36 Integrales De Linea Vectoriales.pdf

CALCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL

CAPÍTULO IV

INTEGRALES DE LÍNEA SOBRE CAMPOS VECTORIALES

 F d r

INTEGRAL DE LÍNEA  INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPOS ESCALARES

 C

INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPOS VECTORIALES

C

f ds

 F d r C

Rosa Ñique Alvarez

INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UN CAMPO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN

Proyección de vector u sobre v

 F  dr

 uv  v  proyv u     v v

C

u C : es una curva suave o seccionalmente suave definida por r(t) F : es un campo vectorial dr : diferencial de r(t) Rosa Ñique Alvarez

INTRODUCCIÓN

v Proy v u 3

uv v

Rosa Ñique Alvarez

 F d r

4

INTRODUCCIÓN

Proyección de vector F sobre T  F T  T  proyT F     T  T

 F T  T  proyT F     T  T

F

compT F 

proyT F  F  T T

T

comp v u 

C

Proyección de vector F sobre T

F

2

T

Proy T F

C

Proy T F

F T T

compT F  F  T

C Rosa Ñique Alvarez

5

Rosa Ñique Alvarez

6

1

CALCULO VECTORIAL

TRABAJO (W)

TRABAJO W   F  d r

 Wi  ( fuerza) (dis tan cia )

 Wi  F ( P)  T ( P)  si  compT F ( P)  si

C

C Q

F

Q

Δs i

Δs i

Q T

(F .T) T

T

F

 P

F

P

P

proyT F  F  T T Rosa Ñique Alvarez

7

Rosa Ñique Alvarez

TRABAJO (W)

TRABAJO (W) W   F ( P )  T ( P ) ds   compT F P  ds

W   F ( P )  T ( P ) ds   compT F P  ds C

C

8

C

C

F

Q

C

F  T ds  F 

r (t ) r (t ) d t r (t )

F  T ds  F 

d r (t ) dt dt

T F

 P

F  T ds  F  d r Rosa Ñique Alvarez

9

Rosa Ñique Alvarez

10

INTERPRETACIÓN

TRABAJO (W)

 F ( x, y )  d r

F ( x, y )  x i  xy j 2

C

Q T F

 P

   F  T ds C  W    compT F ds C  F d r  C

CAMPO VECTORIAL Y CURVA 1.2

C

1

0.8

0.6 Y Y

C F

0.4

0.2

0

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X

campo2NC10 Rosa Ñique Alvarez

11

Rosa Ñique Alvarez

12

2

CALCULO VECTORIAL

INTERPRETACIÓN

INTERPRETACIÓN

 F ( x, y )  d r

F ( x, y )  x 2 i  xy j

F ( x, y , z ) 

C

 F ( x, y, z )  d r

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

C

CAMPO VECTORIAL Y CURVA 1.2

C

1

1.5

0.8

1

Z

Y

0.6

0.4

0.5

0.2

0 2

C 2.5 2 1.5

1.5

0

1

1 0.5

0.5 -0.2

0

0.5

1

campo3C12

1.5

X

campo2NC11

Rosa Ñique Alvarez

13

INTERPRETACIÓN

0

X

Rosa Ñique Alvarez

14

DEFINICIÓN

 F ( x, y, z )  d r

1 x F ( x, y, z )  i  2 j  (2 z  1)k y y

0

Y

Sea F un campo vectorial de componentes continuos y definido sobre una curva suave C dada por r(t); a ≤ t ≤ b. La integral de línea de F sobre C se define como

C

1.4 1.2 1 0.8

Z

 F  d r   F T d s

0.6 0.4 0.2 0 3

C

C 2 1

campo3C13 Y

0

1

1.2

1.4

1.6

1.8

X

Rosa Ñique Alvarez

CÁLCULO DE

C

2

15

 F d r

Rosa Ñique Alvarez

FORMA BÁSICA

16

 F d r C

C

Paso 2

FORMA BÁSICA

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j  z(t ) k ; a  t  b

Paso 1

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j  z(t ) k ; a  t  b dr 

F (r (t ))  F ( x(t ), y (t ), z (t ) ) Rosa Ñique Alvarez

17

dr  dx dy dz  dt   , ,  dt dt  dt dt dt 

Rosa Ñique Alvarez

18

3

CALCULO VECTORIAL

 F d r

FORMA BÁSICA

FORMA BÁSICA

C

 F d r C

Paso 4

Paso 3

F  d r  F (r (t )) 

dr dt dt



b

F d r 

C

F  d r  F ( x(t ), y (t ), z (t ) ) 

dr dt dt



dt

a

b

F d r 

C

Rosa Ñique Alvarez

dr

 F (r (t ))  d t

dr

 F ( x(t ), y(t ), z (t ) )  d t

dt

a

19

Rosa Ñique Alvarez

20

F (x, y) = ( x2 , - x y )

EJEMPLO 1 Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F (x, y) = ( x2 , - x y ) al mover una partícula a lo largo del arco de circunferencia en el primer cuadrante

C : r (t )  cos t , sent  ; 0  t   / 2 Punto inicial : A  r (0)  1, 0

Punto inicial : A  r (0)  1, 0

Punto final : B  r ( / 2)  0, 1

Punto final : B  r ( / 2)  0, 1

Rosa Ñique Alvarez

21

W   F  T ds   F . dr

F (x, y) = ( x2 , - x y )

C

22

Solución: usando la forma básica

C

F (x, y) = ( x2 , - x y )

CAMPO VECTORIAL Y CURVA 1.2

C

1

Rosa Ñique Alvarez

C : r (t )  cos t , sent  ; 0  t   / 2

0.8

Y

0.6

W   F . dr 

0.4

0.2

C

 /2

dr

 F (r (t )) . dt dt 0

0

-0.2

0

0.5

1

1.5

X

Rosa Ñique Alvarez

23

Rosa Ñique Alvarez

24

4

CALCULO VECTORIAL

SOLUCION

dr    sen t , cos t dt

C : r (t )  cos t , sent  0  t   / 2



F ( x, y )  x ,  x y 2

 

Rosa Ñique Alvarez

 /2

C

F (r (t )) .

0

 /2

  2 cos

2

dr dt dt

Rosa Ñique Alvarez

b



dr

 F ( x(t ), y(t ), z(t ) )  d t

dt a  

INTEGRAL DE LINEA



26

FORMA BÁSICA

 F d r C   

INTEGRAL DEFINIDA

t sen t d t LA FORMA BÁSICA SE USA TANTO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS COMO NO CONSERVATIVOS, ES MUY UTIL CUANDO LA INTEGRAL DEFINIDA ES FACIL DE EVALUAR.

0

W 2/3 Rosa Ñique Alvarez

27

Rosa Ñique Alvarez

28

OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL

OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL



C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j ; a  t  b d r (t )  x(t ) i  y (t ) j  d t

F d r 

C

d x d y  F  d r   P, Q  d t , d t  dt



d x d y  dt P, Q   ,  dt dt 

C



F ( x, y)  P( x, y) i  Q( x, y) j

C

C

dr   2 cos 2 t sen t dt

25

Solución: usando la forma básica



W   F . dr

 F (r (t )) 

W   F . dr 



F (r (t ))   cos 2 t ,  cos t sent 

F (r (t ))  F ( x(t ), y (t ))  cos 2 t ,  cos t sen t

W

C : r (t )  cos t , sent ; 0  t   / 2

Solución:

C

F d r 



P dx  Q dy 

C

C

Rosa Ñique Alvarez

29

Rosa Ñique Alvarez

30

5

CALCULO VECTORIAL

OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL

OTRA FORMA DE REPRESENTAR LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPO VECTORIAL

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j  z (t ) ; a  t  b d r (t )   x(t ) i  y (t ) j  z (t )  d t

 C

F ( x, y, z)  P( x, y, z) i  Q( x, y, z) j  R( x, y, z) k

C

C

Rosa Ñique Alvarez

31

CONCLUSIONES

 F  d r   F  T ds   comp C

C

C

C

T

F ds 

C

P, Q, R   x (t ), y (t ), z (t )  d t

F d r 



P dx  Q dy  R dz 

C

Rosa Ñique Alvarez

32

CIRCULACIÓN

F ds   P dx  Q dy 

C

 F  d r   F  T ds   comp C

T

 C



 F  d r   P, Q, R  x(t ), y(t ), z(t )  d t C

F d r 

 P dx  Q dy  R dz 

Una integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de una curva cerrada simple C se dice que será la circulación de F alrededor de C; esto es

circulació n   F  dr   F  T ds C

C

C

Rosa Ñique Alvarez

33

circulació n   F  dr   F  T ds

circulació n   F  dr   F  T ds

C

C

Considere un fluido (líquido o gas) que circula sobre una porción del plano XY. Sean su densidad y velocidad en el punto P dados por ρ(P) y V(P), respectivamente. El producto

F (P)   (P)V (P) representa la velocidad y dirección del fluido en P

Rosa Ñique Alvarez

34

F (P)   (P)V (P)

CIRCULACIÓN C

Rosa Ñique Alvarez

35

C

Si F es el campo de velocidades de un fluido (liquido o gas), entonces la circulación es una medida de la cantidad por la cual el fluido tiende a girar por la curva C rotando, o circulando, alrededor de ella.

Rosa Ñique Alvarez

36

6

CALCULO VECTORIAL

circulació n   F  dr   F  T ds C

circulació n   F  dr   F  T ds  0

C

Gran circulación a lo largo de C

C

Pequeña circulación a lo largo de C

Rosa Ñique Alvarez

CIRCULACIÓN POSITIVA 37

Rosa Ñique Alvarez

38

Si F es perpendicular a T para todo punto sobre C, entonces

circulació n   F  dr   F  T ds  0 C

C

C

circulació n   F  dr   F  T ds  0 C

C

F C

CIRCULACIÓN NEGATIVA Rosa Ñique Alvarez

39

40

TEOREMA FUNDAMENTAL PARA LA INTEGRAL DE LÍNEA EN R2

CAMPOS VECTORIALES

Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta D y dada por

CONSERVATIVO

F  f

Rosa Ñique Alvarez

NO CONSERVATIVO

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j ; a  t  b

F  f

Si F (x, y) = (P, Q) es conservativo en D con P y Q continuas en D y, entonces

 F  dr   f  dr  f ( x(b), y (b))  f ( x(a), y(a)) C

Rosa Ñique Alvarez

41

C

Rosa Ñique Alvarez

42

7

CALCULO VECTORIAL

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j ; a  t  b

 F  dr    f  dr  f ( B)  f ( A)

A : punto inicial de la curva; A  ( x(a), y(a))

C

B : punto final de la curva; B  ( x(b), y(b))

C

D

D

A

A

C

B

C

Rosa Ñique Alvarez

43

EJEMPLO 2 Evalúe

B

Rosa Ñique Alvarez

44

 F  dr

Solución

 F  dr

C

F( x, y) = ( 2 x y, x2 )

C

C3

donde:

A=(1,2)

F( x, y) = ( 2xy, x2 )

P ( x, y )  2 x y , C2

B=(3,2)

Q( x, y )  x 2 continuas

en alguna región abierta D que contiene a C

C1

Q P  2x  x y

y C es cada una de la curvas del gráfico que va de A hacia B. Rosa Ñique Alvarez

45

Solución

Rosa Ñique Alvarez

46

Solución

F( x, y) = ( 2xy, x2 ) es un campo vectorial conservativo, es decir, F(x,y) = grad f (x, y)

f  2 xy x

A=(1,2)

B=(3,2)

f   x2 y

Función Potencial

f ( x, y)  x 2 y  K Rosa Ñique Alvarez

47

Punto inicial de C:

A= (1,2)

Punto final de C:

B= (3,2)

Rosa Ñique Alvarez

48

8

CALCULO VECTORIAL

Solución

Solución Usando el Teorema Fundamental

f ( x, y)  x 2 y  K

Punto inicial de C:

A= (1,2)

Punto final de C:

B= (3,2)

f ( A)  f (1, 2)  2  K ,

f (B)  f (3, 2)  18  K

 F  dr    f  dr  f ( B)  f ( A) C

C

 F  dr  18  K   (2  K )  16 C

 F  dr    f  dr  f ( B)  f ( A) C

f ( x, y)  x 2 y  K

Función Potencial

C Rosa Ñique Alvarez

49

SOLUCIÓN

Rosa Ñique Alvarez

50

EJEMPLO 3 C3

Evalúe

F( x, y) = ( 2 x y, x2 )

A(1,2)

B(3,2)

C2

A=(1,1)

C1

( 4,1)

C C2

 y2   2y  F ( x, y)   2  i    j  x  x 

C1

 F  dr  16

 F d r

C

 F  dr



C1

 F  dr =  F  dr C2

sobre curva C = C1UC2 de la figura adjunta.

 16

B=(4,-2)

F (0, y ) NO EXISTE

C3 Rosa Ñique Alvarez

51

 y2   2y  F ( x, y)   2  i    j  x  x 

Solución

Rosa Ñique Alvarez

Solución

52

 y2   2y  F ( x, y)   2  i    j  x  x 

Campo Vectorial y la Curva 1

D 0.5

A=(1,1)

C1

( 4,1)

Y

0

C2

-0.5

F continuo

-1

B=(4,-2) -1.5

-2

campo2C6

1

1.5

2

2.5

3

X

Rosa Ñique Alvarez

3.5

4

4.5

53

Rosa Ñique Alvarez

54

9

CALCULO VECTORIAL

Solución

Solución

 y2   2y  F ( x, y )   2  i    j  x  x 

 y2   2y  F ( x, y)   2  i    j  x  x 

P ( x, y ) 

y2 2y P ( x, y )  2 , Q ( x, y )   continuas x x en alguna región abierta D que contiene a C

y2 , x2

Q ( x, y )  

2y x

P 2y Q  2  y x x F ( x, y ) campo vectorial conservativo en D

Rosa Ñique Alvarez

55

Solución

Rosa Ñique Alvarez

f ( x, y )  

Solución

El campo vectorial

56

y2 K x

Usando el teorema fundamental , se tiene

y   2y  F ( x, y)   2  i    j  x  x  2

Punto inicial A = (1,1) ; Punto final B = (4,-2);

es conservativo de componentes continuas en D tiene la siguiente función potencial

f ( x, y )  

f (1,1) = -1 + K f (4,-2) = -1 + K

TEOREMA FUNDAMENTAL

 F  dr  f (4,2)  f (1,1)  0

y2 K x

C

Rosa Ñique Alvarez

57

SOLUCIÓN

Rosa Ñique Alvarez

58

EJEMPLO 4 Evalúe

 F  dr  0

A=(1,1)

C1



( 4,1)

C

C

x x 2  ( y  1) 2

dx

y 1 x 2  ( y  1) 2

dy

C2

donde la curva C es el cuadrado de vértices (1,0), (1,2), (-1,2), (-1,0).

B=(4,-2)

Rosa Ñique Alvarez

59

Rosa Ñique Alvarez

60

10

CALCULO VECTORIAL

  x y 1  F ( x, y )   ,  x 2  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2   

Solución

  x y 1  F ( x, y )   ,  x 2  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2   

Solución

Campo Vectorial y Curva 2.5

(-1, 2)

2

(1, 2)

1.5

Y

T.F (0,1)

1

(0,1)

C

0.5

0

-0.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Rosa Ñique X Alvarez

campo2C7

61

Solución

Rosa Ñique Alvarez

Solución

  x y 1  F ( x, y )   ,  x 2  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2   

  x y 1  F ( x, y )   2 , 2 2 x  ( y  1) 2   x  ( y  1)

F no es continua en el punto (0,1) que esta encerrado por C.

Q  2 x y  1 P   2 x y x 2  ( y  1) 2



62

(0,1)



El campo vectorial es conservativo para todo (x,y) ≠ (0,1). Rosa Ñique Alvarez

63

Solución

Rosa Ñique Alvarez

Solución

64

  x y 1  F ( x, y )   2 , 2 2 x  ( y  1) 2   x  ( y  1)

Campo vectorial conservativo para todo (x, y ) ≠ (0,1) F no es continua en el punto (0,1) que esta encerrado por C.

  x y 1  F ( x, y )   ,  x 2  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2   

D (-1, 2)

(0,1)

Función Potencial para todo (x, y) ≠ (0, 1)



(1, 2)

C



1 f ( x, y)  ln x 2  ( y  1) 2  C 2 Rosa Ñique Alvarez

65

Rosa Ñique Alvarez

66

11

CALCULO VECTORIAL

Solución: Teorema Fundamental en cada segmento de la curva

Solución Las funciones P ( x, y ) 

x x 2  ( y  1) 2

,

Q ( x, y ) 

  x y 1  F ( x, y )   ,  x 2  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2   

y 1 x 2  ( y  1) 2

B(1, 2)

D

no son continuas en el punto (0,1) y la curva C encierra a dicho punto (NO cumple con el teorema fundamental para integrales de línea). Para evaluar la integral se usa el teorema fundamental en cada segmento que forma la curva C. Rosa Ñique Alvarez

(0,1)

A=(1,0)

Solución: Teorema Fundamental para el  segmento C1 x y 1 F ( x, y )   , B(1, 2)

(0,1)

C1

f ( x, y) 

  x 2  ( y  1) 2 





1 ln x 2  ( y  1) 2  C 2

Rosa Ñique Alvarez

68

Solución Se aplica el teorema fundamental en cada segmento y repite el procedimiento anterior con cada una de los otros segmentos que forman la curva C

 F  dr   F  dr   F  dr   F  dr   F  dr

 F  dr    f  dr

C

C1

C1

 F  dr 

f (1,2)  f (1,0)

C1

C2

C3

C4

 F  dr  0  0  0  0  0 C

C1

A=(1,0)

El campo vectorial F tiene componentes continuas y es conservativo en D

C1

67

 x 2  ( y  1) 2 

Para el segmento C1

 F  dr  0 C1

Rosa Ñique Alvarez

Solución  C

69

x y 1 dx 2 d y0 x 2  ( y  1) 2 x  ( y  1) 2

Rosa Ñique Alvarez

70

Solución: usando forma básica Las funciones

(-1, 2)

P ( x, y ) 

(1, 2)

(0,1)

Rosa Ñique Alvarez

x x 2  ( y  1) 2

,

Q ( x, y ) 

y 1 x 2  ( y  1) 2

no son continuas en el punto (0,1) y la curva C encierra a dicho punto. Para evaluar la integral se usa la forma básica sobre curva C.

C

71

Rosa Ñique Alvarez

72

12

CALCULO VECTORIAL

Solución

Solución

Para evaluar esta integral

 C

x x 2  ( y  1) 2

dx

y 1 x 2  ( y  1) 2

se tendría que hacer usando la forma básica b

dr

 F  d r   F (r (t ) )  d t

C

x  1 C1  y  t 0  t  2,

C4

C2

73

C3

C4

x  t  x  1 x  t , C2  , C3  , C4  y  2 y  t   y  0      1  t  1, 0  t  2, 1  t  1

dr dr dr dr  (0,1),  (1, 0),  (0,1),  (1, 0) dt dt dt dt Rosa Ñique Alvarez

Rosa Ñique Alvarez

 F d r   F  d r   F d r   F  d r   F  d r C

C1 2



x 2  ( y  1) 2

dx

C2

t 1

 F  d r   1  (t  1)

C

2

C3

C4

dt  ..........

0

 F d r  0 C

75

Rosa Ñique Alvarez

76

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA EN R3

Evalúe

C

74

Solución

COMENTARIO x

C1

dt

 F  d r   F d r   F  d r   F  d r   F d r C1

(1, 2)

(0,1)

C3

a

Rosa Ñique Alvarez

C

C2

(-1, 2)

dy

y 1 x 2  ( y  1) 2

Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta D y dada por

dy

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j  z(t ) k ; a  t  b

donde la curva C es el cuadrado de vértices (1,0), (1,2), (-1,2), (-1,0). Para mejorar el calculo de esta integral de línea se debe usar el Teorema de Green.

Si F (x, y, z) = (P, Q, R) es conservativo D con P, Q y R continuas en D, entonces

 F  dr   f  dr  f ( x(b), y(b), z (b))  C

Rosa Ñique Alvarez

77

f ( x(a ), y (a ), z (a ))

C

Rosa Ñique Alvarez

78

13

CALCULO VECTORIAL

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LINEA EN R3

C : r (t )  x(t ) i  y(t ) j  z(t ) k ; a  t  b A  x(a), y(a), z(a), B  x(b), y(b), z(b)

 F  dr    f  dr  f ( x(b), y(b), z (b))   F  dr    f  dr  f ( B ) 

Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

F ( x, y, z)  y z (2x  y) i  x z ( x  2 y) j  x y ( x  y) k

f ( x(a ), y (a ), z (a ))

al mover un objeto a la largo de la curva

C : r (t )  (1  t ) i  (1  2 t 2 ) j  (1  3 t 3 ) k ; 0  t 1

C

C

C

f ( A)

C

Rosa Ñique Alvarez

79

Rosa Ñique Alvarez

80

F ( x, y, z)  y z (2x  y) i  x z ( x  2 y) j  x y ( x  y) k

Solución F ( x, y, z)  y z (2x  y) i  x z ( x  2 y) j  x y ( x  y) k

El campo vectorial F tiene componentes continuas en D y además es conservativo, porque

rot F  0

C : r (t )  (1  t ) i  (1  2 t 2 ) j  (1  3 t 3 ) k ; 0  t 1 CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA

4.5 4 3.5 3

Z

C

W   F d r

EJEMPLO 5

2.5 2 1.5

Es decir F(x,y,z) = grad f (x,y,z).

1 3.5 3 2.5

2.5 2

2

campo3C14 Y

Rosa Ñique Alvarez

81

F ( x, y, z)  y z (2x  y) i  x z ( x  2 y) j  x y ( x  y) k C : r (t )  (1  t ) i  (1  2 t 2 ) j  (1  3 t 3 ) k ; 0  t 1

1.5

1.5 1

1

Rosa Ñique AlvarezX

82

Solución Para el campo vectorial conservativo

CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA

F ( x, y, z)  y z (2x  y) i  x z ( x  2 y) j  x y ( x  y) k

5

Es decir F = grad f.

Z

4 3

Función potencial f es:

2 1 4

f ( x, y , z )  x 2 y z  x y 2 z  K

3

3 2.5 2

campo3C15

2 1.5

Y

1

1

X

Rosa Ñique Alvarez

83

Rosa Ñique Alvarez

84

14

CALCULO VECTORIAL

Solución

Solución: Teorema fundamental

C : r (t )  (1  t ) i  (1  2 t 2 ) j  (1  3 t 3 ) k ; 0  t 1

W   F  dr    f  dr

Función potencial :

C

f ( x, y, z )  x 2 y z  x y 2 z  K A  r (0)  (1,1,1)

f ( A)  f (1,1,1)  2  K

B  r (1)  (2, 3, 4)

f ( B)  f (2, 3, 4)  120  K Rosa Ñique Alvarez

C

W  f ( B)  f ( A) W  120  K   2  K   118

85

REGIÓN ABIERTA Y CONEXA

Rosa Ñique Alvarez

86

REGION ABIERTA Y NO CONEXA

D

A

A

C

B

B Rosa Ñique Alvarez

87

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN R2 Y R3

88

EJEMPLO 6

Si el campo vectorial F tiene componentes con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta conexa D, entonces la integral de línea

 F  dr

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas: 1 x F ( x, y, z )  i  2 j  (2 z  1)k y y sobre una partícula que recorre una curva C que va del punto A(0,1,0) al punto B(1,2,4).

C

es independiente de la trayectoria si y solo si F es conservativo Rosa Ñique Alvarez

Rosa Ñique Alvarez

89

Nota: El campo vectorial F no esta definido en el plano XZ

Rosa Ñique Alvarez

90

15

CALCULO VECTORIAL

W

SOLUCION

SOLUCION: Independencia de la trayectoria

 F d r C

El trabajo se puede calcular, usando: • La forma Básica e independencia de la trayectoria. En este caso elegimos una curva C que va de A(0,1,0) hacia B(1,2,4), con la finalidad de simplificar los cálculos elegimos un segmento recto que va de A hacia B. ó • Teorema Fundamental. Rosa Ñique Alvarez

F ( x, y , z ) 

Solución

F ( x, y , z ) 

rot F (x, y, z) = 0 El campo vectorial F es conservativo para todo (x, y, z) ≠ (x, 0, z)

91

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

Rosa Ñique Alvarez

92

Solución

CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA

CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA 4.5 4 3.5 3

6

Z

2.5

(0,1,0)

2

4

1.5

Z

1 0.5 0

2 0

-0.5 2.2

-2 2.5

2 1.8

2

1.6 1.4 1.2 1

Y

0.8

0.2

0

0.6

0.4

0.8

1.2

1

0.5

Y

Rosa Ñique Alvarez

0.5

93

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA F ( x, y , z ) 

1 1

X

campo3C17

1.5

(0,1,0) 1.5

1.4

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

0

X

Rosa Ñique Alvarez

94

Solución Forma Básica e independencia de la trayectoria: evaluamos la integral sobre la recta

B(1,2,4)

C : r (t )   t , 1  t , 4 t  ; t  0, 1

Parametrización de la curva

C

x  t  C :  y  1  t : t  0, 1 z  4 t 

1

dr W   F  d r   F (r (t ))  dt dt C 0   

A(0,1,0)

FORMABASICA

Rosa Ñique Alvarez

95

Rosa Ñique Alvarez

96

16

CALCULO VECTORIAL

Solución: Forma básica Independencia de la trayectoria 1

W   F  d r   F (r (t ))  C

0

e

Solución: Teorema fundamental F ( x, y , z ) 

dr dt dt

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

B(1,2,4)

1  1  t W     4 (8 t  1) dt 1  t 1  t 2  0 

C A(0,1,0)

Y

W  25 / 2 Rosa Ñique Alvarez

97

SOLUCION: Teorema fundamental F ( x, y , z ) 

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

F ( x, y , z ) 

f ( x, y , z ) 

99

Solución: Teorema fundamental Función Potencial

f ( x, y , z ) 

f (0,1,0) = K

B=(1,2,4),

f (1,2,4) = 25/2 + K

Rosa Ñique Alvarez

x  z2  z  K y

Rosa Ñique Alvarez

100

SOLUCION: Teorema fundamental W 

x  z2  z  K y

Además: A=(0,1,0),

1 x i  2 j  (2 z  1)k y y

Función Potencial

F ( x, y, z)   f ( x, y, z) Rosa Ñique Alvarez

98

Solución: Teorema fundamental

rot F (x, y, z) = 0 El campo vectorial F es conservativo para todo (x, y, z) ≠ (x, 0, z)

Es decir

Rosa Ñique Alvarez

 F . dr   f  d r C

C

W  f (1,2,4)  f (0,1,0) W 101

25 25 K K  2 2 Rosa Ñique Alvarez

102

17

CALCULO VECTORIAL

CONCLUSIONES:

EJEMPLO 7

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y FORMA BÁSICA 1

W   F  d r   F (r (t ))  C

0

dr 25 dt  dt 2

Un ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura. Realiza un giro alrededor de la montaña para alcanzar la cima, mientras que su ángulo de subida es constante. Durante el viaje, el ejerce una fuerza descrita por el campo vectorial

F ( x, y, z)  x i  y j  z k

TEOREMA FUNDAMENTAL

25 W   F . dr   f  d r  2 C C Rosa Ñique Alvarez

¿Cuál es el trabajo realizado por el ciclista al viajar de A a B?

103

SOLUCION: Teorema fundamental

Rosa Ñique Alvarez

El campo vectorial

El campo vectorial F tiene componentes continuas en D y además es conservativo, porque

rot F  0

F ( x, y, z)  x i  y j  z k es conservativo de componentes continuas en D tiene la siguiente función potencial

F ( x , y , z )  f ( x , y , z ) Rosa Ñique Alvarez

f ( x, y, z )  105

Solución: Teorema fundamental



Además: A=(3,0,0),

f (3,0,0) = 81/2 + K

B=(0,0,9),

f (0,0,9) = 9/2 + K

Rosa Ñique Alvarez



106

SOLUCIÓN: Teorema Fundamental W 



1 2 x  y2  z2  K 2



1 2 x  y2  z2  K 2

Rosa Ñique Alvarez

Función Potencial

f ( x, y, z ) 

104

Solución: Teorema fundamental

F ( x, y, z)  x i  y j  z k

Es decir

x2  y2  z  9

 F . dr   f  d r C

C

W  f (0,0,9)  f (3,0,0)  36

107

Rosa Ñique Alvarez

108

18

CALCULO VECTORIAL

TEOREMA 1:

EJEMPLO 8

Sea F campo vectorial conservativo, donde sus componentes tienen derivadas de primer orden continuas en una región abierta y conexa D y C es una curva suave y cerrada en D.

Calcule la integral de línea del campo vectorial dado por:

F ( x, y, z)  e

y2z

i  xe

y2z

j 2x e

y 2z

k

A lo largo de la curva C para 0 ≤ t ≤1

 F d r  0

r (t )  ln (t 2  t 1) i  sen (t 3  3 t 2  4t ) j 

C

Rosa Ñique Alvarez

109

cosh (t 5  t )  1 (t 2  t 1)

4

k

7

Rosa Ñique Alvarez

110

Solución

Solución

Punto inicial A = (0, 0, 0) = B punto final

para 0 ≤ t ≤1

CAMPO VECTORIAL Y LA CURVA

C : r (t )  ln (t  t  1) i  sen (t  3 t  4t ) j  2

3

2

cosh (t 5  t )  1 (t 2  t  1)

4

k

0.1

7

0.08

Z

0.06

Punto Inicial

A  r (0)  (0, 0, 0)

0.04

0.02

0

Punto Final

-0.02

B  r (1)  (0, 0, 0)

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

La curva es cerrada porque A=B

-0.6 -0.8

campo3C16

-1

Y

-0.3

-0.25

-0.15

-0.2

-0.1

-0.05

0

0.05

X

Rosa Ñique Alvarez

111

Solución F ( x, y, z)  e

Rosa Ñique Alvarez

112

Solución y2z

i  xe

y2z

j 2x e

y2z

La curva C es cerrada , el punto inicial A y final B son iguales A = B = (0,0,0)

k

rot F = 0 El campo vectorial F conservativo y de componentes con derivadas parciales de primer orden continuas en D.

Rosa Ñique Alvarez

113

 F  dr    f  dr C

 F  dr 

C

f (0,0,0)  f (0,0,0)  0

Rosa Ñique Alvarez

114

19

CALCULO VECTORIAL



Evalúe

 F . dr







F ( x, y, z)  2 y  sen1 x i  e y j  x  ln( z 2  4) k

EJEMPLO 9

2

CAMPO VECTORIAL

si

C

1.5









1

F ( x, y, z)  2 y  sen1 x i  e y j  x  ln( z 2  4) k

0.5

Z

2

0

-0.5

donde C es el triángulo con vértices en los puntos: A=(1, 0, 0), B=(0, 1, 0) y D= (0, 0, 2).

-1 1.5 1

1.5 1

0.5 0.5 0

0 -0.5

-0.5 -1

campo3NC9 Rosa Ñique Alvarez







2



-1.5

X

Solución









F ( x, y, z)  2 y  sen1 x i  e y j  x  ln( z 2  4) k

2 C

C

-1

115

F ( x, y, z)  2 y  sen1 x i  e y j  x  ln( z 2  4) k

 F d r

Y

2

rot(F )  0, 1,  2  0 1

El campo vectorial F no es conservativo.

1 Rosa Ñique Alvarez





117





F ( x, y, z)  2 y  sen1 x i  e y j  x  ln( z 2  4) k 2

Rosa Ñique Alvarez

118

Solución: Forma Básica

rot (F )  0,  1,  2

El campo vectorial F no es conservativo.

CAMPO VECTORIAL Campo Vectorial Rotacional



1.5 1

C

b

F d r 

dr

 F ( r (t ))  d t

dt 2

a

0.5

Z

0

C

-0.5 -1 -1.5 -2 1.5 1

1

1.5

0.5 1 0

0.5 0

-0.5 -0.5

-1

campo3NC9

Y

-1 -1.5

-1.5

X

Rosa Ñique Alvarez

119

Rosa Ñique Alvarez

1

120

20

CALCULO VECTORIAL

Forma Básica

Solución: Forma Básica

 F d r   F d r   F d r   F d r

El campo vectorial F no es conservativo.

C

b

dr

 F  d r   F ( r (t ))  d t

C

C1

C2

C3

2

dt C3

a

C2

Para evaluar esta integral se tendría que usar la forma básica en cada segmento que conforma el triángulo, haciendo los cálculos muy complicados.

Rosa Ñique Alvarez

1 1

121

C1

Rosa Ñique Alvarez

122

RESUMEN

Solución El campo vectorial F no es conservativo.

 F d r C

Para evaluar esta integral de línea se recomienda usar el Teorema de Stokes.

FORMA BÁSICA  b    dr F definido en C   F r (t )  dt dt  a TEOREMA FUNDAMENTAL  F  d r   f  d r  f ( B ) - f ( A)  C  C F conservativo de componentes continuas en D  INDEP. TRAYECTORIA Y FORMA BÁSICA  b1  F  d r  F r (t )   d r dt   F conservativo de componentes con  C dt a1 derivadas parciales orden uno  1 continuas en D

Rosa Ñique Alvarez

123

Rosa Ñique Alvarez

124

RESUMEN

TEOREMA 1

 F d r  0 C

Rosa Ñique Alvarez

125

21