(3652) Pochodne

POCHODNE WZORY

( c )′ = 0 ( xα )′ = α ⋅ xα −1 ( x )′ =

1

2 x

'

1 1 = −    x x2

(a x )′ = a x ln a ( e x )′ = e x (ln x)′ = 1x

x ∈ R , a ∈ R+ \ {1}

x ∈ R+

1 x ∈ R , a ∈ R+ \ {1} x ln a (sin x)′ = cos x (cos x)′ = − sin x (tgx)′ = 12 x ≠ π2 + kπ , k ∈ C cos x (ctgx)′ = − 12 x ≠ kπ , k ∈ C sin x (log a x)′ =

Arkadiusz Lisak

1

TWIERDZENIE. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne na zbiorze X, to dla każdego x∈X

(cf (x))’ = c f ’(x) (f (x) ± g(x))’ = f’‘(x) ± g’(x) (f (x) ⋅ g(x))’ = f ’(x)g(x) + f (x)g’(x) '

 f ( x)  f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)   =  g ( x)  [g ( x)]2

[ f (g (x )) ] '= f ' (t ) ⋅ g ' (x ) , gdzie

t = t (x )

Przykład. 2 2 1 1 1 4 + cos x − 4 = + cos x − 1.  x + sin x − 4 ln x  '= 3

(



32 x

x

x

3 x

)

2. 3x ⋅ x 2 '= 3x ln 3 ⋅ x 2 + 3x ⋅ 2 x = 3x ⋅ x ⋅ (ln 3 ⋅ x + 2) 2 cos x  ' − 2 sin x ⋅ (3 − x ) − 2 cos x ⋅ (− 1) − 2 sin x ⋅ (3 − x ) + 2 cos x = 3.   = 2 2

(3 − x )

 3− x 

  x x − 3 x2    '=  4.  2   x     5

5

3 x2

−

2 x3

x2 5

(3 − x )

2  3 1 2 −1   3  x 2 − x 3  ⋅ x2 −  x 2 − x 3  ⋅ 2x      3  2     ' = = 4  x  

5

3 2 2 3 7 7 7 3 3 3 x − x − 2x 2 + 2x 3 − − − − 1 4 3 −2 2 −3 2 3 = = x − x − 2x 2 + 2x 3 = − x 2 + x 3 2 3 2 3 x4

lub 2  3  x x − 3 x2   x 2 − x 3   '=  2    x2 x    

2    3 4 7 3   x2 x3   −1 −  − − 1 4   ' ' ' 3 2 2 = − 2  = x − x  = − x + x 3 2 2 3  x  x          

1  x3 − 1  x3 − 1     ' x = e x ⋅  3x 2 + 2  5.  e  x    

Arkadiusz Lisak

2