4-5-6.docx

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Descripción del ejercicio 4 Sean las siguientes matrices: 1 −2 𝐴=[ 1 5

0 2 5 6 0 3 2 −3

0 3𝑥 2 𝐷 = [ 3 𝑦2 1 0

9 −5 6 6 3 𝐵 = [1 0 −1 3 ] 5 7 −5

3 3 8] 0

0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4 ] −1 0 −9 8

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: a) 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 1 −2 𝐴∙𝐵 = ( 1 5

0 5 0 2

2 6 3 −3

3 9 −5 6 3 6 1 3 8) ∙ (0 −1 3 ) 0 5 7 −5

24 14 −3 2 40 21 ) 𝐴∙𝐵 = ( 49 48 −25 47 −16 33 24 14 40 (2 49 48 47 −16

−3 24 21 ) ∙ 𝐶 = ( 2 49 −25 33 47

14 40 48 −16

59 −6 169 139 116 17 𝐴∙𝐵∙𝐶 =( 612 217 46 −97 −142 −236

−3 0 −2 21 ) ∙ ( 4 3 −25 −1 0 33

152 338 ) 237 435

b) 4𝐵 ∙ 2𝐴 9 4𝐵 = 4 (1 0 5 1 −2 2𝐴 = 2 ( 1 5

36 −20 24 −5 6 6 4 12 24 3 12 ) −1 3 ) = ( 0 −4 20 28 −20 7 −5 0 2 5 6 0 3 2 −3

3 2 0 4 6 3 −4 10 12 6 8) = ( 2 6 16) 0 10 4 −6 0 0

59 3 5 139 5 4 )=( 217 −9 8 −97

−6 116 46 −142

169 152 17 338 ) 612 237 −236 435

2 0 4 6 36 −20 24 −4 10 12 6 4 12 24 4𝐵 ∙ 2𝐴 = ( 0 −4 6 16) = 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 0 12 ) ∙ ( 2 10 4 −6 0 20 28 −20

c) 3𝐶 ∙ (−7𝐵) 0 −2 3𝐶 = 3 ( 4 3 −1 0 9 −7𝐵 = −7 (1 0 5

3 5 −9 −5 3 −1 7

0 −6 5 9 4 ) = ( 12 9 15 −3 0 −27 8 6 −63 35 6 −7 −21 7 3 )=( 0 −5

15 12 ) 24 −42 −42) −21 −35 −49 35

−63 35 −42 −483 −546 588 0 −6 9 15 −7 −21 −42 3𝐶 ∙ (−7𝐵) = ( 12 9 15 12 ) ∙ ( 0 ) = ( ) −1239 −252 −777 7 −21 −3 0 −27 24 −651 −1470 1533 −35 −49 35

d) 𝐷 2

0 3𝑥 2 𝐷 = ( 3 𝑦2 1 0

−2 0 3𝑥 2 3 ) ∙ ( 3 𝑦2 (𝑥 + 𝑦) 1 0

9𝑥 2 − 2 𝐷2 = (3𝑦 2 + 3 𝑥+𝑦

3𝑥 2 𝑦 2 9𝑥 2 + 𝑦 4 3𝑥 2

2

−2 3 ) (𝑥 + 𝑦)

9𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑦 3𝑥 + 3𝑦 2 + 3𝑦 − 6) 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2

e) 𝐷 ∙ 𝐶 0 3𝑥 2 𝐷 ∙ 𝐶 = ( 3 𝑦2 1 0

−2 0 −2 3 5 3 )∙( 4 3 5 4 ) (𝑥 + 𝑦) −1 0 −9 8

12𝑥 2 + 2 9𝑥 2 𝐷 ∙ 𝐶 = ( 4𝑦 2 − 3 3𝑦 2 − 6 −(𝑥 + 𝑦) −2

f)

𝐶𝑇 ∙ 𝐷

15𝑥 2 + 18 5𝑦 2 − 18 −9𝑥 − 9𝑦 + 3

12𝑥 2 − 16 4𝑦 2 + 39 ) 8𝑥 + 8𝑦 + 5

0 𝐶 𝑇 = (−2 3 5

4 3 5 4 0 𝐶 𝑇 ∙ 𝐷 = (−2 3 5

−1 0) −9 8 4 −1 0 3𝑥 2 3 0 )∙(3 𝑦2 5 −9 1 0 4 8

11 4𝑦 2 9 3𝑦 2 − 6𝑥 2 𝐶𝑇 ∙ 𝐷 = 9𝑥 2 + 5𝑦 2 6 2 2 (20 15𝑥 + 4𝑦

−2 3 ) (𝑥 + 𝑦)

−𝑥 − 𝑦 + 12 13 −9𝑥 − 9𝑦 + 9 8𝑥 + 8𝑦 + 2

)

g) 𝐷𝑒𝑡(𝐵) No se puede dado que no es una matriz cuadrática h) 𝐷𝑒𝑡(𝐷) 0 3𝑥 2 𝑑𝑒𝑡 ( 3 𝑦 2 1 0 i)

−2 3 ) = −(9𝑥 3 + 9𝑥 2 (𝑦 − 1) − 2𝑦 2 ) (𝑥 + 𝑦)

(𝐵𝑇 − 𝐶)𝑇

9 𝐵 = (−5 6 𝑇

1 3 6

0 5 −1 7) 3 −5

9

1

𝐵 𝑇 − 𝐶 = (−5 3 6

6

9

3

𝐵 𝑇 − 𝐶 = (−9 0 7 9 (𝐵𝑇 − 𝐶) = ( 3 −3 0 𝑇

6

0 5 0 −2 −1 7) − ( 4 3 −1 0 3 −5

3 5 5 4) −9 8

−3 0 −6 3 ) 12 −13 −9 0 −6 3

7 6 ) 12 −13

Compruebe sus respuestas en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 𝑂𝑋, Rotación en 𝑂𝑌, Rotación en 𝑂𝑍.

Haciendo la rotación, tomando al eje 𝑦 como eje de giro, la matriz de rotación 𝑅(𝑦, 𝜑) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 1

a) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [1], con 𝜙 = 90°, con respecto 2

al eje 𝑂𝑌. 𝑐𝑜𝑠 90 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = ( 0 1 − 𝑠𝑖𝑛 90 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [

𝑠𝑖𝑛 90 1 0 ) (1) 𝑐𝑜𝑠 90 2

2𝑠𝑒𝑛(90) + cos(90) 1 ] 2 cos(90) − 𝑠𝑒𝑛(90)

2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = ( 1 ) −1 1

b) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [2] , con 𝜙 = 45°, con respecto 3

a eje 𝑂𝑌. 𝑐𝑜𝑠 45 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = ( 0 1 − 𝑠𝑖𝑛 45 0

𝑠𝑖𝑛 45 1 0 ) (1) 𝑐𝑜𝑠 45 2

2𝑠𝑒𝑛(45) + 𝑐𝑜𝑠(45) 𝑃𝑥𝑦𝑧 = ( 1 ) 2 𝑐𝑜𝑠(45) − 𝑠𝑒𝑛(45) 3√2 2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 1 √2 ( 2 )

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 6 Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación: Materia Prima A B C 

Costo $/Kg 2,35 2 1,7

% % Azúcares % Grasas Proteínas % Inertes 12 10 60 18 10 10 50 30 8 6 44 42

Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no se mayor del 95% y su contenido de proteínas no sea menor al 52%.

Definimos función costo: 𝐶 = 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑃𝑟𝑖𝑚𝑎 ∗ 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝐾𝑔 Función a minimizar: 𝑓 = 2,35𝐴 + 2𝐵 + 1,7𝐵

Sistema de ecuaciones dadas las indicaciones: Para el azúcar: 12𝐴 + 10𝐵 + 8𝐶 ≥ 10% Para las grasas: 10𝐴 + 10𝐵 + 6𝐶 ≤ 95% Para las proteínas: 60𝐴 + 50𝐵 + 44𝐶 ≥ 52% Formando la matriz aumentada: 12 (10 60

10 10 50

8 |10 6 | 95 ) 44 |52

● Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta. fórmula

12 𝐴 = (10 60

10 10 50

8 6) 44

det(𝐴) = 12 ∗ (140) − 10(80) + 8(−100) = 80 140 −80 −100 𝑇 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = (−40 48 0 ) −20 8 10

70 −20 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = 2 (−40 48 −50 0 −1

𝐴

70 = (−40 40 −50 1

7/4 𝐴−1 = ( −1 5/4

−20 48 0

−1/2 3/5 0

−10 4 ) 5

−10 4 ) 5 −1/4 1/10 ) 1/4

● Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad de la matriz identidad. 7 4

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑝𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 →

−1 5

(4

−

1

2 3 5 0

−

1

4 1

10 1

12 (10 60

4 )

● Compruebe todas las respuestas en Geogebra.

10 10 50

8 1 6 ) = (0 44 0

0 1 0

0 0) 1