3.1.conceptos Derivada-arley

CÁLCULO DIFERENCIAL CONCEPTO DERIVADA 3. LA DERIVADA a. CONCEPTOS Y DEFINICIONES. La derivada de un modelo matemático f(x) es otro modelo matemático f´(x) que se obtiene del modelo anterior, y se define de la siguiente manera: f ' ( x) =

f ( x + h) − f ( x ) h

lim h→ 0

(3-1)

siempre que este límite exista. Si puede encontrarse f´ (x), se dice que es f(x) es diferenciable, y f´(x) se llama derivada de f(x) en x, o derivada de f con respecto a x. El proceso de encontrar la derivada se denomina diferenciacion. En la anterior definición, la expresión

f ( x + h) − f ( x ) h

se conoce como cociente de diferencias. Así, es el límite de un cociente de diferencias cuando h → 0. Otras notaciones para la derivada de y = f(x) son las siguientes:

y' = f ' ( x) =

dy d [ f ( x)] = = D x [ f ( x)] dx dx

De manera similar, se habla de “segunda”, “tercera”, etc., derivadas:

d 2 y d 2 [ f ( x)] y' ' = f ' ' ( x) = 2 = dx dx 2 d 3 y d 3 [ f ( x)] La tercera derivada la podemos indicar por: y ' ' ' = f ' ' ' ( x) = = dx 3 dx 3 d 4 y d 4 [ f ( x)] La cuarta derivada la podemos indicar por: y ( 4 ) = f ( 4 ) ( x) = = dx 4 dx 4 d n y d n [ f ( x) ] La derivada de orden n se puede indicar por: y ( n ) = f ( n ) ( x ) = = dx n dx n La segunda derivada la podemos indicar por:

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CÁLCULO DIFERENCIAL CONCEPTO DERIVADA Ejemplos. Emplear la definición (3-1) para obtener las siguientes derivadas. 1.

Para. y = variable x.

f ( x) = 3 x 2 + 5 ; determine la primera derivada de este modelo con respecto a la

Nos piden determinar:

f ' ( x)

De acuerdo con la expresión (1), se tiene: f ' ( x) =

lim h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) h

f(x) = 3x2 + 5 (dado en el ejercicio) f(x + h) = 3(x + h)2 + 5

(recuerde: donde hay “x” se cambia por “x+h”)

Entonces:

lim f ( x + h) − f ( x ) 3( x + h) 2 + 5 − (3x 2 + 5) = = h→0 h h lim lim 3( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 5 − 3 x 2 − 5 3 x 2 + 6 xh + 3h 2 + 5 − 3x 2 − 5 = = h→0 h→0 h h lim f ' ( x) = h→0

lim h→0 lim h→0 2.

f ( x) =

6 xh + 3h 2 = h lim h(6 x + 3h) =→ f ' ( x) = 6 x + 3h = 6 x + 3(0) = 6 x → f ' ( x) = 6 x h→0 h

3x x+2

Hallar

f ' ( x)

De forma similar al ejemplo anterior,

f ( x) =

f ( x) =

3x x+2

3( x + h) ( x + h) + 2

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CÁLCULO DIFERENCIAL CONCEPTO DERIVADA

f ' ( x) =

lim h→0

3( x + h) 3x − lim / x + h) + 2 x + 2 = h→0 h

3( x + h)( x + 2) − 3 x[ ( x + h) + 2] [ ( x + h) + 2]( x + 2) = h

3 x 2 + 6 x + 3xh + 6h − 3x 2 − 3 xh − 6 x 6h lim lim ( x + h + 2)( x + 2) ( x + h + 2)( x + 2) = h→0 h→0 h h lim lim 6h 6 6 = = h → 0 h( x + h + 2)( x + 2) h → 0 ( x + h + 2)( x + 2) ( x + 0 + 2)( x + 2) 6 6 = → f ' ( x) = ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) 2 3.

(Interpretación geométrica de la derivada). La derivada f ´ (x1) expresa la pendiente le la línea tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto (x1, f (x1)).

Ejemplo. Sea y = f ( x) de f en (2, 17).

= 3 x 2 + 5 . Encontrar la pendiente de la línea tangente a la gráfica

Solución. La derivada de f en el punto dado es la pendiente. Hallemos f ´ (x) = 6x (se calculó en el primer ejemplo de esta sección). Ahora, se calcula el valor de f ´ (x) en x = 1 (recordemos que el punto dado es (2, 17); es decir, x = 2, y = 17). Así, f ´ (x) en x = 2 es f ´ (6) = 6 * 2 → f ´ (6) = 6*2 → f ´(6) = 12, que es el valor de la pendiente en (2, 17). Interpretación: según el gráfico, tan α = 12 → α = tan -1 12 → α = 85.2º

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CÁLCULO DIFERENCIAL CONCEPTO DERIVADA Ejercicio. Para el anterior ejercicio, encuentre una ecuación de la línea tangente a la gráfica de f en el mismo punto (2, 17). Solución. Sabemos que la pendiente es 12. Ahora, la ecuación de la línea recta está dada por y – y1 = m (x –x1), pero m = tan α = f ´ (x1, f (x1)). El punto x1, y1 es (2, 17), y f ´ = m = 12. Entonces: y – 17 = 12 (x – 2) → y – 17 = 12x – 24 → y = 12x – 24 + 17 →

y = 12x – 7

En la siguiente gráfica se observa la función dada con la recta tangente en (2, 7)

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