3.3 Derivada De Funcion Exponencial Y Logaritmica-arley

CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA 3.3 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA

3.3.1

Derivada de la función logarítmica

Derivada de y = lnx Por medio de la definición de la derivada de una función f(x) como el siguiente límite:

f ' ( x) =

f ( x + h) − f ( x ) h→ 0 h lim

puede mostrarse que

d 1 (ln x) = dx x d 1 du (ln u ) = dx u dx

Y aplicando la regla de la cadena,

Ejemplo. Diferenciar y = ln (x2+1). Solución. Sea u = x2 + 1 →

dy 1 d 2 1 2x = 2 ( x + 1) = 2 (2 x) = 2 dx x + 1 dx x +1 x +1

Ejemplo. Diferenciar y = x2ln(4x+2). Solución. Empleando la regla del producto:

dy d d 2x 2  1  = x 2 [ ln(4 x + 2)] + [ ln(4 x + 2)] ( x 2 ) = x 2  + 2 x ln(4 x + 2) (4) + [ ln(4 x + 2)]( 2 x) = dx dx dx 2x + 1  4x + 2  Derivadas de funciones logarítmicas con base b

Sea y = f ( x) = log b u →

y ' = f ' ( x) =

1 du (ln b)u dx

Ejemplo1.

y = f ( x) = ln 3 x − 10 . Sea u = 3 x − 10 f ' ( x) =

1 d 1 3 * (3 x − 10) = *3= (ln e)(3 x − 10) dx 3x − 10 3 x − 10

Recuerde que lne = 1

CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA Ejemplo2:

y = ln 5 x 4 + 8 x − 12 . Sea u = 5 x 4 + 8 x − 12. y' =

1 d 1 20 x 3 + 8 4 3 ( 5 x + 8 x − 12 ) = * ( 20 x + 8 ) = (ln e)(5 x 4 + 8 x − 12) dx 5 x 4 + 8 x − 12 5 x 4 + 8 x − 12

En algunos casos para derivar funciones logarítmicas es necesario aplicar previamente una o varias de las propiedades de los logaritmos. Dichas propiedades se enuncian a continuación:

•

Logaritmo de una potencia: log b

a n = n log b a

Ejemplo1

y = ln ( 3 x − 4) = 4 ln ( 3 x − 4 ) 3 12 y' = 4 * = 3x − 4 3x − 4 4

Ejemplo2:

y = f ( x) = log 7 5 5 x 3 + 6 x − 9 Apliquemos la propiedad número uno:

(

y = f ( x) = log 7 5 x 3 + 6 x − 9

)

15

1 = log 7 (5 x 3 + 6 x − 9) 5

Ahora sí, procedemos a derivar:

y' =

1 15 x 2 + 6 * 3 5 ln 7 5 x + 6 x − 9

•

Logaritmo de un producto:

log b (ac) = log b a + log b c

•

Logaritmo de un cociente:

a log b   = log b a − log b c c

Ejemplo1:

[(

)

y = f ( x) = ln 7 x 2 + 4 x − 1

3

5x − 3

]

Aplicamos la propiedad del producto:

y = f ( x) = ln(7 x 2 + 4 x − 1) 3 + ln 5 x − 3 = ln(7 x 2 + 4 x − 1) 3 + ln ( 5 x − 3)

12

CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA Aplicamos la propiedad número uno:

1 y = f ( x) = 3 ln(7 x 2 + 4 x − 1) + ln(5 x − 3) 2 Por último derivamos:

y' = 3 *

14 x + 4 1 5 3(14 x + 4) 5 + * = 2 + 2 7 x + 4 x − 1 2 5 x − 3 7 x + 4 x − 1 2(5 x − 3)

Ejemplo2:

10 x + 3  y = h( x) = log 2   5 x + 1  Aplicamos la propiedad del cociente:

y = log 2 (10 x + 3) − log 2 (5 x + 1) Ahora si derivamos:

y' =

3.3.2

1 10 1 5 * − * ln 2 10 x + 3 ln 2 5 x + 1

Derivadas de funciones exponenciales

Derivada de la función exponencial natural Daremos por mostrado que

y = ex

Ejemplo. Derivar

Solución.

y´ = e x

Ejemplo. Sea

y=

3

− 2 x +5

3

d x (e ) = e x . Similarmente, dx

−2 x +5

*

d u du (e ) = e u dx dx

. Sea u = x3-2x+5

3 d 3 ( x − 2 x + 5) = e x −2 x +5 * (3 x 2 − 2) dx

x dy . Encontrar x dx e

Solución. Primero usamos la regla de la derivada del cociente de dos funciones.

dy = dx

ex

d d ( x ) − x (e x ) e x (1) − xe x e x (1 − x) dx dx = = (e x ) 2 (e x ) 2 e2x

CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA Diferenciación de funciones exponenciales con base a

d u du (a ) = a u (ln a ) dx dx

Sea y = au, con a > 0, a ≠ 1. Entonces, Ejemplo1

y = f ( x) = 5 3 x −10. Hallar y´. y´ = 5 3 x −10 (ln 5)

Sea u = 3x − 10, y a = 5 :

d (3 x − 10) = 5 3 x −10 * (ln 5) * 3 dx

Ejemplo 2

y = e7x

2

−5 x − 4

y' = e 7 x

2

−5 x − 4

* (14 x − 5) * ln e = e 7 x

2

−5 x − 4

* (14 x − 5)

Ejemplo 3 2

y = f ( x ) = x 2 * e 4 x + 5 x −3 2 2 2 2 d 2 d d y' = x * e 4 x +5 x −3 + (e 4 x +5 x −3 ) * x 2 = 2 xe 4 x +5 x −3 + e 4 x +5 x −3 * 4 x 2 + 5x − 3 * x 2 dx dx dx

( )

y ' = 2 xe 4 x

2

+5 x −3

(

+ e4x

2

+5 x −3

* ( 8 x + 5) * x 2

)