∫ 𝑑𝑥 2 (𝑥 − 1)2 + (√2)2 Finalmente aplicando arctg, tenemos: 1 3 𝑥−1 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑙𝑛|𝑥 2 − 2𝑥 + 3| − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )+𝐶 2 √2 √2 La respuesta sería:

∫

4𝑥 2 − 8𝑥 + 1 1 3 𝑥−1 𝑑𝑥 = 3𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑙𝑛|𝑥 2 − 2𝑥 + 3| − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )+𝐶 2 𝑥 − 2𝑥 + 3 2 √2 √2

2. SOLUCION

Para calcular el volum en estará comprendido en la suma de los volúmenes V1 + V2. Entonces Planteando tendremos: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2

−

4 3

5 − 6

𝑉 = 𝜋 ∫ {[(7𝑥 + 9) + 8]2 − [[(4𝑥 + 2) + 8]2 ]} 𝑑𝑥 + 𝜋 ∫ {[(−2𝑥 − 3) + 8]2 − [[(4𝑥 + 2) + 8]2 ]} 𝑑𝑥 −

7 3

4 − 3

𝑽𝟏

𝑽𝟐

3. SOLUCION 

x  1 I     dx x 1  x2  1

x  1 I  lim    dx 2  b  x 1  x   1 b

b

1   I  lim  ln x  ln(1  x 2 )  b  2  1  b 1  1 I  lim  ln  ln  ln 2  ln 2  2 b  2 2 1 b  4. SOLUCION

5. SOLUCION