3er Depa
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- Words: 1,581
- Pages: 15
1. Integre 6
dx i. ) x 3
6
ln x 3
ln 6 ln 3
ln 6
ln 6
3
ln 3
ln 2
0.69314718u 2
6
ii. )
dx x 3
ln x
6 3
La Función d/x no es continua en cero. La Función 1/x es continua C.T.P(Casi en todas partes)
El área es infinita la integral diverge
Integre 4
iii . )
dx x 2 2
ln x 2
ln 2 ln 4 ln 2
4
4 2
ln 1
ln 4 2 2
ln
2 2
0.69314718u 2
La Función 1/x-2 no es continua en x=2. La Función 1/x-2 es continua C.T.P (Casi en todas partes)
Integre 4
4
dx iii . ) x 2 2 4
dx x 2 2
El área es infinita. La integral diverge
4
dx dx lim lim b 2 x 2 a 2a x 2 2 b
4
lim ln x 2 a
2
2
lim ln b 2 b
2
dx x 2
b
lim ln x 2 b
4
dx x 2 2
a
2
ln 2 2
2
lim ln 4 2 a
2
ln a 2
Integre 5
iv. ) 2
5
dx x 2
( x 2) lim a 2 2
1
dx x 2
lim a
2
a
5
lim ( x 2) a
2
a
5 2
lim 2( x 2) a
2
1
5 2 a
a
lim 2(5 2) b
2
1
2
2( a 2)
1
2
2 3u 2 La int egral es convergente.
2(3)
1
2
2( 0)
1
2
dx
Integre 1
1
v. ) ln x dx 0
u
ln x
dv
lim a
v
x ln x a
x a
0
a
x 1
lim
ln x dx
1 dx x
du
dx
0
1 x
dx
1
lim a
0
x ln x
0
lim (1 ln 1 1) a
x
0
(0
1)
ln
1u 2
( 0)
( a ln a
a)
lim x
a
lim x
a
lim x
lim x
x
a
lim x
x c 1 x c x
0
lim
0
lim
x
0
x
lim x
0
x c x x x x cx
0 0
Sí f ( x) x a g ( x) Entonces
lim
lim x
a
f ( x) g ( x)
0 0
lim x
a
f ' ( x) g ' ( x)
0 0
??? ???
Ejemplos; x2 i. ) lim x 5 x2 2x 2 lim x 5 2x 8 ii . ) lim x
lim x
lim x
lim x
lim x
2 x 15 8 x 15 8 4 2
0 0
12 x 4 6 x 3 8 x 2 4 x 4 16 x 3 35 x 2
48 x 3 18 x 2 16 x 3 48 x 2 144 x 2 48 x 2 288 x 96 x 288 96
36 x 96 x 36 96 3
16 x 70 x 16 70
7x 2 12 x 16 7 12
iii . ) lim
x
x
lim x
lim x
x
x
lim x
lim x
2
x
6 x3
18 x 2
4 x3 24 x
12 x 2 36 x 24 24 x 36
15 x 2 36 x 4 x3 30 x 36 12 x 2 30 0 24 x
lim x
lim x
x 4 38 12 x 2 35 x
5 x 3 18 x 2 x4 2
v. ) lim
4 x 8 x 32 x 2 144 x 18
3x 2 8 x 8 2 x 144 6x 8 2
iv. ) lim lim
3
lim x
256
vi. ) lim x
35 lim x
0
lim x
0
lim x
0
x ln x
0
1 x 1 x2 x2 x x 1
0
lim x
0
ln x x
1.
Integre
Explicaión de (ae a e a ) (0 0)
0
i. ) xex u
x
dx du
e x dx
dv
1. lim ae a
dx
a
ex
v
0
xex
lim
a
dx
2. lim ae a
a
a
0
lim
a
xe
x
ex
dx
a
lim
a
lim
a
1
xe
x
( 0e 0 (0
0)
e
3. lim e a a
x 0 a
e0 )
( ae a 1
1u 2
ea )
ea lim 1 a
lim
a
a lim a a a e 1 lim a 0 a e lim
ea 1 a2
lim
a
1 ea
Se toman los valores de 2 y 3 (de la Explicación) ya que el valor 1 el resultado no es concreto.
0
a 2e a
2.-Encuentre el volumen del solido de revolución que se obtiene al girar sobre el eje de x el área bajo la curva. f ( x)
Donde x
1 x3
2 hasta x
v
Volumenes
v
Área de la base * Altura
2
2 b
v
1 x3
R 2 dx
v
2
dx 2
1 dx 6 x
1 dx x6
lim
b
Área de la base * Altura
2
b
v v
lim
b
0
5x 160
lim
5 0
160
b
u3
5b 5
5(2) 5
3. ) lim x
0
tgx x x3
sec 2 1 lim x 0 3x 2 (tgx) 2 lim x 0 3x 2 2(tgx)(sec x) 2 lim x 0 6x 2(tgx)( 2(sec x)(tgxsenx) (sec x 2 )(sec x 2 )) lim x 0 6 4. . ) lim (sec x tgx) x
lim x
2
lim x
2
lim x
2
2
1 cos x
senx cos x
1 senx cos x 1 senx cos x
lim x
2
cos x senx
0
2 / 6 1/ 3
1. ) Integre si esposible : dx 4x 4x 5 2
0
lim
a
dx 4x 4x 5 2
a
b
ó lim
lim
a
b
a
4x2
b
lim
a
lim
b
a b
lim
a
lim
b
a
b
lim
b
a
4x2
dx 4x 5
dx 4x 5 dx 4x 1 4
4x2
dx ( 2 x 1) 2
4
b
lim
a
lim
a
lim
a
dx ( 2 x 1) 2 4 a *4 4 b 1 dx lim b 4 a ( 2 x 1) 2 4 4 4 4 b 1 dx lim b 4 a 2x 1 2 1 2 lim
b
u
2x 1 2
b
lim
a
lim
1 dx 4 a u2 1
lim
1 arctg u 4 a
b
b
lim
a
lim
a
lim
a
b
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2x 1 2
1 arctg 4
2b 1 2
lim
b
1 4 4 16
1 4 16
8
4 u2
b
a
1 arctg 4
2a 1 2
du
1dx
2. ) x cos x
senx dx
0 b
b
lim
x cos x dx
b
u
lim
b
0
x
du
dv dx
v
senx dx 0
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b
lim xsenx
senx dx
b
0
lim
xsenx
lim
xsenx 0
b
b
bsenb b 1 senb 1 1 cos b 2u 2
cos x
lim
b
b
cos x 0
b
cos x 0
b
0 sen 0
lim a
0
lim a
0
senb 1 b
lim a
0
sen a 1 a
a 1 sen a 1 1 cos a
cos b
lim a
0
cos a
1 1
2
10
senx dx x
3. ) ln x cos x 0 10
lim a
0
ln x cos x
senx dx x
ln x cos x
1 senx dx x
a 10
lim a
0
a 10
lim a
0
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senx d (ln x ) dx
a 10
lim a
0
d (ln x
senx )
a 10
lim
ln xsenx a
lim
ln 10 sen10
a
a
0
0
ln( 0) sen (0)
( 2.3025)( .5440)
1.2526 1.2526
lim a
0
lim a
0
ln x 1 senx
1 0 1 1 cos 0 Diverge
1.-Determine para que valores de p la siguiente integral converge 1. )
1
dx xp b
lim
p 1
x
lim
p
dx
1
p
b
1er
p
x
b
b
lim
11
b
x1 p 1 p
b
1
caso 1
b1 p 11 p b 1 p 1 p 1 lim b1 p 11 b 1 p 1 lim b1 p 1 b 1 p lim
2 do p
caso 1
lim
b
3er p
1 1
lim
p 1
1 p caso
1
b
p
b
p 1
1 1 1
p
b1
0 1
p p
1 p
1
Converge
0 1
Diverge
2. ) 1
dx x8
1 8 1
3. ) x 11dx 1
1
4. ) x 6 dx 1
1 5
5. ) 1
1 2 u 7
dx x11
19-Noviembre-2009
1 1 2 u 11 1 10
dx x 6
Ejemplo. 7
7
x dx
x 5 dx 1
1
dx 7 x5
1. ) lim (1 x) x
1
e
x
0
sol . y
lim (1 x) x
1
x
0
ln y
lim (1 x)
ln y
lim
x x
1
x
0 0
1
x
(1 x)
ln( 1 x) x 0 x 1 ln y lim 1 x x 0 1 1 1 ln y lim x 0 1 x ln y 1 como la inversa del ln es " exponencia l" se tiene... ln y
lim
y
e1
y
e
dx i. ) x 3
6
ln x 3
ln 6 ln 3
ln 6
ln 6
3
ln 3
ln 2
0.69314718u 2
6
ii. )
dx x 3
ln x
6 3
La Función d/x no es continua en cero. La Función 1/x es continua C.T.P(Casi en todas partes)
El área es infinita la integral diverge
Integre 4
iii . )
dx x 2 2
ln x 2
ln 2 ln 4 ln 2
4
4 2
ln 1
ln 4 2 2
ln
2 2
0.69314718u 2
La Función 1/x-2 no es continua en x=2. La Función 1/x-2 es continua C.T.P (Casi en todas partes)
Integre 4
4
dx iii . ) x 2 2 4
dx x 2 2
El área es infinita. La integral diverge
4
dx dx lim lim b 2 x 2 a 2a x 2 2 b
4
lim ln x 2 a
2
2
lim ln b 2 b
2
dx x 2
b
lim ln x 2 b
4
dx x 2 2
a
2
ln 2 2
2
lim ln 4 2 a
2
ln a 2
Integre 5
iv. ) 2
5
dx x 2
( x 2) lim a 2 2
1
dx x 2
lim a
2
a
5
lim ( x 2) a
2
a
5 2
lim 2( x 2) a
2
1
5 2 a
a
lim 2(5 2) b
2
1
2
2( a 2)
1
2
2 3u 2 La int egral es convergente.
2(3)
1
2
2( 0)
1
2
dx
Integre 1
1
v. ) ln x dx 0
u
ln x
dv
lim a
v
x ln x a
x a
0
a
x 1
lim
ln x dx
1 dx x
du
dx
0
1 x
dx
1
lim a
0
x ln x
0
lim (1 ln 1 1) a
x
0
(0
1)
ln
1u 2
( 0)
( a ln a
a)
lim x
a
lim x
a
lim x
lim x
x
a
lim x
x c 1 x c x
0
lim
0
lim
x
0
x
lim x
0
x c x x x x cx
0 0
Sí f ( x) x a g ( x) Entonces
lim
lim x
a
f ( x) g ( x)
0 0
lim x
a
f ' ( x) g ' ( x)
0 0
??? ???
Ejemplos; x2 i. ) lim x 5 x2 2x 2 lim x 5 2x 8 ii . ) lim x
lim x
lim x
lim x
lim x
2 x 15 8 x 15 8 4 2
0 0
12 x 4 6 x 3 8 x 2 4 x 4 16 x 3 35 x 2
48 x 3 18 x 2 16 x 3 48 x 2 144 x 2 48 x 2 288 x 96 x 288 96
36 x 96 x 36 96 3
16 x 70 x 16 70
7x 2 12 x 16 7 12
iii . ) lim
x
x
lim x
lim x
x
x
lim x
lim x
2
x
6 x3
18 x 2
4 x3 24 x
12 x 2 36 x 24 24 x 36
15 x 2 36 x 4 x3 30 x 36 12 x 2 30 0 24 x
lim x
lim x
x 4 38 12 x 2 35 x
5 x 3 18 x 2 x4 2
v. ) lim
4 x 8 x 32 x 2 144 x 18
3x 2 8 x 8 2 x 144 6x 8 2
iv. ) lim lim
3
lim x
256
vi. ) lim x
35 lim x
0
lim x
0
lim x
0
x ln x
0
1 x 1 x2 x2 x x 1
0
lim x
0
ln x x
1.
Integre
Explicaión de (ae a e a ) (0 0)
0
i. ) xex u
x
dx du
e x dx
dv
1. lim ae a
dx
a
ex
v
0
xex
lim
a
dx
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a
a
0
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a
xe
x
ex
dx
a
lim
a
lim
a
1
xe
x
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0)
e
3. lim e a a
x 0 a
e0 )
( ae a 1
1u 2
ea )
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lim
a
a lim a a a e 1 lim a 0 a e lim
ea 1 a2
lim
a
1 ea
Se toman los valores de 2 y 3 (de la Explicación) ya que el valor 1 el resultado no es concreto.
0
a 2e a
2.-Encuentre el volumen del solido de revolución que se obtiene al girar sobre el eje de x el área bajo la curva. f ( x)
Donde x
1 x3
2 hasta x
v
Volumenes
v
Área de la base * Altura
2
2 b
v
1 x3
R 2 dx
v
2
dx 2
1 dx 6 x
1 dx x6
lim
b
Área de la base * Altura
2
b
v v
lim
b
0
5x 160
lim
5 0
160
b
u3
5b 5
5(2) 5
3. ) lim x
0
tgx x x3
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lim x
2
lim x
2
lim x
2
2
1 cos x
senx cos x
1 senx cos x 1 senx cos x
lim x
2
cos x senx
0
2 / 6 1/ 3
1. ) Integre si esposible : dx 4x 4x 5 2
0
lim
a
dx 4x 4x 5 2
a
b
ó lim
lim
a
b
a
4x2
b
lim
a
lim
b
a b
lim
a
lim
b
a
b
lim
b
a
4x2
dx 4x 5
dx 4x 5 dx 4x 1 4
4x2
dx ( 2 x 1) 2
4
b
lim
a
lim
a
lim
a
dx ( 2 x 1) 2 4 a *4 4 b 1 dx lim b 4 a ( 2 x 1) 2 4 4 4 4 b 1 dx lim b 4 a 2x 1 2 1 2 lim
b
u
2x 1 2
b
lim
a
lim
1 dx 4 a u2 1
lim
1 arctg u 4 a
b
b
lim
a
lim
a
lim
a
b
1 lim arctg b 4
2x 1 2
1 arctg 4
2b 1 2
lim
b
1 4 4 16
1 4 16
8
4 u2
b
a
1 arctg 4
2a 1 2
du
1dx
2. ) x cos x
senx dx
0 b
b
lim
x cos x dx
b
u
lim
b
0
x
du
dv dx
v
senx dx 0
cos x senx
b
lim xsenx
senx dx
b
0
lim
xsenx
lim
xsenx 0
b
b
bsenb b 1 senb 1 1 cos b 2u 2
cos x
lim
b
b
cos x 0
b
cos x 0
b
0 sen 0
lim a
0
lim a
0
senb 1 b
lim a
0
sen a 1 a
a 1 sen a 1 1 cos a
cos b
lim a
0
cos a
1 1
2
10
senx dx x
3. ) ln x cos x 0 10
lim a
0
ln x cos x
senx dx x
ln x cos x
1 senx dx x
a 10
lim a
0
a 10
lim a
0
ln x d ( senx )
senx d (ln x ) dx
a 10
lim a
0
d (ln x
senx )
a 10
lim
ln xsenx a
lim
ln 10 sen10
a
a
0
0
ln( 0) sen (0)
( 2.3025)( .5440)
1.2526 1.2526
lim a
0
lim a
0
ln x 1 senx
1 0 1 1 cos 0 Diverge
1.-Determine para que valores de p la siguiente integral converge 1. )
1
dx xp b
lim
p 1
x
lim
p
dx
1
p
b
1er
p
x
b
b
lim
11
b
x1 p 1 p
b
1
caso 1
b1 p 11 p b 1 p 1 p 1 lim b1 p 11 b 1 p 1 lim b1 p 1 b 1 p lim
2 do p
caso 1
lim
b
3er p
1 1
lim
p 1
1 p caso
1
b
p
b
p 1
1 1 1
p
b1
0 1
p p
1 p
1
Converge
0 1
Diverge
2. ) 1
dx x8
1 8 1
3. ) x 11dx 1
1
4. ) x 6 dx 1
1 5
5. ) 1
1 2 u 7
dx x11
19-Noviembre-2009
1 1 2 u 11 1 10
dx x 6
Ejemplo. 7
7
x dx
x 5 dx 1
1
dx 7 x5
1. ) lim (1 x) x
1
e
x
0
sol . y
lim (1 x) x
1
x
0
ln y
lim (1 x)
ln y
lim
x x
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x
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1
x
(1 x)
ln( 1 x) x 0 x 1 ln y lim 1 x x 0 1 1 1 ln y lim x 0 1 x ln y 1 como la inversa del ln es " exponencia l" se tiene... ln y
lim
y
e1
y
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