384

Teoria Sistemelor - Culegere de Probleme Cristian Oar˘a

Radu S¸tefan

Universitatea Politehnica din Bucure¸sti

4 decembrie 2004

2

Cuprins 1 Introducere

5

2 Semnale ¸si sisteme

7

3 Sisteme continue cu o intrare ¸si o ie¸sire 3.1 R˘ aspunsul ˆın timp al sistemelor . . . . . . . . . . . 3.2 Stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Regim permanent ¸si regim tranzitoriu . . . . . . . 3.4 Reprezentarea ˆın frecvent¸a˘ a funct¸iilor de transfer 3.5 Corelat¸ie timp-frecvent¸a˘. Timpi caracteristici . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15 15 19 22 27 31

4 Sisteme ˆın react¸ie invers˘ a 4.1 Conexiuni elementare. Regula lui Mason. . . . 4.2 Conexiunea ˆın react¸ie. Propriet˘ a¸ti stabilizante. 4.3 Stabilizare prin compensare . . . . . . . . . . . 4.4 Criterii de stabilitate ˆın reactie invers˘ a . . . . . 4.5 Problema regl˘ arii. Principiul modelului intern.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

33 33 35 40 41 45

. . . . .

. . . . .

5 Sisteme robuste

55

6 Tehnici avansate de sintez˘ a ˆın frecvent¸˘ a

57

7 Sisteme dinamice ˆın spat¸iul st˘ arilor 7.1 Generalit˘ a¸ti. Genez˘ a. Modele ¸si exemple. . 7.2 Evolut¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Echivalent¸˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Stabilitate. Regim permanent ¸si tranzitoriu.

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61 61 61 64 64

8 Propriet˘ a¸ti structurale 67 8.1 Controlabilitate. Observabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3

4

CUPRINS 8.2 8.3 8.4 8.5

Descompunere structural˘ a . . . . . Realizabilitate . . . . . . . . . . . . Conexiuni . . . . . . . . . . . . . . Elemente structurale ale matricelor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de transfer rat¸ionale

. . . .

. . . .

. . . .

71 71 75 75

9 Metode de sintez˘ a elementar˘ a 77 9.1 Compensare dinamic˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 9.2 Lege de comand˘ a. Problema stabiliz˘ arii. Problema aloc˘ arii. . 77 9.3 Estimatori de stare. Estimator unitar. . . . . . . . . . . . . . 80 9.4 Compensator Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.5 Estimatori de ordin redus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.6 Reglarea sistemelor. Proceduri de reglare la m˘ arimi exogene de tip treapt˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 10 Sintez˘ a avansat˘ a

85

11 Sisteme neliniare

87

12 Sisteme discrete

91

13 Probleme diverse

97

Lista figurilor

129

Capitolul 1

Introducere Breviar teoretic...

5

6

CAPITOLUL 1. INTRODUCERE

Capitolul 2

Semnale ¸si sisteme Problema 2.1. Se poate aprecia cu ajutorul teoremei valorii finale r˘ aspunsul 1 la treapt˘ a unitar˘ a ˆın t = ∞ al sistemului H(s) = s2 +1 ? Problema 2.2. S˘ a se determine transformata Laplace pentru urm˘ atoarele funct¸ii original: 1. f (t) = a sin(ωt) + b cos(ωt); 2. f (t) = a e−αt + b e−βt ; 3. f (t) = a sin2 t + b cos2 t; 4. f (t) = te−at + 2t cos t.

Problema 2.3. S˘ a se determine r˘ aspunsul la impuls al sistemului caracterizat prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer: 10 1. H(s) = e−2s s(s+1)(s+10) ;

2. H(s) =

4 ; s4 +4

3. H(s) =

3s2 +9s+12 ; (s+2)(s2 +5s+11)

4. H(s) =

1 s(s+2) .

7

8

CAPITOLUL 2. SEMNALE S ¸ I SISTEME

Problema 2.4. S˘ a se determine funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare sistemului liniar, invariant ˆın timp, cauzal, caracterizat prin urm˘ atorul r˘ aspuns la intrare impuls: 1. h(t) = sin t sin 3t; 2. h(t) = (t + 1)2 ; 3. h(t) = 3 cos 6t; 4. h(t) = sh(t) =

et −e−t . 2

Problema 2.5. Se consider˘ a sistemul descris de y(t) ˙ + y(t) = u(tn ), t ∈ R, n ≥ 0, n ∈ N; y(0) = 0. S˘ a se precizeze dac˘ a sistemul e liniar ¸si invariant ˆın timp.

Problema 2.6. Se consider˘ a sistemul a c˘ arui ie¸sire este y(t) = u(t)·sin(2πf0 t), f0 ∈ R. S˘ a se precizeze dac˘ a sistemul este liniar ¸si invariant ˆın timp.

Problema 2.7. Se consider˘ a sistemul Z t+T2 1 u(τ ) dτ, y(t) = T1 + T2 t−T1 unde T1 , T2 ≥ 0 ¸si T1 + T2 6= 0. 1. Se cere funct¸ia de transfer a acestui sistem ¸si precizarea domeniului de definit¸ie. 2. Se cere r˘ aspunsul acestui sistem la impuls. 3. S˘ a se studieze dac˘ a exist˘ a o intrare astfel ˆıncˆ at ie¸sirea y(t) s˘ a aib˘ a expresia: y(t) = t · 1(t). Dac˘ a exist˘ a s˘ a se construiasc˘ a, ˆın caz contrar, argumentat¸i. Se vor c˘ auta intr˘ ari u(t) din clasa funct¸iilor care admit transformat˘ a Laplace.

Problema 2.8. Exist˘ a sisteme invariante ˆın timp care s˘ a nu fie cauzale? Dac˘ a da, exemplificat¸i, dac˘ a nu, justificat¸i.

9 Problema 2.9. Fie sistemul de convolut¸ie avˆ and r˘ aspunsul urm˘ ator: 1. Determinat¸i r˘ aspunsul sistemului la treapt˘ a unitar˘ a. 2. Determinat¸i funct¸ia de transfer.

Problema 2.10. Calculat¸i produsul de convolut¸ie (1 ∗ 1)(t) ¸si (1 ∗ 1)(n). Ce observat¸i?

Problema 2.11. Exist˘ a sisteme liniare ¸si invariante ˆın timp care nu sunt cauzale? Dac˘ a da, exemplificat¸i. Dac˘ a nu, justificat¸i r˘ aspunsul.

Problema 2.12. Se consider˘ a un sistem continuu cu intrarea x(t) ¸si ie¸sirea y(t) = sin(x(t)). 1. Este sistemul cauzal? 2. Este sistemul liniar?

Problema 2.13. Precizat¸i dac˘ a fiecare dintre afirmat¸iile urm˘ atoare este adev˘ arat˘ a sau fals˘ a, justificˆ and: 1. Dac˘ a x(n) = 0, pentru n < N ¸si h(n) = 0, pentru n < N2 , atunci (x ∗ h)(n) = 0, pentru n < N + N2 . 2. Dac˘ a y(n) = (x ∗ h)(n), atunci y(n − 1) = x(n − 1) ∗ h(n − 1). 3. Dac˘ a y(t) = (x ∗ h)(t), atunci y(−t) = x(−t) ∗ h(−t). 4. Dac˘ a x(t) = 0 pentru t > T1 ¸si h(t) = 0, pentru t > T2 , atunci (x ∗ n)(t) = 0, pentru t > T1 + T2 Problema 2.14. Care dintre urm˘ atoarele r˘ aspunsuri la impuls corespunde unui sistem invariant ˆın timp, liniar, stabil? 1. h1 (t) = e−(1−2j)t · 1(t).

10

CAPITOLUL 2. SEMNALE S ¸ I SISTEME 2. h2 (t) = e−t cos 2t · 1(t).

Problema 2.15. Dat¸i un exemplu de sistem invariant ˆın timp care nu este cauzal.

Problema 2.16. Exist˘ a sisteme de convolut¸ie care nu sunt cauzale? In caz afirmativ, dat¸i un exemplu, ˆın caz negativ, argumentat¸i.

Problema 2.17. Dat¸i un exemplu de sistem care nu este liniar, dar este invariant ˆın timp.

Problema 2.18. Exist˘ a sisteme de convolut¸ie care nu sunt invariante ˆın timp? Dac˘ a da, exemplificat¸i. Dac˘ a nu, argumentat¸i.

Problema 2.19. Scriet¸i o aproximat¸ie a impulsului δ(t). Justificat¸i alegerea cu ajutorul unui exemplu.

Problema 2.20. Determinat¸i funct¸ia de transfer H1 (s) = H2 (s) =

u2 (s) u1 (s)

i(s) u(s)

¸si respectiv

corespunz˘ atoare circuitului :

Problema 2.21. S˘ ase determine transformata Laplace pentru urm˘ atoarele funct¸ii: 1. f (t) = αsinwt + βcoswt + γδ(t) 2. f (t) = αe−at + βe−bt 3. f (t) = αsin2 t + βcos2 t

11 4. f (t) = te−at + 2tcost unde α, β, γ, a, b ∈ R. Problema 2.22. Calculat¸i transformatele Laplace pentru urm˘ atoarele funct¸ii: 1. f (t) = 2e−3t sint − π/3 2. f (t) = 1 − e−t (1 + t + t2 ) 3. f (t) =

cos2t (t+13

4. f (t) =

Rt 0

cos(t − τ ) sin τ dτ

Problema 2.23. S˘ ase determine r˘ aspunsul la impuls pentru sistemul caracterizat prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer: 10 ,τ > 0 1. H(s) = e−τ s s(s+1)(s+10)

2. H(s) = arctg 1s 3. H(s) =

2(s+2) s3 +s2 +4s+4

4. H(s) =

3s3 +9s+12 (s+2)(s2 +5s+11)

5. H(s) =

4 s+4

6. H(s) =

1 s(s+2)2

7. H(s) =

2(s+2)(s+5)2 (s+1)(s2 +4) 3

8. H(s) = e−τ s s s+2s+4 4 −16 , τ > 0 Problema 2.24. Rezolvat¸i ecuat¸iile diferent¸iale, cu condit¸iile init¸iale y(0) = 1, y(0) = 1: 1. y¨(t) + y(t) ˙ − 2y(t) = 0 2. y¨(t) + 3y(t) ˙ + 2y(t) = 1

12

CAPITOLUL 2. SEMNALE S ¸ I SISTEME 3. y¨(t) + y(t) = tsint

Problema 2.25. S˘ ase determine funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare sistemului liniar invariant caracterizat prin urm˘ atorul r˘ aspuns la intrare impuls: 1. h(t) = sintsin3t 2. h(t) = (t + 1)2 3. h(t) = 3cos6t Rt 4. h(t) = 0 cos(t − τ )sinτ dτ 5. h(t) = sht

Problema 2.26. Dac˘ ase consider˘ af ∈ ¸si F = L(f ) s˘ ase determine transformata Laplace pentru urm˘ atoarele funct¸ii: 1. g(t) = f (t)coswt 2. g(t) = f (t)sin2 wt 3. g(t) = f (t)sink wt RtR 4. g(t) = 0 0 t1 f (τ )dτ dτ1 2s+2 . s(s2 +2s+6) s+1 s(s−1)(s+2) .

Problema 2.27. Fie H(s) = problema pentru H(s) =

Calculat¸i H(0) ¸si H(∞). Aceea¸si

Problema 2.28. G˘ asit¸i funct¸iile original ale urm˘ atoarelor funct¸ii imagine: 1. F (s) =

s2 −1 (s2 +1)s

2. F (s) =

(s−1)3 (s+1)

3. F (s) =

3(s−1) s2 (s+1)(s2 +6s+10)

4. F (s) =

s3 +2s+4 s4 −16

13

Problema 2.29. Se consider˘ acircuitul din figura de mai jos: Se cere: 1. Determinat¸i dependent¸a(ˆın domeniul timp) dintre i(t) ¸si v1 (t), respectiv i(t) ¸si v2 (t). 2. In condit¸ii init¸iale nule calculat¸i funct¸ia de transfer H(s) = V2 (s)/V1 (s). Explicitat¸i pulsat¸ia natural˘ aωn ¸si factorul de amortizare ζ ˆın funct¸ie de R, L, C. 3. Este sistemul rezultat stabil? Dar dac˘ ase conecteaz˘ aˆın serie cu G(s) = ? s2 +1 Problema 2.30. S˘ a se determine funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare sistemului liniar, cauzal si invariant in timp caracterizat prin urm˘ atorul raspuns la intrare impuls: h(t) = sin t sin 3t; h(t) = αe−at + βe−bt ; h(t) =

Z

t 0

τ cos(t − τ ) sin τ dτ ; h(t) = 1 − e−t (1 + t + t2 ).

Problema 2.31. S˘ a se determine r˘ aspunsul la impuls pentru sistemul caracterizat de funct¸ia de transfer: H(s) =

4 2s + 2 s3 + 2s + 4 ; H(s) = ; H(s) = s4 − 4 s3 + s2 + 4s + 4 s4 − 16

H(s) = e−τ s

10 1 ; H(s) = 2 . s(s + 1)(s + 10) s (s + 2)2

Problema 2.32. R˘ aspundet¸i la urm˘ atoarele chestiuni: 1. Comutarea cu shiftul σ implic˘ a invariant¸a ˆın timp a unui sistem liniar ? 2. Ce putet¸i spune despre funct¸ia pondere a unui sistem de convolut¸ie care este cauzal ? 3. Scriet¸i o aproximat¸ie a impulsului Dirac ¸si justificat¸i alegerea facut˘ a.

14

CAPITOLUL 2. SEMNALE S ¸ I SISTEME

Capitolul 3

Sisteme continue cu o intrare ¸si o ie¸sire 3.1

R˘ aspunsul ˆın timp al sistemelor

Problema 3.1. S˘ a se determine r˘ aspunsul sistemului caracterizat prin funct¸ia 2 de transfer H(s) = s+3 la intrarea: 1. u(t) =



0, t ∈ (−∞, 0) ∪ (3, ∞) sin t, t ∈ [0, 3]

 0,    t, 2. u(t) = 1,    3 − t,

t ∈ (−∞, 0) t ∈ [0, 1] t ∈ [1, 2] t ∈ (2, ∞)

2(s−1) Problema 3.2. Se consider˘ a sistemul G(s) = (s+1)(s+2) . Se cere r˘ aspunsul sistemului la treapt˘ a unitate ¸si reprezentarea grafic˘ a a acestui r˘ aspuns.

Problema 3.3. Se consider˘ a sistemul H(s) =

2p ωn 2). (s+p)(s2 +2ζωn s+ωn

1. Ar˘ atat¸i c˘ a r˘ aspunsul sistemului la treapt˘ a are expresia y(t) = t + Ae−pt + Be−pt · sin(ωn t − θ), 15

16CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE unde A=− ¸si

ωn2 p , B=p 2 2 2 ωn − 2ζωn p + p (p − 2ζωn p + ωn2 )(1 − ζ) θ = tan

−1

p

p 1 − ζ2 1 − ζ2 −1 + tan . −ζ p − ζωn

2. Care este termenul dominant cˆ and p este ”mare”? 3. Care este termenul dominant cˆ and p este ”mic”?

Problema 3.4. R˘ aspunsul unui sistem de convolut¸ie la intrare treapt˘ a unitar˘ a este y(t) = 2t · 1(t). Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrare ramp˘ a. Problema 3.5. Se consider˘ a circuitul: Dac˘ a R = 1Ω, pentru ce valori ale lui L ¸si C sistemul rezoneaz˘ a la u(t) = sin t?

Problema 3.6. Se consider˘ a sistemul descris de funct¸ia de transfer H(s) = s + 2 −s aspunsul sistemului la impuls ¸si reprezentarea grafic˘ aa e . Se cere r˘ s+4 acestuia.

Problema 3.7. S˘ a se calculeze r˘ aspunsul urm˘ atoarelor sisteme la intr˘ arile precizate:  1 0, t < 0 1. H(s) = , u(t) = t, t ≥ 0 s  s 0, t < 0 2. H(s) = 2 , u(t) = et , t ≥ 0 s +s+2 Problema 3.8. Se consider˘ a un sistem al c˘ arui r˘ aspuns la intrare treapt˘ a 1 −2s unitar˘ a este Y (s) = s e . Se cere r˘ aspunsul (ˆın domeniul timp) la o intrare de tip ramp˘ a.

˘ ˆIN TIMP AL SISTEMELOR 3.1. RASPUNSUL

17

Problema 3.9. R˘ aspunsul unui sistem liniar ¸si invariant ˆın timp la intrare u(t) este: Se cere r˘ aspunsul sistemului la intrarea:

Problema 3.10. Determinat¸i r˘aspunsul sistemului caracterizat de funct¸ia pondere h(t) = te−2t · 1(t), la intrarea:

Problema 3.11. Estimat¸i mult¸imea de valori ale lui α ∈ R pentru care αs + 1 are r˘ aspunsul indicial ¸stiut pozitiv, pentru orice t > 0. sistemul 2 s + 4s + 4

Problema 3.12. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului H(s) = ¸si trasat¸i grafic acest r˘ aspuns.

s2

1 la intrarea: +b

Problema 3.13. Se poate aprecia cu ajutorul teoremei valorii finale r˘ aspunsul la treapt˘ a unitar˘ a ˆın t = ∞ al sistemului H(s) = s21+1 ?

Problema 3.14. S˘ a se determine r˘ aspunsul sistemului caracterizat prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer : 1. H(s) =

3s s2 +3s+2

2. H(s) =

2 ωn 2 s2 +2ζωn s+ωn

3. H(s) =

1 s+1

pentru un semnal de intrare u(t) de forma: 1. 2.

18CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE 3. 4. Problema 3.15. R˘ aspunsul lui H(s) la intrare treapt˘ a este 2e−t (sint + t2 ). Care este r˘ aspunsul sistemului la intrare ramp˘ a u(t) = t? Dar la intrare u(t) = cos ωt?

Problema 3.16. Se consider˘ aurm˘ atorul sistem: H(s) =

p ∗ ωn2 , p ∈ R, ωn > 0, ζ ∈ [0, 1] (s + p)(s2 + 2ζωn s + ωn2 )

(3.1)

1. S˘ ase arate c˘ ar˘ aspunsul sistemului la intrare treapt˘ aeste de forma: y(t) = 1 + Ae−t + Be−tsin(ωn t − θ)

(3.2)

2. Care termen devine dominant ˆın expresia lui y(t)(de la punctul a)) pe m˘ asur˘ ace p cre¸ste (p devine suficient de mare)? 3. S˘ ase evalueze, aproximeze, A ¸si B din expresia lui y(t) de la punctul a) pentru p foarte mic (p ' 0). 4. care termen devine dominant ˆın expresia lui y(t) pentru p foarte mic (p ' 0)? 2s + 2 . Calculati h(0) si h(∞), unde s(s2 + 2s + 6) h este functia pondere a sistemului. Aceeasi problema pentru G(s) = s+2 . 2 s(s + s − 2)

Problema 3.17. Fie H(s) =

Problema 3.18. Raspunsul unui sistem de convolutie (care admite functie de trabsfer) la intrare treapta unitara este 2e−t (sin t+t). Care este raspunsul sistemului la intrare rampa u(t) = t ? Dar la intrarea u(t) = cos ωt ?

Problema 3.19. Se poate aprecia cu ajutorul teoremei valorii finale r˘ aspunsul 1 la treapt˘ a unitar˘ a ˆın t = ∞ al sistemului H(s) = 2 ? s +1

3.2. STABILITATE

3.2

19

Stabilitate

1 Problema 3.20. Se consider˘ a sistemul descris de G(s) = s2 +s+e −sT , T > 0, constant. Se poate aplica vreun criteriu de stabilitate cunoscut pentru acest sistem? Folosind o aproximare de ordin 1 pentru exponent¸ial˘ a, precizat¸i valorile lui T pentru care sistemul e stabil.

Rt Problema 3.21. y(t) = −∞ u(τ ) dτ . S˘ a se precizeze dac˘ a acest sistem este stabil ¸si s˘ a se calculeze ie¸sirea sistemului la intrare treapt˘ a. Problema 3.22. Confirmat¸i sau infirmat¸i urm˘ atoarea asert¸iune: ”Un sistem este stabil (strict) ˆın sens BIBO dac˘ a r˘ aspunsul sistemului la intrare treapt˘ a e m˘ arginit.”

Problema 3.23. Exist˘ a o intrare m˘ arginit˘ a care produce o ie¸sire nem˘ arginit˘ a 1 pentru un element integrator H(s) = ? In caz afirmativ, construit¸i o astfel s de intrare, ˆın caz negativ, justificat¸i r˘ aspunsul.

Problema 3.24. La intrarea unui sistem de convolut¸ie se aplic˘ a o treapt˘ a unitate ¸si se constat˘ a |y(t)| < M, (∀)t. Rezult˘ a sistemul stabil? Demonstrat¸i sau infirmat¸i cu un contraexemplu.

Problema 3.25. Specificat¸i dac˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) = 1 este stabil, dar sistemul care are r˘ aspunsul la impuls h(t) = sin(t)e−t , t > s2 + 1 0?

Problema 3.26. Utilizat¸i criteriul lui Hurwitz pentru a decide dac˘ a sistemul H(s) = s3 +as21+bs+1 este stabil sau nu. Discut¸ie dup˘ a a ¸si b.

20CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE Problema 3.27. Stabilit¸i dac˘ a urm˘ atoarea propozit¸ie este adev˘ arat˘ a sau fals˘ a: ”Dac˘ a r˘ aspunsul unui sistem este m˘ arginit pentru orice intrare armonic˘ a u(t) = sin ωt, ω ∈ R, atunci sistemul este stabil BIBO ˆın sens strict.” Problema 3.28. S˘ a se arate c˘ a dac˘ a un polinom de gradul 4 este Hurwitz, atunci are tot¸i coeficient¸ii nenuli ¸si de acela¸si semn. Studiat¸i stabilitatea sistemului: 1 G(s) = 4 . 3 s + 2s − 3s2 + 2s + 1 Problema 3.29. Exist˘ a sisteme al c˘ aror r˘ aspuns la treapt˘ a este m˘ arginit, dar care au r˘ aspunsul la un semnal armonic (specificat) nem˘ arginit?

Problema 3.30. R˘ aspunsul unui sistem de convolut¸ie la intrarea din figur˘ a este: Calculat¸i r˘ aspunsul la treapt˘ a ¸si trasat¸i graficul acestuia.

Problema 3.31. Este stabil sistemul care are r˘ aspunsul la impuls u(t) = √ e−t t ? Dar cel care are h(t) = e−t + cost ? Argumentat¸i.

Problema 3.32. S˘ ase precizeze care din sistemele caracterizate prin urm˘atoarele r˘ aspunsuri la intrare impuls sunt stabile.(S˘ ase justifice r˘ aspunsul): 1. h(t) = −2e−t + 2sin(t + π/3) 2. h(t) = −2e−sqrtt + 2t 3. h(t) = cos(t + π/10) 4. h(t) = t cost 5. h(t) = e−t cost

Problema 3.33. Care dintre urm˘ atoarele afirmat¸ii este adev˘ arat˘ a?

21

3.2. STABILITATE 1. Un sistem este stabil dac˘ a r˘ aspunsul s˘ au indicial este m˘ arginit.

2. Un sistem este stabil dac˘ a pentru orice semnal de intrare m˘ arginit se obt¸ine la ie¸sire un semnal m˘ arginit. 3. Un sistem este stabil dac˘ a r˘ aspunsul s˘ au la intrare impuls tinde asimptotic la zero. Argumentat¸i r˘ aspunsul.

Problema 3.34. S˘ ase analizeze stabilitatea sistemului specificat prin: H(s) =

2s2 − 6s + 4 3s2 − s − 2 , H(s) = , s4 + 5s3 + 5s2 − 6 s3 − 2s2 − s + 2 H(s) =

−s4

s−1 . + s3 + s + 1

Problema 3.35. Precizat¸i dac˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer : H(s) =

s2 −2s4 − 2s3 + 4s2 − 7

este stabil sau nu. Argumentat¸i.

Problema 3.36. Sa se precizeze care din sistemele caracterizate prin urmatoarele intrari la impuls sunt stabile: h(t) = −2e−t + 2 sin(t + π/3), h(t) =

√ 1 cos t, h(t) = 2t + 3e− 3t . t

Problema 3.37. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata ? • Un sistem este stabil daca are raspunsul indicial marginit. • Un sistem este stabil daca pentru orcie semnal de intrare marginit se obtine la iesire un semnal care este de asemenea marginit. • Un sistem este stabil daca raspunsul sau la impuls tinde asimptotic catre zero.

22CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE • Un sisten de ordinul II care este stabil nu poate deveni instabil in urma unei conexiuni in reactie negativa unitara.

Problema 3.38. Este stabil sistemul care are r˘ aspunsul la impuls u(t) = √ e−t t ? Dar cel care are h(t) = e−t t10 ? Argumentat¸i.

Problema 3.39. Precizat¸i dac˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer : H(s) =

s2 −2s4 − 2s3 + 4s2 − 7

este stabil sau nu. Argumentat¸i.

3.3

Regim permanent ¸si regim tranzitoriu

Problema 3.40. Care este r˘ aspunsul permanent la intrarea treapt˘ a pentru H(s) = s21+1 ?

Problema 3.41. S˘ a se calculeze r˘ aspunsul permanent la intrarea armonic˘ a 1 de frecvent¸a˘ ω = 3 pentru funct¸ia de transfer H(s) = s+9 .

Problema 3.42. Pentru sistemul H(s) = intrarea u(t) = 1(t)

1 s

scriet¸i r˘ aspunsul permanent la

Problema 3.43. Determinat¸i r˘ aspunsul trtanzitoriu ¸si permanent pentru 1 u(t) = 1(t) al lui H(s) = s2 +s+1 .

Problema 3.44. Determinat¸i regimul permanent pentru sistemul H(s) = 1 la intrare u(t) = 2 · 1(t) + 3 sin t. s2 +s+2

3.3. REGIM PERMANENT S ¸ I REGIM TRANZITORIU

23

Problema 3.45. Se cere r˘ aspunsul permanent ¸si tranzitoriu la o intrare s+1 ramp˘ a pentru sistemul H(s) = s+α .

Problema 3.46. Calculat¸i r˘ aspunsul permanent al sistemului H(s) = la intrarea u(t) = (t − 1) · 1(t − 1).

2 s2 +2s+2

5 1 ¸si G(s) = 2 . + 4s − 5 s +s+1 Se cere valoarea r˘ aspunsului sistemului la ∞ pentru intrarea u(t) = 1(t). Problema 3.47. Fie sistemele H(s) =

s2

Problema 3.48. R˘ asupnsul la treapt˘ a al unui sistem de ordinul I este reprezentat ˆın figura de mai jos: Se cere: 1. Timpul tranzitoriu. 2. R˘ aspunsul permanent al sistemului la intrare ramp˘ a.

Problema 3.49. Se consider˘ a circuitul de mai jos: Se cere: 1. Funct¸ia de transfer de la ui la uo . 2. R˘ aspunsul sistemului la intrare treapt˘ a unitar˘ a.

Problema 3.50. Se consider˘ a sistemul avˆ and funct¸ia de transfer ˆın bucl˘ a ˆınchis˘a: 1 H(s) = 2 , a, b ∈ R∗+ . s + as + b 1. De terminat¸i a ¸si b pentru care eroarea stat¸ionar˘ a la intrare treapt˘ a este nul˘ a. 2. Care este funct¸ia de transfer a sistemului ˆın bucl˘ a deschis˘ a? Pentru ce valori ale lui a ¸si b sistemul G(s) este stabil?

24CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE 3. Calculat¸i r˘ aspunsul permanent ¸si tranzitoriu al lui G(s) pentru u(t) = sin t ¸si a = −2, b = 1. Aceea¸si problem˘ a pentru u(t) = cos t ¸si a = 2, b = 1.

Problema 3.51. Estimat¸i timpul tranzitoriu al r˘ aspunsului indicial pentru 1 . sistemul: G(s) = s+1

Problema 3.52. Determinat¸i r˘ aspunsul permanent ¸si tranzitoriu al sistemului 1 H(s) = 2 (s + a)(s + 2s + 2) la u(t) = 1(t). Discut¸ie dup˘ a a ∈ R. Problema 3.53. Se consider˘ a sistemul: Determinat¸i eroarea stat¸ionar˘ a a configurat¸iei de mai sus, ¸stiind c˘ a r(t) = a · t.

Problema 3.54. Se consider˘ a H(s) = toriu al r˘ aspunsului la trreapt˘ a.

1 . Estimat¸i timpul tranzi0.25s + 1

Problema 3.55. Care este r˘ aspunsul permanent la intrare treapt˘ a pentru H(s) =

1 ? s2 + 1

Problema 3.56. Care este r˘ aspunsul permanent al lui H(s) la intr˘ arile : 1. u1 (t) = sinwt, t ≥ 0 2. u2 (t) = e−t , t ≥ 0

3.3. REGIM PERMANENT S ¸ I REGIM TRANZITORIU

25

Problema 3.57. Care este regimul permanent pentru u(t) = 1 al lui H(s) = 1 ? s4 −1 Problema 3.58. Determinat¸i regimul permanent ¸si regimul tranzitoriu cos respunz˘ ator sistemului H(s) = s2 +s+1 la intrare u(t) = 2 ∗ 1(t) + cost. Problema 3.59. Determinat¸i regimul permanent pentru sistemul H1 (s) = 1 1 la intrare u(t) = 1(t) + sin2t. Similar pentru H2 (s) = s+1 . s2 +1 Problema 3.60. Calculat¸i r˘ aspunsul tranzitoriu ¸si permanent la intrare treapt˘ apentru sistemul: H(s) =

s2

s+z , z 6= 0, ωn > 0, 0 < ζ < 1 + 2ζωs + ωn2

Problema 3.61. Care este r˘ aspunsul permanent al sistemului H(s) = la intrarea u(t) = sint. Aceea¸si intrebare pentru H(s) = s21+1

(3.3)

1 s2 +9

Problema 3.62. S˘ a se determine care sunt regimurile permanente la intrare: u(t) = 3sint + tn , n = 0, 1, 2 (3.4) pentru urm˘ atoarele sisteme: 1. H(s) =

s2 +3s+1

2. H(s) =

s−1 3s3 +4s−7

3. H(s) =

2s s2 +4

Problema 3.63. Sa se determine care sunt regimurile permanente la intrarea u(t) = sin t + tn , n = 0, 1, 2 pentru sistemele de mai jos: G(s) =

s2

1 2s s−1 , G(s) = 2 , G(s) = 2 . + 3s + 2) s +4 s + 4s + 8

26CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE Problema 3.64. Care este regimul stat¸ionar pentru u(t) = 3 ∗ 1(t) al lui H(s) =

1 s2 + s + 1

Problema 3.65. Care este r˘ aspunsul permanent la intrare treapt˘ a pentru H(s) =

s2

1 ? +1

Problema 3.66. Care este regimul permanent pentru u(t) = 1(t) al lui 1 H(s) = 4 ? s −1 Problema 3.67. S˘ a se calculeze r˘ aspunsul permanent la intrarea armonic˘ a de frecvent¸a˘ ω = 3 pentru funct¸ia de transfer : H(s) =

1 . s+9

Comentat¸i rezultatul.

Problema 3.68. Determinat¸i regimul tranzitoriu ¸si pe cel permanent pen10 tru u(t) = t al lui H(s) = . 1 + s + s2

Problema 3.69. Pentru sistemul H(s) = manent la intrarea u(t) = sin 2t.

1 scriet¸i r˘ aspunsul pers2 + 2s + 1

Problema 3.70. Specificat¸i r˘ aspunsul tranzitoriu al lui G(s) = la intrarea u(t) = 1(t).

1 s2 + 2s + 2

˘ A FUNCT 3.4. REPREZENTAREA ˆIN FRECVENT ¸A ¸ IILOR DE TRANSFER27 Problema 3.71. Determinat¸i regimul permanent pentru sistemul H1 (s) = 1 1 la intrare u(t) = 1(t) + sin 2t. Similar pentru H2 (s) = . 2 s +1 s+1

Problema 3.72. Determinat¸i regimul permanent ¸si regimul tranzitoriu cos la intrarea u(t) = 2 ∗ 1(t) + cos t. respunz˘ ator sistemului H(s) = 2 s +s+1

3.4

Reprezentarea ˆın frecvent¸˘ a a funct¸iilor de transfer

Problema 3.73. Ce putet¸i spune despre caracteristica faz˘ a-frecventz a˘ ¸si despre locul de transfer al unui sistem avˆ and proprietatea G(s) = G(−s), (∀)s ∈ C − {poli}. Problema 3.74. Se consider˘ a urm˘ atoarea caracteristic˘ a asimptotic˘ a amplitudinepulsat¸ie: Scriet¸i un sistem care are aceast˘ a caracteristic˘ a. Este unic?

Problema 3.75. Trasat¸i diagramele Bode pentru: H(s) =

s(1 − 20s)(s + 5) + s + 1)(100s + 1)

(s2

Problema 3.76. Trasat¸i diagramele Bode pentru G(s) =

40 (5s + 1)(100s + 1) · . s2 s2 + 4s + 8

Problema 3.77. Se consider˘ a urm˘ atorul hodograf: 1. Presupunˆ and c˘ a sistemul este stabil, determinat¸i r˘ aspunsul permanent la intrare treapt˘ a unitar˘ a.

28CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE 2. Specificat¸i (cel put¸in) un pol al sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a.

Problema 3.78. Trasat¸i diagramele Bode ¸si Nyquist pentru: T (s) =

k(s + z1 )(s + z2 ) , zi , pi > 0. s3 (s + p1 )(s + p2 )

Problema 3.79. Trasat¸i diagramele Bode pentru G(s) =

1 s(s+2) .

Problema 3.80. Trasat¸i hodograful sistemului H(s) =

s−a , a ∈ R. s+a

Problema 3.81. Fie G(s) un sistem instabil cu hodograful: Dac˘ a sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este stabil, determinat¸i num˘ arul de poli ai sistemului cu Re(s) > 0.

Problema 3.82. Caracteristica Bode ideal˘ a a unui sistem liniar, invariant ˆın timp, de ordinul II este: Aceasta se poate construi conectˆ and ˆın serie dou˘ a sisteme de ordin I, S1 ¸si S2 , sau conectˆ and ˆın paralel dou˘ a sisteme de ordinul IV, S3 ¸si S4 . Demonstrat¸i sau infirmat¸i: 1. R˘ aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al sistemelor S1 ¸si S2 este unic determinat. 2. R˘ aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al sistemelor S3 ¸si S4 este unic determinat.

Problema 3.83. Trasat¸i diagramele Bode pentru H(s) =

(1 − 10s)(s + 10) . s(s2 + 4s + 8)

˘ A FUNCT 3.4. REPREZENTAREA ˆIN FRECVENT ¸A ¸ IILOR DE TRANSFER29 Problema 3.84. Trasat¸i diagramele Bode pentru G(s) = Care este abaterea de la caracteristica real˘ a ˆın ω = 1?

1 s2 + s + 1 · . s2 (1 + 0.1s)(1 − 0.02s)

Problema 3.85. Trasat¸i locul Nyquist pentru T (s) =

s2

Considerat¸i succesiv cazurile:

K(s + z1 ) Qn , K>0 i=1 (s + pi )

1. n = 1, p1 , z1 > 0; 2. n = 2, p1 , p2 > 0, z1 > 0; 3. n arbitrar, pi > 0, z1 > 0; 4. n arbitrar, pi > 0, z1 < 0.

Problema 3.86. Se consider˘ a sistemul din figura anterioar˘ a ˆın care P (s) =

100 · e−Td s , C(s) = K ∈ R. s(s2 + 10s + 100)

1. Trasat¸i hodograful pentru K = 1 ¸si Td = 1. 2. Dac˘ a K = 1, se cere Td pentru care sistemul este intern stabil. 3. Dac˘ a Td = 1 se cere K pentru care sistemul este intern stabil. 4. Se cere diagrama Bode pentru sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a cu −T s d K = 1, Td = 1 ¸si e aproximat˘ a cu un polinom de gradul I.

4 . Determinat¸i + 2s + 4 s=jω pulsat¸ia pentru care se atinge acest suprem ¸si ilustrat¸i solut¸ia g˘ asit˘ a pe lolcul de trnsfer sau pe diagrama amplitudine-pulsat¸ie.

Problema 3.87. Calculat¸i sup |T (s)|, unde T (s) =

s2

30CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE Problema 3.88. Trasat¸i locul Nyquist pentru: T (s) = unde

s

1 i=1 (sTi + 1)

Qn

1. n = 1, T1 > 0; 2. n = 2, T1 , T2 > 0; 3. n arbitrar ˆın N∗ ¸si Ti > 0, i = 1, n; 4. n arbitrar ˆın N∗ ¸si Ti < 0, i = 1, n. Interpretat¸i rezultatele obt¸inute.

Problema 3.89. Propunet¸i dou˘ a funct¸ii de trtansfer dintre care una de faz˘ a minim˘ a a c˘ aror caracteristic˘ a ideal˘ a (asimptotic˘ a) amplitudine-pulsat¸ie este:

Problema 3.90. Trasat¸i caracteristicilede frecvent¸a˘ (amplitudine- pulsat¸ie, faz˘ a-pulsat¸ie) pentru sistemele: 1. H1 (s) =

10(s+1) s2 (s2 +0.4s+4)(s−1)

2. H2 (s) =

10(s−1) s2 (s+1)(s2 +2s+2)

3. H3 (s) =

K(s−1) sq (s+1)

4. H4 (s) =

K(T1 s+1) T2 s+1 , T2

< T1

Problema 3.91. Trasat¸i locul de transfer(hodograful) pentru sistemele: 1. H1 (s) =

s+2 s(T s+1) , T

2. H2 (s) =

s(s+1)2

3. H3 (s) =

s−1 s2 +4s+5

= 0.1, 1, 10

˘ TIMPI CARACTERISTICI 31 3.5. CORELAT ¸ IE TIMP-FRECVENT ¸ A. Problema 3.92. S˘ a se traseze caracteristicile amplitudine-pulsatie si fazapulsatie pentru sistemele: H(s) = H(s) =

K(s − 1) 10s − 10 ; H(s) = 3 ; 4 s (s + 1) s + s2 + 4s + 4

10s 1 ; H(s) = 2 2 . 2 (s + 1)(s + 10)(s + 2s + 2) s (s + 100)

Problema 3.93. Care este abaterea (ˆın dB), de la caracteristica ideal˘ a, 1 ? Aceeasi problema evaluat˘ a ˆın ω = 1 pentru sistemul H(s) = 2 s +1 1 pentru G(s) = . s+1

3.5

Corelat¸ie timp-frecvent¸˘ a. Timpi caracteristici

Problema 3.94. Precizat¸i gradul de amortizare ¸si pulsat¸ia natural˘ a pentru 1 sistemul H(s) = 3s2 +3s+3 . Problema 3.95. Precizat¸i factorul de amortizare ¸si pulsat¸ia natural˘ a pentru 1 . Cum depinde regimul tranzitoriu al unui sistem de H(s) = 2 s + 4s + 8 ordinul II de ζ?

Problema 3.96. Definit¸i timpul de cre¸stere ¸si timpul tranzitoriu.

Problema 3.97. Definit¸i timpii de cre¸stere ¸si de varf ai r˘ aspunsului indicˆ and ¸si dependent¸a acestora de banda de frecvent¸a˘.

Problema 3.98. Precizat¸i gradul de amortizare ¸si pulsat¸ia natural˘ a pentru 1 sistemul H(s) = 2 . Estimati timpul de crestere al raspunsului 3s + 3s + 3 indicial.

32CAPITOLUL 3. SISTEME CONTINUE CU O INTRARE S ¸ I O IES ¸ IRE

Capitolul 4

Sisteme ˆın react¸ie invers˘ a 4.1

Conexiuni elementare. Regula lui Mason.

Problema 4.1. Conectˆ andu-se ˆın paralel sistemele H1 (s) = − 1s rezult˘ a un sistem stabil?

Problema 4.2. Conectˆ and ˆın serie H1 (s) = sistemul stabil? Justificat¸i.

1 s

cu H2 (s) =

1 s

¸si H2 (s) =

s , s2 +s+1

este

Problema 4.3. Calculat¸i funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare conexiunii:

Problema 4.4. Determinat¸i funct¸ia de transfer de la u la y a urm˘ atoarei configurat¸ii:

Problema 4.5.

1. Determinat¸i funct¸ia de transfer pentru urm˘ atoare configurat¸ie:

2. Specificat¸i dac˘ a funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare este stabil˘ a sau nu. s−2 1 H1 (s) = , H2 (s) = 2 (s + 2) s−2

33

34

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

Problema 4.6. Se d˘ a urm˘ atoarea diagram˘ a: 1. Determinat¸i funct¸ia de transfer ˆın bucl˘ a ii nchis˘ a. 2. Determinat¸i eroarea stat¸ionar˘ a pentru r(t) = t · 1(t) ¸si r(t) = 1(t). 3. Calculat¸i y(t) pentru r(t) = 1(t)

Problema 4.7. Pentru ce valori ale lui a ∈ R/{0} conexiunea este stabil˘ a?

Problema 4.8. Calculat¸i funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare conexiunii :

Problema 4.9. Determinat¸i funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare conexiunii :

Problema 4.10. Calculat¸i funct¸ia de transfer corespunz˘ atoare conexiunii :

Problema 4.11. S˘ ase determine funct¸iile de transfer, H(s) = temelor reprezentate prin urm˘ atoarele diagrame: 1. 2.

Y (s) U (s)

ale sis-

˘ ¸ I STABILIZANTE. 35 4.2. CONEXIUNEA ˆIN REACT ¸ IE. PROPRIETAT 3.

Problema 4.12. Pentru figura de mai jos se cer : Tuy , Tru , Try , T ηu, Tηy .

Problema 4.13. Apreciat¸i dac˘ a sistemele conectate ˆın paralel, H1 (s) = s−1 1 , H (s) = , genereaz˘ a un sistem stabil sau instabil. 2 s+1 (s+1)2

Problema 4.14. Calculat¸i funct¸iile de transfer corespunz˘ atoare urmatoarelor conexiuni:

4.2

Conexiunea ˆın react¸ie. Propriet˘ a¸ti stabilizante.

Problema 4.15. Se consider˘ a urm˘ atoarea configurat¸ie: Se cer condit¸iile de bun˘ a definire a buclei ¸si expresia ie¸sirii y = f (u, d).

Problema 4.16. Se consider˘ a urm˘ atoarea configurat¸ie ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a: G(s) este un sistem dat, iar K > 0. Presupunem c˘ a funct¸ia de transfer ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este Tyr (s) =

a2

s2

1 , ai ∈ R∗ , i = 0 : 2, a2 6= 0. + a1 s + a0

1. Determinat¸i G(s) ˆın funct¸ie de ai ¸si de K. 2. Pentru K = 1, a2 = 1, a1 = 2, a0 = 3, determinat¸i r˘ aspunsul permanent ¸si tranzitoriu al lui G(s) la trreapt˘ a unitate.

36

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA 3. determinat¸i valorile parametrilor ai , i = 0 : 2 ¸si respectiv K, astfel ˆıcˆ at sistemul s˘ a fie stabil ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a. 4. Determinat¸i valorile parametrtilor astfel ˆıncˆ at istemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a s˘ a admit˘ a eroare stat¸ionar˘ a zero pentru r(t) = 1(t). 5. Aceea¸si cerint¸a˘ ca la punctul anterior, pentru r(t) = t. Generalizat¸i pentru r(t) = tn , n ∈ N∗ .

Problema 4.17. Se consider˘ a urm˘ atoarea configurat¸ie: 1. S˘ a se precizeze buna definire ˆın sens strict. 2. Se cere expresia lui y ˆın funct¸ie de intr˘ arile r, u1 , u2 . 3. Este posibil ca sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a s˘ a fie intern stabil ˆın condit¸iile ˆın care au loc simplific˘ ari de poli ¸si zerouri ˆıntre G1 ¸si H2 ? Justificat¸i.

Problema 4.18. Exist˘ a sisteme care conectate ˆın react¸ie negativ˘ a s˘ a genereze sisteme instabile?

Problema 4.19. Funct¸ia de transfer ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a a unui sistem este: Tyr (s) =

s2

1 , a ∈ R∗ + as + 1

1. S˘ a se g˘ asesc˘ a H(s). 2. Pentru ce valori ale lui a eroarea stat¸ionar˘ a pentru r(t) = 1(t) este mai mic˘ a de 0.01? 3. Determinat¸i a pentru care timpul tranzitoriu este mai mic de 2s.

K , K ∈ R∗+ printr-o +s+1 react¸ie negativ˘ a unitar˘ a? Dar prin react¸ie pozitiv˘ a unitar˘ a? Problema 4.20. Poate fi stabilizat sistemul

s2

˘ ¸ I STABILIZANTE. 37 4.2. CONEXIUNEA ˆIN REACT ¸ IE. PROPRIETAT Problema 4.21. Poate fi stabilizat un sistem prin react¸ie unitar˘ a pozitiv˘ a?

Problema 4.22. Conectˆ and ˆın paralel sistemele : H1 (s) =

1 s

H2 (s) = −

1 s

rezult˘ a un sistem stabil sau instabil ?

Problema 4.23. Este stabil˘ a conexiunea paralel de mai jos ?

Problema 4.24. De ce conexiunea serie H1 (s) =

s2

2s − 1 + 2s + 1

H2 (s) =

este instabil˘ a ? Conectˆ and ˆın serie H1 (s) = sistemul rezultat stabil ?

1 s

3 2s − 1 cu H2 (s) =

s s2 +s+1

este

1 Problema 4.25. Fie H(s) = s(s+α) . G˘ asit¸i α astfel ˆıncˆ at sistemul ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a s˘ a aib˘ a polii cu Res < −3.

Problema 4.26. Precizat¸i dac˘ a conexiunea ˆın serie a sistemelor H1 (s) = 2s s+1 ¸ s i H (s) = este stabil˘ a sau nu. 2 s+1 s

Problema 4.27. S˘ ase precizeze care din urm˘ atoarele sisteme (rezultante) este stabil: 1. cu H1 (s) = s , H2 (s) =

s+1

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

38

2. 3. 4. 5. cu H1 (s) =

s−1 , H2 (s)

=

s (s+1)2

cu H1 (s) =

s−1 , H2 (s)

=

s+1 , H3 (s)

cu H1 (s) =

s+1 , H2 (s)

=

2 s+3

cu H1 (s) =

s+1 , H2 (s)

=

2s , H3 (s) (s+3)2

=

2 s+3

=

s2 +0.5

Problema 4.28. Un sistem de ordinul 2 stabil poate deveni instabil ˆın urma unei conexiuni ˆın react¸ie negativ˘ a?

Problema 4.29. Fie H(s) strict proprie. Presupunem c˘ a H(s) este stabil˘ a. 1. Exist˘ a Hc (s) astfel ˆıncˆ at sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a s˘ a fie instabil? 2. Un sistem stabil poate fi f˘ acut instabil printr-o react¸ie negativ˘ aunitar˘ a?

Problema 4.30. Este conexiunea serie H1 (s) =

s2

2s + 1 + 2s + 1

instabil˘ a ? Conectˆ and ˆın serie H1 (s) = rezultat stabil ?

H2 (s) = 1 s

3 2s + 1

cu H2 (s) =

s s2 +s+1

Problema 4.31. Este stabil˘ a conexiunea paralel de mai jos ?

este sistemul

˘ ¸ I STABILIZANTE. 39 4.2. CONEXIUNEA ˆIN REACT ¸ IE. PROPRIETAT Problema 4.32. Conectˆ and ˆın serie H1 (s) = sistemul rezultat stabil ? Discut¸ie dup˘ a a.

1 s−a

cu H2 (s) =

s−a s2 +s+1

este

Problema 4.33. Precizat¸i dac˘a sistemul obt¸inut prin cuplare ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a a lui H(s) = s3 +2s22+3s−1 este stabil.

Problema 4.34. Sistemul H(s) = conexiune serie ?

1 s−1

poate fi stabilizat pe stare prin

1 Problema 4.35. Fie H(s) = s(s+α) . G˘ asit¸i α astfel ˆıncˆ at sistemul ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a s˘ a aib˘ a polii cu Res < −3.

Problema 4.36. Conectˆ and ˆın paralel sistemele : H1 (s) =

1 s

H2 (s) = −

1 s

rezult˘ a un sistem stabil sau instabil ?

Problema 4.37. Conectˆ and ˆın serie H1 (s) = sistemul rezultat stabil ? Justificat¸i.

1 s

cu H2 (s) =

Problema 4.38. De ce conexiunea serie : H1 (s) = este instabil˘ a?

s2

s−1 +s+1

H2 (s) =

1 s−1

s s2 +s+1

este

40

4.3

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

Stabilizare prin compensare 2

s −1 Problema 4.39. Pentru H(s) = s3 −3s ¸i num˘ ar˘ atorul ¸si numi2 +3s−1 scriet torul cu care se calculeaz˘ a compensatorul stabilizator.

Problema 4.40. Determinat¸i un compensator stabilizator pentru sistemul s H(s) = . (s + 2)2

Problema 4.41. Se d˘ a aceea¸si configurat¸ie ca la problema precedent˘ a. Pre1 Q supunem c˘ a P (s) = ¸si C = , Q rat¸ional˘ a proprie. Caracterizat¸i s 1 − PQ clasa tuturor Q pentru care sistemul din figur˘ a este intern stabil.

Problema 4.42. Se consider˘ a urm˘ atoarea schem˘ a de stabilizare: Precizat¸i dac˘ a clasa tutror compensatoarelor stabilizante se poate da ˆıntr-o formul˘ a similar˘ a cu cea clasic˘ a ˆın care:

Problema 4.43. Determinat¸i un compensator stabilizator pentru H(s) = s+2 s3 .

1 Problema 4.44. Fie H(s) = s(s+α) . G˘ asit¸i α astfel ˆıncˆ at sistemul ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a s˘ a aib˘ a polii cu Res < −3.

s+1 Problema 4.45. Fie H(s) = s2 +2s+2 . Se cere Hc (s) astfel ˆıncˆ at sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a s˘ a aib˘ a polii: 1, 2, −1 + i, −1 − i.

Problema 4.46. Pentru urm˘ atorul sistem H(s) =

2 s2 − 1

se cere s˘ a se determine un compensator stabilizator astfel ˆıncˆ at Λbi = {−1, −1, −1, −1, −1}.

˘ 4.4. CRITERII DE STABILITATE ˆIN REACTIE INVERSA

41

Problema 4.47. Determinat¸i un compensator stabilizator pentru H(s) = s+2 . s3

2

s −1 Problema 4.48. Pentru H(s) = s3 −3s 2 +3s−1 determinati o factorizare coprima cu care se calculeaz˘ a compensatorul stabilizator.

Problema 4.49. Determinat¸i un compensator stabilizator pentru H(s) = s+2 . s3

4.4

Criterii de stabilitate ˆın reactie invers˘ a

K Problema 4.50. Fie sistemul G(s) = s2 (s+p , K, p1 > 0. Folosind criteriul 1) Nyquist s˘ a se precizeze pentru ce valori ale lui p1 ¸si K sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘a este extern stabil.

Problema 4.51. S˘ a se traseze locul Nyquist pentrru sistemul descris de 1 H(s) = s4 (s+p) , p > 0. S˘ a se precizeze dac˘ a sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este stabil.

Problema 4.52. Trasat¸i hodograful sistemului G(s) = s21−αs , α ∈ R +s+1 ¸si discutat¸i stabilitatea ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a ˆın funct¸ie de α, utilizˆ and criteriul Nyquist. Caz particular α = 1.

Problema 4.53. Trasat¸i hodograful sistemului H(s) = s−2 si analizat¸i s+2 ¸ stabilitatea sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a cu ajutorul criteriului Nyquist.

Problema 4.54. Se consider˘ a un sistem descris de ecuat¸ia diferent¸ial˘ a: d2 y dy du + 3 + 2y = u + . dt2 dt dt

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

42

1. Se cere funct¸ia de transfer a sistemului. 2. S˘ a se precizeze polii ¸si zerourile. 3. S˘ a se stabileasc˘ a prin criteriul lui Nyquist dac˘ a sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este stabil. 1 ¸si discutat¸i +1 stabilitatea conexiunii ˆın react¸ie invers˘ a a lui H cu ajutorul criteriului lui Nyquist.

Problema 4.55.

1. Trasat¸i hodograful lui H(s) =

s3

2. Pot avea dou˘ a sisteme distincte acela¸si hodograf? s+1 . Apreciat¸i stabilitatea sistemului ˆın s2 − s bucl˘ a ˆınchis˘ a cu ajutorul criteriului lui Nyquist.

Problema 4.56. Fie H(s) =

Problema 4.57. S˘ a se discute cu ajutorul criteriului lui Nyquist stabilitatea 1 − αs ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a a sistemului H(s) = 2 . Discut¸ie dup˘ a α ∈ R. s +s+1 Pentru ce valori ale lui α hodogrful lui H(s) trece prin punctul critic?

Problema 4.58. Analizat¸i cu ajutorul criteriului Nyquist stabilitatea ˆın 1 bucl˘ a ˆınchis˘ a a sistemelor H(s) = q , q ≥ 1, q ∈ Z ¸si precizat¸i pentru ce s valori ale lui q avem stabilitate.

Problema 4.59. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemului ˆın circuit inchis pentru Hb (s) = s12 .

Problema 4.60. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemului ˆın circuit ˆınchis pentru : Hb (s) = Verificat¸i ¸si algebric calculˆ and χ0 (s).

1−s s2 + 2s

˘ 4.4. CRITERII DE STABILITATE ˆIN REACTIE INVERSA

43

Problema 4.61. Stiind c˘ a H(s) = s12 este conectat ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a apreciat¸i prin criteriul lui Nyquist stabilitatea ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a.

Problema 4.62. Trasat¸i hodograful sistemului ¸si apreciat¸i prin criteriul lui Nyquist stablitatea ˆın circuit ˆınchis pentru H(s) = s31+s .

Problema 4.63. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemelor ˆın circuit ˆınchis pentru : 1. H(s) =

1 ; s2

2. H(s) =

1−s ; s2 +s

3. H(s) =

1 . 2s2 +3s

Problema 4.64. Se consider˘ a sistemul dat de : H(s) =

k , k>0 s(s + 1)(s + 2)

1. Este stabil ? 2. Trasat¸i hodograful lui H(s). 3. Aplicat¸i criteriul Nyquist de stabilitate ¸si deducet¸i domeniul lui k astfel ˆıncˆ at bucla s˘ a fie stabil˘ a.

Problema 4.65. Aplicat¸i criteriul lui Bode pentru a studia stabilitatea 1 s+5 sistemului H(s) = 20 s2 (s+50) .

Problema 4.66. S˘ ase aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemului ˆın circuit ˆın chis pentru: 1. H1 (s) =

s2 +1

2. H2 (s) =

3−2s s2 +3s

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

44 3. H3 (s) =

s2 (s+1)

4. H4 (s) =

7s2 −s−1 s(s−2)

Problema 4.67. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemelor ˆın circuit ˆınchis pentru : 1. H(s) =

1 s2 ;

2. H(s) =

1−s ; s2 +s

3. H(s) =

1 2s2 +3s .

Problema 4.68. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis1 . temului ˆın circuit inchis pentru H(s) = 3 s +1

Problema 4.69. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemului ˆın circuit ˆınchis pentru : H(s) =

1−s . s2 + 2s

Verificat¸i ¸si algebric calculˆ and polii sistemului in circuit inchis.

Problema 4.70. Trasat¸i hodograful sistemului ¸si apreciat¸i prin criteriul lui 1 Nyquist stablitatea ˆın circuit ˆınchis pentru H(s) = 3 . s +s

Problema 4.71. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sistemelor ˆın circuit ˆınchis pentru : H(s) =

s+2 s−1 1 , T > 0; H(s) = 2 , H(s) = 2 . 2 Ts + s s + 4s + 5 2s + 3s

˘ 4.5. PROBLEMA REGLARII. PRINCIPIUL MODELULUI INTERN. 45 Problema 4.72. S˘ a se aprecieze prin criteriul lui Nyquist stabilitatea sis1 temului ˆın circuit inchis pentru H(s) = 2 . s

Problema 4.73. Daca locul de transfer taie axa reala la stanga punctului critic este sistemul in circuit inchis stabil ?

Problema 4.74. Aplicat¸i criteriul lui Bode pentru a studia stabilitatea 1 s+5 sistemului H(s) = . 20 s2 (s + 50)

4.5

Problema regl˘ arii. tern.

Principiul modelului in-

Problema 4.75. Se consider˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) = s2s−a . +s−2 Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construit¸i un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a.

Problema 4.76. Se consider˘ a sistemul dat de H(s) = e polinom.

p(s) , s4 +λs+1

unde p(s)

1. Pentru ce valori ale lui λ sistemul este stabil? 2. Pentru acele valori λ pentru care sistemul este stabil, s˘ a se scrie clasa compensatoarelor stabilizatoare. 3. In ce condit¸ii exist˘ a un compensator care urm˘ are¸ste o referint¸a˘ treapt˘ a? (condit¸ii asupra lui λ ¸si a polinomului p(s)).

Problema 4.77. Poate fi reglat pentru referint¸a˘ treapt˘ a sistemul P (s) =

1−s s2 + 2s + 2

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

46

folosind un compensator de forma C(s) = Ks , K > 0? Dac˘ a da, determinat¸i un astfel de compensator, ˆın caz contrar, explicat¸i de ce. Ar˘ atat¸i c˘ a pentru orice 0 < K < 2, exist˘ a Q(s) ∈ S, astfel ˆıncˆ at K s˘ a poat˘ a fi scris K=

Problema 4.78. Fie P (s) =

sQ(s) . 1 − P (s)Q(s)

s . (s + 1)2

1. Se cere clasa compensatoarelor stabilizatoare. 2. S˘ a se precizeze subclasa compensatoarelor stabilizatoare care urm˘aresc o referint¸a˘ treapt˘ a unitate. 3. S˘ a se determine un compensator stabilizator care rejecteaz˘ a o perturbat¸ie d(t) = cos 2t.

s . Putet¸i g˘ asi un −1 compensator care s˘ a asigure urm˘ arirea unei referint¸e de tip treapt˘ a?

Problema 4.79.

1. Stabilizat¸i sistemul G(s) =

s2

2. Se consider˘ a sistemul de reglare avˆ and funct¸ia de transfer ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a 2 H(s) = 2 s + 2s + 2 Determinat¸i eroarea stat¸ionar˘ a la r(t) = 1(t). Sistemul ˆın bucl˘ adeschis˘a este stabil?

1. S˘ a se determine un regulator care s˘ a urm˘ areasc˘ ao s+a referint¸a˘ de tip ramp˘ a pentru sistemul P (s) = 2 , a ∈ R. s +s+1 Discut¸ie dup˘ a a.

Problema 4.80.

2. Pentru a = 1 s˘ a se calculeze funct¸ia de transfer a erorii ¸si s˘ a se determine eroarea stat¸ionar˘ a dac˘ a r(t) = 1(t).

Problema 4.81. Fie dubluintegratorul

1 . s2

˘ 4.5. PROBLEMA REGLARII. PRINCIPIUL MODELULUI INTERN. 47 1. Justificat¸i denumirea sistemului. 2. Determinat¸i clasa tuturor compensatoarelor stabilizatoare. 3. Determinat¸i un regulator care s˘ a urm˘ areasc˘ a o referint¸a˘ tip treapt˘ a.

Problema 4.82. Se consider˘ a urm˘ atoarea schem˘ a de reglare: s+1 unde P (s) = 2 . s +1 1. Determinat¸i un compensator stabilizator. 2. Dac˘ a C(s) =

K , K > 0, urm˘ are¸ste ie¸sirea y o referint¸a˘ treapt˘ a? s

Problema 4.83. Se consider˘ a sistemul 1 Q cu P fixat, P (s) = , a ∈ R ¸si C = , Q rat¸ional˘ a proprie. s+a 1 − PQ 1. Caracterizat¸i clasa Q pentru care sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este intrn stabil, atunci cˆ and a > 0. 2. Se cere clasa Q pentru care sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este intern stabil pentru a ≤ 0. 3. Exist˘ a Q care asigur˘ a urm˘arirea unei trepte unitare 1(t)? In caz afirmativ, determinat¸i Q, ˆın caz negativ, justificat¸i. Discut¸ie dup˘ a a ∈ R. 4. Exist˘ a Q care asigur˘ a urm˘ arirea unei tepte unitare 1(t) ¸si reject¸ia perturbat¸iei tot 1(t)? Discut¸ie dup˘ a a ∈ R. In ce condit¸ii problema regl˘ arii structural stabile are solut¸ie? Discut¸ie dup˘ a a ∈ R.

Problema 4.84. Se consider˘ a urm˘ atorul sistem: a ¸si Demonstrat¸i sau infirmat¸i: dac˘a r(t) = 1(t), atunci lim (t) = 0 dac˘ t→∞ 1 numai dac˘ a are cel put¸in un zerou ˆın origine. 1 + PC

Problema 4.85. Se consider˘ a urm˘ atoarea schem˘ a de reglare:

48

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA 1. Calculat¸i funct¸ia de transfer a erorii ¸si a sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a. 2. Determinat¸i K > 0, astfel ca st < 0.01. Poate fi g˘ asit K > 0?

Problema 4.86. Fie sistemul H(s) =

3 . s−2

1. Indicat¸i o schem˘ a care stabilizeaz˘ asistemul (f˘ ar˘ a calcul). 2. Determinat¸i un regulator care rejecteaz˘ a perturbat¸ii de forma d(t) = t · 1(t). 3. Determinat¸i un regulator care s˘ a urm˘ areasc˘ a o referint¸a˘ de tip treapt˘ a ¸si care s˘ a aloce ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a polii ˆın {−1, −1, −1}. Problema 4.87. Demonstrat¸i sau infirmat¸i urm˘ atoarea afirmat¸ie, considerˆ and diverse cazuri relevante: un sistem de ordinul II instabil poate rejecta o perturbat¸ie sinusoidal˘ a, poate urm˘ ari simultan o referint¸a˘ treapt˘ a folosind o configurat¸ie cu react¸ie negativ˘ a ¸si un regulator constant C(s) = K.

Problema 4.88. Poate fi reglat la referint¸ua sinusoidal˘ a r(t) = sin 2t sistemul s+2 H(s) = 2 ? Dac˘a da, se cere o schem˘ a simpl˘ a de reglare. Dac˘ a nu, s +4 argumentat¸i.

Problema 4.89. Se consider˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) =

s2

s−a +s−2

Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentru marimi exogene de tip treapt˘ a? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construit¸i un regulator care sa urmareasca o referinta de tip treapt˘ a.

Problema 4.90. Poate fi reglat la referint¸a˘ treapt˘ a sistemul H(s) = ?

s s2 +1

˘ 4.5. PROBLEMA REGLARII. PRINCIPIUL MODELULUI INTERN. 49 1 Problema 4.91. Pentru sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) = s+1 construit¸i un regulator de ordinul unu pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a.

Problema 4.92. Pentru sistemul descris prin funct¸ia de transfer H(s) =

1 s

construit¸i un regulator pentru marimi exogene de tip treapt˘ a.

Problema 4.93.

1. Se consider˘ a sistemul avˆ and funct¸ia pondere : h(t) = e−t sin t.

Este stabil ? 2. Construit¸i un regulator pentru referinta de tip treapt˘ a.

Problema 4.94. Funct¸ia de transfer ˆın circuit ˆınchis a unui sistem este H0 (s). Determinat¸i funct¸ia de transfer a erorii H (s).

Problema 4.95. Pentru sistemul descris prin funct¸ia de transfer H(s) =

1 s

construit¸i un regulator pentru referinta de tip treapt˘ a care ˆın bucla inchisa aloc˘ a polii ˆın Λbi = {−2, −2, −1}. Problema 4.96. Se consider˘ a sistemul descris de H(s) = ss+1 S˘ a se 2 +1 . determine un regulator care rejecteaza perturbatii de tip treapta.

Problema 4.97. Sistemul H(s) = ¸si d(t) = 0 ?

s2 (s+1)10

poate fi reglat pentru r(t) = 1(t)

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

50

Problema 4.98. Se consider˘ a sistemul H(s) =

1 s+3

Se cere: 1. S˘ a se construiasc˘ a un regulator (referint¸a˘ de tip treapt˘ a) care s˘ a asigure Λbi = {−1, −1, −2} . 2. S˘ a se scrie funct¸iile de transfer ale regulatorului ¸si ale sistemului rezultant.

Problema 4.99. Se consider˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) =

s2

s−a +s−2

Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construit¸i un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a.

Problema 4.100. Dac˘ a avet¸i un proces descris de : H(s) =

1 (s + 1)(s + 2)

cum putet¸i stabili un compensator stabilizator care s˘ a asigure urm˘ arirea referint¸ei de tip treapt˘ a?

Problema 4.101. Cum at¸i proceda dac˘ a s-ar cere s˘ a g˘ asit¸i un compensator stabilizator ¸si care s˘ a urm˘ areasc˘ a o referint¸a˘ de tip treapt˘ a pentru un proces s s2 de forma : H(s) = s+2 ? Dar pentru H(s) = (s+10) ? 10

Problema 4.102. Pentru sistemul descris prin funct¸ia de transfer H(s) =

1 s

construit¸i un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a care aloc˘ a polii ˆın {−2, −2, −1}.

˘ 4.5. PROBLEMA REGLARII. PRINCIPIUL MODELULUI INTERN. 51 Problema 4.103. Se consider˘ a sistemul descris de H(s) = determine un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a.

s+1 . s2 +1

S˘ a se

Problema 4.104. Se consider˘ a sistemul H(s) =

1 s+3

Se cere: 1. S˘ a se construiasc˘ a un regulator(referint¸a˘ treapt˘ a) care s˘ a asigure Λd = {−1, −1, −2} . 2. S˘ a se scrie funct¸ia de transfer a regulatorului cˆ at ¸si a sistemului rezultant.

Problema 4.105. Pentru urm˘ atorul sistem H(s) =

s2

2 −1

se cere s˘ a se proiecteze un regulator astfel ˆıncˆ at Λd = {−1, −1, −1, −2, −3} .

Problema 4.106. Fie H(s) = (s+1)s+2 2 (s−1) . Se cere un compensator stabilizator ¸si regulator (pentru referint¸a˘ treapt˘ a) astfel ˆıncˆ at χ(s) = (s + 1)7 .

Problema 4.107. Funct¸ionarea unui motor continuu poate fi caracterizat˘ aprin intermediul urm˘ atoarei ecuat¸ii diferent¸iale: J θ¨ + (b +

Kt Ke ˙ Kt θ= ua Ra Ra

(4.1)

unde J = 0.01kg ∗ m2 , Ke = 0.02V ∗ s, Kt = 1N ∗ m/A, Ra = 10Ω. 1. S˘ a se determine funct¸ia de transfer de la tensiunea aplicat˘ a ua la viteza ˙ unghiular˘ a a motorului θ.

52

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA 2. Care este viteza unghiular˘ a stat¸ionar˘ a (regimul permanent) a motorului atunci cˆ and se aplic˘ a tensiunea ua = 10V ? 3. S˘ ase determine funct¸ia de transfer de la tensiunea aplicat˘ a la deplasarea ungiular˘ a θ.

Problema 4.108. Schema de reglare a vitezei unui motor c.c. este ilustrat˘ a ˆın figura de mai jos: Aici vn este tensiunea de alimentare(comand˘ a), y este

viteza unghiular˘ a(ie¸sire), iar w reprezint˘ a sarcina (perturbat¸ie); A ¸si B sunt constante reale strict pozitive; p(s) = (τ1 s + 1)(τ2 s + 1). a deschis˘ a. 1. Calculat¸i y(s) ˆın funct¸ie de va ¸si w ˆın bucl˘ 2. Considerˆ and referint¸a ¸si perturbat¸ia de tip treapt˘ a unitar˘ a, proiectat¸i un compensator stabilizator ¸si un regulator. 3. S˘ ase calculeze funct¸ia de transfer Hc (s), va (s) = Hc (s)e(s). Valori numerice : τ1 = 1, τ2 = 2, A = 2, B = 1.

Problema 4.109. Se consider˘ a sistemul: H(s) =

2(s − 1) s(s2 + 1)

(4.2)

S˘ ase determine un compensator stabilizator , Hc , pentru sistemul H astfel ˆıncˆ at s˘ ase asigure urm˘ arirea unei referint¸e yr (t) = t ˆın prezent¸a unei perturbat¸ii v(t) = cos t.

Problema 4.110. Se consider˘ a sistemul: H(s) =

s+1 s2 + 3s

(4.3)

1. S˘ a se determine un compensator stabilizator, Hc , care, ˆın plus, s˘ a asigure satisfacerea condit¸iei limt→∞ y(t) = 0 ˆın prezent¸a unei perturbat¸ii la intrare d(t) = 2 sin(t + π/3).

˘ 4.5. PROBLEMA REGLARII. PRINCIPIUL MODELULUI INTERN. 53 2. Pentru sistemul rezultant (obt¸inut la punctul anterior) s˘ a se determine care este eroarea stat¸ionar˘ ala intrarea: (a) u(t) = t (b) u(t) = 1(t)

54

˘ CAPITOLUL 4. SISTEME ˆIN REACT ¸ IE INVERSA

Capitolul 5

Sisteme robuste

55

56

CAPITOLUL 5. SISTEME ROBUSTE

Capitolul 6

Tehnici avansate de sintez˘ a ˆın frecvent¸˘ a Problema 6.1. 1. Calculat¸i normele L2 ¸si L∞ ale sistemului H(s) = 1 . (s − 1)(s − a) 2. S˘ a se ilustreze cantitativ dou˘ a limit˘ ari de proiectare pentru sistemul s−3 G(s) = (s + 1)(s − 2)(s + 3) 1 , C(s) = K, F (s) = 1. G˘ asit¸i K ≥ 0 10s + 1 cel mai mic posibil, astfel ˆıncˆ at:

Problema 6.2. Fie P (s) =

1. Sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a s˘ a fie intern stabil. 2. |(∞)| ≤ 0.01, pentru r(t) = 1(t), d(t) = 0. 3. kyk∞ ≤ 0.1, (∀)d, kdk∞ ≤ 1. s−4 . S˘ a se studieze dac˘ a exist˘ a (s − 1)(0.1s + 1) un regulator care stabilizeaz˘ a intern ¸si asigur˘ a margine M V > 0.7.

Problema 6.3. Fie P (s) =

57

˘ ˆIN FRECVENT ˘ 58CAPITOLUL 6. TEHNICI AVANSATE DE SINTEZA ¸A Problema 6.4. Calculat¸i normele L2 ¸si L∞ ale sistemului G(s) = folosind metode de stare.

1 , s+3

5s + 1 . Se ¸stie c˘ a (s − 1)(s − 2) pentru acest sistem exist˘ a o react¸ie dup˘ a stare F , astfel ˆıncˆ at sistemul rezultat s˘ a aib˘ a urm˘ atoarea peoprietate: |S(jω)| < 1, (∀)ω. Este acest fapt ˆın dezacord cu cele noua rezultate privind...? De ce? Problema 6.5. Se consider˘ a sistemul P (s) =

Problema 6.6. Fie P (s) =

1 ¸si C(s) = K, K > 0. s−1

1. Determinat¸i un compensator C(s), astfel ˆıncˆ at M V > 1 ¸si eroarea stat¸ionar˘ a la referint¸a˘ trepat˘ a s˘ a fie mai mic˘ a strict decˆ at 0.1. 2. Pentru K = 2, determinat¸i marginea de faz˘ a pentru sistemul P (s)C(s). 3. Determinat¸i o margine inferioar˘ a pentru kWT k∞ , unde s+1 WT (s) = . s + 100

Problema 6.7. Fie P (s) = astfel ˆıncˆ at |S(3j)| =  < 1.

1 ¸si C(s) un compensator stabilizator s2 + s + 1

1. Determinat¸i o margine inferioar˘ a pentru |C(3j)|. 2. Ce putet¸i spune despre |C(3j)| dac˘ a se dore¸ste urm˘ arirea unei referint¸e de forma r(t) = sin 3t, cu o eroare stat¸ionar˘ a cˆ at mai mic˘ a: st = 0.1 sau st = 0.01.

Problema 6.8. Determinat¸i norma L∞ a sistemului H(s) = Aceea¸si problem˘ a pentru G(s) =

s2

1 . −s−2

Problema 6.9. Fie sistemul Pa (s) =

1 , 1 ≤ a ≤ 3. s2 + as + 2

s2

1 . + 3s + 2

59 1. Modelat¸i sistemul Pa ˆın forma Pa (s) =

P (s) , k∆k∞ ≤ 1. 1 + ∆(s)W2 (s)P (s)

Determinat¸i P (s) ¸si W2 (s). 2. Condit¸ia de stabilitate robust˘ a pentru acest model de incertitudine este kW2 P k∞ ≤ 1. Considerˆ and un compensator C(s) = K > 0, s˘ a se dea o interpretare grafic˘ a ˆın planul Nyquist a condit¸iei de mai sus.

Problema 6.10. Determinat¸i un sistem (o rat¸ional˘ a) de faz˘ a minim˘ a L(s) cu propriet˘ a¸tile:  |L(jω)| ≥ 20, 0 ≤ ω ≤ 0.1 . |L(jω)| ≤ 0.05, 10 ≤ ω < ∞ Trasat¸i diagramele Bode ¸si ˆıncercat¸i s˘ a estimat¸i ωT ¸si arg L(jωT ).

Problema 6.11. Propunet¸i o metod˘ a de proiectare a unui regulator care s˘ a asigure liniaritatea normei L2 a comenzii u.

˘ ˆIN FRECVENT ˘ 60CAPITOLUL 6. TEHNICI AVANSATE DE SINTEZA ¸A

Capitolul 7

Sisteme dinamice ˆın spat¸iul st˘ arilor 7.1

Generalit˘ a¸ti. Genez˘ a. Modele ¸si exemple.

7.2

Evolut¸ii

Problema 7.1. Pentru sistemul x˙ = Ax + Bu cu     −1 1 0 0 A =  0 −2 0  , B =  0  0 0 −1 1

(7.1) 

 1 calculat¸i eAt ¸si scriet¸i care este evolut¸ia liber˘ a pentru x0 =  0 . Scriet¸i 1 care este evolut¸ia fort¸at˘ a pentru u(t) = 1(t).

Problema 7.2. Se consider˘ a ecuat¸ia : y¨(t) + 4y(t) ˙ + 2y(t) = u(t)

(7.2) 1

S˘ a se g˘ aseasc˘ a A, b, c, x(t) astfel ˆıncˆ at u ¸si y din ecut¸ia ?? s˘ a fie intrarea, respectiv ie¸sirea sistemului :  x˙ = Ax + bu (7.3) y = cx 61

62

˘ CAPITOLUL 7. SISTEME DINAMICE ˆIN SPAT ¸ IUL STARILOR 2

S˘ a se calculeze funct¸ia de transfer a2sistemului ??. Este acesta stabil ? Se cere r˘ aspunsul fort ¸at al sistemului ?? la intrare treapt˘ a. Comparat¸i-l cu 1 solut¸ia ecuat¸iei ?? pentru u(t) = 1(t) ¸si y(t) ˙ = y(t) = 0.

Problema 7.3. Se consider˘ a sistemul liniar avˆ and :     −1 0 0 0 1 A =  0 1 0  B= 1 0  0 0  0 0 2 C = 1 0 1 .

(7.4)

Se cer :

1. Matricea de tranzit¸ie a st˘ arilor, matricea pondere ¸si matricea de transfer.   0 . 2. S˘ a se calculeze r˘ aspunsul liber ¸si r˘ aspunsul fort¸at pentru u1 (t) = 1(t)   sint Care este r˘ aspunsul liber pentru u2 (t) = ? t2 Problema 7.4. Fie sistemul liniar cu     −1 1 −1 A= B= 0 1 1

(7.5)

S˘ a seexpliciteze evolut¸ia fort¸at˘ a ¸si liber˘ a a sistemului. Dac˘ a  C = 1 0 , care este r˘ aspunsul fort¸at pentru u(t) = 1(t) ? Problema 7.5. S˘ a se scrie explicit(funct¸ie de timp) evolut¸ia liber˘ a ¸si cea fort¸at˘ a cˆ at ¸si r˘ aspunsul liber ¸si cel fort¸at, la intrare treapt˘ a, respectiv impuls, pentru urm˘ atorul sistem :       0 0 0 1 1 A =  1 0 0  b =  0  , cu x(0) =  2  (7.6) 1 1  0 1 0 c = 0 1 0

63

7.2. EVOLUT ¸ II Problema 7.6. Pentru sistemul x˙ = Ax + Bu cu     −1 1 0 0 A =  0 −1 0  , B =  0  0 0 −2 1

(7.7) 

 0 calculat¸i eAt ¸si scriet¸i care este evolut¸ia liber˘ a pentru x0 =  1 . Scriet¸i 1 care este evolut¸ia fort¸at˘ a pentru u(t) = 1(t).

Problema 7.7. Pentru 

x˙ = Ax + Bu y = Cx       0 1 0 1 0 1 0 0 A= 0 0 1  B= 0 1  C= 0 1 0 0 0 0 0 0

(7.8)

(7.9)

Scriet¸i explicit r˘ aspunsul liber ¸si r˘ aspunsul fort¸at al sistemului.

Problema 7.8. Sistemul ln(t + 2), t > 0?



x˙ = x + u are r˘ aspuns fort¸at pentru u(t) = y=x

Problema 7.9. Pentru x˙ = Ax + Bu unde     0 1 0 1 0 A =  0 0 1 B =  0 1  0 0 0 0 0

(7.10)

scriet¸i explicit evolut¸ia (liber˘ a + fort¸at˘ a) a sistemului.

Problema 7.10. Precizat¸i dac˘ a exist˘ a un sistem liniar care are evolut¸iile libere de tipul   1  tlnt 0 x0 cu t > 0 (7.11) x(t) = x20 0 t Dac˘ a da precizat¸i-l.

64

˘ CAPITOLUL 7. SISTEME DINAMICE ˆIN SPAT ¸ IUL STARILOR

Problema 7.11. Pentru sistemul  0 1 0  0 0 1 A=  0 0 0 0 0 0

x˙ = Ax + Bu cu   0 1  0 0   B=  0 1  0 0 

 0 0   0  1

(7.12)

 0  1   calculat¸i evolut¸ia liber˘ a pentru x0 =  a pentru u(t) =  0  ¸si evolut¸ia fort¸at˘ 0   1 1(t). 0 Problema 7.12. Este xk+1 = Axk pentru   0 1   .. ..   . .  ∈ Rn×n A=   . .  . 1  0

(7.13)

stabil ? Dac˘ a da, ˆın cˆ a¸ti pa¸si ajunge ˆın origine ?

7.3

Echivalent¸˘ a

7.4

Stabilitate. Regim permanent ¸si tranzitoriu. 

 −1 0 0 Problema 7.13. Este stabil sistemul x˙ = Ax + Bu cu A =  0 2 3  0 4 1 ?

Problema 7.14. xk+1 = Axk , A =



 1 2 . Este sistemul stabil ? 0 4

7.4. STABILITATE. REGIM PERMANENT S ¸ I TRANZITORIU. Problema 7.15. Este sistemul x˙ = Ax  −1 0 0  0 −1 −2  A=  1 −3 −4  2 4 6−1 3 5 7

cu 0 0 0 0 0 0 0 8 −2



   stabil?  

65

(7.14)



 −1 10 11 12  0 −1 1 13   Problema 7.16. Este stabil sistemul x˙ = Ax cu A =   0 −1 −1 14  0 0 0 −2 ? Argumentat¸i prin simpla inspct¸ie. Problema 7.17. Se consider˘ a sistemul liniar pentru care     1 1 −1 −1 A =  −3 −4 −3  b =  0  . (7.15) 0 4 7 6   1 0 0 c= −1 0 0   −1 0 0 Se ¸stie de asemenea c˘ a T A−1 T −1 = Aˆ =  0 2 0 , unde T −1 = 0 1 2   0 −2 1  1 1 0 . Se cer : −1 0 −1 1. Analizat¸i stabilitatea sistemului.

2. Matricea de tranzit¸ie a st˘ arilor, matricea pondere ¸si matricea de transfer. 3. Explicitat¸i r˘ asunsul liber ¸si r˘ aspunsul fort¸at. Problema 7.18. Scriet¸i r˘ aspunsul permanent al sistemului :       −1 0 2 A= , B= , C= 0 1 0 −3 0 pentru u(t) = e2jt .

(7.16)

66

˘ CAPITOLUL 7. SISTEME DINAMICE ˆIN SPAT ¸ IUL STARILOR

Capitolul 8

Propriet˘ a¸ti structurale 8.1

Controlabilitate. Observabilitate.

Problema 8.1. Pentru sistemul descris de (A, B, C), ˆın care din situat¸iile urm˘ atoare sistemul este observabil ? 1. Dac˘ a pentru orice init¸ializare x pentru care sistemul evolueaz˘ a liber ˆın origine, ie¸sirea este identic nul˘ a. 2. Dac˘ a pentru orice init¸ializare, ˆın absent¸a comenzii, ie¸sirea sistemului este identic nul˘ a. 3. Dac˘ a pentru orice init¸ializare diferit˘ a de origine, ˆın absent¸a comenzii, ie¸sirea s˘ a nu fie identic nul˘ a.

Problema 8.2. Pentru un sistem de dimensiune n descris de (A, B, C) ˆın care din situat¸iile urm˘ atoare realizarea este controlabil˘ a? 1. Dac˘ a pentru o stare x exist˘ a n comenzi admisibile care conduc sistemul din origine ˆın starea x. 2. Dac˘ a pentru orice init¸ializare x sistemul evolueaz˘ a liber ˆın origine. 3. Dac˘ a pentru orice stare x exist˘ a o comand˘ a u care determin˘ a evolut¸ia sistemului din starea init¸ial˘ a ˆın starea x.

67

68

˘ ¸ I STRUCTURALE CAPITOLUL 8. PROPRIETAT

Problema 8.3. Se consider˘ a urm˘ atoarea realizare ˆın spat¸iul st˘ arilor :     0 1 0 0 A =  1 0 −2  b =  1  (8.1) 0  1 1 0 c = 0 1 2   Este starea xT1 = 1 1 1 controlabil˘ a? Dar starea xT2 =  0 0 2 ? Justificat¸i r˘ aspunsurile. Problema 8.4. Fie G(s) matricea de transfer a unui sistem liniar cu m intr˘ ari ¸si p ie¸siri (m > 1 ¸si p > 1). Ar˘ atat¸i c˘ a o RSC a lui G(s) este controlabil˘ a. Ar˘ atat¸i c˘ a o RSO a lui G(s) este observabil˘ a.

Problema 8.5. Este controlabil˘ a realizarea ? Dar stabil˘ a?     1 0 0 0 A =  −1 −1 −1  B =  1  1 0 2 1

(8.2)

Problema 8.6. Enunt¸at¸i condit¸ii necesare ¸si suficiente ca o realizare s˘a fie controlabil˘ a ¸si observabil˘ a.

Problema 8.7. S˘ a se scrie o realizare standard observabil˘ a pentru " # T (s) =

Problema  0  1  A=  2  3 4

1 s 1 s+1

1 s2 1 (s+1)2

(8.3)

8.8. Este perechea  5 10 0 0   6 11 0 0   1 2 3 0 0 7 12 0 0  , C = observabil˘ a? (8.4)  4 5 6 0 0  8 13 15 0 9 14 16 17

8.1. CONTROLABILITATE. OBSERVABILITATE.

69

Problema 8.9. Un sistem controlabil poate fi instabil ? Dar unul observabil ?

Problema 8.10. O realizare minimal˘ a este ˆın mod necesar observabil˘ a?

Problema 8.11. Dac˘ a perechea (C, A) este observabil˘ a ce putet¸i spune despre observabilitatea perechii (C, A + 2In )?

Problema 8.12. Precizat¸i f˘ ar˘ a nici un calcul dac˘ a perechea     0 1 1 0    A = 0 0 −1 , B = 1  0 0 3 0

este controlabil˘ a.



   0 1 3 0 0 1   Problema 8.13. Precizat¸i dac˘ a perechea A = 0 0 4 ,C= 1 0 2 −1 0 1 este observabil˘ a.

Problema 8.14. Demonstrat¸i c˘ a perechea (A, B) este controlabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a: 1. (A−BK, B) este controlabil˘ a pentru orice K de dimensiune potrivit˘ a. 2. Nu exist˘ a nici un vector propriu la stˆ anga lui A care este ortogonal cu toate coloanele lui B.

Problema 8.15. Probat¸i sau infirmat¸i: ”Dac˘ a (A, B) este controlabil˘ a atunci exist˘ a ˆıntotdeauna un vector q, astfel ˆıncˆ at (A, Bq) s˘ a fie controlabil˘ a.”

70

˘ ¸ I STRUCTURALE CAPITOLUL 8. PROPRIETAT

 A Problema 8.16. Se d˘ a perechea (A, B) controlabil˘ a. Fie F = C    B . Ar˘ atat¸i c˘ a (F, G) este controlabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a 0 este surjectiv˘ a.

 0 , G= 0  A B C 0

Problema 8.17. Se consider˘ a un sistem SISO. Presupunem c˘ a   pn−1 (s) 1   .. −1 (sI − A) b =  . . a(s) p0 (s)

Ar˘ atat¸i c˘ a r˘ ad˘ acinile comune ale celor n + 1 polinoame dau modurile necontrolabile ale perechii (A, b).

Problema 8.18. Fie (A, b, cT1 ) ¸si (A, b, cT2 ) dou˘ a realiz˘ ari controlabile, astfel ˆıncˆ at cT1 (sI − A)−1 b = cT2 (sI − A)−1 b. Ar˘ atat¸i c˘ a c1 = c2 .



  λ 1 0 Problema 8.19. Ar˘atat¸i c˘ a perechea  0 λ 1  , b cu b oarecare nu 0 0 λ este controlabil˘ a. Ce putet¸i spune despre stabilizabilitatea acesteia?



   −1 0 0 Problema 8.20. Fie A = , b= . Este posibil s˘ a alegem 0 2 1 cT , astfel ˆıncˆ at (cT , A) s˘ a fie observabil˘ a?

Problema 8.21. Demonstrat¸i c˘ a perecheaa (A, B), A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m este controlabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a (A − BF, B) este controlabil˘ a, (∀)F ∈ Rm×n .

˘ 8.2. DESCOMPUNERE STRUCTURALA

8.2

Descompunere structural˘ a

8.3

Realizabilitate

71

Problema 8.22. S˘ a se scrie cˆ ate o realizare de stare pentru sistemele descrise prin urm˘ atoarele funct¸ii de transfer specificˆ andu-se pentru fiecare sistem num˘ arul de intr˘ ari, de ie¸siri ¸si ordinul realiz˘ arii minimale : 1. H(s) =

s+2 s+1 ;

2. H(s) =

s−1 s3 −2s+1 ;

3. T (s) =

 

 4. T (s) = 

1 s

1

s+1 s2 −s 1 s2

1 s s 2 s +s s2 s2 −s

s+2 s2 s−1 s2 +s

 ;



 .

Problema 8.23. Se consider˘ a sistemul liniar dat de :     −1 0 0 0 0  0 0 0 −1   1     A =   1 1 0 1  B= 0  0  1 0 0 −1 C = 1 1 0 1 .

(8.5)

1. Este stabil sistemul ?

2. Este controlabil ? Dar observabil ? 3. Determinat¸i partea minimal˘ a. 4. Scriet¸i funct¸ia de transfer ¸si propunet¸i o alt˘ a realizare.

1 si H2 (s) = s2 +3s+2 . Scriet¸i cˆ ate o reaProblema 8.24. Fie H1 (s) = s+1 s−1 ¸ lizare de stare pentru cele dou˘ a funct¸ii de transfer de mai sus. Se cer de    H1 asemenea realiz˘ ari pentru H1 + 3H2 ; ; H2 1 ; H1−1 . Exist˘ a −H2 ˆıntre acestea realiz˘ ari care nu sunt minimale ? Dac˘ a da, determinat¸i p˘ art¸ile minimale ale realiz˘ arilor de stare respective.

˘ ¸ I STRUCTURALE CAPITOLUL 8. PROPRIETAT

72

Problema 8.25. Scriet¸i o realizare de stare pentru sistemul descris prin matricea de transfer  s s+1  s+1 s−1 T (s) = . (8.6) 1 1 s

s+1

Problema 8.26. Scriet¸i o realizare de stare pentru H(s) =

Problema 8.27. S˘ a se scrie o realizare de stare pentru : " 2 # T (s) =

s s2 −1 1 s+1

1 s s s+2

Problema 8.28. Se d˘ a sistemul H(s) =

1 s−1 1 s

s−1 . s3 +2s+1

(8.7)

s+1 . s2 −s−2

1. Este sistemul stabil ? 2. Propunet¸i o realizare. Este aceasta observabil˘ a?

Problema 8.29. Dˆ andu-se sistemul  1 1 2  0 1 0 A =   0 0 3  0 0 0 C = 0 2 0

  2 2   2  1 B=  0 3  3 0 2

   

(8.8)

selectat¸i partea minimal˘ a ¸si scriet¸i funct¸ia de transfer a sistemului (A, B, C).

Problema 8.30. Scriet¸i o realizare pentru: s−α . Discut¸ie dup˘ a α ∈ R astfel ˆıncˆ at realizarea s3 − 3s2 + 3s − 1 scris˘ a s˘ a fie minimal˘ a. h 2 i 1 2. T (s) = s2s−1 s+2 . Este aceast˘ a realizare minimal˘ a? 1. H(s) =

73

8.3. REALIZABILITATE Problema 8.31. Scriet¸i o realizare de stare pentru: " # 1 1 1 2 s s T (s) = . 1 1 s+1 (s+1)2 1



   λ 1 0 1 Problema 8.32. Fie sistemul cu A =  0 λ 1  , b =  0  , cT = 0 0 λ −1   γ1 γ2 γ3 , λ ∈ R dat. Se cer condit¸ii asupra lui γ1 , γ2 , γ3 ∈ R, astfel ˆıncˆ at (A, b, cT ) s˘ a fie o realizare minimal˘ a. Problema 8.33. Fie sistemul y = T · u, T = (A, B, C, D), cu matricea D inversabil˘ a. Scriet¸i o realizare pentru T −1 , u = T −1 · y. Problema 8.34. Scriet¸i orealizare de stare pentru sistemul:  s−1 s 1  2 +1 s s s T (s) = 1 1 2 2 s+1 s −1

Problema 8.35. Fie sistemul T (s) =

p(s) , ∂p ≤ ∂q. q(s)

a se precizeze dimensiunea 1. Pentru p(s) = s + 3 ¸si q(s) = (s2 + 2s + 2)s s˘ unei realiz˘ ari minimale ¸si s˘ a se scrie o astfel de realizare minimal˘ a. 2. Pentru p(s) = s + a ¸si q(s) = (s2 + 2s + 2)s s˘ a se precizeze dimensiunea unei realiz˘ ari minimale. Discut¸ie dup˘ a a ∈ R. 3. Demonstrat¸i sau infirmat¸i urm˘ atoarea afirmat¸ie: ”Dac˘ a p(s) ¸si q(s) sunt coprime, atunci realizarea standard controlabil˘ a este ˆıntotdeauna minimal˘ a.”

Problema 8.36. Se consider˘ a un sistem SISO, dat de funct¸ia de transfer r(s) T (s) = p(s) , cu cele dou˘ a polinoame coprime.

74

˘ ¸ I STRUCTURALE CAPITOLUL 8. PROPRIETAT 1. Scriet¸i o realizare standard controlabil˘ a. 2. Demonstrat¸i sau infirmat¸i: ”Realizarea de la punctul anterior este ˆıntotdeauna observabil˘ a.” 3. Demonstrat¸i sau infirmat¸i: ”Rezultatul de la punctul anterior se poate extinde la sisteme SIMO.” 4. Demonstrat¸i sau infirmat¸i: ”Rezultatul de la punctul anterior se poate extinde la sisteme MISO.”

Problema 8.37. Fie T (s) un sistem ¸si fie (Ac , Bc , Cc , Dc ) o realizare standard controlabil˘ a ¸si (Ao , Bo , Co , Do ) o realizare standard observabil˘ a. Demonstrat¸i sau infirmat¸i urm˘ atorul enunt¸: ”Cele dou˘ a realiz˘ ari sunt ˆıntotdeauna echivalente: a) SISO; b) MIMO.”

Problema 8.38. Fie sistemul H(s) = 10? Dac˘ a da, scriet¸i una.

1 . Exist˘ a o realizare de ordin s+1

Problema 8.39. Se d˘ a sistemul (A, B, C, D) minimal ¸si cu D inversabil˘ a. Scriet¸i o realizare pentru inversul sistemului ¸si studiat¸i dac˘ a este minimal˘ a.

Problema 8.40. Ce leg˘ atur˘ a exist˘ a ˆıntre toate realiz˘ arile minimale ale unei funct¸ii de transfer H(s).

Problema 8.41. Scriet¸i o realizare pentru T (s) =



1 s2 s s+1

Problema 8.42. S˘ a se scrie o realizare de stare pentru  1 1  s T (s) = 1 s12 s

s+1

 .

(8.9)

75

8.4. CONEXIUNI

8.4

Conexiuni

Problema 8.43. Conectˆ and ˆın serie H1 (s) = sistemul rezultat stabil pe stare ?

1 s

cu H2 (s) =

s s2 +s+1

este

Problema 8.44. Explicat¸i, folosind reprezentarea pe stare, de ce conexiu2s − 1 3 nea serie a sistemelor H1 (s) = ¸si H2 (s) = este instabil˘ a. 2 (s + 1) 2s − 1 Problema 8.45. De ce conexiunea serie : H1 (s) =

s−1 s2 + s + 1

H2 (s) =

1 s−1

(8.10)

este instabil˘ a pe stare ?

Problema 8.46.

1. De ce conexiunea serie H1 (s) =

2s − 1 s2 + 2s + 1

H2 (s) =

3 2s − 1

(8.11)

este instabil˘ a pe stare ? 2. Poate avea un sistem instabil funct¸ia de transfer stabil˘ a.

8.5

Elemente structurale ale matricelor de transfer rat¸ionale

76

˘ ¸ I STRUCTURALE CAPITOLUL 8. PROPRIETAT

Capitolul 9

Metode de sintez˘ a elementar˘ a 9.1

Compensare dinamic˘ a

9.2

Lege de comand˘ a. Problema stabiliz˘ arii. Problema aloc˘ arii.

Problema 9.1. Se consider˘ a urm˘ atoarea realizare :    −1 0 2 4  2 −3 1 3    B= A =   0   0 2 0 0 0 1  0 C = 0 0 1 1

 0 0   1  0

(9.1)

1. Precizat¸i care este dimensiunea subspat¸iului observabil ¸si dac˘ a realizarea este observabil˘ a.

2. Este detectabil˘ a realizarea de la punctul anterior ?

Problema 9.2. Not¸iunea de detectabilitate este duala c˘ areia dintre urm˘ atoarele not¸iuni ? 1. controlabilitate; 2. stabilizabilitate; 77

78

˘ ELEMENTARA ˘ CAPITOLUL 9. METODE DE SINTEZA 3. alocabilitate.

Problema 9.3. Este urm˘ atoarea realizare observabil˘ a?     0 1 0 A = b= 0 −2 1   c = 1 0

(9.2)

Dar detectabil˘ a? Justificat¸i r˘ aspunsurile.

Problema 9.4. Se consider˘ a sistemul caracterizat prin urm˘ atoarea realizare ˆın spat¸iul st˘ arilor :     0 −1 1 1    b= 0  A = 1 1 0 (9.3) 1  0 1 0 c = 0 0 1

1. Proiectat¸i un compensator stabilizator astfel ˆıncˆ at sistemul rezultant s˘ a aib˘ a spectrul Λ = {−1, −1, −2}.

2. Scriet¸i explicit care sunt ecuat¸iile ˆın spat¸iul st˘ arilor care descriu compensatorul ¸si respectiv, sistemul rezultant.

Problema 9.5. Se consider˘ a urm˘ atoarea realizare ˆın spat¸iul st˘ arilor pentru un sistem de ordinul 4:     0 0 0 −2 1  1 0 0 −1   2     A =   0 1 0 3  b= 1  (9.4) 0  0 0 1 1 c = 0 0 0 1 Se cere s˘ a se determine o react¸ie dup˘ a stare u = F x astfel ˆıncˆ at sistemul rezultant s˘ a aib˘ a pe s = 0 pol de multiplicitate 2.

˘ PROBLEMA STABILIZARII. ˘ ˘ 9.2. LEGE DE COMANDA. PROBLEMA ALOCARII.79 Problema 9.6. Ce react¸ie de stabilizare furnizeaz˘ a algoritmul de stabilizare (Varga) pentru     1 0 1 1 A= B= (9.5) 0 0 0 0 Precizat¸i f˘ ar˘ a a efectua vreun pas al algoritmului.

Problema 9.7. Se consider˘ a sistemul x˙ = Ax + bu, unde     0 −2 1 A= b= 1 −3 1 Este (A, b) stabilizabil˘ a? Dac˘ a da, g˘ asit¸i f T = T a stabilizant˘ a. f x(t) este o lege de comand˘



f1 f2



(9.6)

astfel ˆıncˆ at u(t) =

Problema 9.8. Dac˘ a perechea (A, B) este stabilizabil˘ a atunci perechea (AT , B T ) este detectabil˘ a?



   0 1 0 Problema 9.9. Fie sistemul x˙ = Ax + Bu cu A = , B= . −1 3 1 Calculat¸i o comand˘ a stabilizatoare u = F x astfel ˆıncˆ at A+BF s˘ a fie stabil˘ a.

Problema 9.10. Un sistem stabil este stabilizabil? Exist˘ a sisteme stabilizabile care nu sunt controlabile? Dac˘ a da, exemplificat¸i. Dac˘ a nu, argumentat¸i.

Problema 9.11. Demonstrat¸i c˘ a stabilizabilitatea unei perechi (A, B) este invariant˘ a la transform˘ ari de echivalent¸˘ a, adic˘ a: (A, B) este stabilizabil˘ a, dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a T inversabil˘ a, astfel ˆıncˆ at −1 (T AT , T B) este stabilizabil˘ a.

Problema 9.12. Exist˘ a sisteme controlabile care nu sunt detectabile? Dac˘ a da, exemplificat¸i, dac˘ a nu, justificat¸i.

˘ ELEMENTARA ˘ CAPITOLUL 9. METODE DE SINTEZA

80

Problema 9.13. Pentru A =



0 1 0 0



, b =



0 1



g˘ asit¸i f˘ ar˘ a a folosi

algoritmul de alocare f T astfel incˆ at u(t) = f T x(t) s˘ a aloce λ1,2 = − 12 ± j Problema 9.14.

1. Precizat¸i  0 A= 0 0

este controlabil˘ a.

f˘ ar˘ a nici un calcul dac˘ a perechea    1 1 0 0 −1  , B =  1  0 3 0

√

3 2

(9.7)

2. Dar stabilizabil˘ a?

Problema 9.15. Cum intervine esent¸ial controlabilitatea ˆın procesul de alocare ?

9.3

Estimatori de stare. Estimator unitar.

1. O pereche (A, B) alocabil˘ a este controlabil˘ a?  x˙ = −ax + 1 2. Pentru sistemul este nevoie de un estimator pentru y = x introducerea unei legi de comand˘ a?

Problema 9.16.

Problema 9.17. Pentru sistemul x˙ = −x + 1, y = x este nevoie de un estimator pentru introducerea unei legi de comand˘ a? Argumentat¸i.

9.4

Compensator Kalman

Problema 9.18. Se consider˘ a sistemul descris prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer : s+1 H(s) = 3 (9.8) s + 2s2 − 1

9.5. ESTIMATORI DE ORDIN REDUS

81

1. S˘ a se scrie o realizare minimal˘ a. 2. S˘ a se construiasc˘ a un compensator stabilizator de tip Kalman.

Problema 9.19. Se consider˘ a sistemul descris prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer : 1 H(s) = 3 (9.9) s −1 1. S˘ a se scrie o realizare minimal˘ a.

2. S˘ a se construiasc˘ a un compensator stabilizator de tip Kalman.

Problema 9.20. Se d˘ a sistemul :     0 1 0 A = b= 1 0 1   c = 1 0

(9.10)

1. S˘ a se construiasc˘ a pentru acest sistem un compensator stabilizator de tip Kalman.   2. Explicat¸i cum at¸i proceda dac˘ a c = −1 1 .

9.5

Estimatori de ordin redus

9.6

Reglarea sistemelor. Proceduri de reglare la m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a

Problema 9.21. Determinat¸i prin metode de stare un regulator pentru 1 m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a pentru sistemul: H(s) = 3 . s

Problema 9.22. Indicat¸i modific˘ arile importante la reglarea unui sistem MIMO la referint¸a˘ ramp˘ a fat¸a˘ de cazul unei referint¸e treapt˘ a.

˘ ELEMENTARA ˘ CAPITOLUL 9. METODE DE SINTEZA

82

Problema 9.23. Se consider˘ a sistemul (A, b, c), cu       −1 2 −1 A= , b= , c= 1 1 . 0 3 1 1. S˘ a se determine un estimator de stare.

2. S˘ a se determine un compensator stabilizator. 3. S˘ a se determine un regulator care asigur˘ a urm˘ arirea unei referint¸e treapt˘ a. s−a , a ∈ R. + 2s2 − s − 2 1. Scriet¸i o realizare minimal˘ a. Discut¸ie dup˘ a a.

Problema 9.24. Fie H(s) =

s3

2. Determinat¸i un regulator, prin metode de stare, care urm˘ are¸ste referint¸a r(t) = 1(t), pentru a = −2 ¸si a = 0. Problema 9.25. Construit¸i un regulator care urm˘ are¸ste referint¸a˘ treapt˘ a pentru:  1  s T (s) = 1 s+1

1 Problema 9.26. Pentru sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) = s+1 construit¸i prin metode de stare un regulator de ordinul unu pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a. (Indicat¸ie : inspectˆ and H(s) rezult˘ a c˘ a nu este nevoie de estimator. De ce ?)

Problema 9.27. Se consider˘ a sistemul descris de H(s) = determine un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a.

s+1 s2 +1 .

S˘ a se

Problema 9.28. Se consider˘ a sistemul H(s) = Se cere:

1 s+3

(9.11)

˘ 9.6. REGLAREA SISTEMELOR. PROCEDURI DE REGLARE LA MARIMI EXOGENE DE TIP TRE 1. S˘ a se scrie o realizare de stare. 2. S˘ a se construiasc˘ a un regulator(referint¸˘ a treapt˘ a) care s˘ a asigure Λaloc = {−1, −1) ¸si Λest = {−2}. 3. S˘ a se scrie funct¸ia de transfer a regulatorului cˆ at ¸si a sistemului rezultant.

Problema 9.29. Pentru urm˘ atorul sistem H(s) = se cere :

s2

2 −1

(9.12)

1. S˘ a se proiecteze un regulator astfel ˆıncˆ at Λaloc = {−1, −1, −1} ¸si Λest = {−2, −3}. 2. S˘ a se scrie regulatorul ˆın spat¸iul st˘ arilor ˆın mod explicit, specificˆ anduse m˘ arimile de intrare ¸si cele de ie¸sire. 3. S˘ a se scrie sistemul rezultant ˆın spat¸iul st˘ arilor ˆın mod explicit, specificˆ andu-se m˘ arimile de intrare ¸si cele de ie¸sire.

84

˘ ELEMENTARA ˘ CAPITOLUL 9. METODE DE SINTEZA

Capitolul 10

Sintez˘ a avansat˘ a

85

86

˘ AVANSATA ˘ CAPITOLUL 10. SINTEZA

Capitolul 11

Sisteme neliniare Problema 11.1. Investigat¸i stabilitatea sistemului:  x˙ 1 = x2 x˙ 2 = −x1 − x2 − (2x2 + x1 )(1 − x22 ) folosind funct¸ia Lyapunov candidat V (x) = 5x21 + 2x1 x2 + 2x22 . √

Problema 11.2. Fie sistemul x˙ = cos x − 23 . Determinat¸i punctele de echilibru ale sistemului ¸si analizat¸i comportamentul calitativ al sistemului ˆın vecin˘ atatea acestuia.

Problema 11.3. Se d˘ a urm˘ atoarea configurat¸ie f (e) s+1 unde f (0) = 0, 0 < < k, (∀)e 6= 0, T (s) = , α > 0. e s+α 1. Ce domeniu de valori pentru k este garantat de criteriul de s tabilitate Popov? 2. Pentru α = 2 s˘ a se construiasc˘ a u element neliniar f care satisface criteriul Popov ¸si s˘ a se precizeze dac˘ a liniarizatul s˘ au asigur˘ a stabilitatea sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a.

Problema 11.4. Pentru P = o funct¸ie Liapunov?



1 2 2 4



87

funct¸ia V (x) = xT P x(x ∈ R2 ) este

88

CAPITOLUL 11. SISTEME NELINIARE

Problema 11.5. Ar˘atat¸i c˘ a originea este punct de echilibru asimptotic stabil pentru sistemul x˙ 1 = −x1 + sinx3 x˙ 2 = −sinx3

x˙ 3 = −x1 + x2 − sinx3 Indicat¸ie : utilizat¸i drept candidat la funct¸ia Liapunov 1 1 V (x) = x21 + x22 + (1 − cos x3 ) 2 2

(11.1)

Problema 11.6. Cum se determin˘ a sectorul maxim de stabilitate cu ajutorul criteriului Popov ?

Problema 11.7. este originea?

1. Pentru A =



−1 1 −1 −1



ce fel de punct de echilibru

2. Cu ajutorul funct¸iei Liapunov xT P x studiat¸i stabilitatea originei pentru sistemul x˙ = Ax.

Problema 11.8. Ce fel de punct de echilibru este originea pentru sistemul  x˙ 1 = x2 (11.2) x˙ 2 = −sinx1 − x2 Determinat¸i toate punctele de echilibru.

Problema 11.9. G˘ asit¸i toate punctele de echilibru ¸si determinat¸i natura acestora pentru sistemul : ( x˙ 1 = x2 . (11.3) x3 x˙ 2 = −x1 + 61 − x2

89 Problema 11.10. Precizat¸i exact prin ce punct se traseaz˘ a dreapta lui Popov ∆.

Problema 11.11. G˘ asit¸i toate punctele de echilibru ¸si determinat¸i natura acestora pentru sistemul :  x˙ 1 = x2 cosx1 (11.4) x˙ 2 = sinx1

1 ¸si sectorul k0 = 2 aplicat¸i criteriul Problema 11.12. Dˆ andu-se H(s) = s+3 lui Popov. Specificat¸i care este k0max .

90

CAPITOLUL 11. SISTEME NELINIARE

Capitolul 12

Sisteme discrete Problema 12.1. Se consider˘ a sistemul discret: H(z) =

z . −1

2z 2

1. Apreciat¸i stabilitatea sistemului. 2. Scriet¸i o realizare standard controlabil˘ a. 3. Determinat¸i evolut¸ia liber˘ a pentru x0 =



 0 . 1

Problema 12.2. Calculat¸i discretizatul sistemului continuu dat de     −1 0 0 A = , B = , C = 1 −1 cu pasul h = ln 2. Este 1 −1 1 sistemul discret astfel obt¸inut stabil?

Problema 12.3. Se cere un regulator care regleaz˘ a la referint¸a˘ treapt˘ a sistemul discret 1 . P (z) = z − 0.5

Problema 12.4. Fie G(s) =

1 . s(s + 2)

1. S˘ a se determine funct¸ia de transfer a discretizatului cu pasul T = 1. 91

92

CAPITOLUL 12. SISTEME DISCRETE 2. S˘ a se studieze dac˘ a exist˘ a o react¸ie constant˘ a K dup˘ a ie¸sire care stabilizeaz˘ a sistemul discret obt¸inut la punctul anterior. In caz afirmativ, s˘ a se precizeze domeniul de valori pentru K.

Problema 12.5. Discretizat¸i sistemul H(s) =

π s+3 , cu pasul T = . 2 s +9 6

Problema 12.6. Discretizat¸i sistemul continuu:



x˙ = Ax + Bu cu: y = Cx



   1 1 0 −1   A =  0 1 0  , B =  −1  , C = 1 2 1 0 0 −2 0

cu pasul T = ln 3. Este sistemul rezultat stabil ˆın sens discret? Dar controlabil?

Problema 12.7. Se consider˘ a sistemul definit de urm˘ atoarea ecuat¸ie cu diferent¸e: y(n + 1) − y(n) = 2u(n + p) − u(n), p ∈ Z, fixat Este sistemul liniar? Discut¸ie dup˘ a p.

Problema 12.8. Un sistem S este obt¸inut prin interconectarea ˆın serie a unui sistem S1 cu un sistem S2 : S1 : y1 (n) = 2x1 (n) + 4x1 (n − 1), 1 S2 : y2 (n) = x2 (n − 2) + x2 (n − 3). 2 1. Determinat¸i relat¸ia intrare-ie¸sire pentru sistemul S. 2. Se schimb˘ a aceast˘ a dependent¸a˘ dac˘ a am schimba ordinea conect˘ arii: S2 urmat de S1 ?

93 Problema 12.9. Se consider˘ a sistemul  n α , 0≤n≤6 h(n) = 0, ˆın rest ¸si intrarea x(n) = y(n).



1, 1 ≤ n ≤ 4 . Se cere rerpezentarea grafic˘ a a lui 0, ˆın rest

Problema 12.10. Multe rezultate ˆın timp discret se pot obt¸ine din rezultatele ˆın timp continuu, folosind trransformarea biliniar˘ a: s=

z−1 1+s ; z= z+1 1−s

care mapeaz˘ a semiplanul stˆ ang ˆın discul unitate ¸si viceversa. Dat¸i un astfel de exemplu.

Problema 12.11. 1. Scriet¸i r˘ aspunsul permanent al sistemului discret 1 H(z) = z+2 la intrarea u(k) = ejwk , k ≥ 0. 2. Scriet¸i polinomul caracteristic ¸si precizat¸i stabilitatea pentru urm˘ atoa1 z+2 rea bucl˘ a ˆın react¸ie negativ˘ a : unde H1 (z) = z+2 ¸si H2 (z) = (z+0.4) 2.

3. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a la intrare treap˘ a.

Problema 12.12. Se consider˘ a sistemul discret H(z) =

z z 2 +2 .

1. Este sistemul stabil ? 2. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrarea dat˘ a de u(k) = k2 .

Problema 12.13. Se d˘ a sistemul H(s) = sistemului cu pasul h = π3 .

1 s+2 .

S˘ a se calculeze discretizatul

94

CAPITOLUL 12. SISTEME DISCRETE

Problema 12.14. Se consider˘ a sistemul discret H(z) =

z+a . z 2 +4

1. Este stabil ? 2. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrare treapt˘ a. 3. Scriet¸i explicit evolut¸ia liber˘ a a sistemului pentru intrare ramp˘ a.

Problema 12.15. Se d˘ a sistemul H(s) =

1 s+3

1. S˘ a se calculeze discretizatul cu pasul h = π6 . 2. Pentru Hd (z) mai sus determinat s˘ a se construiasc˘ a prin metoda ecuat¸iei diofantice un compensator stabilizator strict propriu.

Problema 12.16. Dac˘ a un sistem continuu este stabil rezult˘ a ¸si discretizatul acestuia stabil ? Argumentat¸i r˘ aspunsul.

Problema 12.17. Este sistemul discret

z z 2 −2z+2

stabil ?

Problema 12.18. Calculat¸i care este discretizatul sistemului H(s) = pentru pasul h = π6 .

s+3 s2 +9

Problema 12.19. Pentru sistemul H(z) = 1z scriet¸i direct care este ie¸sirea y(k), k ≥ 0 corespunz˘ atoare intr˘ arii u(k) = 1, k ≥ 0.

Problema 12.20. Se consider˘ a sistemul discret H(z) =

z+a . z 2 +4

1. Este stabil ? 2. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrare treapt˘ a, rspectiv ramp˘ a.

95 Problema 12.21. Demonstrat¸i teorema valorii finale pentru semnale discrete : lim ak = lim (1 − z −1 )a(z) k→∞

z→1

¸si deducet¸i principiul modelului intern pentru sisteme discrete.

Problema 12.22. Calculat¸i care este discretizatul sistemului H(s) = pentru pasul h = π6 .

Problema 12.23. Se d˘ a sistemul H(s) = sistemului cu pasul h = π3 .

1 s+2 .

s+3 s2 +9

S˘ a se calculeze discretizatul

Problema 12.24. Se consider˘ a sistemul discret H(z) =

z . z 2 +2

1. Este sistemul stabil ? 2. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrarea dat˘ a de u(k) = k2 .

Problema 12.25. 1. Scriet¸i r˘ aspunsul permanent al sistemului discret 1 H(z) = z+2 la intrarea u(k) = ejωk , k ≥ 0. 2. Scriet¸i polinomul caracteristic ¸si precizat¸i stabilitatea conexiunii din 1 z+2 figura de mai jos unde H1 (z) = z+2 ¸si H2 (z) = (z+0.4) 2.

Problema 12.26. Fie sistemul H(s) =

1 s+3 .

• a) S˘ a se calculeze discretizatul cu pasul h = π6 . • b) Pentru Hd (z) mai sus determinat s˘ a se construiasc˘ a un compensator stabilizator strict propriu.

96

CAPITOLUL 12. SISTEME DISCRETE

Problema 12.27. Precizat¸i dac˘ a sistemul obt¸inut prin cuplare ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a a sistemului discret H(z) = z 21−1 este stabil. Problema 12.28. Dac˘ a un sistem continuu este stabil rezult˘ a ¸si discretizatul acestuia stabil ? Argumentat¸i r˘ aspunsul.

Problema 12.29. Se consider˘ a sistemul discret H(z) =

z . z 2 +2

1. Este sistemul stabil ? 2. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrarea dat˘ a de u(k) = k2 . 3. Scriet¸i explicit evolut¸ia liber˘ a a sistemului.

Problema 12.30. Pentru sistemul     0 1 0 A = B= 1  0 0 C = 1 1

calculat¸i Ad , Bd , Cd cu pasul h = 1.

(12.1)

Capitolul 13

Probleme diverse Problema 13.1. Se consider˘ a circuitul din figura de mai jos: 1. S˘ a se calculeze funct¸ia de transfer H(s) = 2. Pentru C = R = 1 ¸si L = pentru i(t) = t − 2.

1 2

i2 (s) i(s) .

s˘ a se calculeze r˘ aspunsul y(t) = i2 (t),

3. S˘ a se calculeze compensatorul propriu care aloc˘ a ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a polii ˆın s = −2. Determinat¸i eroarea stat¸ionar˘ a la intrare u(t) = t Problema 13.2. Se consider˘ a sistemul descris de y¨ − y = 3u˙ − 3u cu condit¸iile init¸iale: u(0) = 1 ¸si y(0) = y(0) ˙ = −1.  1, 0 < t < 5 1. S˘ a se determine r˘ aspunsul sistemului la intrarea u(t) = 0, ˆın rest 2. S˘ a se determine funct¸ia de transfer a sistemului precizˆ andu-se dac˘ a acesta este stabil. 3. S˘ a se proiecteze un regulator pentru referint¸a r(t) = 1(t) ¸si perturbat¸ia v(t) = t. 4. Specificat¸i care este eroarea stat¸ionar˘ a a sistemului de reglare de la punctul anterior ˆın absent¸a perturbat¸iei.

Problema 13.3. Se cosider˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) = 97

1+s s2

:

98

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE 1. S˘ a se calculeze y(t) pentru u(t) = cos t; 2. Calculˆ and polinomul caracteristic x0 (s) pentru sistemul conectat ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a (react¸ie negativ˘ a unitar˘ a) precizat¸i dac˘ a sistemul obt¸inut este stabil sau nu; 3. S˘ a se determine un regulator (pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a) care aloc˘ a polii ˆın s = −1; 4. Calculat¸i funct¸ia de transfer ˆın circuit ˆınchis ¸si evaluat¸i (∞) pentru r(t) = 1; 5. Trasat¸i locul Nyquist pentru H(s) =

1 . s2 −s

Problema 13.4. Se consider˘ a sistemul Z t+T2 1 u(τ ) dτ, y(t) = T1 + T2 t−T1 unde T1 , T2 ≥ 0 ¸si T1 + T2 6= 0. 1. Se cere funct¸ia de transfer a acestui sistem ¸si precizarea domeniului de definit¸ie. 2. Se cere r˘ aspunsul acestui sistem la impuls. 3. S˘ a se studieze dac˘ a exist˘ a o intrare astfel ˆıncˆ at ie¸sirea y(t) s˘ a aib˘ a expresia: y(t) = t · 1(t). Dac˘ a exist˘ a s˘ a se construiasc˘ a, ˆın caz contrar, argumentat¸i. Se vor c˘ auta intr˘ ari u(t) din clasa funct¸iilor care admit transformat˘ a Laplace.

Problema 13.5. Se consider˘ a sistemul A = [1 1].



−1 2 0 3

1. Calculat¸i evolut¸ia fort¸at˘ a pentru u(t) = t. 2. Deteminat¸i un estimator de stare. 3. Construit¸i un compensator stabilizator.



, b=



−1 1



, cT =

99    λ0 0 0 β1 Problema 13.6. Fie A =  1 λ0 0  , λ0 ∈ R fixat ¸si b =  0 . 0 1 λ0 β3 

1. Calcult¸i evolut¸ia liber˘ a a sistemului pentru xT = [1 0 1].

2. Scriet¸i condit¸ii necesare ¸si suficiente ˆın termenii β1 , β3 pentru controlabilitatea perechii (A, b).

Problema 13.7. Se d˘ a urm˘ atorul sistem: y(n) = u(n) − u(n − 1), n ∈ Z. Se cere s˘ a scrie programe MATLAB pentru urm˘ atoarea cerint¸a˘: S˘ a se calculeze r˘ aspunsul la impuls al sistemului format prin ˆınserierea a dou˘ a sisteme diferent¸iale ˆın dou˘ a moduri: 1. S˘ a se calculeze r˘ aspunsul celui de-al doilea sistem care prime¸ste ca intrare r˘ aspunsul primului sistem la impuls 2. S˘ a se calculeze convolut¸ia r˘ aspunsului elementului diferent¸ial cu el ˆınsu¸si.

Problema 13.8. Pentru un sistem dat H(s) s˘ a se reprezinte grafic dependent¸a suprareglajului lui (s − z)H(z) ˆın funct¸ie de z ≥ 0. S˘ a se g˘ aseasc˘ a, cu o precizie bun˘ a, pulsat¸iile ω ≥ 0 pentru care hodograful lui H(s) intersecteaz˘ a cercul unitate.

Problema 13.9. S˘ a se scrie programele MATLAB corespunz˘ atoare urm˘ atoarelor cerint¸e: 1. S˘ a se afi¸seze grafic hodograful sistemului e−j(π+φ) H(s) cu H(s) ¸si φ date ca parametrii de intrare. 2. S˘ a setraseze grafic caracteristica magnitudine-faz˘ a a unui sistem dat H(s).

100

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.10. Se consider˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a: y¨ − 2y˙ + f (y) = u 1. Scriet¸i (impunet¸i) condit¸ii asupra lui f : R → R, astfel ˆıncˆ at ecuat¸ia diferent¸ial˘ a s˘ a defineasc˘ a un sistem liniar. 2. Dac˘ a f (y) = 2y, determinat¸i funct¸ia pondere a sistemului definit de ecuat¸ia diferent¸ial˘ a. 3. Dac˘ a f (y) = y, calculat¸i solut¸ia ecuat¸iei pentru u(t) = sin t ¸si y(0) ˙ = 0, y(0) = 1.

Problema 13.11. Scriet¸i un program MATLAB care calculeaz˘ a r˘ aspunsul tranzitoriu al unui sistem dat prin funct¸ia sa de transfer, la intrare treapt˘ a unitar˘ a.

Problema 13.12. Scriet¸i un program MATLAB care decide dac˘ a locul Nyquist al uneifunct¸ii de transfer intersecteaz˘ a sau nu axa real˘ a la stˆ anga sau la dreapta punctului critic.



   0 1 0 0 Problema 13.13. Fie sistemul definit de A =  0 0 1  , B =  0  , C = 2 1 −2 1   1 2 0 . 1. Este perechea (C, A) detectabil˘ a?

2. Explicat¸i cum se construie¸ste un estimator de stare pentru sistemul de mai sus.  T 3. S˘ a se calculeze evolut¸ia liber˘ a pentru x0 = 1 0 1 4. Scriet¸i dou˘ a realiz˘ ari minimale distincte. Ce relat¸ie exist˘ a ˆıntre acestea? 5. F˘ ar˘ a a folosi algoritmul de alocare, g˘ asit¸i F astfel ˆıncˆ at Λ(A + BF ) = {−1, −2, −3}.

101 6. Calculat¸i al doilea parametru Markov al sistemului.

Problema 13.14. S˘ a se scrie programe MATLAB care satisfac urm˘ atoarele cerint¸e: 1. S˘ a afi¸seze grafic r˘ aspunsul unui sistem H(s) la urm˘ atorul semnal de intrare: 1 , |ζ| < 1. S˘ a se afi¸seze graficul suprareglajului + 2ζs + 1 ˆın funct¸ie de ζ.

2. Fie H(s) =

s2

Problema 13.15. Se d˘ a urm˘ atorul sistem la condit¸ii init¸iale nule: 2

d2 y dy + 4 + 8y = 8u 2 dt dt

1. Calculat¸i funct¸ia de transfer a sistemului. 2. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului la intrare treapt˘ a. 3. Determinat¸i factorul de amortizare, pulsat¸ia natura˘ a¸si suprareglajul.

Problema 13.16. Se consider˘ a sistemul: G(s) =

1 , p>0 s4 (s + p)

1. Trasat¸i hodograful ¸si stabilit¸i, pe baza acestuia, daca˘ a sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este intern stabil. 2. Se poate stabiliza sistemul cu o react¸ie constant˘ a, K ∈ R? 3. Trasat¸i diagramele Bode ale sistemului.

Problema 13.17. Fie H(s) =

"

1 s+1 −1 (s+1)(s+2)

2 s+1 1 s+2

#

1. Se cer o realizare controlabil˘ a ¸si una observabil˘ a. 2. Exist˘ a o transformare de coordonate ˆıntre cele dou˘ a realiz˘ ari scrise la punctul anterior? Dac˘ a da, gasit¸i-o. Dac˘ a nu, explicat¸i de ce nu exist˘ a.

102

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

3. Calcult¸i norma L2 a sistemului.

Problema 13.18. Demonstrat¸i c˘ a semnalele u1 ¸si u2 sunt ˆın pozit¸iile indicate ˆın diagrama din Exemplul 1/Capitolul 5 (Capitolul 1/TS II).

Problema 13.19. Dat¸i un exemplu numeric de sistem pe care s˘ a aplicat¸i Teorema lui Bode.

Problema 13.20. Indicat¸i un test numeric pentru a verifica dac˘ a o stare este observabil˘ a.

Problema 13.21. Fie (A, b, c) realizarea minimal˘ a a unui sistem SISO H(s). 1. Ar˘ atat¸i c˘ a exist˘ a o unic˘ a matrice simetric˘ a T , astfel ˆıncˆ at: T AT = T AT, cT = b . 2. Poate exista un astfel de T neinversabil? 3. Ar˘ atat¸i c˘ a (A, b) este controlabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a sistemul are solut¸ia unic˘a X = 0 ∈ Rn×n .



AX = XA BX = 0

4. Demonstrat¸i c˘ a exist˘ a un compensator Kalman stabilizant, dac˘ a ¸si numai dac˘ a (A, B) este stabilizabil˘ a ¸si (C, A) este detectabil˘ a.

Problema 13.22. Se d˘ a: H(s) =

"

s (s+1)2 (s+2)2 −s (s+2)2

s (s+2)2 −s (s+2)2

#

1. Scriet¸i orealizare minimal˘ a. 2. Se cere o react¸ie dup˘ a stare care aloc˘ a tot¸i polii ˆın −1. 3. Se cer polii ¸si zerourile lui H(s).

103 Problema 13.23. Se consider˘ a sistemul 1 cu G(s) = , f (e) neliniar, cu urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: (s + 1)3 f (0) = 0, 0 <

f (e) < 3, pentru e 6= 0. e

1. S˘ a se traseze diagrama Nyquist pentru G(s). 2. S˘ a se calculeze marginile de faz˘ a ¸si de amplitudine pentru G(s). 3. S˘ a se studieze stabilitatea sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a (din figur˘ a).

Problema 13.24. 1. Presupunem c˘ a (A, b), A ∈ Rn×n , b ∈ Rn este controlabil˘ a ¸si fie T , astfel ˆıncˆ at: A = T AT

−1

=



A11 A12 A21 A22



, b = Tb =



b1 0



, A22 ∈ R(n−1)×(n−1) .

Demonstrat¸i sau infirmat¸i: ”Perechea (A22 , A21 ) este controlabil˘ a.” 2. Fie T (s) un sistem propriu ¸si fie TF (s) un sistem obt¸inut printr-o react¸ie dup˘ a stare F asupra lui T (s). Ar˘ atat¸i c˘ a, pentru ω suficient de mare, diagramele Bode (ideale) ale celor dou˘ a sisteme pentru amplitudine sunt paralele.



0  0 Problema 13.25. Fie sistemul (1) A =   0 0   0 1 −1 −190 .

  1 0 175 0  0 0 1 111  , B =   1 0 −1 4  0 0 −17 0

1. Caclculat¸i functt¸ia de transfer a sistemului. 2. Scriet¸i o realizare minimal˘ a (justificat¸i). 3. Calculat¸i gradul McMillan ¸si polii ¸si zerourile de transmisie. 4. Studiat¸i stabilitatea intern˘ a.



 , C = 

104

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE 

   0 1 0 0 5. Ar˘ atat¸i c˘ a sistemul (2): A =  0 0 1  , B =  0  , C = 0 0 −1 1   0 1 −1 este echivalent intrare-ie¸sire cu sistemul (1). Pentru sistemul a ¸si fort¸at˘ a pentru u(t) = 1(t) ¸si  (2)  calculat¸i evolut¸ia liber˘ 0 x0 =  0 . 1

6. Precizat¸i dac˘ a pentru sistemul a o comand˘ a u(t) care aduce  (2) exist˘ 1 starea init¸ial˘ a x0 =  100  ˆın origine la momentul t = 2. Dar la 1000 momentul t = 0.001? 7. Pentru sistemul (1) scriet¸i un sistem echivalent intrare-ie¸sire de ordin n ≥ 5. 8. Pentru sistemul (2) calculat¸i un estimator de stare. 9. Pentru sistemul (2) construit¸i un compensator Kalman si calculat¸i funct¸ia de transfer ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a.



 −1 0 Problema 13.26. Fie A = . Pentru ce valori ale lui α 2 −1 + α at AT P + P A < 0? Pentru α = 0 g˘ asit¸i un exist˘ a P = P T > 0, astfel ˆıncˆ astfel de P .



   0 0 0 1    1 0 1 , b = 1  , cT = Problema 13.27. Fie sistemul A = 0 1 1 0   0 0 1 . 1. Determinat¸i un estimator de stare. 2. Este perechea (A, b) stabilizabil˘ a? 3. Putet¸i g˘ asi o lege de comad˘ a dup˘ a stare astfel ˆıncˆ at spectrul sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a s˘ a fie {−1, −1, −1}? Dac˘ a da, g˘ asit¸i-o, ˆın caz contrar, justificat¸i.

105 4. Este perechea (A, b) stabilizat˘ a ˆın sens strict?

Problema 13.28. Fie sistemul    99 100 0 0 0 0  101 102 0 0   0 0 , B =  A=  1  −1 −2 2 −1 0  3 4 0 1 −3 −4



   , C = 0 0 1 0 . 

1. Este (A, B, C) o realizare minimal˘ a? 2. Este sistemul stabil? 3. Scriet¸i o stare controlabil˘ a ¸si una observabil˘ a. 4. Determinat¸i matricea de tranfer. 5. Scriet¸i orealizare minnimal˘ a.

Problema 13.29. Fie SRA cu P (s) =

1 ¸si C(s) = K > 0. s−1

1. Determinat¸i K astfel ˆıncˆ at st < 0.05. 2. Presupunem ca r(t) = 0 ¸si kdk2 ≤ 2. Determinat¸i K astfel ˆıncˆ at kyk2 < 0.1. 1 , cu pasul T = π, apoi cu pasul 3. Discretizat¸i sistemul H(s) = 2 s +1 π T = . 4 4. Exist˘ a semnale (continuale) de energie finit˘ a pe [0, ∞), care nu sunt esent¸ial m˘ arginite pe [0, ∞)? In caz afirmativ, exemplificat¸i, ˆın caz negativ, argumentat¸i.



 −1 0 Problema 13.30. Fie A = . Stabilit¸i valoarea de adev˘ ar a 0 −3 urm˘ atoarei propozit¸ii, justificˆ and r˘ aspunsul: ”Exist˘ a P = P T > 0, astfel ˆıncˆ at AT P + P A + I2 = 0.”

106

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.31. Fie SRA cu P (s) =

1 bs + 1 ¸si C(s) = , a, b ∈ R. s−1 s+a

1. Determinat¸i a ¸si b, astfel ˆıncˆ at st < 0.05, (r(t) = 1(t), d(t) = 0). 2. Presupunem c˘ a r(t) = 0 ¸si kdk2 ≤ 2. Ar˘ atat¸i cum se pot determina a ¸si b astfel ca kyk2 ≤ 0. 3. Discretizat¸i sistemul H(s) =

s2

1 π π , T = , T = . +1 2 3

a decˆ at norma 4. Norma L∞ a unui sistem stabil este ˆıntotdeauna mai mic˘ 2 L a acestuia?

Problema 13.32. Se consider˘ a sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a: 1 . Folosind criteriul lui Nyquist g˘ asit¸i valorile (s + 1)4 lui K pentru care sistemul este internstabil.

1. Se d˘ a: G(s) =

(s + 1)(s + 3) . Exist˘ a K ∈ R astfel ˆıncˆ at r˘ aspunsul la (s + 2)(s + 4) impuls s˘ a aib˘ a o component˘ a de forma

2. Se d˘ a: G(s) =

e−at cos(ω0 t + φ), ω0 6= 0?

Problema 13.33. Se consider˘ a urm˘ atorul sistem cu 2 grade de libertate: Precizat¸i dac˘ a la urm˘ arirea unei referint¸e se obt¸in performant¸e superioare configurat¸iei clasice cu un grad de libertate.

Problema 13.34. Demonstrat¸i sau infirmat¸i: pentru un sistem cu intrarea x ¸si ie¸sirea y: 1. sistemul y(t) = x(t) cos(t + 4) este cauzal; 2. sistemul y(t) = ex(t) este stabil ˆınsens BIBO; 3. sistemul y(t) = x(2t) este invariant ˆıntimp; 4. sistemul y(t) = 2x(n) + 3 este liniar.

107 Problema 13.35. Se consider˘ a sistemul din figur˘ a: Ki 1 ¸si P (s) = unde C(s) = K + s (s + 1)(s + 2) 1. Se cer K ¸si Ki , pentru care sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este intern stabil ¸si s˘ a se figureze aceast˘ a regiune ˆın planul K, Ki . 2. Se cere r˘ aspunsul sistemului ˆınbucl˘ a ˆınchis˘ a la treapt˘ a unitate ˆın urm˘ atoarele situat¸ii: (a) K = 10, Ki = 5; (b) K = 1, Ki = 1; (c) K = 1, Ki = 0 3. S˘ a se rerpezinte pe acela¸si grafic r˘ aspunsurile de la punctul (b) ¸si s˘ a se interpreteze rezultatele obt¸inute.

Problema 13.36. Se consider˘ a circuitul 1. Se cere funct¸ia de transfer de la v la vc atunci cˆ and circuitul se afl˘ a init¸ial ˆın repaus. 2. Este sistemul stabil? 3. Confirmat¸i sau infirmat¸i: ”R˘ aspunsul permanent al sistemului la intrare treapt˘ a nu depinde de R, L, C.”

Problema 13.37. Demonstrrat¸i c˘ a semnalul u8 se g˘ ase¸ste ˆın pozit¸ia indicat˘ a ˆın diagrama din Exemplul 1/ Capitolul 5 (Capitolul 1/TSII).

Problema 13.38. Comparat¸i condit¸iile de solvabilitate a problemei de reglare la referint¸ua treapt˘ a prin abordarea I/O (semestrul I) cu cele date de metoda pe spat¸iul st˘ arilor (semestrul II).

Problema 13.39. Fie un sistem (A, b, c), cu (A, b) controlabil˘ a, A inversabil˘ a ¸si A − bk nilpotent˘ a. Atunci singurul vector propriu al lui A − bk este A−1 b.

108

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.40. Pentru sistemul (A, b, c) se ¸stie polinomul caracteristic a(s) = det(sI − A) ¸si matricea de observabilitate Q = I. Ar˘ atat¸i c˘ a aceast˘ a informat¸ie determin˘ a unic realizarea (A, b, c).

Problema 13.41. Demonstrat¸i sau infirmat¸i urm˘ atoarele enunt¸uri: 1. Compensatorul Kalman parametrtizeaz˘ a prin F ¸si K toat˘ a clasa compensatoarelor stabilizatoare furnizat˘ a de parametrizarea lui Youla (semestrul I). 2. Excesul poli-zerouri nu este afectat printr-o react¸ie dup˘ a stare. 3. Observabilitatea unei realiz˘ ari minimale pentru un sistem oarecare este afectat˘ a de react¸ia constant˘ a dup˘ a stare. 4. Observabilitatea unei realiz˘ ari minimale pentru un sistem oarecare este afectat˘ a de react¸ia constant˘ a dup˘ a ie¸sire. at norma 5. Norma L2 a unui sistem stabil este ˆıntotdeauna mai mare decˆ L∞ .



   99 98 10 1 0 0  0 10 0 0   97 96     Problema 13.42. Fie sistemul cu A =   0 0 1 2 ,B =  0 0 ,C = 0 0 0 0 3 4   1 2 0 0 . 1. Este (A, B) controlabil˘ a? Dar stabilizabil˘ a?   1  1   2. Determinat¸i r˘ aspunsul liber pentru x0 =   0 ? 0   0  0   Avem lim yl (t) = 0? Dar dac˘ a x0 =   1 ? Explicat¸i. t→∞ 1

3. Determinat¸i modurile neobservabile ale sistemului. Construit¸i un estimator de stare de tip Kalman.

109 Problema 13.43. Fie sistemul       0 1 0 A= ,b = , cT = α 1 , α ∈ R. −1 1 1 1. Stabilizat¸i sistemul.

2. Construit¸i un regulator care s˘ a urm˘ areasc˘ a o referint¸a˘ treapt˘ a.  x(k + 1) = Ax(k) + bu(k) 3. Fie sistemul discret Determinat¸i mult¸imea y(k) = cT x(k) D = {α ∈ R | (cT , A) detectabil˘ a}.

Problema 13.44. Fie sistemul x˙ = Aα x, Aα = Calculat¸i sup{|α| | Aα stabil˘ a}



0 −1 − α 1 −1



, α ∈ R.

α∈R

Problema 13.45. Fie sistemul H(s) =

s−3 (s − 1)(s − 2)

1. Calculat¸i discretizatul cu pasul h = 1. 2. Trasat¸i diagramele Bode ale sistemului. 3. S˘ a se stabilizeze sistemul folosind o react¸ie dup˘ a stare ¸si s˘ a se calculeze marginea de faz˘ a/amplitudine obt¸inute.

Problema 13.46. Se d˘ a sistemul din figur˘ a: 1. Folosind criteriul de stabilitate Lyapunov s˘ a se precizeze domeniul lui K pentru care sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este stabil. 2. Comparat¸i rezultatul de la punctul (a) cu cel obt¸inut aplicˆ and criteriul Hurwitz. 3. Care dintre cele dou˘ a metode ste conceptual mai simpl˘ a?

Problema 13.47. Se consider˘ a circuitul:

110

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

1. S˘ a se determine H =

y . u

2. Pentru R1 = R2 = 1Ω, C = 1F , determinat¸i y(t) la u(t) = t. 3. Pentru R1 = 1, R2 = 0.5, C = 1 construit¸i un regulator pentru r(t) = 1(t). 4. Cu valorile de la punctul anterior analizat¸i stabilitatea sistemului: folosind criteriul Nyquist. Discut¸ie dup˘ a K > 0. 5. Pentru ce valori ale lui K (de la punctul anterior) sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a are eroare stat¸ionar˘ a nul˘ a pentru r(t) = 1(t)? Comparat¸i cu rezultatul obt¸inut la punctul (c).

1 , T >0 Ts + 1 poate fi considerat o aproximat¸ie a unui sistem care r˘ aspunde cu o ˆıntˆ arziere egal˘ a cu T . In ce condit¸ii este aceast˘ a aproximare bunn˘ a?

Problema 13.48. Ar˘ atat¸i c˘ a sistemul de ordin I H(s) =

Problema 13.49. Explicat¸i urm˘ atoarele not¸iuni: • regim stat¸ionar; • regim tranzitoriu; • regim liber; • regim permanent; • regim fort¸at.

Problema 13.50. Se d˘ a sistemul:



x˙ 1 = x2 x˙ 2 = −6x1 − 5x2

1. S˘ a se studieze stabilitatea originii folosind V (x) = 6x21 + x22 .   1 2. S ¸ tiind c˘ a B = , C = [1 − 1], s˘ a se determine discretizatul 1 sistemului.

111 3. S˘ a se traseze diagramele Bode pentru sistemul descris de (A, B, C). 4. S˘ a se calculeze margineile de amplitudine ¸si de faz˘ a. 5. S˘ a se propun˘ a o schem˘ a de compensare cu react¸ie dup˘ a stare, care s˘ a ˆımbun˘ at˘ a¸teasc˘ a robustet¸ea stabilit˘ a¸tii. 6. Se cere r˘ aspunsul fort¸at la treapt˘ a pentru sistemul original.

Problema 13.51. Fie G(s) =

s+1 s2 − 3s + 2

1. G˘ asit¸i cea mai mare valoare a lui K > 0, pentru care sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este stabil. 2. Determinat¸i funct¸ia pondere a sistemului G(s). 3. Trasat¸i diagramele Bode ale lui G(s). 4. Determinat¸i un regulator pentru urm˘ arirea unei referint¸e treapt˘ a. 5. Scriet¸i o realizare minimal˘ a pentru G(s). Este aceasta minimal˘ a?

Problema 13.52. Se d˘ a sistemul cu :     1 1 0 0 A =  0 1 0  , b =  1  , cT = [1 0 0]. 0 0 −1 1 

 1 1. Calculat¸i r˘ aspunsul liber al sistemului pentru x0 =  1 . 1

 0 2. Exist˘ a o comand˘ a u care s˘ a conduc˘ a sistemul din starea x0 =  0  0   1 ın starea x(T ) =  2  , T = 10−3 ? 3 3. Stabilizat¸i sistemul.



112

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

4. Determinat¸i modurile neobservabile ale sistemului. 5. Este necesar un observator de stare pentru a stabiliza sistemul



x˙ = 2x + 3u ? y=x

Problema 13.53. Fie sistemul:     0 1 0 0    A= 0 0 1 , b = 0  , cT = [α 1 0]. −1 1 1 1

1. Este sistemul stabilizabil? In caz afirmativ, g˘ asit¸i f T astfel ˆıncˆ at Λ(A+ T bf ) = {−1, −2, −3}.

2. Determinat¸i mult¸imea O = {α ∈ R | (cT , A) nu este observabil˘ a}. a? Pentru 3. Pentru ce valori ale lui α ∈ O este perechea (cT , A) detectabil˘ un astfel de α construit¸i un estimator de stare. 4. Este realizarea (A, b, cT ) minimal˘ a? Discut¸ie dup˘ a α. 5. Pentru α = 1 calculat¸i funct¸ia de transfer a sistemului. 6. Exist˘ a sisteme neobservabile instabile? Dar controlabile ¸si instabile?

Problema 13.54. Fie H(s) =

s2

s−1 . + 2s + 2

1. Este sistemul stabil? 2. Investigat¸i stabilitatea ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a a sistemului folosind criteriul lui Nyquist. 3. Este sistemul dat de y(t) = t2 cauzal? 4. R˘ aspunsul indicial al unui sistem este y(t) = 1 − e−2t , t ≥ 0. Calculat¸i funct¸ia pondere a sistemului.

Problema 13.55. Se consider˘ a sistemul continuu:     −1 −2 −3 0    A= 0 0 −1 , B = 1  , C = [1 1 1], D = 1. 0 0 0 1

113 1. S˘ a se precizeze dac˘ a exist˘ a u(t) astfel at x(0) a ajung˘ a ˆın  ˆıncˆ  = 0 s˘ 0 1 x(t∗ ) = x∗ , unde t∗ = 10−2 , x0 =  0  , x∗ =  2 . 0 3

2. Dac˘ a exist˘ acomanda u(t) s˘ a se scrie expresia explicit˘ a, dac˘ a nu exist˘ a ∗ 3 s˘ a se precizeze mult¸imea x ∈ R , pentru care exist˘ a comanda de la punctul anterior.

3. S˘ a se precizeze cum depinde rezolvarea de la punctul (a) de parametrul ∗ t ∈ R∗+ . 4. S˘ a se precizeze cum se modific˘ a rezolvarea de la (a) dac˘ a aplic˘ am ˆın prealabil o react¸ie dup˘ a stare care stabilizeaz˘ a sistemul. 5. S˘ a se precizeze dac˘ a rezolvarea de la (a) depinde de x0 . 6. S˘ a se discretizeze sistemul cu h = 1 ¸si s˘ a se calculeze r˘ aspunsul liber, respectiv fort¸at al sistemului discret la intrare treapt˘ a unitar˘ a. 7. S˘ a se precizeze dac˘ a sistemul este observabil ¸si ˆın caz afirmativ s˘ a se stabileasc˘ a dac˘ a exist˘ a o react¸ie dup˘ a stare care face sistemul (a) neobservabil; (b) observabil.

Problema 13.56. Fie T (s) =

"

s−2 (s−1)2

1

#

=



 T1 (s) . T2 (s)

1. Se cere o realizare minimal˘ a. 2. S˘ a se traseze diagrama Bode (amplitudine-pulsat¸ie) pentru T1 (s) + T2 (s). 3. S˘ a se precizeze dou˘ a limit˘ ari fundamentale ale performant¸elor ce pot fi obt¸inute ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a pentru sistemul T1 (s) + T2 (s).

Problema 13.57. Se consider˘ a urm˘ atoarea configurat¸ie:

114

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

1. S˘ a se g˘ aseasc˘ a clasa compensatoarelor stabilizatoare de forma C(s) = K +

Ki . s

2. Pentru un sistem de ordinul II s˘ a se stabileasc˘ a regiunea din planul complex ˆın care pot fi plasat¸i polii astfel ˆıncˆ at tc ≤ 0, 6s, σ ≤ 10%, tt < 3s. 3. Aproximˆ and din punct de vedere dinamic comportarea sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a cu un sistem de ordin II, s˘ a se precizeze dac˘ a exist˘a un compensator stabilizator de forma celui de la punctul 1. care satisface cerint¸ele de la punctul 2.

Problema 13.58. 1. Fie (A, b, cT ), A ∈ Rn×n , b, c ∈ Rn o realizare mia dac˘ a ¸si numai dac˘ a nimal˘ a. Ar˘ atat¸i c˘ a A ¸si bcT nu comut˘ T T A · bc 6= bc · A. 2. Dac˘ a (A, b) nu este controlabil˘ a, este posibil s˘ a alegem ˆıntotdeauna c, T astfel ˆıncˆ at (c , A) s˘ a fie observabil˘ a? Dar dac˘ a (A, b) este controlabil˘ a?

Problema 13.59. Se d˘ a sistemul continuu cu functia de transfer: H(s) =

1 s2 + 1

Se cere: 1. S˘ a se calculeze, pentru h = π3 , functia de transfer discret˘ a Hd (z) . 2. Pentru Hd (z) determinat mai sus s˘ a se construiasc˘ a, prin metoda ecuat¸iei diofantice (αp + βq = χd ), un compensator stabilizator strict propriu care s˘ a asigure polii Λ = {0, 0, 0, 0, 0}. 3. Calculat¸i raspunsul sistemului cu funct¸ia de transfer H(s) de mai sus pentru intrarea u(t) = t. 4. Calculat¸i r˘ aspunsul sistemului discretizat, de la punctul (a) , pentru intrarea discret˘ a uk = k.

115 5. De ce nu se poate stabiliza (prin react¸ie negativ˘ a) H(s) de mai sus cu un compensator de forma Hc (s) = K, K ∈ R ? Problema 13.60. Se d˘ a sistemul continuu cu funct¸ia de transfer : H(s) =

s+1 s2 + 1

Se cere : 1. s˘ a se construiasc˘ a, prin metoda ecuat¸iilor diofantice (αp + βq = χd ) corespunz˘ ator adaptat˘ a, un regulator continuu strict propriu pentru care χd = (s + 1)5 . 2. S˘ a se calculeze H0 (s) ¸si H (s); s˘ a se evalueze eroarea stat¸ionar˘ a st pentru r(s) = s12 . 16c

3. S˘ a se calculeze pentru h = π6 funct¸ia de transfer discretizat˘ a Hd (z) a funct¸iei de transfer H(s) de mai sus. 4. S˘ a se calculeze r˘ aspunsul lui Hd (z), obt¸inut la punctul (c) , pentru o intrare de tip treapt˘ a discret˘ a. 5. Pentru sistemul de mai sus se poate g˘ asi un regulator Hc (s) astfel ˆıncˆ at 1 functia de transfer pe calea directa sa fie s+1 ? Argumentat¸i atˆ at ˆın cazul afirmativ cˆ at ¸si ˆın cel negativ.

Problema 13.61. Se consider˘ a circuitul din figura de mai jos :

1. S˘ a se calculeze funct¸ia de transfer H(s) = 2. Pentru C = R = 1 ¸si L = i(t) = t − 2.

1 2

i2 (s) i(s) .

calculat¸i r˘ aspunsul y(t)(= i2 (t)) pentru

3. Trasat¸i locul de transfer pentru H(s) de la punctul (b). Utilizˆ and criteriul lui Nyquist precizat¸i dac˘ a sistemul ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a este stabil. 4. S˘ a se calculeze compensatorul propriu care aloc˘ a ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a polii ˆın s = −2. Determinat¸i eroarea stat¸ionar˘ a la intrare u(t) = t.

116

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.62. Se d˘ a sistemul cu H(s) =

1 . s2 +1

1. S˘ a se determine r˘ aspunsul sistemului pentru u(t) = sint. 2. s˘ a se stabilizeze sistemul cu un compensator strict propriu Hc (s).

Problema 13.63.

lim

t→∞

1. Injectˆ and u ˜(t) = δ(t) ˆın schema : s˘ a se calculeze

y˜(t).

2. S˘ a se discretizeze sistemul H1 (s) =

1 s

cu pasul h = 1.

3. Evaluat¸i prin criteriul lui Bode stabilitatea sistemului obt¸inut prin conectarea ˆın react¸ie negativ˘ a unitar˘ a a sistemului H1 (s) de mai sus.

Problema 13.64. 1. Precizat¸i gradul de amortizare ¸si pulsat¸ia natural˘ a 1 pentru sistemul H(s) = 3s2 +3s+3 . 2

s −1 2. Pentru H(s) = s3 −3s ¸i o factorizare coprima cu care se 2 +3s−1 scriet calculeaz˘ a compensatorul stabilizator.

3. Pentru sistemul H(s) = 1(t).

1 s

scriet¸i r˘ aspunsul permanent la intrare u(t) =

4. Pentru sistemul H(z) = 1z scriet¸i direct care este ie¸sirea y(k), k ≥ 0 corespunz˘ atoare intr˘ arii u(k) = 1, k ≥ 0. Problema 13.65. Se d˘ a sistemul H(s) =

s+1 . s2 −s−2

1. Se cere r˘ aspunsul la intrare de tip ramp˘ a, u(t) = t. 2. Este sistemul stabil ? 3. S˘ a se calculeze pentru pasul de discretizare h = ln3 funct¸ia de transfer discretizat˘ a Hd (z) a funct¸iei de transfer de mai sus.

117

Problema 13.66. Se consider˘ a circuitul : 1. Determinat¸i funct¸ia de transfer H(s) =

i2 (s) i(s) .

2. Dac˘ a R = C = L = 1 calculat¸i i2 (t) pentru i(t) = t1(t). 3. Care este r˘ aspunsul permanent al sistemului la intrarea i(t) = cos2t ? Se vor considera valorile numerice de la punctul b.

Problema 13.67.

transfer H(s) =

1. Se consider˘ a circuitul : Determinat¸i funct¸ia de

Y (s) U (s)

¸si funct¸ia pondere.

2. Care este r˘ aspunsul permanent ¸si tranzitoriu al sistemului H(s) pentru u(t) = cost. 3. Construit¸i un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip ramp˘ a(r(t) = t).

Problema 13.68.

1. Se consider˘ a sistemul avˆ and funct¸ia pondere : h(t) = e−t sint

Este stabil ? 2. Construit¸i un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a. 3. Care este discretizatul sistemului de mai sus, Hd (z), considerˆ and h = ln2 ? 4. Determinat¸i r˘ aspunsul permanent ¸si r˘ aspunsul tranzitoriu al lui Hd (z) la intrare u(k) = 1(k)(treapt˘ a discret˘ a).

118

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.69. Se consider˘ a sistemul descris I/E prin urm˘ atoarea ecuat¸ie diferent¸ial˘ a: y¨ − y = 3u˙ − 3u avˆ and condit¸iile init¸iale u(0) = 1, y(0) = y(0) ˙ = −1. 1. S˘ a se determine r˘ aspunsul sistemului, y, la intrare  1,0
Problema 13.70. Se consider˘ a sistemul avˆ and urm˘ atoarea funct¸ie de transfer : 1+s H(s) = 2 s + 2s 1. S˘ a se determine r˘ aspunsul sistemului la intrarea u(t) = cos(t − 2). 2. Precizat¸i dac˘ a sistemul ˆın circuit ˆınchis este stabil. 3. Precizat¸i un compensator stabilizator care s˘ a aloce polii sistemului ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a ˆın χd 3 {−1 + 2i}.

Problema 13.71. Se consider˘ a urm˘ atorul circuit electric : cu R1 = 1, R2 =

2, L = C = 1. 1. S˘ a se scrie funct¸ia de transfer a sistemului considerˆ and drept intrare curentul i ¸si drept ie¸sire curentul i2 .

119 2. S˘ a se scrie care este r˘ aspunsul sistemului la intrare u(t)(= i(t)) = sin(t − 2). 3. S˘ a se determine un regulator pentru referint¸a˘ ur (t) = 1(t) ¸si perturbat¸ie v(t) = sint. 4. Specificat¸i care este eroarea stat¸ionar˘ a a sistemului de reglare automat˘ a proiectat la punctul anterior pentru u(t) = cost ˆın absent¸a perturbat¸iilor. Argumentat¸i.

Problema 13.72. Se consider˘ acircuitul din figura de mai jos: Se cere:

1. Determinat¸i dependent¸a(ˆın domeniul timp) dintre i(t) ¸si v1 (t), respectiv i(t) ¸si v2 (t). 2. In condit¸ii init¸iale nule calculat¸i funct¸ia de transfer H(s) = V2 (s)/V1 (s). Explicitat¸i pulsat¸ia natural˘ aωn ¸si factorul de amortizare ζ ˆın funct¸ie de R, L, C. 3. Este sistemul rezultat stabil? Dar dac˘ ase conecteaz˘ aˆın serie cu G(s) = ? 2 s +1

Problema 13.73. Se consider˘ aurm˘ atorul circuit electric: cu R1 = 1Ω, R2 =

2Ω, L1 = 1H, L2 = 2H, C = 3F . 1. S˘ ase determine funct¸iile de transfer H1 (s) = I1 (s)/I(s), H2 (s) = I2 (s)/I(s), H3 (s) = I3 (s)/I(s) ¸si H4 (s) = U2 (s)/I(s). 2. S˘ ase analieze stabilitatea sistemelor descrise de H1 , H2 , H3 , H4 . 3. S˘ ase determine regimul permanent corespunz˘ ator celor patru sisteme(descrise prin funct¸iile de transfer de la punctul a) ) la urm˘ atoarele intr˘ ari: (a) u(t) = tn , n = 1, 2 (b) u(t) = Asint

120

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.74. Se consider˘ asistemul descris prin funct¸ia de transfer: H(s) =

s2

1 +1

(13.1)

1. S˘ ase construiasc˘ aun compensator stabilizatorcare s˘aasigure polii ˆın circuit ˆınchis P = {−1, −1, −2}. 2. S˘ ase specifice care este r˘ aspunsul sistemului H(s) la intrare ramp˘ a u(t) = t? 3. S˘ ase specifice care este regimul permanent al sistemului rezultant ˆın bucl˘ a ˆın chis˘ a, Ho (s), la intrare (a) u(t) = tn , n = 1, 2 (b) u(t) = a sin t + b cos t, a, b ∈ R 4. Exist˘ aun compensator de forma Hc (s) = k, k ∈ R care s˘ a stabilizeze sistemul H(s)? Justificat¸i r˘ aspunsul.

Problema 13.75. Se consider˘ asistemul: H(s) =

s−2 s2 + 3

(13.2)

aasigure 1. S˘ ase determine un regulator, Hc , pentru sistemul H care s˘ urm˘ arirea unei referint¸e yr (t) = 1(t). 2. S˘ ase determine care este r˘ aspunsul sistemului rezultant la intrare y(t) = sin t + e−2t cos 3t.

Problema 13.76. R˘ aspundet¸i cu da sau cu nu la urm˘ atoarele chestiuni ¸si argumentat¸i: 1. Poate fi un sistem controlabil instabil ? 2. Un sistem necontrolabil ¸si neoservabil poate fi stabil ? 3. Poate fi adus printr-o react¸ie dup˘ a stare x˙ = x + u la x˙ = −x + u ?

121 Problema 13.77. Se consider˘ a sistemul cu funct¸ia de transfer H(s) =

s2

s−a +s−2

(13.3)

1. S˘ a se scrie realizarea standard observabil˘ a ¸si s˘ a se precizeze dac˘ a aceasta este stabil˘ a. 2. Pentru ce valori ale lui a realizarea este stabilizabil˘ a. Dar detectabil˘ a. 3. Pentru a = 0 se poate determina un regulator al sistemului de mai sus pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a? Dar pentru a 6= 0? Pentru a = 3 construit¸i un regulator pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a.

Problema 13.78.  −1 A= 2 1

Se d˘ a sistemul:    0 1 0   0 0  B =  1  CT = 1 1 0 a 0 0

(13.4)

1. Pentru ce valori ale parametrului a sistemul este controlabil?

2. Pentru a = 0 poate fi stabilizat sistemul printr-o lege de comand˘ a T u(t) = f x(t)? 3. Pentru a = 0 este sistemul dat observabil ? Pentru ce valori ale lui a este acesta neobservabil ? 4. S˘ a se calculeze funct¸ia de transfer ˆın cazul ˆın care a = 1. 5. S˘ a se aloce cu legea de comand˘ a u(t) = f T x(t) (pentru a = 1) valorile proprii Λ = {−1, −1, −1}. Problema 13.79. Se  0 A= 0 0

d˘ a sistemul:    1 0 0   0 1  b =  0  cT = 1 1 0 −a 0 1

1. Pentru ce valori ale parametrului a sistemul este observabil ?

2. Pentru a = 1 exist˘ a k ∈ R3 astfel incˆ at A + kcT s˘ a fie stabil˘ a?

(13.5)

122

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Indicat¸ie : utilizat¸i criteriul lui Hurwitz.

Problema 13.80. Se consider˘ a sistemul descris prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer 1 (13.6) H(s) = 2 s −1 1. S˘ a se scrie o realizare minimal˘ a.

2. Pentru m˘ arimi exogene de tip treapt˘ a s˘ a se construiasc˘ a prin metode de stare un regulator care s˘ a asigure polii ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a Λ = Λaloc ∪ Λest unde Λaloc = {−1, −1, −1} ¸si Λest = {−2, −2} (13.7)

Problema 13.81. Se consider˘ a sistemul :     −1 0 b1  A= B= b2 x˙ = Ax + Bu 0 2 y = Cx + Du   C = c1 c2 D=1

(13.8)

1. Poate fi un sistem controlabil instabil ? Dar unul stabilizabil ? 2. S˘ a se determine b1 , b2 astfel ˆıncˆ at sistemul s˘ a fie controlabil.

3. S˘ a se determine c1 , c2 astfel ˆıncˆ at sistemul s˘ a fie neobservabil. 4. Alegˆ and b1 = c1 = 1, b2 = c2 = 0 s˘ a se calculeze matricea de transfer a sistemului. 5. Alegˆ and b1 ¸si b2 convenabil s˘ a se determine legea de comand˘ a dup˘ a stare u(t) = f T (t)x(t) care aloc˘ a ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a Λ = {−1, −2}. Problema 13.82.  −1 A= 2 1

Se consider˘ a realizarea :    0 1 0   0 0  , b =  1  , cT = 1 1 0 1 0 0

1. Este sistemul controlabil ? Dar stabilizabil ?

(13.9)

123 2. Care este funct¸ia de transfer a sistemului ? Propunet¸i o alt˘ a realizare. 3. G˘ asit¸i o lege de comand˘ a u(t) = F x(t) astfel ˆıncˆ at aceasta s˘ a asigure(ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a) polii Λ = {−3, −3, −3}. Problema 13.83. Se d˘ a sistemul H(s) =

1 s+3

1. S˘ a se scrie o realizare de stare. 2. S˘ a se calculeze discretizatul cu pasul h = π6 .

Problema 13.84. 2. Sistemul H(s) =

Problema 13.85. bil˘ a?

1. Poate fi un sistem observabil instabil ? 1 s−1

poate fi stabilizat pe stare prin conexiune serie ?

1. O pereche (A, B) stabilizabil˘ a poate fi necontrola-

2. Este matricea fundamental˘ a a unui sistem continuu inversabil˘ a?

Problema 13.86. Se d˘ a sistemul  −1 A =  2  1 c = 1 1

0 0 a 0

   1 0 0  b= 1  0 0

(13.10)

1. Pentru ce valori ale parametrului a sistemul este controlabil ?

2. Pentru a = 0 poate fi f˘ acut stabil sistemul cu react¸ia u = f T x ? Argumentat¸i. Consider˘ am ˆın continuare a = 1. 3. S˘ a se calculeze funct¸ia de transfer a sistemului. 4. S˘ a se aloce cu legea de comand˘ a u = f T x valorile proprii Λ = {−1, −1, −1}. 5. Este controlabil sistemul ?

124

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

Problema 13.87. Se consider˘ a sistemul dat de : H(s) =

k , k>0 s(s + 1)(s + 2)

(13.11)

1. Este stabil ? Scriet¸i o realizare minimal˘ a.(Demonstrat¸i c˘ a este minimal˘ a). 2. Pentru k = 1 determinati un regulator pe stare pentru marimi exogene de tip treapt˘ a.

Problema 13.88. Se consider˘ a circuitul :

1. Determinat¸i funct¸ia de transfer H(s) =

i2 (s) i(s) .

2. Dac˘ a R = C = L = 1 calculat¸i i2 (t) pentru i(t) = t1(t). 3. Care este r˘ aspunsul permanent al sistemului la intrarea i(t) = cos2t ? Se vor considera valorile numerice de la punctul b. 4. Pentru H(s)(de al punctul b.) scriet¸i o realizare de stare (A, b, c). 5. Cu (A, b, c) obt¸inute la punctul precedent, determinat¸i o lege de comand˘ a de forma u(t) = f T x(t) care s˘ a aloce ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a polii Λd = {−2, −1}. 

 0 0 0 Problema 13.89. Pentru A =  1 0 0  evaluat¸i eAt . 0 1 0 

  0 1 0 Problema 13.90. 1. Fie A =  0 0 1  , b =  0 −α 0 Pentru ce valori ale lui α exist˘ a k ∈ R3 astfel ˆıncˆ at bil˘ a.

 0   0 , c = 1 1 0 . 1 A + kcT s˘ a fie sta-

2. Determinat¸i M = {α ∈ R|(A,b)- controlabil˘ a ¸si (cT ,A)- observabil˘ a}.

125 3. Determinat¸i u = f T x care stabilizeaz˘ a sistemul.

Problema 13.91. Se consider˘ a realizarea :     −1 0 1 0    2 0 0 A = b= 1  0  1 1 0 c = 1 1 0

(13.12)

1. Este sistemul controlabil ? Dar stabilizabil ?

2. Care este funct¸ia de transfer a sistemului ? Propunet¸i o alt˘ a realizare. 3. G˘ asit¸i o lege de comand˘ a u(t) = F x(t) astfel ˆıncˆ at aceasta s˘ a asigure(ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a) polii {−2, −2, −2}.

Problema 13.92. Se d˘ a sistemul H(s) =

1 s+2 .

1. S˘ a se scrie o realizare de stare. 2. S˘ a se calculeze discretizatul sistemului cu pasul h = π3 .

Problema 13.93. Se consider˘ a sistemul descris prin urm˘ atoarea funct¸ie de transfer s+a H(s) = 2 (13.13) s −4 1. Scriet¸i realiz˘ arile standard controlabil˘ a ¸si standard observabil˘ a. 2. Pentru ce valori ale lui a realizarea controlabil˘ a este minimal˘ a? 3. Pentru o valoare a lui a determinat˘ a la punctul b. alocat¸i polii sistemului printr-o react¸ie dup˘ a stare.

Problema 13.94. G˘ asit¸i o realizare minimal˘ a pentru urm˘ atoarele funct¸ii de transfer ale unor sisteme continue sau discrete. 1. H(z) =

2z+1 2z 2 +3z+1 ;

126

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

2. G(s) =

s+1 ; s3 +s2 −s−1

3. T (s) =

s+2 ; s2 +5s+6

4. G(s) =

s2 +2s+1 s3 +s2 −s−1 .

Problema 13.95. Se d˘ a sistemul :  0 1 A =  0 0  0 −β c = 1 1 0

   0 0 1  b= 0  1 0 .

(13.14)

1. Pentru ce valori ale parametrului β este sistemul observabil ? 2. Pentru ce valori ale parametrului β realizarea de mai sus este minimal˘ a ? 3. Dac˘ a β = 1 exist˘ a k astfel ˆıncˆ at matricea A + kcT s˘ a fie stabil˘ a? a 4. Pentru ce valori ale parametrului β perechea(cT , A) este detectabil˘ ? Determinat¸i(f˘ ar˘ a folosirea procedurii de alocare) o lege de comand˘ a T dup˘ a stare, u = f x, care s˘ a aloce ˆın bucl˘ a ˆınchis˘ a polii Λ = {0, 0, 0}. Este posibil acest lucru pentru orice β real ? Argumentat¸i.

Problema 13.96. Fie sistemul :  −1  2 A =  1 c = 1 1

0 0 α 0

   1 0 0  b= β  0 0 .

(13.15)

a}. Pentru punctele 1. Determinat¸i C = {(α, β) ∈ R∈ |(A,b)- controlabil˘ b)-d) se va considera β = 1. 2. Dac˘ a α = 0 poate fi stabilizat sistemul prin intermediul unei legi de comand˘ a de forma u(t) = f T x(t) ? 3. Este sistemul dat observabil pentru α = 0 ? Pentru ce valori ale lui α este acesta neobservabil ?

127 4. Calculat¸i funct¸ia de transfer pentru α = 1. Propunet¸i o realizare minimal˘ a. 5. Determinat¸i M = {(α, β) ∈ R∈ |(A,b,c)- realizare minimal˘ a}.

Problema 13.97. Un sistem necontrolabil ¸si neobservabil poate fi stabil ?

   0 1 1 , B= . Aplicat¸i teorema de 1 0 1 descompunere controlabil˘ a ¸si decidet¸i dac˘ a perechea (A, B) este stabilizabil˘ a. Problema 13.98. Se d˘ aA=



Problema 13.99. Se cosider˘ a urm˘ atoarea realizare ˆın spat¸iul st˘ arilor :     −1 2 0 1    A = 1 0 0 B= 0  (13.16) 0  0 1 0 C = 1 −1 0 1. S˘ a se scrie funct¸ia de transfer a sistemului.

2. Analizat¸i dac˘ a sistemul este stabil atˆ at intern cˆ at ¸si din punct de vedere intrare/ie¸sire. 3. Care este dimensiunea realiz˘ arii minimale ? Scriet¸i o realizare minimal˘ a. 4. Scriet¸i r˘ aspunsul liber ¸si fort¸at al sistemului la intrare ramp˘ a utilizˆ and realizarea minimal˘ a.

Problema 13.100. 1. S˘ a se modeleze prin intermediul unui sistem de ecuat¸ii diferent¸iale (ˆın spat¸iul st˘ arilor) urm˘ atorul circuit : considerˆ andu-

se drept o m˘ arime de stare sarcina q(t), m˘ arime de intrare tensiunea u(t) ¸si m˘ arime de ie¸sire curentul i(t).

128

CAPITOLUL 13. PROBLEME DIVERSE

2. Considerˆ and R = C = L = 1, pentru realizarea obt¸inut˘ a(la punctul anterior) calculat¸i funct¸ia de transfer cˆ at ¸si r˘ aspunsul fort¸at la o intrare u(t) = t.

Problema 13.101. Se consider˘ a sistemul de ecuat¸ii diferent¸iale :  0.5¨ x = y˙ − x˙ + y − 3x + 2u (13.17) y¨ = −y˙ + x˙ + y + x 1. Transformat¸i sistemul ˆıntr-un sistem dinamic liniar echivalent de forma : z˙ = Az + Bw (13.18) 95 v = Cz unde w = u, v = x. 95

2. Este sistemul(13.18) stabil ? 95

3. Analizat¸i controlabilitatea ¸si observabilitatea sistemului(13.18).

Problema 13.102. S˘ a se scrie o realizare de stare pentru urm˘ atoarele matrici de transfer ale unor sisteme continue sau discrete : 1. H(z) =

1 z+1 ;

2. G(s) =

s2 ; s2 +1

3. T (s) = 4. S(z) =

h



1 s

1 s2

1 z+1

s (s+1)2 z z−1



;

5. T (s) =

"

s s+1 s2 s2 +2s+1

#

6. T (s) =

"

s (s−1)2 3s−2 s−1

s s+1 7s s2 −1

7. T (s) =

s+1 (s−1)(s+2)(s+3) .

i

;

; s2 (s+1)2 5s+2 s+1

#

;

List˘ a de figuri

129