303

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMISOARA

în anul universitar 2008 - 2009

PREFAŢĂ Prezenta culegere se adresează deopotrivă elevilor de liceu, în scopul instruirii lor curente, cât şi absolvenţilor care doresc să se pregătească temeinic în vederea examenului de bacalaureat şi a concursului de admitere în universităţi de prestigiu în care admiterea se face pe baza unor probe la disciplinele de matematică. Conţinutul culegerii este adaptat noului curriculum de matematică care prin setul de competenţe, valori şi atitudini pe care le promovează asigură premisele pentru o integrare profesională optimă prin trasee individuale de învăţare şi formare. Având în vedere diversitatea datorată existenţei unui mare număr de manuale alternative, am căutat să unificăm diferitele maniere de prezentare prin alegerea unor probleme pe care le considerăm indispensabile pentru abordarea cu succes a cursurilor de matematică din ciclul întâi de la toate facultăţile Universităţii „Politehnica”din Timişoara. La alcătuirea problemelor s-a avut în vedere o reprezentare corespunzătoare atât a părţii de calcul, cât şi a aspectelor de judecată, respectiv, de raţionament matematic. Gradul de dificultate al problemelor nefiind cel al unei olimpiade de matematică, acestea vor putea fi abordate de orice elev sau absolvent cu o pregătire medie a părţii teoretice şi care posedă deprinderi de calcul corespunzătoare. Problemele sunt prezentate după modelul „test”, cu şase răspunsuri fiecare, dintre care unul singur este corect. Conştienţi de faptul că doar urmărirea rezolvării unor probleme nu duce la formarea deprinderilor de calcul şi a unui raţionament matematic riguros, autorii au ales varianta problemelor propuse fără rezolvări. De asemenea, pentru a nu „forţa” în rezolvare obţinerea unui rezultat dinainte cunoscut, nu se face precizarea care dintre cele şase răspunsuri este adevărat, aceasta rezultând în urma unei rezolvări corecte. Totuşi, pentru unele problemele cu un grad mai mare de dificultate, autorii au considerat necesar să dea indicaţii şi rezolvări integrale. Ţinând cont de faptul că prezenta carte va fi folosită şi la întocmirea subiectelor pentru concursul de admitere la Universitatea „Politehnica” din Timişoara, invităm absolvenţii de liceu să rezolve testele din acest volum, adăugându-şi astfel cunoştinţe noi la cele deja existente şi implicându-se prin aceasta în demersul de evaluare a propriilor competenţe. Departamentul de Matematică al UPT

Această culegere este recomandată pentru admiterea la următoarele facultăţi ale Universităţii „Politehnica” din Timişoara:

Facultatea de Arhitectură

Facultatea de Automatică şi Calculatoare

Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii

Facultatea de Electrotehnică şi Electroenergetică

CUPRINS

ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL ).....................................................................................................................9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol GT ).................................................................................................................165 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )................................................................................................................217 PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI...............................................................320

BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………..………358

6

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

10

Culegere de probleme

ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - 001 Care este cel de-al 10-lea termen al şirului 1,3,5,7,...? a) 10

b) 11

c) 15

d) 20

e) 19

f) 17

AL - 002 Să se găsească primul termen a1 şi raţia r ai unei progresii aritmetice ⎧a − a + a = −7 . (a n ) n≥1 dacă : ⎨a 2 − a 6 = 2a4 7 4 ⎩ 8

a) a1 = −4, r = 3 d) a1 = −5, r = 2

b) a1 = −4, r = 4 e) a1 = −2, r = 2

c) a1 = −3, r = 1 f) a1 = 1, r = 1

AL - 003 Să se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dacă a1=2, a5=14. a) 10100 b) 7950 c) 15050 d) 16500 e) 50100 f) 350 AL - 004 Pentru o progresie aritmetică suma primilor n termeni ai ei este S n = 5n 2 + 6n . Să se determine primul termen a1 şi raţia r.

a) a1 = 11, r = 9

b) a1 = 11, r = 10

c) a1 = 11, r = 11

d) a1 = 10, r = 11

e) a1 = 10, r = 10

f) a1 = 9, r = 9

AL - 005 Să se determine raţia şi primul termen ale unei progresii aritmetice pentru 1 care a 5 = 18, iar S n = S 2 n , unde S n este suma primilor n termeni ai progresiei. 4

a) a1 = 6, r = 3

b) a1 = 14, r = 1

d) a1 = −2, r = 5

e) a1 = 8, r =

5 2

c) a1 = 2, r = 4 f) a1 = 1, r = 1

11

Elemente de algebră

⎡ 3x + 1⎤ AL - 006 Să se determine x ∈ R astfel încât următoarele numere: ⎢ , 2x + 1 , ⎣ 5 ⎥⎦ 4 x + 1 să fie în progresie aritmetică, unde [α ] reprezintă partea întreagă a lui α ∈ R . ⎡3 ⎞ a) x ∈ ⎢ , 3 ⎟ ; ⎣4 ⎠

⎡4 ⎞ b) x ∈ ⎢ , 3 ⎟ ; ⎣3 ⎠

⎡4 ⎤ c) x ∈ ⎢ , 3⎥ ; ⎣3 ⎦

⎛3 ⎞ d) x ∈ ⎜ , 3 ⎟ ; ⎝4 ⎠

⎛4 ⎤ e) x ∈ ⎜ , 3⎥ ; ⎝3 ⎦

f) x ∈ φ

AL - 007 Să se determine ⎡ 3x ⎤ aritmetică: ⎢ , 4x −1 , ⎣ x + 1 ⎥⎦

a) x ∈ {1, 2, 3} ;

b) x = 5

x ∈ R astfel încât următoarele numere să fie în progresie ⎡5⎤ ∗ ⎢⎣ x ⎥⎦ , unde x ∈ N . c) x = 1

d) x ∈ {5, 6, 7,8}

e) x = 0

f) x ∈ φ

AL - 008 Să se determine x ∈ R astfel încât următorul triplet să fie format din numere în progresie geometrică x + 1 , − 4, 3 x + 5

⎧ 11 ⎫ ,1⎬ ⎩ 3 ⎭

a) x ⎨−

d) x ∈ {1}

⎧11 ⎫ , −1⎬ ⎩3 ⎭ 11 ⎧ ⎫ e) x ∈ ⎨− ⎬ 3 ⎩ ⎭ b) x ⎨

c) x ∈ φ

⎧ 11 ⎫ ⎬ ⎩ 3⎭

f) x ∈ ⎨1,

AL – 009 Fie ( an )n≥1 un şir având suma primilor n termeni S n = n 2 + an + b , unde

a, b ∈ R , pentru orice n ≥ 1 . Să se determine a şi b astfel încât şirul ( an )n≥1 să fie progresie aritmetică cu primul termen egal cu 2.

a) a = 2, b = 3

b) a ∈ R , b ∈ (1, 2 )

c) a = 1, b = 0

d) a = 2, b = 0

e) a = 2, b = 1

f) a = 1, b = 2

12

Culegere de probleme

AL – 010 Fie p, q ∈ N∗ , p ≠ q . Să se determine raţia unei progresii aritmetice în care primul termen este 3, iar raportul între suma primilor p termeni şi suma primilor q p2 termeni este . q2 a) 1

b) 2

c) 6

d) 5

e) 4

f) 3

AL – 011 Fie a1 , a2 ,..., an ∈ R \ {0} termenii unei progresii aritmetice cu raţia r ≠ 0 . În funcţie de a1 , n şi r să se calculeze suma: S n =

1 1 1 + + ... + . a1a2 a2 a3 an −1an

a)

n a1 (a1 + n )

b)

n +1 a + na1r

c)

n −1 a1 [a1 + (n − 1)r ]

d)

n −1 a1 (a1 − nr )

e)

n (a1 + r )n

f)

n+2 a1 + (n − 1)r

2 1

AL – 012 Să se determine numărul termenilor unei progresii aritmetice descrescătoare dacă simultan sunt îndeplinite condiţiile : (i) Raţia satisface ecuaţia

3

9

x2 − x−

3 2

= 27

(ii) Primul termen satisface ecuaţia :

lg 2 + lg( y + 1) = lg(5 y + 7 ) − lg 3 (iii) Suma progresiei este cu 9 mai mică decât exponentul p al binomului p

1 − ⎞ ⎛3 2 ⎜ b + b 3 ⎟ în a cărui dezvoltare termenul al patrulea conţine pe b la puterea întâi. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

a) n = 5

b) n = 3

c) n = 6

d) n = 10

e) n = 4

f) n=8

13

Elemente de algebră AL - 013 Să se determine primul termen a1 şi raţia q pentru progresia

⎧a − a1 = 15 geometrică (a n ) n≥1 dacă : ⎨ 5 . ⎩a 4 − a 2 = 6

1 2

a) a1 = 0, q = 1

b) a1 = 1, q = 2

c) a1 = −16, q =

⎧a1 = −16 ⎧a = 1 ⎪ d) ⎨ sau ⎨ 1 1 ⎩q = 2 ⎪⎩q = 2

e) a1 = 1, q = −1

⎧a = 4 ⎧a = 2 f) ⎨ 1 sau ⎨ 1 ⎩q = 2 ⎩q = 4

AL - 014 Suma a trei numere în progresie aritmetică este egală cu 12. Dacă se adaugă acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometrică . Să se afle aceste numere.

a) 5,4,7 şi 15,14,13 d) 1,3,5 şi 17,15,13

b) 1,4,7 şi 17,4,-9 e) 5,9,13 şi 18,14,10

c) 6,8,10 f) 2,4,6 şi –1,4,9

AL – 015 Trei numere sunt în progresie geometrică. Dacă se măreşte al doilea cu 32, progresia devine aritmetică, iar dacă se măreşte apoi şi al treilea cu 576, progresia devine din nou geometrică. Care sunt cele trei numere ?

a) 4,20,100 sau 1,-7,49 ; c) 100,4,20 sau 1,49,-7 ; e) 8,10,12 sau -3,-1,0 ;

b) 4,100,20 sau -7,1,49 ; d) 2,4,6 sau 6,4,2 ; f) 1,2,3 sau 49,50,51

AL – 016 Pot fi numerele 7,8,9 elemente ale unei progresii geometrice ?

a) b) c) d) e) f)

Da în progresie geometrică în ordinea 7,8,9 cu o raţie q<1 Da în progresie geometrică în ordinea 9,8,7 cu o raţie q<1 Da în progresie geometrică în ordinea 7,9,8 cu o raţie q<1 Da în progresie geometrică în ordinea 8,9,7 cu o raţie q<1 Nu, cu numerele date nu se poate forma o progresie geometrică Da în progresie geometrică în ordinea 7,9,8 cu o raţie q>1

14

Culegere de probleme

13

AL – 017 Să se calculeze

∑ k ⋅ 2 k −1 . k =1

a) 98299;

b) 98301;

c) 98303;

d) 98305;

e) 98307;

f) 98309

AL – 018 Să se calculeze suma

S n = 1 + 11 + 111 + ... + 11 ...1 . { n − cifre

[

a)

1 10 n − 10 − 9n 81

d)

1 n 10 − 10 − 9n 9

[

]

]

[

]

[

b)

1 1 10 n−1 − 10 − 9n c) 10 n+1 − 10 − 9n 81 81

e)

1 n−1 10 − 10 − 9n 9

[

]

f)

[

1 n +1 10 − 10 − 9n 9

]

]

AL – 019 Fie n∈N , n ≥ 3 şi a1, a2 ,…,an primii n termeni ai unei progresii geometrice cu n

n

1 şi p= a1 ⋅ a2⋅…⋅ an , atunci : k =1 a k

ak > 0, k = 1, n . Dacă S1 = ∑ a k , S 2 = ∑ k =1

⎛S ⎞ a) p = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ S2 ⎠

n

⎛S ⎞ d) p = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ S2 ⎠ n

⎛S ⎞ b) p = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ S1 ⎠

n

⎛S ⎞ c) p = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ S2 ⎠

2

e) p = S1n − S 2n

f) p =

S1 + S 2 S1 S 2

n

15

Elemente de algebră

AL – 020 Fie (a n )n şi (bn )n două progresii astfel încât prima să fie aritmetică şi cea de a doua geometrică, iar a1 = b1 = 3 şi a 3 = b3 . Să se determine aceste progresii dacă a2 = b2 + 6 .

a) an = 12n – 9, bn = 3n sau

an =12n + 9 bn = 3n

b) an = 12n – 9 bn = 3n sau

an = 12n – 6 bn = 3n

c) an = 12n – 9 bn = 3n

sau

an = 3 bn = 3(-1) n-1

d) an = 12n - 9 bn = 3n

an = 3 bn = 3(-1) n

e) an = 12n + 9 bn = 3(-1)n –1 sau

an = 12n – 9 bn = 3(-1)n

f) an = 12n + 9 bn = 3(-1) n sau

sau

an = 12n – 9 bn = 3n

AL – 021 Fie a1 , a2 ,..., an un şir de numere reale în progresie geometrică şi

p∈N*. Să se calculeze suma

Sn =

a) S n =

d) S n =

1 1 1 + p + ... + p . p p a + a1 a3 + a 2 a n +1 + a np

q np − 1 a1p q 2 np − 1

(

(q

b) S n =

)

)

p 2

− 1 q (n −1) p a1p q 2 p − 1 np

(

q np − 1 a1p q 2 p − 1

(

e) S n =

)

c) S n =

)

q (n −1) p a1p q p + 1

(

)

q np − 1 a1p q (n −1) p q 2 p − 1

f) S n =

(

)

1

p 1

a q

(n −1) p

(q

p

AL – 022 Să se calculeze expresia

E=

1 + a + a 2 + ... + a n −1 , a ∈ R \ {− 1}. 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2 n − 2

a)

1 a

b)

an + 1 a −1

c)

d)

a n a +1

e)

an + 1 a 2n + 1

f) 1

)

+1

a +1 an + 1

16

Culegere de probleme

AL – 023 Să se decidă dacă este progresie geometrică un şir pentru care suma primilor săi n termeni este S n = n 2 + 1 ; în caz afirmativ precizaţi raţia q a acesteia.

a) q =

3 2

d) q = 3

b) q =

2 3

c) q = 2

e) Şirul nu este progresie geometrică

f) q = 6

AL – 024 Să se determine numerele reale x,y,z dacă x,y,z sunt în progresie aritmetică cu raţia nenulă, x,z,y sunt în progresie geometrică şi x+y+z = 18.

a) - 24, 6, 12

b) 24, 6, -12

c) 6, 12, 0

d) -12, 12, 18

e) 12, -6, 36

f) 36, -18, 0

AL – 025 Să se determine numerele reale a cu proprietatea ⎡ 1 ⎤ 5a − 1 , şi să se precizeze intervalul în care se află soluţia. ⎢⎣a + 2 ⎥⎦ = 3

⎡3 ⎤ a) ⎢ ,1⎥ ⎣5 ⎦

⎡1 4 ⎤ b) ⎢ , ⎥ ⎣5 5 ⎦

⎛1 4⎞ c) ⎜ , ⎟ ⎝5 5⎠

⎡1 3 ⎞ d) ⎢ , ⎟ ⎣5 5 ⎠

⎡ 2⎤ e) ⎢0, ⎥ ⎣ 5⎦

f) [1, ∞ )

AL - 026 Să se determine numărul natural 6 ⎡100 ⎤ N = ∑⎢ k ⎥ , k =1 ⎣ 2 ⎦

unde [·] notează partea întreagă a numărului raţional scris în interior. a) 70

b) 83

c) 57

d) 91

e) 97

f) 78

17

Elemente de algebră AL - 027 Dacă [α] reprezintă partea întreagă a lui α∈ R, să se rezolve ecuaţia : ⎡ x + 1⎤ x − 1 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ = 2 precizându-se în care din următoarele intervale se află soluţia

a) (2,7) ∪ (9,15)

b) (-5,-3) ∪ (1,3 ] ∪ [5,7) ⎡ 3⎤ d) ⎢1, ⎥ ∪ (2,4) ∪ [5,7) ⎣ 2⎦ f) [0,2] ∪[4,7] ∪ (9,+∞)

c) (-3,2) ∪[3,4 ) ∪ (6,14) e) (-1,1] ∪[2,3) ∪ (5,8) AL - 028 Să se rezolve ecuaţia

[ ]

5 x 2 − 3[x ] + 2 = 0

[

a) x ∈ 1, 2 d) x ∈ (0,1]

)

(

b) x ∈ 1, 2

)

c) x ∈ (0,1)

e) x ∈ ∅

f) x ∈

[ 2 ,2)

⎡ 5 + 6x ⎤ 15x − 7 , unde [x] reprezintă partea = 5 ⎣ 8 ⎥⎦

AL - 029 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei: ⎢ întreagă a lui x, este ⎧4⎫ a) ⎨ ⎬ , ⎩5 ⎭

⎧3⎫ b) ⎨ ⎬ , ⎩4⎭

⎧ 7 4⎫ c) ⎨ , ⎬ , ⎩15 5 ⎭

⎧7⎫ d) ⎨ ⎬ , ⎩15 ⎭

⎧1 3⎫ e) ⎨ , ⎬ , ⎩2 4⎭

⎧1 4⎫ f) ⎨ , ⎬ ⎩2 5⎭

AL - 030 Notând cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei ⎡1⎤ 1 ⎢⎣ x ⎥⎦ = [x ] să se precizeze care din următoarele mulţimi este S ⎫ 1⎤ ⎧1 ⎡ b) U ⎢k, k + ⎥ a) ⎨ , n ∈ Z* ⎬ k⎦ ⎩n k∈Z∗ ⎣ ⎭ d) {-1,1}

e) [-1,1]

{

c) n 2 ; n ∈ Z \ {− 1,1} f) (-1,1)

}

18

Culegere de probleme

⎡x⎤ ⎣ ⎦

AL – 031 Se consideră funcţia f: R→R, f ( x ) = 2⎢ ⎥ + 1 2 şi se notează f2=f ο f, … , fn = fn-1ο f . Să se determine expresia lui fn b) fn(x) =2nf(x); e) fn(x) =f(x)+2n+1;

a) fn(x) =f(x) + n; d) fn(x) =f(x);

⎡ x − 2⎤

c) fn(x) =2n f(x)+2n-1+1 f) fn(x) = 2f(x)+1

⎡ x − 3⎤

= AL - 032 Fie ecuaţia ⎢ . Stabiliţi care dintre afirmaţiile de mai jos ⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ este adevărată a) ecuaţia are două soluţii b) ecuaţia are trei soluţii c) ecuaţia are o singură soluţie d) ecuaţia are o infinitate de soluţii e) ecuaţia nu are nici o soluţie f) ecuaţia are numai soluţii negative ⎡ m2 x − 1⎤ 2 x + 1 , m ∈ Z \ {0} , unde [ x ] este partea ⎥= 5 ⎢⎣ 2 ⎥⎦

AL - 033 Se dă ecuaţia ⎢

întreagă a numărului real x. Să se determine m ∈ Z pentru care ecuaţia are soluţii şi apoi să se determine aceste soluţii: a) m = ±1

b) m = ±2

x1 = 1; x2 = 2 x3 = 7; x4 =

19 2

d) m = ±1 x1 = 2; x2 = x3 =

29 4

x1 = 7; x2 =

c) m = ±1

19

x3 = 11; x4 =

2 29 2

e) m = ±1 19 2

; x4 = 11

x1 = 7; x2 = x3 = 8; x4 =

x1 = 7; x2 =

19

x3 = 12; x4 =

2 29 2

f) m = ±3 19 2 19 2

x1 = 7; x2 =

19

x3 = 11; x4 =

2 29 2

19

Elemente de algebră

AL - 034 Să se calculeze f ((1,4]) pentru funcţia de gradul al doilea definită prin f ( x) = x 2 − 4 x + 3 . a) [0,3]

b) [−1,0)

c) (0,3]

e) (−1,0)

d) [−1,3]

AL - 035 Dacă funcţiile f,g :R→R au proprietăţile: f(g(x)) = x2-3x+4, (∀)x∈R ; i) g(f(2)) = 2 ii) să se determine cel puţin o soluţie reală a ecuaţiei f(x) = g(x) a) x =1 b) x = −2 d) x = −2 e) x = 4

AL – 036 Să se rezolve inecuaţia

⎡ 2⎞ ⎣ 3⎠

d) x ∈ (1,2) ∪ (3, ∞)

c) x = 2 f) x = 3

3 2 1 + ≤ . x − 2 x + 2 2( x − 1)

⎛ ⎝

2⎞ 3⎠

c) x ∈ ⎜ 0, ⎟ ∪ [1, 2] ∪ (3, ∞ )

b) x ∈ (− ∞,−1) ∪ ⎢0, ⎟ ∪ (1,2)

a) x ∈ ( − ∞,−1)

f) (0,3)

⎡ 2⎤ f) x ∈ ( − ∞,−2) ∪ ⎢0, ⎥ ∪ (1,2) ⎣ 3⎦

e) x ∈ R \ {1,2}

AL - 037 Să se determine mulţimea valorilor lui m ∈ R , astfel încât x ∈ R 3 x 2 + mx − 22 = 0 I x ∈ R x 2 − ( m + 4) x + 14 = 0 ≠ ∅ .

{

a) (−∞, 5)

} {

b) {− 7, 3}

c) R

d) {− 19, 5}

}

e) {− 17, 8}

f) { 1 }

AL - 038 Să se rezolve inecuaţia x < x 2 − x .

a) x ∈ R

b) x ∈ (−∞,2) ∪ (3,∞)

c) x ∈ (3,+∞)

d) x ∈ (0,+∞) ∪ ( −∞, −2)

e) x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞)

f) x ∈ R \ {0,2}

20

Culegere de probleme

AL - 039 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât x ∈ R : (m − 1) x 2 − ( m + 1) x + m + 1 > 0 = ∅ .

{

}

⎡5 ⎞ a) m ∈ ( − ∞,−1) ∪ ⎢ ,+∞⎟ ⎠ 3 ⎣

b) m ∈[1,+∞)

c) m ∈ ( − ∞,−1]

⎡5 ⎞ d) m ∈ ⎢ ,+∞⎟ ⎠ ⎣3

5⎤ ⎡ e) m ∈ ⎢− 1, ⎥ 3⎦ ⎣

f) m ∈ ( − ∞,1]

AL - 040 Să se afle minimul expresiei E = a 2 + 2b 2 − 3a + 3b pentru a, b ∈ R . 9 27 b) 1 c) 0 d) − e) − 1 a) − f) − 3 4 8 AL - 041 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x) = x 2 + mx + m − 4 , m ∈ R.

Să se exprime în funcţie de m > 4 , expresia E = x1 ⋅ f ( x2 − m) + x2 ⋅ f ( x1 − m) , unde x1 , x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei f ( x) = 0 . a) 1 − m

b) m 2 + 1

c) 4m(m − 4)

d) 4(m 2 − 1)

e) m(m − 4)

f) m 2 + 2

AL - 042 Să se determine m ∈ R , astfel ca rădăcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei x 2 − ( 2m − 3) x + m − 1 = 0 să satisfacă relaţia 3x1 − 5x1 x 2 + 2 x 2 = 0 .

a) m1 = 2 , m2 = 3

b) m1 = 1 , m2 = −1

c) m1,2 = 2 ± 7

d) m1,2 = 2 ± 5

e) m1,2 = ± 5

f) m1 = 2 , m2 = −2

AL - 043 Fie ecuaţia 2 x 2 − 2mx + m 2 − 2m = 0 , unde m ∈ R. Care este mulţimea valorilor pe care le pot lua rădăcinile reale x1 , x 2 când m variază ?

a) [− 2 , 2 ]

b) [1 − 2 ,1 + 2 ]

c) [2 − 3 ,2 + 3 ]

d) [−1,1]

e) [1 − 3 ,1 + 3 ]

f) [− 3 , 3 ]

21

Elemente de algebră

AL - 044 Fie ecuaţia 2x2-2(m+2)x+m2+4m+3=0, m∈R. Dacă ecuaţia are rădăcinile reale x1(m), x2(m), precizaţi valoarea maximă a expresiei E = x1 (m) + x2 (m) .

a) 3;

b) 4;

c) 2;

d)

2;

e)

3;

f) 1.

AL - 045 Fiind dată ecuaţia ax2+bx+c=0, (a ≠0), să se exprime în funcţie de a, b şi c suma

S3 = x13 + x23 , unde x1,x2 sunt rădăcinile ecuaţiei date. a) S3 =

b3 a3

d) S3 = −

−3

bc a2

b3 bc +3 2 3 a a

b) S3 =

c3 bc −3 2 3 a a

e) S3 = −

c3 bc +3 2 3 a a

c) S 3 =

b2 bc −3 3 2 a a

f) S3 = −

b2 bc +3 3 2 a a

AL - 046 Se consideră ecuaţiile x 2 − 7 x + 12 = 0 şi x 2 − 3 x + m = 0 . Să se afle m pentru ca ecuaţiile să aibă o rădăcină comună.

a) m ∈ {− 4,0},

b) m ∈ {− 1,0}

c) m ∈ {− 4,1}

d) m ∈ {1,2}

e) m ∈ {2,3}

f) m ∈ {0,1}

AL - 047 Să se determine parametrii reali m şi n astfel ca ecuaţiile (5m − 52)x 2 + (4 − m )x + 4 = 0 şi (2n + 1)x 2 − 5nx + 20 = 0 să aibă aceleaşi rădăcini.

a) m = -11, n = 7;

b) m = - 7, n = 11

c) m = 9, n = 7

d) m = 11, n = 7

e) m = 7, n = 11

f) m = 9, n = -7

22

Culegere de probleme

AL - 048 Fie ecuaţia 3mx 2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0 , m ∈ R , ale cărei rădăcini sunt x1 şi x2. Să se determine o relaţie independentă de m între rădăcinile ecuaţiei.

a) x1 + x2 = x1 x2 d) x1 + x2 + x1 x2 = −

1 3

b) x12 + x22 = 2 x1 x2

c) x12 − x22 = 2 x1 x2

e) x12 + x22 − 3 x1 x2 = 0

f) x12 + x22 + x1 x2 = 0

AL - 049 Se consideră ecuaţiile ax 2 + bx + c = 0,

a' x 2 + b' x + c' = 0 a ≠ 0, a' ≠ 0

cu rădăcinile x1 , x2 şi respectiv x1 ' , x2 ' . Dacă între coeficienţii celor două ecuaţii există relaţia ac '+ a ' c − 2bb' = 0 , atunci care din următoarele relaţii este verificată de rădăcinile celor două ecuaţii?

1 1 1 1 + = + x1 x2 x1 ' x2 '

a) x1 x2 + x1 ' x2 '−2( x1 + x2 )( x1 '+ x2 ') = 0

b)

c) x1 x1 '+ x2 x2 ' = x1 + x1 '+ x2 + x2 '

d) 2 x1 = x2 − x2 '+2 x1 '

e) x1 x2 = x1 ' x2 '

f) x1 x2 + x1 + x2 =

AL - 050 Să se rezolve ecuaţia iraţională

1 1 + x1 ' x2 '

1 − x2 + x = 1 .

a) x1 = 0, x2 = 1

b) x1 = −1, x2 = 1

c) x1 = −1, x2 = 0

d) x1 = 1, x2 = 2

e) x1 = −1, x2 = 2

f) x1 = 0, x2 = 2

AL - 051 Determinaţi toate valorile lui x ∈ Z pentru care are loc inegalitatea

3x − 11 − 7 + x < 0 . a) {1,3,4,5,6,7,8}

b) {1,2,3,4,5,7,8}

c) {2,3,4,5,6,7,8}

d) {4,5,6,7,8}

e) {2,3,5,6,7}

f) {2,4,5,6,7,8}

23

Elemente de algebră

AL - 052 Fie funcţia f : R → R , f ( x) =

3x − 1 . Să se determine x pentru care 3x 2 + 1

funcţia ia cea mai mare valoare. a) 1 − 3

b)

3

3 +1 3

d) − 1 + 3

c) 1

e)

1 2

f) 1 + 3

AL - 053 Să se determine toate valorile lui m ∈ R pentru care funcţia

f : R → R,

⎧2 x − 1, x ∈ (− ∞,1) f (x ) = ⎨ ⎩mx − m + 1, x ∈ [1, ∞ )

este monotonă. a) m ∈ (− ∞, o )

b) m = −4

c) m ∈ R

d) m ∈ [0, ∞ )

e) m ∈ [− 2,1)

f) m ∈ φ

AL - 054 Să se determine valorile lui m ∈ R astfel încât funcţia

⎧ x + m, x ∈ (− ∞,3] f (x ) = ⎨ ⎩mx + 2, x ∈ (3, ∞ )

f : R → R,

să fie surjectivă. a) m = −1

⎛ ⎝

1⎞ 2⎠

d) m ∈ ⎜ − 1, ⎟

⎛ ⎝

1⎤

b) m ∈ (0,1)

c) m ∈ ⎜ 0, ⎥ 2

e) m ∈ φ

f) m = 1

⎦

AL - 055 Să se determine mulţimea maximală E astfel încât funcţia f : E ⊂ R → R ,

f ( x ) = max{2 x − 5, x − 2}

să fie bijecţie. a) E = R +

d) E = [0,1]

b) E = [− ∞,0]

e) E = (− ∞,3]

c) E = R

f) E = [1, ∞ )

24

Culegere de probleme

AL - 056 Fie funcţia de gradul al doilea f m (x ) = mx 2 − (2m − 1)x + m − 1 , (m ≠ 0) . Să se determine m astfel încât vârful parabolei asociate acestei funcţii să se găsească pe prima bisectoare.

a) m =

1 4

b) m = 4

c) m =

1 2

d) m = 2

e) m =

1 6

f) m = 6

AL - 057 Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât dreapta de ecuaţie y + 1 = x să taie parabola de ecuaţie y = mx 2 + (m − 5)x + m 2 + 2 în punctele (1,0) şi (4,3).

a) m1 = −1, m2 = −3

b) m1 = 3, m2 = −3

c) m = −3

d) m = 1

e) m = −21

f) m = 3

AL - 058 Fie familia de funcţii de gradul al doilea

f m ( x ) = x 2 − 2(m − 1)x + m − 2, m ∈ R Să se arate că vârfurile parabolelor asociate acestor funcţii se găsesc pe o parabolă a cărei ecuaţii se cere. a) y = x 2

b) y = x 2 + x + 1

c) y = − x 2 − x + 1

d) y = − x 2 + x − 1

e) y = 2 x 2 − x + 3

f) y = x 2 + 1

AL - 059 Determinaţi expresia analitică a funcţiei de gradul al doilea f : R → R ,

f ( x ) = ax 2 + 4 x + c , ştiind că graficul ei taie axa Oy în punctul 1 şi are abscisa 2 vârfului − . 3

a) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x + 1

b) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x − 1

e) f ( x ) = x 2 + 4 x + 1

f) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 3

c) f ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1

d) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1

25

Elemente de algebră AL - 060 Să se determine m ∈ R astfel încât parabolele asociate funcţiilor f ( x ) = x 2 − 2 x − 4 şi g (x ) = mx 2 − 2mx − 6 să aibă acelaşi vârf.

a) m = -1

b) m = 1

c) m = -2

d) m = 2

e) m = 3

f) m = -5

AL - 061 Fiind dată familia de parabole f m ( x ) = mx 2 − 2(m + 1)x + m + 2 ,

∀m ∈ R* să se determine valorile lui m pentru care obţinem parabole ale căror puncte de intersecţie cu axa Ox sunt simetrice faţă de origine. a) m ∈ R − {− 1}

b) m = 2

c) m = 1

d) m = −1

e) m ∈ {− 1,1,2}

f) m = 3

AL - 062 Să se determine p, q ∈ R dacă funcţia f : R → R , f ( x ) = − x 2 + px + q are maximul 4 în punctul x = -1.

a) p = −2, q = 3

b) p = −1, q = 2

c) p = 3, q = −2

d) p = q = −2

e) p = q = 1

f) p = 2, q = −3

AL - 063 Presupunem că pentru ecuaţia ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) avem ∆ > 0 şi

rădăcinile x1 , x2 . Să se calculeze x1 − x2 în funcţie de ∆ şi a. a)

∆ 2a

b)

∆ a

c)

∆ 2a

d)

∆

e)

∆ −a

f)

b ∆ + 2a 2a

26

Culegere de probleme

AL - 064 Dacă x1 , x2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 − x + 1 = 0 , atunci ecuaţia care are

rădăcinile x1 + 1 şi x2 + 1 este echivalentă cu: a) y 2 − y + 1 = 0 ;

b) y 2 − y + 2 = 0

c) y 2 − 2 y + 2 = 0

d) y 2 − 3 y + 1 = 0

e) y 2 − 3 y + 2 = 0

f) y 2 − 3 y + 3 = 0

AL - 065 Fie o funcţie f : R → R , astfel încât f (1) = 5 şi ∀x, y ∈ R ,

f ( x + y ) − f (x ) = Kxy + 2 y 2 , unde K este o constantă.

Să se determine valoarea lui K şi funcţia f. a) K = 4; f ( x ) = 2 x + 3

b) K = 3,

f (x ) = 2 x 2 − x + 4

c) K = 3;

f (x ) = x + 4

d) K = 1;

f (x ) = 2 x 2 − 3x + 6

e) K = 4;

f (x ) = 2 x 2 + 3

f) K = 2;

f (x = 2 x 2 − 2 x + 5)

AL - 066 Fie a ∈ R şi funcţia f : R → R ,

f ( x ) = x 2 − 2ax + 3 .

Dacă rădăcinile x1 , x2 ale ecuaţiei f ( x ) = 0 satisfac relaţia 3 ( x1 + x2 ) = 4 x1 x2 , mulţimea soluţiilor inecuaţiei f ( 2 x + 1) < f ( x ) este: a) (-1, 0);

b) (-1, 1);

c) (-1, 2);

d) (0, 1);

e) (0, 2);

f) (-2, 2).

AL - 067 Care sunt valorile k reale pentru care inecuaţia x 2 − ( k − 3) x − k + 6 < 0 nu are soluţii ?

a) k ∈ ( − 5,0)

b) k ∈[1,5)

c) k ∈[ − 3,5]

d) k ∈[ − 3,8]

e) k ∈[ − 2,3] ∪ ( 4,7)

f) k ∈[ − 1,2) ∪ ( 4,5)

27

Elemente de algebră AL - 068 Pentru ce valori ale parametrului real m inegalităţile 2 x 2 − mx + 2 −2< < 6 sunt satisfăcute pentru orice x ∈ R ? x2 − x + 1 b) m ∈ ( − 2,6) c) m ∈ ( 6,+∞) a) m ∈ R d) m ∈ ( − ∞,−2)

f) m ∈[ − 2,6]

e) m ∈ ( − 6,6)

AL - 069 Să se rezolve inecuaţia 5 x 2 − 20 x + 26 ≥ a) [−1,0)

⎡4 ⎞ b) ⎢ ,+∞ ⎟ ⎣5 ⎠

c) {0, 1}

4 . x − 4x + 5 2

(

e) ∅

d) R

f) − 2 , 2

)

AL - 070 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel încât funcţia 4 x 2 − 6mx + 9 să nu ia nici o valoare mai mică decât 3 sau mai f : R → R, f ( x ) = x2 +1 mare decât 13.

⎡ 2 2⎤ a) ⎢− , ⎥ 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣

b) ( − 2,2)

⎛ 2 2⎞ ⎟ c) ⎜⎜ − , 3 3 ⎟⎠ ⎝

d) [ − 11 ,]

e) ( − 1,2]

f) − 2 , 2

(

)

AL - 071 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât x 2 + (m + 1) x + m + 2 > 0 pentru orice x ∈ R . x2 + x + m

{

a) m ∈ 1 − 2 2 ,1 + 2 2

}

c) m ∈ ( − ∞,−1) ∪ (4,+∞)

(

e) m ∈ 1 − 2 2 ,1 + 2 2

)

) [ 2 ) ∪ (1 + 2 ,+∞)

1⎞ ⎛ b) m ∈ ⎜ − ∞, ⎟ ∪ 1 + 2 2 ,+∞ ⎝ 4⎠

(

d) m ∈ − ∞,1 −

⎛1 ⎞ f) m ∈ ⎜ ,1 + 2 2 ⎟ ⎝4 ⎠

28

Culegere de probleme

AL - 072 Să se afle cea mai mică valoare a funcţiei f : R → R ,

f ( x ) = x 2 − 2 x 1 − m 2 + 1 + m + m 2 , când parametrul real m parcurge toate valorile posibile. a) − 1

b) 0

c) 1

d) −

1 2

e) −

1 8

f) −

1 4

AL - 073 Să se determine distanţa celui mai apropiat vârf al parabolelor f ( x ) = x 2 + mx + m − 4 , m ∈ R de axa Ox.

a) 0

b)

2

c) 2

d) 3

e) 4

f) 1

AL - 074 Să se determine m ∈R * astfel încât 4mx 2 + 4(1 − 2m) x + 3(m − 1) > 0

pentru orice x > 1. a) m ∈( − ∞,0)

b) m ∈( 0,+∞)

d) m ∈(0,1]

e) m ∈[2,+∞)

c) m ∈(1,4]

f) m ∈( − 11 , ) \ {0}

AL - 075 Pentru ce valori ale lui m , mulţimea

{

A = x ∈R

(m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + m = 0} ∩ [− 11, ]

are un singur element ?

a) m ∈R

b) m ∈( − 1,+∞ )

3⎞ ⎛ c) m ∈⎜ − ∞ , ⎟ ⎝ 4⎠

d) m ∈[ − 2,−1]

⎛ 1 ⎞ ⎧ 1⎫ e) m ∈⎜ − ,+∞⎟ ∪ ⎨− ⎬ ⎝ 4 ⎠ ⎩ 3⎭

1⎞ ⎛ f) m ∈⎜ − ∞ ,− ⎟ ⎝ 4⎠

AL - 076 Fie ecuaţia x 2 (1 − m) + 2 x( a − m) + 1 − am = 0 , unde a ≠ 1 şi m sunt parametri reali. Pentru ce valori ale lui a, ecuaţia admite rădăcini reale oricare ar fi valoarea parametrului m ? 5⎤ ⎛ a) a ∈ ⎜ − ∞,− ⎥ b) a ∈ R c) a ∈ (−1,1) d) a ∈ (0,1) e) a ∈ [0,+∞) f) a ∈ (1,+∞) 4⎦ ⎝

29

Elemente de algebră

AL - 077 Se consideră ecuaţia mx 2 − x + m − 7 = 0 . Căruia din intervalele indicate mai jos trebuie să aparţină parametrul real m, astfel ca ecuaţia dată să aibă o singură rădăcină cuprinsă în intervalul [2,4] ? a) ( − ∞,−1]

b) (2,+∞)

⎛ 1⎞ c) ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠

⎡ 1 ⎞ d) ⎢− ,0⎟ ⎣ 2 ⎠

⎡ 11 9 ⎤ e) ⎢ , ⎥ ⎣ 17 5 ⎦

⎛ 9⎞ f) ⎜ 0, ⎟ ⎝ 5⎠

AL - 078 Să se determine valorile parametrului m ∈ R \ {0} astfel încât ecuaţia mx 2 − ( m − 1) x − 1 = 0 să aibă ambele rădăcini în intervalul ( − ∞,3] .

1⎤ ⎛ a) m ∈⎜ − ∞,− ⎥ ∪ (0,+∞ ) ⎝ 5⎦

b) m ∈( − 11 , ] \ {0}

1⎤ ⎡1 ⎞ ⎛ c) m ∈⎜ − ∞,− ⎥ ∪ ⎢ ,+∞⎟ ⎠ ⎝ 5⎦ ⎣5

d) m ∈( − ∞,0) ∪ [2,+∞)

⎡ 1 1⎤ e) m ∈ ⎢− ,− ⎥ ⎣ 3 5⎦

1⎤ ⎛ f) m ∈⎜ − ∞,− ⎥ ∪ ( 0,+∞) ⎝ 3⎦

{

}

AL - 079 Să se determine Im f = f ( x ) x ∈ R pentru funcţia f : R → R ,

f (x ) =

x − 3x + 2 x2 + x + 1 2

⎡ 9 − 2 21 9 + 2 21 ⎤ , ⎥ 3 3 ⎣ ⎦ ⎛ 9 − 2 21 ⎤ c) ⎜⎜ − ∞, ⎥ 3 ⎝ ⎦ ⎛ 9 − 3 21 ⎤ ⎡ 9 + 3 21 ⎞ , ∞ ⎟⎟ e) ⎜⎜ − ∞, ⎥U⎢ 3 3 ⎝ ⎦ ⎣ ⎠

a) ⎢

⎡ 9 + 2 21 ⎞ , ∞ ⎟⎟ 3 ⎣ ⎠

b) ⎢

⎛

9 − 2 21 ⎤ ⎡ 9 + 2 21 ⎞ , ∞ ⎟⎟ ⎥U⎢ 3 3 ⎝ ⎦ ⎣ ⎠ ⎛ 9 − 3 21 9 + 3 21 ⎞ ⎟ , f) ⎜⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠

d) ⎜⎜ − ∞,

AL - 080 Rezolvaţi în R inecuaţia 1 − x − x 2 − 3x + 2 > 0 . a) x ∈(1,3]

d) x ∈( 0,2) ∪ ( 3,4)

b) x ∈(1,3)

e) x ∈[2,4]

c) x ∈(2,4)

f) x ∈( − 1,4]

30

Culegere de probleme

AL - 081 Să se rezolve în R ecuaţia x 2 − 1 + x 2 − 4 − 1 = 0 .

a) x ∈( − 2,1)

b) x ∈R

c) x ∈[2,+∞)

d) x ∈∅

e) x ∈( − ∞,−2]

f) x ∈R \ {1,4}

AL - 082 Precizaţi care este mulţimea soluţiilor sistemului ⎧⎪3 y 2 − 2 xy = 160 . ⎨ 2 ⎪⎩ y − 3xy − 2 x 2 = 8

{

}

a) (8,2); ( − 8,−2); (17,−5); ( − 17,5)

⎧ ⎛ 17 5 ⎞ ⎛ 17 5 ⎞ ⎫ c) ⎨( − 2,8); ( 2,−8); ⎜ − ,− ⎟ ; ⎜ , ⎟ ⎬ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎭ ⎩ ⎧ ⎛ 17 ⎞ ⎛ 17 ⎞ ⎫ e) ⎨(1,−4); ( − 1,−4); ⎜ ,5⎟ ; ⎜ − ,−5⎟ ⎬ ⎠⎭ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎩

⎧ ⎛ 17 ⎞ ⎛ 17 ⎞ ⎫ b) ⎨( 2,8); ( − 2,−8); ⎜ ,−5⎟ ; ⎜ − ,5⎟ ⎬ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎩ ⎧ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎫ ⎛ d) ⎨( 2,−8); ( − 2,−8); ⎜ 17, ⎟ ; ⎜ − 17,− ⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎭ ⎩

⎧ ⎛ 17 ⎞ ⎛ 17 ⎞ ⎫ f) ⎨( − 1,4); (1,−4); ⎜ ,5⎟ ; ⎜ − ,−5⎟ ⎬ ⎠⎭ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎩

AL - 083 Să se rezolve sistemul

⎧x + y = 3 ⎨ ⎩ xy = 2 a) {(1,3), (3,1)} d)

b)

{(− 1,2), (2,−1)}

{(2,3), (3,2)}

e) {(1,1)}

c) {(1,2 ), (2,1)} f)

{(2,2)}

b) {(1,1)}

c)

{(2,2)}

e) {(1,3), (3,1)}

f)

{(2,2), (1,1)}

AL - 084 Să se determine soluţiile reale ale sistemului

4 y ⎧ x + = ⎪ + 1 + 1 3 y x ⎨ ⎪ x + y + xy = 5 ⎩ a) {(2,1), (1,2 )} , d)

{(2,3), (3,2)}

31

Elemente de algebră

AL - 085 În care din următoarele mulţimi se află soluţiile sistemului

⎧⎪ x 2 + y 2 + xy = 91 ⎨ ⎪⎩ x + y + xy = 13 a)

c)

e)

x1 ∈ [0,2], y1 ∈ {7,8}

b)

x2 ∈ [5,10], y2 ∈ (− 1,1) x1 ∈ (2 ,3), y1 ∈ (0 ,7 )

d)

x2 ∈ {5,7}, y2 ∈ (− 1,2) x1 ∈ [− 7,−2], y1 ∈ [3,5)

f)

x2 ∈ (3,6 ), y2 ∈ (3,6 )

AL - 086 Fie

x1 ∈ (− 1,3], y1 ∈ [7,9]

x2 ∈ {7,8, 9], y2 ∈ [0,3] x1 ∈ (2, ∞ ), y1 ∈ (− ∞,0]

x2 ∈ {3,5,7}, y2 ∈ {0,1,3} x1 ∈ (1,5), y1 ∈ (7,9 )

x2 ∈ (7,9 ), y2 ∈ (1,5)

{( xk , yk ) k = 1, 2,..., n} mulţimea soluţiilor reale ale sistemului ⎧⎪ x 2 + y 2 + x + y = 8 ⎨ 2 2 . ⎪⎩ x y + xy = 6 n

Să se calculeze

∑x k =1

k

.

a) 3 − 2 2 ;

b) 0;

c) 1;

d) 3 + 2 2 ;

e) – 2;

f) 2 + 2

32

Culegere de probleme

AL - 087 Să se determine soluţiile sistemului

⎧⎪ x 2 = 4 ⎨ x ⎪⎩ y = 25

(2,5); ⎛⎜ 2, 1 ⎞⎟

(2,5); (2,−5)

⎝ 5⎠ a) 1⎞ ⎛ ⎜ 2,− ⎟; (− 2,−5) 5⎠ ⎝

c)

b) ⎛

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ − 2, ⎟; ⎜ − 2,− ⎟ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝

x=2

x = 2;

este singura soluţie

d)

1 este singura soluţie x= 5

f)

y=5

x= 4 e)

⎧x2 + y 2 = z

AL - 088 Fie (S ) : ⎨

⎩x + y + z = m

y=−

1 este singura soluţie 5

x =2 y =5

, m ∈ R . Fie

⎛ ~ ~ ~ ⎞ A = {m ∈ R (S ) admite o soluţie reală unică, notată cu ⎜ xm , ym , zm ⎟ }, ⎝ ⎠ 2 2 2 ~ ~ ~ ⎛ ⎞ S1 = ∑ m şi S 2 = ∑ ⎜⎜ xm + ym + zm ⎟⎟ . Atunci m∈ A m∈ A⎝ ⎠ a) S1 = 0; S 2 =

1 2

3 4

d) S1 = − ; S 2 =

1 2

3 4

3 1 ; S2 = 2 4

b) S1 = − ; S 2 = 25

c) S1 =

e) S1 = −5; S 2 = 14

f) S1 ≥ 5; S 2 = 25

33

Elemente de algebră AL - 089 În care din următoarele mulţimi se află soluţiile reale ale sistemului ⎧⎪ x 6 − y 3 = 98 ? ⎨ 4 ⎪⎩ x + x 2 y + y 2 = 49

(

, ); y ∈{− 1,0,1} a) x ∈( − 11

(

) (

c) x ∈ − ∞,− 3 ∪

) (

b) x ∈ − 3 , 3 ; y ∈ − 3 , 3

) [

3 ,+∞ ; y ∈ 2,3 3

]

)

d) x ∈( − ∞,−7); y ∈( 7,+∞)

⎛ 2 2⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ ; y ∈⎜ − , ⎟ , f) x ∈⎜⎜ − ⎝ 2 2⎠ 2 2 ⎝ ⎠

⎛ 1 1⎞ e) x ∈⎜ − , ⎟ ; y ∈( − 11 ,) ⎝ 2 2⎠

AL – 090 Să se determine toate tripletele de numere reale (x, y, z) care verifică sistemul neliniar y2 − xz = 0 , z2 −16y = 0 x2 −y = 0,

a) (0,0,0) ; (2,4,4) ; (−2,4,−8);

b) (0,0,0); (2,4,8); (−2,4,8)

c) (0,0,0) ; (−2,4,−8) ; (2,−4,8) ;

d) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,−8)

e) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (−2,4,−8) ;

f) (1,1,4) ; (1,1,1); (−1,1,−1); (1,−1,1)

AL – 091 Să se determine condiţiile pe care trebuie să le verifice parametri reali a,b astfel încât sistemul

⎧⎪ x 3 − y 3 = a (x − y ) ⎨ 3 ⎪⎩ x + y 3 = b( x + y )

să aibă toate soluţiile reale

a) a,b∈R a2 = 3b

b) a,b∈R+ a≤ 3b, b≤ 3a

c) a,b∈R+ a ≤ 2b, b≤ 2a

d) a,b∈R

e) a,b∈R a=b

f) a,b∈R+

34

Culegere de probleme

⎧x + y + z = 6 ⎪ AL – 092 Fiind dat sistemul ⎨ x 2 + y 2 + z 2 = 14 ⎪ x 3 + y 3 + z 3 = 36 ⎩ să se precizeze numărul soluţiilor reale şi intervalele în care se află aceste soluţii a) n = 3 b) n = 6 (x,y,z) ∈[−1,5] × [−1,5] × [−1,5] (x,y,z) ∈[0,4] × [0,4] × [0,4] c) n = 1 d) n = 6 (x,y,z) ∈ [3,7]×[3,7]×[3,7] (x,y,z) ∈ [2,9] × [2,9] × [2,9] e) n = 3 f) n = 2 (x,y,z) ∈[−1,2] × [−1,2] × [−1,2] (x,y,z) ∈[0,1] × [0,1] × [0,1] AL – 093 Să se determine în care din intervalele de mai jos se află soluţiile sistemului

xy yz zx x2 + y2 + z2 = = = 6 2 y + 3x 3z + y x + 2 z a)

⎛ 3⎞ ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎞ x ∈ ⎜ 0, ⎟, y ∈ ⎜ 0, ⎥, z ∈ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎦ ⎝ 2⎠

⎛1 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 2 ⎟, y ∈ ⎜⎝ 2 ,1⎟⎠, z ∈ ⎜ 0, 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ e) x ∈ (1,2), y ∈ ⎜ 0, ⎜ 2 ⎟, z ∈ (0,1) ⎝ ⎠ c) x ∈ ⎜ ,

⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎞ 2⎞ ⎟ ⎟, z ∈ ⎜ ⎟, y ∈ ⎜ 0, , 1 ⎜ 2 ,1⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝

b) x ∈ ⎜

d) x ∈ (0,1), y ∈ (1,2), z ∈ (2,3)

⎛ ⎜ ⎝

f) x ∈ ⎜ 0,

(

3⎞ 3 ⎟, y ∈ ⎛⎜1, ⎞⎟, z ∈ 1, 2 ⎟ 4 ⎠ ⎝ 2⎠

)

AL - 094 Să se determine valorile parametrului real a astfel încât sistemul ⎧x 2 + y 2 = 2 z ⎪ ⎨ 13 să aibă o soluţie unică reală. 2 ⎪2 x − y + z = a + 3a − 2 ⎩

a) a ∈( − ∞,−2)

⎪⎧ − 3 − 35 − 3 + 35 ⎪⎫ b) a ∈ ⎨ , ⎬ 2 2 ⎪⎩ ⎪⎭

c) a ∈{− 1,2}

d) a ∈( − 1,2)

e) a ∈{− 4,1}

f) a ∈( − 4,1)

35

Elemente de algebră

AL - 095 Să se determine m ∈ R astfel încât x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + m > 0 pentru orice x , y ∈R .

a) m = 7 b) m ∈ (− ∞,−1) c) m < 3 d) m ∈ (− 3,5)

f) m ∈ [− 3,5)

e) m ∈ (8,+∞ )

AL - 096 Fie f :R → R, f ( x ) = (m − 2 )x 2 + 2(m + 1)x + m − 3 . Să se afle în care din următoarele intervale se găseşte m astfel încât valoarea minimă a funcţiei f să fie –9 .

⎛1 ⎞ ⎝2 ⎠

a) m ∈ (− ∞,0 ) b) m ∈ (0,1) c) m ∈ ⎜ ,3 ⎟ d) m ∈ (4,7 ) e) m ∈ [7,9] f) m ∈ (8,+∞ )

AL - 097 Să se determine parametrul m ∈ R + din ecuaţia mx 2 + (m + 1)x − 5 = 0 ,

astfel încât rădăcinile acesteia să verifice inegalităţile x1 < −1, x2 >

1 . 2

a) m ∈( 0,6)

b) m ∈[0,6]

c) m ∈R

d) m ∈(0,+∞)

e) m ∈ (− ∞,0 )

f) m ∈{− 1} ∪ ( 0,5)

AL - 098 Să se determine parametrul m ∈ Z \ {2} , astfel ca rădăcinile x1 şi x 2

ale ecuaţiei (m − 2) x 2 − 5 x + m + 1 = 0 să satisfacă condiţiile: x1 ∈ ( −∞,2) , x2 ∈ (3,5) . a) m = 1

b) m = 3

c) m = 4

d) m = 5

e) m = −3

f) m = −2

AL - 099 Să se afle mulţimea valorilor funcţiei f definită prin formula

f ( x) =

a) (−∞, 0)

b) (0,+∞ )

c) [− 1, 1]

x2 + 2 x2 + 1

.

d) [2, + ∞ )

(

e) − 2 , 2

)

f) {1}

36

Culegere de probleme

AL - 100 Fie f :R → R , f ( x ) =

3 x 2 + mx + n . Să se determine m, n ∈R x2 + 1

astfel încât f ( R ) = [ − 3,5] .

{

}

⎛ 5 7⎞ a) m ∈ ± 2 3 ; n ∈⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠

[

]

d) m ∈ − 2 3 ,2 3 ; n = 0

{

{

}

{

}

c) m ∈ ± 2 3 ; n ∈{± 1}

e) m ∈[ − 3,5]; n ∈[ − 11 ,]

f) m ∈ ± 3 2 ; n = −1

AL - 101 Fie funcţia f :R → R , f ( x ) =

{

}

b) m ∈ ± 4 3 ; n ∈{− 1}

}

A = a ∈ R f ( R ) = [ 0, 2] .

x 2 + ax + 1 . Să se determine mulţimea x2 + 1

a) A = ∅ ;

b) A = {−1,1} ;

c) A = [ −1,1] ;

d) A = {−2, 2}

e) A = [ −2, 2] ;

f) A = [ 0, 2]

AL - 102 Fie ecuaţia x 2 − x = mx( x + 1) . Să se determine valorile parametrului

real m astfel încât această ecuaţie să aibă trei rădăcini reale diferite. a) m ∈ R

b) m ∈ (−1,1)

c) m ∈∅

d) m ∈( − ∞,1]

e) m ∈R \ {− 11 ,}

f) m ∈R \ {1}

AL - 103

Fie

f : I ⊂ R → R , f ( x) =

(

)

1 + 4 − m2 x − x 2

(

2

)

m x +1

, m ∈ R \ {0} . Să se

determine m astfel încât I să fie un interval mărginit de lungime minimă. a) m = 0

b) m = −2

c) m = 2

d) m = 1

e) m = 2

f) m = 4

37

Elemente de algebră

AL - 104 Numerele a , b, c ∈R satisfac egalitatea 2a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Să se determine valoarea minimă pe care o poate lua expresia a − 2b + c . a) 33

b)

33 2

c) −

33 2

d) − 10

1 2

f) 10

⎛ 7⎞ e) ⎜ 0, ⎟ ⎝ 9⎠

⎛ 7 ⎞ f) ⎜ − ,0⎟ ⎝ 9 ⎠

e)

AL - 105 Să se rezolve inecuaţia 2 + 3x + 5x + 4 < 0 .

⎡ 4 2⎞ a) ⎢ − ,− ⎟ ⎣ 5 3⎠

⎡ 4 2⎤ b) ⎢ − ,− ⎥ ⎣ 5 5⎦

⎡ 4 7⎞ c) ⎢ − ,− ⎟ ⎣ 5 9⎠

⎡ 3 1⎤ d) ⎢− ,− ⎥ ⎣ 5 5⎦

AL - 106 Să se determine x ∈R pentru care a) x ∈( − ∞,0)

b) x = −1

c) x =

3 2

1 + x − 1 − x = 1.

3 2

d) x = ±

e) x = −

3 2

f) x ∈∅

AL - 107 Fie inecuaţia 4 − x 2 > 1 − x . Care din intervalele de mai jos reprezintă mulţimea soluţiilor inecuaţiei ? a) (− ∞,−3)

⎞ ⎛ 17 b) ⎜ ,20 ⎟ 2 ⎠ ⎝

c) (− 2,2]

AL - 108 Să se determine mulţimea A = ⎧⎨ x ∈ R ⎩ a) ( − ∞,−1]

b) [2,+∞)

c) [1,+∞)

e) [4,5)

d) (22,+∞ )

⎛1− 7 ⎤ f) ⎜⎜ ,2⎥ ⎝ 2 ⎥⎦

x 2 − 5x + 6 ≥ 3 − x ⎫⎬ . ⎭

d) ( − ∞,1] ∪ {3}

e) [1,2) ∪ {3}

f) [3,+∞)

2

⎛ x ⎞ AL - 109 Să se rezolve în R ecuaţia x 2 + ⎜ ⎟ =1. ⎝ x − 1⎠ a) x = 1 ± 2 d) x =

1− 2 ± 2 2 −1 2

b) x = 2 ± 1 e) x = ±

1 2 2 −1 2

c) x = 1 − 2 ±

1 2 2 −1 2

1 f) x = ⎛⎜1 − 2 ± 2 2 − 1 ⎞⎟ ⎠ 2⎝

38

Culegere de probleme

AL - 110 Să se determine domeniul maxim de definiţie D , al funcţiei

f : D ⊂ R → R , unde f ( x ) = n 1 − n +1 x + 1 + n +1 n x − 1 , n ∈ N . b) D = ( − ∞,1] pentru n = 2 k

a) D = {0} pentru n = 2 k

D = [1,+∞) pentru n = 2 k + 1

D = R pentru n = 2 k + 1

c) D = [0,+∞) pentru n = 2 k

d) D = {1} pentru n = 2 k

e) D = [1,+∞) pentru n = 2 k

f) D = [ − 1,+∞ ) pentru n = 2 k

D = {0,1} pentru n = 2 k + 1

D = {0,1} pentru n = 2 k + 1

D = [ − 1,+∞ ) pentru n = 2 k + 1

D = {0} pentru n = 2 k + 1

AL - 111 Se consideră ecuaţia: 2 x + 1 + 1 − 2 x = 4 + x . În care din mulţimile indicate mai jos , ecuaţia are o singură rădăcină reală ?

⎛ 1 1⎞ b) ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 5⎠

a) ( − ∞,−4)

c) (8,+∞ )

d) (1,2) ∪ [3,+∞)

1⎞ ⎛ f) ⎜ − 4,− ⎟ ⎝ 2⎠

e) ( − 2,−1)

AL - 112 Precizaţi care este mulţimea soluţiilor inecuaţiei 15 + 5x − 13 − 2 x ≤ 2 .

⎡ 109 ⎤ a) A = ⎢− ,2⎥ ⎣ 49 ⎦

⎡ 13 ⎤ b) A = ⎢2, ⎥ ⎣ 2⎦

109 ⎤ ⎡ c) A = ⎢− 3, 49 ⎥⎦ ⎣

13 ⎤ ⎡ d) A = ⎢− 3, ⎥ 2⎦ ⎣

e) A = [ − 3,2]

⎡ 102 ⎤ f) A = ⎢− ,2⎥ ⎣ 49 ⎦

AL - 113 Să se afle pentru ce valori ale parametrului m ∈ R , ecuaţia

x + 8m + x = 4 x + 8m + 4 are soluţii reale. b) m ∈ (− ∞,0 )

a) m ∈ R

⎛ ⎝

1⎤

d) m ∈ ⎜ 0, ⎥ 2

⎦

⎛1 ⎝2

⎞ ⎠

e) m ∈ ⎜ ,+∞ ⎟

c) m ∈ [− 1,1] \ {0}

⎛ ⎝

1⎞ 2⎠

f) m ∈ ⎜ − ∞, ⎟

39

Elemente de algebră

AL - 114 Precizaţi mulţimea A căreia îi aparţin valorile reale ale lui x pentru care are

(− x)

loc egalitatea

3 x −1 8− 3 x

a)A = ( 0,1)

b)A = (1,2)

x

= 5x 2 x . c)A = [2,3)

d)A = (2,3)

e)A (2,7)

f)A = [3,+∞)

AL - 115 Să se calculeze valoarea expresiei

E=

a 3 + b 3 − 2ab ab a a −b b

a) E = 4

−

a 3 + b 3 − 2ab ab − ab

pentru a = 2 + 3 şi b = 2 − 3 .

a a − b b + ab

b) E = −4

c) E = −2

d) E = 2

e) E = 1

f) E = −1

AL - 116 Să se precizeze valoarea numărului real

E = 26 + 6 13 − 4 8 + 2 6 − 2 5 + 26 − 6 13 + 4 8 − 2 6 + 2 5 a) E = 6

b) E =

2 3

c) E =

13 2

d) E = 4

e) E =

5 2

f) E = 1

AL - 117 Să se determine valoarea expresiei

E = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

f) 0

AL - 118 Să se determine valoarea expresiei

E=

a)

6

72

b)

2 ⋅ 3n −1

(9 (27

n −1

c)

n

− 9n −1

)

− 19 ⋅ 27 2 ⋅3

1 2 n−2

)

1 3

d)

,n∈Z −

2 ⋅3

n+3 2

e) 1

f) 2

40

Culegere de probleme

AL - 119 Să se simplifice fracţia:

F=

x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz (x − y )2 + ( y − z )2 + (x − z )2

a) F = x − y + z

b) F = x + y + z

d) F = x + y + z + 1

e) F =

x+ y+ z+3 2

c) F =

x+ y+z 2

f) F =

x + y + z +1 2

AL - 120 Care este mulţimea valorilor reale ale lui x pentru care avem

1 + x(2 − x) − 1 − x( 2 − x) = 2(2 − x) ? a) x ∈{0,1}

c) x ∈[0,1]

b) x ∈{3,4}

d) x ∈[1,2]

e) x ∈[2,3]

f) x ∈[0,2]

AL - 121 Pentru x ≠ ± y să se determine valoarea expresiei

E=

(x 3

2

− y2

)(

3

x +3 y

)

x + x y − x y − y 5

2

3

3

3

3

2

3

2

a) 1

b) x + y

c) x − y

d) x 3

5

−

( xy + y ) 3

3

1

2

1

2

e) x 3 + y 3

f) y 3

1 a2 a2 − x2 − − 1 = 0 , cu a ∈ R , a > 0 , x x2 dat, în mulţimea numerelor reale.

AL - 122 Să se rezolve ecuaţia

a) x ∈{− a , a}

b) x ∈[ − a , a ] \ {0}

c) x ∈[ − a ,+∞) \ {0}

d) x ∈{− a} ∪ (0, a ]

e) x ∈( 0,+∞)

f) x ∈{− a} ∪ [a ,+∞ )

41

Elemente de algebră

AL - 123 Fie ecuaţia x 2 − ( m − 1) x + m − 1 = 0 , m ∈ R . Să se determine m astfel

încât

3

x1 + x 2 + 3 9 − x1 x 2 = 3 .

a) m ∈{− 1,3} b) m ∈{5,8} c) m ∈{1,6} d) m ∈{− 3,8} e) m ∈{− 2,−9} f) m ∈{2,9}

AL - 124 Să se rezolve ecuaţia

n

( x + 1) 2

+ n ( x − 1) = 2

5n 2 x −1. 2

a) x = ±

5n + 1 5n − 1

b) x = ±

2n − 1 2n + 1

c) x = ±

2n + 1 2n − 1

d) x = ±

5n − 1 5n + 1

e) x = ±

5n + 2 n 5n − 2 n

f) x = ±

5n − 2 n 5n + 2 n

AL - 125 Fie f ( x ) = x 2 − mx + 1, g ( x ) = x 2 + 2mx + 1 şi h ( x ) = 2 x 2 + mx + 2.

Să se determine parametrul m ∈ R astfel ca toate rădăcinile ecuaţiei: 3

f ( x) + 3 g ( x) =

3

f ( x)

să fie reale. a) m ∈ R ;

b) m ∈ ( −∞, −1] U [1, ∞ ) ;

d) m ∈ ( −∞, −3] U [ 3, ∞ )

c) m ∈ ( −∞, −2] U [ 2, ∞ )

e) m ∈ ( −∞, −4] U [ 4, ∞ ) ;

f) m ∈ ∅

AL - 126 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei

x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1. a) x ∈{2,5,10} b) x ∈[5,10]

c) x ∈{5,10}

d) x ∈[1,5]

e) x ∈(5,+∞)

f) x ∈(5,10)

AL - 127 Să se determine numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei

2 − x2 + 3 3 − x2 = 0 . a) o rădăcină reală

b) două rădăcini reale

c) trei rădăcini reale

d) nici o rădăcină reală

e) patru rădăcini reale

f) şase rădăcini reale

42

Culegere de probleme

AL - 128 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei 1 x2 − 1 + x ⋅ 1− 2 = 0 . x a) x ∈{− 11 ,} b) x ∈{− 2,−11 ,}

d) x ∈ R \ {0}

c) x ∈∅

e) x ∈( − ∞,−1] ∪ {1}

f) x ∈{− 11 , ,0}

AL - 129 Să se calculeze valoarea expresiei E = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 , pentru x ∈[1,2] .

a) E = 1 + x

b) E = x 2 − 3x + 4

c) E = 2

d) E = 3x − x 2

e) E = 6 x − 2 x 2

f) E = 2(2 − x )

AL - 130 Să se determine valorile lui m ∈ R pentru care ecuaţia

mx 2 − x + 1 + mx 2 + x + 1 = x are soluţii în R şi să se determine aceste soluţii. a) m =

1 ; x ∈ [5,7] 4

d) m =

1 ; x ∈[2,+∞ ) 4

⎧1 1⎫ b) m ∈ ⎨ , ⎬; x ∈[2,+∞) ⎩2 8⎭ ⎛ 1 1⎞ e) m ∈⎜ − , ⎟ ; x ∈{2,3} ⎝ 4 4⎠

c) m =

⎛1+ 7 ⎞ 1 ; x ∈ ⎜⎜ ,+∞ ⎟⎟ 4 ⎝ 2 ⎠

f) m =

2 ; x ∈{4,6} 3

AL - 131 Fiind date funcţiile f , g : [− 1,1] → [− 1,1] definite prin

⎧ x 2 , x ∈ [− 1,0] şi f (x ) = ⎨ ⎩ x, x ∈ (0,1] să se determine funcţia h = g o f .

a) h = f

d) h = g

⎧ x, x ∈ [− 1,0] g (x ) = ⎨ 2 ⎩ x , x ∈ (0,1]

b) h = g

2

e) h = fg

c) h = f 2

⎧⎪ x 2 , x ∈ [− 1,0] f) h( x ) = ⎨ 4 ⎪⎩ x , x ∈ (0,1]

43

Elemente de algebră AL - 132 Fie f , g : R → R

⎧ x − 3, dacă x ≥ 2 şi f (x ) = ⎨ ⎩2 x + 5, dacă x < 2 Atunci ( f o g )( x ) este :

⎧ x 2 + 1, dacă x ≤ 0 g (x ) = ⎨ ⎩− x + 7, dacă x > 0

⎧ x 2 − 2, x ∈ (− ∞,−1] ⎧ x 2 + 2, x ∈ (− ∞,0] ⎪ 2 ⎪ ⎪2 x + 7, x ∈ (− 1,0] b) ( f o g )( x ) = ⎨2 x − 4, x ∈ (0,5] a) ( f o g )( x ) = ⎨ ⎪ x − 11, x ∈ (5, ∞ ) ⎪− x + 4, x ∈ (0,5] ⎩ ⎪− 2 x + 19 x ∈ (5, ∞ ) ⎩ ⎧ x 2 − 2, x ∈ (− ∞,−1] ⎪ c) ( f o g )( x ) = ⎨− x − 4, x ∈ (− 1,0] ⎪2 x − 19, x ∈ (0,8) ⎩

⎧2 x 2 + 7, x ∈ (− ∞,5]

d) ( f o g )( x ) = ⎨

⎩− x + 4, x ∈ (5, ∞ )

⎧ x 2 − 2, x ∈ (− ∞,−1] ⎧ x 2 − 2, x ∈ (− ∞,5] f) ( f o g )( x ) = ⎨ e) ( f o g )( x ) = ⎨ ⎩2 x − 19, x ∈ (− 1, ∞ ) ⎩2 x − 19, x ∈ (5, ∞ )

⎧ x − 1 x ∈ (− ∞,2 ) ⎩2 x − 3 x ∈ [2,+∞ )

AL - 133 Fie f : R → R ; f ( x ) = ⎨

Să se determine inversa acestei funcţii. a) f −1 ( x ) = x + 1 ∀x ∈ R

c) f

−1

(x ) = x;

∀x ∈ R

⎧ 1 ⎪⎪ x − 1 x ∈ (− ∞,2 ) −1 e) f ( x ) = ⎨ ⎪ 1 ) ⎪⎩ 2 x − 3 x ∈ [2,+∞

⎧ x + 1 x ∈ (− ∞,1) ⎪ ⎪⎩ 2 ( x + 3) x ∈ [1,+∞ )

b) f −1 ( x ) = ⎨ 1

⎧1 ⎪ (x + 3) x ∈ (− ∞,1] d) f ( x ) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + 1, x ∈ (1, ∞ ) −1

f) funcţia nu este inversabilă

44

Culegere de probleme

AL - 134 Să se precizeze care din răspunsurile de mai jos este corect pentru funcţia f :R → R,

⎧2 x − 4, x ≤ 6 f (x ) = ⎨ ⎩ x + 2, x > 6 ⎧y+4 , y≤8 ⎪ b) f este inversabilă şi f ( y ) = ⎨ 2 ⎪⎩ y − 2, y > 8 −1

a) f nu este inversabilă; c) f este inversabilă şi f −1 ( y ) = y

d) f este inversabilă şi f −1 ( y ) = y − 2

y+4 e) f este inversabilă şi f ( y) = 2

⎧y + 4 , y >8 ⎪ f) f este inversabilă şi f ( y) = ⎨ 2 ⎪⎩y − 2, y ≤ 8

−1

−1

AL - 135 Determinaţi valorile lui a ∈ R pentru care funcţia f : R → R ,

f ( x ) = a x + 1 + x − 1 + (2 − a )x − a − 1

este inversabilă şi determinaţi inversa ei. a) a =

1 ; 2

c) a < 1 ; 2

e) a > 1 ; 2

⎧x x ≤ 1 ⎪ −1 f (x ) = ⎨ x + 2 x >1 ⎪⎩ 3 ⎧ x + 2a ⎪ 1 − 2a ; x < −1 ⎪ f −1 (x ) = ⎨ x ; − 1 ≤ x ≤ 1 ⎪x + 2 ⎪ ; x >1 ⎩ 3 ⎧ x + 2a ⎪ 1 − 2a ; x < −1 ⎪ f −1 ( x )⎨ x ; − 1 ≤ x ≤ 1 ⎪x + 2 ⎪ ; x >1 ⎩ 3

b) a = 0;

d) a < 1 ; 2

f)

a = 1;

⎧x −1 ⎪ 2 ; x < −1 ⎪ f −1 (x ) = ⎨ x ; − 1 ≤ x ≤ 1 ⎪x + 2 ⎪ ; x >1 ⎩ 3 ⎧x+a ⎪1 − 2 a ; x > 1 ⎪ f −1 ( x ) = ⎨ x ; − 1 ≤ x ≤ 1 ⎪x + 2 ⎪ ; x < −1 ⎩ 3 ⎧ ⎪ − x − 2; x < − 1 ⎪ f −1 (x ) = ⎨ x ; − 1 ≤ x ≤ 1 ⎪x + 2 ⎪ ; x >1 ⎩ 3

45

Elemente de algebră

⎡1 ⎞ ⎣2 ⎠ 2 f : [a, b ) → [ f (a ), ∞ ) , f ( x ) = x − x − 2 să existe f −1 . Să se precizeze dacă f −1 este strict crescătoare sau descrescătoare. ⎡1 ⎞ a) [1, ∞ ) ; f −1 strict descrescătoare; b) ⎢ , ∞ ⎟; f −1 strict crescătoare ⎣2 ⎠ ⎡1 ⎞ d) [1, ∞ ); f −1 strict crescătoare c) ⎢ , ∞ ⎟; f −1 strict descrescătoare ⎣2 ⎠ ⎡3 ⎞ ⎡4 ⎞ f) ⎢ , ∞ ⎟; f −1 strict crescătoare e) ⎢ , ∞ ⎟; f −1 strict descrescătoare ⎣2 ⎠ ⎣3 ⎠

AL - 136 Să se aleagă un interval maximal [a, b ) ⊂ ⎢ , ∞ ⎟ astfel încât pentru

⎧ x 2 − mx + 1, x ≤ 0

AL - 137 Să se determine m ∈ R astfel încât funcţia f ( x ) = ⎨

⎩− x + m, x > 0

să fie strict descrescătoare pe R. a) m ∈ φ

b) m ∈ R

c) m ∈ (− ∞,0 ) d) m ∈ [0,1]

e) m ∈ (1,2 )

f) m ∈ [2, ∞ )

AL - 138 Pentru ce valori ale lui m ∈ R , graficul funcţiei f : R → R ,

f ( x ) = me x − ( m + 1)e − x , taie axa Ox ? a) ( − 1,0)

1⎞ ⎛ b) ⎜ − 1, ⎟ ⎝ 2⎠

c) ( − ∞,−1) ∪ ( 0,+∞)

d) ( − 5,+∞)

e) ( − ∞,2)

x x 3 AL - 139 Să se rezolve ecuaţia: ⎛⎜ 3 + 2 2 ⎞⎟ − ⎛⎜ 3 − 2 2 ⎞⎟ = . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 lg 2 a) x = 1 b) x = 2 c) x = lg 3 + 2 2

(

d) x ∈∅

e) x =

(

2 lg 2

lg 3 − 2 2

)

f) x = 2 lg 2

)

f) R

Culegere de probleme

46

(

AL - 140 Să se rezolve ecuaţia: 1 + 2

a) x1 = 0, x 2 = 1

(

)

ln 3 − 2 2 − ln 2

d) x1,2 =

(

ln 3 ± 5

) + (3 − 2 2 ) x

=2.

(

c) x1,2 =

1+ 5 2 e) x1 = 0, x 2 = ln 1 + 2

f) x1 = 0, x 2 =

ln

)

)

ln 3 ± 5 − ln 2

b) x1 = 0, x 2 = 2

(

)

x

(

ln 3 − 2 2

)

(

)

ln 2 2 − 3 ln 3

AL - 141 Determinaţi valoarea lui x pentru care e x + e − x = 2

a) 1

b) –1

c) 2

d) 0

e) –2

AL - 142 În care din următoarele mulţimi se află soluţia ecuaţiei

4 −3 x

(

a) e,e 2

)

( ]

d) 1, 3

x−

1 2

=3

x+

1 2

− 22 x −1

b) (− 1,1)

c) (3,7]

e) (0,1)

f) (9,11)

AL - 143 Să se rezolve ecuaţia 2 x − 3x = 6 x − 9 x

a) x1 = 0 este unica soluţie d) x1 = 0

x2 = log 2 3 + 1

b) x1 = 0

x2 =

1 1 − log 2 3

e) x1 = 0

x2 =

1 log 2 3

c) x1 = 0

x2 = log 2 f) x1 = 0

x2 = log 2 3

f) ln2

Elemente de algebră

47

AL - 144 Determinaţi funcţia f : R → R , astfel încât y = f ( x ) să fie soluţie a

ecuaţiei e y − e − y = x .

(

b) f ( x ) = ln x +

a) f ( x ) = ln x

)

c) f ( x ) = ln

(x

e) f ( x ) = ln

x + x2 + 4 2

2

+1 − x

x2 + 4

d) f ( x ) = ln

x − x2 + 4 2

f) f ( x ) = ln

x − x2 + 4 2

)

AL - 145 Determinaţi mulţimea A căreia îi aparţine soluţia ecuaţiei

23 x − a) A =

(

2 ,8

)

8 1 ⎞ ⎛ − 6⎜ 2 x − x −1 ⎟ = 1 3x 2 2 ⎠ ⎝ ⎛1 ⎤ b) A = ⎜ ,16⎥ ⎝2 ⎦

c) A =

⎡ 1⎤ ⎦ ⎣

d) A = [− 2,0 )

(

AL - 146 Să se determine valorile lui m ∈ R pentru care ecuaţia

(3x − 1)(x − m − 1) x−1 −1 − (2 x + m ) x−1 = (x − m − 1) x−1

cu condiţiile x > m + 1 şi x > −

m are trei rădăcini reale şi distincte. 2

a) m ∈ φ

b) m ∈ R

⎛ ⎝

2 ⎞ ⎧ 3⎫ 3 ⎠ ⎩ 2⎭

⎛ ⎝

2 ,9

f) A = (0,1)

e) A = ⎢0, ⎥ 2

d) m ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ \ ⎨− ⎬

3

⎧ 3 1⎫ ,− ⎬ ⎩ 2 2⎭

c) m ∈ R \ ⎨−

1⎞ 2⎠

e) m ∈ ⎜ − ∞,− ⎟

⎛ 1 ⎞ ,∞⎟ ⎝ 2 ⎠

f) m ∈ ⎜ −

)

Culegere de probleme

48

x +2

⎛ 1⎞ AL - 147 Să se rezolve inecuaţia: ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ b) [ − 2,1)

a) (4,+∞)

> 3− x .

c) (0,10)

d) (1,+∞)

e) (2,+∞)

⎛4⎞ ⎝9⎠

x

f) ( − 11 ,)

⎛ 2⎞ ⎝3⎠

x

AL - 148 Să se determine m ∈R astfel încât inegalitatea ⎜ ⎟ − m⎜ ⎟ + 1 > 0

să fie adevărată pentru orice x < 0 . b) m ∈( − 2,2)

a) m ∈ φ

c) m ∈[ − 2,2]

d) m ∈ [−2,+∞)

AL - 149 Care este soluţia sistemului de inecuaţii:

[

(

a) log 3 2, log 3 3 + 17

d)

(

2, 3

)]

f) m ≤ 2

1 3x + 1 1 ? ≤ ≤ 3 9x + 1 2

(

)

c) (3,+∞ )

(

)

f) [1, log 3 5]

⎡ 3 + 17 ⎤ b) ⎢log 3 1 + 2 , log 3 ⎥ 2 ⎥⎦ ⎢⎣

⎡ 3 − 17 ⎤ e) ⎢log 3 1 − 2 , log 3 ⎥ 2 ⎦⎥ ⎣⎢

)

e) m < −2

2 ⋅ 2 x −1 ⎛2⎞ > 1+ ⎜ ⎟ . x x 3 −2 ⎝3⎠ x

AL - 150 Să se rezolve inecuaţia:

⎛

a) x ∈ ⎜⎜ 0, log 2

⎝

(

3

5 − 1⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

d) x ∈ 0, log 2 ( 5 − 1) 3

)

⎛

b) x ∈ ⎜⎜ 0, log 2

⎝

(

3

5 + 1⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

e) x ∈ 0, log 2 ( 5 + 1) 3

)

c) x ∈ (0,1) f) x ∈ (−1,1)

Elemente de algebră

AL - 151 Să se rezolve inecuaţia: x

x

<

( x)

x

49

.

⎛ 1⎞ a) ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠

b) (0,1) ∪ ( 4,+∞ )

c) (0,2)

d) (0,3)

e) (0,2) ∪ (6,+∞ )

f) (0,3) ∪ (5,+∞)

log 2 (2 x − 5)

AL - 152 Să se rezolve ecuaţia:

a) x1 =

11 , x2 = 3 3

(

)

log 2 x − 8 b) x1 =

d) x1 = 3

2

=

1 . 2

11 , x 2 = −3 3

e) x1 = −

c) x1 =

11 , x 2 = −3 3

11 3

f) x1 = 9

AL - 153 Care este soluţia ecuaţiei: 2 + log 1 x + 3 = 1 − log 1 x ? 3

a) x ∈ φ

b) x = 3

c) x =

1 3

d) x ∈[9,+∞)

3

e) x = (0,9 )

⎛1 ⎞ f) x ∈⎜ ,9⎟ ⎝3 ⎠

AL - 154 Să se precizeze domeniul maxim de definiţie al funcţiei:

f ( x ) = log 2

3 − 2x . 1− x

⎛3 ⎞ a) ( − ∞,1) ∪ ⎜ ,+∞⎟ ⎝2 ⎠

b) ( − ∞,1) ∪ [2,+∞)

c) [2,+∞)

d) (1,+∞ )

e) (0,2] ∪ (4, ∞ )

f) (− ∞,0] ∪ [2, ∞ )

Culegere de probleme

50

AL - 155 Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei:

f ( x) =

(

).

ln − 2 x 2 − x + 1 2

− 4x − x

⎛ 1 ⎞ ⎡1 ⎞ ,0 ⎟ ∪ ,2 ⎟ ∪ (3, ∞ ) ⎝ 4 ⎠ ⎢⎣ 2 ⎠

⎛ ⎝

⎛ ⎝

1⎞ 2⎠

⎛ 3⎞ ⎝ 2⎠

b) ⎜ − 1, ⎟ ∪ ⎜1, ⎟ ∪ (2,4 )

a) ⎜ −

1⎞ 2⎠

c) (− 1,0 ) ∪ ⎜ 0, ⎟ ∪ (2, ∞ ) d

1 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ d) ⎜ − 1,− ⎥ ∪ ⎜ − ,0⎟ ∪ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2 ⎦ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2⎠

1⎞ ⎛ e) R \ ⎜ 0,− ⎟ ⎝ 4⎠

f) R \ {0,1}

AL -156 Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei f ( x ) = log x 3x ⋅ log 3 x .

a) (0,+∞)

b) (1,+∞)

⎛ 1⎤ c) ⎜ 0, ⎥ ∪ (1,+∞) ⎝ 3⎦

⎛ 1⎤ ⎡2 ⎞ d) ⎜ 0, ⎥ ∪ ⎢ ,1⎟ ⎝ 2⎦ ⎣3 ⎠

e) (0,1) ∪ (2,+∞)

f) (1,2)

AL - 157 Fie x1 , x 2 , x 3 trei numere din intervalul (0,1) sau din intervalul (1,+∞) .

Precizaţi care este valoarea minimă a expresiei E = log x1 x 2 x 3 + log x2 x1 x 3 + log x3 x1 x 2 . a) 1

b) 0

c) 3

d) 6

e) − 3

f) − 6

Elemente de algebră

51

AL - 158 Ştiind că log 40 100 = a , să se afle log 16 25 în funcţie de a .

a)

3a + 2 2a + 4

b)

3a + 1 a+2

c)

3a − 1 2a + 3

d)

3a − 2 4 − 2a

e)

3a − 4 a+2

f)

3a + 4 a−2

AL - 159 Dacă a = log 30 3 şi b = log 30 5 , să se calculeze log 30 16 în funcţie de a şi b .

a) 4(1 − a − b)

b) 4(1 + a − b)

c) 2(1 − a + b)

d) 2a − b + 1

e) 2(a − 2b − 1)

f) 2(a + 2b + 1)

AL - 160 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei log x 2 x + log 2 x x =

a) φ ;

⎧1 ⎫ b) ⎨ , 2 ⎬ ; ⎩2 ⎭

⎧1 ⎫ d) ⎨ , 2 ⎬ ; ⎩4 ⎭

c) {2, 4} ;

5

este:

2

e) {2, 5}

(

⎧1 ⎫ f) ⎨ , 2 ⎬ ⎩5 ⎭

)

AL - 161 Să se rezolve ecuaţia: log x 2 ( x + 2) + log x x 2 + 2 x = 4 . a) x = 1

b) x = −1

c) x = 3

d) x = 4

e) x = 2

f) x = 8

AL - 162 Să se rezolve ecuaţia: a log 6 x − 5x log 6 a + 6 = 0 , a > 0, a ≠ 1 . a) x1 = log a 3 , x 2 = log a 2

b) x1 = 6 log a 3 , x 2 = 6 log a 2

d) x1 = − log a 3 , x 2 = − log a 2

e) x = 6

log a

3 2

c) x = 6

log a

2 3

f) x1 = a log 6 3 , x 2 = a log 6 2

Culegere de probleme

52

(

AL - 163 Să se rezolve ecuaţia: log 2 3 + 2 log 4 x = x log 9 16 a) x = 3

b) x = 1

c) x =

16 3

d) x =

)

1 log 3 x

3 16

AL - 164 Să se determine m ∈ R astfel încât ecuaţia

.

e) x =

1 3

f) x = 3

m + lg x = 2 să aibă o lg( x + 1)

singură soluţie reală. a) m ∈ φ

b) m < 0

c) m = 1

d) m = lg 2

e) m = lg 4

f) m = lg 6

AL - 165 Să se determine valoarea parametrului întreg m astfel încât ecuaţia ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎜ log 1 m − 3⎟⎟ x 2 − 2⎜⎜ 3 log 1 m − 4⎟⎟ x + 7 log 1 m − 6 = 0 să aibă o rădăcină dublă. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 3 b) m = −2

a) m = 1

3 3

c) m =

d) m = 4

e) m = 9

f) m = −9

⎡ ⎤ 1 AL - 166 Rezolvând ecuaţia: log 3 log 2 (log 4 x ) = 2 log 9 ⎢ ⎥, ⎢⎣ log 4 (log 2 x ) ⎥⎦

[

]

să se stabilească în care din următoarele intervale se află soluţia acesteia.

(

a) 1, 2

]

b) [2,3]

[

c) 2 3,4

)

d) [4,5)

e) [5,18]

f) (18,+∞ )

AL - 167 Să se determine valorile lui m > 0 pentru care funcţia

f ( x ) = x 2 log m a) m = 4

⎛1 ⎞ ⎝2 ⎠

b) m ∈ ⎜ ,5 ⎟

1 − x log 1 m + 3 log 1 m − 4 este definită pe R . 2 2 2 ⎛1 ⎝3

⎞ ⎠

c) m ∈ ⎜ ,+∞ ⎟

⎛ 1⎞ ⎝ 4⎠

d) m ∈ ⎜ 0, ⎟

e) m =

1 4

f) m ∈ φ

Elemente de algebră

53

AL - 168 Fiind dată expresia:

E=

(log x 2 + log 2 x − 2)log 2 x + (log x 2 + log 2 x + 2)log 2 x

,

să se determine toate valorile lui x ∈ R pentru care E = 2 . a) [1,+∞ )

b) [1,2] ∪ {3}

⎡1 ⎤

e) [1,2] \ ⎨ ⎬

⎡1 ⎤

c) ⎢ ,2⎥ ⎣2 ⎦

⎧3⎫ ⎩2⎭

d) ⎢ ,2⎥ \ {1} ⎣2 ⎦

f) (1,2 ) ∪ (3,+∞ )

AL - 169 Să se rezolve ecuaţia

lg x 2 + 2 lg x = 23 . a) x=10

b) x=100

c) x= 1000

d) x=1

e) x=2

f) x=3

⎡1

⎞

AL - 170 Fie f : ⎢ ,+∞ ⎟ → [0,+∞ ) , f ( x ) = log a ⎣2 ⎠

Să se rezolve inecuaţia f

−1

(

)

2x − 1 + 1 , a > 1

( x ) ≤ 5 , unde f −1 este inversa funcţiei f .

a) x ∈ [2,4]

b) x ∈ [0, log a 2]

c) x ∈ [0, log a 4]

d) x ∈ [0,1]

e) x ∈ [1, log a 3]

f) x ∈ [5,8]

⎧2 x + 3, x ∈ (− ∞,0]

AL - 171 Fiind date funcţiile f : R → R , f ( x ) = ⎨

2 ⎩− x + x, x ∈ (0, ∞ )

Culegere de probleme

54

⎧e x , x ∈ (− ∞,−1) ⎪ şi g : R → R , g ( x ) = ⎨arcsin x, x ∈ [− 1,1] ⎪ln x , x ∈ (1, ∞ ) ⎩ 2

, să se determine

soluţia din intervalul (− 1,0] a ecuaţiei ( g o f )( x ) = 0 . a) x = −1

b) x = 0

2 3

e) x = −

d) x = −

c) x = −

1 1 şi x = − 4 2

1 2

f) Nu există.

3 AL - 172 Se consideră inecuaţia: log a x − log a 2 x + log a 4 x ≥ , a > 0, a ≠ 1 4 şi se notează cu Ma mulţimea tuturor soluţiilor sale. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată ?

⎛ 1⎤ a) M 1 = ⎜ 0, ⎥ ⎝ 2⎦ 2

⎛1 ⎝4

⎞ ⎠

d) M 1 = ⎜ , ∞ ⎟ 4

⎛1 ⎞ b) M 1 = ⎜ ,+∞⎟ ⎝ ⎠ 2 2

⎡1 ⎞ c) M 1 = ⎢ ,+∞⎟ ⎠ 2 ⎣ 2

e) M 1 = ( − 5,+∞ )

f) M 2 = ( 2,10)

10

AL - 173 Să se rezolve inecuaţia: log 3 x < 1 .

a) x ∈(0,1)

⎛ 1 1⎞ b) x ∈⎜ − , ⎟ ⎝ 3 3⎠

1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ c) x ∈⎜ − 3,− ⎟ ∪ ⎜ ,3⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠

1⎞ ⎛ 1 ⎛ ⎞ d) x ∈⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ ,+∞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3

e) x ∈( 3,+∞)

f) x ∈( − 3,3)

Elemente de algebră

55

AL - 174 Fie P( x ) = x 2 − x log a y + 3 log a y − 8 , y > 0 , a ∈( 0,1) . Să se determine

toate valorile lui y astfel încât P( x ) > 0 , oricare ar fi x ∈ R .

(

a) y ∈ a 4 , a 8

(

)

b) y ∈ a 8 , a 4

(

d) y ∈( a ,2)

e) y ∈ a 3 , a

)

[

]

[

]

c) y ∈ a 8 , a

)

f) y ∈ a 2 , a

AL - 175 Să se determine m ∈ R astfel încât sistemul ⎧ x lg x + y lg y = m + 101 ⎪ 2 ⎨ log y 10 log x 10 ⎪ log 10 + log 10 = lg x lg y y ⎩ x

să admită soluţii reale. a) m ∈ [0,10]

b) m ∈ ( −99,0)

c) m ∈ [−81, 0)

d) m ∈ (10,100)

e) m ∈ (−∞,−100)

f) m ∈ φ

⎧⎪e x − 1, x < 0 AL - 176 Se consideră funcţia f : R → (−1,+∞) , f ( x) = ⎨ . ⎪⎩ x , x≥0

Calculaţi inversa sa, f

a) f

−1

c) f

−1

e) f

−1

−1

.

⎧ln( x + 1), x ∈ ( −1,0) ( x) = ⎨ 2 ⎩ x , x ∈ [0,+∞)

b) f

−1

⎧ln x, x ∈ (−1,0) ( x) = ⎨ ⎩ x, x ∈ [0,+∞)

d) f

−1

⎧2 ln( x + 1), x ∈ (−1,0) ( x) = ⎨ 2 ⎩− x , x ∈ [0,+∞)

f) f

−1

⎧ln( x − 1), x ∈ (−1,0) ( x) = ⎨ ⎩2 x, x ∈ [0,+∞) ⎧⎪ln( x 2 + 1), x ∈ (−1,0) ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − 1, x ∈ [0,+∞)

⎧⎪ln x 2 , x ∈ (−1,0) ( x) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + 1, x ∈ [0,+∞)

Culegere de probleme

56

AL - 177 Să se rezolve inecuaţia: log x 2 ⋅ log 2 x 2 > log 24 x 2 . ⎛ 1 1⎞ , ⎟ ∪ (1,+∞) a) x ∈⎜ ⎝ 23 2 2 ⎠

b) x ∈( − 2,−1)

d) x ∈( − 1,+∞)

e) x ∈⎜

⎛ 1 ⎞ ,1⎟ ∪ (1, ∞ ) ⎝ 2 ⎠

c) x ∈ ⎜

⎛ 1 1⎞ , ⎟ ∪ (1, ∞ ) ⎝3 2 2⎠

f) x ∈( 0,1)

AL - 178 Se consideră expresia E ( x ) = log 4 x + log x 4 . Determinaţi valorile lui x ∈ R astfel încât E ( x ) <

5 . 2

a) x ∈(1,2)

b) x ∈( 0,1) ∪ ( 2,16)

c) x ∈ [1,2] ∪ [16,32]

d) x ∈(16,+∞)

e) x ∈(1,2) ∪ ( 20,+∞)

f) x ∈(110 , ) ∪ ( 20,+∞)

AL - 179 Ştiind că a ∈(0,1) să se determine mulţimea:

{x ∈R

[

⎡1 ⎞ a) ⎢ ,1⎟ ∪ a 2 ,+∞ ⎣a ⎠

)

⎡1

(

⎤

b) ⎢ , a 2 ⎥ ∪ 0, a 3 ⎣a ⎦

[

⎡ 1⎤ d) ⎢1, ⎥ ⎣ a⎦

}

log a x − 2 log x a ≥ 1 .

⎛ 1⎤ e) ⎜ 0, ⎥ ∪ a 2 ,+∞ ⎝ a⎦

)

)

(

]

⎛ ⎝

1⎞ a⎠

⎛ 1⎤ c) 0, a 2 ∪ ⎜ 1, ⎥ ⎝ a⎦

[

f) ⎜ a, ⎟ ∪ 0, a 2

AL - 180 Într-o progresie aritmetică termenul al nouălea şi al unsprezecelea sunt daţi , respectiv , de cea mai mare şi cea mai mică rădăcină a ecuaţiei : 1 1 lg 2 + lg x 2 + 4 x + 5 = lg x 2 − 4 x + 5 + 1 . 2 2 Se cere suma primilor 20 termeni ai progresiei.

[(

a) 15

b) 18

c) 22

d) 30

) ]

e) 40

f) 100

)

Elemente de algebră

57

⎧(log x ) 3 + (log y ) 3 = 9 2 2 ⎪ AL - 181 Să se rezolve sistemul: ⎨ . 2 2 log 2 x ) log 2 y ) ( ( ⎪⎩ x +y = 258 a) x = 2, y = 2

b) x = 4, y = 4

c) x = 3, y = 9 ; x = 9, y = 3

d) x = 2, y = 4 x = 4, y = 2

e) x = 2, y = 3 ; x = 3, y = 2

f) x = 1, y = 9 ; x = 9, y = 1

⎧ x lg y ⋅ y lg z ⋅ z lg x = 10 ⎪⎪ AL - 182 Să se rezolve în R sistemul: ⎨ x lg y lg z ⋅ y lg x lg z ⋅ z lg x lg y = 1000 . ⎪ x y z = 10 ⎪⎩ a) x = 10, y = z = 1 d) x = y = z = 10

−1

b) x = y = 10, z = 1

c) x = y = z = 10

e) Sistemul nu are soluţii în R

f) x = 1, y = 5, z = 2

AL - 183 Să se determine mulţimea tuturor numerelor naturale pentru care inegalitatea: 2n > n3 este adevărată. a) {n ∈ N; n ≥ 5}∪ {0,1}

b) ∅

c){0,1}

d) {0,1}∪ {n ∈ N ; n ≥ 10}

e) {n ∈ N; n ≥ 10} \ {12}

f) N

AL – 184 Să se determine mulţimea tuturor numerelor naturale pentru care următoarea inegalitate 1⋅5

este adevărată.

a ⋅ 3⋅ 7 a ⋅ 5 ⋅ 9 a K

( 2 n −1)( 2 n + 3 )

a < a n , a > 1, n ∈ N∗ ,

a) {n ∈ N, n ≥ 3}

b) n ∈ N ∗

c) n ∈ N \ {3,4,5}

d) {n ∈ N : n = 2k }

e) n ∈ φ

f) {n ∈ N : n = 2k + 1}

Culegere de probleme

58

AL - 185 Să se determine numărul de elemente ale mulţimii

⎧ 15 ⎫ A4 E = ⎨n ∈ N n + 4 < (n + 2) ! (n − 1) !⎬⎭ ⎩ a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

f) 5

AL – 186 Într-o discotecă, dintr-un grup de 7 fete şi 8 băieţi, la un anumit dans, trebuie să se formeze 4 perechi din câte o fată şi un băiat. În câte moduri se pot forma cele patru perechi ? a) 105;

b) 210;

c) 14700;

d) 58800;

e)2450;

f) 420.

AL - 187 La o reuniune de 12 persoane, fiecare a dat mâna cu fiecare dintre ceilalţi participanţi. Câte strângeri de mână au fost? a) 132

b) 66

c) 12!

d) 12

e) 33

f) 144

AL - 188 În câte moduri se poate face un buchet cu două garoafe albe şi cinci garoafe roşii având la dispoziţie 20 garoafe albe şi 9 garoafe roşii ? a) 180

b) 18.000

c) 90.000

d) 22.400

e) 23.940

f) 24.140

AL - 189 Care este domeniul maxim de definiţie D al funcţiei: f : D → R , f ( x ) = C7xx +10 + C5xx ++43 x − 4 ? 2

2

a) D = {1,9,11}

b) D = {2,3,4}

c) D = ( − ∞,−1] ∩ Z

d) D = [7,+∞) ∩ N

e) D = {2,3,4,5}

f) D = [1,6] ∩ N

Elemente de algebră

59

AL - 190 Să se precizeze în care din mulţimile de mai jos se află toate numerele naturale n care verifică relaţia: C3nn − 2 = A2nn−−11 . a)A1 = N \ {1,2,3,4,7,9}

b)A1 = N \ {2,3,4,5,6,9,30}

c) A3 = (9,30)

d) A4 = {2 k + 1, k ∈N}

e) A6 = N \ {2,3,5,7,9,30}

f) A5 = {3k k ∈ N}

AL - 191 Să se rezolve ecuaţia 2

C3nn ++42 n − 4 = 210, n ∈ N . a) n=4

b) n=3

c) n=2

d) n=1

e) n=5

f) n=6

AL – 192 Soluţia ecuaţiei

C xx++83 = 5( x + 6 )( x + 5)( x + 4) se află în intervalul : a) (14,19);

b) (-8,-3);

c) (-6,-4);

d) (20,24)

e) (21,27);

f) (19,20).

AL – 193 Să se precizeze în ce interval se află soluţia ecuaţiei

C xx+−14 = a) (8,12)

7 x( x + 1)( x − 1) 15

b) (10,12)

c) (-1,4)

d) (7,9]

e) (11,17)

AL - 194 Să se rezolve ecuaţia

3C x2+1 + x ⋅ P2 = 4 Ax2 . a) x=3

b) x=4

d) x=2 e) x=7 AL - 195 Să se calculeze suma:

c) x=5 f) x=10

f) (-1,1).

Culegere de probleme

60

(

) (

(

)

)

S n = 1 ⋅ C11 + 2 C21 + C22 + 3 C31 + C32 + C33 + ... + n Cn1 + Cn2 + ... + Cnn .

a) S n = n ⋅ 2 n −

n( n + 1)

b) S n =

2

c) S n = ( n − 1) ⋅ 2 n +1 + 2 − e) S n = (n − 1)2 n + 2 −

n( n + 1)

(n + 1) ⋅ 2 n − n 2

d) S n = ( n + 1) ⋅ 2 n −1 −

2

n(n + 1) 2

n( n + 1) 2

f) S n = n ⋅ 2 n + n( n + 1)

AL - 196 Să se calculeze suma:

E = Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk , unde n, k ∈ N, n ≥ k . a) E = Cnk+−11

b) E = Cnk++11

c) E = Cnk++12

d) E = Cnk+−12

e) E = Cnk++21

f) E = Cnk++22

AL - 197 Să se calculeze expresia: C k − Cnk− 2 − Cnk−−22 E= n , n ≥ 3, k ≥ 2, n ≥ k + 2 . Cnk−−21 a) E = 1

b) E = 2

c) E = 3

d) E =

1 2

e) E =

1 3

f) E = −1

AL - 198 Determinaţi mulţimea A a valorilor lui x ∈R pentru care: C10x −1 > 2C10x . a) A = ( − ∞,−3) ∪ ( − 11 ,]

b) A = {5,6,7}

c) A = [1,7]

d) A = {8,9,10}

e) A = [ − 3,−2] ∪ {1,2}

f) A = {1,2,3,4}

Elemente de algebră

61

AL - X. 199 Să se rezolve inecuaţia: C31x + C63x ≤ 24 , precizându-se care din următoarele intervale conţine soluţia.

⎡3 ⎤ ⎣ ⎦

⎛1 ⎤ b) ⎜ ,1⎥ ⎝2 ⎦

⎡ 1⎤ a) ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦

c) ⎢ ,1⎥ 4

⎛5 ⎤ ⎝ ⎦

d) ⎜ ,1⎥ 6

e) [7,14]

f) [14,+∞)

⎧ Axy = 10 Axy −1 ⎪ AL - X. 200 Să se precizeze soluţia sistemului : ⎨ y 5 y +1 . ⎪C x = C x 3 ⎩ a) x = 23, y = 14

b) x = 20, y = 5

c) x = 17, x = 8

d) x = 12, y = 3

e) x = 10, y = 2

f) x = 8, x = 5

AL – 201 Să se determine numerele naturale x şi y , astfel încât numerele C xy−−11 , C xy−1 , C xy să fie în progresie aritmetică, iar numerele Axy , Axy +1 , Axy++11 să fie în progresie geometrică. a) x = 1, y = 3; d) x = 3, y =

1 ; 2

b) x=3, y = 1;

c) x = y = 3;

e) x ∈ N *, y = 1;

f) x = 4, y = 2

AL – 202 Fie a1 , a2 ,..., an , an +1 , n + 1 numere reale în progresie aritmetică de raţie r. n

Să se calculeze suma:

∑ (− 1) C k =0

a) r

b a1

k

k n

ak +1 .

c) 1

d) 0

f) 2n

e) n

n

⎛ 1 ⎞ AL - 203 Să se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului ⎜ x + ⎟ , 3 ⎝ x⎠ în ipoteza că 2 2 n − 2 n − 240 = 0 , n ∈ N . 4 b) 4 x c) 6 3 x a) x

d)

6 3

x

e) 4

f) 2 x 2

Culegere de probleme

62

AL - 204 Să se precizeze termenul care nu conţine pe x din dezvoltarea binomului 1 ⎛ −1 − ⎞ ⎜ ax 2 + xa 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 15 a) C30 a

5 7 b) C30 a

30

, a , x ∈R *+ . 7 5 c) C30 a

4 12 d) C30 a

15 14 e) C30 a

8 8 f) C30 a

n

⎛ 1 ⎞ AL – 205 În dezvoltarea binomului ⎜⎜ x + ⎟⎟ , n∈ N , n ≥ 2, x∈ R ∗+ , 4 2 x ⎝ ⎠ coeficienţii primilor 3 termeni formează o progresie aritmetică. Să se determine termenii raţionali ai dezvoltării. a) T1; T7; T9;

b) T1; T5; T9;

c) T2; T4, T8;

d) T1; T3; T7;

e) T2; T6; T8;

f) T1; T3; T5.

AL – 206 Determinaţi x din expresia

⎛ log a ⎜x ⎝

n

x

1⎞ + ⎟ , (a > 0, a ≠ 1) x⎠

ştiind că suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 128, iar al şaselea termen al dezvoltării este egal cu

21 . a4

a) x1 = 3a , x2 = a2

b) x1= 2a , x2 = a3

c) x1 = 2a -1 , x2 = a-3

d) x1 = 3a, x2 = a -2

e) x1 = a, x2 = a4

f) x1 = a –1, x2 = a- 4

AL - 207 Câţi termeni care nu conţin radicali sunt în dezvoltarea binomului ⎛⎜ 3 x 2 + 4 x ⎞⎟ ⎝ ⎠

16

?

a) Un termen

b) Doi termeni

c) Trei termeni

d) Nici unul

e) Şase termeni

f) Patru termeni

Elemente de algebră

63 13

⎛ a 3 ⎞ ⎟⎟ , AL - 208 Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului ⎜⎜ + 3 a⎠ ⎝ 3 care conţine pe a4 ? a)187

a4 37

b) 286

a4 37

c)107

a4 35

d) 286

a4 33

e) 202

a4 37

⎛ x AL - X. 209 Care este termenul din dezvoltarea binomului ⎜ 3 + ⎜ y ⎝ în care exponenţii lui x şi y sunt egali ?

a) T13

b) T10

c) T6

d) T8

e) T15

f) 200

a4 34

21

y ⎞⎟ , 3 x ⎟⎠

f) T11

n

AL - X. 210 În dezvoltarea binomului ⎛⎜⎝ 2 x + 2 1− x ⎞⎟⎠ , suma coeficienţilor binomiali ai ultimilor trei termeni este egală cu 22. Să se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea este egală cu 135. a) x1 = 1, x 2 = 2

b) x = 2

c) x1 = −1, x 2 = 2

d) x1 = −1, x 2 = −2

e) x = 1

f) x1 = 1, x 2 = −1

n

⎛ 1 ⎞ AL - X. 211 În dezvoltarea binomului ⎜ x + ⎟ , suma coeficienţilor binomiali 3 ⎝ x⎠ este cu 504 mai mică decât suma coeficienţilor binomiali din dezvoltarea binomului

(a + b) 3n . Să se afle termenul al doilea al primei dezvoltări. a) 3x

b) 3 3 x

c) 3 3 1 x

d) 3 3 x 2

e) 3

f) 3x 2

AL - 212 Să se determine termenul ce nu conţine pe a din dezvoltarea binomului

Culegere de probleme

64

17

⎞ ⎛ 1 ⎜⎜ + 4 a 3 ⎟⎟ , a ≠ 0 3 2 ⎠ ⎝ a 8 a) T9 = C17 = 24.310

b) T7 = C176 = 12376

c) T6 = C175 = 6188

1 d) T2 = C17 = 17

e) T3 = C172 = 136

f) T4 = C173 = 680

AL - 213 Să se găsească rangul celui mai mare termen din dezvoltarea (1 + 0,1) a) 9

b) 10

c) 11

d) 20

e) 30

100

f) 22

AL - 214 Determinaţi valoarea celui mai mare coeficient binomial al dezvoltării binomului (a + b) , dacă suma tuturor coeficienţilor binomiali este egală cu 256. n

a) 1

b) 8

c) 60

d) 70

e) 28

f) 7

AL – 215 Să se determine coeficientul lui x23 din dezvoltarea lui (x2 + x + 1)13 . a) 0

b) 13

c) 21

d) 442

e) 884

AL – 216 Să se afle coeficientul lui x12 din dezvoltarea (10x2 +15x – 12) (x+1)15 . a) 13C155

b) 14C155

c) 15C155

d) 20C155

e) 25C155

f) 30C155

AL - 217 Ştiind că suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării

f)169

.

Elemente de algebră

65

(1 + x ) n + (1 + x ) n +1 este 1536, să se calculeze coeficientul lui x 6 din această dezvoltare. a) 295

b) 294

c) 320

d) 293

2

e) 128

f) 200

2

AL - 218 Calculaţi E = z1 z 2 + 1 + z1 z 2 − 1 pentru numerele complexe z1 şi z2 ( z fiind complexul conjugat numărului z).

(

2

a) 2 z1 + z2 d) 2 z1 z2

2

)

(

b) 2 1 + z1 z2

(

2

e) 1 + z1

2

2

)

)( z

1

2

( )(1 − z ) f) 2(1 + z − z ) c) 2 1 + z1

)

2

2

2

2

−1

2

1

2

AL - 219 Să se găsească valorile reale ale lui m pentru care numărul

(

)

3i 43 − 2mi 42 + (1 − m )i 41 + 5 este real i 2 = −1 . a) m = −1

b) m = −2

c) m = −

5 2

d) m = 3

1996

⎛1+ i ⎞ ⎟ ⎝1− i ⎠

AL - 220 Să se calculeze valoarea expresiei E = ⎜ a) i

b) 2

c) –i

d) –2

e) m = 1

f) m = 0

1996

⎛1− i ⎞ +⎜ ⎟ ⎝1+ i ⎠

e) 2i

. f) –2i

AL - 221 Precizaţi partea imaginară a numărului complex

(2 − i ) − i + 6 . 1 + 4 + 3i 1+ i 4i − 3 2 − i 2

a) −

23 i 10

b) −

29 i 10

c)

19 i 10

d)

10 i 13

e) −

33 i 10

f) −

10 i 33

Culegere de probleme

66

AL - 222 Să se determine α ∈ R astfel încât numărul complex

a)

1− 3 2

3+2 4

b)

3 +1 4

c)

AL – 223 Fie z1,z2∈C şi x + iy = 2

a) x =

z1 + z 2 z1 − z 2

z1 + z 2 z1 + z 2

z1 − z 2 z1 − z 2

z1 z 2

,

2

,

b) x =

2

y=i

y=

z1 z 2 − z1 z 2

z1 + z 2

z1 − z 2

e)

3 4

1+ 2 3

f)

z1 + z 2 , x, y ∈ R Atunci avem: z1 − z 2

z1 z 2 + z1 z 2

2

2 3 +1 4

2

z1 − z 2

2

2

2

e) x =

, y=

2

2

c) x =

2

d)

1− i 3 să fie real. α + (α + 1)i

2

2

z12 + z 22 , z12 − z 22

y=i

2

d) x =

z1 − z 2 z1 − z 2

, y=i

2

2

f) x =

2

z1 − z 2 z1 − z 2

2 z1 z 2 z12 − z 22

2

,

2

y=

z1 z2 − z1 z 2 z1 − z 2

z1 z 2

2

2

z1 − z 2

2

4

AL - 224 Să se calculeze z dacă z = ⎛⎜ 2 + 2 + i 2 − 2 ⎞⎟ . ⎠ ⎝ a) 1

b) 2

c)

2

d) 16

e) 4

f) 6

AL – 225 O ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi reali care are ca rădăcină

⎛1+ i 3 ⎞ numărul complex ⎜ ⎟ ⎝1− i 3 ⎠

2008

este:

a) z 2 + z + 1 = 0 ;

b) z 2 − z + 1 = 0 ;

c) z 2 + 2 z + 2 = 0 ;

d) z 2 − 2 z + 2 = 0 ;

e) z 2 + 1 = 0 ;

f) z 2 + 3 = 0

Elemente de algebră

67 2

AL - 226 Să se determine numerele complexe z astfel încât 4 z 2 + 8 z − 3 = 0 . 3 ⎫⎪ ⎪⎧ a) z ∈ ⎨1 ± i ,± ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩

⎪⎧1 ± i 3 ⎫⎪ b) z ∈ ⎨ ⎬ ⎪⎩ 2 ⎪⎭

3 1 ⎪⎫ ⎪⎧ c) z ∈ ⎨± i ,± ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2

3 ⎫⎪ ⎪⎧ 1 d) z ∈ ⎨± i ,± ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2

2 ± i 5 ⎫⎪ ⎪⎧ e) z ∈ ⎨− 1 ± i , ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩

⎪⎧ 3 ± 2 2i − 5 i + 7 ⎪⎫ f) z ∈ ⎨ , , ⎬ 3 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2

(1 + i ) . z= 7 (1 − i ) 9

AL – 227 Să se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal

a) z = 1 + i

b) z = 2

c) z = 1 − i

d) z = −i

AL - 228 Căreia din mulţimile de mai jos aparţine α =

e) z = i

f) z = 2 + i

z z , pentru + z z

z ∈ C \ {0} ? b) Z

N

c) Q

d) R

e) C \ R

f) R \ {0}

AL - 229 Să se determine toate numerele complexe z ∈ C care verifică ecuaţia z − z = 1 + 2i . a) z = −

d) z =

1 +i 2

3 − 2i 2

b) z1 = −

1 3 + i , z 2 = − 2i 2 2

e) z1 = 0, z 2 = −

1 +i 2

c) z1 = 0, z 2 =

f) z =

5 + 3i 2

3 + 2i 2

Culegere de probleme

68

AL - 230 Să se afle numerele complexe z = x + iy , x , y ∈ R \ {0} , de modul

(

astfel încât x + iy 2

)

3

să fie pur imaginar.

(

) (

)

⎧⎪ 3 ⎫⎪ 3 c) z ∈ ⎨ 1± i 5 , −1 ± i 5 ⎬ 3 ⎪⎩ 3 ⎪⎭

(

) (

⎧⎪ 2 d) z ∈ ⎨ ⎪⎩ 2

(

3 ±i ,

⎧⎪ 3 f) z ∈ ⎨ ⎪⎩ 3

(

5 ±i ,

)

⎧ 3 ⎫ 3 2±i 2 , −2±i 2 ⎬ 3 ⎩ 3 ⎭

e) z ∈ ⎨

) (

)

⎫⎪ ⎧⎪ 2 2 b) z ∈ ⎨ 1± 3 , −1± i 3 ⎬ 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 2

a) z ∈{1 ± i ,−1 ± i}

(

2,

AL - 231 Fie a ∈ R + şi z ∈ C , astfel încât z +

) 22 (−

⎫⎪ 3 ±i ⎬ ⎪⎭

)

) 33 (−

⎫⎪ 5 ±i ⎬ ⎪⎭

)

1 = a . Să se determine cea mai z

mare şi cea mai mică valoare posibilă a lui z .

a)

a + a2 + 4 ,0 2

b) a,0

d) 2 + a 2 + 4 , a 2 + 4 − 2

e)

c)

a + a2 + 4 a2 + 4 − a , 2 2

a2 + 4 − a a2 + 4 − a − 1 , 2 2

f)

3a a , 4 4

AL - 232 Fie z un număr complex astfel încât z − a = a 2 − b 2 , unde, a > b > 0 . Să se calculeze

a) a

b−z . b+z

b) 1 −

b a

c)

a−b a+b

d)

a2 − b2 a2 + b2

e) 1 +

b a

f)

a− b a+ b

Elemente de algebră

69

AL - 233 Fie a∈C . Să se calculeze valoarea expresiei 2

2

1 1 i 2 E (a ) = a + +ia+ − (1 + i ) a − (1 + i ) . 2 2 4 a) 1- a

b) 1+a

c) a

d) 2a

e) 1

f) 0

AL - 234 Fie ε = cos

2π 2π + i sin . Să se calculeze : 3 3

(

)

(

)

E = (1 + ε ) 1 + ε 2 ⋅ ... ⋅ 1 + ε 1997 .

a) E = 1

b) E = 2

c) E = 2 663

d) E = 2 1997

AL - 235 Pentru x ∈ C \ R care satisface ecuaţia

x+

e) E = 2 665

f) E = 4

1 = −1 , x

să se calculeze valoarea expresiei

E = x 333 + a) E=1

b) E=2

1 . x 333

c) E=-3

d) E=i

e) E=2i

f) E=3i

AL - 236 Fie α şi β rădăcinile ecuaţiei x 2 + x + 1 = 0 . Să se calculeze α 2000 + β 2000 .

a) 1

b) 0

c) –1

d) i 3

AL - 237 Fie z un număr complex de modul 1 şi argument θ . Să se calculeze expresia

e) − i 3

f) 2

Culegere de probleme

70

zn , (n ∈ N ). 1+ z 2 n a) 2 cos nθ d)

b) cos nθ

1 2 cos nθ

e)

1 cos nθ

c) 2 sin nθ f)

1 2 sin nθ

AL - 238 Precizaţi care din valorile de mai jos sunt rădăcinile ecuaţiei z 2 − 2i 3z − 5 = 0 . a) z = 2 ± i 3

b) z = ± 2 + i 3

c) z = − 3 ± i 2

d) z = − 2 ± i 2

e) z = 3 ± i 2

f) z = − 3 ± i 3

AL - 239 Soluţia ecuaţiei z 2 + (5 − 2i )z + 5(1 − i ) = 0 este: a) i − 3, i − 2 ; d) 2 − i, 3 − i ;

b) 3i, 2 − i ; e) 5 − 2i, 1 − i ;

c) 2i, 3 − i ; f) 2i, 3i

AL - 240 Se consideră ecuaţia (2 − i ) z 2 − ( 7 + 4i ) z + 6 + mi = 0 , în care z ∈ C este necunoscuta, iar m este un parametru real. Să se determine valorile lui m pentru care ecuaţia admite o rădăcină reală.

⎧ ⎩

a) m ∈ ⎨− 12,

33 ⎫ ⎬ 5⎭

b) m = 32

c) m ∈{2,5}

⎧ 33 ⎫ ⎧ 33 ⎫ ⎧ 31 ⎫ e) m ∈ ⎨0, ⎬ f) m ∈ ⎨2, ⎬ d) m ∈ ⎨12, ⎬ 4⎭ ⎩ ⎩ 5⎭ ⎩ 2⎭ AL - 241 Formaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi reali, care admite ca rădăcini şi rădăcinile ecuaţiei : z 2 − 3 2 z + 5 + 2 i = 0 .

Elemente de algebră

71

a) z 3 − 6 2 z 2 + 2 z + 27 = 0

b) z 4 − 6 2 z 3 + 28 z 2 − 30 2 z + 27 = 0

c) z 4 + 2 2 z 3 − 4 z 2 − 6 2 z + 27 = 0

d) z 4 − 2 z 2 + 28 z + 27 = 0

e) z 4 + 2 z 3 − 28 z 2 − 27 = 0

f) z 4 − 6 2 z 2 + 30 2 z + 27 = 0

(

)

(

)

AL - 242 Se dă ecuaţia 2 z 2 − 5 + i 3 z + 2 1 + i 3 = 0 . Fie α o rădăcină a ecuaţiei pentru care | α | = 1. Să se determine x ∈ R astfel încât să aibă loc egalitatea

1 + ix =α . 1 − ix

a) x = −

1 3

b) x =

1 c) x = − 3 3

d) x = 3

e) x =

2 2 f) x = − 3 3

AL - 243 Rădăcinile pătrate ale numărului complex 3+4i sunt : a) 2+i, 2-i ;

b) 2+i, -2-i ;

c) 2+i, -2+1 ;

d) 2-i, -2+i ;

e) 1+i, 1-i ;

f) 1+i, 2+i

AL - 244 Pentru z ∈ C să se determine soluţiile sistemului

⎧ z 2 − 2i = 4 ⎪ . ⎨ z +1+ i =1 ⎪ ⎩ z −1 − i a) z1 = 1, z 2 = 1 − i

b) z1 = 1 − i, z2 = −1 + i

c) z1 = 1 − i, z 2 = 0

d) z1 = 0, z 2 = −1 + i

e) z1 = i, z 2 = 0

f) z1 = −i, z 2 = 1 + i

AL - 245 Să se calculeze rădăcina pătrată din numărul complex

Culegere de probleme

72

(

)

z = −3 + 4i, i = − 1 . a) 2 + i, 2 − i

b) 1 + 2i, − 1 + 2i

c) 1 + 2i, − 1 − 2i

d) − 2 + i, 2 + i

e) 1 − 2i, − 1 − 2i

f) 2 − i, − 1 − 2i

AL - 246 Să se calculeze rădăcinile de ordinul n=3 ale lui z =

a) z1 = i, z2 = −i, z3 = 1

(

3 + i , z2 =

)

(

)

1+ i . 1− i

b) z1 = 1, z2 = −1, z3 = −i

(

)

1 − 3 + i , z3 = −i 2

c) z1 =

1 2

e) z1 =

1 1 1 + 3i , z2 = − 1 + 3i , z3 = −i 2 2

(

)

d) z1 = z 2 = z3 = −i, f) z1 = z2 = z3 − 1,

AL - 247 Să se determine toate rădăcinile complexe ale ecuaţiei z 4 + 81 = 0 .

a)

3 2 3 2 1 ± i) , − ( (1 ± i ) 2 2

d) 2 (1 ± i ) , − 2 (1 ± i )

AL - 248 Fie mulţimile :

b)

3 3 1 ± i) , − ( (1 ± i ) 2 2

e) 2 ± i , − 2 ± i

c) 2(1 ± i ) , − 2(1 ± i )

f) ± 3 i , m 3 i

Elemente de algebră

73

2π ⎫ ⎧ B = ⎨ z ∈ C* | arg z < ⎬ 3 ⎭ ⎩

A = {z ∈ C | z = 1},

C = {z ∈ C | z + 1 ≤ 1}; D = {z ∈ C | z − i ≤ 2};

5π ⎫ 2π ⎧ E = {z ∈ C | Im z = 2}, F = ⎨ z ∈ C* | < arg z < ⎬ 4⎭ 3 ⎩ Să se precizeze care dintre următoarele afirmaţii sunt corecte. a) A este discul de centru 0 şi rază 1; b) B este mulţimea punctelor din semiplanul y>0, c) C este cercul de centru A(-1,0) şi rază 1; d) D este cercul de centru A(0,1) şi rază 2 e) E este o dreaptă paralelă cu axa Oy; f) F este Int ⎛⎜ AOB ⎞⎟ unde A ⎛⎜ − 1 , 3 ⎞⎟ şi B ⎛⎜ − 2 , − 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

AL – 249 Să se determine modulul şi argumentul pentru numărul complex: z = cos a +sin a + i(sin a- cos a). a) z = 2, arg z =

π 4

c)

π a z = 2 cos , arg z = 2 4

e)

z = 2, arg z =

π 4

b) z = 2 , arg z = a −

π 4

d)

π a z = 2 cos , arg z = a − 2 4

f)

z = 2, arg z = a −

AL – 250 Să se scrie sub formă trigonometrică numărul complex : z = 1+ cos α - i sin α, unde α∈(0,π).

π 4

Culegere de probleme

74

a) z = 2 cos c) z = 4 cos

α⎡

⎛ α⎞ ⎛ α ⎞⎤ cos⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟⎥ ⎢ 2⎣ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦

α

2

⎛ ⎝

b) z = cosα ⎜ cos

(cosα + i sin α )

d) z = cos

α 2

⎞ ⎛ 7π −α ⎟ 3 ⎝ ⎠ 7 π ⎛ ⎞ +α ⎟ d) Re z = sin ⎜ 6 ⎝ ⎠

+ i sin

f) z = 2 cosα ⎜ cos

AL – 251 Determinaţi partea reală a numărului complex z =

⎞ ⎛ 7π +α ⎟ 6 ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ e) Re z = cos⎜ + α ⎟ 4 ⎝ ⎠

+ i sin

2

⎛ ⎝

e) z = cos α (cos α + i sin α )

a) Re z = sin ⎜

α

α⎞ ⎟ 2⎠

α 2

α

2

− i sin

α⎞ ⎟ 2⎠

1− i 3 . 2(sin α + i cosα ) c) Re z = cos

b) Re z = cos⎜

5π 3

⎛π ⎞ +α ⎟ 4 ⎝ ⎠

f) Re z = sin ⎜

AL – 252 Să se determine modulul şi argumentul redus pentru numărul complex: 16

⎛1− i 3 ⎞ ⎟ . z = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 1+ i ⎠ a) z = 2 , arg z = d) z =

2 , arg z =

2π 3

π

3

2π 3 2π e) z = 2 8 , arg z = 3 b) z = 2, arg z =

c) z = 2, arg z = f) z = 28 , arg z =

AL – 253 Să se scrie sub forma z = x + iy numărul complex : z =

a) d) i

3 2

7

(− 1 + i 3 )

( (

1 1− i 3 128 1 e) 3+i 128

b)

)

3−i 3

(

3 +i

)

7

.

1 2 −i 2 2 1 f) 3−i 128 c)

(

)

(

AL – 254 Să se determine numărul complex: Z = 1 + i 3

)

) + (1 − i 3 ) , n∈N . n

n

π 3

π 3

Elemente de algebră

a) Z = 2 n cos

d) Z = 2 n sin

nπ 3

nπ 3

b) Z = 2 n +1 sin

⎛ ⎝

e) Z = 2 n +1 ⎜ cos

AL – 255 Ştiind că z + a) E = 2cos nα d) E = cos nα

75

nπ 3

c) Z = 2 n +1 cos

nπ 3

nπ nπ ⎞ nπ nπ ⎞ n +1 ⎛ + i sin − i sin ⎟ f) Z = 2 ⎜ cos ⎟ 3 3 ⎠ 3 3 ⎠ ⎝

1 1 = 2 cosα .Să se calculeze expresia: E = z n + n , n∈N*. z z

b) E = 2isin nα e) E = 2icos nα

c) E = 2sin nα f) E = sin nα

AL – 256 Se notează cu z1 şi z2 rădăcinile complexe ale ecuaţiei: z3 +1=0. Să se determine valorile posibile pe care le poate lua expresia: E (n ) = z1n + z 2n , când n ia valori întregi pozitive.

{

a) E (n ) n∈ N

{

} = {0,±1}

b) E (n ) n ∈ N

} = {0,1,2}

c)

{E (n )

n ∈N

} = {± 1,±2}

d)

{E (n )

n ∈N

}= Z

e)

{E (n )

n ∈N

} = {± 2}

f)

{E (n )

n ∈N

}= N

AL – 257 Să se determine toate soluţiile ecuaţiei z = z n −1 , oricare ar fi numărul natural n > 2. a) z = 1+ i

b) z = 1± i

e) z1 = 0, z k = cos

c) z = i

d) z1 = 0, z2 = i

2kπ 2kπ + i sin , k ∈0, n − 1 n n

f) z1 = 1 + i 3 , z 2 = 1 − i 3

AL – 258 Să se determine rădăcinile z k , k ∈ 0,5 ale ecuaţiei: z6 = i.

Culegere de probleme

76 kπ kπ + i sin , k = 0,5 11 11 kπ kπ c) z k cos π + i sin π , k = 0,5 7 7 kπ kπ e) z k = cos + i sin , k = 0,5 13 13

a) z k = cos

4k + 1 4k + 1 π + i sin π , k = 0,5 12 12 2kπ 2kπ d) z k = cos + i sin , k = 0,5 5 5 2k + 1 2k + 1 f) z k = cos π + i sin π , k = 0,5 12 12

b) z k = cos

AL – 259 Fie ω o rădăcină complexă a ecuaţiei: zn = 1, n∈N * , n > 2. Să se precizeze valoarea expresiei: S = 1 + 2ω + 3ω 2 + ... + nω n −1 .

1 ω −1 n d) S = 1−ω

a) S =

b) S =

1 1−ω

n ω −1 nω f) S = ω −1

c) S =

e) S = n ⋅ω

n

⎛ 1 + ix ⎞ AL – 260 Să se determine rădăcinile ecuaţiei: ⎜ ⎟ = cos t + i sin t în care ⎝ 1 − ix ⎠ n∈N*, x,t∈R.

t + kπ , k = 0, n − 1 2n

a) xk = tg

t + 2kπ , k = 0,n − 1 2n

b) x k = tg

c) x k = tg

t + kπ , k = 0, n − 1 n

d) x k = sin

t + 2kπ , k = 0, n − 1 2n

f) x k = sin

t + kπ , k = 0, n − 1 n

e) x k = cos

t + 2kπ , k = 0, n − 1 2n

AL – 261 Precizaţi numărul maxim de rădăcini comune ale ecuaţilor: z8 = 1 şi z12 = 1. a) nici una

b) una

c) două

d) patru 4

e) trei

⎛ 1 + iz ⎞ 1 + a ⋅ i AL – 262 Fie zk , k = 1,4 soluţiile ecuaţiei: ⎜ , a∈ R* . ⎟ = ⎝ 1 − iz ⎠ 1 − a ⋅ i

f) opt

Elemente de algebră

77

Care este valoarea produsului z1 ⋅ z 2 ⋅ z 3 ⋅ z 4 ? a) 1

b) 2

c) –1

d) 3

e) –3

f) –2

AL – 263 Să se calculeze expresia:

E = 1 + 3 (cos t + i sin t ) + 3 (cos t + i sin t ) + (cos t + i sin t ) . 2

a) cos

3t 3t + i sin 2 2

d) 8 sin

3t 2

b) 8 cos

e) cos 3

3t 2

c) 8 cos 3

t⎛ 3t ⎞ 3t ⎜ cos + sin ⎟ 2⎠ 2 2⎝

3

t⎛ 3t ⎞ 3t ⎜ cos + i sin ⎟ 2⎠ 2 2⎝

f) cos

3t 3t − i sin 2 2

AL – 264 Să se afle afixul celui de al treilea vârf al unui triunghi echilateral, ştiind că afixele a două vârfuri sunt: z1 = 1, z2 = 2+i.

a)

3 − 3 1+ 3 +i 2 2

d) i

e)

b)

3 + 3 1− 3 +i 2 2

3 − 3 1+ 3 3 + 3 1− 3 şi +i +i 2 2 2 2

c) 3+i

f) 1 + i

AL – 265 Fie M1 , M2 , M3 , M4 puncte ale căror afixe sunt, respectiv,

z1 = 2 − i 3 , z 2 = 2 + i 3 , z 3 = − 6 + i , z 4 = − 6 − i . Care din afirmaţiile următoare este adevărată b) M1 , M2 , M3 , M4 sunt conciclice a) M1 , M2 , M3, M4 sunt coliniare c) patrulaterul M1M2M3M4 nu este inscriptibil d) patrulaterul M1M2M3M4 este un pătrat e) M1M2 = M3M4 f) patrulaterul M1M2M3M4 este romb. AL – 266 Să se determine valorile expresiilor:

Culegere de probleme

78

2π 4π 2(n − 1)π + cos + ... + cos n n n 2π 4π 2(n − 1)π , n∈N S 2 = sin + sin + ... + sin n n n S1 = 1 + cos

a) S1 = S2 = 1 d) S1 = S2 = 0

b) S1 = 0, S2 = 1 e) S1 = -1, S2 = 0

c) S1 = S2 = -1 f) S1 = 0, S2 = -1

AL – 267 Se dau numerele complexe: z1 = sin α − cos α + i (sin α + cos α ) şi

z 2 = sin α + cos α + i (sin α − cos α ) , unde α este parametrul real dat. Să se găsească

numerele n pentru care

(z1 ⋅ z2 )n

a) n = 3p, p∈ N d) n = 4p, p∈N

este un număr real şi pozitiv.

b) n = 2p, p∈N e) n = 4p + 1, p∈ N

c) n = 2p+1, p∈ N f) n = 3p + 1, p∈ N

AL – 268 Numerele complexe z1 şi z2 satisfac relaţia: z1 + z 2 = z1 ⋅ z 2 . Care din afirmaţiile următoare este adevărată ? c) z1 = 0, z 2 > 0

a) z1 = 0, z2 =1- i

b) z1 = z2 = 2+3i

d) z1 >2 şi z 2 >2

e) cel puţin unul din cele două numere

f) z1 >2, z2 = 0

are modulul mai mic sau egal cu 2.

AL – 269 Fie z ∈ C \ {0} , w =

z z şi Im( w ) -partea imaginară a numărului w . + z z

Care dintre afirmaţiile următoare este adevărată ? a) Im( w )>0 b) Im( w )< 0 d) w ≠ 0 pentru orice z∈C \ {0}

c) dacă z = i atunci w ≠0 e) dacă z = −i atunci w = i

f) w ∈R şi există a,b∈ R astfel încât z 2 = az + b

AL – 270 Determinaţi mulţimea tuturor punctelor din plan ale căror afixe z verifică

Elemente de algebră

relaţia:

79

1 z + ∈R . z

a) axa reală mai puţin originea b) cercul cu centrul în origine şi raza 2 c) cercul cu centrul în origine şi raza 1 d) axa imaginară e) axa reală fără origine reunită cu cercul cu centrul în origine de rază 1 f) axa imaginară reunită cu cercul cu centrul în origine de rază 2

AL – 271 Considerăm două numere complexe z1 , z2 ∈C* \ R astfel încât: z1 z 2 = z1 ⋅ z 2 . Ce putem afirma despre imaginile lor ? a) sunt coliniare cu originea b) sunt conciclice cu originea c) coincid d) împreună cu originea formează vârfurile unui triunghi nedegenerat

1 z2

e) imaginea lui z1 coincide cu imaginea lui

f) împreună cu originea formează un triunghi isoscel.

AL – 272 Vârfurile A, B, C ale unui triunghi au afixele 1, 1 + z , 1 + z + z 2 , unde

2π ⎞ 2π ⎛ z = r ⎜ cos + i sin ⎟ cu r ∈(0,1) . Precizaţi poziţia originii O (0,0) faţă de 3 ⎠ 3 ⎝ laturile triunghiului. a) O ∈ [ AB ] b) O ∈ [ AC ] c) O ∈ [BC ] d) O aparţine interiorului triunghiului e) O aparţine exteriorului triunghiului f) O este centrul cercului înscris în triunghiul ABC n

⎛ 1 + itg t ⎞ ⎫ π ⎧ ⎟⎟ , t ∈ R - ⎨(2k + 1) , k ∈ Z ⎬ , n ∈N*. AL – 273 Să se calculeze : E = ⎜⎜ 2 ⎩ ⎭ ⎝ 1 − itg t ⎠ a)

tg nt + i tg nt − i

b)

d)

ctg nt + i ctg nt − i

e) ctg nt + i

AL - 274 Să se calculeze

1 + itg nt 1 − itg nt

c)

1 + ictg nt 1 − ictg nt

f) 1 + itg nt

Culegere de probleme

80

E = C n0 − C n2 + C n4 − C n6 + ... + (−1) k C n2 k + ... nπ 4 nπ d) E = 2 sin 4

nπ 6 n π e) E = 2n sin 6

a) E = 2 cos

b) E =

2n cos

nπ 4 n π f) E = 2n sin 4

c) E =

2n cos

⎛ π⎞ a = tgα , α ∈ ⎜ 0, ⎟ , să se calculeze suma ⎝ 2⎠

AL – 275 Dacă

C n1 − aC n3 + a 2 C n5 − a 3C n7 + ... a)

sin α sin nα cos n−1 α

b)

sin nα sin α cos nα

c)

sin nα sin α cos n −1 α

d)

sin nα cosα sin n α

e)

sin nα cos n α sin α

f)

sin nα sin α cos n α n

⎛ − 1 0, (6 )⎞ 0, (3)⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ ; B = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ ⎟ − 0 , 5 1 , 4 ⎝ ⎠ 5 ⎠ ⎝2

AL - 276 Se dau matricele A = ⎜⎜

Să se calculeze matricea C = A + B.

⎛ 1 − 1⎞ ⎟; 3 ⎟⎠

a) C = ⎜⎜ ⎝2

⎛2

d) C = ⎜⎜ ⎝−1

0, (3)⎞ ⎟ 0 ⎟⎠

⎛ − 1 0,5 ⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

⎟⎟ c) C = ⎜⎜ ⎝0 1⎠

⎛ 0, (6 ) − 1⎞ 1⎟ ⎜ 1 ⎟ 2⎠ ⎝

f) C = ⎜⎜ ⎝0

b) C = ⎜⎜ ⎝0 e) C = ⎜

⎛1 0⎞

⎛1 1⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

Elemente de algebră

81 ⎛ − 5 3⎞ ⎟ şi 6 ⎟⎠

AL - XI. 277 Se dau matricele pătratice de ordinul al doilea E = ⎜⎜ ⎝ 4

⎛1 − 2⎞ ⎟⎟ . F = ⎜⎜ ⎝3 7 ⎠ Să se calculeze matricea A = 2E – 3F

⎛ − 13 12 ⎞ ⎟⎟ ⎝ −1 − 9⎠

c) A = ⎜⎜

⎛ 13 12 ⎞ ⎟⎟ ⎝ −1 9 ⎠

f) A = ⎜⎜

⎛ 13 12 ⎞ ⎟⎟ ⎝ −1 − 9⎠

b) A = ⎜⎜

⎛13 12 ⎞ ⎟⎟ ⎝1 9⎠

e) A = ⎜⎜

a) A = ⎜⎜

d) A = ⎜⎜

⎛ 13 − 12 ⎞ ⎟⎟ ⎝ −1 − 9 ⎠

⎛13 12 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 1 − 9⎠

2⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎟ AL - 278 Fie A = ⎜ 2 1 − 1⎟ ∈ M 3 (Z ) . ⎜3 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ Dacă f ( x ) = 3 x să se calculeze f ( A) .

⎛3 0 6 ⎞ ⎟ ⎜ a) f ( A) = ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎜3 −1 3 ⎟ ⎠ ⎝

2⎞ ⎛3 0 ⎟ ⎜ b) f ( A) = ⎜ 6 1 − 1⎟ c) ⎜9 −1 3 ⎟ ⎠ ⎝

2⎞ ⎛3 0 ⎜ ⎟ d) f ( A) = ⎜ 2 3 − 1⎟ ⎜3 −1 9 ⎟ ⎝ ⎠

6⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎟ e) f ( A) = ⎜ 2 3 − 1⎟ ⎜9 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠

6 ⎞ ⎛3 0 ⎟ ⎜ f ( A) = ⎜ 6 3 − 3 ⎟ ⎜9 − 3 9 ⎟ ⎠ ⎝

f) f ( A) = I 3

Culegere de probleme

82

AL - 279 Să se calculeze produsul de matrice A⋅B, unde

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎛3 2 1⎞ ⎟⎟ , B = ⎜ 3 ⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 0 1 2⎠ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛11 7 ⎞ ⎟⎟ b) ⎜⎜ ⎝ 3 6⎠

⎛7⎞ ⎟⎟ ⎝11⎠

a) ⎜⎜

⎛11⎞ d) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝7⎠

e) (11 7

⎛11 7 2 ⎞ ⎟⎟ ⎝ 3 1 2⎠

c) ⎜⎜

3)

⎛11⎞ ⎜ ⎟ f) ⎜ 7 ⎟ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

AL - 280 Să se rezolve ecuaţia matriceală:

⎛2 ⎝1 ⎛1 d) ⎜⎜ ⎝5 a) ⎜⎜

0⎞ ⎟ 1 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

⎛ 1 2⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 5⎠ ⎝ 3 ⎛ 0 2⎞ ⎟⎟ b) ⎜⎜ ⎝1 0⎠ ⎛1 4 ⎞ ⎟⎟ e) ⎜⎜ ⎝1 1 ⎠

4⎞ ⎟ 7 ⎟⎠ ⎛1 ⎝3 ⎛2 f) ⎜⎜ ⎝0

c) ⎜⎜

1⎞ ⎟ 4 ⎟⎠ 1⎞ ⎟ 1⎟⎠

AL - 281 Să se rezolve ecuaţia matriceală:

⎛ 1 1 − 1⎞ ⎛ 1 − 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X ⎜ 2 1 0 ⎟ = ⎜ 4 3 2⎟ ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎜ 1 − 2 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛−3 2 0 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ − 4 5 − 2 ⎟ ⎜−5 3 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 3 1 0⎞ ⎟ ⎜ d) ⎜ − 4 5 1 ⎟ ⎜ − 5 3 0⎟ ⎠ ⎝

⎛ − 3 2 0⎞ ⎜ ⎟ b) ⎜ 1 5 1 ⎟ ⎜ 1 3 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛−3 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ e) ⎜ − 4 5 0 ⎟ ⎜ − 5 3 − 2⎟ ⎠ ⎝

⎛ − 3 2 1⎞ ⎜ ⎟ c) ⎜ 1 5 1 ⎟ ⎜ 1 3 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛−3 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ f) ⎜ − 4 5 − 2 ⎟ ⎜−5 3 1 ⎟ ⎠ ⎝

Elemente de algebră

83

AL - 282 Să se rezolve ecuaţia matriceală

⎛1 2 3⎞ ⎟ ⎛6 9 8⎞ ⎜ ⎟⎟ X ⋅ ⎜ 2 3 4 ⎟ = ⎜⎜ ⎜ 3 4 1⎟ ⎝ 0 1 6⎠ ⎠ ⎝ ⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ a) X = ⎜⎜ ⎝ − 1 1⎠ ⎛− 3 1 2 ⎞ ⎟ 2 − 3 ⎟⎠

d) X = ⎜⎜ ⎝ 1

⎛0 1 1 ⎞ ⎟⎟ b) X = ⎜⎜ ⎝ 1 0 − 1⎠ ⎛1 1

1⎞

⎟⎟ e) X = ⎜⎜ ⎝1 1 − 1⎠

⎛2 1 1⎞ ⎟ ⎜ c) X = ⎜ 1 1 2 ⎟ ⎜2 1 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 1 2 3⎞ ⎟ 3 1 ⎟⎠

f) X = ⎜⎜ ⎝2

AL - 283 Aflaţi a ∈ R astfel ca matricea diagonală constantă

⎛a 0 0⎞ ⎟ ⎜ X = ⎜ 0 a 0 ⎟ să fie soluţia comună a ecuaţiilor matriceale ⎜0 0 a⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1 2 3)X ⎜ 2 ⎟ = 1 şi (3 2 1)X ⎜ 2 ⎟ = 1 ⎜ 1⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) a =

3 10

b) a =

2 10

c) a =

1 10

d) a =

10 3

e) a =

10 2

f) a = 10

Culegere de probleme

84

AL - 284 Să se determine toate matricile X, cu proprietatea că AX = XA ,

⎛1 2 ⎞ ⎟⎟ . ⎝ 3 1⎠

unde A = ⎜⎜ ⎛ α 1⎞ a) ⎜ ⎟ ; α,β∈R ⎝ β α⎠

⎛ 1 0⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠

⎛ α 2⎞ c) ⎜ ⎟ ; α∈R ⎝ 0 α⎠

⎛ 1 2α ⎞ d) ⎜ ⎟ ; α∈R ⎝ 3α 1⎠

⎛ α 2β⎞ e) ⎜ ⎟ ; α,β∈R ⎝ 3β α ⎠

⎛ α β⎞ f) ⎜ ⎟ ; α,β∈R ⎝ β α⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 2 − 2 4⎞ AL - 285 Să se determine matricea X care verifică relaţia: ⎜ ⎟ X = ⎜ ⎟. ⎝ 3⎠ ⎝3 − 3 6⎠ a) X = (1 − 1 2)

⎛1 − 1 b) X = ⎜ ⎝0 0

d) X = (1 − 2 3)

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ e) X = ⎜ − 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

2⎞ ⎟ 0⎠

⎛1 − 1⎞ c) X = ⎜ ⎟ ⎝ 2 2⎠ ⎛ 1 − 1⎞ f) X = ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 2⎠

AL - 286 Care este valoarea parametrului a∈R pentru care există x,y,z,t ∈R , nu toţi ⎛ 1 3⎞ ⎛ − 1 − 3⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛− 2 −1 ⎞ ⎛ 1 2⎞ nuli, astfel încât x ⎜ ⎟ + y ⎜ ⎟ ? ⎟ =⎜ ⎟ + z⎜ ⎟ + t ⎜ ⎝ 1 2⎠ ⎝ 1 a ⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 a − 1⎠ ⎝ 1 2⎠

a) a = 1

b) a = 0

c) a = −1

d) a = 2

e) a = −2

f) a = 4

AL - 287 Să se determine constantele reale p şi q pentru care matricea

⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 0⎟ satisface relaţia A3=pA2+qA . ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠ a) p = −2 , q = 3 d) p = −2 , q = −3

b) p = 3 , q = −2 e) p = 2 , q = 1

c) p = 1 , q = 4 f) p = 1 , q = 3

Elemente de algebră

85

⎛ 2 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 − 3⎞ AL - 288 Să se rezolve ecuaţia matriceală X ⎜ 1 − 1 0⎟ = ⎜ ⎟. ⎜ − 1 2 1 ⎟ ⎝ − 1 3 − 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 − 31 − 5⎞ a) X = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 12 − 14⎠

4⎞ ⎛ 6 ⎜ ⎟ 2⎟ d) X = ⎜ − 31 ⎜ 5 − 11⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ c) X = ⎜ − 1 3 2 ⎟ ⎜ 1 − 2 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 6 − 32 − 21⎞ b) X = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 23 − 14⎠

⎛ 5 − 31 4 ⎞ e) X = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 12 10⎠

⎛ 6 − 32 21⎞ f) X = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 23 14⎠

AL - 289 Să se determine matricea X care verifică ecuaţia

⎛ − 1− 2 2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 0 − 1⎟ X = ⎜ 3 0 − 3 ⎟ . ⎜12 − 6 − 9 ⎟ ⎜ 31 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 5 0 1⎞ a) X = ⎜ ⎟ ⎝ 3 2 1⎠

⎛ 3 − 2 4⎞ b) X = ⎜ ⎟ ⎝ 5 1 3⎠

⎛ 3 − 2 3⎞ c) X = ⎜ ⎟ ⎝5 1 4 ⎠

0 3⎞ ⎛5 d) X = ⎜ ⎟ ⎝ − 3 − 2 4⎠

⎛ 5 − 2 − 4⎞ e) X = ⎜ ⎟ ⎝ − 3 0 3⎠

⎛ 1 − 1 − 1⎞ f) X = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 − 1⎠

Culegere de probleme

86

AL – 290 Să se rezolve ecuaţia matricială

⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ −1 5 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X ⋅ ⎜ 0 1 2⎟ = ⎜ 2 1 −1 ⎟ ⎜ − 1 2 1⎟ ⎜ − 3 4 − 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛− 4 4 −8 ⎞ ⎟ 1⎜ a) X = − ⎜ − 9 16 − 1 ⎟ ; 4⎜ ⎟ ⎝ − 4 24 − 16 ⎠

⎛4 4 8 ⎞ ⎟ 1⎜ b) X = ⎜ 9 16 1 ⎟ 4⎜ ⎟ ⎝ 4 24 16 ⎠

⎛ 4 4 8⎞ ⎟ 1⎜ c) X = − ⎜ 9 − 16 1 ⎟ ; 4⎜ ⎟ ⎝ 4 − 24 16 ⎠

⎛ 1 3 4⎞ ⎟ 1⎜ d) X = ⎜ − 1 2 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎝ 7 8 0⎠

⎛ 4 − 4 − 8⎞ ⎟ 1⎜ e) X = − ⎜ 9 16 1 ⎟; 4⎜ ⎟ ⎝ 4 24 − 16 ⎠

⎛ 1 3 4⎞ ⎟ 1⎜ f) X = − ⎜ − 1 2 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎝ 7 8 0⎠

AL – 291 Să se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar

⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ B= {0,1} care să transforme prin înmulţire matricea coloană ⎜ 2 ⎟ în matricea coloană ⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 a) ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝

0 0⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎜0 1 şi ⎜ ⎟ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0⎠ ⎝1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ 0 ⎟⎠

⎛0 ⎜ ⎜0 b) ⎜ 1 ⎜ ⎜0 ⎝

1 0⎞ ⎟ 0 1⎟ 0 0⎟ ⎟ 1 1 ⎟⎠

Elemente de algebră

⎛1 ⎜ ⎜1 c) ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝

1 0⎞ ⎟ 0 0⎟ şi 1 0⎟ ⎟ 0 1 ⎟⎠

⎛0 ⎜ ⎜0 e) ⎜ 1 ⎜ ⎜1 ⎝

0 1⎞ ⎟ 1 1⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 1 ⎟⎠

87

⎛0 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎜ ⎜1 ⎝

0 1⎞ ⎟ 0 0⎟ 1 0⎟ ⎟ 0 1 ⎟⎠

⎛1 ⎜ ⎜0 d) ⎜ 1 ⎜ ⎜1 ⎝

⎛1 ⎜ ⎜0 şi ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝

0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 1⎟ ⎟ 0 0 ⎟⎠

⎛1 ⎜ ⎜0 f) ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝ ⎛ 1

AL - 292 Să se rezolve ecuaţia: X 2 = ⎜⎜ ⎝−4

1 0⎞ ⎟ 1 1⎟ 0 1⎟ ⎟ 0 0 ⎟⎠ 0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 1⎟ ⎟ 1 1 ⎟⎠

12 ⎞ ⎟ , X∈M2(Z). 1 ⎟⎠

⎛ 2 3⎞ a) X = ⎜ ⎟ ⎝ − 1 2⎠

⎛ − 2 − 3⎞ b) X = ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2⎠

⎛ 2 3⎞ ⎛ − 2 − 3⎞ c) X = ⎜ ⎟ şi X = ⎜ ⎟ ⎝ − 1 2⎠ ⎝ 1 − 2⎠

6i ⎞ ⎛ ⎜i 3 − ⎟ 3⎟ ⎜ d) X = ⎜ 2i ⎟ i 3⎟ ⎜ ⎝ 3 ⎠

⎛ 2 3⎞ e) X = ⎜ ⎟ ⎝1 2 ⎠

⎛ − 2 − 3⎞ f) X = ⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 2⎠

⎛1 AL - 293 Să se determine toate matricile X ∈M2( Z ) astfel ca: X 2 = ⎜ ⎝2 ⎛ − 1 0⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1⎠

⎛ − 1 0⎞ d) ⎜ ⎟ şi ⎝ − 1 − 1⎠

⎛1 ⎜ ⎝1

0⎞ ⎟ 1⎠

⎛ 1 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ b) ⎜ ⎟ şi ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1 ⎠ ⎝ 1 1⎠

⎛1 0⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1⎠

⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ e) ⎜ ⎟ şi ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1⎠ ⎝ 1 1⎠

⎛ − 1 0⎞ f) ⎜ ⎟ şi ⎝ − 1 − 1⎠

0⎞ ⎟. 1⎠

⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 1⎠

⎛ 0 1⎞ ⎛ m 3⎞ ⎛1 2 ⎞ AL - 294 Se dau matricele A = ⎜ ⎟, C = ⎜ ⎟ cu m∈R.. Să se ⎟, B = ⎜ ⎝ 2 0⎠ ⎝ − 1 0⎠ ⎝ 2 0⎠ determine valorile lui m ∈R astfel încât să existe trei constante nu toate nule, a,b,c∈R cu condiţia aA+bB+cC = 0, 0 - matricea nulă.

Culegere de probleme

88

a) m = 1

b) m = 0

c) orice m ∈ R

d) m ∈∅

e) m =

5 5 f) m = − 4 4

⎛ 1 k k2 k3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . k =1 ⎝ − 1 2 3 k ( k + 1)⎠ n

AL - 295 Să se calculeze suma:

∑

⎛ ⎜ n a) ⎜ ⎜ ⎜− n ⎝

n(n + 1) 2

n(n + 1)(2n + 1) 6

2n

3n

⎛ n c) ⎜ ⎜ ⎝ −n

n(n + 1) 2 2n

n(n + 1)(2n + 1) 6 3n

⎡ n(n + 1) ⎤ ⎞⎟ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎟ n(n + 1)(n + 2 ) ⎟ ⎟ 3 ⎠ 2

n(n + 1) ⎞ ⎟ 3 ⎟ 3n! ⎠

(2n )! (3n )! (4n )!⎞ ⎟ 2! 3! (6n )!⎟⎠

⎛ n! ⎝ − n!

e) ⎜⎜

AL – 296 Dacă ω =

⎛ n n! 2n! 3n!⎞ ⎟⎟ ⎝ − n 2n 3n 3n!⎠

b) ⎜⎜

⎛ 1 n n2 ⎝ −1 2 3

d) ⎜⎜

⎛ 1

n3 ⎞ ⎟ n(n + 1)⎟⎠

n3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ − n 2n 3n 3n!⎠

f) ⎜⎜

n!

n2

⎛1 ω ⎞ 1 − 1 + i 3 iar A = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , să se determine numărul 2 ⎝ ω 1⎠

(

)

an∈ R astfel încât să avem

A 2 + A3 + ... + A n = a n ⋅ A,

(∀)n ∈ N .

a) 2 n + 2

b) 2 n−1 − 2

c) 2 n − 2

d) 2 n −1 + 2

e) 2 n−1 − 1

f) 2 n−1 + 1 .

AL - 297 Dacă ω este o rădăcină a ecuaţiei x2+x+1 = 0 şi n = 3p, p∈N*, să se calculeze suma: n ⎛ k ω ω 2 k ω 3k ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . 3k ω 2k ω k ⎠ k =1 ⎝ ω

∑

Elemente de algebră

89

⎛ ω ω 2 n⎞ ⎟⎟ a) ⎜⎜ ⎝ n ω 2 ω⎠

⎛ − 1 − 1 n⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ n − 1 − 1⎠

⎛ 0 0 n⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝ n 0 0⎠

⎛ω ω2 ω3 ⎞ ⎟⎟ d) ⎜⎜ 2 ⎝ω ω ω2 ⎠

⎛ω ω2 ω3 ⎞ ⎟⎟ e) ⎜⎜ 3 2 ⎝ω ω ω ⎠

⎛ n 0 0⎞ f) ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 n⎠

⎛1 1 ⎜ AL – 298 Fie A = ⎜1 ε ⎜1 ε 2 ⎝

1⎞ ⎟ ε 2 ⎟; ε ⎟⎠

⎛ ε 2 ε 1⎞ ⎟ ⎜ B = ⎜ ε ε 2 1⎟ , unde ε este o rădăcină ⎜ 1 1 1⎟ ⎠ ⎝

cubică complexă a unităţii şi fie ecuaţia matriceală AX = B. Fie S suma modulelor elementelor matricei X. Atunci : a) S = 4;

b) S = 16;

c) S = 3;

d) S = 1+ 3 ;

e) S = 1− 3 ;

f) S = 2 + 3

AL – 299 Fie M mulţimea tuturor matricelor cu 4 linii şi 5 coloane în care toate elementele sunt numerele +1 şi - 1 şi astfel încât produsul numerelor din fiecare linie şi din fiecare coloană este -1 . Să se calculeze numărul elementelor mulţimii M.

a) 2

b) 7

c) 6

d) 4

e) 0

f) 1

⎛ a b⎞ AL - 300 Se consideră matricea M = ⎜ ⎟ , a,b,c,d∈R. Să se determine ⎝c d⎠ condiţiile în care există p,q∈R , unici astfel ca M 2-pM-qI = 0, I fiind matricea unitate, 0 matricea nulă. Să se determine în acest caz valorile lui p şi q.

Culegere de probleme

90

a) b = c, a = d, p = a, q = b2-a2

b) b,c∈R, a = d, p = 2a, q = bc-a2

c) b = c, a,d∈R, p = a+d, q = b2-a2

d) b ≠ 0 sau c ≠ 0 sau a ≠ d, p=a+d, q = bc-ad

e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad

f) b ≠ 0, a ≠ d, c∈R, p = a+d, q = -ad

AL - 301 Fie A,B,C ∈ Mn ( C ) cu proprietăţile A+B = AB, B+C = BC, C+A = CA. Pentru ce valoare m∈R are loc egalitatea A+B+C = mABC ?

a) m = 1

b) m =

1 2

c) m =

1 4

d) m = 3

e) m =

3 4

f) m =

1 3

⎛ a b⎞ AL - 302 Fie A = ⎜ ⎟ o matrice nenulă cu ad = bc , a,b,c,d∈R. Să se determine ⎝c d⎠ (în funcţie de elementele matricii A) numărul real r asfel încât să aibă loc egalitatea An = rn-1A pentru orice n∈N, n ≥ 2. a) r = a-d

b) r = a+d

c) r = b+c

d) r = b-c

e) r = a+c

f) r = b+d

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ AL - 303 Să se determine puterea n ∈ N a matricei A = ⎜ 2 1 0 ⎟ . ⎜ 3 2 1⎟ ⎝ ⎠

Elemente de algebră

91

⎛1 ⎜ a) A = ⎜ an ⎜b ⎝ n

0 1 an

0⎞ ⎟ an = 2 n 0 ⎟, b = 2n 2 + n 1 ⎟⎠ n

⎛1 ⎜ b) A = ⎜ an ⎜b ⎝ n

0 1 an

0⎞ ⎟ an = n 0 ⎟, b = n2 1 ⎟⎠ n

⎛1 ⎜ c) A = ⎜ an ⎜b ⎝ n

0 1 an

0⎞ ⎟ an = 2 n 0 ⎟, b = 2n 2 1 ⎟⎠ n

⎛1 ⎜ d) A = ⎜ an ⎜b ⎝ n

0 1 an

0⎞ ⎟ an = 2 n 0 ⎟, b = n2 + n 1 ⎟⎠ n

⎛1 ⎜ e) A = ⎜ an ⎜b ⎝ n

0 1 an

0⎞ ⎟ an = n 2 0 ⎟, b = 2n 2 + n 1 ⎟⎠ n

⎛1 ⎜ f) A = ⎜ an ⎜b ⎝ n

0 1 an

0⎞ ⎟ an = n 0 ⎟, b = n2 − n 1 ⎟⎠ n

n

n

n

n

n

n

⎛1 2 ⎞ 100 AL - 304 Fie matricea A = ⎜ ⎟ . Calculaţi det P(A), unde P(x) = x - 1. ⎝ 0 3⎠

a) 0

b) 1

c) -1

d) 99

e) 100

f) -100

⎛1 a n ⎞ ⎛ 1 2⎞ AL - 305 Fie A = ⎜ ⎟ . Să se arate că An este de forma: An = ⎜ ⎟ şi să se ⎝ 0 1⎠ ⎝0 1 ⎠ determine apoi an , n ∈ N. a) a n +1 = a n + 2, a n = 2n

b) a n +1 = a n , a n = 1

c) a n +1 = a n + 1, a n = n

d) a n +1 = 2a n , a n = 2 n

e) a n +1 = a n + 2, a n = 2 n

f) a n +1 = 2a n , a n = 2n 2

AL - 306 Să se determine An, n∈N*, unde A∈M3(Z) este o matrice care verifică relaţia: (1 1+x 1+x2) = (1 x x2)A pentru orice x∈R .

92

Culegere de probleme

⎛ 1 n n⎞ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜1 1 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ n 1 0 ⎟ ⎜n 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 − n − n⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠

⎛1 ⎜ e) A = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

n

n

n

n

n − n⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 1⎟⎠

⎛ 1 n n⎞ ⎜ ⎟ c) A = ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ n

⎛n 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ f) A = ⎜ 0 n 0 ⎟ ⎜ 0 0 n⎟ ⎝ ⎠ n

⎛ cos α − sin α⎞ n AL - 307 Fie matricea A = ⎜ ⎟ . Să se calculeze A , (n ≥ 1). cos α⎠ ⎝ sin α ⎛ cos n α − sin n α⎞ ⎟⎟ a) A n = ⎜⎜ n ⎝ sin α cos n α ⎠

⎛ n cos α − n sin α⎞ b) A n = ⎜ ⎟ ⎝ n sin α n cos α⎠

⎛ cos nα − sin nα ⎞ c) A n = ⎜ ⎟ cos nα⎠ ⎝ sin nα

⎛ cos nα d) A n = ⎜ ⎝ − sin nα

⎛ cos nα n sin nα⎞ e) A n = ⎜ ⎟ ⎝ − n sin nα cos nα ⎠

1 ⎞ ⎛1 ⎜ cos α − sin α⎟ n ⎟ f) A n = ⎜ n 1 ⎟ ⎜1 cos α⎟ ⎜ sin α ⎠ ⎝n n

sin nα ⎞ ⎟ cos nα⎠

30

⎛1 3 ⎞ ⎜ ⎟ AL - 308 Să se calculeze ⎜ 2 2 ⎟ . ⎜ 3 1⎟ ⎜− ⎟ ⎝ 2 2⎠ ⎛ − 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ a) ⎜ b) ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝0 1⎠

⎛ 0 − 1⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝ − 1 0⎠

⎛ 0 − 1⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝1 0 ⎠

0⎞ ⎛1 f) ⎜ ⎟ ⎝ 0 − 1⎠

⎛ 0 1⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝ − 1 0⎠

Elemente de algebră

93

⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ AL - 309 Fiind dată matricea A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , să se calculeze matricea An, n∈N*. ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ n(n − 1) ⎞ n (n − 1) ⎞ ⎛ ⎜1 n ⎟ ⎜1 n ⎟ ⎛ 1 n 3n ⎞ 2 ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n ⎜ n n ⎟ c) A = ⎜ 0 1 n ⎟ a) A = ⎜ 0 1 b) A = ⎜ 0 1 n ⎟ ⎜0 0 ⎜0 0 1 ⎟ ⎟ ⎜0 0 1 ⎟⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n(n + 1) ⎞ ⎛ ⎜1 n ⎟ ⎛ 1 3n n 2 ⎞ ⎛ 1 n 2 n 3 − 1⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 n n n n ⎟ d) A = ⎜ 0 1 3n ⎟ e) A = ⎜ 0 1 n ⎟ f) A = ⎜ 0 1 ⎜0 0 1 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎟ 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎛ ⎜1 ⎜ AL - 310 Fie matricea A = ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛ 1 a n bn ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 a n ⎟ şi să se determine ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠

1 1⎞ ⎟ 2 3⎟ 1 ⎟ . Să se arate că An, n ≥ 1 are forma 1 2⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠ an şi bn.

a) a n =

n(n + 1) n , bn = 2 6

b) a n =

n(2n + 5) n , bn = 12 2

c) a n =

n(2n + 1) n +1 , bn = 2 6

d) a n =

n(3n + 5) n , bn = 2 24

f) a n =

n(5n + 4) 2n + 1 , bn = 4 4

e) a n = 2n + 3 , bn = 3n + 7

Culegere de probleme

94

⎛1 2 3⎞ ⎜ ⎟ AL - 311 Fie matricea A = ⎜ 0 1 2 ⎟ . Să se calculeze An, n∈N, n ≥ 2. ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2n n(2n + 1)⎞ ⎜ ⎟ b) ⎜ 0 1 2n ⎟ ⎜0 0 ⎟ 1 ⎝ ⎠

⎛ 1 2n n 2 + 4 n − 2 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ 0 1 2n ⎟ ⎜0 0 ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎛ n(n + 1) ⎞ 3n ⎟ ⎜n 3 ⎜ ⎟ n(n + 1) ⎟ d) ⎜ 0 n ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ n ⎟ 0 ⎜0 ⎝ ⎠

⎛ n 2n 3n ⎞ ⎜ ⎟ e) ⎜ 0 n 2n ⎟ ⎜0 0 n ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ c) ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠

⎛1 2 3⎞ ⎜ ⎟ f) ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ AL - 312 Să se calculeze A , n∈N* unde A = ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ n

⎛ 2n ⎜ a) An = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

2n −1 1

⎛ 1 2n ⎜ d) An = ⎜ 0 1 ⎜0 0 ⎝

0

0⎞ ⎟ 0⎟ 2 n ⎟⎠

0⎞ ⎟ 0⎟ 2n ⎟⎠

⎛ 2n ⎜ b) An = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

2n + 1 1

⎛ 2n ⎜ e) An = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

1 2n ⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 2 n ⎟⎠

0

⎛ 2n ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

2n −1 1

⎛ 2n ⎜ f) An = ⎜ 0 ⎜0 ⎝

n2 −1

0⎞ ⎟ 0 ⎟ c) An = 2 n ⎟⎠

0

1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 2 n ⎟⎠

0⎞ ⎟ 0⎟ 2 n ⎟⎠

Elemente de algebră

95

AL - 313 Care sunt valorile parametrului a∈R pentru care matricea 1 ⎞ ⎛ 1 − a⎟ a ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜1 A= ⎜ −a a ⎟ este inversabilă. 2 2 ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜⎜ a −a ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

a) orice a∈R\ {1,2}

b) orice a∈[-7,2]

c) orice a∈R

d) orice a∈ ( − ∞,1] ∪ {9}

e) orice a∈ {1,2,3,4}

f) orice a∈R\ {3,4}

⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ AL - 314 Să se calculeze inversa matricei A = ⎜ 2 3 4 ⎟ ⎜ 4 9 16 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 a) A = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎜0 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 6 −7 ⎜ −1 b) A = ⎜ − 8 6 ⎜ 5 ⎜ 3 − 2 ⎝

7 ⎛ ⎜ 6 − 2 ⎜ c) A−1 = ⎜ − 8 6 ⎜ 3 −5 ⎜ 2 ⎝

1 1⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ d) A = ⎜ − 1 − 2 0 ⎟ ⎜0 1 − 1⎟⎠ ⎝

⎛5 ⎜ ⎜2 −1 e) A = ⎜ − 1 ⎜ ⎜ ⎜1 ⎝

⎞ 1 3⎟ ⎟ 2 ⎟ 5 3 ⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠

1⎞ ⎟ 2⎟ − 1⎟ 1⎟ 2 ⎟⎠

−1

⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ f) A = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ −1

1 ⎞⎟ − 1⎟ 1⎟ ⎟ 2⎠

Culegere de probleme

96

⎛1

AL - 315 Să se determine parametrul α ∈ R astfel încât matricea A = ⎜⎜

⎝α

− 1⎞ ⎟ 2 ⎟⎠

să fie inversabilă şi apoi să se afle inversa sa.

⎛ 2 ⎜ a) α ≠ −2; ⎜ α + 2 ⎜⎜ − α ⎝α + 2

1 ⎞ ⎟ α + 2⎟ 1 ⎟ ⎟ α + 2⎠

⎛ 2 ⎜ b) α = −2; ⎜ α + 2 ⎜⎜ − α ⎝α + 2

1 ⎞ ⎟ α + 2⎟ 1 ⎟ ⎟ α + 2⎠

⎛ 1 ⎜ c) α ≠ −1; ⎜ α + 2 ⎜⎜ − α ⎝α + 2

2 ⎞ ⎟ α + 2⎟ α ⎟ ⎟ α + 2⎠

⎛ 2 ⎜ d) α = −1; ⎜ α − 1 ⎜⎜ − α ⎝α + 2

1 ⎞ ⎟ α −1 ⎟ 1 ⎟ ⎟ α + 2⎠

−2 ⎞ ⎟

2 ⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ α α + 1 + 2⎟ f) α ≠ −1; ⎜ −1 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟ ⎝α +1 α +1 ⎠

⎛ 1 ⎜ e) α = 1; ⎜ α + 1 ⎜⎜ − α ⎝α + 2

α +1 ⎟

1 ⎟ ⎟ α + 2⎠

⎛2 − 3 4 ⎜ AL - 316 Matricea ⎜ 1 2 α ⎜5 − 4 7 ⎝ a) α = 2, β = −5 d) α = 1, β = −10

− 5⎞ ⎟ 0 ⎟ are rangul doi pentru: β ⎟⎠

b) α = −1, β = −10 e) α = 3, β = −1

c) α = −3, β = 2 f) α = −1, β = 10

AL - 317 Să se determine valorile parametrilor reali α şi β pentru care matricea: ⎛β 1 2 4 ⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 α 2 3⎟ are rangul 2. ⎜ 1 2α 2 4 ⎟ ⎠ ⎝

a) α = 1, β = 1 1 d) α = − , β = 1 2

1 ,β = 1 2 1 e) α = −1, β = 2

b) α =

c) α = 1, β =

1 2

1 1 f) α = − , β = − 2 2

Elemente de algebră

97

⎛ 1 1 − 1 2⎞ ⎟ ⎜ a 1 1 1⎟ ⎜ . Să se determine parametrul AL - 318 Se dă matricea ⎜1 − 1 3 − 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝4 2 0 a ⎠ real a pentru care rangul matricei este egal cu 2. a) a = 4

b) a = -2

c) a = 3

d) a = 8

e) a = -1

f) a = 0

AL - 319 Pentru ce valori ale parametrilor a, b ∈ R , matricele

⎛1 − 2 − 2⎞ ⎛1 − 2 − 2 4⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ A = ⎜3 1 a ⎟ şi B = ⎜ 3 1 a 4 ⎟ au ambele rangul 2. ⎜3 −1 1 ⎟ ⎜3 −1 1 b⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ a) a =

19 44 ,b = 5 7

d) a = −1, b = −2

b) a =

1 , b = −1 3

e) a = 2, b = −1

c) a =

44 19 ,b = 5 7

f) a = −1, b =

1 3

⎛α α α ⎞ ⎟ ⎜ AL - 320 Fie matricea A = ⎜α α i ⎟ , α ∈ R ; dacă rangul matricii este 2, atunci ⎜α i i ⎟ ⎠ ⎝ suma elementelor sale este soluţie a ecuaţiei: a) x 2 + 1 = 0

b) x 2 − 9 = 0

c) x 3 + 1 = 0

d) x 3 − 27i = 0

e) x 4 + 1 = 0

f) x 4 − 81 = 0

Culegere de probleme

98

AL - 321 Să se determine valorile parametrilor a, b ∈ R pentru care matricea

1 b⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎟ 2 − 1⎟ A = ⎜a 1 ⎜a − 2 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ are rangul minim. a) a = 1, b = 1 d) a = 2, b = −

1 3

⎛1 ⎜ 1 AL - 322 Se dă matricea: ⎜ ⎜1 ⎜ ⎝2

1 3

b) a = 1, b = −1

c) a = 1, b = −

e) a = 2, b = 2

f) a = −1, b = −

1 3

2 1 β ⎞ ⎟ 2 α − 1⎟ . Să se determine toate valorile parametrilor 2 1 − 1⎟ ⎟ 4 2 − 2⎠

reali α , β pentru care rangul matricei este doi. a) α ≠ 1, β ≠ −1

b) α = 1, β ≠ −1

c) α = 1, β ≠ −1 ; α ≠ 1, β = −1

d) α ≠ 1, β = −1

e) α = 1, β = −1

f) α = 1, β ∈R

AL - 323 Pe care din următoarele mulţimi de variaţie ale parametrilor reali ⎛β 1 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ α şi β matricea ⎜ 1 α 2 3⎟ are rangul 3? ⎜ 1 2α 2 4 ⎟ ⎝ ⎠

a) α ∈ [ − 11 , ], β ∈ [ − 1,4]

2⎤ ⎛ b) α ∈ ⎜ − 7, ⎥, β ∈ (0,2) ⎝ 3⎦

3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ c) α ∈ ⎜ 0, ⎟ , β ∈ ⎜ − 1, ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

3⎞ ⎛ d) α ∈ ⎜ − 3, ⎟ , β ∈ (0,1) ⎝ 5⎠

⎡ 1 ⎞ ⎡1 ⎞ e) α ∈ ⎢− ,1⎟ , β ∈ ⎢ ,2⎟ ⎠ ⎣ 2 ⎣2 ⎠

⎛ 1 ⎤ f) α ∈ ⎜ − ,2 ⎥, β ∈ (0,7] ⎝ 2 ⎦

Elemente de algebră

99

AL – 324 Se consideră matricea

⎛ 2 α − 2 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 − 1 2α 5 ⎟ . ⎜ 2 10 − 12 1 ⎟ ⎝ ⎠ Să se precizeze valoarea parametrului α, pentru care rangul matricei este doi. a) α = 3;

b) α = 1;

c) α = -5;

d) α = 5;

e) α = -3;

f) α = 4.

⎛1 x x2 x3 ⎞ ⎟ ⎜ a a a ⎟ ⎜a AL – 325 Fie matricea A = ⎜ ⎟ ⎜ a a + 1 a + 2 a + 3⎟ ⎜1 4 9 16 ⎟⎠ ⎝ Pentru ce valori reale ale lui a şi x matricea A are rangul 2? a) a = 0; x = 1 b) x = 1; a ∈ R c) a = 0; x ∈ R e) pentru nici o valoare reală a lui a şi x.

d) a = 0; x ∈(-1,2) f) a = 0; x = 0

⎧2 X − 5Y = A ⎛ 1 − 2⎞ ⎛2 AL - 326 Să se rezolve sistemul ⎨ unde A= ⎜ ⎟ , B= ⎜ ⎝0 1 ⎠ ⎝3 ⎩− X + 3Y = B

1⎞ ⎟. 0⎠

⎛ 13 − 1⎞ ⎛ 0 0⎞ a) X = ⎜ ⎟, Y = ⎜ ⎟ ⎝ 15 3 ⎠ ⎝ 6 1⎠

⎛ 5 0⎞ ⎛ 13 − 1⎞ b) X = ⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟ ⎝ 6 1⎠ ⎝ 15 3 ⎠

⎛ 13 − 1⎞ ⎛ 5 0⎞ c) X = ⎜ ⎟, Y = ⎜ ⎟ ⎝ 15 3 ⎠ ⎝ 6 1⎠

1⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛0 d) X = ⎜ ⎟, Y = ⎜ ⎟ ⎝2 3 ⎠ ⎝ − 1 − 1⎠

⎛ 13 0⎞ ⎛ 5 − 1⎞ e) X = ⎜ ⎟, Y = ⎜ ⎟ ⎝ 15 1⎠ ⎝ 2 1⎠

⎛1 3 ⎞ ⎛ 5 1⎞ f) X = ⎜ ⎟, Y = ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ − 2 − 1⎠

Culegere de probleme

100

AL - 327 Să se precizeze care dintre perechile de matrice (X,Y), date mai jos, ⎧⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⋅ X + ⎜ ⎟ ⋅ Y = ⎜ ⎝ 1 1⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎪⎝ 1 1⎠ . reprezintă o soluţie a sistemului: ⎨ ⎛ 1 2⎞ ⎪ X+ Y =⎜ ⎟ ⎪ ⎝1 1 ⎠ ⎩

⎛ 1 0⎞ ⎛ 1 0⎞ a) X = ⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠

⎛ 0 1⎞ ⎛ 1 0⎞ b) X = ⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟ ⎝ 1 1⎠ ⎝ 0 1⎠

⎛1 1 ⎞ ⎛ 0 1⎞ c) Y = ⎜ ⎟ , X = ⎜ ⎟ ⎝ 1 1⎠ ⎝ 0 0⎠

⎛1 d) X = ⎜ ⎝0

⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 0 − 1⎞ e) X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1⎠ ⎝ 0 0⎠

⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 1 0⎞ f) X = ⎜ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ ⎝ − 1 1⎠ ⎝ 0 1⎠

0⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎟ ,Y = ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝ 0 0⎠

AL - 328 Să se calculeze determinantul:

1 2 0 2 2 3 4 1 2 a) 8

b) 6

c) 16

d) 17

e) 18

f) 0

AL - 329 Să se calculeze determinantul:

1 ∆ = −a −1

− a −1 a2 a

a 1

a) 0

b) 2a2

c) 4a2

d) 6a2

e) 1

f) -1

Elemente de algebră

( )

AL - 330 Să se calculeze det A

a) 1

b)

1 2

−1

101

⎛ 1 4 0⎞ ⎟ ⎜ dacă A = ⎜ 0 3 1 ⎟ ⎜ 2 0 1⎟ ⎠ ⎝

c) −

1 11

d)

1 7

e)

1 11

f)

1 5

⎛ 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ AL - 331 Fie matricele A = 1 2 1 şi B = ⎜ 1 2 3 ⎟ . Să se calculeze ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 1 1⎠ ⎝1 4 9 ⎠ determinantul matricii A⋅B. a) -2;

b) -1;

c) 0;

d) 1;

x2

AL - 332 Calculaţi determinantul ∆ = 1

x

e) 2;

f) 3

1

− y y2 .

y 2 − xy x 2

(

)

(

)

b) ∆ = x 2 − y (1 − xy ) x − y 2

(

)

(

)

d) ∆ = x 2 + y (1 + xy ) x + y 2

a) ∆ = x 2 + y (1 − xy ) x + y 2

c) ∆ = x 2 − y (1 − xy ) x + y 2

(

)

(

e) ∆ = − x 2 + y (1 + xy ) x − y 2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

f) ∆ = − x 2 − y (1 + xy ) x + y 2

)

Culegere de probleme

102

2 2 2 +2 +5 +3 2 2 1+ x 1+ x 1 + x2 . AL - 333 Se consideră f(x) = − 2 x 1 − 5x − 3x 4

7+x

5

Aduceţi f (x) la forma cea mai simplă. a) f ( x ) =

1 1+ x2

d) f ( x ) = x 2

b) f ( x ) =

4x 1+ x2

c) f ( x ) =

2 x +1 2

f) f ( x ) = 2 + x 2

e) f ( x ) = 0

1 + cos α 1 + sin α 1 AL - 334 Care este valoarea determinantului ∆ = 1 − sin α 1 + cos α 1 ? 1 1 1

a) 3

b) 2

c) -2

d) 1

e) -1

f) 0

sin 2 x cos 2 x sin 2 x AL - 335 Se consideră f(x) =

cos 2 x sin 2 x sin 2 x . 1 + sin 2 x − 1 1

Aduceţi f (x) la forma cea mai simplă. a) f ( x ) = 1 + cos x 2

d) f ( x ) = cos x

b) f ( x ) = sin 2 x + 2 cos x 3

e) f ( x ) = − cos 2 x

c) f ( x ) = −2 sin 2 x

f) f ( x ) = cos 3 2 x

AL - 336 Dacă a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi ha, hb, hc sunt 1 a hb ⋅ hc

înălţimile corespunzătoare, care este valoarea determinantului: ∆ = 1 b hc ⋅ ha ? 1 c hb ⋅ ha a) ∆ = abc

b) ∆ = 0

d) ∆ = 1;

e) ∆ = 2abc

c) ∆ = a2+b2+c2 1 f) ∆ = (ab+ac+bc) 2

Elemente de algebră

103

1 1 AL - 337 Să se calculeze determinantul: ∆ = 1 ω

1 ω 2 , unde ω este o

1 ω2 ω rădăcină cubică complexă a unităţii ( ω 3 = 1 ). a) ∆ = − 3

b) ∆ = − 3 − 6ω

c) ∆ = − 3 + 6ω

d) ∆ = 1

e) ∆ = 3

f) ∆ = 6ω

⎛ 2 1⎞ AL - 338 Dacă A = ⎜ ⎟ , calculaţi determinantul matricii ⎝ 0 − 1⎠ a) 15

b) 20

c) 40

4

∑A

k

.

k =0

d) 30

e) 31

f) 41

AL – 339 Să se calculeze

a+b

b+c

∆ = a +b a3 + b3 2

c+a

b +c b3 + c3

2

2

2

c2 + a2 c3 + a3

a) ∆ = 2abc (a − b )(b − c )(c − a )

b) ∆ = 2abc (a − c )(c − b )(b − a )

c) ∆ = 2abc(a + b )(b + c )(c + a )

(

e) ∆ = 2 a − b 2

2

)(b

2

−c

2

)(c

2

−a

2

d) ∆ = 0

)

(

)(

f) ∆ = (a + b ) a 2 + b 2 a 3 + b 3

AL – 340 Fie x,y,z ∈R; să se calculeze valoarea determinantului

∆=

1

x

x2

x3

1

y

y2

y3

1

z

z2

z3

xy + xz + yz

xyz

1 x+ y+z a) ∆ = 1 d) ∆ = x + y + z

b) ∆ = −1 e) ∆ = x 2 + y 2 + z 2

c) ∆ = 0 f) ∆ = xyz

)

Culegere de probleme

104

AL – 341 Fie a,b,c,d ∈ R . Să se calculeze determinantul:

1 + a2 ab ac ad 2 ba 1 + b bc bd D= 2 ca cb 1 + c cd da db dc 1 + d 2 a) 1 − a 2 − b 2 − c 2 − d 2

b) (a − b )(b − c )(c − d )

c) 1 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2

d) a 2 + b 2 + c 2 + d 2

e) 1

f) 0

AL – 342 Să se calculeze valoarea determinantului asociat matricei

⎛a ⎜ ⎜b A=⎜ c ⎜ ⎜d ⎝ a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2

(

d) ± a 2 + b 2 + c 2 + d 2

b −a −d c

)

2

c d ⎞ ⎟ d −c⎟ −a b ⎟ ⎟ − b − a ⎟⎠

(

b) − a 2 + b 2 + c 2 + d 2 e) (a + b + c + d )

2

)

2

(

c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 f) ± (a + b + c + d )

2

AL – 343 Să se determine toate valorile x ∈ R astfel ca valoarea determinantului

1 1 1 1 1 4 + 2i 4 − 2i 1 − 3i D= 1 x + 2i x − 2i 1 + 3i 1 x + i 8 + 3i 1 − i să fie un număr real. a) x ∈ {0,6}

b) x ∈ {0,2}

c) x ∈ {2,6}

d) x ∈ {1,2}

e) x ∈ {− 1,1}

f) x ∈ {3,4} .

)

2

Elemente de algebră

105

AL – 344 Să se calculeze determinantul:

1 0 0 −1 0 1 0 −1 0 0 1 −1 −1 −1 −1 −1 a)4

b)3

c) 5

d)-4

e)-5

f) 0

( )

AL – 345 Fie A = ai j o matrice pătrată de ordinul 4, definită astfel :

ai j = max{i, j}, i, j = 1,4 . Să se determine det A. a) 0

b) 4 !

c) -4 !

d) –4

e) 4

f) 1

AL – 346 Să se calculeze

det ( A2008 )

det ( A2007 )

1 ⎛ 1 ⎜ 1 2 ⎜ 2 An = ⎜ 1 22 ⎜ ... ... ⎜ ⎜ 1n −1 2n −1 ⎝ a) 2009!;

b) 2008!;

, unde

... ... ... ...

1 ⎞ n ⎟

⎟

n2 ⎟ , ... ⎟

n ∈ N, n ≥ 2

⎟

... n n−1 ⎟⎠

c) 2007!;

d) 2006!;

e) 2008;

f) 2007.

Culegere de probleme

106

AL – 347 Dacă b1 , b2 , b3 sunt numere reale în progresie geometrică cu raţia q ∈ R + ,

să se calculeze pentru α ∈ R , în funcţie de primul termen b1 şi raţia q, valoarea determinantului

1 + b12α 1 1 2α 1 1 + b2 1 1 1 1 + b32α 1 1 1

1 1 1 1

a) b16α q 2α

b) b16α +1q12α

c) b16α q15α

d) b16α q 6α

e) b16α q 3α

f) b16α q 4α

AL - 348 Să se rezolve ecuaţia

a2 − x

ab

ba

b −x

bc

cb

c −x

ca

ac

2

=0.

2

a) x1 = x2 = x3 = 0

b) x1 = x2 = x3 = a

c) x1 = a, x2 = b, x3 = c

d) x1 = x2 = 0, x3 = a 2 + b 2 + c 2

e) x1 = x2 = 0, x3 = a 2 + b 2 − c 2

f) x1 = x2 = 1, x3 = 0 4−x 1

AL - 349 Care sunt soluţiile ecuaţiei

4

1 2−x 2 =0 ? 2 4 1− x

a) x1 = 3, x 2 = 7, x 3 = −1

b) x1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3

c) x1 = 7, x 2 = 5 , x 3 = − 5

d) x1 = x 2 = 7, x 3 = 1

e) x1 = 7, x 2 = 3 , x 3 = − 3

f) x1 = −2, x 2 = 7, x 3 = 1

Elemente de algebră

107

x3 x2 x 1

AL - 350 Care sunt soluţiile ecuaţiei

a) x1 = 1, x 2 ,3 =

1 −1 4

2 −1 1 1 1

5 3 0 0

3 ± 29 2

=0 ?

b) x1 = 1, x 2 ,3 =

− 3 ± 29 2

1± 5 , x 3 = −1 2 f) x1 = −1, x 2 ,3 = ± 2

c) x1 = 0, x 2 = −1, x 3 = 2

x1,2 =

d)

e) x1 = x 2 = 1, x 3 = 2

x a a a AL - 351 Precizaţi soluţiile ecuaţiei

a x a a a a x a

=0.

a a a x a) a,− a ,2a,3a

b) a,− a ,2a,−2a

c) a,− a ,−a ,−3a

d) a, a,− a,−3a

e) a, a , a ,−3a

f) a , a ,− a,3a e2 x e −a e − x

AL - 352 Care sunt soluţiile reale ale ecuaţiei e − a e 2 x e − x = 0 ? e − x e − x e 2a

a) x = 0

b) x = a

c) x = 2a

d) x = −

a 2

e) x = − a

f) x = −2a

AL - 353 Fie A o matrice pătratică de ordinul n (n ≥ 2) nesingulară. Precizaţi care este relaţia între det(A*) şi detA , unde A* este reciproca lui A. a) detA = detA* d) (detA*)

n

= detA

b) det(A*) = (detA) e) (detA*)

n−1

n−1

= detA

c) det(A*) = (detA) 1 f) detA = det A *

n

Culegere de probleme

108

( )

AL - 354 Fie matricea A = aij

1≤i ≤ 4 1≤ j ≤ 4

, aij = max{i + j − 2 , i + j − 3 }.

Să se calculeze det (A ⋅ A), unde A t

a) 25

b) 9

c) 0

t

este transpusa matricei A.

d) 1

e) -1

f) 36

( )

AL - 355 Fie matricea A = aij , 1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ j ≤ 3 , cu elementele

ai j = min{ i + j − 3 , i − 2 j + 3

a) det A = 2 ,

A −1 =

⎡ 3 0 − 1⎤ 1⎢ 2 2 1 ⎥⎥ ⎢ 2 ⎢⎣− 1 0 1 ⎥⎦

}. Să se calculeze

b) det A = −3 ,

⎡0 1 3 ⎤ c) det A = 1 , A −1 = ⎢⎢1 1 1 ⎥⎥ ⎢⎣0 1 2⎥⎦

det A şi A

.

⎡ 2 −2 1 ⎤ 1 1 ⎥⎥ A −1 = ⎢⎢− 1 1 3 ⎢⎣ 1 2 − 1⎥⎦

d) det A = 2 , A −1 =

⎡1 0 2 ⎤ 1⎢ e) det A = −3 , A = − ⎢3 1 − 1⎥⎥ 3 ⎢⎣0 − 1 2 ⎥⎦

−1

⎡3 1 0⎤ 1⎢ 0 1 1⎥⎥ 2⎢ ⎢⎣1 0 3⎥⎦

⎡1 3 1⎤ f) det A = 1 , A = ⎢⎢0 1 1⎥⎥ ⎢⎣2 1 1⎥⎦

−1

−1

x1 x2 x 3 x 4 AL - 356 Să se calculeze determinantul ∆ =

x 2 x3 x 4 x1 x3 x 4 x 1 x 2

, unde x1 , x 2 , x 3 , x 4 sunt

x 4 x1 x 2 x3 rădăcinile ecuaţiei x 4 + px 2 + qx + r = 0 .

a) ∆ = 1

b) ∆ = -1

c) ∆ = p-q

d) ∆ = 0

e) ∆ = p-q+r

f) ∆ = -1

Elemente de algebră

109

x3 1 x AL - 357 Se dă ecuaţia 1 − 1 1 = 0; a ∈ R \ {-1}. Să se determine parametrul a x

1 a

astfel încât între rădăcinile ecuaţiei să existe relaţia x12 + x 22 + x 32 − 1 < ( x1 x 2 x 3 ) . 2

a) a∈ ( − ∞,−1] ∪ [ 2,+∞)

b) a∈ ( − ∞,−1) ∪ (2,+∞)

c) a∈[-1,2]

d) a∈[1,2]

e) a∈ ( − ∞,1]

f) a∈ [1,+∞ )

1 1 1 AL - 358 Să se calculeze ∆ = d , unde d = x1 x 2 x 3 , iar x1 , x 2 , x 3 ∈ R sunt x12 x 22 x 32 rădăcinile ecuaţiei x 3 + px + q = 0 .

a) ∆ = 2 p 2 d) ∆ =

b) ∆ = p 3 − 27 pq

q2 − p

e) ∆ =

c) ∆ = 4pq

− 4 p 3 − 27q 2

f) ∆ =

− 4 p 3 + 27q 2

x1 x 2 x 3

AL - 359 Să se calculeze determinantul ∆ = x 2 x 3 x1 , ştiind că x1 , x 2 , x 3 x 3 x1 x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 − 2 x 2 + 2 x + 17 = 0 a) ∆ = 1

b) ∆ = -1

c) ∆ = 2

d) ∆ = 4

e) ∆ = 3

f) ∆ = 0

Culegere de probleme

110

⎛ 1 −1 1⎞ ⎜ ⎟ AL - 360 Fie matricea A = ⎜ − x1 x 2 − x 3 ⎟ , unde x1 , x 2 , x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei: ⎜ 2 ⎟ ⎝ x1 − x 22 x 32 ⎠

(

)

x 3 + ax + b = 0 , a, b∈R. Să se calculeze det A ⋅ t A în funcţie de a şi b, unde tA este transpusa matricei A .

a) a 3 + b 2

b) − 4a 3 − 27b 2

c) 4a 3 + 27b 2

d) 4a 3 − 27b 2

e) a 3 + b 2

f) − 4a 3 + 27b 2

⎧ x + y + 2z = 2 ⎪ AL - 361 Să se rezolve sistemul: ⎨ x − y + 3z = 5 . ⎪2 x + y + z = 2 ⎩ a) (1,1,0)

b) (1,-1,1)

c) (-4,0,3)

d) (0,0,2)

e) (1,0,0)

f) (1,0,2)

AL - 362 Să se rezolve sistemul

⎧2 x + 3 y + z = 11 ⎪ ⎨ x + 2 y + 3z = 14 ⎪3x + y + 2 z = 11 ⎩ a) x =1, y =2, z =3

b) x =2, y =1, z =1

c) x =3, y =2, z =2

d) x =1, y =1, z =4

e) x =1, y =3, z =2

f) x =1, y =7, z =6

AL - 363 Să se rezolve sistemul

Elemente de algebră

111

⎧ x − y + 3z + t = −8 ⎪ ⎨3x + y − z + 2t = −5 ⎪2 x + 2 y − 4 z + t = 3 ⎩ a) x = − b) x =

2 z + 3t + 13 10 z + t + 19 ,y= , z = z ∈ R, t = t ∈ R 4 4

z + t +1 2z + t + 1 ,y= , z = z ∈ R, t = t ∈ R 3 3

c) x = z + t , y = 2 z + t , z = z ∈ R, t = t ∈ R d) x = 1 + t , y = 1 + t , z = 2 + t , t = t ∈ R e) x = 2t + 1, y = 2t − 1, z = 2 − t , t = t ∈ R f) x = 2 z + 1, y = z − 1, t = z , z = z ∈ R

AL - 364 Care sunt valorile parametrului m∈R pentru care sistemul de ecuaţii: ⎧mx + y + z = 1 ⎪ ⎨ x + my + z = 2 admite soluţie unică ? ⎪ x + y + mz = 4 ⎩ a) m∈R \ {-2,1} b) m∈R \ {2,-1} c) m∈R \ {-2,-1} d) m∈R \ {2,1}

e) m∈R \ {-2,2}

f) m∈R \ {-1,1}

AL – 365 Se consideră sistemul

⎧ x + y + mz = 1 ⎪ ⎨x − 2 y + z = m ⎪mx + y + z = 0 ⎩ Să se determine parametrul real m pentru ca sistemul să fie incompatibil. a) m = 1, m = -2;

b) m = 2, m = -2;

d) m = 3, m = 4; e) m = -3, m = 3; AL - 366 Să se determine m∈ R astfel ca sistemul:

c) m = -1, m = 0; f) m = 0, m = -2.

Culegere de probleme

112

⎧2 x + y = 8 ⎪ ⎨x − y = 1 ⎪5 x + 4 y = m ⎩ să fie compatibil. a) 0

b) 1

c) 20

d) 23

e) 8

f) 21

AL - 367 Pentru ce valoare a parametrului real m ∈ R sistemul de ecuaţii

⎧ 2 x + y − z = −1 ⎪ ⎨x + 5 y + 4z = 4 ⎪x + 2 y + z = m ⎩ este compatibil şi nedeterminat de ordinul întâi ? a) m =-1

b) m =2

c) m =-2

d) m =1

e) m =-3

f) m=3

AL - 368 Să se determine la care din următoarele mulţimi aparţin parametrii a, b ∈ R pentru care sistemul

⎧ax + ay + (a + 1)z = b ⎪ ⎨ax + ay + (a − 1)z = a ⎪(a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1 ⎩ este compatibil nedeterminat. a) a ∈ (− 1,1), b ∈ (0,1)

b) a ∈ (− 1,1), b ∈ (− 1,1)

c) a ∈ (1,90 ), b ∈ (− 2,30 )

d) a ∈ (0,32 ), b ∈ (− 2,30 )

e) a ∈ R \ {0}, b ∈ R f) a ∈ (− 1,3), b ∈ R \ {0} AL - 369 Să se determine valorile parametrilor reali a şi b pentru care sistemul

Elemente de algebră

⎧ x + 2 y − 2 z = −6 ⎪ ⎨2 x + y + bz = 4 ⎪ax − y + z = 8 ⎩

113

este incompatibil.

1 a) a ≠ şi b ≠ −1 2

1 ⎧ ⎪⎪a = − 2 , b ∈ R sau b) ⎨ ⎪a ∈R \ ⎧⎨ 4 ⎫⎬ , b = −1 ⎪⎩ ⎩7 ⎭

1 ⎧ ⎪a ≠ − c) ⎨ 2 ⎪⎩b = −1

1 d) a ≠ şi b ∈ R 2

⎧a = 0 e) ⎨ ⎩b = 1

4 ⎧ ⎪a = f) ⎨ 7 ⎪⎩b = −1

⎧ x1 + αx 2 + 2 x 3 = 1 ⎪ AL - 370 Să se determine α , β ∈R astfel încât sistemul ⎨2 x1 + 2 x 2 + x 3 = −1 , ⎪ x + x − x = β 2 3 ⎩ 1 să fie incompatibil. a) α ≠ 1, β ≠ −2

b) α = 1, β ≠ −2

c) α = 1, β = −2

d) α =1, β ≠ 1

e) α = β = −2

f) α = 1, β ≠ −6

⎧ax + by + z = 1 ⎪ AL - 371 Fie sistemul de ecuaţii ⎨bx + ay + bz = a , a,b∈R. ⎪ x + y + az = b ⎩ Să se determine valorile parametrilor a,b∈R pentru care sistemul este incompatibil. a) a = 1, b = –2

b) a∈R \ {1, –1}, b = –2

c) a = –1, b∈ R \ {0}

d) orice a = b∈R

e) a = 1, b∈R \ {1, –2}

f) a = –1, b = 0

Culegere de probleme

114

mx + y − 2 z = 2 ⎧ ⎪ 2 x + y + 3z = 1 , m,n∈R. AL - 372 Se consideră sistemul liniar ⎨ ⎪(2m − 1) x + 2 y + z = n ⎩ Pentru ce valori ale parametrilor m şi n sistemul este compatibil simplu nedeterminat? a) m =3, n≠3

b) m=3, n=3

c) m≠3, n=3

d) m≠3, n≠3

e) m=3, n=0

f) m=3, n=2

AL - 373 Să se determine toate valorile parametrilor reali α , β, χ pentru care ⎧ x + y + z =1 ⎪ sistemul: ⎨ αx + βy + χz = 1 este compatibil dublu nedeterminat. ⎪ 2 2 2 ⎩α x + β y + χ z = 1 a) α ≠ β ≠ χ

b) α = β ≠ χ

c) α = χ ≠ β

d) α ≠ β = χ ≠ 1

e) α = β = χ = 1

f) α = 1, β ≠ 1, χ = −1

AL - 374 Să se determine α , β ∈ R astfel încât sistemul liniar: ⎧3x + 2 y + z − t = 2 ⎪ ⎨ x + αy − 2 z + 3t = 1 să fie compatibil dublu nedeterminat. ⎪ x + 4 y + 5z − 7t = β ⎩ a) α = −1, β = 2

b) α = 0, β = 1

c) α = 1, β = −1

d) α = −1, β = 3

e) α = −1, β = 0

f) α = 2, β = 0

⎧− x + 2 y + 2 z + t = 1 ⎪ AL - 375 Pentru ce valori ale lui λ ∈ R sistemul: ⎨− 2 x + y + z + t = 0 ⎪ 5x − y − z − 2t = λ ⎩ este compatibil ? a) λ = 2

b) λ = −1

c) λ = −2

d) λ = 3

e) λ = 1

f) λ = −3

Elemente de algebră

115

AL - 376 Să se determine parametrii reali a,b,c astfel ca sistemul: ⎧2 x − 3 y + 4 z − 5t = 1 ⎪ ⎨ x + 9 y + az + t = −3 să fie dublu nedeterminat. ⎪5x − 6 y + 10z + bt = c ⎩ a) a = b = c = 2

b) a = 2, b = -12, c = -2

c) a = c = 2, b = -12

d) a = b = 2, c = -12

e) a = b = 2, c = 12

f) a = c = 2, b = 12

AL - 377 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m pentru care sistemul următor este compatibil my + 1 =0 ⎧ x− ⎪ y− m = 0. ⎨2 x + ⎪3x + (m − 1) y + m − 1 = 0 ⎩

a) {0,2}

b) ∅

c) {1,0}

d) {-1,1}

e) R \{-1,1}

f) {3,2}

⎧2 x + my + z = 0 ⎪ AL - 378 Pentru ce valori ale lui m sistemul ⎨2 x + 2 y − z = 0 admite şi soluţii ⎪2 x − y + z = 0 ⎩ diferite de soluţia banală? a) m∈R

b) m∈∅

c) m = 0

d) m ≠ 0

e) m = -1

f) m ≠ -1

AL - 379 Să se determine parametrul real α astfel încât sistemul omogen: ⎧x − y + z − t = 0 ⎪ x + 2 y + z − 4t = 0 ⎪ să aibă soluţii nenule. ⎨ ⎪ x − y + αz + αt = 0 ⎪⎩ x + 2 y − z − 2t = 0 a) α = 1

b) α = -1

c) α = 0

d) α = 2

e) α = 1 sau α = - 1

f) α = -1 sau α = 2

Culegere de probleme

116

AL - 380 Ce valori întregi pot lua parametrii p, q şi r astfel încât sistemul ⎧1 ⎪ 2 x = px + qy + rz ⎪ ⎪1 ⎨ y = rx + py + qz să admită soluţii nenule ? ⎪2 ⎪1 ⎪⎩ 2 z = qx + ry + pz a) p = 1, q = 2, r = 3

b) p = -1, q = 0, r = 1

c) p,q şi r pot lua orice valori întregi

d) p,q şi r nu pot lua nici o valoare întreagă pentru a satisface condiţia cerută e) p = 1, q = 1 şi r orice valoare întreagă

f) p = 1, q = 2, r = 2

AL - 381 Dacă p = xyz , unde ( x, y , z ) este o soluţie a sistemului:

⎧x + y + z = 2 ⎪x − y − z = 0 ⎪ ⎨ ⎪x + 2 y + z = 1 ⎪⎩2 x + y − z = −1 atunci a) p ∈ ∅ ;

b) p ∈ ( −3, −2] ;

d) p ∈ ( −1, 0] ;

e) p ∈ ( 0,1] ;

c) p ∈ ( −2, −1] ; f) p ∈ (1, 2]

AL – 382 Se consideră sistemul:

⎧3 x + y − z = 5 ⎪ ⎨x − 2 y + z = n ⎪mx + y + z = 6 ⎩

(m, n ∈ R )

Să se determine valorile lui m ∈ R, n ∈ R, astfel ca sistemul dat să fie compatibil şi nedeterminat. a) m ≠ -11, n ∈ R; d) m = -11, n ≠ −

21 ; 2

21 ; 2 21 e) m ∈ R, n = − ; 2 b) m = -11, n = −

AL – 383 Se consideră sistemul

c) m = -11, n ∈ R f) m ∈ R, n ∈ R .

Elemente de algebră

⎧2ax + y + z = 0 ⎪ ⎨ x + ay − z = −1 , ⎪ x + 2ay + z = 1 ⎩

117

unde a ∈ R .

Fie S suma valorilor parametrului a pentru care sistemul este incompatibil. Stabiliţi dacă :

1 ; 2 5 d) S = ; 3

a) S =

1 ; 6 3 e) S = − ; 4

1 ; 6 2 f) S = − 3

b) S =

c) S = −

⎛a a o⎞ ⎟ ⎜ AL – 384 Fie A = ⎜ 0 a a ⎟ şi sistemul A 3 − I 3 ⎜0 0 a⎟ ⎠ ⎝

(

⎛ x ⎞ ⎛9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = ⎜3 ⎟ , ⎜ z ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)

a fiind un parametru real iar I3 este matricea unitate de ordinul trei. Pentru ce valori ale lui a sistemul de mai sus admite soluţie unică ? a) a ≠ 1

b) a = 1

c) a ≠ -2

d) a ≠ 0

e) a ∈ R \ {− 1}

f) a ≠ 2.

AL – 385 Să se determine parametrii α , β ∈ R

⎧α x + β y + z = 1 ⎪ astfel încât sistemul ⎨ x + α β y + z = β ⎪x + β y + α z = 1 ⎩ să aibă soluţiile x = z = λ , y = −

1 (1 + λ ) , λ ∈R . 2

a) α = 2, β = 0

b) α = −2, β = 2

c) α = β = 1

d) α = β = −2

e) α = −2, β ∈ R

f) α ∈ R, β = 0

AL – 386 Se consideră sistemul

Culegere de probleme

118

⎧ax − by = 2a − b ⎨ ⎩(c + 1)x + cy = 10 − a + 3b Să se determine mulţimile A, B, C cărora le aparţin valorile reale respectiv ale lui a, b,c pentru care sistemul are o infinitate de soluţii, iar x = 1, y = 3 este una dintre soluţii. a) A = [0,3];

B = [− 2,−1); C = (0,3) b) A = [0,3]; B = [− 1,0]; C = (0,3)

c) A = (0,3);

B = (− 2,−1); C = (0,3) d) A = (1,2]; B = [− 1,0]; C = (1,2]

e) A = (1,3);

B = [− 1,0]; C = (1,2]

f) A = (2,4];

B = [− 1,0]; C = [1,3)

⎧ x − ay + a 2 z = a 3 ⎪ AL – 387 Se consideră sistemul liniar : ⎨ x − by + b 2 z = b 3 ⎪ x − cy + c 2 z = c 3 ⎩ Care din următoarele condiţii sunt satisfăcute de soluţiile x,y şi z ale sistemului, pentru orice valori ale parametrilor a > 0, b> 0, c > 0 şi a ≠ b ≠ c ? a) x < y < z

b) y < z < x

c) z 2 , y 2 < x 2

d) 27 x ≥ z 3 , y < z 2

e) 27 x ≤ z 3 , y < z 2

f) z , x < y

AL – 388 Să se determine toate valorile lui λ ∈ R pentru care tripletele (x, y, z) corespunzătoare sunt soluţii ale sistemului omogen

Elemente de algebră

119

⎧x − 4 y − 2z = 0 ⎪ ⎨2 x − (λ + 3) y − 2 z = 0 ⎪3 x − 7 y + λ z = 0 ⎩ oricare ar fi k ∈ R : a) λ ∈ {− 5,4},

(x = 6k , y = − k , z = 5k ) sau (x = 6k , y = 2k , z = −k ) b) λ ∈ R \ {− 5,4}, ( x = 6k , y = −k , z = 5k ) sau ( x = 6k , y = 2k , z = −k ) c) λ ∈ {− 5,4}, ( x = 2k , y = k , z = −k ) sau ( z = 2k , y = 3k , z = k ) d) λ ∈ R \ {− 5,4}, ( x = 2k , y = k , z = −k ) sau ( x = 2k , y = 3k , z = k ) sau ( x = k , y = 3k , z = 2k ) e) λ ∈ {− 5,4}, ( x = k , y = k , z = −2k ) (x = k , y = 3k , z = 2k ) . f) λ ∈ R \ {− 5,4}, ( x = k , y = k , z = −2k ) sau

AL – 389 Fie a,b∈ R şi θ ∈ [0,2π ) . Să se afle varianta în care una sau alta dintre perechile (x,y) , prezentate alăturat , este soluţie a sistemului de ecuaţii liniare

⎧ x ⋅ sin θ + y ⋅ cosθ = a ⋅ sin θ ⎪ ⎨ x ⋅ cosθ − y ⋅ sin θ = a ⋅ cosθ + b ⎪ax ⋅ sin θ + y ⋅ (a cosθ + b ) = 0 ⎩ a) a ≠ ±b, b) a ≠ ±b, c) a ≠ ±b, d) a = ±b, e) a = ±b,

(x = a + b, y = −b ) sau (x = a − b, y = −b ) (x = a + b, y = 0) sau (x = a − b, y = 0) (x = a + b, y = b ) sau (x = a − b, y = b )

(x = a (x = a (x = a

2

+ b 2 , y = −b ) sau (x = a 2 − b 2 , y = −b )

2

+ b2 , y = 0

) sau (x = a − b , y = 0) , y = b ) sau (x = a − b , y = b ) .

2 + b2 f) a = ±b, AL – 390 Se consideră sistemul:

2

2

2

2

Culegere de probleme

120

⎧⎛ m m m ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎪⎜1 + m 2 − m + 1 ⎟ x + ⎜ − 1 + m 2 − m + 1 ⎟ y + ⎜ 2 + m 2 − m + 1 ⎟ z = 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎪⎪⎝ ⎨3mx + (1 + m ) y + 4mz = 1 ⎪2 x + (1 − m ) y + 3z = 1 ⎪ ⎪⎩ cu x, y , z ∈ R şi parametrul m ∈ R .

{

Dacă M = m ∈ R sistemul este incompatibil

} , să se calculeze

S=

∑m

3

.

m∈M

a) S =

7 4

d) S = −

b) S=1

1 8

e) S = −

9 8

c) S =

9 8

f) S =

8 9

AL – 391 Să se determine produsul valorilor parametrului λ ∈ R , valori pentru care sistemele de ecuaţii

⎧x + y − z = 1 ⎧2 x − y − 3z = −3 respectiv ⎨ ⎨ ⎩ x + 2λy − 2 z = 2λ − 2 ⎩3x + λ (λ + 1) y − 4 z = λ − 1 sunt compatibile şi au aceleaşi soluţii. a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

f) 3

Elemente de algebră

121

AL - 392 Se consideră funcţiile f i : R \ {0} → R , i ∈ {1,2,3,4}, definite prin 1 1 f1 (x) = x , f 2 (x) = , f 3 (x) = − x , f 4 (x) = - . x x

Care din următoarele afirmaţii relative la operaţia de compunere a funcţiilor este adevărată? a) necomutativă şi neasociativă

b) comutativă şi asociativă

c) necomutativă, dar asociativă

d) comutativă, dar neasociativă

e) nu orice element are invers

f) fără element neutru

AL - 393 Să se determine toate valorile parametrului a∈R pentru care intervalul (-1,∞) este partea stabilă în raport cu legea de compoziţie x ∗ y = xy + x + y + a a) a∈∅

b) a≤0

c)a=0

d) a≥0

e) a=-1

f) a≥-1

AL - XII. 394 Să se determine α∈R astfel încât funcţia f : (1, ∞ )x(1, ∞ ) → (1, ∞ ) , definită prin f(x, y) = xy − (x + y) + α să fie o lege de compoziţie pe (1,∞). a) α<0

b) α>0

c) α<1

d) α≥-1

e) α<-2

f) α≥2

AL - XII. 395 Pe R se consideră legea de compoziţie internă „∗” definită astfel: x ∗ y = 2xy − 2x − 2y + m, m∈R Să se determine m astfel încât această lege să fie asociativă. a) m=1

b) m=2

c) m=3

d) m=4

e) m=-1

f) m=-2

Culegere de probleme

122

AL - 396 Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie „ o ”, definită prin x o y = 2xy − 6x − 6y + 21 . Când relaţia x o (y o z) = (x o y) o z este adevărată? a) numai pentru x=y=z; c) numai pentru valori pozitive ale lui x,y,z; e) numai pentru valori negative ale lui x,y,z; f) numai pentru valori întregi ale lui x,y,z.

{

AL - 397 Mulţimea K = e 0 , e1 ,..., e 6

b) pentru orice x,y,z∈R; d) numai pentru x=y şi z=0;

} cu ei ≠ e j dotată cu operaţiile:

1) e i + e j = e k unde k=i+j dacă i+j≤6 şi k=i+j-7 dacă i+j>6 2) e i e j = e k unde k este restul împărţirii lui i⋅j la 7 formează un corp.

Atunci ecuaţia e3 x + e 4 = e 6 are soluţia b) e1 a) e0 d) e4 e) e5

c) e3 f) e6

AL - 398 În mulţimea [0,+∞ ) este definită legea de compoziţie internă „∗” definită prin x∗y =

x 2 + y 2 + xy + x + y

. 1+ x + y Determinaţi elementul neutru al acestei legi. a) 1

b) -1

c)

1 2

d) 0

e) 2

f) 1 + 2

AL - 399 Pe Z se defineşte legea de compoziţie ∗ prin:

x ∗ y = xy − 4x − 4y + 20, ∀x, y ∈ Z

Fie A = { xk ∈ Z xk este simetrizabil în raport cu legea ∗}, α = ∑ x ∈ A k Să se precizeze care dintre afirmaţiile următoare este adevărată. a) α=3 b) α=5 c) α=8 d) α=0 e) α=10

x k

Elemente de algebră

123

AL - 400 Determinaţi elementele simetrizabile în raport cu înmulţirea claselor din Z20.

∧∧∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧ a) 1 , 5 , 7 , 9 ,11,13,17,19,

∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ b) 1 , 3 ,9, 4 ,11,13,17,19,

∧∧∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧ c) 1 , 3 , 7 , 9 ,11,13,17,19,

∧∧∧∧∧ ∧ d) 1 , 2 , 4 , 6 , 9 ,11,

∧∧∧ ∧ e) 1 , 4 , 6 ,17,

f) ∅

AL - 401 Se defineşte pe C legea de compoziţie

(

)

Z1 ∗ Z 2 = Z1Z 2 + i(Z1 + Z 2 ) − 1 − i, i = − 1 .

Determinaţi soluţia ecuaţiei: z ∗ (1 − i ) = 3 + i . a) z = 3 + i

b) z = 2 + i

c) z = −5 + 2i

d) z = −3 + i

e) z = 3 − i

f) z = 2 − i

AL - XII. 402 Fie M = {0,1,2,3} . Pe M se defineşte legea de compoziţie:

⎧ x − y + 1,

x< y<3

⎩max {x, y},

în rest

( x, y ) → x ∗ y = ⎨

.

Să se rezolve ecuaţia z ∗ 2 = 2 ( z ∈ M ) . a) z = 0, z = 1;

b) z = 1, z = 3;

c) z = 0, z = 2;

d) z = 1, z = 2;

e) z = 3, z = 2;

f) z = 0, z = 3;

Culegere de probleme

124

AL - 403 Pe mulţimea R se definesc legile de compoziţie internă ” ∗ ” şi ” o ” astfel: ( ∀) a , b ∈ R : a ∗ b = 2a + 2b + 2ab + 1 , a o b = 2a + 2b + ab + 2 . ⎧⎪( x + y ) ∗ 2 = 35 Sistemul ⎨ are soluţiile : ⎩⎪( x − y ) o 3 = 13 a) x = 3, y = 2

b) x = 1, y = 0

c) x = 2, y = 3

d) x = 2, y = 2

e) x = 1, y = 1

f) x = 1, y = 2

AL - 404 Găsiţi toate soluţiile din R12 ale sistemului de ecuaţii liniare ⎧3 ⊗ x ⊕ 4 ⊗ y = 11 , unde ⊗ şi ⊕ sunt simbolurile înmulţirii şi adunării modulo 12. ⎨ ⎩4 ⊗ x ⊕ 9 ⊗ y = 10

a) x = 1, y = 2

b) x = 2, y = 1

c) x = 5, y = 2

d) x = 5, y = 1

e) x = 9, y = 6

f) x = 1, y = 6

AL – 405 Găsiţi soluţiile din R6 ale ecuaţiei: 5 ⊗ x ⊕ 2 = 4 unde ⊕ şi ⊗ sunt simbolurile adunării şi înmulţirii modulo 6.

a) x=1

b) x=2

c) x=3

d) x=4

e) x=5

f) x=0

AL – 406 Pe mulţimea R definim două legi de compoziţie internă „* „ şi „T „ prin:

x ∗ y = 3 x 3 + y 3 şi xTy = x + y + 1

(∀)x, y ∈ R .

⎧ x ∗ y = −1 ⎩ xTy = 0

Indicaţi soluţiile (x,y) ale sistemului: ⎨ a) (0,1);(2,0)

b) (2,0); (-1,1)

c) (0,-1); (-1,0)

d) (-2,1); (1,2)

e)(0,3); (3,0)

f) (2,1); (-1,1)

Elemente de algebră

125

AL - 407 În mulţimea Q+ se defineşte operaţia x ∗ y astfel încât (∀)x , y , z ,t ∈ Q + , să avem:

1) ( x ∗ y )( z ∗ t ) = ( xz ) ∗ ( yt ) 2) x ∗ x = 1 3) x ∗1 = x Care din răspunsurile de mai jos ne dă 12 ∗ 3 ? a) 36

b) 4

c) 15

d) 9

e) 0,25

f) 0,15

AL – 408 Pentru orice x ∈ R, y ∈ R se defineşte legea de compoziţie

(

)

x ∗ y = ln e x + e y ; precizaţi mulţimea soluţiilor ecuaţiei ( x ∗ x ) ∗ x = 0

⎧ ⎩

⎧ 1 ⎩ 3

1⎫ 3⎭

a) ⎨ln 3 , ln ⎬

⎧ ⎩

1⎫ 3⎭

d) ⎨− ln ⎬

1⎫ 3⎭

{

b) ⎨ln ,− ln ⎬

c) − ln 3

e) {− ln 3}

f) {ln 3}

AL - 409 Pe mulţimea R definim legea de compoziţie

x ∗ y = 2 x + y, (∀)x, y ∈ R şi notăm xn+1 = xn ∗ x ; x1 = x , (∀) x ∈ R . Să se determine numărul natural n ≥ 2 pentru care x2 n = 8( xn − x ) − x, (∀) x ∈ R a) n ≥ 2

b) n ∈ φ

c) n = 6

d) n = 4

e) n = 2

f) nici un răspuns nu e corect

}

Culegere de probleme

126

AL - 410 Fie a ∈ Z şi f : Z → Z, f ( x ) = x + a . Cum sunt definite legile de compoziţie pe Z notate „⊥” şi „T” dacă

şi a) c) e)

f (x + y ) = f ( x ) ⊥ f ( y ), (∀) x, y ∈ Z f (xy ) = f ( x )T f ( y ), (∀) x, y ∈ Z ?

x⊥ y= x+ y xTy = xy − ax − ay + a x⊥ y = x+ y+a

2

xTy = xy − ax − ay − a 2 + a x⊥ y = x+ y+a xTy = xy − ax − ay − a 2 − a

b) d)

x⊥ y= x+ y+a xTy = xy + ax + ay x ⊥ y = x+ y−a xTy = xy − ax − ay − a 2 + a

f) nici un răspuns nu e corect

AL - 411 Pe R se defineşte legea de compoziţie „∗” : R × R → R , (x, y ) → x ∗ y = x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + m , unde m ∈ R . Care sunt valorile m ∈ R pentru care intervalul (0,∞) este parte stabilă a lui R în raport cu legea considerată? a) m < −8 b) m ∈ {− 8,0,8} c) m ∈ (− 8,0 ) d) m ∈ ∅ e) m > 8 f) m < 8 AL - 412 Fie mulţimea

⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎛ 0 − 1⎞⎫ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟⎬ ⊂ M 2 (R ) ; K = ⎨⎜⎜ ⎩⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ − 1 0 ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ − 1 0 ⎠⎭ să se determine submulţimea maximală a lui K ce este parte stabilă a mulţimii M2(R) în raport cu înmulţirea matricelor.

⎧⎛ 1 0 ⎞⎫ ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟⎬ b) ⎨⎜⎜ ⎩⎝ 0 1 ⎠⎭ ⎩⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 ⎧⎛ 0 1 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎛ 0 − 1⎞⎫ ⎧⎛ 1 ⎟⎟⎬ d) ⎨⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ c) ⎨⎜⎜ ⎩⎝ − 1 0 ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ − 1 0 ⎠⎭ ⎩⎝ 0 ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎛ 0 − 1⎞⎫ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟⎬ e) ⎨⎜⎜ ⎩⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − 1 0 ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ − 1 0 ⎠⎭ a) ⎨⎜⎜

1 ⎞ ⎛ 0 − 1⎞⎫ ⎟, ⎜ ⎟⎬ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 0 ⎟⎠⎭ 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎫ ⎟⎬ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − 1⎟⎠ ⎜⎝ − 1 0 ⎟⎠⎭ f) K

Elemente de algebră

127

AL - 413 Pe mulţimea A = R \ {1} se consideră legea de compoziţie „∗” definită prin:

x ∗ y = 2 xy − 2 x − 2 y + c, (∀)x, y ∈ A, c ∈ R

Pentru ce valoare a lui c legea „∗” este asociativă? a) c=1 d) c=2

b) c=-1 e) c=4

c) c=3 f) c=6

AL - 414 Pe mulţimea (0,∞) se consideră legea de compoziţie „∗” definită prin

x ∗ y = ea ln x −b ln y , oricare ar fi x, y > 0 , unde a, b ∈ R ∗ .

Precizaţi în ce condiţii legea considerată este asociativă şi comutativă. a) a = 1, b = −1 c) a = −1, b = 1

b) pentru orice a, b ∈ R cu proprietatea a + b = −1 d) a = 1, b = 1

e) nu există a, b ∈ R ∗ cu proprietatea cerută

f) nici un răspuns nu e corect

AL - 415 Fie legea de compoziţie internă pe R definită prin x∗ y = xy + 2αx + βy (∀)x, y ∈ R , unde α , β ∈ R . Care sunt valorile lui α şi β pentru care legea este comutativă şi asociativă ?

1 şi β = 1 2 1 c) α = β = 0 sau α = şi β = 2 2

b) α + β = 1

e) α = β = −1

f) α = 2 , β =

a) α = β = 0 sau α =

d) α = β = 1

1 2

AL - 416 Fie operaţia „∗” cu numere reale, definită astfel: a ∗ b = ma + nb + p (∀)a, b ∈ R . Sistemele de constante m,n,p pentru care operaţia ∗ este asociativă şi necomutativă sunt:

a) (1,0,0); (0,1,0)

b) (1,1,0); (0,1,0)

c) (1,1,1); (0,1,0)

d) (1,0,0); (1,1,0)

e) (1,0,0); (1,1,1)

f) (1,1,1); (1,1,0)

Culegere de probleme

128

AL - 417 În mulţimea numerelor reale, se definesc operaţiile : T şi ⊥ prin relaţiile :

aTb = a + ab + b

(∀)a, b ∈ R

a ⊥ b = a − ab + b Operaţiile au acelaşi element neutru e. Expresia

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ aT ⎟ ⋅ ⎜ a ⊥ ⎟ − (eT1) ⊥ (e ⊥ 1) are valoarea a⎠ ⎝ a⎠ ⎝ 1 a2 1 d) a 2 − 2 a a) a 2 +

1 a2 1 f) − 2 a

b) a 2

c)

e) − a 2

AL - 418 În mulţimea R este definită legea de compoziţie internă „∗” astfel încât

(∀)x, y ∈ R :

x∗ y =

x+ y cu xy ≠ 1 . 1 − xy

Elementul neutru e, admis de lege este: a) 0 d) 2

b) 1 e) –2

c) –1 f) 3

AL – 419 Pe R se defineşte legea de compoziţie „∗” prin x ∗ y = axy − x − y + 2 , unde a ∈ R . Pentru ce valori ale lui a legea considerată admite element neutru?

a) a = −1

b) 0

c) a = 1

1 d) a = 2

1 e) a = − 2

f) a =

3 2

AL – 420 Fie f : R → R o funcţie bijectivă cu f −1 (1) = 2 . Definim legea de compoziţie „∗” pe R prin a ∗ b = f f −1 (a ) + f −1 (b ) − 2 , pentru orice a, b ∈ R . Care este elementul neutru al acestei legi?

[

]

a) nu are

b) 1

c) 2

d) 0

e) –1

f) –2

Elemente de algebră

129

AL – 421 Pe mulţimea (1, ∞ ) se defineşte legea de compoziţie

x ∗ y = ( x − 1)

ln ( y −1)

+ 1 . Determinaţi elementul său neutru.

a) ε = 1 + e d) ε = 3 − e

b) ε = 1 − e e) ε = 3 + e

c) ε = −1 + e f) ε = −3 + 2e

AL – 422 Pe mulţimea R se definesc legile de compoziţie ∗ şi o , a ∗ b = a + ab + b şi a o b = a − ab + b , care admit acelaşi element neutru, e . Să se determine mulţimea tuturor valorilor lui a pentru care există inegalitatea

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ a ∗ ⎟⎜ a o ⎟ > (e ∗1) o (e o 1) ⎝ a ⎠⎝ a ⎠ a) a ∈ {− 3,−2,−1,1,2,3};

b) a ∈ φ

d) a ∈ R I [(− ∞,−1) U (1, ∞ )];

e) a ∈ R

c) a ∈ R \ {0} ;

f) a ∈ R \ {− 2,−1,0,1,2}

AL – 423 Ce relaţii trebuie să existe între a,b şi c pentru ca operaţia ∗, definită pe mulţimea Z a numerelor întregi prin x ∗ y = axy + b( x + y ) + c , să admită element neutru? a) b 2 − 4ac = 0 c) b 2 − ac = b şi b divide pe c ; e) c divide pe b şi b 2 − ac = 2b

b) b 2 − ac = 0 şi b divide pe a ; d) a divide pe b şi b 2 − ac = b f) c divide pe b şi b 2 − ac = b

⎛2 x ⎜ AL – 424 Să se determine α ∈ R astfel încât matricea Ax = ⎜ x α ⎜1 x ⎝

1⎞ ⎟ x⎟ 2 ⎟⎠

să fie un element simetrizabil al monoidului (M 3 (R ), ⋅) pentru orice x >1.

a) α > 1 d) α >

3 2

b) α = 1 e) α ≤

2 3

c)

2 3 <α ≤ 3 2

f) α ∈ R ∗

Culegere de probleme

130

⎧ ⎛0 0 ⎜ ⎪ ⎪ n ⎜1 0 AL - 425 Fie mulţimea G = ⎨ X X = ⎜ 0 1 ⎪ ⎜ ⎜ ⎪ ⎝0 0 ⎩

0 0 0 1

⎫ 1⎞ ⎟ ⎪ 0⎟ ∗⎪ ,n∈N ⎬ 0⎟ ⎪ ⎟ ⎪ 0 ⎟⎠ ⎭

Care este simetricul elementului X1997 în raport cu operaţia indusă pe G de înmulţirea matricelor?

a) X

d) I4

⎛0 0 ⎜ ⎜0 0 b) ⎜ 1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎝ ⎛1997 ⎜ ⎜ 0 e) ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝

1 0⎞ ⎟ 0 1⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0 ⎟⎠ 0 1997 0 0

⎛0 ⎜ ⎜0 c) ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1997 0 ⎟ ⎟ 0 1997 ⎟⎠ 0 0

⎫ ⎧⎛ a 0 a ⎞ ⎟ ⎪ ⎪⎜ AL - 426 Fie mulţimea M = ⎨⎜ 0 0 0 ⎟, a ∈ C⎬ ⎪ ⎪⎜ a 0 a ⎟ ⎠ ⎭ ⎩⎝ i ⎛ 0 ⎜ ⎜4 Care este simetricul elementului A = ⎜ 0 0 ⎜i 0 ⎜4 ⎝

1 0 0⎞ ⎟ 0 1 0⎟ 0 0 1⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟⎠

f) nici un răspuns nu e corect

i⎞ ⎟ 4⎟ 0 ⎟ în raport cu legea de i⎟ 4 ⎟⎠

compoziţie indusă pe M de înmulţirea matricelor?

⎛ 4 0 4⎞ ⎟ ⎜ a) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ 4 0 4⎟ ⎠ ⎝

⎛− i 0 − i⎞ ⎟ ⎜ d) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜− i 0 − i⎟ ⎠ ⎝

⎛1 ⎜ ⎜4 b) ⎜ 0 ⎜1 ⎜4 ⎝ ⎛1 ⎜ e) ⎜ 0 ⎜ −1 ⎝

0 0 0

0 0 0

1⎞ ⎟ 4⎟ 0⎟ 1⎟ 4 ⎟⎠ 1⎞ ⎟ 0⎟ − 1⎟⎠

⎛i 0 i⎞ ⎟ ⎜ c) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜i 0 i⎟ ⎠ ⎝

⎛ − 1 0 − 1⎞ ⎟ ⎜ f) ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ − 1 0 − 1⎟ ⎠ ⎝

Elemente de algebră

131

AL - 427 În corpul (R,+,⋅) se introduce legea de compoziţie:

x ∗ y = ax + ay + bxy + c, (∀) x, y ∈ R şi a, b, c ∈ R . Ştiind că elementul său neutru este e = - 4 şi că orice element cu excepţia lui –5, admite un simetric, să se determine constantele a,b,c. a) a=b=c=1

b) a=b=1, c∈R

c) a=5, b=1, c=20

d) a=3, b=2, c=0

e) a=1, b=4, c=2

f) a=b=2, c=40

AL - 428 Determinaţi elementul neutru al operaţiei ∗ definită în R2 prin

(x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 + x1 + x2 , y1 y2 + y1 + y2 )

a) (1,0)

b) (0,1)

c) (1,1)

d) (0,0)

e) (-1,-1)

f) (0,-1)

AL – 429 Pe mulţimea R a numerelor reale definim legea de compoziţie *, astfel:

x∗ y =

1 (x + y − 2 xy + 1) , oricare ar fi x,y ∈R . 3

Să se determine elementele simetrizabile şi simetricul fiecăruia dintre acestea.

x +3 ; x −1 x−2 ⎧1 ⎫ c) x ∈ R \ ⎨ ⎬, x ′ = ; 2x −1 ⎩2⎭ x−5 ⎧1 ⎫ ; e) x ∈ R \ ⎨ ⎬, x ′ = 3x − 1 ⎩3⎭

a) x ∈ R \ {-1},

2x + 1 x +1 x+4 ⎧1 ⎫ d) x ∈ R \ ⎨ ⎬, x ′ = ; 2x −1 ⎩2⎭ x f) x ∈ R \ {1}, x ′ = x −1 b) x ∈ R \ {− 1},

x′ =

x′ =

AL – 430 Pentru fiecare n ∈ N * se defineşte funcţia

f n : R → R,

⎧nx, x > 0 . f n (x ) = ⎨ ⎩0, x ≤ 0

Care este simetricul elementului f 2001 faţă de compunerea funcţiilor ? a) f1

b) nu există

c) f 2000

d) f 2002

e) f 1000

f) f 1001

Culegere de probleme

132

{

}

AL – 431 Se consideră mulţimea M = a + b 2 a, b ∈ Z înzestrată cu operaţia de înmulţire indusă din R . Care este condiţia suficientă pentru ca elementul x = a + b 2 să admită un invers în mulţimea M ? a) Nu există un invers al lui x în M.

b) a 2 − 2b 2 ≠ 0

c) a 2 − 2b 2 = ±1

d) a 2 − 2b 2 = 2

e) a 2 − 2b 2 = −2

f) a 2 − 2b 2 = 0

AL - 432 Fie E = R × R . Pentru orice t ∈R , fie funcţia f t : E → E ,

⎛ ⎞ t2 f t ( x, y ) = ⎜⎜ x + t y + , y + t ⎟⎟,(∀) ( x, y ) ∈ E şi mulţimea G = { f t t ∈R} înzestrată 2 ⎝ ⎠ cu operaţia de compunere a funcţiilor. Care este simetricul elementului f −1 ? a) g( x , y ) = ( x , y )

b) g( x , y ) = ( y , x )

c) g( x , y ) = ( x + y , y − 1)

1 1⎞ ⎛ d) g( x , y ) = ⎜ x − y + , y − ⎟ ⎝ 2 2⎠

1 ⎛ ⎞ e) g( x , y ) = ⎜ x + y + , y + 1⎟ ⎝ ⎠ 2

y 1 ⎛ f) g( x , y ) = ⎜ x + + , y + ⎝ 2 8

1⎞ ⎟ 2⎠

AL - 433 Să se determine elementul neutru al grupului comutativ (G,∗), unde G = (0, ∞ ) \ {1} iar x ∗ y = x ln y

a) 1

b) e

c) 0

d) 2

e)

1 e

f) e2

AL - 434 Pe R se defineşte legea de compoziţie

x ∗ y = ax + by, (∀) x, y ∈ R

unde a şi b sunt parametri reali. Legea „∗” defineşte pe R o structură de grup pentru: a) a=1, b=0

b) a=0, b=3;

c) a=0, b=1;

d) a=1, b=1;

e) a=b= α ∈ R \ {1};

f) a=b=2

Elemente de algebră

133

AL - 435 Pe Z se defineşte legea de compoziţie

( x, y ) → x ∗ y = x + y + k ,

unde k ∈ Z . Să se determine toate valorile lui k pentru care (Z, ∗) este grup. a) k∈Z; d) k∈ ∅ ;

b) k=-1; e) k∈{-1,1};

c) k=0; f) k∈{-1,0}

AL - 436 Determinaţi mulţimea A ⊂ R astfel ca legea de compoziţie

x ∗ y = xy − x − y + 2

să determine o structură de grup pe R\ A. a) A=R d) A= ∅

b) A={0} e) A={1}

c) A={0,1} f) A={2}

AL - 437 Ce structură algebrică defineşte pe R şi ce element neutru, respectiv

inversabil admite pe R legea de compoziţie x ∗ y = 3 x 3 + y 3 , x, y ∈ R ? a) grup comutativ; 0; -x d) grup comutativ; -x; 0

b) grup; 0; -x e) grup; 0;1

c) grup; -x;0 f) grup; 0; -1.

AL - 438 Pentru ce valori ale parametrului real λ intervalul (2,+∞) este monoid în raport cu legea de compoziţie definită pe R prin : x∗ y = xy − 2 x − 2 y + λ , (∀) x, y ∈ R ?

a) λ ∈( − ∞,6) d) λ = 0

b) λ ∈( 6,+∞)

e) λ ∈( 0,+∞)

c) λ = 6 f) λ ∈( − ∞,0)

AL - 439 În mulţimea R a numerelor reale se consideră legea de compoziţie ’’ ⊕ ’’ definită prin : x ⊕ y = ax + by − 1, (∀) x , y ∈ R . Să se determine parametrii reali

a şi b astfel încât această lege de compoziţie să determine pe R o structură de grup abelian. a) a = 1, b = 0

b) a = 2, b = −1

c) a = b = 1

d) a = 2, b = 1

e) a = 1, b = 2

f) a = 0, b = 1

Culegere de probleme

134

AL - 440 Fie R mulţimea numerelor reale înzestrate cu legea de compoziţie internă definită prin : x ∗ y = ax + by + c , a , b, c ∈R şi ab ≠ 0 . Precizaţi valorile lui a, b, c pentru care ( R , ∗ ) este un grup cu elementul neutru e = 1991 .

a) a = −1, b = −1, c = 1991

b) a = 1, b = 1, c = −1991

c) a = −1, b = −1, c = −1991

d) a = 1, b = 1, c = 1991

e) a = b, c = 1991

f) a = b = 2, c = −1991

AL - 441 Se consideră grupul abelian ( R , ∗ ) cu legea de compoziţie :

x∗ y =

(

k

)

k

x + k y − k a , unde a ∈ R este un număr fixat , iar k este impar şi k ≥ 3 .

Care este elementul neutru şi care este simetricul elementului x ∈R în raport cu legea considerată ?

( a + x) d) 1; ( a + x ) a) a ;

k

k

k

k

( a − x) e) 1; ( a − x )

k

b) a ;

k

k

k

k

k

( f) 1 ; (2

k

) x)

c) a ; 2 k a − k x

k

k

a −k

k

k

AL - XII. 442 Se defineşte pe C legea ’’ ∗ ’’ : z1 ∗ z 2 = z1 ⋅ z 2 + i ( z1 + z 2 ) − 1 − i .

Să se determine elementul neutru e , elementele simetrizabile şi să se determine α ∈C , astfel încât C \ {α} , ∗ să fie grup abelian.

(

)

2 + iz ;α=i z −1 1+ z ;α=2 c) e = 1 + i ; z ' = 2z − i 1 e) e = 2 + i ; z ' = ; α = 2 z

a) e = 1 − i ; z ' =

1− z ; α = −1 z+i zi + z ; α = −2 d) e = −i ; z ' = z −1 b) e = 1 ; z ' =

f) e = 1 − i ; z ' =

2 − iz ; α = −i z+i

AL - 443 Să se determine partea mulţimii Z pe care legea de compoziţie definită prin : x∗ y = x + y + xy, (∀) x, y ∈ Z determină o structură de grup abelian propriu. a) Z

b) Z \ {1}

c) Z \ {− 1}

d) Z \ {0}

e) {−2,0}

f) {0}

Elemente de algebră

135

∧

AL – 444 Care este ordinul elementului 25 al grupului abelian (Z120 ,+ ) ? a) 20;

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

f) 25

AL – 445 Se consideră mulţimea G = (− 1, ∞ ) şi legea de compoziţie

(∀)x, y ∈ G (a, b ∈ R ). Să se determine valorile lui a şi b pentru care (G ,∗) este grup abelian. x ∗ y = xy + ax + by ,

a) a = 1, b = 0 d) a = b = -1

b) a = b = 1 e) a = b = 0

c) a = 1, b = -1 f) a = 0, b = 1

AL – 446 Fie mulţimea M = R \ {− 1} pe care se dă legea ” * ” definită astfel :

x ∗ y = a (x 2 + y 2 ) + 2 xy + 2(m 2 − 3)x + 2 y + m − 1, (∀) x, y ∈ M , unde a şi m sunt constante reale. Să se determine a, m ∈ R, astfel ca (M ,∗) să fie grup.

3 ; 2

a) a = 0, m = -1;

b) a = 0, m = −

d) a ∈ R, m = 2;

e) a ∈ R, m = -1;

c) a = 0, m = 2; f) a ∈ R, m ∈ R

AL – 447 Se consideră grupul (Z 6 ,+ ) Care este numărul subgrupurilor (H,+) ale acestuia, diferite de grupul dat ? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

f) 6

AL – 448 Fie x şi y elemente distincte ale unui grup multiplicativ cu elementul neutru e, care satisfac relaţiile:

x 2 = y 6 = e,

xy = y 4 x .

Care dintre elementele menţionate mai jos este egal cu y3 ? a) x ;

b) xy ;

c) y ;

d) e ;

e) y2 ;

f) xy2 .

Culegere de probleme

136

AL - 449 Fie grupul ( R , ∗ ) unde legea de compoziţie ’’ ∗ ’’ este definită prin : x ∗ y = x + y + axy , pentru orice x , y ∈ R , unde a ∈ R . Să se determine a ∈ R

(

)

astfel încât intervalul (−1,+∞) să fie subgrup al grupului R \ {− 1} , ∗ . a) a = 0

b) a = 1

c) a = −1

d) a ∈∅

e) a ∈( − ∞,−1)

f) a ∈(1,+∞)

⎧3⎫ AL - 450 Fie M = R \ ⎨ ⎬ . Să se determine m, a , b ∈R * astfel ca legea ⎩2 ⎭ x ∗ y = 2 xy − 3x − 3 y + m să determine pe M o structură de grup abelian , iar aplicaţia

(

)

f : ( M , ∗ ) → R * , • , f ( x ) = ax + b să fie un izomorfism între ( M , ∗ ) şi grupul

multiplicativ al numerelor reale, diferite de zero. b) m = 6 ; a = 1 ; b = 2 1 2 e) m = −3 ; a = ; b = 2 3

a) m = 6 ; a = 2 ; b = −3 2 1 d) m = 2 ; a = ; b = 3 2

{

AL - 451 Considerăm mulţimea F ( R , R ) = f : R → R

c) m = 5 ; a = −1 ; b = 1 f) m = 3 ; a = 3 ; b = −4

}

f este bijecţie

înzestrată cu structură de grup faţă de operaţia de compunere a funcţiilor. Dacă ϕ : ( Z , + ) → F ( R , R ) , o este un morfism de grupuri astfel încât ϕ(1) = f , unde

(

)

f (x ) = x − 5,(∀) x ∈ R , să se determine funcţia g = ϕ(2). 3

a) x 9 − 15x 6 + 75x 3 − 130

b) x 9 + 15x 6 − 75x 3 − 130

c) x 8 − 3x 6 + 3x − 5

d) x 8 + 3x 6 − 3x − 5

e) x 6 − 9 x 4 + 15x 2 + 1

f) x 6 + 9 x 4 − 15x 2 + 1

AL - 452 Fie grupurile ( R , + f : R → (0,+∞) , f ( x ) = e αx +

) şi ( (0,+∞) , ⋅ ) . În ce condiţii funcţia α 2 −11 − α 2 − 20 −1

, α ∈ N , α ≥ 5 este un izomorfism de

grupuri ? a) α = 5

b) α ∈∅

c) α = 8

d) α = 6

e) α = 7

f) α = 9

Elemente de algebră

137

λ 13 ⎞ ⎛ 11 ⎟ ⎜ 2 AL - 453 Se consideră grupul (M 3 (R ),+ ) şi A = ⎜ 121 λ 169 ⎟ ∈ M 3 (R ) . ⎜1331 λ3 2197 ⎟ ⎠ ⎝ Să se determine λ ∈ R astfel încât funcţia : f :M 3 (R ) → M 3 (R ), f ( X ) = AX ,(∀)X ∈ M 3 (R ) să fie un automorfism. a) λ = 0

d) λ ∈ R \ {0,11,13}

b) λ = 12

c) λ ∈ R \ {12}

e) λ = 11 şi λ = 13

f) λ ∈ ∅

AL - 454 Fie grupul (A , + ) unde A = R × R × R şi ’’+’’ este legea de compoziţie definită prin :

(x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),(∀)(x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 )∈ A . Pentru ce m ∈ R funcţia f :A → A cu

f ( x1 , x2 , x3 ) = (mx1 + x2 + x3 , x1 + mx2 + x3 , x1 + x2 + mx3 )

este un automorfism al grupului (A , + ) ? a) m = ±1

b) m ∈ R \ {0}

c) m ∈{− 1,3}

d) m = −2

e) m ∈∅

f) m ∈R \ {− 2,1}

AL - 455 Fie G = ( 2,+∞) care are o structură de grup faţă de operaţia ’’ ∗ ’’

definită prin : x ∗ y = xy − 2( x + y ) + 6 , (∀) x , y ∈ G . Să se determine a , b ∈ R astfel încât funcţia f : R *+ → G , f ( x ) = ax + b pentru orice x ∈ R *+ , să realizeze un

(

)

izomorfism de la grupul R *+ , ⋅ la grupul (G , ∗ ) . a) a = 0, b = 2

b) a = 1, b = 2

c) a = 0, b = 3

d) a = 1, b = 3

e) a = b = 1

f) a = −1, b = 2

Culegere de probleme

138

AL – 456 Fie Z mulţimea numerelor întregi. Se ştie că mulţimile (Z,∗) şi (Z,o ) au structură de grup în raport cu operaţiile definite prin egalităţile :

x ∗ y = x + y + 1,

x o y = x + y − 1. Să se determine a,b∈ Z astfel încât funcţia f ( x) = ax + b , f : (Z,∗) → (Z,o ) să fie un izomorfism de grupuri, cu condiţia a + b = 3

a) a = 1, b = 2 d) a = 0, b = 3

b) a = 2, b = 1 e) a = -1, b = 4

c) a = 3, b = 0 f) a = 4, b = -1.

AL – 457 Se consideră legea de compoziţie

3xy − 4 x − 4 y + 6 , care determină pe intervalul (1,2) o 2 xy − 3x − 3 y + 5 structură de grup comutativ. Precizaţi valoarea parametrului m , astfel încât între grupul x∗ y =

multiplicativ al numerelor reale pozitive şi grupul menţionat mai sus să existe un izomorfism

f : (0, ∞ ) → (1,2) de forma a) m = 2; d) m = - 2;

f ( x) =

x+m . x +1

b) m = 1; e) m = 3 ;

c) m = -1; f) m = -3.

AL – 458 Fie (G, ⋅ ) grupul multiplicativ al matricelor de forma

⎡1 a b ⎤ X = ⎢⎢0 1 c ⎥⎥ , ( a,b,c ∈ R). ⎢⎣0 0 1⎥⎦ Să se determine printre subgrupurile sale comutative subgrupul izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale, ( R, +) .

⎡1 ⎢ a) 0 ⎢ ⎢⎣0 ⎡1 ⎢ d) 0 ⎢ ⎢⎣0

0 b⎤ 1 c ⎥⎥ 0 1⎥⎦ a 0⎤ 1 c ⎥⎥ 0 1⎥⎦

⎡1 ⎢ b) 0 ⎢ ⎢⎣0 ⎡1 ⎢ e) 0 ⎢ ⎢⎣0

a b⎤ 1 0⎥⎥ 0 1⎥⎦ a b⎤ 1 c ⎥⎥ 0 1⎥⎦

⎡1 ⎢ c) 0 ⎢ ⎢⎣0 ⎡1 ⎢ f) 0 ⎢ ⎢⎣0

0 b⎤ 1 0⎥⎥ 0 1⎥⎦ 0 0⎤ 1 0⎥⎥ 0 1⎥⎦

Elemente de algebră

139

AL - 459 Fie ( I,+,⋅ ) un inel cu proprietatea : x 2 = x, (∀) x ∈ I . Să se precizeze care din următoarele afirmaţii rezultă din proprietatea menţionată :

a) inelul I este necomutativ şi x 4 = − x, (∀) x ∈ I b) inelul I este necomutativ şi x = − x,(∀) x ∈ I c) inelul I este comutativ şi x = − x,(∀) x ∈ I d) inelul I este necomutativ e) inelul I este necomutativ şi x = − x 3 ,(∀) x ∈ I f) inelul I este comutativ şi x 5 = 2 x AL - 460 Fie ( A , + , ⋅ ) un inel pentru care 1 + 1 = 0 (0 şi 1 fiind elementele neutre ale inelului). Să se exprime (x +1)5 ca sumă de puteri ale lui x ∈ A .

a) x 5 + 1

b) x 5 + x

c) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1

d) x 5 + x 4 + x + 1

e) x 5 + x 3 + x + 1

f) x 5 + x 4 + x 2 + 1

AL – 461 Pe mulţimea Z se definesc legile de compoziţie “ ⊕ ” şi “ ⊗ “ prin : x ⊕ y = x + y − 3 şi x ⊗ y = xy − 3(x + y ) + 12 , (∀)x, y ∈ Z . Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? a) (Z,⊕ ) şi (Z,⊗ ) sunt grupuri abeliene

b) (Z,⊕,⊗) este inel necomutativ

c) (Z,⊕,⊗) este inel comutativ cu divizori ai lui zero

d) (Z,⊕,⊗) este inel comutativ fără divizori ai lui zero

e) (Z,⊕,⊗) este corp necomutativ f) (Z,⊕,⊗) este corp comutativ.

AL – 462 Fie a, b, c ∈ R . Pe mulţimea R se definesc legile de compoziţie

x⊥y = ax + by − 2 xTy = xy − 2 x − 2 y + c, (∀)x, y ∈ R Să se determine a,b şi c astfel încât (R, ⊥, T ) să fie un inel. a) a = b = c = 1 d) a = b = c = 3

b) a = b = c = 6 e) a = b = c = 2

c) a = b = 1, c = 6 f) a = b = 1, c = 2.

Culegere de probleme

140

{

}

AL - 463 Fie Z × Z = ( x, y ) x, y ∈ Z . Să se determine a ∈ Z pentru care operaţiile

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 ) o (x2 , y2 ) = (x1 y2 + y1x2 , ay1 y2 )

şi

determină pe Z × Z o structură de inel cu elementul unitate e=(0,1). În acest caz să se determine divizorii lui zero dacă există. a) a=1; nu există d) (∀)a ∈ Z ; nu există

b) a=1; (x,0), x∈Z* e) ∀a ∈ Z ; (0,y), y∈Z*

c) a=0; (x,0), x∈ Z* f) (∀)a ∈ Z ;(x,0), x∈ Z*

AL - 464 Pe mulţimea R 2 = R × R a tuturor perechilor ordonate de numere reale, z = ( x,y) , se definesc operaţiile

zTz ′ = ( x, y )T( x′, y ′) = (x + x′, y + y ′) z⊥z ′ = (x, y )⊥(x ′, y ′) = ( xx′, xy ′ + x′y )

Care este structura definită de aceste operaţii pe mulţimea R2 ? a) inel necomutativ

b) inel comutativ

d) corp necomutativ

e) corp comutativ

( ) f) (R , ⊥ ) este grup comutativ

c) R 2 , ⊥ grup necomutativ 2

AL – 465 Fie inelul (Z,⊕,o ) unde legile de compoziţie sunt definite prin

x ⊕ y = x + y − p; x o y = xy − px − py + p 2 + p,

p ∈ Z∗ .

Să se stabilească dacă inelul are sau nu divizori ai lui zero. În caz afirmativ să se determine divizorii lui zero. a) Da; 2p, p-1; d) Da; 0, p+1;

b) Nu; e) Da; 2p,p;

c) Da; p, p; f) Da; 2p, p+1.

AL – 466 Fie inelul (Z,⊕,⊗) unde: x ⊕ y = x + y + 2 şi x ⊗ y = xy + 2 x + 2 y + 2 Să se determine divizorii lui zero în acest inel.

a) {− 2,2} ; b) {0,−1} ; c) {− 2,−4} ; f) inelul are o infinitate de divizori ai lui zero.

d) {2,4} ;

e) nu există ;

Elemente de algebră

141

AL – 467 Fie inelul (Z,∗,o ) unde x ∗ y = x + y + 3 şi x o y = xy + 3 x + 3 y + 6

(∀) x, y ∈ Z . Să se determine numărul α = ∑ a , ( A fiind mulţimea elementelor a∈A

inversabile din inel) şi mulţimea B a divizorilor lui zero. a)

d)

α =2

b)

B = {− 1,1}

α = −6 B =φ

e)

α = −4 B =φ

c)

α =4

f)

B = {− 3,3}

AL – 468 Pe Z definim legile de compoziţie : x ⊗ y = x + y − 4 şi x ∗ y = xy − 4 x − 4 y + 20,

Stabiliţi mulţimea divizorilor lui 0 din inelul (Z,⊗,∗) .

a) ∅ ;

{

{ } e) {3k + 1 k ∈ Z};

}

α =3

B = {− 2,−4}

(∀)x, y ∈ Z .

{ } f) {3k + 2 k ∈ Z}.

b) 2k k ∈ Z ;

d) 2k + 1 k ∈ Z ;

α =6 B =φ

c) 3k k ∈ Z ;

∧

∧

AL – 469 Fie S1 suma elementelor neinversabile ale inelului (Z12 ,+,⋅) , S 2 suma ∧ ⎛ ∧ S1 ⎜ 1 ∧ ⎜ ∧ 1 elementelor inelului şi A ∈ M 3 (Z12 ) , unde A = ⎜ S1 ⎜∧ ∧ ∧ ⎜ S 2 + 1 S1 ⎝

∧ ⎞ S 2 + 11⎟ ∧ ⎟ S1 ⎟ . ∧ ⎟ 1 ⎟ ⎠

Atunci: ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

a) rang A=1; S1 S 2 = 0 c) rang A=2; S1 S 2 = 0 e) rang A=3; S1 S 2 = 0

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

b) rang A=1; S1 S 2 = 3 d) rang A=2; S1 S 2 = 3 f) rang A=3; S1 S 2 = 3

Culegere de probleme

142

AL - 470 Legile x ⊕ y = x + y − 4 şi x ⊗ y = xy − 4 x − 4 y + 20 determină pe R o structură de corp comutativ. Să se determine elementele neutre ale corpului faţă de cele două legi. a) 4, 5 b) 0, 1 c) 2, 0 d) 1, 1 e) 0, 0 f) 1, 1

⎧⎛ a b ⎞ ⎫ AL - 471 Fie k ∈Z şi mulţimea M k = ⎨⎜ ⎟ a , b ∈ Z ⎬ care în raport cu ⎩⎝ kb a⎠ ⎭ adunarea şi înmulţirea matricelor are o structură de inel comutativ. Pentru care din următoarele valori ale lui k inelul are divizori ai lui zero ? a) k = 2

b) k = 3

c) k = 4

d) k = 5

e) k = 6

f) k = 7

AL - 472 Fie a , b, c ∈ R . Pe R definim legile de compoziţie ’’ ⊥ ’’ şi ’’ Τ ’’ prin: x⊥ y = ax + by − 2, (∀) x, y ∈ R şi xΤ y = xy − 2 x − 2 y + c, (∀) x, y ∈ R . Care sunt valorile a, b, c astfel încât ( R , ⊥ , Τ ) să fie corp ? a) a = 0, b = 0, c = 3 d) a = 1, b = 1, c = 3

b) a = 1, b = 1, c = 6 e) a = 1, b = 1, c = −3

c) a = 0, b = 1, c = 6 f) a = 1, b = 0, c = 6

AL - 473 Fie K un corp comutativ cu proprietatea că există un cel mai mic număr n ∈N * astfel ca 1 + 1 + ... + 1 = 0 (0 şi 1 sunt elementele neutre ale corpului). 14243 n ori

Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? a) n = număr par d) n = 4k , k ∈N *

b) n = număr prim e) n = 4 k , k ∈N *

c) n = număr impar f) n = 3 k , k ∈N * , k ≥ 2

AL – 474 Fie mulţimea numerelor complexe C dotată cu operaţiile x ∗ y = x + y + a

şi x o y = bixy + b( x + y ) + ci , a, b, c ∈ C, b ≠ 0, i 2 = −1 . Să se determine valorile numerelor a,b şi c pentru care C este corp în raport cu cele două legi de compoziţie, cu elementul neutru faţă de prima lege i, respectiv faţă de a doua lege –i. a) a = 1, b = 1, c = 0;

b) a = i, b = 2, c = -1;

d) a = -i, b = c = i;

e) a = i, b =

1 , c = 1; 2

c) a = -i, b = c =

1 ; 2

f) a = i, b = c = -i.

Elemente de algebră

143

AL – 475 Pe mulţimea R a numerelor reale se consideră legile de compoziţie internă, x ⊕ y = ax + by − 1, x ⊗ y = 2( xy − x − y ) + c oricare ar fi x, y ∈ R iar

a, b, c ∈ R . Să se determine a,b, şi c astfel ca (R,⊕,⊗) să fie corp.

a) a = b = 1, c = 2

b) a = b = c = 1

c) a = b = c = 2

d) a = b = 1, c = 3

e) a = 2, b = 1, c = 3

f) a = 1, b = 2, c = 3.

AL - 476 Pentru ce valori ale lui a şi b funcţia f : R → R , f ( x ) = ax + b determină un izomorfism între corpul numerelor reale şi corpul ( R , Τ , ∗ ) , unde 1 1 1 x Τ y = x + y − 2 , iar x ∗ y = xy − x − y + 3 pentru (∀) x , y ∈ R ? 4 2 2 a) a = 1, b = 1

b) a = 2, b = 2

c) a = 1, b = 2

d) a = 4, b = 2

e) a = 2, b = 4

f) a = 1, b = 4

⎧⎛ a 2b⎞ ⎫ AL - 477 Fie corpurile ( K , + , • ) şi ( L , + , • ) unde: K = ⎨⎜ ⎟ a , b ∈Q⎬ , ⎩⎝ b a ⎠ ⎭

{

}

L = a + b 2 a , b ∈ Q , iar ’’+’’ şi ’’ • ’’ sunt operaţiile de adunare şi înmulţire a matricelor , respectiv , a numerelor reale. Care din următoarele funcţii este un izomorfism al acestor corpuri ? ⎛ a 2 2b ⎞ ⎟⎟ a) f 1 a + b 2 = ⎜⎜ ⎝b a 2 ⎠

⎛ − a − 2b⎞ b) f 2 a + b 2 = ⎜ ⎟ ⎝ − b − a⎠

⎛ a 2b⎞ 2 c) f 3 ⎜ ⎟ =a +b+b ⋅ 2 ⎝b a⎠

⎛ a 2b⎞ d) f 4 ⎜ ⎟ =a +b+b 2 ⎝b a⎠

⎛ a 2b⎞ e) f 5 ⎜ ⎟ = −a + b 2 ⎝b a⎠

f) f 6 a + b 2 = ⎜⎜ ⎝− b

(

)

(

(

)

)

⎛ a − 2b ⎞ ⎟ a ⎟⎠

Culegere de probleme

144

AL - 478 Fie U , E , X ∈ M 2 (Z 6 ) (inelul matricilor de ordin doi cu coeficienţi

⎛ 3$ din Z 6 ) : U = ⎜⎜ ⎝ 5$ U⋅X=E ? ⎛ 2$ a) X = ⎜⎜ ⎝ 3$

⎛ a$ b$⎞ ⎛ 1$ 0$ ⎞ 5$ ⎞ ⎟ . Care este soluţia X a ecuaţiei: ⎟⎟ , E = ⎜⎜ ⎟⎟ , X = ⎜⎜ ⎟ 4$ ⎠ ⎝ 0$ 1$⎠ ⎝ c$ d$⎠

⎛ 1$ 3$ ⎞ ⎟⎟ b) X = ⎜⎜ 1$ ⎠ ⎝ 2$

⎛ 3$ 2$ ⎞ ⎟⎟ c) X = ⎜⎜ 5$⎠ ⎝ 2$

⎛ 4$ 2$ ⎞ ⎟⎟ d) X = ⎜⎜ 3$ ⎠ ⎝ 2$

⎛ 2$ 3$ ⎞ ⎟⎟ e) X = ⎜⎜ 1$⎠ ⎝ 5$

⎛ 1$ 5$⎞ ⎟⎟ f) X = ⎜⎜ 3$ ⎠ ⎝ 2$

5$ ⎞ ⎟⎟ 5$⎠

AL - 479 Să se calculeze determinantul de mai jos având elementele în corpul claselor de resturi modulo 7 : 1$ 0$ 3$ 2$ ∆= 0$ 1$

4$ 1$ 6$ 5$ . 5$ 1$

6$ 0$ 2$ 3$ a) ∆ = 1$

b) ∆ = 0$

c) ∆ = 2$

d) ∆ = 3$

e) ∆ = 4$

f) ∆ = 5$

⎛ 2$ ⎜ AL - 480 Fie A ∈ M 3 ( Z 3 ) , unde A = ⎜ 1$ ⎜$ ⎜0 ⎝ matricea A este inversabilă ? a) x$ = 0$

b) x$ = 2$

0$ x$⎞ ⎟ 1$ 0$ ⎟ , x$ ∈Z 3 . Pentru ce valori ale lui x$ ⎟ x$ 1$ ⎟⎠

c) x$ = 1$

e) matricea nu este inversabilă pentru nici o valoare a lui x$

{ }

d) x$ ∈ 1$ ,2$

{ }

f) x$ ∈ 0$ ,1$

Elemente de algebră

145

AL – 481 Să se calculeze în corpul claselor de resturi modulo 11 expresia:

⎛∧ ∧ ∧ ∧⎞ ∧ 8 7⎟ 9 ⎜3 E = ⎜ ∧ + 5+ ∧ ⋅ ∧ ⎟ ⋅ ∧ ⎜4 3 6 ⎟⎠ 2 ⎝ ∧

∧

a) E = 0 ;

∧

b) E = 1 ;

∧

c) E = 2 ;

∧

d) E = 3 ;

∧

e) E = 4 ;

f) E = 5 .

∧

AL – 482 Să se determine a ∈ Z 7 pentru care polinomul P ∈ Z 7 [ X ] , ∧

∧

P( x ) = x 6 + a x + 5 este ireductibil. ∧

a) a ∈ Z 7 ;

∧

∧

b) a ∈ ∅ ;

∧

c) a = 2 ;

∧

∧

d) a = 4 ;

⎧∧ ∧ ⎫ ⎩ ⎭

∧

e) a ∈ ⎨3, 6⎬ ;

∧

⎧∧ ∧ ⎫ ⎩ ⎭

f) a ∈ ⎨5, 6⎬

AL – 483 Pe mulţimea R ∗+ \ {1} se defineşte legea de compoziţie internă :

x ∗ y = x ln y . Se consideră afirmaţiile: A) R ∗+ \ {1},∗ este grup abelian B) (M,∗) este subgrup al grupului R ∗+ \ {1},∗ unde M = eα ,α ∈ Q ∗ . C) Aplicaţia f : R+∗ \ {1},∗ → R ∗ ,⋅ cu f ( x) = ln x şi " ⋅ " reprezintă înmulţirea,

(

)

( ) ( )

(

)

{

}

este un izomorfism de grupuri D) R ∗+ \ {1},∗,⋅ este un inel E)

( ) (R \ {1},∗,⋅) este un corp. ∗ +

Stabiliţi câte afirmaţii sunt corecte . a) nici una;

b) una;

c) două;

d) trei;

e) patru;

f) cinci.

AL – 484 Fie f k , k = 1, n , automorfismele corpului (C,+,⋅) , ce au proprietatea că :

f k (x ) = x, (∀) x ∈ R .

Să se calculeze S ( z ) =

n

∑ f (z ) . k =1

a) S(z) = 0 d) S(z) = Im z

k

b) S(z) = n e) S(z) = 2Re z

c) S(z) = Re z f) S(z) = 2Im z

Culegere de probleme

146

⎧

⎛z ⎝u

Al – 485 Fie corpul (M 2 ,+,⋅) , unde M 2 = ⎨M 2 ( z , u ) = ⎜⎜

⎩

⎫ − 5u ⎞ ⎟⎟; z, u ∈ R ⎬ iar z + 3u ⎠ ⎭

legile de compunere internă "+ " şi "⋅" sunt adunarea şi înmulţirea matricelor. Să se

determine izomorfismele f : (M 2 ,+,⋅) → (C,+,⋅) , cu proprietatea

f (α M 2 (z , u )) = α f (M 2 ( z , u )) (∀)α ∈ R , unde (C,+,⋅) este corpul numerelor complexe.

⎛z

− 5u ⎞ ⎛z ⎟⎟ = z − 5iu b) f1 ⎜⎜ z + 3u ⎠ ⎝u

⎛z

− 5u ⎞ ⎛z 3 5 ⎟⎟ = z + u + ui ; f 2 ⎜⎜ z + 3u ⎠ 2 2 ⎝u

⎛z

− 5u ⎞ ⎛z 3 5 ⎟⎟ = z − u + ui ; e) f1 ⎜⎜ z + 3u ⎠ 2 2 ⎝u

− 5u ⎞ 3 11 ⎟⎟ = z + u + ui ; z + 3u ⎠ 2 2

− 5u ⎞ 3 11 ⎟⎟ = z + u − ui z + 3u ⎠ 2 2

− 5u ⎞ 3 ⎛z ⎞ ⎟⎟ = z + u + i⎜ − 5u ⎟ z + 3u ⎠ 2 ⎝2 ⎠

a) f ⎜⎜ ⎝u c) f1 ⎜⎜ ⎝u d) f ⎜⎜ ⎝u

⎛z f 2 ⎜⎜ ⎝u

− 5u ⎞ ⎟ = z + 5iu; z + 3u ⎟⎠

⎛z f 2 ⎜⎜ ⎝u

− 5u ⎞ ⎟ = z − 3iu z + 3u ⎟⎠

− 5u ⎞ 3 5 ⎟⎟ = z + u − ui z + 3u ⎠ 2 2

⎛z

f) f ⎜⎜ ⎝u

AL – 486 Legile de compoziţie x ⊕ y = 3 x 3 + y 3 şi x ⊗ y = xy determină pe R o structură de corp comutativ. Pentru ce valori α , β ∈ R funcţia bijectivă

f : R → R, f (x ) = 3 αx + β determină un izomorfism între corpul numerelor reale (R,+,⋅) şi corpul (R,⊕,⊗) ? a) nu există α , β ∈ R ; d) α = 1, β = 0;

b) α , β ∈ R ; e) α = 2, β = 1;

c) α = β = 1 ; f) α = 1, β = 2

AL - 487 Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii în corpul claselor de resturi ⎪⎧3$ x + 4$ y = 5$ . modulo 11: ⎨ ⎪⎩7$ x + 3$ y = 8$ a) 9$ ,0$ b) 0$ ,9$ c) 6$ ,9$ d) 8$ ,9$ e) 5$ ,0$ f) 6$ ,0$

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Elemente de algebră

147

⎧⎪3$ x + 2$ y = 1$ AL - 488 Care sunt soluţiile sistemului: ⎨ în inelul Z12 ? ⎪⎩4$ x + 3$ y = 2$ a) x = 2$ , y = 7$

b) x = 1$, y = 4$ e) x = 11$, y = 2$

d) incompatibil

c) x = 10$ , y = 3$ f) x = 8$ , y = 3$

⎪⎧3$ x + 2$ y = 4$ AL - 489 Să se rezolve în inelul Z12 sistemul: ⎨ . ⎪⎩2$ x + 3$ y = 1$ b) x = 10$ , y = 7$ e) x = 2$ , y = 11$

a) x = 0$ , x = 2$ d) x = 4$ , y = 1$

c) x = 5$ , y = 2$ f) x = 11$, y = 8$

AL - 490 Să se rezolve în corpul claselor de resturi modulo 11, sistemul ⎧2$ x + 10$ y + z = 4$ ⎪⎪ următor: ⎨ x + 3$ z = 2$ . ⎪ $ $ $ $ ⎪⎩10 x + 2 y + 2 z = 1

(

)

a) 6$ ,3$ ,6$

(

)

b) 3$ ,6$ ,3$

(

)

c) 3$ ,3$ ,6$

(

)

d) 6$ ,6$ ,3$

( )

e) 6$ ,6$ ,1$

( )

f) 3$ ,3$ ,1$

⎧ x + y + z + u = 6$ ⎪ ⎪ x − y + 2$ z − u = 2$ AL - 491 Să se rezolve sistemul: ⎨ în corpul claselor de ⎪2$ x + y − z + u = 3$ ⎪ x + y + 3$ z − u = 2$ ⎩ resturi modulo 7. a) x = 1$, y = 10$ , z = 2$ , u = 4$

b) x = 2$ , y = 3$ , z = 1$, u = 4$

c) x = 2$ u, y = 1$ + 3$ u, z = 5$ + u, u = u

d) x = 2$ u, y = 1$ + 2$ u, z = 6$ + u

e) x = 1$ , y = 2$ , z = 3$ , u = 4$

f) x = 2$ , y = 3$ , z = 4$ , u = 5$

Culegere de probleme

148 AL - 492 Să se rezolve sistemul

∧ ∧ ∧ ⎧∧ x + y + z = 3 8 8 3 ⎪ ∧ ∧ ∧ ⎪∧ ⎨8 x + 8 y + 3 z = 0 în corpul claselor de resturi modulo 13. ⎪∧ ∧ ∧ ∧ ⎪8 x + 3 y + 8 z = 5 ⎩ ∧

∧

∧

a) x = 5, y = 2, z = 3; ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

b) x = 2, y = 5, z = 2;

∧

d) x = 1, y = 2, z = 2;

∧

∧

∧

∧

∧

∧

c) x = 4, y = 1, z = 2;

e) x = 2, y = 2, z = 5;

f) x = 2, y = 2, z = 7;

⎧λ$ x + y + z = 1$ ⎪⎪ AL - 493 Precizaţi valorile λ ∈ Z 4 pentru care sistemul: ⎨ x + λ$ y + z = λ$ ⎪ $ $2 ⎪⎩ x + y + λz = λ este incompatibil. a) λ ∈ 0$ ,2$ b) λ = 3ˆ,0 c) λ = 1ˆ,0ˆ d) λ ∈ 1$,3$ e) λ ∈∅ f) λ ∈ 1$ ,2$

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

⎧λ$ x + y + z = 0$ ⎪⎪ AL - 494 Care este condiţia ca sistemul: ⎨ x + λ$ y + z = 0$ să aibă numai soluţia ⎪ $ $ ⎪⎩ x + y + λz = 0 banală în inelul claselor de resturi modulo 4 ? a) λ$ = 0$

b) λ$ = 1$

d) λ$ ∈ Z 4

c) λ$ ∈∅

e) λ$ = 2$

f) λ$ = 3$

AL - 495 În corpul claselor de resturi modulo 5 să se afle restul împărţirii polinomului ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

2 x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 + x + 3 la polinomul 3 x 2 + 3 x + 4 . ∧

∧

a) x + 2

b) x + 1

∧

∧

d) x + 4

e) x + 5

c) x ∧

∧

f) 2 x + 1

Elemente de algebră

149

AL - 496 Să se determine cel mai mare divizor comun al polinoamelor f , g ∈Z 5 [ X ] : f = 3$ X 5 + 4$ X 4 + 3$ X 3 + 3$ X 2 + 2$ X + 2$ şi g = 2$ X 2 + 3$ X + 1$ . a) ( f , g ) = 1

c) X + 1$

b) g

d) 2$ X + 3$

f) X + 2ˆ

e) 2$ X + 1$

AL - 497 Să se descompună în factori ireductibili peste corpul Z 3 polinomul: f = x 3 + 2$ x 2 + x + 2$ ∈ Z [ X ] . 3

(

)(

(

)(

)

a) x − 1$ x 2 + x + 1$

)

d) x + 2$ x 2 + 1$

(

)(

)

c) x + 1$ x 2 + 1$

(

)(

)

f) x x − 1$ x − 2$

b) x + 1$ x 2 + x

(

(

e) x − 2$ x 2 − 1$

(

)(

)

)(

)

)

AL - 498 Să se determine p astfel încât polinomul 2$ x 3 + p + 2$ x + 1$ ∈ Z 3 [ X ] să fie ireductibil peste Z 3 . a) orice p din Z 3 satisface condiţia cerută b) nici un p din Z 3 nu satisface condiţia cerută

{ }

d) p = 1$

c) p ∈ 0$ ,1$

e) p = 0$

f) p = 2$

AL - 499 Să se determine m ∈ Z 5 astfel încât polinomul X 4 + mˆ X 3 + 2ˆ X 2 + 4ˆ X + 1ˆ ∈ Z [ X ] să aibă două rădăcini diferite. 5

ˆ = 0ˆ a) m

ˆ = 1ˆ b) m

ˆ = 2ˆ c) m

d) mˆ = 3ˆ

e) mˆ = 4ˆ

f) mˆ ∈ ∅

AL - 500 Produsul elementelor nenule într-un corp comutativ cu n elemente este: a) 1

b) –1

c) 1+1

d) (–1)+( –1)

e) ( –1)+ ( –1)+ ( –1)

f) 1+1+1

Culegere de probleme

150

AL – 501 Să se determine toate morfismele de grupuri f : (Q,+ ) → (Q,+ ) . b) f ( x ) = rx, x ∈ Q; r ∈ Z

a) f ( x ) = rx, x ∈ Q; r ∈ Q

c) f ( x ) = x, x ∈ Q

d) f ( x ) = − x, x ∈ Q

e) f ( x ) = nx, x ∈ Q, n ∈ N

f) f ( x ) = 0, x ∈ Q

AL – 502 Care trebuie să fie expresia lui f(x) pentru ca aplicaţia f : Q → C să fie un morfism de corpuri. a) d)

f (x ) = x + 1 f ( x ) = x + x −1

b) f ( x ) = x 2 e) f ( x ) = x

−1

c) f ( x ) = x f) Nici una dintre cele menţionate anterior.

AL – 503 Să se determine valoarea parametrului real m astfel încât polinomul P( x ) = x 4 − x 2 + 2 x − 1 + m să se dividă cu x+1. a) 0

b) –1

c) 3

d) 1

e) –1

f) 2

AL – 504 Să se determine câtul q şi restul r al împărţirii polinomului

f = 2 x 4 − 3x3 + 4 x 2 − 5 x + 6 la polinomul g = x 2 − 3 x + 1 . a) q = 2 x 2 + 3x + 11, r = 25 x − 5;

b) q = 2 x 2 + 3 x − 11, r = 25 x + 5;

c) q = 2 x 2 − 3 x + 7, r = 5 x − 1;

d) q = 2 x 2 + 2, r = x + 2;

e) q = 2 x 2 + 3 x − 6, r = − x + 2;

f) q = 2 x 2 , r = 2 x + 5;

AL - 505 Să se determine gradul polinoamelor f ∈ Z[ X ] astfel încât f(7)=5 şi f(15)=9. a) 2

b) Nu există asemenea polinom

c) 3

d) 4

e) 6

f) 8

Elemente de algebră

151

AL - 506 Să se determine restul împărţirii polinomului: f = ( cos a + x sin a ) , n

n ∈ N * , a ∈ R la polinomul g = x 2 + 1.

a) x cos na + sin na

b) x sin na + cos na

c) cos na + i sin na

d) nx + 1

e) x tgna

f) x + 1

AL - 507 Un polinom P împărţit la x − α dă restul β , iar împărţit la x − β , dă restul α . Fie R1 , respectiv R2 , resturile împărţirii polinomului P(P(x)) la x − α , respectiv la x − β . În funcţie de α şi β să se determine R1 şi R2 . a) R1 = α , R2 = β

b) R1 = β, R2 = α

c) R1 = α 2 , R2 = β 2

d) R1 = β 2 , R2 = α 2

e) R1 = R2 = αβ

f) R1 = α − 1, R2 = α + 1

AL - 508 Fie P un polinom care împărţit la x 2 − 1 are restul x − 2 şi câtul Q(x), iar împărţit la x 2 − 4 are restul x + 1 şi câtul H(x). Fie R1 restul împărţirii lui Q(x) la x − 2 şi R2 restul împărţirii lui H(x) la x + 1 . Să se determine R1 şi R2 .

a) R1 = R2 = 1 d) R1 = 0, R2 = 3

b) R1 = −3, R2 = 0 e) R1 = R2 = 0

c) R1 = −3, R2 = 3 f) R1 = R2 = −1

AL - 509 Fie P un polinom cu coeficienţi reali. Dacă resturile împărţirii lui P la x − a şi x − b , ( a ≠ b) sunt egale, să se determine restul împărţirii lui P

la polinomul ( x − a )( x − b) . a) ax + b

b) bx + a

c) P(a)

d) bx + 1

e) x + a

f) x + b

AL - 510 Să se determine restul împărţirii polinomului

P( x ) = ( x − 2 ) a) x + 1

b) x − 1

2n

+( x − 1) n −1 la polinomul Q( x ) = x 2 − 3x + 2 . c) 0

d) x + 2

e) 2 x + 1

f) 2 x − 1

Culegere de probleme

152

AL - 511 Fie f = X 2 n +1 + aX 2 n + bX 2 n −1 − 1. Să se determine a , b ∈ R astfel încât restul împărţirii lui f la x − 1 să fie egal cu 5, iar restul împărţirii lui f la x + 1 să fie egal cu –3, apoi să se găsească restul împărţirii lui f la X 2 − 1 .

a) a = 2, b = 3 ; 5x − 3

b) a = 2, b = 3 ; − 3x + 5

c) a = 2, b = 3 ; 4 x + 1

d) a = 2, b = 1; 5x − 3

e) a = 2, b = 1; − 3x + 5

f) a = 2, b = 1; 3x − 4

AL - 512 Se consideră polinomul: f ( X ) = X 4 + X 3 + aX + b , f ∈ R[ X ] .

Să se determine parametrii a , b ∈ R astfel ca restul împărţirii lui f ( X + 2) la

X + 1 să fie –18 , iar restul împărţirii lui f ( X − 2) la X − 1 să fie egal cu –12 .

a) a = −4, b = −16 d) a = 6, b = 12

b) a = 4,b = 16 e) a = 10, b = 16

c) a = 5,b = 11 f) a = 9, b = 10

AL - 513 Fie f ∈ R[ X ] un polinom de grad cel puţin doi. Dacă f dă restul 2

prin împărţirea la X + 1 şi ( X + 2 ) f ( X ) − X f ( X + 3) = 1 , să se determine restul

împărţirii lui f la X 2 − X − 2 . a)1 − X

b)1 + X

c) 1

AL - 514 Fie f ∈ R[ X ] , f = X ( X + 1)

d) 0 2 n +1

e) X 2 − X − 2

f) X

+ (m − 1) X n unde m ∈ R .

Determinaţi condiţia necesară şi suficientă pentru ca polinomul f să fie divizibil prin polinomul g = X 2 + X + 1 . a) m = −1

b) m = 1

c) m = −2

d) m = 2

e) m ∈ R

f) m ∈ ∅

AL - X. 515 Un polinom împărţit la x-1, x+1 şi x+4 dă respectiv resturile 15,7 şi –80. Să se afle restul împărţirii polinomului prin ( x − 1)( x + 1)( x + 4 ) .

a) 5 x 2 + 4 x + 16 d) − 5 x 2 + 4 x + 16

b) 5 x 2 − 4 x + 16 e) − 5 x 2 − 4 x + 16

c) 5 x 2 − 4 x − 16 f) − 5 x 2 + 4 x − 16

Elemente de algebră

153

AL - 516 Să se determine toate polinoamele de gradul trei care se divid la x-1, iar resturile împărţirii la x-2, x-3 şi x-4 sunt egale.

( c) α (x e) α (x

( d) α (x − 9 x f) α (x + 9 x

) − 26 x − 18) − 26 x − 18)

a) α x 3 − 9 x 2 + 26 x − 18 3

3

− 9x + 9x2 2

) + 26 x + 18) + 26 x + 18) α ∈ R

b) α x 3 + 9 x 2 + 26 x − 18 3

2

3

2

AL - 517 Să se determine parametrii reali m şi n astfel încât polinomul f = 2 X 29 + X 23 + X 12 + mX 11 + X 8 + 5 X 6 + nX 2 + 2 să fie divizibil prin polinomul

g = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. a) m = −3, n = 1 d) m = 1, n = −3

b) m = −3, n = −1 e) m = 1, n = 3

c) m = 0, n = 0 f) m = 0, n = −3

AL - 518 Determinaţi restul împărţirii polinomului

P( x ) = x n + x n −1 + ... + x + 1 , ( n ≥ 3) la polinomul Q( x ) = x( x − 1) . 2

a) nx 2 + n( n − 3) x + 1

1 1 b) n( n − 1) x 2 − n( n − 3) x + 1 2 2

1 1 c) n(n + 1) x 2 + n( n + 3) x + 1 2 2

d) (n − 1) x 2 + 2nx + 1

1 e) n(n + 1) x 2 + n( n − 1) x + 2 2

f)

1 (n + 1) x 2 + 2nx + 3 2

AL - 519 Să se determine restul împărţirii polinomului P( x ) = x 2 n − x n + x 4 + 1 ,

prin polinomul Q( x ) = ( x − 1) . 2

a) nx − 2 d) (n − 4) x + n + 2

b) (n + 1) x − n − 2 e) (2n + 1) x − 3

c) (n + 4) x − n − 2

f) (2n − 1) x + n − 2

Culegere de probleme

154

AL - 520 Fie P un polinom cu coeficienţi reali de grad mai mare sau egal cu 3, iar R = mX 2 + nX + p restul împărţirii lui P prin produsul X 2 − 1 ( X − 2 ) . Să se determine m , n şi p astfel încât resturile împărţirii lui P prin X − 1, X − 2 şi X + 1 să fie, respectiv , − 2 , 3, − 6 .

(

)

a) m = 1,n = 2, p = −1

b) m = 1,n = −1, p = 2

c) m = −7,n = 26, p = −21

d) m = 1,n = 2, p = −5

e) m = −1,n = 3, p = 1

f) m = 1,n = 2, p = 3

AL - 521 Determinaţi puterile naturale n pentru care polinomul

(

)

f = X 2 + X +1

3n

+ ( 2 X − 2)

3n

este divizibil prin g = X 2 − X + 1 .

a) n = 3 p, p ∈N

b) n = 3 p + 1, p ∈N

c) n = 3 p + 2, p ∈N

d) n = 2 p, p ∈N

e) n = 2 p + 1, p ∈ N

f) n ∈N

AL - 522 Să se determine parametrii a,b∈ R astfel încât polinomul P( x ) = 2 x 4 − 2 x 3 + ax + b , să fie divizibil cu Q(x ) = x 2 − 3 x + 2 .

a) a = 12 b = - 12 d) a = 16 b = - 14

b) a = 16 b = - 16 e) a = 15 b = - 15

c) a = - 16 b = 16 f) a = 13 b = - 13

AL – 523 Să se determine restul R(x) al împărţirii polinomului Q(x ) = x 3n −1 + ax + b la x2+x+1, n ∈ N +.

(

)

a) R( x ) = a 2 − 1 x + b 2 − 1

d) R( x ) = (a − 1)x + b − 1

b) R ( x ) = (a + 1)x + b + 1

e) R( x ) = (a − 1)x + 1 − b

c) R ( x ) = ax + b

f) R( x ) = (a − 1)x + b + 1

AL - 524 Să se determine polinomul de gradul trei, care împărţit la x 2 − 3 x dă restul 6 x − 15 şi împărţit la x 2 − 5 x + 8 dă restul 2 x − 7 . a) x 3 − 7 x 2 + 14 x − 13 b) 2 x 3 − x + 1 c) x 3 − 6 x 2 + 15 x − 15 d) x 3 − 6 x 2 + 14 x − 15 e) 2 x 3 − 6 x 2 + 15 x − 15 f) x 3 − 7 x + 1

Elemente de algebră

155

AL - 525 Să se determine λ şi µ ∈ Q astfel încât un cel mai mare divizor comun al

polinoamelor f = 2 X 3 − 7 X 2 + λX + 3 şi g = X 3 − 3 X 2 + µX + 3 să fie un polinom de gradul doi. a) λ = −1,µ = 2

b) λ = µ = 0

c) λ = 2,µ = 0

d) λ = 2, µ = −1

e) λ = µ = −1

f) λ = 0, µ = 2

AL - 526 Fie f ∈ Z[ X ] , f = a 0 + a1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 . Determinaţi coeficienţii

polinomului f , dacă f (1) + f (2) + ... + f (n) = n 4 , (∀) n ∈ N * .

a) f = −1 + 3 X − 5 X 2 + 4 X 3

b) f = 2 − 2 X − 3 X 2 + 2 X 3

c) f = −1 + 4 X + 6 X 2 + 4 X 3

d) f = −1 + 4 X − 6 X 2 + 4 X 3

e) f = −2 − 2 X + 3 X 2 − 2 X 3

f) f = 1 − 4 X − 6 X 2 + 4 X 3

AL - 527 Să se determine polinomul P ∈ R [ X ] care satisface condiţiile:

( X − 1)[ P( X ) − P( X − 1)] − 4 P( X ) = 0 , (∀) x ∈ R

şi P(0) = 24.

a) X ( X − 1)( X − 3)( X − 4) + 24

b) − 2( X + 1)( X − 1)( X − 3)( X − 4)

c) ( X − 1)( X − 2)( X − 3)( X − 4)

d) X ( X − 1)( X − 2)( X − 3) + 24

e) X ( X − 5)( X + 1)( X − 2) + 24

f) X + 24

AL - 528 Să se determine toate polinoamele P ∈ R[ X ] , astfel încât

P( x + 1) = P( x ) + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 pentru orice x ∈R .

a) k x 3 , k ∈ R

b) x 4 + x 3 − 5

c) x 4 + k , k ∈ R

d) x 5 + k , k ∈ R

e) k ∈R

f) x 4 + x + k , k ∈ R

Culegere de probleme

156

AL - 529 Fie f ∈ Z[ X ] un polinom de grad oarecare, care pentru patru valori

întregi diferite este egal cu p, p fiind un număr prim. Pentru ce valori întregi ale lui x avem f ( x ) = 2 p ? a) Nu există x ∈ Z

b) Pentru orice x ∈ N

c) Pentru x = 2 k + 1, k ∈ Z

d) Pentru orice x ∈ Z

e) Pentru x = 2 k , k ∈ Z

f) Pentru x număr prim

AL - 530 Dacă polinomul f ∈ Z[ X ] are proprietatea că f(0) şi f(1) sunt numere impare, atunci:

a) f are numai rădăcini întregi

b) f are numai rădăcini întregi pare

c) f are numai rădăcini întregi impare

d) f nu are rădăcini întregi

e) f are numai rădăcini întregi pozitive

f) f are numai rădăcini întregi negative

AL - 531 Să se determine toate valorile parametrilor a , b ∈ R pentru care există

[

]

polinoame P ∈ R[ X ] care verifică identitatea x P( x ) − b = ( x − a ) P( x + a ) , (∀) x ∈ R . a) b = 0, a ∈ R

b) a = 0, b ∈ R \ {0}

c) a ≠ b şi a ≠ 0, b ≠ 0

d) a = b sau a ≠ 0 şi b = 0

e) a , b ∈R

f) a , b ∈ R \ {0}

AL - 532 Fie polinomul f = X 4 − 2aX 3 + b 2 X 2 − bX + 1, a , b ∈ R . Care din următoarele afirmaţii este adevărată pentru orice valori ale numerelor reale a şi b .

a) f are cel mult o rădăcină reală

b) f nu are rădăcini reale

c) f are 4 rădăcini reale

d) f are cel puţin două rădăcini reale

e) f are cel mult două rădăcini reale

f) a + ib ; a , b ∈ R este rădăcină a polinomului

Elemente de algebră

157

AL - 533 Să se determine a ∈ R astfel încât rădăcinile x1 , x 2 , x3 ale ecuaţiei

x 3 − 6 x 2 + ax + a = 0 , să verifice relaţia ( x1 − 1) 3 + ( x2 − 2) 3 + ( x3 − 3) 3 = 0 . a) a ∈ {− 1,1,3},

⎧ 27 5 7 ⎫ , , ⎬, ⎩ 5 3 2⎭

c) a ∈ ⎨ ,

⎧ 5 16 27 ⎫ , ⎬, ⎩3 5 2 ⎭

f) a ∈ {2,3,5}

b) a ∈ ⎨

⎧ 7 16 27 ⎫ , ⎬, ⎩2 3 2 ⎭

d) a ∈ ⎨ ,

e) a ∈ ⎨ ,

⎧ 5 16 27 ⎫ , ⎬, ⎩2 3 4 ⎭

AL - 534 Determinaţi ordinul de multiplicitate m ∈ N al rădăcinii x = 2 a ecuaţiei : x 5 − 5x 4 + 7 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 8 = 0 .

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

f) 5

AL - 535 Fie P ∈ R[ X ] , P = aX 3 + bX 2 + cX + d , a , b ≠ 0 . Să se determine

relaţia dintre coeficienţii a, b, c, d pentru care rădăcinile lui P sunt în progresie aritmetică. a) 3b 3 + 27ab + 9abc = 0 d) 3a 3 + 27abc − 9bd = 0

b) 2b 3 − 27a 2 d + 9abc = 0 e) 3c 3 + 27abc = 0

c) 2b 3 + 27a 2 d − 9abc = 0 f) 2c 3 + 27a 2 d − 9abc = 0

AL - 536 Fie polinomul P ∈ R[ X ] , P = aX 3 + bX 2 + cX + d , a , d ≠ 0 . Să se

determine relaţia dintre coeficienţii a, b, c, d pentru ca rădăcinile polinomului P să fie în progresie geometrică. a) a 2 b = c 2 d d) ac 3 = b 3 d

b) a 2 b 2 = c 2 d e) ac = bd

c) ab 3 = c 3 d f) a 3 c = b 3 d

AL - 537 Să se determine valorile lui m ∈ R pentru care produsul a două rădăcini 2m = 0 este egal cu 1. ale ecuaţiei x 3 − 3x − 2 m +1

a) m = 0

b) m ∈{2,5}

c) m ∈ R

d) m ∈ ∅

e) m = −2

f) m ∈{− 5,7,10}

Culegere de probleme

158

AL - 538 Care este relaţia dintre a şi b atunci când ecuaţia x 3 − 3ax + 2ab = 0 ,

a , b ∈R \ {0} , are o rădăcină dublă.

a) 2b = 3a

b) b 2 = a 2

d) a 3 = 5b

c) b 2 = a

e) a = 2b

f) a = b

AL - 539 Arătaţi că ecuaţia x 3 + (2m − 5) x 2 + ( 9 − 5m) x + 2( m − 3) = 0 , m ∈ R ,

admite o rădăcină x1 independentă de m şi apoi determinaţi m astfel încât : 1 log 10 x 2 − x 3 = log 10 ( 6m + 5) , x 2 şi x 3 fiind celelalte rădăcini ale aceleiaşi ecuaţii. 2 a) m1 = 4, m2 = − d) m =

1 2

1 2

b) m1 = 3, m2 = 1 e) m1 =

c) m = 2

1 , m2 = 3 2

f) m = 5

AL - 540 Să se determine m ∈ R ştiind că rădăcinile x1 , x 2 , x 3 ale ecuaţiei x 3 + 2 x 2 − mx + 1 = 0 satisfac relaţia x14 + x 24 + x 34 = 24 .

a) m = 0, m = −1

b) m = 1, m = −1

c) m = 0, m = 1

d) m = 0, m = −8

e) m = −1, m = 3

f) m = 4, m = 0

AL - 541 Să se determine m ∈ R astfel încât rădăcinile x1 , x 2 , x 3 ale ecuaţiei

x 3 + x + m = 0 , să verifice egalitatea x15 + x 25 + x 35 = 10 . a) m = 1

b) m = 2

c) m = −1

d) m ∈ ∅

e) m = −2

f) m ∈ R

AL - 542 Dacă x1 , x 2 , x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 − x + 1 = 0 , să se calculeze

expresia : E = a) E = 3

b) E = −3

x12 + x 22

+

x 32 c) E = 2

x 22 + x 32

+

x 32 + x12

x12 x 22 d) E = −2

. e) E = −1

f) E = 1

Elemente de algebră

159

AL - 543 Se consideră ecuaţia x 3 + ax 2 + ax + a = 0 , a ∈ C , cu rădăcinile

(

)

2

x1 , x 2 , x 3 . Să se calculeze expresia : E = x13 + x 23 + x 33 + 1 .

a) E = (a + 1)

b) E = (a − 1)

6

(

)

d) E = a 3 − 1

2

(

6

)

c) E = a 3 + 1

e) E = a 6 + 1

2

f) E = a 6 − 1

AL - 544 Dacă x1 , x 2 , x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , a , b, c, d ∈ R * , să se formeze ecuaţia în y care are ca rădăcini : 1 1 1 1 1 1 + , y2 = + , y3 = + . y1 = x2 x3 x 3 x1 x1 x 2

⎛ ⎝

b) d ⎜ y +

a) by 3 + cy 2 + dy + a = 0

3

2

c⎞ c⎞ c⎞ ⎛ ⎛ ⎟ + c⎜ y + ⎟ + b⎜ y + ⎟ − a = 0 d⎠ d⎠ d⎠ ⎝ ⎝ 3

3

2

1⎞ 1⎞ 1 1 ⎛ ⎛ d) ⎜ y + ⎟ + ⎜ y + ⎟ + y + + = 0 ⎝ ⎝ a⎠ b⎠ c d

c) dy 3 + cy 2 + by + a = 0 2

c⎞ c⎞ c⎞ ⎛ ⎛ ⎛ e) d ⎜ y + ⎟ − c⎜ y + ⎟ + b⎜ y + ⎟ − a = 0 ⎝ ⎝ ⎝ d⎠ d⎠ d⎠ 3

2

c⎞ c⎞ c⎞ ⎛ ⎛ ⎛ f) d ⎜ y − ⎟ − c⎜ y − ⎟ + b⎜ y − ⎟ − a = 0 d⎠ d⎠ d⎠ ⎝ ⎝ ⎝ AL - 545 Dacă x1 , x 2 , x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 + x 2 − 3 = 0 , să se precizeze care din ecuaţiile următoare are drept rădăcini : y 1 = x 2 + x 3 , y 2 = x 3 + x1 , y 3 = x 1 + x 2 .

a) y 3 − y + 2 = 0

b) 2 y 3 − y − 1 = 0

c) 2 y 3 + y + 7 = 0

d) y 3 + 2 y 2 + y + 3 = 0

e) y 3 + y − 2 = 0

f) y 3 − 2 y 2 + y − 3 = 0

Culegere de probleme

160

AL - 546 Ştiind că ecuaţia : x 3 − ( a + 2) x 2 + 2(a + 2) x − 8 = 0 , admite şi rădăcini

independente de a, să se determine mulţimea tuturor valorilor lui a pentru care toate rădăcinile ecuaţiei sunt strict pozitive. a) [ − 4,4]

b) (0,+∞)

c) ( − 1,0)

d) [4,+∞)

(

e) ( − ∞,−4) ∪ ( 4,+∞ )

)

(

f) ( − ∞,−4]

)

AL - 547 Să se rezolve ecuaţia : x 3 − 2 1 + 2 x 2 + 1 + 4 2 x − 2 = 0 , ştiind că

ea admite rădăcina 1 + 2 . a)1 + 2 , 1 − 2 , 2

b)1 + 2 , 1 − 2 , 2 2

c)1 + 2 , − 1 + 2 , 2

d) 1 + 2 , − 2, − 2

e) 1 + 2 , 1 + 2 , 1 + 2

f) 1 + 2 , 1 − 2 , − 2 2

AL - 548 Să se determine a , b ∈ R astfel ca ecuaţia x 4 − 4 x 3 + ax 2 + bx + 17 = 0 să aibă rădăcinile în progresie aritmetică.

a) a = 2, b = −17

b) a = 12, b = −19

c) a = −52, b = 12

d) a = −14,b = 36

e) a = 21, b = 36

f) a = 52, b = 40

AL - 549 Fie ecuaţia x 4 − 7 x 3 + 17 x 2 + mx + n = 0 . Să se rezolve şi să se afle m şi n ştiind că admite o rădăcină dublă şi că suma celorlalte două rădăcini este 5.

a) x1 = x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, m = −17, n = 6 b) x1 = x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, m = 6, n = −17 c) x1 = x2 = 2, x3 = 1, x4 = 5, m = 1, n = 1 d) x1 = x2 = 1, x3 = 1, x4 = 5, m = 3, n = 4 e) x1 = x2 = 3, x3 = 2, x4 = 3, m = −3, n = 3 f) x1 = x2 = 2, x3 = 4, x4 = 1, m = 3, n = −3

Elemente de algebră

(

161

)

AL - X. 550 Să se rezolve ecuaţia: x 3 − 2 x 2 + 1 + 2 2 x + 2 = 0 , ştiind că admite

rădăcina 1 − 2 . a) x1 = 1 − 2 , x2,3 =

1+ 2 ± i 5+ 6 2 2

b) x1 = 1 − 2 , x 2,3 =

±i 5+6 2 2

c) x1 = 1 − 2 , x 2 = 1 + 2 , x 3 = 1 + 2

d) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 1 − 2

e) x1 = 1 − 2 , x 2 ,3 = ± 5 + 6 2

f) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 5 + 6 2

AL - 551 Să se determine valorile raţionale ale parametrilor a şi b astfel încât 1 + 2 să fie rădăcină a ecuaţiei : x 4 + ax 3 + bx 2 + 5x + 2 = 0 .

a) a = −3, b = −1

b) a = 3, b = 1

c) a = −3, b = 1

d) a = 2, b = 1

e) a = −2, b = −1

f) a = −2, b = 1

AL - X. 552 Să se determine toate valorile parametrilor reali a şi b pentru care ecuaţia x 4 + 3x 3 + 6 x 2 + ax + b = 0 are cel mult două rădăcini reale.

a) a = 1, b = 2

b) a ∈R , b = 5

c) a ∈R \ {1}, b = 2

d) a , b ∈ R

e) a = −2, b = 3

f) a ≠ 1, b ≠ 3

AL - 553 Să se determine parametrul real a astfel încât ecuaţia : x 4 + 2 x 3 + ax 2 + 2 x + 1 = 0 , să aibă toate rădăcinile reale.

a) a ∈( − ∞,3]

b) a ∈( − 6,3]

c) a ∈( 0,1)

d) a ∈( − ∞,−6]

e) a = 0

f) a = 1

AL – 554 Se consideră ecuaţia

x 4 − (2 m − 1)x 3 + 2 m x 2 − (2 m − 1)x + 1 = 0 Să se determine m ∈R astfel încât ecuaţia să aibă două rădăcini reale, distincte, negative. a) m = log 2 3 d) m < 0

b) m = 2

e) m ∈ (0,1)

c) m ∈ ∅

f) m ∈ (2, ∞ )

Culegere de probleme

162

AL - 555 Precizaţi mulţimea A căreia îi aparţine cel mai mic număr întreg k pentru care ecuaţia x 4 − 2( k + 2) x 2 − 12 + k 2 = 0 are numai două rădăcini reale distincte.

a) A = {− 6,−5,−4}

b) A = {− 2,−11 ,}

c) A = {− 3,2,7}

d) A = {− 1,0,7}

e) A = ∅

f) A = {0,1,2}

AL - 556 Să se determine toate polinoamele de gradul n ∈ N * , P ∈ R[ X ] , care

verifică identitatea :

( )

( ) (

)

P(1) + P( x ) + P x 2 + ... + P x n = 1 + x + x 2 + ... + x n P( x ) , (∀) x ∈ R .

(

)

b) k x 2 − x

(

)

e) k x 4 − 3

a) k x 2 + 1

d) k x 2 + x

(

)

c) k x 3 − x

(

)

(

)

f) k x 2 − 2

(

)

AL - X. 557 Să se determine parametrii reali m, n şi p pentru care ecuaţiile de gradul trei : (m + 1) x 3 + ( m + n + p − 1) x 2 + ( 3m − n − 2 p) x + 3 − m − 2n − 2 p = 0 şi x 3 + x + 1 = 0 au aceleaşi rădăcini. a) m = n = p = 1

b) m,n, p ∈ φ

d) m = 1 − n − p, n, p ∈ R

e) m =

f) m =

4 p −1 p−2 ,n = , p = −5 3 3

c) m =

p+2 1− 4p ,n = , p ∈R 3 3

1− 4p p+2 ,n = , p ≠ −5 3 3

Elemente de algebră

163

AL - 558 Să se determine parametrii reali a, b şi c ştiind că ecuaţiile x 4 + ax 2 + bx + 2 = 0 şi x 3 − 3x + 2c = 0 au o rădăcină dublă comună. a) a = −1,b = −2,c = 1 a = −1, b = 2, c = −1

b) a = 1, b = 2, c = 2

c) a = −1, b = 3, c = −1 a = 1, b = −3, c = 1

d) a = −2, b = 3, c = −1

e) a = −1, b = 3, c = 1 a = 1, b = 2, c = −1

f) a = b = c = 1

AL - 559 Să se determine suma coeficienţilor polinomului obţinut din dezvoltarea

(10x

a) 0

8

)

− x4 − 8

c) 2 1997

b) 1

1997

d) 101997

. 8 e) C1997

f) 1997

AL - 560 Să se determine coeficientul lui x 1997 din expresia :

E = (1 + x )

a) 0

1997

+ x(1 + x )

b) 1

1996

+ x 2 (1 + x )

c) 1996

1995

+ ... + x 1996 (1 + x ) + x 1997 , x ∈R \ {− 1,0} .

d) 1998

e) 1997

f)1999

AL - 561 Să se determine toate valorile lui m ∈ R astfel încât ecuaţia :

x 4 + x 3 − 2 x 2 + 3mx − m 2 = 0 , să admită numai rădăcini reale. a) φ

⎡ 1 ⎣ 4

⎤ ⎦

b) ⎢− ,−1⎥

1⎤ ⎡ c) ⎢− 1, ⎥ 4⎦ ⎣

⎡ 1 ⎤ ,1 ⎣ 4 ⎥⎦

d) ⎢−

e) ( − 4,1]

⎡1 ⎤ ⎦ ⎣

f) ⎢ ,2⎥ 4

AL - 562 Să se rezolve ecuaţia

5x5 − 4 x 4 + 5x3 + 5x 2 − 4 x + 5 = 0 ⎧ 3 ± i 21 1 ± i 3 ⎫ ⎧ 2 ± i 21 1 ± i 3 ⎫ ⎧ 2 ± i 21 1 ± i 3 ⎫ ; ; ; ⎬ b) ⎨3; ⎬ c) ⎨− 1; ⎬ 5 5 5 2 ⎭ 2 ⎭ 3 ⎭ ⎩ ⎩ ⎩

a) ⎨1;

⎧

d) ⎨− 1;

⎩

⎧ 3 ± i 3 1± i 2 ⎫ ⎧ 2 ± i 3 1± i 2 ⎫ 1 ± i 21 1 ± i 3 ⎫ ; ; ; ⎬ e) ⎨− 1; ⎬ f) ⎨− 1; ⎬ 3 2 3 2 ⎭ 3 ⎭ 2 ⎭ ⎩ ⎩

Culegere de probleme

164 AL - 563 Ştiind că ecuaţia

2ax 5 + 2(a + b )x 4 + (2b + 3)x 3 + 2ax 2 + (2a + b − 2)x + b + 1 = 0 este reciprocă să se calculeze suma rădăcinilor negative ale acesteia a) –5

c) −

b) –6

9 2

e) −

d) –1

1 2

f) −

3 2

AL - 564 Determinaţi polinomul de grad minim cu coeficienţi raţionali care admite ca 4 5 rădăcini x1 = − şi x 2 = . 2 − 3i 1− 5 a)13 X 4 + 46 X 3 − 13 X 2 + 30 X + 100

b)13 X 4 − 46 X 3 + 13 X 2 + 30 X − 100

c) X 4 − 5 X 2 + 129

d) X 4 + 10 X 3 − X 2 + 5

e) X 4 − 3 X 2 + 5 X + 6

f) X 4 − 9 X 2 + 81

AL - 565 Determinaţi modulul rădăcinilor ecuaţiei 9 x 4 + 8 x 3 + 14 x 2 + 8 x + 9 = 0 . a) 2

b) 1

c) 3

d) 0

e)

2

f)

3

AL - 566 Să se determine a ∈ R * astfel încât ecuaţia ax 3 − x 2 − ( a + 2) x − 2a = 0 să aibă o rădăcină complexă nereală de modul egal cu 1. a) a = 1

b) a = −1

c) a = 2

d) a = −2

e) a =

1 2

f) a = −

1 2

AL - 567 Să se determine a ∈ R astfel încât ecuaţia x 4 + 2 x 3 + ax 2 + 2 x + 1 = 0 să aibă numai două rădăcini reale. a) a ∈( − ∞,2)

b) a ∈( 2,+∞)

c) a ∈( 2,3]

d) a ∈(1,+∞ )

e) a ∈ (−6,2]

f) a ∈ ∅

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE

Culegere de probleme

166 (simbol TG )

TG - 001

Corzile

[ AB ] şi [CD ]

ale cercului C ( O, r ) sunt perpendiculare şi se

intersectează în punctul P. Determinaţi valoarea parametrului m pentru care are loc relaţia: uur uur uuur uuur uuur r PA + PB + PC + PD + m ⋅ PO = 0

a) -1;

b) -2;

c) -4;

d) 4;

TG - 002 Se consideră vectorii

r

r

r r

a = 4i + j

r

r

şi

r

r

r

e) 2;

f) 1.

r

b = 2i − 3 j

r

Exprimaţi vectorul v = 5i − 4 j în funcţie de a şi b . r 1r 5r r r r r r a) v = a + b b) v = −2a + b c) Imposibil: a şi b sunt coliniari 2 2

r

d) v =

1r 2

3r a+ b

r

e) v =

2

r

1r 9r a+ b 4 2

r 1r

f) v = a + b 2

TG - 003 În triunghiul dreptunghic ABC suma catetelor este AB + AC = 1 + 3 iar

înălţimea din vârful A are lungimea h =

3 2

. Să se determine lungimea ipotenuzei şi

măsura unghiului B. a) a = 2 3, Bˆ =

π 6

π a = 2 3, Bˆ = 3

b) a = 2, Bˆ =

π 6

π a = 2, Bˆ =

π π d) a = 2, Bˆ = e) a = 2 + 3, Bˆ = 4 4

3

sau

c) a = 2 + 3, Bˆ =

π 6

π a = 2 + 3, Bˆ =

3

π f) a = 4, Bˆ = 4

sau

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie TG - 004 Fie A ( 3,1) , B ( 2, 5 ) , C ( −1, 3) , şi

(

rr

)

167

D ( −4, −5 ) patru puncte în planul R 2

raportat la reperul cartezian O, i, j . Punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor AC respectiv BD. uuur Determinaţi coordonatele şi lungimea vectorului MN. Exprimaţi MN în funcţie de

uuur

uuur

AB şi CD .

uuur

r

r

a) MN = −2i − 2 j ; MN = 2 2;

uuur

MN =

uuur

1 uuur uuur AB + 5CD 2

(

r

)

r

c) MN = 2i + 2 j ; MN = 6;

uuur

MN =

uuur

uuur

uuur

( 7 AB + 5CD ) 2

1

r

r

e) MN = −2i − 2 j ; MN = 2 2;

uuur

MN =

1 uuur uuur AB + CD 2

(

)

uuur

r

ur

b) MN = 2i − 2 j ; MN = 2 2;

uuur

MN =

uuur

1 uuur uuur AB + 5CD 2

(

r

)

r

d) MN = 2i − 2 j ; MN = 6;

uuur

1

uuur

r

uuur

1

MN =

uuur uuur

(9 AB + CD ) 2 r

f) MN = 2i + 2 j ; MN = 2 2;

MN =

uuur uuur

( 7 AB + CD ) 2 r

r nr

TG - 005 Determinaţi parametrii reali m şi n aşa încât vectorii a = (1 − m ) i +

r r nr b = − i + 4m j să fie vectori ortogonali în R 2 . 5 a) m =

1

1 , n = 0 sau m = − , n = 0 ; 4 4

1 1 c) m = − , n = 3 sau m = − , n = −3 ; 3 3 e) m =

1

1 , n = 3 sau m = − , n = −3 ; 2 2

b) m =

d) m =

f) m =

1 5

, n = 3 sau m =

1

5

5

j şi

, n = −3 ;

1

1 , n = 0 sau m = − , n = 0 5 3

1 4

1 , n = 0 sau m = − , n = −3

2

Culegere de probleme

168

TG - 006 Vârfurile triunghiului ABC au coordonatele A ( −5,8 ) , B ( −2, a ) şi

C ( b,1) . Determinaţi aria triunghiului ABC ştiind că centrul său de greutate este G (1,1) . 231

c)

a) 189

b)

d) 231

e) Nu există un astfel de triunghif)

2

189 2

201 2

TG - 007 Fie ABCD un paralelogram, O punctul de intersecţie al diagonalelor şi M un punct arbitrar în plan. Determinaţi parametrul α pentru care are loc relaţia:

uuur uuur

MA ⋅ MC = OM a) −

1

b) -1

4

2

2

+ α ⋅ AC .

c) 2

d) 1

e)

1

f) -2

4

uuur

TG - 008 Se consideră hexagonul regulat ABCDEF. Să se exprime vectorul AF în r uuur r uuur funcţie de a = AB şi b = BC .

r r

r

a) 2a − b

r r

r

c) b + a

b) b − 2a

r r

r r

r r

e) b − a

d) 2b + a

f) 2a + b

TG - 009 Fie ABC un triunghi oarecare şi punctul N ∈ ( AC ) astfel încât

uuur

uuur

uuur

2AN = CN . Să se exprime vectorul BN în funcţie de AC şi BC .

uuur 1 uuur

a) BC +

3

AC

uuur uuur

d) 3BC + AC

uuur uuur

b) 3BC − AC

uuur 2 uuur

e) BC −

3

AC

uuur

uuur

c) BC − 2 AC

f)

1 uuur uuur BC − 2 AC 2

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

169 r

r

r

TG - 010 Să se determine parametrul real m aşa încât vectorii a = ( m + 1) i + 3m j şi

r

r

r

b = ( m − 1) i + m j să aibă aceeaşi lungime şi să fie perpendiculari. 1 a) + ; 2

b) 2;

c) 0;

d) -2;

1 f) − ; 2

e) Nu există m cu această proprietate;

r

r

r

TG - 011 Determinaţi parametrul real m astfel încât vectorii a = 2 3 i + 2m j şi

r r r b = m i + 3 j să formeze un unghi de 450 .

a) ±2

b)

2 ±1

c) ±1

d)

6± 3

e)

3 ±1

f) 3

TG - 012 Fie ABC triunghiul cu laturile AB = c, BC = a şi CA = b. Exprimaţi suma de produse scalare: uuur uuur uuur uur uur uur AB ⋅ AC + BC ⋅ BA + CA ⋅ CB în funcţie de a, b şi c.

a) d)

1 3 1

(a + b + c)

(a 2

2

+ b2 + c2

c) a 2 + b 2 + c 2

b) a + b + c

)

e)

(a 3 1

2

+ b2 + c2

)

f)

1

2

(a + b + c)

TG - 013 Fie a şi b doi vectori ce formează un unghi de 600 având lungimile 1 şi respectiv 2. Calculaţi ariile paralelogramelor formate de vectorii u = a + 2b şi v = 3a − b respectiv u = a + 2b şi w = −3a + 2b

a) 7; 8

b) 6 3; 8 3

c) 7 3; 5 3

d) 7 3; 8 3

e) 6 3; 5 3

f) 5; 6.

Culegere de probleme

170

TG - 014 Fie A(-3,4) şi B(5,12) două puncte situate în planul real raportat la reperul

(

)

ortogonal O; i, j .

uuur

Calculaţi măsura unghiului pe care vectorul AB îl face cu vectorul de poziţie al punctului A şi precizaţi natura triunghiului OAB. a) π − arccos

c) π − arccos

e) arccos

33 65

2 10

; ∆OAB - ascuţitunghic

17 2 26

b) arccos

; ∆OAB - obtuzunghic

d) arccos

2 10 2 10

f) π − arccos

; ∆OAB - dreptunghic

; ∆OAB - obtuzunghic

; ∆OAB - dreptunghic 2 10

; ∆OAB - obtuzunghic.

TG - 015 Se consideră patru puncte coplanare distincte A,B,C şi D situate în planul

(

)

R 2 raportat la reperul ortogonal O; i, j . Calculaţi valoarea expresiei:

uuur uuur uuur uur uuur uuur

E = DA ⋅ BC + DB ⋅ CA + DC ⋅ AB . 2

DA + DB

a)

2

+ DC

d) 0

2

;

c) BC + CA + AB ;

b) -1 e)

BC

2

2

+ CA + AB

2

f) 1.

TG - 016 Punctele A(5,-12), B(-12,-5) şi C(5,-5) determină în planul real raportat la

(

rr

uur uuur

)

uuur

reperul ortogonal O; i, j vectorii de poziţie OA, OB şi respectiv OC . Calculaţi

(

uur r

)

(

uuur r r

)

valoarea expresiei E = α + β + γ ştiind că α= < OA, i , β= < OC , i + j . a)

π 2

b)

3π 2

c) 2 arccos

5 13

+

π 2

d) π

e) arccos

10 13

f) 0

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

TG - 017 Suma a trei vectori v1 , v2

şi

171

v3 având aceeaşi lungime l şi acelaşi

punct de aplicaţie este 0 . Precizaţi natura poligonului format de extremităţile acestor vectori. a) Nu există asemenea trei vectori

b) Triunghi dreptunghic

c) Triunghi echilateral

d) Triunghi isoscel.

e) Lungimea vectorilor este l=0 şi triunghiul se reduce la punctul de aplicaţie comun. f) Cei trei vectori sunt coliniari şi triunghiul se reduce la un segment.

TG - 018 Să se calculeze: E = 2

a)

2

3

b)

cos150 − sin150 tg150 + ctg150 2

c)

2

.

3 4

d)

4

e)

2

8

3 8

f)

TG - 019 Să se determine soluţiile ecuaţiei ctg x − 2 cos x = 0 , satisfac condiţia

π a)

5π 6

b)

2π

2

< x <π . c)

3

9π

d)

10

7π

e)

12

5π 8

f)

5π 9

TG - 020 Dacă tga = 1, tgb = 2, tgc = 3 , cât este tg ( a + b + c ) ? a) 1

b) 0

c) 2

d)

3

e)

1 2

TG - 021 Dacă tg x + ctg x = m , să se calculeze în funcţie de m expresiile: E1 = tg 2 x + ctg 2 x,

a) E1 = m − 2,

E2 = m3 − 3m

E2 = tg 3 x + ctg 3 x .

b) E1 = m 2 − 2,

c) E1 = m 2 − 2,

E2 = m3

d) E1 = m 2 ,

e) E1 = m 2 − 2,

E2 = m3 − 3

f) E1 = m 2 + 2,

E2 = m3 − 3m

E2 = m3 E2 = m3 + 3m

f)

2 3

Culegere de probleme

172

TG - 022 Dacă se notează t = sin 2u , se cere să se exprime în funcţie de t expresia E = tg 2u + ctg 2u . a) t 2 + 1

b)

1 t

2

c) 2t 2

d)

1 t

2

−1

e)

4 t

2

−2

1

f)

2

t +1

TG - 023 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: cos 4 x − sin 4 x =

⎧ π ⎫ + kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 12 ⎭

b) x ∈ ⎨±

⎧ 3π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z 8 ⎩ ⎭

d) x ∈ ⎨

⎧ 3kπ ⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 4 ⎭

f) x ∈ ⎨k

3 2

.

⎧ π ⎫ + kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 8 ⎭

a) x ∈ ⎨ ±

⎧π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z 9 ⎩ ⎭

c) x ∈ ⎨

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3⎭

e) x ∈ ⎨

TG - 024 Determinaţi soluţiile ecuaţiei sin x + sin x = 2 cos x situate în intervalul [0, 2π ] a) x1 =

d) x1 =

π 3

,x =

3π 4

2

2π 3

, x =π 2

b) x1 =

e) x =

π 4

,x =

3π 2

2

5π

c) x1 =

f) x =

4

π 2

, x =π 2

2π

3

TG - 025 Rezolvaţi ecuaţia: sin 4 x + 3sin 2 x = 0 .

⎫ ⎧ π⎫ ⎧ ⎛ 3⎞ ⎬ U ⎨± arccos ⎜ − ⎟ + 2kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 2⎭ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎭ ⎧ π⎫ c) x ∈ ⎨ k ⎬ , k ∈ Z ⎩ 2⎭ e) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

a) x ∈ ⎨k

⎧ ⎫ ⎛ 3⎞ b) x ∈ ⎨± arccos ⎜ − ⎟ + 2kπ ⎬ , k ∈ Z ⎝ 2⎠ ⎩ ⎭ ⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3⎭ f) x ∈ {2kπ } , k ∈ Z

d) x ∈ ⎨k

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

TG - 026 Rezolvaţi ecuaţia: sin x cos x =

⎧π

3 2

.

⎧ 2π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 3 ⎭ 3⎫ k ⎧ e) x ∈ ⎨( −1) arcsin ⎬ , k ∈ Z 2⎭ ⎩

⎫

a) x ∈ ⎨ + kπ ⎬, k ∈Z ⎩2 ⎭

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 4⎭

b) x ∈ ⎨

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3⎭

d) x ∈ ⎨k

173

c) x ∈ ⎨k

f) ecuaţia nu are soluţii

TG - 027 Să se restrângă expresia: E =

( ) ( ) − tg x . 0 0 sin ( 45 + x ) + cos ( 45 + x )

a) E = 0

d) E = ctg x

b) E = 1

c) E = tg x

sin 450 + x − cos 450 + x

e) E = sin x

f) E = cos x

TG - 028 Dacă A1 = cos θ , A2 = cos 2θ , iar Ak = 2 cos θ ⋅ Ak −1 − Ak − 2 , pentru orice k ∈ N, ( k > 2 ) , să se determine A4 .

a) sin 3θ

b) cos 3θ

c) sin 4θ

d) cos 4θ

e) sin 5θ

f) cos 5θ

TG - 029 Determinaţi valoarea constantei α ∈ R pentru care are loc egalitatea

sin 4 x − sin 2 x sin 4 x + sin 2 x a) α = 2

⎛⎧

= α tg x ctg 3 x , pentru orice x ∈ R \ ⎜ ⎨( 2k + 1)

⎝⎩

b) α = 1

c) α = 3

d) α =

1 2

π⎫ ⎧ π⎫ ⎞ ⎬ U ⎨k ⎬ ⎟ . 2 ⎭k∈Z ⎩ 3 ⎭k∈Z ⎠

e) α = 4

f) α =

3 2

TG - 030 Să se verifice că următoarea expresie este independentă de x

(

) (

)

E = 2 cos 6 x + sin 6 x − 3 cos 4 x + sin 4 x . a) E = −1

b) E = 0

c) E = 1

d) E = 2

e) E = −2

f) E =

1 4

Culegere de probleme

174

TG - 031 Să se restrângă expresia E = cos α ⋅ cos 2α ⋅ cos 4α ⋅ ... ⋅ cos 2n α , unde n ∈ N∗ .

a)

d)

sin 2n α

b)

2n +1 sin α

cos 2n α

e)

2n cos α

sin 2n α 2n sin α

cos 2n α

1

b) −

2

1 2

TG - 033 Dacă cos x =

a)

π

b)

3

c)

1 7

, cos y =

2π

c)

3

f)

2n +1 cos α

TG - 032 Să se calculeze expresia: E = cos

a)

c)

2π 7

+ cos

1

d) −

4

13 14

2

b) −

3

2

c)

3

7

+ cos

6π

1

7

2n +1 sin α

cos 2n +1α 2n sin α

.

e) 1

4

f)

π 6

π

d)

3

4

sin 2 x − 2 cos 2 x sin 2 x − cos 2 x

d) −

2

e)

3

e)

7

5π

f) π

4

. 7

f) −

3

2x − tg x π 3 TG - 035 Să se calculeze valoarea expresiei: E = pentru x = . 4 cos x − ctg 2 x b)

2

c) −

2 2

2

⎛ π⎞ ⎟ , să se calculeze x − y . ⎝ 2⎠

sin

a) 1

3

şi x, y ∈ ⎜ 0,

TG - 034 Ştiind că ctg x = 2 , să se calculeze: E =

a)

4π

sin 2n +1α

d) − 2

e)

2 2

f)

1 3

7 3

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

TG - 036 Ştiind că sin α =

a)

3

b) −

4

3 4

4 5

175

⎛ π⎞ ⎟ , să se calculeze tg α . ⎝ 2⎠

, α ∈ ⎜ 0,

c)

4

d)

3

3

e) −

5

4

f)

3

2 3

TG - 037 Să se afle valoarea numerică a produsului P = cos 200 cos 400 cos 800 . a)

d)

1

b)

3 1

e)

6

1

c)

4 1

f)

7

TG - 038 Să se afle α ∈ [ 0, π ] pentru care avem arctg

a)

d)

π

b)

6

π

e)

2

1 2

+ arctg

1 3

1 5 1 8

=α .

π

c)

4 2π

f)

3

π 3 3π 4

⎡ π π⎤

TG - 039 Care sunt soluţiile ecuaţiei: sin 3 x − cos 2 x − sin x = 0 din intervalul ⎢− , ⎥ ? ⎣ 2 2⎦

⎧ π π π⎫ , , ⎬ ⎩ 6 6 4⎭

b) x ∈ ⎨−

⎧ π π⎫ , ⎬ ⎩ 4 4⎭

e) x ∈ ⎨0,

a) x ∈ ⎨−

d) x ∈ ⎨ −

⎧ π π π⎫ , , ⎬ ⎩ 4 4 6⎭

c) x ∈ ⎨ −

⎧ π π⎫ , ⎬ ⎩ 6 6⎭

⎧ π π⎫ , ⎬ ⎩ 6 4⎭

f) x ∈ ⎨0, −

⎧ ⎩

π 6

,−

π⎫ ⎬ 4⎭

Culegere de probleme

176

TG - 040 Să se calculeze S = cos 4 100 + cos 4 500 + cos 4 700 a) 1

b) 2

c)

9 8

(

8 9

d)

)

e)

(

)

(

1

f)

9

7 8

)

TG - 041 Să se rezolve ecuaţia: sin x + 200 + cos x − 100 − sin x − 400 = 3 .

{ } c) x ∈ {450 + k ⋅ 3600 } e) x ∈{200 + k ⋅ 3600 } U {−400 + k ⋅ 3600 } a) x ∈ 300 + k ⋅ 3600

{ } d) x ∈ {−200 + k ⋅1800 } U {400 + k ⋅1800 } f) x ∈ {200 + k ⋅ 1800 } U {400 + k ⋅ 1800 } b) x ∈ 600 + k ⋅ 3600

TG - 042 Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: 1 sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + = 0 . 2

⎧ π ⎫ + 2 kπ ⎬ ⎩ 6 ⎭ π⎫ k π ⎧ c) x ∈ ⎨( −1) ⋅ + k ⎬ 3 2⎭ ⎩ π⎫ k +1 π ⎧ e) x ∈ ⎨( −1) ⋅ + k ⎬ 4 2⎭ ⎩

⎧ π ⎫ + 2 kπ ⎬ ⎩ 3 ⎭ π⎫ ⎧ k + 1 3π d) x ∈ ⎨( −1) ⋅ +k ⎬ 4 2⎭ ⎩ π⎫ k π ⎧ f) x ∈ ⎨( −1) ⋅ + k ⎬ 3 6⎭ ⎩

a) x ∈ ⎨±

b) x ∈ ⎨±

pentru orice k ∈ Z

TG - 043 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei: arccos x 3 + arccos x =

⎧⎪

a) ⎨±

⎪⎩

2 1⎫ ⎪ , ⎬ 3 2⎪ ⎭

⎧1 ⎫ d) ⎨ ⎬ ⎩2⎭

π

2

.

⎧⎪ 1 1 2 ⎫⎪ c) ⎨± , , ⎬ ⎩⎪ 3 2 3 ⎭⎪

⎧ 1⎫ b) ⎨ ± ⎬ ⎩ 2⎭ ⎫ 3⎪ ⎪⎧ 1 e) ⎨ , ± ⎬ 3 ⎭ ⎪ ⎩⎪ 2

f) ∅

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

TG - 044 Determinaţi perioada principală a funcţiei f : R → R ,

a) 0

d)

b)

10π

e)

7

TG - 045 Să se calculeze expresia E =

7π

177

f ( x ) = cos

7x 5

.

c) 35π

10 5π

3π

f)

7

4

sin 600 − sin 300 cos 300 + cos 600

a) 2 + 3

b)

3−2

d) 3 + 2

e) 2 − 3

c)

2 −3

f) 2 + 2

TG - 046 Care este mulţimea tuturor valorilor parametrului real a pentru care ecuaţia cos x − sin x = a , admite soluţii? a) ∅

b) [ −1,1]

c) ⎡ − 2, 2 ⎤

d) [ −2, 2]

e) R

⎡ 1 ⎤ f) ⎢ − , 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦

⎣

⎦

⎛1 ⎞ TG - 047 Să se determine soluţiile ecuaţiei: sin ⎜ arccos x ⎟ = 1 . 5 ⎝ ⎠ ⎡ 1 1⎤ a) x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 5 5⎦

1⎤ ⎡ b) x ∈ ⎢ −1, − ⎥ 5⎦ ⎣

d) x ∈ ∅

e) x ∈ ⎨( −1) ⋅

⎧ ⎩

k

c) x ∈ R

5π 6

⎫ ⎭

+ kπ ⎬ , k ∈ Z

f) x =

1 5

Culegere de probleme

178

TG - 048 Să se calculeze expresia: x ∈ [ 0, π / 2] . a)

d)

(3 − 5 ) 4

b)

(3 + 5 ) 25

e)

3

16

sin x + tgx cos x + ctgx

, ştiind că avem cos x =

(3 + 5 ) 3

c)

(3 − 5 ) 16

f)

4

25

16 25 25 16

2 3

,

(3 − 5 )

(3 + 5 )

TG - 049 Arătaţi că următoarea expresie este independentă de x, E=

a) E =

1

b) E =

2

1

3

1 + sin 2 x 2 + ctg 2 x

+

1

c) E =

1 + cos 2 x 2 + tg 2 x d) E = 1

4

.

e) E = 2

f) E = 3

TG - 050 Să se verifice că expresia E = cos 2 ( x − y ) + cos 2 ( x + y ) − cos 2 x cos 2 y este independentă de x şi y . a) E = −1

b) E = 0

c) E = −

1

d) E =

2

1 2

e) E = 1

f) E = −4

TG - 051 Să se scrie sub formă de produs de funcţii trigonometrice expresia: 5π π 11π + sin + cos E = sin 24 6 24 a) 4 sin

π 12

d) 4 cos

π 12

cos

sin

π 48

π 48

cos

cos

5π 48 5π 48

b) 4 cos

e) 4 sin

π 12

π 12

cos

sin

π 48

π 48

cos

19π 48

c) 4 sin

f) 4 sin

π 12

π 12

cos

cos

π 48

π 48

cos

19π 48

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

179

TG - 052 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: sin 4 x + cos 4 x =

⎧ π

π⎫

⎧π

⎧π

⎫

a) x ∈ ⎨± + k ⎬ , k ∈ Z b) x ∈ ⎨ + 2kπ ⎬ , k ∈ Z 2⎭ ⎩ 4 ⎩3 ⎭

⎧π ⎫ + kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩4 ⎭

2

.

⎫

c) x ∈ ⎨ + 2kπ ⎬, k ∈ Z ⎩2 ⎭

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3⎭

e) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

d) x ∈ ⎨

1

f) x ∈ ⎨k

TG - 053 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei:

(

)

2 sin 6 x + cos6 x + sin 4 x + cos 4 x = 3 .

⎧π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩4 ⎭

b) x ∈ ⎨±

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3⎭

e) x ∈ ⎨k

a) x ∈ ⎨

d) x ∈ ⎨k

TG - 054 Ştiind că sin α + cos α =

a)

1 4

b)

1 2

c)

7 5 1 5

⎧ π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 3 ⎭

c) x ∈ ⎨k

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 2⎭

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 4⎭

f) x ∈ ⎨k

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 6⎭

α ⎛ π⎞ ⎟ , să se calculeze tg . 2 ⎝ 4⎠

, α ∈ ⎜ 0,

d)

1 3

e)

2 5

f)

3 4

TG - 055 Să se transforme în produs următoarea expresie: S = cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x + cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x . a) 6 sin x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 3 x

b) 6 sin x ⋅ sin 2 x ⋅ cos 3 x

c) 6 sin x ⋅ cos 2 x ⋅ cos 3 x

d) 6 cos x ⋅ cos 2 x ⋅ cos 3 x

e) 6 cos x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x

f) 6 cos x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 3 x

Culegere de probleme

180

TG - 056 Determinaţi toate valorile lui x ∈ [ 0, 5] care verifică acuaţia: 1+ x

2 arccos

)

π 2

− arcsin

d) [ 0, 5]

c) [0,1]

b) {0, 5}

a) {0,1}

(

2 1 + x2

=

x 5 e) {0, 3}

f) {1, 5}

TG - 057 Să se calculeze

1 1 + 2 0 2 cos 15 sin 150 a) 4

b) 16

TG - 058 Să se calculeze:

a) 1

b) 2

c) 24

1 sin10

0

−

d) 4 2

e) 6 2

d) 4

e)

f) 16 2

3 cos100

c) 3

TG - 059 Să se arate că funcţia f ( x ) = a sin x + b cos x,

3

f)

2

⎛ π π⎞ , ⎟ ⎝ 2 2⎠

a)

α = arcsin

b

m = a 2 + b2 b)

a

m = a 2 + b2

d)

α = arctg

b

a TG - 060 Să se calculeze:

α = arctg

b

m = a 2 − b2 c)

a

m = a 2 + b2 e)

α = arctg

a b

2

a, b ∈ R∗ se poate scrie

sub forma f ( x ) = m sin ( x + α ) , determinându-se m şi α ∈ ⎜ −

m = a 2 + b2

3

α = arctg m=

f)

b a

a 2 − b2

α = arccos

b a

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

181

tg150 + ctg150 cos150 − sin150 a) 1

b) 4

c) 3 2

d) 4 2

e) 5 2

f)

2

TG - 061 Să se descompună în produs expresia

E = sin 3 x + sin 2 x + sin x

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

b) 4 sin x cos ⎜

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

d) 4 sin 2 x sin ⎜

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ sin ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

f) 4 sin x sin ⎜

a) 2 sin 2 x cos ⎜

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ sin ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

c) 4 sin 2 x cos ⎜

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ sin ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

e) 4 cos 2 x sin ⎜

TG - 062 Care sunt valorile lui a ∈ ¡ , pentru care expresia:

E=

4 cos 2 x + cos 2 x + cos 2a cos 2a − cos 2 x

a) a = 2kπ , k ∈ Z

b) a = ( 2k + 1)

d) a = kπ , k ∈ Z

e) a = ±

π 3

π 2

, k ∈Z

+ kπ , k ∈ Z

nu depinde de x ?

c) a = 2kπ +

f) a =

π 4

3π 2

, k ∈Z

+ kπ , k ∈ Z

Culegere de probleme

182

TG - 063 Fie E =

sin x + cos ( 2 y − x )

.

cos x − sin ( 2 y − x )

Să se calculeze valoarea expresiei E, pentru y =

b) −

3

a)

3 3

2

⎛ ⎝

(

)

(

d) 2n ctg x ⋅ tg x / 2n

(

)

(

)

b) 2n tg 2 x ⋅ tg x / 2n

)

e) 2n ctg 2 x ⋅ tg x / 2n

. 3 +1

e)

TG - 064 Să se restrângă expresia: Ω = ⎜ 1 − tg 2

a) 2n tg x ⋅ tg x / 2n

12

1

d) −

c) 2tg x

7π

f)

3

2

x⎞⎛

⎛ 2 x⎞ 2 x ⎞ ⎟ ⎜ 1 − tg ⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜ 1 − tg n ⎟ 2⎠⎝ 4⎠ 2 ⎠ ⎝

(

)

(

)

c) 2n tg ( x / 2 ) ⋅ tg x / 2n

f) 2n ctg ( x / 2 ) ⋅ tg x / 2n

TG – 065 Să se calculeze: E = sin 8 x − cos8 x + 4 cos 6 x − 6 cos 4 x + 4 cos 2 x

a) 1

b) 2

d) sin x e)

c) cos x

1

f) 4

2

TG - 066 Să se determine soluţiile din intervalul [ 0, π ] ale ecuaţiei

4 sin 4 x − 3sin 2 2 x = 1 − 2 cos 2 x . a)

d)

π π 2π ,

6 3

,

b)

3

π 2π 3π 5π 6

,

6

,

6

,

6

e)

π π 5π ,

3 2

,

c)

6

π 5π 7π 11π ,

,

12 12 12

,

12

f)

π π 2π , , 4 2 3

π 5π 7π 11π

, , , 24 24 24 24

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

183

TG - 067 Să se determine toate valorile parametrului real m pentru care ecuaţia: 3 sin x − cos x + m − 1 = 0 , are două soluţii în intervalul [ 0, 4π ] .

a) m = 2 d) m =

1 2

b) m ∈ {−1, 3}

c) m ∈ [ −1, 3]

e) m = 1

f) m = −

1 2

TG – 068 Să se determine toate valorile lui m ∈ R pentru care ecuaţia:

m ( sin x − cos x ) − cos 4 x − 1 = 0 , admite soluţii. 2

a) m ∈ [ 0, 4]

b) m ∈ [ −2, 2]

c) m ∈ R

⎡ 1 ⎤ d) m ∈ ⎢ − ,1⎥ ⎣ 2 ⎦

e) m ∈ [ −1,1]

f) m ∈ [ −4, 4]

TG - 069 Să se determine toate valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia: cos ( x − λ ) + cos ( x + λ ) = 1 , admite soluţii.

π

⎡

π⎤

π

⎡

π⎤

a) λ ∈ U ⎢ 2kπ − , 2kπ + ⎥ U ⎢( 2k + 1) π − , ( 2k + 1) π + ⎥ k∈Z ⎣ 3 3⎦ ⎣ 3 3⎦

⎛ k∈Z ⎝

b) λ ∈ U ⎜ kπ −

⎛ k∈Z ⎝

π 3

d) λ ∈ U ⎜ 2kπ −

, kπ +

2π 3

π⎞ ⎟ 3⎠

, 2 kπ +

⎛

π

π⎞ ⎛

π

π⎞

c) λ ∈ U ⎜ 2kπ − , 2kπ + ⎟ U ⎜ 2kπ − , 2kπ + ⎟ k∈Z ⎝ 3 3⎠ ⎝ 6 6⎠

5π ⎞ ⎟ 3 ⎠

e) λ ∈ ∅

f) λ ∈ R

Culegere de probleme

184

TG - 070 Să se calculeze valoarea expresiei: E ( x ) =

1 sin x

+

1 cos x

+

1 tg x

+

1 ctg x

pentru argumentele x care verifică ecuaţia 8 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 0 . a) 1

c) − 1

b) 2

d) − 2

e) − 3

f) −

1 3

TG - 071 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei:

(1 − sin x )

2

+ sin 2 (1 − x ) = 0 .

a) x ∈ ¡

b) x ∈ ∅

⎧ k k ⎫ c) x ∈ ⎨( −1) ⋅ + kπ ⎬ , k ∈ Z 2 ⎩ ⎭

d) x ∈ {1 − kπ } , k ∈ Z

e) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

f) x ∈ ⎨k

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 4⎭

TG - 072 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei:

sin x

( x − 4)

2

+ sin x = 0, x ∈ ¡ \ {4} .

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 2⎭

a) x ∈ {3, 5} U {kπ } , k ∈ Z

b) x ∈ {3, 5} U ⎨ k

c) x ∈ {5} U {kπ } , k ∈ Z

d) x ∈ {3} U {kπ } , k ∈ Z

e) x ∈ {2kπ } , k ∈ Z

f) x ∈ {0}

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

TG - 073 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: sin

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 4⎭

a) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

⎧ 2π 8kπ ⎫ + ⎬ U {2kπ } , k ∈ Z 5 ⎭ ⎩5

5x 4

+ cos x = 2 .

⎧ 2π 8kπ ⎫ + ⎬ I {2 k π } , k ∈ Z 5 ⎭ ⎩ 5

b) x ∈ ⎨k

c) x ∈ ⎨

⎧ 2 kπ ⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 5 ⎭

d) x ∈ ⎨

185

e) x ∈ ⎨

⎧ kπ ⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3 ⎭

f) x ∈ ⎨

TG - 074 Determinaţi mulţimea tuturor valorilor parametrului m ∈ R pentru care ecuaţia sin x − cos x = m + 1 admite rădăcini reale.

⎛ 9 ⎞ c) m ∈ ⎜ − , 0 ⎟ ⎝ 8 ⎠

a) m ∈ ( 0, 2 )

b) m ∈ ( 0, 2]

⎡ 9 ⎤ d) m ∈ ⎢ − , 0⎥ ⎣ 8 ⎦

e) m ∈ ⎡ −1 − 2, −1 + 2 ⎤

⎣

⎦

⎛ 9 ⎞ f) m ∈ ⎜ − , 2 ⎟ ⎝ 8 ⎠

3 sin x + cos x = 2 .

TG - 075 Să se rezolve ecuaţia:

⎧π ⎫ ⎧ 7π ⎫ a) m ∈ ⎨ + 2kπ ⎬ U ⎨ + 2kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩12 ⎭ ⎩ 12 ⎭ ⎧π ⎫ + kπ ⎬ k ∈ Z ⎩6 ⎭

⎧ π ⎫ ⎧ 7π ⎫ + 2kπ ⎬ U ⎨ + kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 12 ⎭ ⎩ 12 ⎭

b) m ∈ ⎨−

⎧π ⎫ + 2 kπ ⎬ k ∈ Z ⎩6 ⎭

c) m ∈ ⎨

d) m ∈ ⎨

⎧ π⎫ ⎬ ,k ∈Z ⎩ 3⎭

⎧ π⎫ ⎬ ,k ∈Z ⎩ 4⎭

e) m ∈ ⎨k

f) m ∈ ⎨k

TG - 076 Dacă sin 2 ( a + c ) = p sin 2b , să se calculeze în funcţie de p expresia:

E=

a)

2 p −1 2 p +1

b)

2 p −1 p −1

tg ( a + b + c ) tg ( a − b + c )

c)

p +1

2 p −1

d)

3 p −1 p +1

e)

p +1 p −1

f)

p −1 p +1

Culegere de probleme

186

TG - 077 Să se transforme în produs de funcţii trigonometrice expresia:

E = 1 + cos x + cos 2 x

⎛ ⎝

a) 2 cos x cos ⎜ x +

π⎞ ⎟ 4⎠

⎛ ⎝

b) 2 cos x cos ⎜ x −

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

⎛x π⎞ ⎛x π⎞ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ ⎝2 6⎠ ⎝2 6⎠

c) 4 cos x cos ⎜

e) 4 cos x cos

π⎞ ⎟ 4⎠

d) 4 cos x cos ⎜

x

f) 4 cos x cos

2

3x 2

TG - 078 Calculaţi produsul: P = cos100 cos 300 cos 500 cos 700 .

a)

1

b)

4

2 5

c)

4

d)

9

3

e)

16

5

f)

8

1 2

TG - 079 Să se calculeze: tg10 ⋅ tg20 ⋅ tg30 ⋅ ... ⋅ tg890 .

a) 1

b)

1 2

c) 0

d)

TG - 080 Să se determine soluţiile ecuaţiei: arctg x +

a) x = ±1

d) x = ±

b) x = ± 3 3

1 2

e) x = ± 3

3

1 2

e) 10

arccos

1 5x

=

π 4

f) 2

.

c) x = ±

f) x = ±

1 3 1 4

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

187

TG - 081 Să se rezolve ecuaţia:

sin 2 x

cos x (1 + tg x )

−

cos 2 x

sin x (1 + ctg x )

= 2.

⎧ 3π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z 4 ⎩ ⎭

b) x ∈ ⎨±

⎧ π ⎫ + kπ ⎬ , k ∈ Z 4 ⎩ ⎭

c) x ∈ ⎨±

⎧ π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 4 ⎭

d) x ∈ ⎨±

e) x ∈ ∅

f) x ∈ ⎨k

a) x ∈ ⎨

⎧ π ⎫ + 2 kπ ⎬ , k ∈ Z ⎩ 2 ⎭

⎧ π⎫ ⎬, k ∈ Z ⎩ 3⎭

TG - 082 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei:

( )

cos (π x ) + 2 cos π 2 x = 3 . a) x = 0

b) x = 1

d) x ∈ R

e) x = 2

c) x ∈ ∅ f) x = k , k ∈ Z

⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ + x ⎟ − cos 2 ⎜ + x⎟ ⎝8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ se poate scrie TG - 083 Să se arate că funcţia: f ( x ) = ⎛π ⎞ sin ⎜ + x ⎟ ⎝4 ⎠ sub forma f ( x ) = m cos (α + x ) , determinându-se m şi α ∈ ( 0, π ) . cos 2 ⎜

a) m = − 2, α =

d) m = −

2 2

3π

,α =

4 3π 4

b) m = 2, α =

e) m = 2, α =

π 4 3π 4

c) m =

2 2

,α =

f) m = 1, α =

π 3

π 2

Culegere de probleme

188

⎡ π⎤

TG - 084 Determinaţi valorile lui n ∈ N şi α ∈ ⎢0, ⎥ pentru care expresia ⎣ 2⎦

E = 3 − 4 sin 2 x se poate scrie sub forma E = n sin (α + x ) sin (α − x ) .

a) n = 4, α = d) n = 2, α =

π 3

π 2

π

b) n = 3, α = e) n = 8, α =

c) n = 2, α =

6

π

π 4

f) n = 1, α = 0

2

TG - 085 Să se determine valorile lui λ ∈ R astfel ca ecuaţia:

(1 − λ 2 ) sin 3x + 2λ cos 3x = (1 + λ 2 ) a) λ = 1

2

să aibă soluţii reale.

b) λ = −1

⎧ 1 ⎫ d) λ = ⎨− , 0 ⎬ ⎩ 2 ⎭

c) λ = 0

e) λ ∈ {1, 2}

f) λ ∈ {2, 3}

⎛π ⎞ ⎛π ⎞ + arctg ( tg x ) ⎟ în intervalul ⎜ , π ⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝6 ⎠

TG - 086 Să se rezolve ecuaţia: sin 3 x = cos ⎜ a)

d)

9π

b)

14 7π

e)

12

3π

c)

4 5π

f)

6

4π 3 5π 8

TG - 087 Pentru ce valori ale lui m ∈ R , ecuaţia 8ctg8 x + 4tg4 x + 2tg2 x + tgx − a) m ∈[0,1]

b) m∈[0,2]

m −1 sin x

c) m ∈[ −1,3]

= 3 , admite rădăcini reale? d) m∈[1,2]

e) m∈[ −1,0]

f) m= 0

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

189

TG - 088 În triunghiul ascuţit unghic ABC au loc relaţiile: sin B = sin C =

1

2 + 2 şi

2

2 − 2 . Să se calculeze sin ( B − C ) .

2

2

a) sin ( B − C ) = − d) sin ( B − C ) =

1

2

b) sin ( B − C ) =

2

1

2

e) sin ( B − C ) = 1

2

3

c) sin ( B − C ) =

2

f) sin ( B − C ) = 2 − 2

TG - 089 Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, în care există relaţia a + b = 3c . C Să se calculeze sin 2 B şi tg . 2 a) sin 2 B =

c) sin 2 B =

e) sin 2 B =

3 2 1 2

, tg

C

C

=

, tg

12 13

, tg

2

2 C 2

3 −1

=

=

b) sin 2 B =

3 +1 3 +1

d) sin 2 B =

3 −1 2

f) sin 2 B =

3 + 13

3 2

24 25 12 25

, tg

C

, tg

C

, tg

C

2

2

2

1

=

=

=

3

1 3 1 3

TG - 090 Se dă triunghiul ABC în care AB = R 3 şi m ( BAC ) = α , R fiind raza

cercului circumscris triunghiului. Să se determine celelalte laturi în funcţie de α şi R.

(

a) R 3, 2 R sin α , 2 R sin α + 600

)

(

b) R 3, 2 R sin α , 2 R sin α + 300

)

c) R 3, 2 R sin α , 2 R sin α

d) R 3, R 3, 2 R sin α

e) R 3, R, R

f) R 3, 2 R sin α + 300 , 2 R sin α

(

)

Culegere de probleme

190

TG - 091 Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel, având unghiul drept în punctul C. Ipotenuza AB se prelungeşte cu un segment BD congruent cu BC şi se uneşte C cu D. Care din valorile de mai jos reprezintă pe sin D. 2+ 2

a)

d)

1

2− 2

2

2− 2

b)

e)

1

c)

2+ 2

3

f)

1 2 1 3

2+ 2

2− 2

TG - 092 Între laturile unui triunghi avem relaţia: 2a = b + c , iar între unghiurile sale 2 Aˆ = Bˆ + Cˆ . Triunghiul este: a) ascuţit unghic oarecare

b) obtuz unghic oarecare

c) isoscel

d) dreptunghic

e) echilateral

f) oarecare

( )

TG - 093 În triunghiul ABC se dă b = 2, c = 3 şi m Cˆ = 600 . Să se calculeze latura a. a)

d)

(

2− 6

( 2

2+ 6

1 2 1

)

b)

)

e)

6− 2

( 2

1

2− 6

c)

)

1

şi

2

(

6 − 2 şi

2+ 6

)

6+ 2

f)

6+ 2

TG - 094 Un triunghi ABC cu lungimile laturilor 13, 14, 15 are vârful A opus laturii A de mărime mijlocie. Care este valoarea lui tg ? 2 a)

3 7

b)

4 7

c)

5 7

d)

6 7

e) 1

f)

8 7

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

191

π 2 2 TG - 095 În triunghiul ABC, m Aˆ = , AB = a şi AC = a. 3 4 Să se calculeze tgB .

( )

a) tgB = 2

b) tgB = 3

c) tgB = 2

d) tgB = 3 3

e) tgB = 1

f) tgB = 3

TG - 096 Unghiurile unui triunghi ABC au laturile proporţionale cu numerele 2, şi respectiv 1 + 3 . Să se determine m Aˆ , m Bˆ şi m Cˆ .

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

6

( )

( )

( )

b) m Aˆ = m Bˆ = 450 , m Cˆ = 900

( )

( )

( )

d) m Aˆ = 300 , m Bˆ = 900 , m Cˆ = 600

( )

( )

( )

f) m Aˆ = 450 , m Bˆ = 600 , m Cˆ = 750

a) m Aˆ = 450 , m Bˆ = 300 , m Cˆ = 1050 c) m Aˆ = 1050 , m Bˆ = 150 , m Cˆ = 600 e) m Cˆ = 600 , m Bˆ = 450 , m Aˆ = 750

TG - 097 Determinaţi unghiurile triunghiului ABC ştiind că laturile sale au lungimile:

AB = 20, BC = 10

(

)

3 + 1 şi CA = 10 2 .

a) Aˆ = 900 , Bˆ = 300 , Cˆ = 600 ;

b) Aˆ = 1050 , Bˆ = 300 , Cˆ = 450 ;

c) Aˆ = 750 , Bˆ = 450 , Cˆ = 600

d) Aˆ = 900 , Bˆ = 150 , Cˆ = 750

e) Aˆ = 800 , Bˆ = 300 , Cˆ = 700

f) Aˆ = 1050 , Bˆ = 150 , Cˆ = 600

TG - 098 Dacă A,B,C sunt măsurile unghiurilor unui triunghi să se calculeze: E = tg A + tg B + tg C a) E = ctg A ⋅ ctg B ⋅ ctg C ;

b) E = ctg A ⋅ ctg B ⋅ tg C

d) E = tg A ⋅ tg B ⋅ tg C e) E = tg A ⋅ tg B ⋅ ctg C TG - 099 În ce unghi ABC poate avea loc relaţia

c) E = ctg A ⋅ tg B ⋅ tg C f) E = tg A ⋅ ctg B ⋅ tg C

Culegere de probleme

192

sin ( A − B ) sin C

1 + cos ( A − B ) cos C

=

a 2 − b2 a2 + b2

a) oarecare b) numai în triunghiuri dreptunghice c) numai în triunghi isoscel d) numai în triunghiuri echilaterale e) numai în triunghiuri dreptunghice isoscele f) relaţia nu are loc în nici un triunghi

TG – 100 Să se precizeze valoarea maximă a expresiei cos A ⋅ cos B ⋅ cos C E= sin 2 A ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C Stiind că A,B,C sunt măsurile unghiurilor unui triunghi ascuţitunghic. a) Emax = 1 d) Emax =

b) Emax =

4

e) Emax =

9

1

c) Emax =

2 8

2 3

f) Emax = 2

27

TG - 101 Dacă A, B, C sunt unghiurile unui triunghi ABC şi R este raza cercului circumscris acestui triunghi, să se calculeze expresia E = 1 + cos A ⋅ cos ( B − C ) . a) E =

d) E =

b2 − c2

b) E =

R2 b2 − c2

e) E =

4R2

b2 + c2

c) E =

R2 bc

f) E =

4R2

b2 + c2 4R2

b2 + c2 2R2

TG - 102 Să se determine valoarea expresiei: a sin

B−C

E= cos

2 A 2

b sin

C−A

+ cos

2 B

c sin

A−B

+

2

cos

2 C 2

a) E = a + b + c

b) E = − ( a + b + c )

d) E = 0

e) E =

a+b+c 2

într-un triunghi oarecare. c) E = a 2 + b 2 + c 2 f) E =

a2 + b2 + c2 2

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

TG - 103 Dacă în triunghiul ABC avem tg

A 2

=

1 3

193

şi b + c = 3a , precizaţi care din

răspunsurile de mai jos este corect.

π π a) m Bˆ = sau m Cˆ = 2 2

b) m Aˆ = m Bˆ

π π d) m Bˆ = sau m Cˆ = 4 4

e) m Aˆ = m Cˆ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

π c) m Aˆ = 2

( )

( )

π f) m Aˆ = 3

( )

( )

TG - 104 În triunghiul ABC are loc relaţia: a 2 + b 2 + c 2 = 8 R 2 . Ce putem afirma despre acesta? a) este un triunghi isoscel

b) este un triunghi echilateral

c) este un triunghi dreptunghic

d) este un triunghi oarecare

e) relaţia din enunţ nu poate avea loc în nici un fel de triunghi f) este triunghi isoscel şi dreptunghic

TG - 105 Între unghiurile unui triunghi există relaţia: cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 . Ce fel de triunghi este ABC ? a) echilateral

b) dreptunghic

c) obtuzunghic

d) isoscel

e) oarecare

f) isoscel şi dreptunghic

a+c

B = ctg . Care din numerele de mai b 2 jos reprezintă măsura unuia dintre unghiurile triunghiului ? TG - 106 În triunghiul ABC are loc relaţia:

a)

π 3

b)

π 6

c)

π 2

d)

2π 3

e)

π 4

f)

π 12

Culegere de probleme

194

TG - 107 Dacă între lungimile laturilor triunghiurilor ABC are loc relaţia:

b 2 − c 2 = 2a 2 ce putem afirma despre măsura unghiului Aˆ .

π a) m Aˆ = 4

π b) 0 < m Aˆ ≤ 6

π d) m Aˆ > 2

e)

( )

( )

( )

π c) m Aˆ = 3

π < m Aˆ = 4 3

π f) m Aˆ = 2

π

( )

( )

( )

TG – 108 Fie triunghiul ABC cu lungimile laturilor a,b,c şi aria S =

(4 a2 + b2 ) .

1

Determinaţi măsurile unghiurile Aˆ , Bˆ , Cˆ .

π π π a) m Aˆ = , m Bˆ = , m Cˆ = 3 2 6

π π b) m Cˆ = , m Bˆ = m Aˆ = 2 4

π c) m Aˆ = m Bˆ = m Cˆ = 3

2π π , m Bˆ = m Cˆ = d) m Aˆ = 3 6

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2π π π e) m Aˆ = , m Bˆ = , m Cˆ = 3 4 12

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

π π π f) m Aˆ = , m Bˆ = , m Cˆ = 2 6 3

( )

( )

( )

TG - 109 Aria triunghiului ABC este de 16 cm2 . Ştiind că AC = 5 cm , BC = 8 cm şi Cˆ este obtuz să se calculeze cos C. a) −

4 5

b)

3 4

c) −

3 5

d)

4 5

e) −

1 2

f)

3 5

TG - 110 Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că a = 6, B = 600 şi C = 450 .

( ) d) 6 ( 3 − 3 )

a) 6 3 + 3

( ) 9 e) ( 3 − 3 ) 2 b) 9 3 − 3

( ) 9 f) ( 3 + 3 ) 2

c) 9 3 + 3

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

195

TG - 111 Lungimile laturilor unui triunghi oarecare sunt trei numere consecutive, iar aria triunghiului este 84. Care sunt lungimile acestor laturi? a) 10, 11, 12

b) 11, 12, 13

c) 12, 13, 14

d) 13, 14, 15

e) 14, 15, 16

f) 15, 16, 17

TG - 112 Într-un triunghi ABC laturile a, b, c sunt îm progresie aritmetică, a fiind termenul din mijloc. Să se calculeze expresia: B C E = tg ⋅ tg . 2 2 a) E =

1

1

b) E =

3

d) E = 3

c) E =

6

1 2

f) E = 2

e) E = 6

TG - 113 Dacă A, B, C sunt unghiurile unui triunghi, iar tgA, tgB, tgC sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, care dintre relaţiile de mai jos este adevărată? a) tgA ⋅ tgC = 0

b) tgA = −ctgC

c) tgA ⋅ tgC = 3

d) tgA = ctgC

e) tgA = −tgC

f) ctgA ⋅ ctgC = 0

( )

TG - 114 În triunghiul dreptunghic ABC, m Cˆ = 900 , se cunosc lungimea a a catetei (BC) şi raza r a cercului înscris în triunghi. Să se determine lungimile celorlalte laturi b, c ale triunghiului. a) b =

c) b =

r (a − r ) a − 2r 2ar − r 2

a − 2r

,c=

a2 − r ( a − r )

b) b =

a − 2r

(a − r ) ,c=

a − 2r

2

d) b =

ar 2

,c=

2r ( a − r )

a − 2r

2a − r 2

a − 2r

f) Nici una din afirmaţiile a), b), c), d), e) nu este corectă.

e) b =

,c=

a 2 − 2r ( a − r )

r 2 − a2 r − 2a

a − 2r

(r + a) ,c=

2a − r

2

Culegere de probleme

196

TG - 115 Calculaţi suma sin A + sin B + sin C în funcţie de aria S a triunghiului ABC, aria S1 a cercului înscris în triunghi şi aria S2 a cercului circumscris triunghiului. a)

πS

b) S S1S 2

S1S 2

c)

π ⋅S2 S1S 2

⎛1

d) S ⎜

⎝ S1

+

1⎞

⎟ S2 ⎠

e)

S1S 2 S

f)

π S1S2 S

TG - 116 Dacă A, B, C sunt unghiurile unui triunghi, să se calculeze expresia:

E=

a) 1

b)

cos B + cos C . A tg ( sin B + sin C ) 2

1

c) 2

2

d)

2 3

e) 3

f)

TG - 117 Fie în planul (Oxy) punctele A(5,6), B(-4,3), C(-3,-2) şi D(6,1). Ce figură geometrică reprezintă patrulaterul ABCD ?

a) dreptunghi d) trapez isoscel

b) romb e) trapez dreptunghic

c) pătrat f) paralelogram

TG - 118 Se dau punctele A(3,5), M(-1,3), N(4,1). Să se scrie ecuaţiile dreptelor ce trec prin A şi fac unghiurile de 45° şi, respectiv ,135° cu dreapta (MN).

a) 3x - 7y + 26 = 0, 7x + 3y - 36 = 0

b) 2x - 5y + 19 = 0, 5x -2y -5 =0

c) x - y + 2 = 0, x + y - 8 = 0

d) 3x - 2y + 1 = 0, 2x + 3y - 21 = 0

e) x - 2y + 7 = 0, 2x + y - 11 = 0

f) 3x - 7y +1 = 0, 7x - 3y - 2 = 0

⎛ 5 ⎞ TG - 119 Fie în planul (Oxy) punctele A(1,2), B ⎜ − ,0⎟ şi C(0,2). Să se afle ⎝ 3 ⎠ $ în triunghiul ABC . lungimea bisectoarei interioare unghiului A

10 2 10 6 10 7 5 8 10 c) d) e) f) 13 3 13 13 13 TG - 120 Să se afle coordonatele vârfurilor unui triunghi cunoscând mijloacele a)

5

b)

1 3

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

197

laturilor P(3,-1), Q(1,7), R(-4,3). a) (-1,-4), (5,2), (-3,12)

b) (-2,3), (8,-5), (-6,19)

c) (-2,-5), (4,19), (-12,13)

d) (-2,-5), (8,3), (-6,11)

e) (2,-3), (-10,9), (0,17)

f) (1,-3), (5,1), (-9,9)

TG - 121 Se dau punctul A(-3,4) şi dreapta (d) 2 x − y + 5 = 0 . Să se determine coordonatele punctului B, simetricul lui A faţă de dreapta (d).

a) B(-1,3)

b) B(2,1)

c) B(1,-2)

d) B(1,2)

e) B(3,-4)

f) B(-1,2)

TG - 122 Fiind date numerele a, b ∈ R * , se consideră punctele A(a,0), B(0,b) şi M(0,λ) situate pe axele de coordonate (Ox) şi (Oy). Să se determine λ astfel ca proiecţia punctului M pe dreapta (AB) să coincidă cu mijlocul segmentului AB .

a)

a 2 − b2 a

b)

a 2 − b2 b

c)

a 2 + b2 a

d)

b2 − a 2 2a

e)

b2 − a 2 2b

f)

a 2 + b2 b

TG – 123 În sistemul cartezian (Oxy) se consideră punctele A(3,0), B(0,2), M(3,-3) şi N(-2,2) . Să se determine punctul de concurenţă al dreptelor (AN), (BM) şi al perpendicularei din O pe (AB).

⎛ 18 12 ⎞ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

b) ⎜

⎛ 12 8 ⎞ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

e) ⎜

a) ⎜

d) ⎜

⎛ 12 18 ⎞ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

c) ⎜

⎛ 8 12 ⎞ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 18 6 ⎞ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

f) ⎜

⎛ 16 18 ⎞ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

TG - 124 Se dau punctele A(3,5), B(-1,3), C(4,1). Se cere să se scrie ecuaţia medianei din A a triunghiului ABC .

Culegere de probleme

198

a) 2x + 5y - 31 = 0

b) x - 2y + 7 = 0

c) 2x + y - 11 = 0

d) x + 2y - 13 = 0

e) 2x - y - 1 = 0

f) 3x - y - 4 = 0

TG – 125 Ştiind că punctul M(x,y) se află pe dreapta D : x + y + 1 = 0 , să se

determine minimul expresiei: E = x 2 + y 2 . a) 1

b)

1 2

c) 2

d)

3

e)

3 2

f)

1 3

TG – 126 Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul de intersecţie al dreptelor

(d1 )

x + 2 y − 7 = 0,

(d 2 )

2x − y + 1 = 0

şi este paralelă cu prima bisectoare. a) 2 x − 2 y = 1;

b) y = x + 7;

c) x − y + 5 = 0

d) x − y + 2 = 0;

e) x − y + 3 = 0;

f) 3 x − 3 y + 7 = 0 .

TG - 127 Se dă dreapta (α - 1)x + (α - 2)y - α + 3 = 0 cu α∈R. Să se determine α astfel că dacă A,B sunt intersecţiile dreptei cu (Ox), respectiv (Oy), să avem:

1 1 + = 10 . 2 OA OB2 a) α1=3, α2=4

d) α1 = −

5 17 α2 = 2 4

b) α1 =

5 17 α2 = 2 4

c) α1 =

7 15 α2 = 2 4

e) α1 =

5 17 α2 = − 2 2

f) α1 = −

7 15 α2 = − 2 4

TG - 128 Într-un sistem de axe rectangulare se dau dreptele:

(AB) 8x + 15y -168 = 0 , (CA) 4x - 3y = 0 , (BC) 12x + 5y + 168 = 0 ,

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

199

care formează triunghiul ABC . Să se calculeze lungimea mc a medianei din vârful C şi aria triunghiului ABC . a) mc = 20, S = 255 2 d) mc=

2 3 , S= 3

2996

b) mc=25, S = 625

c) mc=28, S = 420

e) mc=17 3 , S = 210 3

f) mc=27, S=421

TG - 129 Un triunghi isoscel cu baza AB are vârfurile A(-3,-1), B(7,5) , iar C este situat pe dreapta (d) x-y+8 = 0. Să se scrie ecuaţiile laturilor (AC) şi (BC).

a) 2x - y + 9 = 0 (AC), x + 2y - 13 = 0 (BC)

b) x - 3y = 0 (AC), 3x - y - 16 = 0 (BC)

c) 2x - y + 5 = 0 (AC), x + 2y - 17 = 0 (BC) (BC)

d) 4x - y + 11 = 0 (AC), x + 4y - 27 = 0

e) 4x - 3y + 9 = 0, (AC), 3x + 4y - 41 = 0 (BC) f) x + y + 4 = 0 (AC), x - y - 2 = 0 (BC)

TG - 130 Pe catetele OB şi OC ale unui triunghi dreptunghic se construiesc în afară pătrate în care vârfurile opuse lui O sunt, respectiv, D şi E. Să se determine coordonatele punctului H de intersecţie a dreptelor (CD) şi (BE), dacă B(b,0) iar C(0,c).

⎞ ⎛ bc 2 b2c , a) H ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 ⎝ b + c + bc b + c + bc ⎠

⎞ ⎛ bc 2 b2c b) H ⎜ 2 , ⎟ 2 2 2 ⎝ b + c − bc b + c − bc ⎠

bc ⎞ ⎛ bc c) H ⎜ , ⎟ ⎝ b + c b − c⎠

⎛ b2 c2 ⎞ , d) H ⎜ ⎟ ⎝ b + c b + c⎠

⎛ b2 c2 ⎞ , e) H ⎜ ⎟ ⎝ b − c b − c⎠

⎛ b2 + c2 b2 − c2 ⎞ , f) H ⎜ ⎟ bc ⎠ ⎝ bc

TG - 131 Fie A şi B punctele în care dreapta ax + (2a + 1)y + a2 = 0 taie axa (Ox), respectiv (Oy), (d1) dreapta ce trece prin A şi este paralelă cu prima bisectoare a axelor; (d2) dreapta care trece prin B şi este perpendiculară pe (d1). Să se determine

Culegere de probleme

200

“a” astfel încât punctul de intersecţie dintre (d1) şi (d2) să fie pe dreapta de ecuaţie x + 5y = 1. a) a = ± 2

b) a = ± 1

c) a = 0, a = 1

d) a = 2, a = 3

e) a = ± 3

f) a = -1, a = 3

TG - 132 Se dau dreptele (AB): x - 2y + 3 = 0, (AC): 2x - y - 3 = 0, (BC): 3x + 2y + 1 = 0. Să se scrie ecuaţia înălţimii din A a triunghiului ABC .

a) 2x - 3y + 3 = 0

b) 6x - 9y - 1 = 0

c) -4x + 6y - 1 = 0

d) 2x - 3y - 1 = 0

e) 6x - 9y + 2 = 0

f) 4x - 6y + 3 = 0

TG – 133 Fie în planul (Oxy) punctele A(3,0) şi B(-1,8) . Prin A se duce o paralelă (d) la prima bisectoare, iar prin punctul B se duce o dreaptă care taie dreapta (d) întrun punct C astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel cu baza AB . Să se afle

coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC . a) (3,4)

⎛ 7 10 ⎞ ⎟ ⎝3 3 ⎠

d) ⎜ ,

b) (-1,3)

⎛ 19 20 ⎞ , ⎟ ⎝3 3 ⎠

e) ⎜

c) (3,5)

⎛ 17 10 ⎞ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

f) ⎜

TG - 134 Se dau punctele A(3,0), B(-1,8) şi C astfel încât triunghiul ABC este

isoscel cu baza AB şi C aparţinând dreptei (d), paralela prin A la prima bisectoare. Să se determine coordonatele punctului H de intersecţie a înălţimilor triunghiului. a) H(2,4)

⎛ 7 14 ⎞ b) H ⎜ , ⎟ ⎝3 3⎠

⎛ 7 14 ⎞ c) H ⎜ ,− ⎟ ⎝3 3⎠

⎛ 1 2⎞ d) H ⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 7 14 ⎞ e) H ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 1 2⎞ f) H ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 3 3⎠

TG - 135 Se dau dreptele x + y - 1 = 0, x + y - 2 = 0, x - 2y + 1 = 0 şi x - 2y - 3 = 0 , care sunt laturile unui paralelogram. Să se scrie ecuaţiile diagonalelor.

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

201

a) 2x - y = 0, x - 2y + 1 = 0

b) x - 2y - 3 = 0, x + 2y - 3 = 0

c) x - 2y + 1 = 0, x + 2y - 1 = 0

d) x + 4y - 1 = 0, -x + 2y + 3 = 0

e) 3x + 6y - 5 = 0, 5x + 2y - 7 = 0

f) 3x + 6y - 5 = 0, 2x - 3y + 1 = 0

TG - 136 Fie în planul (xOy) triunghiul având laturile de ecuaţii x - y + 1 = 0, 2x + y - 4 = 0 şi x + 2y + 7 = 0. Să se determine coordonatele ortocentrului H al acestui triunghi.

⎛ 1 2⎞ a) H ⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 2 1⎞ b) H ⎜ , ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 1 2⎞ c) H ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 1 2⎞ d) H ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 1 2⎞ e) H ⎜ ,− ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 2 1⎞ f) H ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 3 3⎠

TG - 137 Să se determine punctul de intersecţie al dreptei (d), de pantă

trece prin punctul (3,1), cu drepta ( d' ) având urmele : a) (1,1)

b) (-1, -1)

c) (2,1)

d) (2,2)

2 şi care 5

8 pe axa (Ox) şi -4 pe (Oy). 3 e) (-2, -1)

f) (1,2)

TG - 138 Se dau punctele A(1,0), B(-2,4), C(-1,4), D(3,5). Să se găsească pe dreapta y =

3x - 5 un punct M astfel încât ariile triunghiurilor MAB şi MCD să fie egale.

⎛ ⎝

7⎞ 3⎠

⎛7 ⎝3

⎞ ⎠

a) M1 ⎜ 2, ⎟ , M2(-9, -32)

b) M1 ⎜ ,2 ⎟ , M2(-9,-32)

⎛5 ⎞ c) M1(1,-2), M2 ⎜ ,0⎟ ⎝3 ⎠

d) M1(-1,-8), M2 ⎜⎜ −

⎛1 ⎞ e) M1(-2, -11), M2 ⎜ ,−4⎟ ⎝3 ⎠

⎛2 ⎞ f) M1(3,4), M2 ⎜ ,−3⎟ ⎝3 ⎠

⎞ ,−10 ⎟⎟ ⎠ ⎝ 3 ⎛ 5

TG - 139 Se dă triunghiul ABC determinat de dreptele (AB): x + 2y - 4 = 0,

(BC): 3x + y - 2 = 0, (CA): x - 3y - 4 = 0. Să se calculeze aria triunghiului ABC .

Culegere de probleme

202 a) A ∆ ABC = 10

b) A ∆ ABC = 8

c) A ∆ ABC = 6

d) A ∆ ABC = 5

e) A ∆ ABC = 7

f) A ∆ ABC = 9

TG - 140 Se dau punctele A(2,1) şi B(-5,-3). Să se afle punctul M pe dreapta

(d) y = x + 4, astfel ca m ( AMB ) = 90°. a) M1(-1,3), M2(1,5) d) M1(1,5)

⎛ 11 3 ⎞ b) M1(-2,2), M2 ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 2⎠ e) M(-3,1)

⎛ 11 3 ⎞ c) M1(-1,3), M2 ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 2⎠ f) M1(0,4), M2(-3,1)

TG - 141 Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin intersecţia dreptelor (d1) 2x - 3y + 6 = 0, (d2) x + 2y - 4 = 0 şi este perpendiculară pe dreapta care trece prin P(2,2) şi intersectează axa (Ox) într-un punct aflat la distanţa 4 de originea O a sistemului de axe de coordonate.

a) x + y - 2 = 0

b) x - 3y + 4 = 0

c) x + y -2 = 0 şi x - 3y + 4 = 0

d) x - 2y + 4 = 0 şi 6x + y - 2 = 0

e) 4x + y - 2 = 0

f) x - y + 2 = 0 şi 3x + y - 2 = 0

TG - 142 Se dau punctele A(2,2) şi B(5,1). Să se determine punctul C situat pe dreapta x - 2y + 8 = 0 , astfel încât aria triunghiului ABC să fie 17. ⎛ 76 18 ⎞ ⎛ 8 16 ⎞ b) C1(10,9), C2 ⎜ − ,− ⎟ a) C1(12,10), C2 ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 5 ⎝ 5 5⎠ 5⎠

⎛ 12 14 ⎞ c) C1(8,8), C2 ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 5 5⎠

⎛ 26 7 ⎞ d) C1(-20,-6), C2 ⎜ − , ⎟ ⎝ 5 5⎠

⎛ 14 5 ⎞ e) C1(-2,3), C2 ⎜ − , ⎟ ⎝ 3 3⎠

⎛ 12 14 ⎞ f) C1(12,10), C2 ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 5 5⎠

TG - 143 Se dă dreapta 3x - 4y + 4 = 0 şi punctul A(8,0). Să se afle aria triunghiului format de dreapta dată şi două drepte ce trec prin A şi fac cu axa (Ox) unghiurile de 45° şi 135°.

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

a) 90

b) 100

c) 105

d) 110

203

e) 116

f) 112

TG - 144 Se dă dreapta 5x - 12y + 32 = 0 şi punctele A(1,-1), B(5,-3). Să se afle coordonatele punctului M egal depărtat de A şi B şi care are distanţa de 4 unităţi până la dreapta dată.

a) M1(1,-6), M2(9,10)

b) M1(-1,-10), M2(9,10)

c) M1(2,-4), M2(-2,12)

d) M1(-2,-12), M2(1,-6)

⎛ 180 208 ⎞ e) M1(4,0), M2 ⎜ , ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

⎛ 180 512 ⎞ ,− f) M1(0,-8), M2 ⎜ − ⎟ ⎝ 19 19 ⎠

TG - 145 Să se determine λ astfel ca distanţa de la punctul A(3,4) la dreapta variabilă (λ+3)x - (λ-2)y + 3λ - 1 = 0 să fie d = 10 .

a) 4, -2

b) 1, −

7 4

c) −

9 7 , 2 4

d)

9 7 ,− 2 4

e) -1,

7 4

f)

2 2 ,− 3 3

TG - 146 Să se scrie ecuaţiile dreptelor care trec prin punctul A(-5,7) şi sunt situate la distanţa 3 de punctul B(0,7).

a) 4x + 3y - 1 = 0, 4x - 3y + 41 = 0

b) 4x + 5y - 15 = 0, 4x - 5y + 55 = 0

c) 3x - 2y + 29 = 0, 3x + 2y + 1 = 0

d) 3x + 4y - 13 = 0, 4x + 3y - 1 = 0

e) 3x - 4y + 43 = 0, 3x + 2y + 1 = 0

f) 3x - 4y + 43 = 0, 3x + 4y - 13 = 0

TG - 147 Se dau dreptele 3x - 4y + 6 = 0 şi 4x - 3y - 9 = 0. Să se determine paralela la a doua bisectoare a axelor de coordonate care formează între cele două drepte un segment de 5 2 unităţi.

a) y = -x + 10, y = -x + 20

b) y = -x - 20, y = -x + 20

c) y = -x + 50, y = -x + 20

d) y = -x + 50, y = -x - 20 e) y = -x - 10, y = -x + 30 f) y = -x + 10, y = -x – 30 TG - 148 Să se calculeze mărimea unghiului format de dreptele 2x - y - 5 = 0 şi x - 3y + 4 = 0 în care se află originea axelor. a) 30°

b) 150°

c) 45°

d) 135°

e) 60°

f) 120°

Culegere de probleme

204

TG - 149 Se consideră triunghiul cu vârfurile: A(7,4), B(5,1) şi C(1,3). Să se determine distanţele vârfurilor B şi C la mediana din vârful A.

a) d B =

4 5

,d C = 1

d) d B = d C =

b) d B = 1 , d C =

3

e) d B =

5

3 5

4

c) d B = d C = 1

5

,d C =

2

f) d B = d C =

5

4 5

TG - 150 Fie în planul (xOy) punctul M(-2,6) şi dreapta (d) x + 2y - 5 = 0. Să se afle distanţa simetricului punctului M în raport cu dreapta (d) până la prima bisectoare.

a)

3 2 2

b)

2 2

c) 3 2

d)

5 2 3

e)

2 3

f)

2 5

TG - 151 Fie în planul (xOy) punctele A(3,3) şi B(7, -3) şi dreapta (d) 4x-2y+3=0. Să se afle punctul M de pe dreapta (d) care este echidistant faţă de punctele A şi B.

a) M(1,2)

⎛ 13 23⎞ b) M ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4 4⎠

⎛ 23 29 ⎞ c) M ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4 4⎠

⎛ 1 1⎞ d) M ⎜ ,− ⎟ ⎝ 8 4⎠

⎛ 29 23⎞ ,− ⎟ e) M ⎜ − ⎝ 8 4⎠

⎛ 13 23⎞ f) M ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 8 4⎠

TG – 152 Să se determine m ∈ R astfel încât dreptele d1 : 3x+my+2m+3=0 şi d2 : 2x+(m-1)y+m+3=0 să coincidă.

a) m∈∅

b) m=0

c) m=1

d) m=2 e) m=3 f) m=4 TG – 153 Să se determine α∈R astfel încât dreptele de ecuaţii (d1 ) x+2y-2=0, (d2 ) 2x-4y+3=0 şi (d3 ) αx+y-1=0 să fie concurente:

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

a) α=1

b) α=0

c) α=

1 2

205

d) α=-1

e) α= −

1 2

TG – 154 Să se scrie ecuaţia dreptei din plan, ştiind că A(2, 3) este piciorul perpendicularei coborâtă din origine pe dreaptă.

a) 3x+2y-13=0;

b) x+3y-11=0;

c) 3x+y-9=0;

d) 2x+3y-13=0;

e) 3x+4y-14=0;

f) 4x+3y-17=0.

TG – 155 Pe dreapta care uneşte punctele A(-3,5), B(-1,2) să se determine un punct de abscisă x=5

a) (5, -1)

b) (5, -7)

c) (3, 5)

d) (-7, 5)

e) (5, 0)

f) (1,5)

TG – 156 Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului ce uneşte punctele (3,1) şi (4,8)

a) 9x-7y=0

b) 7x-9y=0

c) x+7y-35=0

d) 7x-y-20=0

e) x+7z-20=0

f) x-y+1=0

TG – 157 În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-2, 0) şi B(0,1). Fie A’

mijlocul segmentului [OA] şi B’ simetricul lui B faţă de origine. Să se determine punctul de intersecţie al dreptei (A’B’) cu prima bisectoare a axelor de coordonate.

⎛1 1⎞ a) ⎜ ,− ⎟ ⎝2 2⎠

⎛ 1 1⎞ b) ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2 2⎠

⎛1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ c) ⎜ , ⎟ ; ⎜ − ,− ⎟ ⎝3 3⎠ ⎝ 3 3⎠

⎛1 1⎞ f) ⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠ TG – 158 Să se determine vârful C al triunghiului ABC, A(1,0), B(-2,4) pentru care d) (-1, -1)

e) (1,1)

centrul de greutate este punctul G (1,2). a) C (4,2)

b) C (0,2)

c) C (-4,2)

d) C (4,-2)

e) C(1,1)

f) C (2,4)

Culegere de probleme

206

TG – 159 Să se determine α∈R* astfel încât punctele A(3,9), B(8,4), C(-2,4) şi

D(α, -α) să definească un patrulater inscriptibil. a) α=1

b) α∈∅

c) α=-1

d) α=2

e) α=-2

f) α=3

TG – 160 Să se determine raza cercului de ecuaţie: x 2 + y 2 − 2x − 4y − 3 = 0 .

a) 4;

b)

2;

c) 2 2 ;

d) 4 2 ;

e) 8;

f) 9.

TG – 161 Să se determine ecuaţia cercului ce trece prin origine şi are centrul în

punctul (-1,3). a) x 2 + y 2 − 4x + 6y = 0

b) x 2 + y 2 + 2x − 6y = 0

c) x 2 + y 2 − 8x − 6y = 0

d) x 2 + y 2 − 3x + y - 10 = 0

e) x 2 + y 2 − 8x - 4y = 0

f) x 2 + y 2 + 2x + 6y - 10 = 0

TG – 162 Să se determine ecuaţia cercului tangent dreptei y=1 în punctul A(1,1) şi

⎛3 4⎞ tangent dreptei 4x-3y=0 în punctul B ⎜ , ⎟ ⎝5 5⎠ a) x 2 + y 2 − 10x + 9y - 1 = 0 c) x 2 + y 2 − 2x - 1y + 1 = 0

b) x 2 + y 2 − 13x + 13y = 0 d) x 2 + y 2 − 8x + 5y + 1 = 0

e) x 2 + y 2 − 12x + 13y - 3 = 0 f) x 2 + y 2 − 11y + 9 = 0 TG – 163 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(4,5), B(-2, -3) şi C(5, 4). Cercul circumscris triunghiului ABC are ecuaţia:

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

207

a) x 2 + y 2 + 2 x − 2y − 23 = 0

b) x 2 + y 2 − 2x + 2y - 23 = 0

c) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 23 = 0

d) x 2 + y 2 + 2x + 2y − 23 = 0

e) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 23 = 0

f) x 2 + y 2 + 2x − 2y + 23 = 0

TG – 164 Să se determine coordonatele centrelor cercurilor de rază 13 ce trec prin

punctul A(2,1) şi taie axele de coordonate după două coarde de lungime egală. a) C1 (1, -1) , C2 (1, 4)

b) C1 (4, 1) , C2 (1, 4)

c) C1 (-1, -1) , C2 (4, 4)

d) C1 (1, 1) , C2 (4, 4)

e) C1 (1, 2) , C2 (2, 1)

f) C1 (4, 4) , C2 (3, 3)

TG – 165 Găsiti ecuaţia cercului care trece prin punctele A(1,0) , B(-1,0) şi C(1,1).

a) x 2 + y 2 + y − 1 = 0

b) x 2 + y 2 − y − 1 = 0

c) x 2 + y 2 − y + 1 = 0

d) x 2 + y 2 + y + 1 = 0

e) x 2 + y 2 − y = 0

f) x 2 + y 2 − 1 = 0

TG – 166 Se consideră dreapta D: x = 4 şi punctul P ( 6,5) în planul ( Oxy ). Să se

determine cercul de diametru PP ′ , unde P ′ este proiecţia punctului P pe dreapta D. a) x 2 + y 2 − 10 x + 10 y + 49 = 0

b) x 2 + y 2 − 10 x − 10 y + 49 = 0

c) x 2 + y 2 − 10 x − 10 y − 49 = 0

d) x 2 + y 2 + 10 x − 10 y + 49 = 0

e) x 2 + y 2 + 10 x + 10 y + 49 = 0

f) x 2 + y 2 + 10 x + 10 y − 49 = 0

TG – 167 Se dă cercul de ecuaţie x 2 + y 2 − 3 x − 3 y + 2 = 0 şi punctul A(0,2) situat

pe cerc. Să se afle coordonatele vârfurilor pătratului ABCD înscris în cerc. a) C (2,0 ); B (1,3); D(1,0 ); b) C (3,2 ); B (3,1); D(2,0 );

Culegere de probleme

208 c) C (1,3); B (0,1); D (3,2 );

d) B (1,0 ); C (3,1); D(2,3);

e) B (3,2 ); C (0,1); D (2,3);

f) B (2,3); C (2,0 ); D(3,2 ) .

TG - 168 Se cer centrul şi raza cercului a cărei ecuaţie este 8(x2 + y2) + 4x + 12y - 27 = 0.

Care este poziţia originii faţă de acest cerc ?

⎛1 3⎞ ⎝4 4⎠

⎛ 1 3⎞ ,− ⎟ , r = 2 ⎝ 4 4⎠

interioară

⎛ 1 ,− ⎝ 4

d) C ⎜ −

⎛1 1⎞ ⎝2 2⎠

b) C ⎜ −

a) C ⎜ , ⎟ , r = 2

c) C ⎜ , ⎟ , r = 4

interioară

3⎞ ⎟,r=2 4⎠

exterioară

⎛ 3 1⎞ e) C ⎜ , ⎟ , r = 3 ⎝ 4 4⎠

exterioară

⎛ 1 1⎞ f) C ⎜ − , ⎟ , r = 2 ⎝ 4 4⎠

interioară

exterioară

TG - 169 Se dau punctele A(-1,4), B(3,-2). Să se scrie ecuaţia cercului care are pe

AB ca diametru . a) x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

b) x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0

c) x2 + y2 - 2x + 2y + 11 = 0

d) x2 + y2 - 4x - 2y - 13 = 0

e) x2 + y2 + 4x - 4y - 13 = 0

f) x2 + y2 - 4x - 4y - 14 = 0

TG - 170 Să se determine toate valorile parametrului real λ pentru care dreapta

(1 - λ2)x - 2λy + 2(1 + λ2) = 0 este tangentă la cercul cu centrul în origine şi având raza r = 2.

1 2 d) λ = -1 şi λ = 3 e) λ∈∅ f) λ∈R TG - 171 Să se scrie ecuaţia cercului înscris în triunghiul ce are ca vârfuri punctele A(2,-2), B(2, 2 − 2 ) şi C( 2 + 2 , − 2 ) . a) λ = 1

(

a) x − 1 − 2

c) λ =

b) λ = 2 şi λ = -2

) + ( y + 3 − 2) 2

2

= 3− 2 2

(

b) x + 1 + 2

) + ( y − 3 + 2) 2

2

= 3− 2 2

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

209

c) ( x − 1) + ( y + 1) = 1

d) ( x + 1) + ( y − 1) = 1

e) x 2 + ( y + 2) = 2

f) nici un răspuns nu e corect

2

2

2

2

2

TG - 172 Se consideră cercul de ecuaţie x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 1 = 0 . Să se determine cercurile de centru C(-2,5) tangente cercului dat.

a) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

b) x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 25 = 0

c) x 2 + y 2 + 4 x − 10 y − 35 = 0

d) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 25 = 0 e) x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 25 = 0

f) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

x 2 + y 2 + 4 x − 10 y − 35 = 0

x 2 + y 2 + 4 x − 10 y − 35 = 0

TG - 173 Să se determine centrele cercurilor ce sunt tangente axei (Ox) şi trec prin punctele A(2,3) şi B(4,1).

( 6, 3) C ( 6 ,− 3 ) C (5 + 6 ,4 + 6 ) d) C (5 − 6 ,4 − 6 ) a)

( ) C (3 − 6 ,2 + 6 ) C (5 − 6 ,2 + 6 ) e) C (5 + 6 ,2 − 6 )

C1

b)

2

C1 3 + 6 ,2 + 6 2

1

1

2

2

( C (5 − C (5 + f) C (5 −

c)

) 6) 6) 6)

C1 5 + 6 ,4 − 6 2

6 ,4 +

1

6 ,3 −

2

6 ,3 +

TG - 174 Să se afle lungimea tangentei duse din origine la cercul care trece prin punctele A(1,1), B(2,0), C(3,2).

14 13 3 14 e) d) f) 5 3 4 14 TG - 175 Unul dintre focarele unei elipse este situat la distanţele 7 şi, respectiv, 1 faţă de extremităţile axei mari. Să se scrie ecuaţia acestei elipse. a) 1

b) 10

c)

Culegere de probleme

210

a)

x2 y2 + =1 4 9

b)

x2 y2 + =1 9 4

c)

x2 y2 + =1 16 7

d)

x2 y2 + =1 7 9

e)

x2 y2 + =1 4 16

f)

x2 y2 + =1 16 4

TG - 176 Un punct M descrie o elipsă de centru O şi semiaxe 2 şi 1. Fie P proiecţia lui M pe axa mare iar N un punct pe (OM) aşa încât ON = 2 NM . Dreapta (PN) taie axa mică în Q, să se calculeze lungimea segmentului PQ.

a) 2

b)

1 2

c) 1

d)

2 3

e)

3 2

f)

1 4

TG - 177 Se consideră elipsa de ecuaţie x 2 + 4 y 2 = 9 . Să se scrie ecuaţia unei drepte ce trece prin punctul M(2,1), care intersectează elipsa în punctele A şi B, astfel

ca M să fie mijlocul segmentului AB . a) 8 x − y + 17 = 0

b) x − 8 y + 17 = 0

c) 8 x − 8 y + 17 = 0

d) 8 x + y − 17 = 0

e) x + 2 y − 4 = 0

f) x − 2 y + 4 = 0

x2 y2 + = 1 se duce o coardă a 2 b2 perpendiculară pe axa mare. Să se găsească lungimea acestei coarde. TG - 178 Prin focarul F(c,0) al elipsei

a)

a b

b)

b a

c)

2b a2

⎛ 3⎞ ⎝ 2⎠

d)

2b 2 a

TG – 179 Fiind dat punctul M ⎜1, ⎟ al elipsei : (E )

e)

a2 b

f) a + b

x2 y2 + − 1 = 0 , să se scrie 4 3

ecuaţiile dreptelor suport pentru razele focale ale acestui punct.

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

211

a) x + y = 1 3x + 4 y + 3 = 0

b) x − 1 = 0 3x − 4 y + 3 = 0

c) x + y + 1 = 0 x + 3y + 4 = 0

d ) 2x − y + 3 = 0 3x − 4 y + 2 = 0

e) x − 1 = 0 3x + 4 y + 3 = 0

f ) x −1 = 0 3x − 4 = 0

TG – 180 Să se afle punctul de pe elipsa

dreapta x + ay = 3a .

⎛ a 3⎞ ⎟ , ⎜ 2 2 ⎟; ⎠ ⎝

⎛a 3⎞ ⎝2 2⎠

b) ⎜

⎛ a 3⎞ , ⎟; ⎝ 2 2⎠

e) ⎜⎜

a) ⎜ , ⎟;

⎛ a

⎞ , 2 ⎟⎟; ⎝ 3 ⎠

d) ⎜ −

TG – 181 Fie elipsa

x2 y2 + = 1 care este cel mai apropiat de 3 a2 ⎛a 2 6⎞ ⎟ ⎜ 3 3 ⎟; ⎠ ⎝

c) ⎜ ,

f) (a,0 )

x2 y2 + − 1 = 0 , a > b şi unul din focare situat în punctul F. a2 b2

Prin F se duce o secantă oarecare, care taie elipsa în punctele M şi N. Să se calculeze valoarea expresiei E =

1 1 + FM FN

a) E =

2a b2

b) E =

a b2

c) E =

a 2b 2

d) E =

2b a2

e) E =

b a2

f) E =

b 2a 2

TG - 182 Să se calculeze aria unui pătrat având două vârfuri ce coincid cu x2 y2 + −1= 0. focarele elipsei E: 25 16

Culegere de probleme

212 a) 36

b) 18

c) 36 sau 18

d) 9 sau 18

e) 36 sau 9

f) 20

x2 y2 + = 1 se înscrie un dreptunghi astfel încât două laturi 49 24 opuse ale sale să treacă prin focare. Să se calculeze aria acestui dreptunghi.

TG - 183 În elipsa

a) 27 3

b)

480 7

c) 27 3 + 1

d) 27 + 2 e)

3 2

f) 25

TG - 184 Un romb cu latura de lungime 5 şi înălţimea de lungime 4,8 are diagonalele situate pe axele de coordonate (Ox) şi (Oy). Să se determine elipsele, având axa mare pe (Ox), care trec prin două vârfuri opuse ale rombului, iar focarele sunt situate în celelalte două vârfuri.

a)

x2 y2 + =1 16 9

b)

x2 y2 x2 y 2 + − 1 = 0, + −1 = 0 25 8 16 8

c)

x2 y2 + −1 = 0 4 1

d)

x2 y2 + =1 25 4

e)

x2 y2 x2 y2 + − 1 = 0, + −1 = 0 25 16 25 9

f)

x2 y2 + −1 = 0 9 4

TG - 185 Să se determine focarele elipsei x 2 + 3 y 2 − 9 = 0 .

a) F1 (− 3,0 ), F2 (3,0 )

(

) (

d) F1 0,− 6 , F2 0, 6

⎛ 1 ⎞ ⎝ 3 ⎠

b) F1 (0,−3), F2 (0,3)

)

TG - 186 Se dă hiperbola

(

) (

e) F1 − 6 ,0 , F2

6 ,0

⎛1 ⎞ ⎝3 ⎠

c) F1 ⎜ − ,0 ⎟, F2 ⎜ ,0 ⎟

)

(

) (

f) F1 − 3 ,0 , F2

3 ,0

x2 y2 − = 1 . Să se calculeze coordonatele focarelor F şi F’. 9 16

)

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

213

a)

F (5,0 ) F ' (− 5,0 )

b)

F (0,5) F ' (0,−5)

c)

F (3,0) F ' (− 3,0 )

d)

F (0,3) F ' (0,−3)

e)

F (3,4) F ' (− 3,4 )

f)

F (0,4) F ' (0,−4)

TG - 187 Se dă hiperbola H: 2 x 2 − 5 y 2 − 10 = 0. Să se determine vârfurile şi asimptotele hiperbolei H.

a) (-5,0),(5,0); y =

2 2 x, y = − x 5 5

c) (- 5 ,0),( 5 ,0); y = e) (-2,0),(2,0); y =

2 2 x, y = − x 5 5

5 5 x ,y =− x 2 2

b) (- 5 ,0), ( 5 ,0); y =

2 2 x, y = − x 5 5

d) ( 2 ,0), (- 2 ,0); y =

5 5 x, y = − x 2 2

f) (- 2 ,0), ( 2 ,0); y =

5 5 x ,y =− x 2 2

TG - 188 Să se scrie ecuaţia hiperbolei care trece prin focarele elipsei

x2 y2 + = 1 şi are focarele în vârfurile acestei elipse. 169 144 a)

x2 y2 − =1 169 144

b)

x2 y2 − =1 16 25

c)

x2 y2 − =1 25 144

d)

x2 y2 − =1 169 25

e)

x2 y2 − =1 16 144

f)

x2 y2 − =1 169 16

TG – 189 Să se scrie ecuaţia hiperbolei ce are asimptotele y = ±

prin punctul P(5,-2).

2 x şi care trece 3

Culegere de probleme

214 a) 64 x 2 − 144 y 2 − 1 = 0

b) 4 x 2 − 9 y 2 − 64 = 0

c) 9 x 2 − 64 y 2 − 1 = 0

d) 144 x 2 − 64 y 2 − 1 = 0

e) 9 x 2 − 4 y 2 − 64 = 0

f)

y2 = 1 , să se calculeze aria triunghiului 4 9 format de asimptotele hiperbolei (H) şi dreapta (d ) : 9 x + 2 y = 24. TG – 190 Pentru hiperbola

a) 24

b) 16

(H ) : x

2

x2 y2 1 − − =0 9 4 36

−

c) 18

d) 12

e) 14

f) 15

TG – 191 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei :

x2 y2 − = 1 la cele două asimptote. a2 b2 a)

a2 − b2 ; a2 + b2

b)

a2 + b2 ; a2 − b2

c)

d)

a 2b 2 ; a2 + b2

e)

a 2b 2 ; a2 − b2

f) 1.

a+b ; a2 + b2

TG - 192 Se consideră hiperbola de vârfuri A(a,0), A' (-a,0) şi focare F(c,0) şi F ' (−c,0) . Perpendiculara în A pe axa (AA' ) taie o asimptotă în G. Să se determine mărimea unghiului FGF ' .

2π π π π 3 5 b) c) d) e) arctg f) arctg 3 3 4 2 2 4 TG - 193 Să se determine unghiul ascuţit dintre asimptotele hiperbolei c x2 y2 − 2 = 1 , având raportul = 2 , c - fiind abscisa unui focar al hiperbolei. 2 a a b a)

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

a) 30°

b) 45°

c) 90°

215

d) 15°

e) 75°

f) 60°

TG - 194 Un cerc de centru C(0,2) este tangent ramurilor hiperbolei y2 x2 − − 1 = 0. Să se determine coordonatele punctelor de contact. 4

(

) (

a) − 41 ,8 şi

)

41 ,8

⎛ 8 41 ⎞ ⎛8 41 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ şi ⎜⎜ , d) ⎜⎜ ,− 5 ⎠ ⎝5 5 ⎠ ⎝5

⎛ 1 8⎞ ⎛ 1 8⎞ b) ⎜ − , ⎟ şi ⎜ , ⎟ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 5 5⎠

⎛ 41 8 ⎞ c) ⎜⎜ − , ⎟ şi 5 5 ⎟⎠ ⎝

e) (1,0) şi (-1,0)

f)

(

⎛ 41 8 ⎞ ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝ 5 5⎠

) (

2 ,2 şi − 2 ,2

)

x2 − y 2 = 1 . Prin punctul A(+3, -1) să se ducă o coardă la 4 hiperbolă astfel încât acest punct s-o împartă în două părţi egale.

TG - 195 Se dă hiperbola

a) -x + y + 4 = 0

b) x + y - 2 = 0

d) -2x + y + 7 = 0

c) 3x + 4y - 5 = 0

e) 2x + y - 5 = 0

f) -3x + y + 10 = 0

TG - 196 Să se determine coordonatele focarului F al parabolei y 2 = 2 x

⎛1 ⎞ ⎝2 ⎠

a) F ⎜ ,0 ⎟

b) F (1,0)

c) F (2,0)

⎛ 1 ⎞ ,0 ⎟ ⎝ 2 ⎠

d) F ⎜ −

⎛ ⎝

1⎞ 2⎠

e) F ⎜ 0, ⎟

f) F (0,1)

TG - 197 Prin focarul parabolei y 2 = 8 x se duce o coardă AB care face unghiul α

cu axa (Ox). Dacă prin focar se mai duce şi corda CD care este perpen-diculară pe

AB , să se calculeze suma S= a)

1 8

b)

1 4

1 1 + AB CD 1 c) 2

d) 8

e) 4

f) 2

TG - 198 Să se determine ecuaţia unei parabole raportată la axa de simetrie şi tangenta în vârf, ştiind că trece prin punctul A(3,3).

a) y2 = 3x

b) y2 = 3x

c) y2 = 9x

d) y2 = 6x

e) y2 = 3x

f) y2 = 6x

Culegere de probleme

216

TG – 199 La ce distanţă de vârf trebuie plasată o sursă luminoasă pe axa unui reflector parabolic de înălţime 20 cm şi diametrul bazei 20 cm, pentru a produce prin reflexie un fascicol de raze paralele.

a) 10 cm;

b) 2 cm;

c) 2,5 cm;

d) 3 cm;

e) 1,25 cm;

f) 1,5 cm.

TG - 200 Să se determine un punct M situat pe parabola y2 = 64x, cât mai aproape posibil de dreapta 4x + 3y + 37 = 0 şi să se calculeze distanţa de la punctul M la această dreaptă.

a) M(9, -24), d = 5

b) M(9, -24), d =

d) M(9,24), d = 5

e) M(1, -8), d =

1 5

1 5

c) M(1,8), d = 5 f) M(1,1), d = 1

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )

Culegere de probleme

218

AM - 001 Să se calculeze: L = lim

2 n + ( − 2)

d) L =

1 3

, n ∈N .

3n

n→∞

a) L = 1

n

b) L nu există

c) L = 0

⎧0, n = 2 k + 1 ⎪ e) L = ⎨ 2 ⎪⎩ 3 , n = 2 k

f) L =

2 3

AM - 002 Precizaţi toate valorile parametrului a ∈( 0,+∞) pentru care 2 n + 3n + a n =0. n→∞ 3n + 4 n lim

a) a ∈( 0,1)

b) a ∈( 2,3)

c) a ∈(0,4)

d) a ∈( 0,2)

e) a ∈{5,6,7}

AM - 003 Să se calculeze limita şirului cu termenul general a n =

a) 1

b) 0

c) 3

d)

1 3

b) 2

c) 0

AM - 005 Să se calculeze lim a n , unde n →∞

d) e

3n , n ≥ 1. n!

e) 2

AM - 004 Să se calculeze limita şirului cu termenul general a n =

a) 1

f) a ∈( 0,+∞ )

e) 3

nn

(n!)

2

f)

1 2

f)

1 3

.

Elemente de analiză matematică

219

1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ a n = ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎜ 1 − 2 ⎟ ... ⎜ 1 − 2 ⎟ , n ≥ 2 . ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ n ⎠ a) 1

b) 2

c) 3

d)

1 2

e)

1 4

f)

1 3

AM - 006 Să se determine limita şirului cu termenul general

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ ⎛ 1 ⎞⎛ a n = ⎜1 + ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 4 ⎟...⎜1 + 2n −1 ⎟ , ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ a) 4

b) 2

c) 1

d) 0

e)

n ∈ N* . 1 2

f) 3

AM - 007 Care este limita şirului cu termenul general n a n = 3 5 ⋅ 9 5 ⋅ 27 5⋅...⋅ 3 5,n ∈ N * ? a)

3

5

b)

5

c)

1 5

d)

2 5

e) 2 3 5

AM - 008 Calculaţi limita şirului cu termenul general an = 2n sin a) 1

b) 0

c) π

d)

π 2

f) 2 5

π n

, n ≥1 f) ∞

e) 2π

x x x AM - 009 Să se precizeze valoarea limitei L = lim cos ⋅ cos 2 ⋅ ... ⋅ cos n , n→∞ 2 2 2 unde x ∈R \ {0} . a) L = x sin x d) L =

sin x 2

b) L =

sin x x

e) L = 2 sin x

c) L = sin x f) L =

sin 2 x 2x

Culegere de probleme

220

1 + xe nx . n→∞ 1 + e nx

AM - 010 Fie x ∈ R . Să se calculeze: f ( x ) = lim

a) f ( x ) = 1 , x ∈ R ⎧ x , dacă x ≥ 0 d) f ( x ) = ⎨ ⎩1 , dacă x < 0

b) f ( x ) = x , x ∈ R

c) f ( x ) = x 2 , x ∈ R

⎧1 , dacă x ≥ 0 e) f ( x ) = ⎨ ⎩ x , dacă x < 0

⎧ x , dacă x > 0 ⎪1 ⎪ f) f ( x ) = ⎨ , dacă x = 0 ⎪2 ⎪⎩1 , dacă x < 0

AM - 011 Care este limita şirului cu termenul general a n = n 2

(

1 a) ln 2 2

1 e) ln 5 4

b) ln 2

1 c) ln 3 3

d) e ln 2

n

)

2 − n +1 2 , n ≥ 2 ? 1 f) ln 2 3

AM - 012 Să se calculeze, pentru k ∈ N , a ∈ R , a > 0 , a ≠ 1, limita

⎛ 1 ⎞⎛ n − 1 n +1⎞ ⎟. L = lim n k ⎜⎜ a n − 1⎟⎟ ⎜⎜ − n→∞ n n + 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎧0, k < 3 ⎪ a) L = ⎨− ln a , k = 3 ⎪+ ∞ , k > 3 ⎩

⎧0, k < 3 ⎪ b) L = ⎨− ∞, k > 3 ⎪− ln a , k = 3 ⎩

⎧0, k < 3 ⎪− ln a , k = 3 ⎪ c) L = ⎨ ⎪− ∞, k > 3 şi a > 1 ⎪⎩+ ∞, k > 3 şi a < 1

⎧+ ∞, k ≥ 3, a > 1 d) L = ⎨ ⎩0, k ≤ 3

⎧0, k ≤ 3 e) L = ⎨ ⎩+ ∞ , k > 3

⎧− ∞, k < 3 şi a < 1 ⎪ f) L = ⎨+ ∞, k > 3 şi a > 1 ⎪− ln a , k = 0 ⎩

AM - 013 Care este valoarea limitei şirului cu termenul general

⎛ 2n + n + 3 ⎞ ⎟⎟ a n = ⎜⎜ ⎝ 2n + 1 ⎠ a) e

b)

3

e

c)

n

? e

d)

1 e

e) e2

f) 0

Elemente de analiză matematică

221

⎛ n 2 − 1⎞ AM - 014 Să se calculeze lim a n , unde a n = ⎜ 2 ⎟ n →∞ ⎝ n + 1⎠ a) α

b) e α

αn 2 2

, α ∈R .

d) e −α

c) 0

e) e 2 α

f) − α

AM - 015 Să se calculeze limita şirului cu termenul general

[(n + 1)(n = 2

an

a) e 2

2

3n

2

b) e −6

)]

)( ( n + n)

− n + 1 n 2 − 2n + 1

c) e −4

n

, n ≥ 1.

d) e 3

e) e −3

f) 1

⎡ π 1 ⎞⎤ ⎛π AM - 016 Să se calculeze L = lim ⎢n sin n + tg n ⎜ + n ⎟ ⎥ . n→∞ ⎝ 4 2 ⎠⎦ 2 ⎣ a) L = 0

b) L = 2

c) L =

1 2

d) L = 1

e) L = −1

f) L = 3

AM - 017 Să se determine mulţimea valorilor a ∈ R , astfel ca

(1 − a ) 2

lim

n→∞

a) (0,1)

b) {− 2,2}

2

⋅ n2 + 2

n

= 3.

c) {0,1}

d) {0,1,2}

e) ( − 2,2)

f) ( − 11 ,)

AM - 018 Să se determine constanta α ∈R astfel încât lim n α ⎛⎜ n + n − n − n ⎞⎟ să fie finită. ⎝ ⎠ n→∞ a) α ≤ 1

b) α ≤ 0

c) 0 < α < 1

d) α > 1

e) α = −1

f) α =

1 2

Culegere de probleme

222

AM - 019 Să se determine numerele reale a, b, c astfel încât lim n⎛⎜ an + cn 2 + bn + 2 ⎞⎟⎠ = 1. n→∞ ⎝ a) a = −1, b = 0, c = 1

b) a = −1, b = 0, c = −1

c) a = b = c = −1

d) a = b = c = 0

e) a = 1, b = 0, c = −1

f) a = 0, b = c = −1

AM - 020 Ce relaţie trebuie să existe între parametrii reali a şi b astfel încât să

(

)

aibă loc relaţia: lim a n + 1 + b n + 2 + n + 3 = 0 ? n→∞

a) a + b = 0

b) a + b + 1 = 0

c) a + b = 1

d) a = b = 1

e) a = 1, b = 0

f) a 2 = b 2

AM - 021 Fie a 0 , a1 ,..., a k numere reale astfel încât a 0 + a1 + ... + a k = 0 .

(

)

Să se calculeze L = lim a 0 3 n + a1 3 n + 1 + ... + a k 3 n + k . n→∞

a) L = 1

b) L = 2

c) L =

k 3

d) L =

1 2

e) L = 0

f) L =

2k 3

AM - 022 Să se determine a , b ∈R astfel încât: lim ⎛⎜⎝ 3 1 − n 3 − an − b⎞⎟⎠ = 0 . n→∞

a) a = 1, b = 0

b) a = −1, b = 1

c) a = −1, b = 0

d) a = b = 0

e) a = b = 1

f) a = 1, b = 2

AM - 023 Să se calculeze lim sin 2 ⎜⎛⎝ π n 2 + 3n + 4 ⎟⎞⎠ . n→∞

a)

1 2

b)

1 4

c)

3 4

d)

1 3

e) 1

f) 0

Elemente de analiză matematică

AM - 024 Să se calculeze lim

1 + a + a 2 + ... + a n

n→∞

a)

1− a 1− b

b)

1− b 1− a

, dacă a , b ∈( − 11 , ).

1 + b + b 2 + ... + b n

c)

1+ a 1− b

d)

223

1− a 1+ b

e)

a b +1

f)

1+ b 1+ a

AM - 025 Într-o progresie aritmetică a1 , a 2 ,..., a n ,... suma primilor n termeni

3n 2 + 9n , oricare ar fi n ≥ 1 . Să se determine a n şi să se calculeze: 2 a + a 2 + ... + a n L = lim 1 . n →∞ n an

este S n =

a) a n = 3n, L = 1 d) a n = n + 2, L =

b) a n = 3n + 3, L = 3 2

1 2

e) a n = 3n + 3, L =

c) a n = 3n + 3, L = 2

3 2

f) a n = 4n, L =

AM - 026 Să se calculeze limita şirului ( x n ) n≥1 , unde

(

(

)

2 3

)

x n = ac + (a + ab)c 2 + a + ab + ab 2 c 3 + ... + a + ab + ... + ab n c n +1 , a, b, c fiind

numere reale astfel încât c < 1, b ≠ 1 şi bc < 1 . a) 0

d)

b)

2ac (1 − c)(1 − bc)

n→∞

b)

c) 1

e) ac

AM - 027 Să se calculeze: lim

a) 1

ac (1 − c)(1 − bc)

5 6

c)

1 n3 3 2

∑ (k n

2

f)

abc (1 − c)(1 − bc)

4 3

f) 2

)

− nk + n 2 .

k =1

d)

2 3

e)

Culegere de probleme

224

1 1 ⎞ π2 ⎛ , care este valoarea limitei AM - 028 Dacă lim ⎜ 1 + 2 + ... + 2 ⎟ = n→∞ ⎝ 6 n ⎠ 2 ⎡ ⎤ 1 1 1 ⎥ ? lim ⎢1 + 2 + 2 + ... + 2 n→∞ ⎢ ⎥ 3 5 n 2 − 1 ( ) ⎣ ⎦ a)

π2 2

b)

π2 3

c)

π2 4

d)

π2 8

e)

π2 12

f)

2π 2 3

1 ⎞ ⎛1 1 +...+ 2 ⎟. 4n − 1 ⎠ ⎝ 3 15

AM - 029 Să se calculeze: lim⎜ + n →∞

a) 1

b) 2

c)

3 2

1 2

d)

AM - 030 Să se determine limita şirului (a n )n ≥1 , unde a n =

a) 1

b) 0

c) e

d)

1 e

e)

3 5

f) 3

2k + 1

n

∑ k (k + 1) k =1

2

e) 1 − e

2

.

f) 2

2 k −1 (k −1) ∑ (k +1) ! n→∞

AM – 031 Să se calculeze L = lim

n

k =2

a) L = 1

b) L = e;

c) L = e2;

d) L = 0;

e) L = 2

f) L =

1 e

AM - 032 Se consideră şirul cu termenul general n

Sn = a) 1

b)

1⎞ 1 1 1 ⎛ + +...+ , n∈N* . Să se calculeze: lim 2 n ⎜ S n − ⎟ . n →∞ n(n + 2) 1⋅3 2⋅ 4 4⎠ ⎝

1 e

2

c) e

d)

1 e

e) 2e

f) 4e

Elemente de analiză matematică

225

n

⎡4 n ⎤ 1 AM - 033 Să se calculeze L = lim ⎢ ⋅ ⎥ . n→∞ 3 ⎢⎣ k =1 k ( k + 2) ⎥⎦

∑

3

a) L = 1

b) L = e 2

AM - 034 Fie a n =

c) L = e

d) L = e

−

4 3

e) L = e

−

1 2

f) L = 2

n şi S n = a1 + a 2 + ... + a n , oricare ar fi n ∈ N * . n + 1 ! ( )

Să se calculeze: lim S n . n→∞

a) 0

d) + ∞

c) 1

b) e

AM - 035 Fie şirul (a n ) n≥1 , unde a n =

n

e) 2

∑ arctg 1 + k ( k + 1) x x

k =1

2

f)

1 2

şi x > 0 . Să se

calculeze lim a n . n →∞

a) + ∞

b) − ∞

c) arctg

1 x

d) arctg

2

1 x

e) 1

f) 0

AM - 036 Să se calculeze limita şirului cu termenul general: 1 1 1 an = + + ... + , n ≥ 1. 2 2 2 n +1 n +2 n +n

a) 2

b)

1 2

c)

2 3

d) 1

e) 4

AM - 037 Să se calculeze limita şirului cu termenul general a n =

n

a) 2

b)

1 2

c)

1 4

d)

1 3

k3 + k

∑n k =1

f) 3

4

e) + ∞

+k

,n ≥ 1 f) 0

Culegere de probleme

226

n

AM - 038 Să se calculeze: lim

n→∞

a)

1 2

⎛

∑ ⎜⎜⎝

1+

k =1

b) 1

c) 2

⎞ k − 1⎟⎟ . 2 n ⎠ d)

1 4

e) 4

f) 3

e) 1

f) 2

n 1 π . cos n→∞ 3n + 1 2n + k k =1

∑

AM - 039 Să se calculeze: lim

a)

1 2

b) 0

c)

1 4

d)

1 3

n ⎛ 2π ⎞ AM - 040 Notând L = lim ⎜ n − cos ⎟ , precizaţi care din următoarele n→∞ ⎝ n + k⎠ k =1 afirmaţii este adevărată.

∑

a) L = 0

b) L = 1

c) L = +∞

d) L = e

f) L = 2

e) L nu există

AM - 041 Fie şirul ( x n ) n≥0 astfel încât x 0 = 1 şi x n +1 =

xn 3

1 + x n3

, n≥0.

Să se calculeze lim x n . n→∞

a) 1

b) 0

c) 2

d) nu există

AM - 042 Fie şirul ( x n ) n≥0 definit prin x 0 = 3 şi x n =

e) + ∞

f) − ∞

1 x n −1 − 4 , n ≥ 1 . 3

Să se calculeze lim x n . n →∞

a) 0

b) 1

c) − 2

d) − 3

e) –6

f) nu există

Elemente de analiză matematică

227

1 ⋅ a n , n ≥ 0 . Să se 10 determine L = lim a n în funcţie de a 0 ∈ R .

AM - 043 Fie şirul (a n ) n≥0 definit astfel: a n +1 − a n = n→∞

a) L = a 0

⎧1, dacă a 0 ≥ 0 b) L = ⎨ ⎩0, dacă a 0 < 0

c) L = +∞, ∀a 0 ∈ R

⎧+ ∞, dacă a 0 ≥ 0 d) L = ⎨ ⎩1, dacă a 0 < 0

⎧+ ∞, dacă a 0 > 0 ⎪ e) L = ⎨0, dacă a 0 = 0 ⎪− ∞, dacă a < 0 0 ⎩

⎧1 ⎪ , dacă a 0 ≠ 0 f) L = ⎨ a 0 ⎪0, dacă a = 0 0 ⎩

AM - 044 Se consideră şirul ( x n ) n≥ 0 definit prin: x n +1 = x n2 − 2 x n + 2 , unde

x 0 = a cu a > 0 . Să se determine toate valorile parametrului a pentru care şirul este convergent şi apoi să se calculeze limita şirului. a) a ∈(1,2] , lim x n = 1

b) a ∈[1,2] , lim x n = 1

⎧⎪1, dacă a ∈( 0,2) c) a ∈( 0,2] , lim x n = ⎨ n →∞ ⎪⎩2, dacă a = 2

⎧⎪1, dacă a ∈(1,2) d) a ∈[1,2] , lim x n = ⎨ n →∞ ⎪⎩2, dacă a = 2

e) a ∈(0,1] , lim x n = 1

f) a ∈( 0,2) , lim x n = 1

n→∞

n→∞

n→∞

n →∞

AM - 045 Să se calculeze: lim x→7

a) −

1 56

b)

1 56

2− x−3 . x 2 − 49

c)

1 48

d) −

1 48

e) 0

f) 1

Culegere de probleme

228

AM - 046 Determinaţi numerele reale a şi b astfel încât:

lim x →1

x 2 + 3x + a − b 5 = . 18 x2 + x − 2

a) a = −3, b = −5

b) a = 3, b = −5

c) a = 5, b = 3

d) a = −5, b = −3

e) a = 2, b = 1

f) a = −2, b = −1

AM - 047 Să se determine parametrii a şi b reali, aşa încât: lim ⎛⎜ 3 8 x 3 − ax 2 − bx + 2⎞⎟⎠ = 1 . x →−∞ ⎝ a) a = 12, b = 2

b) a = 10, b = 2

c) a = 12, b = 4

d) a = −10, b = 2

e) a = 8, b = 6

f) a = 6, b = 10

⎛ 2 x + 3x + 4 x AM - 048 Să se calculeze: lim⎜⎜ x →∞ 3 ⎝ a)

24

b)

3

24

c) 4

1x

⎞ ⎟⎟ . ⎠ d) 1

e)

2

f)

e

1 ⎛ 1 ⎞ AM - 049 Fie lim x 3 ⎜⎜ e x − e x +1 ⎟⎟ . Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? x →−∞ ⎝ ⎠

a) limita nu există

b) limita este –1

c) limita este − ∞

d) limita este 0

e) limita este + ∞

f) limita este 1

AM - 050 a) –1

(1 + x ) Să se calculeze limita: lim x→0

b) −

e 2

c) 0

1x

x

−e

.

d) + ∞

e) 1

f)

e 2

Elemente de analiză matematică

229

1 . e −e Să se cerceteze existenţa limitelor laterale ale lui f în punctele x = 0 şi x = 1 .

AM - 051 Se consideră funcţia f : R \ {0,1} → R , definită prin: f ( x ) =

1x

1 a) f (0 − 0) = − , f (0 + 0) = 0 e f (1 − 0) = +∞, f (1 + 0) = −∞

1 b) f (0 − 0) = , f ( 0 + 0) = 0 e f (1 − 0) = −∞, f (1 + 0) = +∞

c) f (0 − 0) = e, f ( 0 + 0) = +∞

d) f ( 0 − 0) = −∞, f ( 0 + 0) = +∞

1 , f (1 + 0) = −∞ e

f (1 − 0) = +∞, f (1 + 0) = −∞

f (1 − 0) =

1 1 e) f (0 − 0) = − , f ( 0 + 0) = e e f (1 − 0) = −∞, f (1 + 0) = ±∞

1 1 f) f ( 0 − 0) = , f ( 0 + 0) = − e e f (1 − 0) = −∞, f (1 + 0) = ±∞

AM - 052 Să se determine parametrul real a astfel încât funcţia f : R \ {1} → R , ⎧a ln( 3 − x ), dacă x < 1 ⎪ să aibă limită în punctul x = 1. definită prin f ( x ) = ⎨ 2 x − 2 , dacă x > 1 ⎪ ⎩ x −1 1 a) 0 b) 1 c) 2 d) e) ln2 2

f) 2ln2

n ⎞ ⎛ m * AM - 053 Să se determine: lim⎜ − ⎟ , unde m, n ∈N . m x →1⎝ 1 − x 1− xn ⎠ a) m − n

b)

m−n 2

c) m + n

d)

m+n 2

e) 1

f) 0

3 2

f) 3

2

e x − cos x . AM - 054 Să se calculeze: lim x →0 x2 1 a) –1 b) c) 1 2

d) 2

e)

Culegere de probleme

230

[

]

AM - 055 Să se calculeze: lim x ln(1 + x ) − ln x . x →∞

a) 0

b)

1 2

c) 1

d) 2

e) e

f) 2e

1 ⎞ ⎛ x AM - 056 Să se calculeze: lim⎜ − ⎟. x →1⎝ x − 1 ln x ⎠ a)

1 2

b) 0

c)

3 4

AM - 057 Să se determine: lim x sin x →0

a) − ∞

b) + ∞

d) 1

n(n + 1) 2

b)

x2

n( n + 1)( 2n + 1)

xe −1 x tg 2 x

x→0 x >0

a) 1

b) 0

c) n

12

AM - 059 Să se calculeze: lim

e)

1 − cos x ⋅ cos 2 x ⋅ ... ⋅ cos nx

x→0

a)

e) −

3 4

f) 1

1 . x

c) 0

AM - 058 Să se calculeze: lim

1 2

d) −

d)

1 2

f) nu există

, unde n ∈N * . n2 4

e) 0

f) 1

.

d) π

c) –1

(

e)

π 2

f) 2

)

AM - 060 Să se calculeze: lim sin x + 1 − sin x . x →∞

a) + ∞

b) − ∞

c) 0

d) 1

e)

1 2

f) 2

Elemente de analiză matematică

AM - 061 Să se calculeze: lim

x→π

a)

m n

b) ( − 1) ⋅ m

m n

x→π

a) 0

b) 1

x→0

a b

b)

a2 b2

m− n

⋅

m n

d) ( − 1)

mn

⋅

m n

e)

n m

e)

π 2

f) ( − 1)

n−m

⋅

d) 2 π

tg(ax ) − sin( ax ) tg(bx ) − sin(bx )

c) a ⋅ b

d)

f) π

, unde a , b ∈ R , a ≠ 0 , b ≠ 0 .

a3 b3

e)

a4 b4

f) a 3 ⋅ b 3

1 1 − x x +1 AM - 064 Să se calculeze: L = lim . x →∞ 1 1 arctg − arctg x x +1 a) − ∞

b) + ∞

c) 0

AM - 065 Să se calculeze: Ln = lim x→0

a) 0

b) 1

n m

sin x . x2 1− 2 π

c) 3π

AM - 063 Să se calculeze: lim

a)

sin mx , unde m, n ∈N * . sin nx

c) ( − 1)

AM - 062 Să se calculeze: lim

231

c) n

d) 1

1 − cos(n arcsin x ) x

2

d) n2

e) –1

f) 2

, unde n ∈ N * .

e)

n2 2

f)

n2 4

Culegere de probleme

232 3

ex − 1 . x → 0 sin 3 x

AM - 066 Să se calculeze: lim

a) –1

b) 1

c)

1 2

x 2 cos

AM - 067 Să se calculeze: lim

sin x

x →0

a) –1

b) 0

d) e

e) e2

f) + ∞

1 x.

c) 1

d) sin1

f) 2

e) e

1− x

⎛ 1 + x ⎞ 1− AM - 068 Să se calculeze: lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 + x ⎠ a) 0

b) 1

x→3

b) 1

d) e

tg

πx 6

b) 1

f) 2e

e) e 4 π

f) e 12 π

x2

.

d) e −π

c) e

1 e

e)

. d) e π 3

c) e

2 πx ⎞ ⎛ AM - 070 Să se calculeze: lim ⎜ cos ⎟ x →∞ ⎝ x + 1⎠ a) 0

.

c) 2

AM - 069 Să se calculeze: lim( 7 − 2 x ) a) 0

x

e) e −2 π

2

f) e −π

AM - 071 Se consideră şirul (bn ) n≥1 cu termenul general bn = a1 + a 2 + ... + a n , unde a n = lim(1 − x sin nx ) x →0

a) 1 − e

b)

1 1− e

c) e

1 x2

. Să se calculeze: lim bn . n →∞

d) e − 1

e)

1 e −1

f) 0

2

Elemente de analiză matematică

233

AM - 072 Fie f : (0,+∞) → R , definită prin relaţia

[

f ( x ) = 1 + ln(1 + x ) + ln(1 + 2 x ) + ... + ln(1 + nx ) Să se determine lim f ( x ) .

]

1x

pentru orice x > 0 .

x →0

n ( n +1)

a) 1

b) 0

c) e n

d) e

n ( n +1)( 2 n +1)

e) e

2

6

f) e − n

e) 2e

f) e 2

2

x

⎛ sin x ⎞ x − sin x AM - 073 Să se calculeze: lim⎜ . ⎟ x → 0⎝ x ⎠ a) 1

b)

1 e

c) 0

d) e

(

)

x

⎤ ⎡1 AM - 074 Să se calculeze limita: lim ⎢ a 1 x + b 1 x ⎥ . x →∞ ⎣ 2 ⎦ a) ab

b)

a b

c)

d) a 2 b 2

ab

e) a 3b 3

f)

AM – 075 Să se determine a ∈ R astfel ca funcţia

⎧ ln (1 + x ) ⎪⎪ − x , x ∈ (− 1,0 ) f (x ) = ⎨ 2 2 ⎪ ln 1 + x + x + ln 1 − x + x , x ∈ (0,+∞ ) ax 2 ⎩⎪ să aibă limită pentru x → 0 .

(

)

(

)

a) –2

b) –1

c) −

d) 1

e) 2

f)

1 2

1 2

1 ab 2

Culegere de probleme

234

1

⎞ ln x ⎛π AM - 076 Să se calculeze: lim ⎜ − arctg x⎟ . x →∞ ⎝ 2 ⎠ a) 1

b) 0

c) e

d)

1 e

e) e 2

f)

1 e2

1 3

f)

1 2

1+ x⎞ ⎛ AM - 077 Să se calculeze: lim ⎜ x − x 2 ln ⎟. x →∞ ⎝ x ⎠ a) 1

c) −

b) 2

1 2

d) 3

e)

1 ⎛ π⎞ AM - 078 Se consideră funcţia f : ⎜ 0, ⎟ → R , f ( x ) = 2 − ctg 2 x . Să se ⎝ 2⎠ x calculeze lim f ( x ) . x →0 x >0

a) 1

b)

1 3

c) −

1 3

d)

2 3

e) −

2 3

f)

AM - 079 Pentru ce valori ale numărului natural n există limita:

lim x →0

x cos x − sin x ? xn

{

a) n ∈ N

}

b) n ∈ N \ 2k k ∈ N

{

}

d) n ∈ N \ 2 k k ≥ 2, k ∈ N

{

}

c) n ∈ N \ 2 k + 1 k ∈ N

e) n ∈ N \ {1,2,3}

f) n ∈∅

1 2

Elemente de analiză matematică

235

AM - 080 Să se calculeze pentru n ∈ N , n ≥ 1 , limita L = lim

x n − ( sin x ) x n+2

x→0

a) L =

n 2

b) L =

n2 3

c) L = n − 1

d) L =

n 6

e) L =

n 3

n

.

f) L =

n2 6

AM - 081 Se consideră funcţia x 2 + px − 1 , unde p ∈R . x +1 Să se determine p astfel încât graficul funcţiei să admită asimptotă dreapta y = x + 1 la ramura + ∞ . f : R \ {− 1} → R , f ( x ) =

a) 1

b) 2

c) 3

d) –1

e) –2

f) –3

x 2 − 3ax + 2a 2 , x+k unde a , k ∈ R . Să se precizeze relaţia dintre a şi k astfel încât graficul funcţiei f să admită ca asimptotă dreapta y = x + 1.

AM - 082 Se consideră funcţia f : ( − k ,+∞) → R , f ( x ) =

a) 3a + k = 0

b) 3a + k = −1

c) 3a + k = 1

d) 3a + 2 k = 1

e) 3a + 2 k = 0

f) 3a + 2 k = −1

x2 + 1 , unde D este domeniul x 2 + ax + a maxim de definiţie şi a > 0 . Să se determine a astfel încât graficul lui f să admită o singură asimptotă verticală.

AM - 083 Fie f : D ⊂ R → R , f ( x ) =

a) a = 4

b) a ∈{0,4}

c) a ∈(0,4)

d) a = 2

e) a = 1

f) a ∈( 4,+∞)

x2 − x − 1 , unde D este domeniul maxim x2 + x − 2 de definiţie. Să se determine asimptotele lui f .

AM - 084 Fie f : D ⊂ R → R , f ( x ) =

a) x = 2, x = 3, y = 5

b) x = 3, x = 1, y = 6

d) x = −2, x = 1, y = 1

e) x = 3, x = 4, y = 5

c) x = 2, x = −1, y = 2 1 f) x = , x = 2, y = −1 2

Culegere de probleme

236

AM - 085 Să se determine toate valorile parametrilor reali a, b, c astfel încât ax 4 graficul funcţiei f : E ⊂ R → R , f ( x ) = să admită ca asimptotă dreapta 3 (b + cx)

y = x –3 . a) a = 8, b = −1, c = 2

b) a = 18, b = −1, c = 1

c) a ∈ R , b = − c

d) b = c, a = c 3 , c ≠ 0

e) b = 2c, a = 1

f) b = −2c, a ∈ R

AM - 086 Se dă funcţia f : R \ {2} → R , f ( x ) =

ax 2 + bx + c

, unde a > 0 , x−2 c < 0 , b ∈ R . Să se determine coeficienţii a, b, c astfel ca graficul funcţiei să admită

asimptotă dreapta y = x + 3 , iar f ( 0) = −1 . a) a = 2, b = 1, c = −3

b) a = 1, b = 2, c = 3

c) a = 1, b = 2, c = −3

d) a = 1, b = 1, c = 2

e) a = 1, b = 1, c = −2

f) a = 1, b = −1, c = 2

AM - 087 Se consideră funcţia f : ( − ∞,0] ∪ [4,+∞) → R , f ( x ) = x 2 − 4 x . Să se determine ecuaţia asimptotei spre − ∞ la graficul lui f . a) y = x

b) y = x − 2

c) y = − x + 2

d) y = − x

e) y = − x + 1

f) nu există

AM - 088 Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f : R → R , f ( x) = x −

x2 + x .

c) x = 0 d) y = 1 asimptotă orizontală la + ∞ a) nu are b) y = −1 1 1 e) y = − asimptotă orizontală la + ∞ şi y = 2 x + asimptotă oblică la − ∞ 2 2 1 f) y = asimptotă orizontală la − ∞ 2

Elemente de analiză matematică

237

AM - 089 Să se determine valorile parametrilor p şi q astfel ca graficul funcţiei f : R → R , f ( x ) = px − q x 2 − 1 să admită ca asimptote dreptele y = 2x şi y = 0.

{ } , ), ( − 1,−2)} d) ( p, q ) ∈{( − 11

{ } e) ( p, q ) ∈{( − 1,2), ( 2,1)}

a) ( p, q ) ∈ ( − 1,−1), (1,0)

b) ( p, q ) ∈ (1,−1), (11 ,)

{ } f) ( p, q ) ∈{(2,−1), ( − 1,2)}

c) ( p, q ) ∈ ( 0,1), ( 2,1)

AM - 090 Se dă funcţia f ( x ) = x 2 + αx + β + χx cu α , β, χ ∈R . Să se

determine α , β , χ astfel încât f să fie definită pe R , iar lim f ( x ) = 3 . x →∞

a) α = 6, β ≥ 9, χ = −1

b) α = −6, β ≥ 9, χ = 3

c) α = 1, β = 10, χ = 6

d) α ≥ 3, β ≥ 2, χ ≥ 1

e) α = 6, β = 10, χ = 1

f) α = 1, β = 10, χ = −1

AM - 091 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = ax + bx 2 + cx + 1 ,unde a > 0 , b > 0 , c ∈ R . Să se determine a, b, c astfel încât graficul funcţiei să admită la + ∞ o asimptotă paralelă cu dreapta y = 4x –2 , iar la − ∞ asimptota orizontală y = –1 . a) a = 1, b = 1, c = 2

b) a = 2, b = 1, c = 2

c) a = 1, b = 4, c = 4

d) a = 2, b = 4, c = 4

e) a = 1, b = 4, c = −4

f) a = −1, b = −1, c = −2

AM - 092 Să se determine asimptotele oblice ale funcţiei f : R \ {1} → R , f ( x) = x ⋅ e

1 x −1

.

a) y = x şi y = − x

b) y = 2 x şi y = −2 x

d) y = 2 x + 3 şi y = − x + 1

e) y = x +

1 şi y = − x 2

c) y = x + 1 şi y = x − 1 f) y = −

1 x şi y = x 2

Culegere de probleme

238

x2 + 1 ⎧3⎫ . Să se AM - 093 Fie funcţia f : R \ ⎨ ⎬ → R , definită prin f ( x ) = 2x − 3 ⎩2 ⎭ determine asimptotele la graficul acestei funcţii. a) x =

3 1 1 ,y= ,y=− 2 2 2

b) x =

3 ,y=x 2

d) x =

3 ,y=0 2

3 1 1 e) x = − , y = , y = − 2 2 2

c) x =

3 1 ,y=x+ 2 2

f) x = 1, y = x + 1

AM - 094 Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f : R → R , f ( x ) = x − 2arctg x .

a) x = 0, x = 1

b) y = 0

c) y = x , y = − x

d) nu are asimptote

e) y = πx , y = − πx

f) y = x + π, y = x − π

⎧⎪2 x − a 2 x 2 + ax + 1 , x ≤ 1

AM - 095 Fie f : R → R, f ( x ) = ⎨

⎪⎩ x − 1 + a x , x > 1

.

Să se determine valorile parametrului real a pentru care f este continuă pe R. b) a = −

a) a = −1

⎧ ⎩

3⎫ 5⎭

d) a ∈ ⎨− 1, ⎬

⎧ ⎩

3 5

c) a = 0

5⎫ 3⎭

e) a ∈ ⎨− 1, ⎬

f) a ∈ ∅

1 ⎧ ⎪arctg x , x ≠ 0 AM - 096 Fie funcţia f : R → R , definită prin f ( x ) = ⎨ pentru ⎪c , x = 0 ⎩ orice x ∈R.Să se determine valoarea constantei c ∈R pentru care f este continuă pe R a) c = 0

b) c = 1

c) c = −1

d) c =

π 2

e) c = −

π 2

f) c = π

Elemente de analiză matematică

239

AM - 097 Se consideră f : [0, π] → R , definită prin:

⎧e 3 x , pentru x ∈[0,1] ⎪ . f ( x ) = ⎨ sin( x − 1) , pentru x ∈(1, π ] ⎪a 2 ⎩ x − 5x + 4 Determinaţi valorile lui a astfel încât funcţia f să fie continuă pe [0, π ] .

a) 2e 3

c) − 3e 3

b) e

d) 3e 3

e) 3e 2

f) 2e

AM - 098 Să se determine β ∈ [0,1] astfel ca funcţia f : R → R ,

⎧ x 2n − x 2 + 6 , dacă x < 1 ⎪nlim să fie continuă pe R . f ( x ) = ⎨ →∞ x 2 n + x 2 + 4 ⎪1 + x 2 − β ⋅ e − x , dacă x ≥ 1 ⎩ a) β = e

b) β = 1

c) β = −1

d) β = e −1

e) β = 0

f) β = e 2

AM - 099 Să se studieze continuitatea funcţiei definită prin: ⎧ 1− x2 ⎪ 1 ln , x ∈R \ {− 1,0,1} . f ( x) = ⎨ x 2 1+ x2 ⎪ ⎩− 2 , x = 0

a) f continuă pe R

b) f continuă pe R \ {0}

c) f continuă pe R \ {− 11 ,}

d) f discontinuă în x = 0

e) f discontinuă pe R

f) f continuă pe R \ {1,0}

⎧2 − x, x ∈ Q . ⎩2 x, x ∈ R \ Q

AM - 100 Fie funcţia f : R → R , definită prin f ( x ) = ⎨

Să se determine mulţimea punctelor în care f este continuă. ⎧2 ⎫ a) R \ ⎨ ⎬ ⎩3⎭

b) R

c) Q

⎧2 ⎫ d) ⎨ ⎬ ⎩3⎭

e) ∅

f) {0}

Culegere de probleme

240

AM - 101 Să se determine mulţimea punctelor în care funcţia f : R → R , ⎧⎪ x 2 − 1 , x ∈ Q este continuă. f ( x) = ⎨ ⎪⎩1 , x ∈ R \ Q a) {0}

{

b) {0,2}

}

c) {− 2,2}

{

d) − 2 ,2

e) − 2 ,0, 2

} (

{

f) − 2 , 2

}

)

1 + xn x2 + 4 , să se precizeze care n →∞ x xn + 1

AM - 102 Fiind dată funcţia f ( x ) = lim

(

)

este domeniul maxim de definiţie A şi mulţimea punctelor sale de discontinuitate D. a) A = ( 0,+∞), D = {1,2}

b) A = R \ {− 1,0}, D = {1}

c) A = ( − 1,+∞) \ {0}, D = {1}

d) A = R \ {− 1,0}, D = {− 1}

e) A = R \ {− 1,0}, D = {0,1}

f) A = ( − ∞,−1), D = {0,−1}

AM – 103 Să se determine punctele de discontinuitate ale funcţiei

[ ]

f : 1, e 2 → R ,

f ( x ) = [ln x ] .

a) {1} ;

b) {2} ;

d) ∅

e) 1, e, e 2

{

{ }

c) e, e 2 ;

}

f) {1,2, e}

Elemente de analiză matematică

241 ⎧x ⎡2⎤ , ⎪

x≠0

⎪a ⎩

x=0

AM – 104 Fie f : R → R funcţia definită prin f ( x ) = ⎨ 3 ⎢⎣ x ⎥⎦

,

unde [x ] reprezintă partea întreagă a lui x ∈ R . Să se determine valoarea lui a ∈ R pentru care funcţia este continuă în punctul x = 0. a) a = 0;

b) a = −

2 ; 3

c) a =

2 ; 3

d) a = 2;

e) a =

1 ; 3

f) a ∈ ∅

AM – 105 Se cere mulţimea de continuitate a funcţiei f : R → R ,

1 ⎧ ⎪ xarctg x 2 − 3x + 2 , x ∈ R \ {1,2} ⎪ ⎪ ⎪π f (x) = ⎨ , x=1 2 ⎪ ⎪π , x=2 ⎪ ⎪ ⎩ a) R b) R ∗ d) R \ {1,2} e) R \ {1}

c) R +

f) R \ {2} .

AM - XI. 106 Funcţia f : R → R

⎧ x2 + a ⎪− 2 , x < −2 ⎪⎪ f ( x ) = ⎨ x − b, x ∈ [− 2,2] ⎪ x2 + a ⎪ , x>2 ⎩⎪ 2 este continuă pe R dacă: a) a=b=0

b) a=2, b=0

c) a=0, b=1

d) a=2, b=1

e) a=b=1

f) a=b=2

Culegere de probleme

242

AM - 107 Se consideră funcţia f : [0,2] → R , f ( x ) =

x − [x ] , unde [x ] este 2 x − [x ] + 1

partea întreagă a lui x. Fie S suma absciselor punctelor de discontinuitate ale graficului funcţiei f; atunci: a) S =

1 2

b) S=1

c) S=2

e) S =

d) S=3

3 2

f) S=0

AM - 108 Fie funcţia f : D → R ,

1 1 ⎧ ⎪ x ln x + (1 − x )ln 1 − x f (x ) = ⎨ ⎪0 ⎩

x ≠ 0, x ≠ 1 x = 0, x = 1

unde D este domeniul maxim de definiţie. Să se determine D şi mulţimea de continuitate C. a) D = [0,1] ; C=(0,1)

b) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,1) \ {0}

c) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,1]

d) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,1)

e) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,0 ) ∪ (0,1]

f) D = R; C = R

AM – 109 Se consideră funcţia f : [0,1] → R ;

x = 0 sau x = 1 ⎧ 0, ⎪ 1 ⎪ x sin 1 , 0<x< π x ⎪⎪ f (x) = ⎨ 1 1 ≤ x ≤ 1− ⎪ 0, π π ⎪ 1 1 ⎪ 1 − x sin , 1− < x < 1 ) ⎪⎩ ( π 1− x Să se determine mulţimea punctelor din [0,1] în care f este continuă

1

a) f este discontinuă în x = 0

b) f nu este continuă în x =

c) f este continuă pe [0,1]

d) f este continuă pe [0,1] \ ⎨ ,1 −

⎧1 ⎩π

e) f este continuă pe (0,1] \ ⎨ ,1 −

1⎫ ⎬ π⎭

π

1⎫ ⎧1 ⎬ π⎭ ⎩π 1⎫ ⎧1 f) f este continuă pe (0,1) \ ⎨ ,1 − ⎬ π⎭ ⎩π

Elemente de analiză matematică

243

AM – XI. 110 Să se determine valoarea constantei a ∈ R , astfel încât funcţia

⎧ 7 sin a (x − 2 ) , x ∈ [0,2 ) ⎪ f : [0,3] → R , f ( x ) = ⎨ x−2 ⎪⎩6 x + a, x ∈ [2,3]

să fie continuă pe domeniul

ei de definiţie. a) a = 2;

b) a = 1;

c) a = 3;

d) a = 4;

e) a = 5;

f) a = 0,5.

AM – XI. 111 Să se determine valoarea constantei a ∈ R astfel încât funcţia f :R →R,

⎧ 3 sin x − 1 π , dacă x ≠ ⎪ π 2 ⎪ x− f (x ) = ⎨ 2 ⎪ π ⎪a , dacă x = 2 ⎩ să fie continuă pe R . a)

π

b) 1

2

c) 0

d) –1

e)

1 3

f)

1 2

AM – 112 Să se determine funcţia continuă f : R → R pentru care f (0 ) =

1 şi e

⎛x⎞ f ( x ) − f ⎜ ⎟ = x, ∀x ∈ R . ⎝e⎠ a) f ( x ) =

e2 x + e −1 e(e − 1)

b) f ( x ) =

e2 x + 1− e e(1 − e )

c) f ( x ) =

ex + 1 − e e(1 − e )

d) f ( x ) =

x +1 e

e) f ( x ) =

x2 + e e2

f) f (x ) =

e2 x + 1 e

Culegere de probleme

244

AM – 113 Fie ecuaţia

ax 5 b(x 3 − 25) = 0, a > 0, b > 0. + x −1 x−3

Care este mulţimea tuturor valorilor lui a şi b pentru care ecuaţia dată are cel puţin o rădăcină în intervalul (1,3) ? a) a ∈ (0,1), b ∈ (0,1) ;

b) a ∈ (2,3), b ∈ (0, ∞ );

d) a ∈ {1,2}, b = 3;

e) a ∈ (1,3), b ∈ (1,3);

c) a ∈ (0, ∞ ), b ∈ (0, ∞ ); f) a ∈ (2,3), b ∈ (1,3).

AM - 114 Fie f , g : R → R , unde g ( x ) = [x ] f ( x ), pentru orice x ∈ R . Dacă

f şi g sunt continue în punctul n ∈ N * , să se calculeze f ( n) .

a) f ( n) =

g ( n) + 1

b) f (n) = g( n) − 1

n

d) f ( n) = −1

e) f ( n) =

c) f ( n) = 1

1 2

f) f ( n) = 0

AM – 115 Fie funcţiile f 1 , f 2 , f 3 : R → R definite astfel :

⎧ 1 ⎪sin , x > 0 f1 (x ) = ⎨ x ; ⎪⎩1, x≤0

1 ⎧ ⎪− sin , x > 0 f 2 (x ) = ⎨ ; x ⎪⎩0, x≤0

f 3 (x ) = f1 (x ) + f 2 (x )

Care dintre următoarele funcţii au proprietatea lui Darboux pe R ? a) f1 şi f3 ;

b) f3 ;

c) f1 şi f2 ;

d) f2 şi f3 ;

e) f1,f2 şi f3 ;

f) nici una .

AM - 116 Fie f : R → R cu proprietatea că:

⎛ x +1⎞ f (x − 1) ≤ 3x + 1 ≤ 3 f ⎜ ⎟ − 14, ∀x ∈ R . ⎝ 3 ⎠ Decide : b) f este injectivă, dar nu este surjectivă a) f (0 ) = 3 d) f nu are proprietatea lui Darboux e) f nu e continuă

c) f este bijectivă f) nu există f cu această proprietate

Elemente de analiză matematică

245

⎧− x 2 + 2 x + 3; x ∈ [− 1,3] AM - 117 Fie f : [− 3,3] → R , f ( x ) = ⎨ x ∈ [− 3,−1) ⎩ x + m; Să se determine toate valorile m ∈ R pentru care funcţia f are proprietatea lui Darboux pe [− 3,3] a) m ∈ {1}

b) m ∈ [1,3)

c) m ∈ [3,7]

d) m ∈ [1,7]

e) m ∈ R

f) m ≥ 1

AM - 118 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât ecuaţia 2mx3 − 5 x − 12m = 0 să aibă cel puţin o rădăcină reală în intervalul (1,2).

a) m ∈ (1,2 )

⎛ 1 5⎞ , ⎟ ⎝ 2 2⎠

d) m ∈ ⎜ −

⎛ ⎝

1⎞ 2⎠

⎛5 ⎝2

⎞ ⎠

b) m ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ ⎜ ,+∞ ⎟

⎡ 1 5⎤ , ⎣ 2 2 ⎥⎦

⎧ 1 5⎫ , ⎬ ⎩ 2 2⎭

c) m ∈ ⎨−

⎡1 3⎤ ⎣ ⎦

e) m ∈ ⎢−

f) m ∈ ⎢ , ⎥ 2 2

AM - 119 Fie funcţia f : R → R ,

⎧ 21 ⎪cos , dacă x ≠ 0 f (x ) = ⎨ x ⎪⎩- 1 , dacă x = 0 Să se precizeze care dintre afirmaţiile de mai jos este corectă: a) f nu este mărginită;

b) f are limită în punctul x=0;

c) f este continuă în punctul x=0;

d) f are proprietatea lui Darboux pe R;

e) f nu are proprietatea lui Darboux pe R

f) restricţia funcţiei f la intervalul [− 1,1] are proprietatea lui Darboux.

Culegere de probleme

246

AM - 120 Ecuaţia x 2 x = 1 are pe segmentul [0,1]:

a) cel puţin o soluţie

b) nu are soluţie

d) x=1 este singura soluţie

1 e) x = este singura soluţie 2

c) x=0 este singura soluţie

⎛1⎞ ⎝2⎠

AM - 121 Fie f : [0,1] → [0,1] ∪ [2,3] , f continuă şi f ⎜ ⎟ = 0 .

Decide: a) f surjectivă

b) f injectivă

d) f strict crescătoare

e) f strict descrescătoare f) a), b), c), d), e) false

AM - 122 Să se rezolve inecuaţia:

(x

c) f nu are proprietatea lui Darboux

2

− 5 x + 6 )ln (x − 1) > 0

a) x ∈ (2,3)

b) x ∈ (1,2 )

c) x ∈ (1,2 ) ∪ (2,3)

d) x ∈ (3, ∞ )

e) x ∈ (1, ∞ )

f) x ∈ (0, ∞ )

AM - 123 Să se afle mulţimea soluţiilor inecuaţiei

(x

3

+ 2 x )ln (x + 1) < 0

a) (-1, 0)

b) (0, ∞ )

c) {− 1}

d) ∅

e) (− 1,0 ) ∪ (0, ∞ )

f) {− 1,0}

AM - 124 Fie funcţiile f 1 : D1 ⊂ R → R , f 1 ( x ) = x 2 ( x − 1) şi funcţiile

f 2 : D2 ⊂ R → R , f 2 ( x ) = x x − 1 . Ştiind că D1 şi D2 sunt domeniile maxime de definiţie ale celor două funcţii, să se precizeze aceste domenii. a) D1 = [1,+∞) ∪ {0}; D2 [1,+∞ )

c) D1 = (1,+∞); D2 = [1,+∞) ∪ {0} e) D1 = [1,+∞ ); D2 = [1,+∞) ∪ {0}

b) D1 = [1,+∞) ∪ {0}; D2 = [1,2)

d) D1 = D2 = [1,+∞)

f) D1 = D2 = [1,+∞ ) ∪ {0}

Elemente de analiză matematică

247

AM - 125 Se consideră funcţiile f , g : R → R . Ştiind că g( x ) = x +

(f a) f ( x ) = x 4 −

1 , să se determine f ( x ) . 4

o g )( x ) = x 4 +

4

1⎞ 1 ⎛ b) f ( x ) = ⎜ x − ⎟ + ⎝ 4⎠ 4

1 4 4

1⎞ 1 ⎛ d) f ( x ) = ⎜ x + ⎟ + ⎝ 4⎠ 4

1 , iar 4

4

1⎞ 1 ⎛ e) f ( x ) = ⎜ x + ⎟ − ⎝ 4⎠ 4

4

1⎞ 1 ⎛ c) f ( x ) = ⎜ x − ⎟ − ⎝ 4⎠ 4 f) f ( x ) = ( x − 1) + 4

1 4

AM - 126 Cum se poate exprima faptul că graficul unei funcţii f : R → R este

simetric faţă de punctul C (a , b) , a , b ∈R ?

a) f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀x ∈ R

b) f ( a + b − x ) = f ( 2a − x ) , ∀x ∈ R

c) 2b − f ( x ) = f (2a − x ) , ∀x ∈ R

d) 2b + f (a − x ) = f (2a − x ) , ∀x ∈ R

e) 2b + f ( x ) = f ( 2a + x ) , ∀x ∈ R

f) 2b − f ( x ) = f ( a − x ) , ∀x ∈R

AM - 127 Se consideră funcţia f : (0, ∞ ) → R ,

Să se calculeze f ′(1) . a) 1

b) 2

c) 3

f ( x ) = (x + 1)ln x

d) 0

e) –1

f) –2

AM - 128 Să se calculeze derivata de ordinul unu a funcţiei

f : R ∗ → R, x2 + 4 2x2 x2 + 4 d) f ′( x ) = x2 a) f ′( x ) =

1⎛ 4⎞ f (x ) = ⎜ x + ⎟ 2⎝ x⎠

x2 − 4 2x2 x2 + 4 e) f ′( x ) = 2x

b) f ′( x ) =

x2 − 4 x2 x2 − 4 f) f ′( x ) = 2x c) f ′( x ) =

Culegere de probleme

248

AM - 129 Să se calculeze derivata de ordinul doi a funcţiei

f ( x ) = tg 2 (2 arcsin x )

a) d)

− 16 x 2 + 64 x + 8

(1 − 2 x )

2 3

− 16 x 2 − 64 x + 8

(1 − 2 x )

2 3

b) e)

80 x 2 + 8

− 16 x 2 + 8 1 − 2x2

c)

(1 − 2 x )

2 4

− 16 x 2 + 64 x − 8

(1 − 2 x )

2 3

f)

16 x 2 + 64 x + 8

(1 − 2 x )

2 3

AM - 130 Care este cea mai mică pantă posibilă a unei tangente la curba y = x3 − 3x 2 + 5 x ?

a) −

5 2

b)

5 3

c) 1

d) 0

e) 2

f) -3

1 ⎧1 * ⎪ , x = , n ∈N . AM - 131 Fie f : [ − 11 , ] → R , f ( x) = ⎨ 2 n n ⎪0 , în toate celelalte puncte ⎩ Să se calculeze f ' ( 0) . a) nu există f ' (0) d) f ' ( 0) =

1 2

AM - 132 Fie f : [ −1,1] → R , Să se calculeze f ' ( 0 ) a) nu există f ' ( 0 ) ; d) f ' ( 0 ) =

1 2

b) f ' ( 0) = 0

c) f ' ( 0) = 1

e) f ' ( 0) = +∞

f) f ' ( 0) = 2

⎧ ⎛ 1⎞ 1 ∗ ⎪ln ⎜ 1 + ⎟ , dacă x = , n ∈ N f ( x) = ⎨ ⎝ n ⎠ n ⎪x , în toate celelalte puncte. ⎩ b) f ' ( 0 ) = 0 ;

c) f ' ( 0 ) =1

e) f ' ( 0 ) = ∞ ;

f) f ' ( 0 ) = 2

Elemente de analiză matematică

249

AM - 133 Fie funcţia f : D → R , f ( x ) = sin x 2 , unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f . Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctul x = 0 şi în caz afirmativ să se calculeze valoarea derivatei în acest punct. a) f ' ( 0) = 1

b) f ' ( 0) = − 1

c) f ' (0) nu există

d) f ' ( 0) = 0

e) f ' (0) = 2

f) f ' (0) =

{

1 2

}

AM - 134 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) = min x 4 , x 5 , x 6 , x 7 . Determinaţi

punctele în care f nu este derivabilă. a) {− 1,0,1}

b) {− 1,0}

c) {0,1}

d) ∅

e) {− 11 ,}

f) {0}

x 2 + xe nx . Care este n→∞ 1 + e nx mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei f ?

AM - 135 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) = lim

a) R \ {0}

b) R

c) [0,+∞)

d) ( − ∞,0]

e) [1,+∞) ∪ {0}

f) ( − ∞,1]

AM - 136 Fie şirul (u n ) n∈N* , cu termenul general un =

1+ xn , 1 + x + ... + x n + p −1

unde x ≥ 0 şi p ∈ N . Dacă f ( x ) = lim un , atunci să se determine domeniile de n→∞

continuitate C şi de derivabilitate D pentru f . a) C = [0,+∞); D = [0,+∞) b) C = [0,+∞); D = [0,+∞) \ {1} c) C = ( 0,+∞); D = ( 0,+∞) d) C = R ; D = R

e) C = R ; D = R \ {1}

f) C = [1,+∞); D = [1,+∞)

Culegere de probleme

250

⎡1 ⎤ AM - 137 Fie f : ⎢ , e⎥ → R , definită prin f ( x ) = arcsin ln x . Să se determine ⎣e ⎦ mulţimea punctelor în care funcţia este derivabilă. ⎡1 ⎤ a) ⎢ , e⎥ ⎣e ⎦

⎡1 ⎞ b) ⎢ ,1⎟ ⎣e ⎠

c) (1, e]

d) [1, e]

⎛1 ⎞ e) ⎜ ,1⎟ ∪ (1, e) ⎝e ⎠

(

⎡1 ⎞ f) ⎢ ,1⎟ ∪ (1, e] ⎣e ⎠

)

AM - 138 Se dă funcţia f : E ⊂ R → R , f ( x ) = arccos 3x − 4 x 3 .

Să se determine domeniul maxim de definiţie E şi domeniul său de derivabilitate D . a) E = [ − 11 , ]; D = ( − 11 ,)

b) E = R ; D = R

1⎞ ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎛ c) E = [ − 11 , ]; D = ⎜ − 1,− ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟ d) E = [ − 11 , ]; D = ⎜ − 1,− ⎟ ∪ ⎜ − , ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ e) E = [ − 2,2]; D = [ − 2,0) ∪ ( 0,2]

⎡ 1 1⎤ ⎡ 1 ⎞ ⎛ 1⎤ f) E = ⎢− , ⎥ ; D = ⎢− ,0⎟ ∪ ⎜ 0, ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎠ ⎝ 2⎦

⎧[x ], dacă x ∈ Q ⎩ x, x ∈ R \ Q

AM – 139 Fiind dată funcţia f : R → R, f ( x ) = ⎨

să se precizeze care din următoarele afirmaţii este adevărată : a) f are limită, (∀)x ∈ R ;

b) f are limită într-un număr finit de puncte din R

c) f nu are limită în nici un punct din R ;

d) f e continuă pe R

e) f are proprietatea lui Darboux pe R ;

f) f este derivabilă pe R .

Elemente de analiză matematică

251

AM – 140 Fie funcţiile f : (0,1) → (2,3); g : (2,3) → (3,4 ) si

5 ⎧1 ⎪⎪ 2 x + 2; 2 < x ≤ 2 unde h = g o f ; g ( x ) = ⎨ ⎪3 x − 1 ; 5 < x < 3 ⎪⎩ 2 2 2

h : (0,1) → (3,4 )

şi h( x ) = sin x + 3 . Să se

determine mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei f. b) (0,1) \

a) (0,1); d) (0,1) \ arcsin

1 4

e) (0,1) \

1 2 1

c) (0,1) \ arcsin f) (0,1) \

3

1 3

3 2

AM – 141 Să se determine derivatele la stînga şi la dreapta punctelor x = 0 şi

x = 1 ale funcţiei f : R → R, a)

d)

f (x ) = 3 x 2 1 − x .

f s′(0 ) = −∞; f d′ (0 ) = −∞ f s′(0 ) = −∞; f d′ (0 ) = +∞ f s′(0 ) = ∞; f d′ (0 ) = −∞ b) c) f s′(1) = −∞; f d′ (1) = −∞ f s′(1) = −∞; f d′ (1) = −∞ f s′(1) = ∞; f d′ (1) = −∞ f s′(0 ) = −∞; f d′ (0 ) = ∞ f s′(1) = −∞; f d′ (1) = ∞

e)

f s′(0) = ∞; f d′ (0) = ∞ f s′(1) = ∞; f d′ (1) = ∞

f)

f s′(0 ) = −∞; f s′(0 ) = ∞ f s′(1) = ∞; f d′ (1) = ∞

AM – 142 Să se găsească punctele în care funcţia f : [0,3] → R ;

f ( x ) = arcsin

2 x nu este derivabilă. 1+ x 1

a) x = 0 şi x = 3

b) x = 0 şi x = 1

c) x = 1 −

d) f nu este continuă pe [0,3]

e) (0,3)

f) (0,3) \ {1}

π

Culegere de probleme

252

AM – 143 Se dă funcţia f : D ⊂ R → R, f ( x ) = x + 8 − 6 x − 1 ; să se determine domeniul maxim de definiţie D şi mulţimea M a punctelor în care f nu este derivabilă .

a)

d)

D = [1, ∞ ) M =φ D = [1, ∞ ) M = {1,10}

b)

D = [1,10] M = {1,10}

c)

D = [10, ∞ ) M = {10}

e)

D = [1, ∞ ) \ {10} M = {1}

f)

D = [1, ∞ ) M = {10}

AM – 144 Fie funcţia f : R → R,

⎧ x 3 + bx 2 + cx + d , x < 1 f (x ) = ⎨ , x ≥1 ⎩arctg ( x − 1)

Ştiind că f este derivabilă de două ori pe R să se calculeze f(-2) . a) 30

b) –30

c) –2

d) 25

e) –15

f) 6.

AM - 145 Se dă funcţia f ( x ) = 3 x 2 + mx − m , unde m ∈R . Să se determine

mulţimea tuturor valorilor lui m pentru care domeniul maxim de definiţie al funcţiei coincide cu domeniul maxim de derivabilitate al acestei funcţii. a) ( − 4,0)

b) [ − 4,0]

c) ( − 5,−3)

d) ( − ∞,−4) ∪ ( 0,+∞)

e) [ − 4,4]

f) (4,+∞ )

AM - 146 Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât funcţia f : R → R ,

⎧x 2 + a , x ≤ 2 definită prin f ( x ) = ⎨ , să fie derivabilă pe R . ⎩ax + b , x > 2 a) a = 4, b = 0

b) a = 3, b = 0

c) a ∈R , b = 5

d) a = 3, b ∈ R

e) a = 4, b = −1

f) a = −1, b = 4

Elemente de analiză matematică

253

⎧⎪2α 4 − x + β , x < 2 AM - 147 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) = ⎨ , unde α ∈Q şi ⎪⎩ x 2 + α , x ≥ 2 β ∈R . Precizaţi care sunt valorile lui α şi β pentru care f este derivabilă pe R . a) α = 1, β = 0

b) α = 1, β = −1

c) α = 2, β = 5 2

d) α = −2, β = 5 2

e) α = 2, β = −5 2

f) α = 0, β = 1

AM - 148 Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât funcţia f : R → R , ⎧ xe x , x ≤ 1 , să fie derivabilă pe R . definită prin f ( x ) = ⎨ ⎩ax + b , x > 1 a) a = 1, b = 1

b) a = 2e, b = e

d) a = 2e, b = − e

e) a = e, b = 0

c) a = −2e, b = e 1 f) a = 2, b = e

⎧ae 2 x , x ≤ 0 . AM - 149 Fie funcţia f : R → R , f ( x ) = ⎨ ⎩sin 2 x + b cos 3x , x > 0 Să se determine constantele reale a şi b astfel încât f să fie derivabilă pe R . a) a = b = 1

b) a = 1, b = 2

c) a = b = 2

d) a = 3, b = 1

e) a = b = 3

f) a = 1, b = −1

AM - 150 Pentru ce valori ale tripletului de numere reale (α , β, χ) funcţia

⎧⎪ln x , dacă x ∈(0,1] f : ( 0,+∞) → R , f ( x ) = ⎨ 2 ⎪⎩αx + βx + χ , dacă x ∈(1,+∞ ) este de două ori derivabilă pe (0,+∞) ? a) (1,−1,2)

3⎞ ⎛ b) ⎜ − 1,2,− ⎟ ⎝ 2⎠

3⎞ ⎛ c) ⎜ − 11 , ,− ⎟ ⎝ 2⎠

3⎞ ⎛ 1 d) ⎜ − ,2,− ⎟ ⎝ 2 2⎠

3⎞ ⎛1 e) ⎜ ,2,− ⎟ ⎝2 2⎠

3⎞ ⎛1 f) ⎜ ,−2, ⎟ ⎝2 2⎠

Culegere de probleme

254

AM - 151 Să se calculeze derivata funcţiei f : E ⊂ R → R , definită prin f ( x ) = arctg

x 2 − 2x − 1 . x 2 + 2x − 1

a) f ' ( x ) =

1 x +1

b) f ' ( x ) =

d) f ' ( x ) =

1

e) f ( x ) =

4

1+ x

2

c) f ' ( x ) =

x x +1 3

1

f) f ' ( x ) =

2

x −1

2 x −1 2

2 2

x +1

AM - XI. 152 Să se calculeze derivata funcţiei f : R \ {0} → [ −1,1] ,

f (x ) = sin

definită prin a) f ' ( x ) = −

1 1 cos 2 x x

1 1 cos 2 x x

d) f ' ( x ) =

1 . x

b) f ' ( x ) = sin

1 x

c) f ' ( x ) = 0

e) f ' ( x ) = cos

1 x

f) f ' ( x ) = n

AM - 153 Fie a1 , a 2 , ... , a n constante reale nenule cu proprietatea că

∑a

i

1 cos x

∈R * .

i =1

Să se determine funcţiile f : R → R derivabile pe R astfel încât n

∑ f ( x + a y) = n f ( x) + b y i

i =1

pentru orice x ∈ R şi y ∈ R * , unde b este o constantă reală. a) f ( x ) =

bx

+ c , c ∈R

n

∑a

i

i =1

b) f ( x ) =

x ⎛ ⎞ b⎜ a i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n

+ cx + d , c, d ∈ R

∑

⎛ n ⎞ c) f ( x ) = bx + x 2 ⎜ a i ⎟ + c , c ∈R ⎝ i =1 ⎠

⎛ n ⎞ d) f ( x ) = cx − b⎜ a i ⎟ x + d , c, d ∈R ⎝ i =1 ⎠

⎛ n ⎞ e) f ( x ) = b⎜ a i ⎟ x ⎝ i =1 ⎠

f) f ( x ) = bx +

∑

∑

∑

n

∑a i =1

i

Elemente de analiză matematică

255

1 ⎧ 2 ⎪ x sin , dacă x ≠ 0 AM – 154 Fie f , g : R → R , unde f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩0, dacă x = 0 şi g este derivabilă în x = 0 . Să se calculeze derivata funcţiei g o f în x = 0 . a) nu există

b) 1

c) 2

d) 0

1 e) 2

f) –1

AM – 155 Fie funcţia f : R → R , derivabilă , cu proprietăţile :

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 5 xy şi lim h→0

f (h ) = 3. Determinaţi f (0) şi f ′(x ) . h

a) f (0 ) = 1,

f ′( x ) = 3 x; b) f (0 ) = 0, f ′( x ) = 3x; c) f (0 ) = 3, f ′( x ) = 5 x; d) f (0 ) = 1, f ′( x ) = 5 x + 1; e) f (0 ) = 0, f ′( x ) = 5 x + 3; f) f (0 ) = 3, f ′( x ) = 3 x + 5

AM – 156 Fie f şi g funcţii derivabile pe intervalul (-1,1) cu proprietăţile:

f (0) = 2 − 1, f ′(0) = 2 + 1 , f ′( x ) = g ( x ) şi g ′(x ) = − f (x ) . Determinaţi funcţia h : (− 1,1) → R , definită prin h( x ) = f 2 ( x ) + g 2 ( x ) .

a) h( x ) = x 2 + x + 6;

b) h( x ) = x 2 + 6;

c) h( x ) = 6 ;

d) h( x ) = 2

e) h( x ) = 6 − x;

f) h( x ) = 6 − 2 x

AM – 157 Fiind dată funcţia f : R → R pară şi derivabilă, să se calculeze g ′(0 ) unde funcţia g : R → R este definită prin relaţia :

⎛ x3 ⎞ g (x ) = ⎜⎜ + 1⎟⎟ f (x ) + x . ⎝ 3 ⎠ a)

g ′(0 ) = 1; b) g ′(0 ) = −1; c) g ′(0 ) = 0 d) g ′(0) =

1 1 e) g ′(0 ) = − ;f) g ′(0 ) = 2 2 2

Culegere de probleme

256

AM - 158 Fie f : ( a , b) → R , f ( x ) ≠ 0 pentru orice x ∈( a , b) şi c ∈( a , b) . 1

⎛ f ( x) ⎞ x −c ⎟ . Ştiind că f este derivabilă în x = c , să se calculeze lim⎜⎜ x → c f ( c) ⎟ ⎠ ⎝

a) e

f '( c )

b) e

2 f '( c ) ⋅ f ( c )

f '( c )

c) e

f ( c)

d) e

f ( c)

− f '( c )

e) e

f '( c )

− f c ⋅f ' c f) e ( ) ( )

, ] → R , derivabilă astfel încât f ( − x ) = f ( x ) pentru AM - 159 Fie f : [ − 11 orice x ∈[ − 11 , ] . Să se calculeze f ' ( 0) .

a) f ' ( 0) = 1 b) f ' ( 0) = −1 c) f ' ( 0) =

1 2

d) f ' ( 0) = −

1 2

e) f ' (0) = 0 f) f ' ( 0) = 2

AM - 160 Fie f : R → R cu proprietatea f ( 0) = 0 şi pentru care există f ' ( 0) . Să se calculeze lim x →0

1⎡ f ( x) + x ⎢⎣

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + ... + ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠

⎛ x⎞⎤ f ⎜ ⎟ ⎥ , unde k ∈ N * . ⎝ k ⎠⎦

a) 0

1 1⎞ ⎛ b) ⎜ 1 + + ... + ⎟ f ' ( 0) ⎝ k⎠ 2

1 1⎞ ⎛ c) ⎜ 1 + + ... + ⎟ ⎝ k⎠ 2

d) 1 + 2 + ... + k

e) k

f) 1

AM - 161 Fie f : R → R o funcţie derivabilă astfel încât lim f ( x ) = a , real şi există lim x f ' ( x ) . Să se calculeze: lim x f ' ( x ) . x →∞

a) 1

x →∞

x →∞

b) 0

c) –1

d) a

e) a2

f)

a 2

Elemente de analiză matematică

257

AM - 162 Se consideră funcţia f : ( 0,+∞) → R , f ( x ) = e

k ∈R , astfel încât funcţia g : (0,1) ∪ (1,+∞) → R , g( x ) =

−2 ln x

. Să se determine

x f ' ' ( x ) + kx f ' ( x ) 2

f ( x)

să fie

e) k = 1

f) k = −1

constantă. a) k = 2

b) k =

1 2

c) k = 0

d) k = 4

AM - 163 Fie α un număr real şi f : [0,1] → R funcţia dată de: 1 ⎧ α ⎪ x sin , x ≠ 0 f ( x) = ⎨ . x ⎪⎩0 , x = 0 Să se determine α ∈ R pentru care f este de două ori derivabilă în x = 0 . a) α = 2

b) α = 1

c) α > 1

d) α > 2 1

AM - 164 Se dă funcţia f : R → (0,+∞ ) , prin f ( x ) =

a)

e) α > 3

+

f) α ≤ 3

1

. Să se calculeze 2 5x derivata inversei funcţiei f în punctul y = 2 . 1 1 f) ln 2 b) ln 5 c) d) ln10 e) − ln 10 ln 10

1 ln 5

x

AM - 165 Fie funcţia f : R → (1,+∞ ) , f ( x ) = 4 x + 2 x + 1 . Să se arate că f este inversabilă, să se determine g = f

(

)

a) g( y) = ln 4 y − 3 − 1 ; g ' (3) =

1 3

c) g( y) =

4y − 3 − 1 1 1 ln ; g ' (3) = 2 ln 2 3

e) g( y) =

1 1 ln 4 y − 3 ; g ' (3) = ln 2 3ln 2

(

)

b) g( y) =

−1

şi să se calculeze g' ( 3) .

[(

]

)

1 1 ln 4 y − 3 − 1 − ln 2 ; g ' (3) = ln 2 3ln 2

d) g( y) = ln 4 y − 3 + 1; g ' (3) = f) g( y) =

(

)

1 3

1 1 ln 4 y − 3 + 2 ; g ' (3) = ln 2 3 ln 2

Culegere de probleme

258

AM - 166 Fie f : R → R , f ( x ) = x 5 + x . Să se arate că f este bijectivă.Dacă g

este inversa lui f , să se calculeze g' (2) şi g' ' (2). a) g ' ( 2) = 6, g ' ' ( 2) = −20

b) g ' ( 2) = e) g ' (2) =

d) g ' ( 2) = 0, g ' ' ( 2) = 1

1 20 , g ' ' ( 2) = − 3 6 6

1 ,g ' ' (2) = 0 6

c) g ' (2 ) = f) g ' ( 2) =

1 1 ,g ' ' (2) = − 6 25

1 5 , g ' ' (2) = − 3 36 6

AM - 167 Fie f : (1,+∞ ) → R , f ( x ) = x 3 − 3x . Să se arate că funcţia

f : I → f ( I ) este inversabilă pe intervalul I = (1,+∞) şi fie g inversa lui f .

Să se calculeze g' (2) şi g' ' (2) . a) g ' ( 2) =

1 , g ' ' (2) = 243 9

d) g ' ( 2) = 9, g ' ' ( 2) = −

b) g ' ( 2) =

1 4 , g ' ' ( 2) = − 9 243

c) g ' ( 2) = 2, g ' ' ( 2) = 15

243 4 2 1 4 , g ' ' ( 2) = e) g ' ( 2) = − f) g ' ( 2) = , g ' ' ( 2) = − 4 243 9 9 243

⎧− 3x − 2 , x ∈[ −1,0] , AM - 168 Fiind dată funcţia f :[ −11 , ] → [ −2,2] , f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x + 1 , x ∈( 0,1] să se precizeze dacă este inversabilă şi în caz afirmativ să se determine inversa.

a) f

−1

c) f

−1

e) f

−1

⎧ 1 − ( y + 2) , y ∈[ −2,1] ( y) = ⎪⎨ 3 ⎪ y − 1 , y ∈ (1,2] ⎩

⎧1 y + 2 , y ∈[ −2,0] ( y) = ⎪⎨ 3 ⎪ y + 1 , y ∈(0,2] ⎩

b) f

−1

⎧1 ( y + 2) , y ∈[ −2.1] ( y) = ⎪⎨ 3 ⎪− y + 1 , y ∈ (1,2] ⎩

d) f

−1

⎧ y − 1 , y ∈[ −2,1] ( y) = ⎪⎨ 1 y + 1 , y ∈(1,2] ⎪ ⎩3

f) f nu admite inversă

⎧ 1 − ( y + 2) , y ∈[ −2,1] ( y ) = ⎪⎨ 3 ⎪− y + 1 , y ∈ (1,2] ⎩

Elemente de analiză matematică

259

⎧− 2 x − 1 , x ∈[ −2,0] , AM - 169 Fiind dată funcţia f :[ −2,2] → [ −1,5] , f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x + 1 , x ∈( 0,2] să se determine inversa ei în cazul în care există.

⎧ 1 ⎪− ( y + 1), y ∈ [− 1,3] a) f ( y ) = ⎨ 2 ⎪ y − 1, y ∈ (3,5] ⎩

⎧ 1 ⎪− ( y + 1), y ∈ [− 1,1] b) f ( y ) = ⎨ 2 ⎪ y − 1, y ∈ (1,5] ⎩

c) nu este inversabilă

d) f

−1

f) f

−1

−1

e) f

−1

−1

⎧1 ( y − 1) , y ∈[ −11, ] y = ( ) ⎪⎨ 2 ⎪ y − 1 , y ∈ (1,5] ⎩

⎧1 ( y + 1) , y ∈[ −1,0] y = ( ) ⎪⎨ 2 ⎪ y + 1 , y ∈(0,5] ⎩

⎧ 1 − ( y + 1) , y ∈[ −1,2] y = ( ) ⎪⎨ 2 ⎪ y − 1 , y ∈( 2,5] ⎩

AM - 170 Să se determine coeficientul unghiular al tangentei în punctul (e, e 2 )

la graficul funcţiei f : ( 0,+∞) → R , f ( x ) = ln x + x 2 − 1 . a) e − 1

b)

1 − 2e 2 2

c) 1 + 2e 2

d)

2e 2 + 1 e

e)

2e 2 − 1 2

f) 2e

AM - 171 Pentru ce valoare a parametrului real t , funcţia f : R → R ,

tx 3 are în punctul x = 1 graficul tangent unei drepte paralelă cu prima 1+ x2 bisectoare ? f ( x) =

a) t = 1

b) t = −1

c) t = 2

d) t = −2

e) t = −3

f) t = 0

Culegere de probleme

260

AM - 172 Fie f : [ − 1,+∞) → R , definită prin f ( x ) = x + 1 . Să se determine

abscisa x 0 a unui punct situat pe graficul lui f în care tangenta la grafic să fie paralelă cu coarda ce uneşte punctele de pe grafic de abscisă x = 0 , x = 3 . a) x 0 =

1 3

b) x 0 =

1 4

c) x 0 = −

1 3

d) x 0 =

5 4

e) x 0 = −

AM - 173 Se consideră funcţia f : R \ {− 3} → R , f ( x ) =

2 3

f) x 0 =

4 3

2x − 1 şi x+3

14 . Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă x 0 . 2 a) y = 2 x + 4 − 2 14 b) y = 2 x + 8 + 2 14 c) y = 4 x + 8 + 2 14 x 0 = −3 +

d) y = 4 x + 8 − 2 14

e) y = 2 x + 8 − 2 14

f) y = x − 4 + 2 14

x−2 − 4 x − x 2 . Să se determine ecuaţia 2 tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x = 1 . 1 1 π 1 π c) y = 3 + a) y = b) y = ( x − 1) + 3 + 3 ( x − 1) − 3 − 3 ( x − 1) 3 3 3 AM - 174 Fie funcţia f ( x ) = 2 arcsin

d) y = ( x − 1) −

1 3

+

π 3

e) y = −( x − 1) − 3 −

π 3

f) y = x +

1 3

−

π 3

x 2 + ax + b , unde a , b ∈R . Să se x determine a şi b ştiind că graficul lui f este tangent dreptei y = −2 în punctul x = 1 . AM - 175 Fie f : R \ {0} → R , f ( x ) =

a) a = 4, b = −1

b) a = −1, b = 2

c) a = 2, b = 3

d) a = −4, b = −1

e) a = −4, b = 1

f) a = 4, b = 1

AM - 176 Se consideră funcţiile f ( x ) = x 2 şi g( x ) = − x 2 + 4 x + c , unde c ∈ R .

Elemente de analiză matematică

261

Să se afle c astfel încât graficele lui f şi g să aibă o tangentă comună într-un punct de intersecţie a curbelor. a) c = 1

b) c = 2

c) c =

1 2

d) c = −2

AM - 177 Fie f , g : R → R , definite prin f ( x ) =

e) c = 3

f) c = −1

x şi g( x ) = x 3 + ax + b , unde

a , b ∈R . Să se determine a şi b pentru care graficele celor două funcţii sunt tangente în x = 1 . a) a = b = 1 d) a =

5 5 ,b = − 2 2

b) a = 7, b = −7

c) a = b = 3

5 5 e) a = − , b = 2 2

f) a = 2, b = −3

AM - 178 Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = xe x . Să se determine panta tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x=-1.

a) -1

b) 0

c) 1

d) e

e) -e

f) 2e

AM - 179 Se consideră funcţia f(x) =

x 2 + px + q . Să se determine parametrii x2 + 2

p,q∈R astfel ca dreapta y=x-3 să fie tangentă graficului funcţiei în punctul A(1,-2). a) p=1, q= -8

b) p=-2, q=-5

c) p=-3, q= -4

d) p=-4, q=-3

e) p=-5, q=-2

f) p=-6, q=-1

AM - 180 Determinaţi punctele A, B ∈Gf , unde Gf este graficul funcţiei

Culegere de probleme

262

f : E ⊂ R → R,

f(x) =

− 16x , 2 4x + 12x + 1

în care tangentele la grafic sunt paralele cu (Ox).

⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ a) A⎜ − ,−2 ⎟, B⎜ ,−1⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠

⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ b) A⎜ ,0 ⎟, B⎜ − ,1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ c) A⎜ ,1⎟, B⎜ − ,−1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ d) A⎜ − ,1⎟, B⎜ ,2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠

⎛3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ e) A⎜ ,0 ⎟, B⎜ − ,1⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ 3 ⎞ ⎛3 ⎞ f) A⎜ − ,1⎟, B⎜ ,−1⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠

AM - 181 Tangenta la graficul funcţiei f : R → R ,

unghi de 450 în punctele de abscise:

f(x) =

2x , face cu axa Ox un 2 x +1

a) ±

5 +1

b) ±

3 −1

c) ±

3+2

d) ±

5 -2

e) ±

5 +2

f) ±

5 +4

AM - 182 Să se determine punctul P de pe graficul funcţiei f(x) = e x + x , în care tangenta la grafic trece prin origine.

a) P(0,1)

b) P( −1, e −1 − 1)

c) P(1, 1+e)

d) P(2, e 2 + 2)

e) P(-2, e -2 − 2)

f) P∈∅

AM - 183 Inegalitatea

⎡ π⎤ a) x ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ d) x ∈ ( −1,+∞)

x 1 + x2

< arctg x este adevărată pentru

b) x ∈ [0,1]

c) x ∈ (0,+∞)

e) x ∈ [- 1,1]

f) x ∈ ( −1,+∞)

Elemente de analiză matematică

AM - 184 Fiind dată funcţia f : R → R ,

263

1 ⎧ ⎪arctg x , x ≠ 0 f (x ) = ⎨ ⎪0 , x=0 ⎩

să se precizeze care dintre afirmaţiile următoare este adevărată a) f este continuă pe R d) f nu este derivabilă în 0 dar are derivata f ' (0 ) = ∞

b) f este discontinuă pe R c) f este derivabilă în 0 e) f nu este derivabilă în 0 f) f nu este derivabilă ' dar are derivata f (0 ) = −∞ şi nici nu are derivată în x = 0

AM - 185 Folosind intervalele de monotonie ale funcţiei f : ( 0,+∞) → R , definită

prin f ( x ) =

a)

( 3)

d) 8

5

10

ln x

>5

< 10

, să se precizeze care din următoarele inegalităţi este adevărată.

x 3

5

b) 3

8

e)10

<5 11

(

3

< 11

10

)

c) 2

3

>3

2

f) 2

5

>5

2

AM - 186 Să se afle soluţia inecuaţiei ln x 2 + 1 > x .

a) x ∈( 0,+∞)

b) x ∈( − ∞,1)

d) x ∈(1,+∞)

e) x ∈( − 1,+∞)

c) x ∈( − ∞,0) f) x ∈( − ∞,2)

AM - 187 Pentru ce valori ale lui x are loc inegalitatea

ln( x + 1) ≥

2x ? x+2

a) x > -1

b) x > 0

c) x ≥ 0

d) x < -1

e) x ∈ (− 1,0 )

f) x ∈ R

Culegere de probleme

264

AM - 188 Precizaţi soluţia inecuaţiei arcsin

[

a) − 2 , 2

]

[ ]

b) 1, 2

1 1 − arccos ≥ 0 . x x

c) ( − ∞,−1] ∪ [1,+∞ )

d) [0,1]

e) [ − 1,0]

f) [ − 11 ,]

AM - 189 Să se determine valorile parametrului real m pentru care funcţia f : R → R , f ( x ) = ln 1 + x 2 − mx este monoton crescătoare pe R .

(

a) ( − ∞,1]

b) [1,+∞ )

d) ( − ∞,−1]

c) ( − ∞,−1] ∪ [1,+∞ )

e) ( − ∞,1] ∪ [2,+∞)

AM - 190 Fie funcţia f : R → R , f ( x ) =

{

}

f (R ) = f ( x ) x ∈R . a) R

)

b) [0,+∞)

f) [ − 11 ,]

1 . Să se afle mulţimea 5 + 3sin x

⎡1 1⎤ c) ⎢ , ⎥ ⎣8 2 ⎦

⎡1 ⎤ d) ⎢ ,1⎥ ⎣4 ⎦

⎡1 ⎤ f) ⎢ ,8⎥ ⎣2 ⎦

e) (1,5)

AM - 191 Să se determine toate soluţiile x ∈( 0,+∞ ) ale inecuaţiei: ln x ≤

a) (0,+∞)

b) (1, e]

c) [e,+∞)

d) e

[ ]

e) e, e 2

AM - 192 Fie f : [ − 1,+∞) → R , definită prin f ( x ) = arcsin

x −1 2(1 + x 2 )

x . e

[

f) e 2 ,+∞

− arctg x .

Să se determine parametrii a , b ∈ R pentru care f ( x ) = ax + b , ∀ x ∈[ − 1,+∞ ) . π 4 π π d) a = − , b = 4 4

a) a = 0, b = −

b) a = 0, b =

π 4

e) a = 1, b = −1

π ,b = 0 4 π π f) a = , b = 2 4

c) a =

)

Elemente de analiză matematică

265

2x , 1+ x2 g( x ) = −2arctg x , să se arate că f şi g diferă printr-o constantă pe anumite intervale şi

AM - 193 Fiind date funcţiile f , g : R → R , f ( x ) = arcsin

să se precizeze intervalele şi constantele corespunzătoare. a) f ( x ) − g ( x ) =

π , x ∈ [ − 11 ,] 2

b) f ( x ) − g( x ) = π , x ∈( − ∞,−1] ∪ [1,+∞)

⎧⎪− π , x ∈( − ∞,−1] c) f ( x ) − g( x ) = ⎨ ⎪⎩π , x ∈[1,+∞ )

⎧π ⎪⎪ 2 , x ∈( − ∞,−1] d) f ( x ) − g( x ) = ⎨ ⎪ π , x ∈[1,+∞) ⎪⎩ 4

π e) f ( x ) − g( x ) = , ∀ x ∈ R 4

⎧ π ⎪⎪− , x ∈( − ∞,−1] f) f ( x ) − g( x ) = ⎨ 2 ⎪ π , x ∈[1,+∞) ⎪⎩ 2

AM - 194 Să se afle punctele de extrem local ale funcţiei f : R → R , definită prin f ( x ) = x 4 − 10 x 2 , precizând natura lor. a) − 5 = min, 0 = max,

5 = min

b) 0 = max, 5 = min

c) − 5 = min, 5 = max

d) 0 = max, 5 = max

e) − 5 = max, 0 = min, 5 = min

f) − 5 = max, 0 = min,

5 = max

AM - 195 Să se determine cea mai mică şi cea mai mare valoare a funcţiei f : R → R , f ( x ) = 6 x − x 3 pe segmentul [ −2,3] . a) f min = 2, f max = 4

b) f min = −5, f max = 6

c) f min = −8, f max = 4 2

d) f min = −2, f max = 7

e) f min = −9, f max = 4 2

f) f min = −7, f max = 4

Culegere de probleme

266

AM - 196 Care sunt valorile parametrului real m pentru care funcţia m− x f : R \ {1,4} → R , f ( x ) = 2 nu are puncte de extrem ? x − 5x + 4 a) m ∈( − 1,0) b) m ∈(5,8) c) m ∈( − 3,0) d) m ∈(2,7) e) m ∈( − 3,2) f) m ∈ [1,4]

(

)

AM - 197 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) = e x x 2 − x − 1 . Dacă notăm cu m valoarea minimă , iar cu M valoarea maximă a funcţiei f pe intervalul [ −3,0] , să se determine m şi M . a) m = −1, M = 5e −2

b) m = 0, M = e −1

c) m = 5e −2 , M = 6e −2

d) m = e −1 , M = 5e −2

e) m = e −1 , M = 11e −3

f) m = 1, M = e

AM - 198 Care este mulţimea punctelor de extrem local ale funcţiei

f : E ⊂ R → R , f ( x ) = x 2 − 4 x , unde E este domeniul maxim de definiţie ? a) {2}

b) {0,4}

c) ∅

d) {1}

AM - 199 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) =

e) {1,2} x 2

x −x+a

f) {− 1,5}

, unde a ∈ R . Să se 2

determine parametrul a astfel încât funcţia să admită un extrem cu valoarea

a) a =

1 3

b) a = 0 şi a = 1

c) a = −

1 3

AM - 200 Fie f : R → R , definită prin f ( x ) =

d) a = 1

e) a = 5

3

.

f) a = −2

x 2 − ax

unde a ∈ R . Să se x2 + 1 determine a pentru care funcţia f admite un punct de extrem situat la distanţa 2 de axa Oy. a) a = −11, a = 12

b) a = −12, a = 11

c) a = −12, a = 12

d) a = −4, a = 3

e) a = 1, a = −2

f) a = 4, a = 7

Elemente de analiză matematică

267

ax + a − 2 unde a este un parametru x2 + 1 real. Să se determine a astfel încât funcţia să aibă un extrem în punctul x = 1 .

AM - 201 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) =

a) a = 1

b) a = 2

c) a = −2

d) a = −1

e) a = 3

f) a = −3

x 3 − 2x 2 − x + a , a , b ∈ R . Să se x 2 + 2bx + 1 determine valorile parametrilor a şi b pentru care graficul funcţiei f are un extrem în punctul A (0,−1) . 1 1 a) a = 1, b = 0 b) a = −1, b = − c) a = 0, b = 2 2 1 1 e) a = 2, b = − f) a = −2, b = 0 d) a = −1, b = 2 2

AM - 202 Fie funcţia f : R → R , f ( x ) =

AM - 203 Să se determine mulţimea punctelor de inflexiune pentru funcţia f : R → R , f ( x) = x 3 − 3x 2 + 5 .

a) {0,3}

b) {0}

d) ∅

c) {0,2}

e) {1}

f) {0,1}

x 2 + 2 px + q unde a , p, q ∈ R . Ştiind că x−a graficul funcţiei f nu taie axa Ox , precizaţi câte puncte de extrem local are funcţia.

AM - 204 Fie f : R \ {a} → R , f ( x ) =

a) nici unul

b) unu

c) două

d) trei

AM - 205 Se dă funcţia f : E ⊂ R → R , f ( x ) =

e) cel puţin trei

f) patru

ax unde a , k ∈R * . x + 3x + k 2 Să se determine a şi k pentru care valorile extreme ale funcţiei f sunt –1 şi –2 .

a) a = 2, k = 3 d) a = −4, k = ±

1 2 3 e) a = −1, k = 2

b) a = 5, k = ± 1 2

2

c) a = 2, k = 5 f) a = −2, k = ±

3 2

Culegere de probleme

268

AM - 206 Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f : R → R , f ( x ) = 3 ( x − 1) ( x + 2) . 2

a) x = − 1 maxim, x = 1 minim

b) x = − 1 maxim, x = −2 minim

c) x = − 1 şi x = −2 maxime, x = 1 minim

d) x = − 1 şi x = 2 maxime

e) x = 1 şi x = −2 minime

f) x = − 1 şi x = −3 maxime

AM - 207 Fie funcţia f : D ⊂ R → R , f ( x ) = ax 2 + b , D fiind domeniul maxim

de definiţie , iar a , b ∈R . Să se determine a şi b cunoscând că D este un interval de lungime 2 şi că funcţia admite un extrem egal cu 1. a) a = 1, b = 1

b) a = −4, b = −2

c) a = 1, b = −1

d) a = 0, b = 2

e) a = −1, b = 1

f) a = −2, b = 0

AM - 208 Fie funcţia f : D ⊂ R → R , f ( x ) = arcsin

x −1

unde D este domeniul ei x2 + 1 maxim de definiţie. Să se determine coordonatele şi natura punctelor sale de extrem. π⎞ ⎛ a) f nu are puncte de extrem local b) A ⎜ − 1,− ⎟ - minim ⎝ 4⎠ π⎞ ⎛ c) B ⎜ 0,− ⎟ - minim ⎝ 2⎠

π⎞ ⎛ d) C ⎜ 0,− ⎟ - maxim şi D(1,0) - minim ⎝ 2⎠

⎛ 3π ⎞ e) E ⎜ 0, ⎟ - minim ⎝ 2⎠

π⎞ ⎛ f) F ⎜ 0,− ⎟ - minim şi G(1,0) - maxim ⎝ 2⎠ 1

AM - 209 Fie funcţia f : R \ {0} → R , f ( x ) = x − 1 ⋅ e x . Care dintre următoarele

afirmaţii este adevărată ? a) f nu este definită în x = 1

b) f este strict monotonă

c) f este derivabilă pe domeniul de definiţie

d) f are un punct unghiular în x = 1

e) f este convexă pe tot domeniul de definiţie

f) f are un punct de întoarcere în x = 1

Elemente de analiză matematică

269

AM - 210 Să se determine punctele unghiulare şi punctele de întoarcere ale x −1 . funcţiei f : R → R , f ( x ) = x +1

a) x = 0, x = 1 puncte de întoarcere întoarcere

b) x = 1 punct unghiular şi x = 0 punct de

c) x = 0 şi x = 1 puncte unghiulare d) f nu are puncte unghiulare şi nici puncte de întoarcere e) x = −1 punct unghiular

f) x = 1 punct de întoarcere şi x = 0 punct unghiular

AM - 211 Fie f : ( 0,1) → R şi x 0 ∈( 0,1) . Considerăm proprietăţile:

P1 : x 0 este punct de extrem local al funcţiei f P2 : x 0 este punct de inflexiune P3 : x 0 este punct de întoarcere al graficului funcţiei f P4 : f ' ( x0 ) = 0 Care din următoarele implicaţii este adevărată ? b) P4 ⇒ P1 a) P1 ⇒ P4

c) P3 ⇒ P1

d) P3 ⇒ P2

f) P4 ⇒ P2

e) P2 ⇒ P4

AM - 212 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = arcsin

(

x 2

2 x + 2x + 2

)

.

π⎞ ⎛ Să se precizeze natura punctului A ⎜ − 2,− ⎟ . ⎝ 2⎠

a) punct de inflexiune, (∃) f ′(− 2 ) ∈ R

b) punct de maxim, ( ∃) f ' ( −2) ∈R

c) punct de discontinuitate

d) punct de minim, ( ∃) f ' ( −2) ∈ R

e) punct de întoarcere

f) punct unghiular

AM - 213 Se dă f : R → R , definită prin f ( x ) =

x 2 + ax + b cu a , b ∈ R .

Să se determine parametrii a şi b astfel ca f să admită pe x1 = −1 , x 2 = 2 , x 3 = 5 ca puncte de extrem local. b) a = −4, b = 5 c) a = 4, b = −5 a) a = 4, b = 5

Culegere de probleme

270

e) a = 1, b = 3 d) a = −4, b = −5 AM - 214 Fie m şi M valorile extreme ale funcţiei

f) a = −2, b = 4

f : R → R , f ( x ) = x 3 + ax + b ( a , b ∈ R , a < 0) . Să se calculeze produsul m ⋅ M în funcţie de a şi b . a3 a) + b2 3

27a 3 b) + b2 4

4 3 c) b + a 27 2

d) a + b 2

2

e) 1

4b 2 f) + a3 27

AM - 215 Să se precizeze valorile parametrului real a, pentru care funcţia x 2 + ax + 5 are trei puncte de extrem diferite. f : R → R , f ( x) = x2 + 1 a) a ∈( − 3,3) b) a ∈( − 2,2) c) a ∈{− 2,2}

d) a ∈ [− 2,2]

e) a ∈( − ∞,2) ∪ ( 2,+∞)

⎛ 1 ⎞ f) a ∈⎜ − ,7⎟ ⎝ 2 ⎠

AM - 216 Se consideră ecuaţia x 5 + 5x 3 + 5x − 2m = 0 , unde m ∈ R . Să se determine toate valorile lui m astfel încât ecuaţia să aibă o singură rădăcină reală.

a) m ∈ R

b) m ∈ R \ {0}

c) m = 0

d) m ∈( − ∞,0]

e) m ∈[0,+∞)

f) m ∈∅

AM - 217 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel ca ecuaţia 2 ln x + x 2 − 4 x + m 2 − m + 1 = 0 să aibă o rădăcină reală supraunitară.

a) m ∈(10,11)

d) m ∈(2,+∞)

b) m ∈( − 2,−1]

e) m ∈( − ∞,−1) ∪ ( 2,+∞)

c) m ∈( − 1,2)

f) m ∈( − ∞,−1)

AM - 218 Să se determine toate valorile parametrului real m pentru care ecuaţia e x = mx 2 are trei rădăcini reale.

a) m ∈( − ∞,0]

⎛ e2 ⎞ b) m ∈⎜ 0, ⎟ ⎝ 8⎠

c) m = 1

Elemente de analiză matematică

⎛ e2 e2 ⎞ d) m ∈⎜ , ⎟ ⎝ 8 4⎠

271

⎛ e2 ⎞ e) m ∈⎜ ,+∞⎟ ⎝ 4 ⎠

f) m =

e2 4

AM - 219 Se dă ecuaţia 2 x 3 + x 2 − 4 x + m = 0 , unde m ∈ R . Să se determine parametrul real m astfel ca ecuaţia să aibă toate rădăcinile reale.

⎡ − 44 ⎤ ,3 ⎣ 27 ⎥⎦

a) m ∈( − ∞,−3)

b) m ∈ ⎢

⎛ 44 ⎤ c) m ∈( − ∞,−3] ∪ ⎜ 0, ⎥ ⎝ 27 ⎦

d) m ∈( − 3,+∞)

⎛ 44 ⎞ e) m ∈( − ∞,−3) ∪ ⎜ ,+∞⎟ ⎝ 27 ⎠

44 ⎤ ⎡ f) m ∈ ⎢ − 5, ⎥ 27 ⎦ ⎣

AM - 220 Să se determine mulţimea tuturor valorilor parametrului real p pentru care ecuaţia: 3x 4 + 4 x 3 − 24 x 2 − 48 x + p = 0 are toate rădăcinile reale.

a) R

b) [0,4]

c) {0,4}

d) [16,23]

e) [ − 23,−16]

f) [ − 23,16]

AM - 221 Să se determine toate valorile reale ale lui a pentru care ecuaţia x 3 − 3x 2 + a = 0 are toate rădăcinile reale şi distincte.

a) [0,4]

b) (0,4)

c) (0,4]

d) [1,+∞)

⎡ 1⎤ e) ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦

f) (0,1)

AM - 222 Pentru ce valori ale lui m ∈ R , ecuaţia 2 x − x ln 2 = m are două rădăcini reale distincte ?

a) m < 1

b) m = 1

c) m > 1

d) m = ln 2

e) m > ln 2

f) m < ln 2

AM - 223 Fie x1 , x 2 , x 3 rădăcinile ecuaţiei x 3 − x 2 − 1 = 0 . Dacă x1 este

(

)

rădăcina reală a ecuaţiei , să se calculeze: lim x 2n + x 3n . n→∞

Culegere de probleme

272

a) nu există

b) + ∞

c) − ∞

d) 0

e) 1

f) –1

AM - 224 Se consideră ecuaţia: x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 + ax + b = 0 , unde a , b ∈ R , cu rădăcinile x1 , x 2 , x 3 , x 4 . Dacă toate rădăcinile ecuaţiei sunt reale , să se precizeze aceste rădăcini.

a) x1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4

b) x1 = −1, x 2 = 2, x 3 = −3, x 4 = −4

c) x1 = x 2 = x 3 = x 4 = 1

d) x1 = 1, x 2 = −1, x 3 = 2, x 4 = −2

e) x1 = −2, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 5

f) x1 = 1, x 2 = 2, x 3 = −2, x 4 = 5

AM - 225 Să se afle mulţimea valorilor lui p ∈ R pentru care ecuaţia

3x 4 + 4 x 3 − 24 x 2 − 48 x + p = 0 are rădăcină dublă negativă. a) {− 23,−16}

b) ∅

c) {− 23, 16}

d) {23,−16}

e) {23}

f) {16}

AM - 226 Care sunt valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia: x 3 − 3x 2 − 3x + 5 + λ2 2 = 0 admite rădăcini duble ?

a) ( − 11 , )⊂R

b) nu admite rădăcini duble

c) {− 2,2}

d) {3,4}

e) {1,3}

f) [0,1) ⊂ R

AM - 227 Fie a1 > 0, a 2 > 0 şi a1x + a 2x ≥ 2 pentru orice x ∈ R . Să se calculeze produsul a1 ⋅ a 2 . 1 a) 0 b) 2 c) + ∞ f) 4 d) 1 e) 2 AM - 228 Să se determine a ∈ R astfel încât 2 x + a x ≥ 3 x + 4 x , ( ∀) x ∈ R .

Elemente de analiză matematică

a) 3

b) 6

c) 2

d) 5

273

e) –5

f) 8

⎧⎪ x 2 + ax + b , x ∈[ −1,0) , AM - 229 Fie f : [ − 11 , ] → R , definită prin f ( x ) = ⎨ ⎪⎩cx 2 + 4 x + 4 , x ∈[0,1] unde a , b, c ∈R . Care sunt valorile parametrilor a, b, c pentru care f verifică ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul [ −11 ,] ?

a) a = 1, b = 2, c =

1 3

d) a = 4, b = 4, c = −7

b) a = −1, b = −1, c = 2

c) a = −2, b = −2, c = 8

e) a = 2, b = 3, c = 5

f) a = −1, b = −2, c = 7

AM – 230 Fie funcţia f : [− 1, a ] → R ,

f ( x ) = 3 x − 2 − 5 , unde a > −1 . Să se

determine valoarea lui a astfel încât f să îndeplinească condiţiile din teorema lui Rolle. a) 0

b)

7 3

c) nu există

d) 1

e) 2

f)

2 3

AM – 231 Se consideră ecuaţia 4 x 3 + x 2 − 4 x + a = 0 , unde a este un parametru real. Pentru ca ecuaţia să aibe trei rădăcini reale, parametrul a aparţine următorului interval :

⎛ 5 5⎞ , ⎟; ⎝ 2 4⎠

⎛ 2 5⎞ , ⎟ ⎝ 7 4⎠

⎡ 52 5 ⎤ , ; ⎣ 27 4 ⎥⎦

b) a ∈ ⎜ −

c) a ∈ ⎜ −

⎛ 5 4⎞ , ⎟; ⎝ 7 5⎠

e) a ∈ (1,5)

f) a ∈ (2,5)

a) a ∈ ⎢−

d) a ∈ ⎜ −

AM – 232 Să se determine pentru care valori ale parametrului real a ecuaţiei x 5 − 5a 4 x + 4a 3 = 0 admite o singură rădăcină reală ( fără a fi multiplă).

a) a ∈ (− ∞,−1) b) a = −1 c) a ∈ (− 1,0 ) ∪ (0,1) d) a = 1 e) a ∈ (0, ∞ ) f) a = 0

Culegere de probleme

274

AM – 233 Ecuaţia f n ( x ) = 1 +

x x2 xn + +L+ = 0 admite: 1! 2! n!

a) numai rădăcini complexe dacă n impar b) numai rădăcini reale dacă n par c) o singură rădăcină reală dacă n este impar şi nici o rădăcină dacă n este par d) admite toate rădăcinile reale dacă n este impar e) admite două rădăcini complexe dacă n este impar şi restul reale f) admite două rădăcini reale şi restul complexe dacă n este par AM – 234 Care sunt intervalele de variaţie ale parametrului real a pentru care ecuaţia

x 4 − 15 x 2 + ax − 12 = 0 are două rădăcini reale. a) (− ∞,−26 )

b) (− 28,28)

e) (− ∞,−28) ∪ (− 26,26 ) ∪ (28,+∞ )

c) (26,+∞ )

d) (− ∞,−26 ) ∪ (26,+∞ ) f) (− 28,−26 ) ∪ (26,28)

AM – 235 Pentru ce valori ale parametrului m ∈ R , funcţia polinomială f (x) = x3 − 3x 2 − m + 7 , admite trei rădăcini reale distincte, una negativă şi două pozitive.

a) m ∈[3,7]

b) m ∈ [3,7)

c) m∈(3,7]

d) m∈(3,7)

e) m∈(0,7)

f) m∈(0,3) .

AM – 236 Ştiind că ecuaţia 3 x 3 − 3 x 2 + 1 = 0 are o rădăcină reală x1 , iar celelalte

două rădăcini complexe conjugate x 2,3 = a ± ib , să se determine tripletul de mulţimi I , J1 şi J2 pentru care x1 ∈ I , a ∈ J 1 şi x 2 = x3 ∈ J 2 .

⎛1 ⎝2

⎞ ⎠

a) I = (− ∞,0 ); J1 = ⎜ , ∞ ⎟; J 2 = R ∗+ ;

b) I = (− ∞,0 ); J 1 = (1, ∞ ); J 2 = (− ∞,0 )

c) I = (− ∞,0 ); J1 = (− ∞,0 ); J 2 = (1, ∞ ) ;

d) I = (− ∞,−1); J1 = ⎜ − ∞, ⎟; J 2 = (0, ∞)

⎛ ⎝

1⎞ 2⎠

Elemente de analiză matematică

⎛1 ⎝2

⎞ ⎠

e) I = (1, ∞ ); J1 = ⎜ , ∞ ⎟; J 2 = R ∗ ;

275 ⎛1 ⎝2

⎞ ⎠

1⎞ 2⎠

⎛ ⎝

f) I = R; J 1 = ⎜ , ∞ ⎟; J 2 = ⎜ − ∞,− ⎟

AM – 237 Să se determine numărul de soluţii reale ale ecuaţiei : x 3 − 2 x − ln x = 0 .

a) 0;

b) 1;

c) 2;

d) 3;

e) 4;

f) 5.

AM – 238 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel ca ecuaţia x 4 − 4 x 3 + m = 0 să aibă toate rădăcinile complexe.

a) m ∈ (− ∞,27 )

b) m ∈ (27, ∞ )

c) m ∈ (0,27 )

d) m ∈ (− 8,0 ) ∪ (27, ∞ )

e) m ∈ (− 27,0 )

f) m ∈ (− ∞,−27 )

AM – 239 Care este condiţia ca ecuaţia

na 0 x n −1 + (n − 1)a1 x n − 2 + K + 2a n − 2 x + a n −1 = 0

n ≥ 2, n ∈ N să aibe cel puţin o

rădăcină în intervalul (0,1) a)

na 0 + (n − 1)a1 + K + 2a n − 2 = 0 ;

b) a 0 + a1 + a 2 + K + a n −1 ≠ 0

d) a 0 + a1 + a 2 + K + a n −1 = 0 a 0 − a1 + a 2 − a3 + K + (− 1) a n −1 = 0 ; e) na 0 + (n − 1)a1 + K + 2a n − 2 ≠ 0 ; f) n(n − 1)a 0 + (n − 1)(n − 2 )a1 + K + 6a n −3 + 2a n − 2 = a n −1 c)

n −1

AM- 240 Fie polinomul f = x 3n −1 + ax + b; n ∈ N ∗ , a, b ∈ R. Care din următoarele afirmaţii sunt adevărate pentru valorile lui a şi b pentru care f se divide cu x 2 + x + 1, ∀n ∈ N ∗

a) f nu are rădăcini reale

b) f are cel puţin o rădăcină reală

c) f are cel mult o rădăcină reală

d) f are cel puţin două rădăcini reale

Culegere de probleme

276 e) f are două rădăcini reale

f) f are trei rădăcini reale.

AM – 241 Să se precizeze care dintre următoarele condiţii este suficientă pentru ca ecuaţia :

x p + q − A(x p − 1) = 0 ,

( p ,q ∈ N , impare, A > 0)

să aibă două rădăcini reale şi pozitive. a) p p q q A p < ( p + q )

p+q

d) q q p p A p < ( p + q )

p ⋅q

;

;

b) p p q q A p > ( p + q )

p+q

e) p q ⋅ q p A p > ( p + q )

; p ⋅q

c) p p A p > ( p + q )

p+q

; f) p p ⋅ q q > A p .

AM – 242 Dacă x2 şi x3 sunt rădăcinile imaginare ale ecuaţiei x 3 − x − 1 = 0 , precizaţi cărui interval aparţine partea lor reală :

⎡

⎞ ,0 ⎟; ⎣ 2 3 ⎠

a) ⎢−

1 ⎞ ⎛ 1 ,− ⎟; ⎝ 2 2 3⎠

1

⎛

d) ⎜⎜ − ∞ ,−

⎝

b) ⎜ −

3⎞ ⎟; 2 ⎟⎠

⎛

e) ⎜⎜ −

⎝

3 2⎞ ⎟; ,− 2 2 ⎟⎠

⎛

c) ⎜⎜ −

⎝

2 1⎞ ,− ⎟⎟; 2 2⎠

⎞ , ∞ ⎟⎟ . ⎝ 3 ⎠ ⎛ 1

f) ⎜⎜

AM – 243 Să se determine mulţimea tuturor valorilor parametrului real m pentru care ecuaţia: 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x + m = 0 nu are nici o rădăcină reală.

a) m ∈ (− 8,−13);

b) m ∈ (− 13,−8);

c) m ∈ (− 8,19 );

d) m ∈ (19, ∞ );

e) m = −8;

f) m = 19 .

AM – 244 Fiind dată ecuaţia x 3 − 2 x + 1 − ln x = 0 , iar S fiind suma rădăcinilor

acesteia, să se precizeze care din următoarele afirmaţii este adevărată.

(

a) S ∈ − e 2 ,−e

)

b) S ∈ (− e,−2 )

c) S ∈ (− 2,−1)

Elemente de analiză matematică

277

⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ f) S ∈ ⎜ ,1⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ 1 ⎧ 2 ⎪ x sin x , x ∈ R \ {0} AM – 245 Fiind dată funcţia f ( x ) = ⎨ şi cn punctele rezultate ⎪0 , x=0 ⎩ d) S ∈ (− 1,0 )

e) S ∈ ⎜ 0, ⎟

aplicând teorema lui Lagrange funcţiei f pe intervalul

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 1 ( f (cn ) + nf ′(cn )). , ⎢ 3π ⎥, n ∈ N, să se calculeze : L = lim n →∞ π ⎢ ⎥ + 2 nπ + 2nπ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ 4 1 2 2 a) L = 0 b) L = 1 c) d) L = e) L = 2π f) L = π 2π 2

AM – 246 Fie f : Dm → R,

⎛ mx ⎞ f ( x ) = ln⎜1 + ⎟, m > 0 , m parametru şi Dm 5 ⎠ ⎝

domeniul maxim de definiţie. Să se determine toate valorile lui m pentru care f verifică ipotezele teoremei lui Lagrage pe intervalul [− 4,4] a) m ∈ [0,5];

⎛4 5⎞ ⎝5 4⎠

d) m ∈ ⎜ , ⎟;

5⎤

⎛ ⎝

b) m ∈ ⎜ − ∞, ⎥; 4

⎦

⎛5 ⎝4

⎞ ⎠

⎛ ⎝

5⎞ 4⎠

c) m ∈ ⎜ 0, ⎟;

f) m ∈ φ

e) m ∈ ⎜ ,2 ⎟ ;

AM – 247 Se consideră funcţiile f , g , h : R → R ,

1 + x ⋅ e nx , g ( x ) = e x +1 şi h( x ) = ( g o f )( x ) . n →∞ 1 + e nx

f ( x ) = lim

Să se determine constanta c din teorema lui Lagrange aplicată funcţiei h pe [1,2] . a) c = 1 − ln (e − 1);

(

)

b) c = ln e 2 − 1 ;

c) c = 1 + ln (e − 1);

Culegere de probleme

278

d) c = ln (e − 1) − 1;

e) c =

3 ; 2

f) c = 1.

AM - 248 Să se determine constanta c care intervine în teorema lui Lagrange ⎧ x + 3 , x ∈[ − 2,1) ⎪ pentru funcţia f : [ − 2,5] → R , f ( x ) = ⎨ x 7 ⎪ + , x ∈[1,5] ⎩4 4

a)

3 4

b)

2 7

c)

1 8

d)

1 16

e) −

1 16

f)

1 14

AM - 249 Să se determine constanta c care intervine în teorema lui Lagrange pentru ⎧ x3 2 ⎪⎪ − x + 1 , x ∈(1,3] 3 funcţia f : [0,3] → R , f ( x ) = ⎨ ⎪− x + 4 , x ∈[0,1] ⎪⎩ 3 a) c =

2 2 −1 3

d) c = 1 +

2 2 3

2 3 3

b) c = 1 + e) c =

c) c1 = 1 −

2 3 −1 3

f) c =

2 2 2 2 , c2 = 1 + 3 3

−2 3 +1 2

1 . Aplicând teorema lui Lagrange x +1 funcţiei f pe intervalul [ 0, x ] , se obţine punctul c ∈( 0, x ) , unde c = θ ⋅ x , 0 < θ < 1 şi θ = θ ( x ) . Să se calculeze: L = lim θ ( x ) .

AM - 250 Fie f : [0,1] → R , f ( x ) =

x →0 x >0

a) L = 1

b) L = 2

c) L =

1 2

d) L =

1 3

e) L = 0

f) L = 3

1 ⎧ 1 1 ⎪sin − cos , x ≠ 0 , să se AM - 251 Fiind dată funcţia f : R → R , f ( x) = ⎨ x x x ⎪⎩k , x = 0 determine valorile parametrului real k pentru care f admite primitive pe R.

Elemente de analiză matematică

a) k = 0

b) k = 1

c) k = 0 sau k = 1

d) k = 2

279

e) k ∈ R

f) nu există k

Elemente de analiză matematică

⎧x, ⎪⎪ AM - 252 Se dă funcţia f : R → R , f ( x ) = ⎨ x 2 , ⎪ ⎪⎩2 x , Care din următoarele funcţii F este o primitivă a lui

279

x ∈( − ∞,0) x ∈[0,2)

.

x ∈[2,+∞)

⎧1, x ∈( − ∞,0) ⎪⎪ a) F ( x ) = ⎨2 x , x ∈[0,2) ⎪ ⎪⎩2, x ∈[2,+∞ )

f pe R ? ⎧ x2 ⎪ + 1, x ∈( − ∞,0) ⎪2 ⎪ x3 b) F ( x ) = ⎨ , x ∈[0,2) ⎪3 ⎪ 2 4 ⎪ x − 3 , x ∈[2,+∞ ) ⎩

⎧1 , x ∈( − ∞,0) ⎪⎪ c) F ( x ) = ⎨2 x − 2, x ∈[0,2) ⎪ ⎪⎩2 , x ∈[2,+∞)

⎧x2 ⎪ , x ∈( − 1,0) ⎪2 ⎪x3 d) F ( x ) = ⎨ , x ∈[0,2) ⎪3 ⎪ 2 4 ⎪ x − 3 , x ∈[2,3) ⎩

⎧x2 ⎪ + 1, x ∈( − ∞,0) ⎪2 ⎪x3 e) F ( x ) = ⎨ + 1, x ∈[0,2) ⎪3 ⎪ 2 1 ⎪ x − 3 , x ∈[2,+∞) ⎩

f) Nici una dintre funcţiile precedente nu este primitivă a lui f pe R

2 ⎪⎧ x + x + 1, x ≤ 0 AM - 253 Fie f : R → R, f ( x ) = ⎨ . Precizaţi care din ⎪⎩e x , x > 0 următoarele funcţii reprezintă o primitivă a funcţiei f :

⎧x3 x2 + x, x ≤ 0 ⎪ + F1 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x , x > 0 ⎩

⎧ x3 x2 + x + c, x ≤ 0 ⎪ + F2 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x + c, x > 0 ⎩

280

Culegere de probleme

⎧ x3 x2 + x, x ≤ 0 ⎪ + F3 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x − 1, x > 0 ⎩

⎧ x3 x2 + x, x ≤ 0 ⎪ + F4 ( x ) = ⎨ 3 2 ⎪e x + 1 , x > 0 ⎩

a) toate

b) nici una

c) F1

d) F2

e) F3

f) F4

⎧⎪e x , x ∈[ − 1,0) AM - 254 Se dă funcţia f : [ − 11 , ] → R , f ( x) = ⎨ . 2 ⎪⎩ x + 2 , x ∈[0,1] Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? ⎧e x + 1, x ∈ [ − 1,0) ⎪ ⎨ x3 ⎪ + 2, x ∈ [ 0,1] ⎩3 este primitivă a lui f

⎧⎪e 2 x , x ∈[ − 1,0) ⎧⎪e x , x ∈[ − 1,0) c) F ( x ) = a) F ( x ) = ⎨ b) F ( x ) = ⎨ ⎪⎩2 x , x ∈[0,1] ⎪⎩2 x + 1, x ∈[0,1]

este primitivă a lui f

este primitivă a lui f

⎧e x , x ∈[ − 1,0) ⎧e x , x ∈[ − 1,0) ⎪ ⎪ d) F ( x ) = ⎨ x 3 e) f nu are primitive pe [ − 11 , ] f) F ( x ) = ⎨ x 2 ⎪ + 1, x ∈[ 0,1] ⎪ + 3, x ∈[0,1] ⎩3 ⎩2 este primitivă a lui f este primitivă a lui f

⎧⎪ x 2 ⎪⎩2 x

AM - 255 Fie f : R → R , f ( x ) = ⎨

x ∈Q x∈R \Q

Care din următoarele afirmaţii este corectă ?

⎧ x3 , x∈Q ⎪⎪ 3 a) f(x) admite primitiva F ( x ) = ⎨ x ⎪2 ⎪⎩ ln 2 , x ∈ R \ Q

Elemente de analiză matematică

⎧ x3 ⎪⎪ + c1 3 b) f(x) admite primitiva F ( x ) = ⎨ x ⎪ 2 +c 2 ⎪⎩ ln 2

281

, x∈Q c1 ≠ c 2 ,x∈R \Q

c) f(x) nu admite primitive

⎧ x3 ⎪⎪ + c 3 d) f(x) admite primitiva F ( x ) = ⎨ x ⎪ 2 +c ⎪⎩ ln 2 ⎧ x3 ⎪⎪ + 1 3 e) f(x) admite primitiva F ( x ) = ⎨ x ⎪ 2 +1 ⎪⎩ ln 2

, x ∈Q ,x∈R \Q ,x∈R \Q , x∈Q

AM - 256 Să se stabilească dacă există primitivele F : R → R ale funcţiei 1 ⎧ ⎪arctg , x < 0 , iar în caz afirmativ să se calculeze. f : R → R, f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 1, x≥0

(

)

(

)

1 1 ⎧ 2 ⎪ x arctg + ln 1 + x + C , x < 0 a) F ( x ) = ⎨ x 2 ⎪⎩ x + C , x ≥ 0

1 1 ⎧ 2 ⎪ x arctg + ln 1 + x + 1, x < 0 b) F ( x ) = ⎨ x 2 ⎪⎩ x + 1, x ≥ 0

1 ⎧ ⎪ x arctg + C , x < 0 c) F ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ x + C , x ≥ 0

d) nu admite primitive pe R

⎧1 2 ⎪ ln 1 + x + C , x < 0 e) F ( x ) = ⎨ 2 ⎪⎩ x + C , x ≥ 0

1 1 ⎧ 2 ⎪ x arctg + ln (1 + x ) + C1 , x < 0 f) F ( x) = ⎨ x 2 ⎪⎩ x + C2 , x ≥ 0 AM - 257 Să se precizeze dacă funcţia f : R → R,

(

)

Culegere de probleme

282

( (

)

1 ⎧ t 2 − t + 1 , dac ă x ≤ ⎪⎪inf t≤x 2 f ( x) = ⎨ 2 ⎪sup − t + t + 1 , dacă x > 1 ⎪⎩ t ≥ x 2

)

admite primitive pe R şi în caz afirmativ să se determine primitivele.

⎧x3 x2 5 1 +x+ + C, x ≤ ⎪⎪ − 24 2 a) F ( x ) = ⎨ 3 3 2 2 x x 1 ⎪− + + x + 1, x > ⎪⎩ 3 2 2

⎧ x3 x2 1 + x + C, x ≤ ⎪⎪ − 2 b) F ( x ) = ⎨ 3 3 2 2 x x 1 1 ⎪− + + x − + C, x > ⎪⎩ 3 2 6 2

⎧ x3 x2 1 + x + 1 + C, x ≤ ⎪⎪ − 2 c) F ( x ) =⎨ 3 3 2 2 x x 1 ⎪− + + x, x > ⎪⎩ 3 2 2

d) Nu admite primitive

⎧x3 x2 5 1 −x+ + C, x ≤ ⎪⎪ − 2 24 2 e) F ( x ) = ⎨ 3 1 ⎪− 5 x + C , x > ⎪⎩ 2

⎧ x3 x2 1 − x + C1 , x ≤ ⎪⎪ + 2 2 f) F ( x ) =⎨ 3 1 ⎪5x + C , x > 2 ⎪⎩ 2

AM - 258 Să se determine a ∈ R astfel ca funcţia f : R → R,

⎧2 + ln(1 − x ), x 〈 0 ⎪ f ( x) = ⎨ a, x = 0 ⎪ −2 x ⎩1 + e , x > 0 a) a = 1

b) a = -1

c) a = -2

să admită primitive pe R .

d) a = 2

e) a = 3

f) a =

1 3

Elemente de analiză matematică

283

⎧2 − e − x , x < 0 ⎪ AM - 259 Fie f : R → R , f ( x ) = ⎨m , x =0 . ⎪1 − 3 sin x , x > 0 ⎩ Să se determine m ∈ R pentru care funcţia f admite primitive şi apoi să se determine primitivele corespunzătoare. ⎧2 x + e − x +2 + C , x < 0 ⎪ a) m = 2, F ( x )= ⎨2 x , x = 0 ⎪ x + 3 cos x + C , x > 0 ⎩

⎧2 x + e − x + 2 + C , x ≤ 0 b) m = 1, F ( x ) = ⎨ ⎩ x + 3 cos x + C , x > 0

⎧2 x + e − x + 2 + C , x < 0 ⎪ c) m = 1, F ( x ) = ⎨C , x = 0 ⎪ x + 3 cos x + C , x > 0 ⎩

⎧ x, x ≤ 0 d) m = 1, F ( x ) = ⎨ ⎩ x + 3 cos x + C , x > 0

⎧2 x + e − x + 2 + C , x ≤ 0 e) m = 0, F ( x ) = ⎨ ⎩ x + 3 cos x + C , x > 0

⎧ x2 −x ⎪ + e + C, x ≤ 0 f) m = 3, F ( x ) = ⎨ 2 ⎪ x + 3 sin x + C , x > 0 ⎩

AM - 260 Fie F : R → R , F(x) = x x − a + x − b + x − c unde a, b, c ∈ R . Care sunt valorile parametrilor a, b, c pentru care F este o primitivă a unei funcţii f:R→R?

a) a = b = c = -1

b) a = b = 3, c = 4

c) a = b = c = -3

d) a = -1, b = c = 1

e) a = b = c = -2

f) a = -b = c = 3

AM - 261 Să se determine primitivele funcţiei f :[ 0,2π] → R , unde

f ( x ) = 1 + cos x . a) 2 2 sin

x +C 2

x ⎧ ⎪⎪2 2 sin 2 + C1 , x ∈[ 0, π ] b) ⎨ ⎪− 2 2 sin x + C2 , x ∈( π ,2 π ] ⎪⎩ 2

Culegere de probleme

284

x ⎧ ⎪⎪2 2 sin 2 + C1 , x ∈[ 0, π ] c) ⎨ ⎪− 2 2 sin x + C1 + 4 2 , x ∈( π ,2 π ] ⎪⎩ 2

e)

x ⎧ ⎪⎪2 2 sin 2 , x ∈[0, π] d) ⎨ ⎪− 2 2 sin x + C , x ∈( π ,2 π] ⎪⎩ 2

2 x sin + C 2 2

f) −

2 x cos + C 2 2

AM - 262 Să se stabilească dacă există , şi în caz afirmativ să se afle primitivele

funcţiei f : R → R , f ( x ) = x − 2 + x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 6 x + 9 . a) nu admite primitive ⎧ x2 + 2 x + C1 , x ∈( − ∞,1] ⎪− ⎪ 2 ⎪ x2 + C2 , x ∈(1,3] b) F ( x ) = ⎨− ⎪ 2 ⎪ x2 + 6 x + C3 , x ∈( 3,+∞ ) ⎪3 ⎩ 2

⎧ x2 + 2 x + C , x ∈( − ∞,1] ⎪− ⎪ 2 ⎪ x2 c) F ( x ) = ⎨ + 1 + C , x ∈(1,3] ⎪2 ⎪ x2 ⎪3 − 6 x + 10 + C , x ∈( 3,+∞) ⎩ 2

⎧ x2 + 2 x + C , x ∈( − ∞,3] ⎪⎪− d) F ( x ) = ⎨ 2 2 ⎪3 x + 6 x + C , x ∈ 3,+∞ ( ) ⎪⎩ 2

⎧ x2 ⎪ + 2 x + C , x ∈( − ∞,1] ⎪⎪ 2 e) F ( x ) = ⎨2 x + 3 + C , x ∈(1,3] ⎪ 2 ⎪3 x + 6 x + C , x ∈( 3,+∞) ⎪⎩ 2

f) F ( x ) =

x2 − 2x + 2

2x − 1 2

x − 2x + 1

+

x 2

x − 6x + 9

+C

Elemente de analiză matematică

285 x 3 + 3x 2 − 9 x − 27 . x2 − 2x + 1

AM - 263 Se consideră funcţia f : (0, 1) → R , f ( x ) =

Să se găsească numerele reale m, n şi p astfel încât funcţia

F : (0,1) → R , F ( x ) = a) m = 1, n =

mx 3 + nx 2 + px să fie primitivă pentru f . x −1

9 , p = 27 2

b) m =

1 9 d) m = − , n = , p = 27 2 2

1 9 , n = − , p = 27 2 2

c) m =

1 9 , n = , p = 27 2 2

f) m = 2, n = 3, p =

e) m = 1, n = 27, p = 9

1 2

AM - 264 Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât funcţia

axe nx + bx 2 + c să admită primitive pe R . n →∞ e nx + 1

f : R → R, f ( x ) = lim a) a, b, c ∈ R\ {0}

b) a,b ∈ R , c = 0

d) a = 1, b, c ∈ R \ {0}

c) a = 1, b = 1, c = -3

e) a = 1, b,c ∈ R

f) a, c ∈ R, b = 0

AM - 265 Să se determine relaţiile dintre a, b, c, A, B, C, astfel încât

primitivele a) A⋅ B = B⋅ C = C ⋅ A a⋅ b = b ⋅ c = c ⋅ a d) A + B + C = 0 a+b+c=0

∫

2

B C ⎞ ⎛ A + + ⎜ ⎟ dx să fie funcţii raţionale. ⎝ x − a x − b x − c⎠ b) A = B⋅ C a = b⋅ c

e) A(b - c) = B(c - a) = C( a - b)

c) A = B = C a = 1, b = 2, c = 3 f) A⋅ a + B⋅ b + C⋅ c = 0

Culegere de probleme

286

AM – 266 Calculaţi integrala nedefinită x +1 dx pentru orice x ∈ (a, b ) , unde 0 ∉ (a, b ) .

∫

x

1 +C x2

a) 1 + ln x + C

b) x −

d) x + ln x + C

e) ln x + 1 + C

c) x +

e)

1 +C x2

x +1 +C x

AM – 267 Calculaţi integrala: 2

∫ 1

a) e −1 − e −

(

d) 2 e −

2

b) e −

2

− e −1

)

e)

2

dx xe

x

.

(

− e −1

(

1 −1 − e −e 2

c) 2 e −1 − e − 2

)

(

f) e −

2

− e −1

2

)

)

AM – 268 Să se calculeze integrala:

ex ∫0 e2 x + 2dx 1 b) arctg 2 ln 2

a)

1 1 arctg 2 2

d) arctg 2

e) arctg 2 −1

AM – 269 Să se calculeze

∫

−2

a) arcsin e − arcsin e 2

ex 1 − e2 x

1 arctg 2 2

f)

1 1 arctg2 arctg 2 2 2

dx .

b) arcsin e −1 − arcsin e −2

d) arcsin e −2 − arcsin e −1 e)

c)

c) arcsin e 2 − arcsin e

1 1 arcsin e−2 − arcsin e−1 ) f) ( arcsin e − arcsin e2 ) ( 2 2

Elemente de analiză matematică

287

π 4

∫π

AM – 270 Să se calculeze

( d) ln(

a) ln 3 − 2 2

−

)

4

1 + tg 2 xdx .

( ) e) ln(2 − 2 )

( ) f) ln(2 + 2 )

b) ln 3 + 2 2

)

2 −1

c) ln 1 + 2

2

AM – 271 Să se calculeze:

∫ f ( x )dx , unde 1

f ( x ) = x n ⋅ ln x, x > 0 , n – număr natural (n ≥ 1) . a)

d)

2n +1 ln 2 n +1 2n +1

( n + 1)

2n +1 2n +1 ln 2 − 2 n +1 ( n + 1)

b)

ln 2 2

2n +1

e)

( n + 1)

ln 2 − 1) 2 (

1

AM – 272 Să se calculeze:

∫ (x

2

b) -3

f)

2n +1 2n +1 − 1 ln 2 − 2 n +1 ( n + 1) 2n +1

( n + 1)

2

( ln 2 + 1)

)

− 2 x − 1 e x dx .

0

a) e − 1

c)

c) 3(e − 1)

d) 3(1 − e )

f) − 3e

e) 3e

AM – 273 Să se calculeze 1

I = ∫ ax

3

+3x

⋅ ln a x

5

+ 4 x3 +3x

dx ,

0

unde a > 0, a ≠ 1 .

(

)

(

a)

1 ln a a 3 ln a − 1 3

b)

d)

4a 4 ln a − a 4 + 1 3 ln a

e) a 4 a 3 + 3a − ln a

1 3a 4 ln a − a 4 a ln a

(

)

)

c)

1 4 a ln a 3

f)

1 4 (a ln a + 1) 3

Culegere de probleme

288 AM – 274 Să se calculeze 1

I = ∫ [1 + xf ' ( x )]e f ( x )dx . 0

a) I = e f (1) ;

b) I = e f (1) − e f (0 ) ;

d) I = 0;

e) I = 1;

c) I = e f (0 ) − e f (1)

f) I = f (0)e f (1) − f (1)e f (0 ) ;

AM – 275 Să se calculeze primitivele funcţiei

f : (1, 2) ∪ (2, ∞ ) → R ,

(

f (x ) =

x2 + 2 . x 2 − 3x + 2 x −1 c) ln +C x−2

x−2 +C x −1 x−2 ⎧ 2 ⎪⎪ x + 2 ln x − 1 + C1 ( x − 2) e) ⎨ f) x + ln +C x −1 ⎪ x + 2 ln x − 2 + C 2 ⎪⎩ x −1

)

a) 2 ln x 2 − 3 x + 2 + C

b) ln

⎧ (x − 2)2 + C + x 3 ln ⎪ 1 ⎪ x −1 d) ⎨ 2 ⎪ x + 3 ln (x − 2) + C 2 ⎪⎩ x −1

x4 dx pentru orice x ∈ (a, b), unde 1 ∉ (a, b). x3 − 1 1 1 1 2x + 1 x2 + arctg +C a) ln x − 1 − ln x 2 + x + 1 + 3 6 2 3 3 AM - 276 Să se calculeze :

∫

(

)

(

)

(

)

b)

1 1 1 3x + 1 x3 ln x + 1 − ln x 2 + x + 1 + + arctg +C 6 3 3 2 2

c)

1 1 2x + 1 x2 1 ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + + arctg +C 2 3 3 3 3

d)

x2 1 + ln x + 1 + arctg x + C 2 3

(

)

f) ln x 2 + x + 1 +

1 x +1 arctg +C 3 2

e)

x2 1 − ln x 2 − x + 1 + C 2 6

(

)

Elemente de analiză matematică

289

AM – 277 Să se determine mulţimea primitivelor următoarei funcţii trigonometrice

f : (0, π ) → R, f ( x ) =

1 sin x

a) ln ctg x + C

d) ln tg

b)

x +C 2

e) ln ctg

AM - 278 Să se calculeze I =

a) I = ln tg

1 +C cos x x +C 2

f)

∫ sinxsinx dx , + cosx

x +C 2

c) I =

1 arctg x + C 2

e) I =

1 ln sin x − cos x + arctg x + C 2

(

c) ln tgx + C

)

1 +C ln (cos x )

⎛ π 3π ⎞ unde x ∈ ⎜ − , ⎟ . ⎝ 4 4⎠

(

)

b) I =

1 2 x − ln sin x − cos x + C 2

d) I =

1 x − ln sin x + cos x + C 2

f) I =

1 x + ln sin x + cos x + C 2

(

(

)

)

AM - 279 Să se determine toate polinoamele P ∈ R [ X ] astfel încât pentru

orice x real să avem:

∫

x

1

P (t ) dt = P( x ) ⋅ P (2 − x ) .

⎧ 1 ⎫ a) P ( x )= k ( x − 1), k ∈ ⎨− , 0⎬ ⎩ 2 ⎭

⎧ 1⎫ b) P ( x ) = k ( x + 1), k ∈ ⎨0, ⎬ ⎩ 2⎭

⎧ 1 ⎫ c) P ( x ) = k ( x + 1), k ∈ ⎨− ,0⎬ ⎩ 2 ⎭

d) P ( x ) = 2 x − 1

e) P ( x ) = 1

f) P ( x ) = k ( x − 1), k ∈{− 11 ,}

Culegere de probleme

290

AM - 280 Să se calculeze

∫

1 0

x + sin x − cos x − 1dx, x ∈ R . x + e x + sin x

a) e sin1 + cos1

b) 1 − esin1 + lnsin1

c) 1 + lnsin1 + e

d) 1 − ln (e + 1 + sin1)

e) ln sin1 + ln cos1 + e − 1

f) e − 1 + ln cos1

AM - 281 Să se calculeze:

a) ln(e + 1) − e − 1 d)

2

b) ln(e + 1) −

1 [ln(e + 1) − e − 1] 2

2

2

2

2x 2e x − x 2e2x − 2xe x + e x − 1 dx 2 ∫0 xe x + 1 1

e +1 2

c)

1 ln(e + 1) − e − 1 2

e) ln(e + 1) − 1

f) e + 1 − ln(e + 1)

AM- 282 Să se determine primitivele funcţiei

f ( x ) = x + 5 − 4 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 , x ∈ [3,8]. a) F ( x ) =

4 3

(x + 1)3 + C

d) F ( x ) = 2 x + 1 + C

f) F ( x ) = −5 x + C

b) F ( x ) = x + C

c) F ( x ) =

x +1 + C

⎧ x + C , x ∈ [3,5] ⎪ e) F ( x ) = ⎨ 4 3 ⎪⎩ 3 (x + 1) + 5 − 8 6 + C , x ∈ [5,8]

Elemente de analiză matematică

291

AM – 283 Să se calculeze

∫

2

1

((

) )

a)

1 ln 2 + 3 − 1 2

d)

1 2 3+2 ln 2 3+ 7

(

b)

)

1 ⋅ dx x x + x2 + 1 4

(

1 2 21 − 3 2

)

c)

17 − 3 2

f) 2 ln 2

e) 1

3+ 2 7− 3

AM – 284 Să se determine constantele reale a,b,m astfel încât

∫ f (x )dx = (ax + m) unde f ( x ) =

x 2 + mx + 5 1+ x2

9 2

d) a = 1; b = ; m =

9 2

1 1+ x2

dx

.

b) a =

a) a = b = m = 1

1 + x 2 + b∫

1 9 ; b = ; m∈R 2 2

e) a ∈ R; b =

9 1 ;m= 2 2

c) a =

1 1 ; b = ; m∈R 2 2

f) a =

9 1 ; b = ; m ∈ R. 2 2

AM – 285 Să se calculeze integrala :

I =∫

2

1

a) I = 5 − 2 ;

d) I =

1 5 +1 ln 2 2 +1

1 + x 2 dx. x b) I = 5 − 2 + ln

e) I = ln

2 2 +2 ; 5 +1

5 +1 ; 2 2+2

c) I = 5 − 2 + ln

f) I = 5 − 2 +

2 +1 ; 5 +1

1 5 +1 ln 2 2 +1

Culegere de probleme

292

AM - 286 Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru integralele: 1/ 2

∫

I n , n ∈ N , n≥2, I n =

0

a) I n = −

3 2 3

c) I n =

2n 3

e) I n =

2n

n

xn 1 − x2

+ ( n − 1 )( I n − 2 − I n )

dx .

b) I n = −

3 2n

+ (n − 1) (I n − I n − 2 )

− ( n + 1 )( I n − I n −1 )

d) I n = (n − 1) I n−1 + I n−2

+ n( I n −1 − I n − 2 )

f) I n = (n − 1)( I n−2 − I n )

AM – 287 Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru integralele In , n ∈ N , π

I n = ∫ 2 ( sin x ) dx n

0

a) I n =

n +1 I n − 2 , n ≥ 2; n

b) I n =

n −1 I n −1 , n ≥ 2 n

c) I n =

n −1 I n − 2 , n ≥ 2; n

d) I n =

n −1 I n−2 , n ≥ 2 2

e) I n =

n −1 I n −1 , n ≥ 2; 2

f) I n =

n +1 I n −2 , n ≥ 2 2

AM - 288 Să se calculeze: L = lim

1 p + 2 p + 3 p +...+ n p

n→∞

a) L = 1

b) L = 0

c) L =

1 p +1

n p +1 d) L = e

, unde p∈N * .

e) L = +∞

f) L =

1 p

Elemente de analiză matematică

n

∑

AM - 289 Să se calculeze L = lim

n→∞

a) L = 0

b) L =

π 4

k =1

n2 − k 2 n2

c) L = 1

293

. π 2

e) L =

d) L = e

f) L = 2

⎛ 1 1 1 ⎞ AM - 290 Să se calculeze: L = lim n⎜ + +...+ ⎟. 2 n→∞ ⎝ ( n + 1) 2 ( n + 2) ( 2n ) 2 ⎠ a) L = 1

b) L = 0

c) L =

1 2

d) L = −

1 2

AM - 291 Care este limita şirului cu termen general: a n =

1 ln 3 12

b)

1 ln 7 2

c)

1 ln 3 6

d)

1 ln 13 12

AM - 292 Care este limita şirului cu termenul general: a n =

a)

π 3 18

b) 1 + ln 2

c) − 1 + ln 3

d)

k2

n

∑ k =1

a)

f) L =

e) L = e

π 2

(2 k ) 3 + n 3 1 ln 4 3

e)

1 n

n

∑ k =1

e)

3 2

1 4

?

f)

k2 4n 2 − k 2

1 ln 2 4

?

f) − 1 + ln 2

AM - 293 Să se calculeze limita şirului cu termenul general:

an =

a) 0

b) 2

⎤ 3⎡ n n n + +...+ ⎢1 + ⎥ . n ⎢⎣ n+3 n+6 n + 3(n − 1) ⎥⎦ c) 1

d) e

e) 3

f)

1 2

Culegere de probleme

294

AM - 294 Să se calculeze lim an , unde n→∞

an = a) ln 2 +

⎤ 1⎡ 2 2 2 ⎢ ln k + n + ln n − 2n ln n + ln 2⎥ . n ⎣ k =1 ⎦ n −1

∑ (

)

π −2 2

d) 3 ln 2 +

b) ln3 +

π 4

π −3 2

c) ln 2 +

π 4

π 2

f) ln 2 −

π +2 2

e) 2 ln 2 −

AM - 295 Să se calculeze lim

n→∞

a) 1

1 n2

n

∑ (2 k − 1) k =1

c) π

b) 2

1−

e)

k4 . n4

π 4

d)

π 2

f) 0

AM - XII. 296 Care din următoarele funcţii nu este integrabilă pe intervalul specificat ?

⎧ x , x <1 pe[− 1,1] ⎩ x + 1, x ≥ 1

a) f ( x ) = ⎨

⎧ 1 ,x <1 ⎪ pe 0,1 c) f ( x ) = ⎨ 1 − x ⎪0 ,x ≥1 ⎩

[ ]

[

]

e) f ( x ) = e − x pe − 11 , 2

⎧ 1 ⎪sin , x ≠ 0 pe [ − 11 ,] b) f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩0 ,x = 0

d) f ( x ) =

f) f ( x )=

1 x

pe [1,2]

1 ⎡ π⎤ pe ⎢0, ⎥ 1 + sin x ⎣ 2⎦

2

AM – 297 Să se calculeze

∫ x dx. 3

−1

a) 4

15 b) 4

c) 3

d)

1 4

e)

17 4

f) 2

Elemente de analiză matematică

295

3

AM – 298 Să se calculeze:

∫ (x + 2)dx . 0

a) 3

b)

10 3

c)

AM – 299 Să se calculeze I =

a)

7 5

b)

5 2

∫

20 3

d)

21 2

e)

9 2

f) 6

d)

2 5

e)

3 2

f)

⎛ x 32 + 1⎞ dx ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ 2

c) 5

5 7

AM - 300 Presupunând că funcţiile implicate mai jos sunt toate integrabile pe [a ,b] , care din următoarele egalităţi este adevărată ?

a)

c)

∫

b a

f ( x ) g ( x )dx =

n

∫

b a

f ( x ) dx ⋅

⎡ ⎤ ∫ a [ f ( x)] dx = ⎢⎣∫ a f ( x)dx ⎥⎦ b

b

∫

b a

g ( x )dx

b)

n

d)

∫

a

a

f ( x) dx = g( x)

⎛ n ⎞ ⎜ Ck f k ( x )⎟ dx = ⎝ k =1 ⎠

∫ ∑ b

b

∫ ∫

n

∑ ⎡⎢⎣C ∫ k

k =1

b

f ( x )dx

a b a

b a

g ( x ) dx

f k ( x ) dx ⎤⎥ ⎦

(C1 , C2 ,..., Cn constante) e)

∫

b a

f ( x ) dx =

∫

b a

f ( x ) dx

f)

∫

b a

ln f ( x ) ⋅ g ( x ) dx = ln

∫

b a

f ( x ) dx + ln

∫

b a

g ( x ) dx

AM - 301 Fie funcţia f : [1,3] → R , f ( x ) = x 2 . Să se determine c ∈ (1,3) astfel 3

∫ f (x )dx = 2 f (c ) .

încât

1

a) c =

1 3

b) c = ±

13 3

c) c =

13 3

d) c =

28 3

e) c = ±

28 3

f) c = 2

Culegere de probleme

296

∫

AM - 302 Ştiind că

5 1

∫

P( x )dx = −1 şi

5 3

P ( x )dx = 3 , să se calculeze

1

∫ [2 P(t ) + P(2t − 1)]dt . 3

a) 4

b) 9

c)

8 3

d)

19 2

17 2

e)

AM - 303 Să se calculeze integrala I =

∫

2 0

f) Nu are sens o astfel de integrală

f ( x ) dx ştiind că f (0) = 1 , iar

⎧⎪1 − x pentru x ∈[0,1] . f ' ( x) = ⎨ ⎪⎩ x − 1 pentru x ∈(1,2] a) I = 1

b) I = 2

c) I = 3

AM - 304 Să se calculeze

e4 x dx ∫ −1 e4x + 1

a) e

c)

b) 1

AM - 305 Să se calculeze

a) 1

b)

π

3 2

e) I =

2 3

f) I = 0

1

e

1 4

d) 4

e) ln(e+1)

f) ln

e) ln2

f)

e +1 e

ln x dx 2 x + 1)

∫ x ( ln 1

d) ln 2

c) e-1

4

d) I =

π 2

⎡ 7π ⎞

AM - 306 Se consideră funcţia f : ⎢0, ⎟ → R, definită prin f (x) = ln(1+ 2sinx). ⎣ 6 ⎠

I =∫

Să se calculeze integrala definită a) –2

b) –3

c) –1

d) 2

π 2 0

f ′′(x )dx. e) 3

f) 1.

Elemente de analiză matematică

AM - 307 Să se calculeze F (a) =

∫

1 0

297

x 2 + a dx, a ∈ R.

1 ⎧ ⎪⎪a + 3 , a ≤ 0 a) F (a ) = ⎨ ⎪a − 1 , a > 0 ⎪⎩ 3

1 ⎧ ⎪− a − 3 , a ≤ −1 ⎪ 1 ⎪ 4 b) F (a ) = ⎨− a − a + a + , − 1 < a ≤ 1 3 3 ⎪ ⎪ 1 ⎪a − 3 , 1 < a ⎩

1 ⎧ ⎪− a − 3 , a ≤ −1 ⎪ 1 ⎪ 4 c) F (a ) = ⎨− a − a + a + , − 1 < a ≤ 0 3 ⎪ 3 1 ⎪ ⎪a + 3 , 0 < a ⎩

1 ⎧ ⎪− a − 3 , a ≤ −1 ⎪ 1 ⎪ 4 d) F (a ) = ⎨− a a + , − 1 < a < 1 3 ⎪ 3 1 ⎪ ⎪a + 3 , 1 ≤ a ⎩

1 ⎧ ⎪⎪a + 3 , a < 0 e) F (a ) = ⎨ ⎪a a + a + 1 , a ≥ 0 ⎪⎩ 3

⎧ 1 ⎪a − 3 , a ≤ −1 ⎪ ⎪4 f) F (a ) = ⎨ a a + a , − 1 < a < 1 ⎪3 ⎪ 1 ⎪a − 3 , 1 ≤ a ⎩

⎧ x , pentru x ≤ 1 ⎪ AM - 308 Fie f : R → R, unde f ( x ) =⎨ x 2 + 1 şi I = , pentru x > 1 ⎪ ⎩ 2

∫

1

f (e − x )

0

f (e x )

dx .

Precizaţi care din răspunsurile de mai jos este corect: a) I nu există

b) I = 2 −

d) I = 1

e) I = e

2 π − 2 arctg e + e 2

c) I =

1 1 − 2 2 2e

f) I = ln 2 + arctg e +

1 e

Culegere de probleme

298

AM - 309 Calculaţi valoarea integralei: I =

a) 8

b) 5

c) 10

∫ ( x − 1 + x + 1 ) dx . 2

−2

d) 9

AM - 310 Să se calculeze valoarea integralei: I =

a) I =

5 12

b) I =

1 2

c) I =

1 3

∫

d) I =

e) 7 x−2

3 1

(

x 2 − 4x

1 12

)

2

f) 18

dx .

e) I =

1 4

f) I =

1 10

xn + x4 + 1 dx . Precizaţi pentru ce valori naturale ale lui n, 0 x2 + x + 1 I este un număr raţional.

AM - 311 Fie I =

∫

1

a) pentru orice n∈N

b) nu există n∈N astfel ca I∈Q

c) n = 3k, unde k∈N

d) n = 3k + 1, unde k∈N

e) n = 3k + 2, unde k∈N

f) n = 2k, unde k∈N

AM - 312 Fie P o funcţie polinomială de gradul n cu rădăcinile 1, 2,...,n. Să se n+2 P ' ( x) dx . calculeze I = n +1 P ( x )

∫

a) I = 2n + 3

b) I = n

c) I = n – 1

AM - 313 Să se calculeze integrala: I =

a)

I=

d) I =

3 − 4 ln 2 2

3 + 4 ln 2 2

d) I = 1

∫

3 2

e) I = ln (n + 1)

f) I =

x 2 − 2x + 5 dx . x −1

1 b) I = − − 4 ln 2 2 1 e) I = − + 4 ln 2 2

3 c) I = − + 4 ln 2 2

f) I = 1 + 3 ln 2

1 n

Elemente de analiză matematică

AM - 314 Să se calculeze

a)

π 2

1+ 5 2

∫

x 2 + 1 dx . x − x2 + 1 4

1

b) 2 + 5

c)

∫

AM – 315 Să se calculeze

a) 0;

b)

π 6

;

c)

1 0

π 4

π 4

d) 0

;

d)

∫

1 0

π 3

;

e)

d) ln 2

e)

3 2

b) ln

4032 3107

2 1

c) ln

AM - 318 Să se calculeze : I = a) I =

1 ⎛ 3985⎞ ⎜1 − ⎟ 1991 ⋅ 1992 ⎝ 31992 ⎠

d) I =

1 1 − 1991 ⋅ 1992 31992

1+ 5 2

dx x( x

π 2

;

f)

3π ; 2

dx . x + x2 + x + 1 b) ln 4 2 +

a) ln

f)

3

a) ln 2 + arctg2

∫

5

e)

x 4 + 1 dx x6 + 1

AM - 316 Să se calculeze : I =

AM - 317 Să se calculeze :

299

10

+ 1)

2100 103

π 8

c) ln 2 +

π 8

π 2

f) ln 3 2 + π

.

d) ln

e 2

e)

1 2048 ln 10 1025

f) ln

140 343

2 x 3 + 3x 2 + x dx . 0 ( x 2 + x + 1) 1993 1 ⎞ 1 1 ⎛ b) I = c) I = ⎜1 − 1992 ⎟ 1991 ⋅ 1992 ⎝ 3 ⎠ 1991 ⋅ 1992

∫

1

e) I =

1 1 + 1991 1992

1

1 ⎞ ⎛ 1 + f) I = 31992 ⎜ ⎟ ⎝ 1991 1992 ⎠

Culegere de probleme

300

∫

AM - 319 Care este valoarea integralei : a ) 2 ln( 9 8 + 1)

b) arctg 2

x5 dx ? x +1

9

8

−9

c) 1

d) 0

AM - 320 Să se calculeze valoarea integralei: I =

5− 2 2

b) I =

2− 5 2

e) I = 2

(

AM - 321 Care este valoarea integralei:

∫

a) I =

d) I =2

(

5− 2

a) 0

)

b)

π 2

AM - 322 Să se calculeze integrala :

b) 2 ( π − 1)

a) 2 ( π + 1)

AM - 323 Să se calculeze :

a) 5

∫

b) 2

AM - 324 Valoarea integralei

a)

π 12

b)

π 4

5

2

∫

2

dx . 3− 2 2

(

f) I = 2 5 + 2 − 2

8 x − x 2 − 15

? e)

5 3

e)

π 2

f) 1

4 − x 2 dx .

0

d) π

f) 3π

dx .

dx x x2 − 1

c) 0

x + 4x + 8

d) π

x + 3− x 3 c) 2 2

2

dx

3

x

∫

0

)

c) 2π

3 0

x+2

2

1 8

f)

c) I =

2− 5

1 2

c)

∫

e) –1

d) 3

e)

5 2

f) 1

este : d) –1

e)

π 6

f)

π 2

)

Elemente de analiză matematică

AM - 325 Valoarea integralei I =

a)

π 2

d) arctg

1 π + 2 4

AM - 326 Să se calculeze: I =

a) I = 1

b) I =

2 3

∫

∫

3

dx

0

(2 + x ) 1 + x

301

este:

b)

π 4

c) 2arctg 2 −

e)

π 1 − arcsin 6 4

f) arctg 2 +

xdx

1

−1

1− x + 1+ x

c) I = 0

π 2

π 2

.

d) I = -1

e) I =

π 2

f) I = −

π 2

π 2

AM - 327 Să se calculeze integrala definită

dx

∫ π sin x 3

a)

1 ln 2 3

b)

1 ln 3 2

c) ln 4

AM - 328 Să se calculeze :

a)

1 4

b)

1 8

∫

π 4 0

d) 3ln2

1 2

b) 0

f) ln 8

tg 3 xdx .

c) 1

d)

1 − ln 2 2

c) ln 2

e) ln

e 2

f) ln( 2 − 1)

sin 2 x dx . 4 cos x + sin 2 x 1 8 d) ln e) 1 3 5

AM - 329 Determinaţi valoarea integralei: I =

a)

e) 2ln3

∫

π4

0

2

f)

1 3 ln 2 5

Culegere de probleme

302

∫

AM – 330 Calculaţi I =

a) I =

π 8

;J =

d) I = J =

π 2

π 2 0

3π 8

π

sin 5 x cos 5 x dx şi J = ∫ 2 dx 5 5 5 0 sin x + cos 5 x sin x + cos x b) I =

π

;J =

6

e) I = J =

;

π 4

π

c) I =

3

π 5

;J =

3π 10

f) I = J = π

;

AM – 331 Ştiind că m este un număr natural impar, să se calculeze

∫

π 2 0

sin(m − 1)x sin mx sin(m + 1)x dx

a) 0

d)

4m 2 − 1 3m m 2 − 4

(

)

AM - 332 Să se calculeze

a)

1 2 − 2 π

b) 1 − π

∫

1 0

b)

2(m 2 − 1) 3m(m 2 − 4 )

c)

m2 −1 12m(m 2 − 4 )

e)

1 3m

f)

m2 −1 3m

( x − tg x ⋅ sec x )dx . c)

3 − cos1 2

AM - 333 Să se calculeze integrala: I =

a) I = 1

d) I =

π − ln 2 4

∫

d)

1 0

arcsin

b) I = 3

e) I =

π + ln 2 4

3 − sec 1 2

x 1+ x2

e) 0

f) tg 1

dx .

c) I =

π +1 4

f) I =

π + ln 2 4

Elemente de analiză matematică

m

AM - 334 Fie f : R →R , f(x) = x arcsin

∫ a)

m2 π 24

b)

d)

m2 ( π − 1) 4

e) 1

m 3 m

2

m + x2

303

, m > 0 . Să se calculeze

f ( x ) dx .

π⎞ m2 ⎛ ⎜ 3 −1+ ⎟ 2 ⎝ 6⎠

π⎞ ⎛ c) m2 ⎜ 3 − 1 − ⎟ ⎝ 12 ⎠ f)

π⎞ m2 ⎛ ⎜ 2 −1+ ⎟ 2 ⎝ 6⎠

)

c)

5π 1 − 12 2

(

3 −1

)

f)

5π 1 + 12 2

(

3 +1

3

AM - 335 Să se calculeze I =

∫ xarctgxdx . 1

a)

d)

π 2

−

1 2

(

5π 1 + 12 2

3 −1

(

)

3 −1

b)

)

e)

1 2

(

3 −1

5π 1 − 12 2

(

3 +1

π 12

+

)

)

AM – 336 Să se calculeze : 2⎛ I = ∫ ⎜ arctgx + arctg3x + arccos 3x + arccos x 1 1 + 9x 2 1 + x2 ⎝

a) π

b) 0

c) 1

AM - 337 Să se calculeze I =

a) I =

1 2n

b) I = 1

∫

π 2n +1

0

c) I =

1 4n

d) 2π

e)

π

⎞ ⎟dx. ⎠ f)

2

sin x cos x cos 2 x...cos 2 n −1 xdx . d) I = 0

e) I =

1 2

n +1

f) I =

1 4

n +1

1 2

Culegere de probleme

304

AM - XII. 338 Fie funcţia f : [1,+∞ ) → [− 1,∞ ) , f ( x) = x 3 − 3 x + 1 . Să se calculeze

∫

3

−1

a)

xf

−1

( x) dx .

140 1089

b) 1

c)

1 2

AM - 339 Să se calculeze I = lim

b→∞

d)

∫

b 2

108 13

e)

1089 140

f)

1098 143

x − 3 e − x dx .

a) I = e −3 (1 − e)

b) I = 2e −3 (2 + e)

c) I = 2e −3 (1 − e)

d) I = 2e −3 ( 2 − e)

e) I = e −3 ( 2 − e)

f) I = 2e −3

AM - 340 Valoarea integralei I =

a) 4 − π

b) 3 − π

∫

c) 2 −

AM - 341 Să se calculeze I =

∫

1

0

ln 5 0

π 2

ex ex − 1 dx este: e x +3 d)

π −1 2

e) π − 5

f) 4 + π

x 2 + x + 1 earctg x dx . x2 + 1

π

π

π

π

a) e 6

b) e 3

c) e 2

d) e 4

e) e

f) 2e 2

π 2

∫

AM - XII. 342 Să se calculeze I = e 2 x sin 3 xdx . 0

(

)

1 3 − 2eπ 13 1⎛ 1 ⎞ d) I = ⎜ 3 − eπ ⎟ 5⎝ 2 ⎠

a) I =

1 ⎛1 π ⎞ ⎜ e − 3⎟ 13 ⎝ 2 ⎠ 1⎛ 1 ⎞ e) I = ⎜ − 3 + eπ ⎟ 5⎝ 2 ⎠

b) I =

1⎛ 1 π⎞ ⎜3 + e ⎟ 5⎝ 2 ⎠ 1⎛ 1 ⎞ f) I = ⎜ 3 + eπ ⎟ 13 ⎝ 2 ⎠ c) I =

Elemente de analiză matematică

305

AM – 343 Fie f i : [0, ∞ ) → R , i = 1,2 şi f1 ( x ) = x + 1, f 2 ( x ) = e calculeze integrala definită:

x x +1

. Să se

1⎛ f ( x ) ⎞ I = ∫ ⎜ 2 ⎟ dx. 0 ⎝ f1 ( x ) ⎠ 2

a) I = 1 − e ; d) I =

c) I = e − 1;

b) I = e 2 − 1;

1 (e − 1); 2

e) I =

1 (1 − e); 2

f) I = e + 1.

π2

AM - 344 Calculaţi I =

1 + sin x x e dx . 1 + cos x −π 2

∫

π ⎛ π − ⎞ b) 2⎜⎜ e 2 + e 2 ⎟⎟ ⎠ ⎝

π

a) 2e 2

π

d) e 2 + e

c) 0

−

π 2

e) e

−

π 2

f) 2e

−

π 2

AM - 345 Indicaţi care din valorile de mai jos reprezintă valoarea integralei

I =∫

π 3

0

(

)

ln 1 + 3tgx dx .

a) I =

π ln 3 3

b) I =

d) I =

π ln 2 2

e) I = π ln3

AM – 346 Să se calculeze integrala I =

a) 1;

b)

π 2

ln 2;

c)

π 3

ln 2;

∫

π ln 2 3

c) I =

π ln 3 2

f) I = π ln2

ln (1 + x ) dx. 0 1 + x2 1

d)

π 4

ln 2;

e)

π 8

ln 2;

f) ln 2 .

Culegere de probleme

306

AM - 347 Să se stabilească în care din intervalele următoare se află valoarea integralei 1

I = ∫ 1 − x 2 arctgx dx . 0

⎡π

⎡ π⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π ln 2 ⎤ ,1 e) ⎢ − 4 ⎥⎦ ⎣4

ln 2 ⎤ ,1 a) ⎢ − 2 ⎥⎦ ⎣4 ⎡ π ln 2 ⎤ d) ⎢0, − 2 ⎥⎦ ⎣ 4 AM - 348 Să se calculeze

a)

1 2

b)

35 3

∫

1 6

b) I =

1

−1

∫

3

8 3

b) 1

⎡π

ln 2 ⎤

,2 f) ⎢ + 2 ⎥⎦ ⎣4

}

d) −

1 2

e) −

1 6

f)

1 4

{ }

min t 2 dx .

−2 t ≤ x

c) I = −

AM - 350 Să se calculeze I =

a) –1

{

c) ⎢ , ⎥ ⎣4 4 ⎦

min 1, x , x 2 dx .

c) 1

AM - 349 Calculaţi I =

a) I =

⎡ π 3π ⎤

b) ⎢1, ⎥ 2

∫

2

−2

c) −

8 3

d) I = −

{

35 3

e) I =

10 3

f) I =

}

min x 2 − 1, x + 1 dx. 1 2

d) 2

e) 3

f) -3

AM - 351 Dacă t1 ( x ) şi t2 ( x ) sunt rădăcinile ecuaţiei t 2 + 2( x − 1) t + 4 = 0 , iar

f (x ) = max{t1 ( x ) , t2 (x )} , să se calculeze

4

∫ f (x )dx .

−2

7−3 5 2 7−3 5 c) 13 + 3 5 − 2 ln 2 7+3 5 e) 13 + 3 5 + 2 ln 2 a) 13 − 3 5 − 2 ln

7+3 5 2 7−3 5 d) 13 + 3 5 + 2 ln 2 b) 13 − 3 5 + 2 ln

f) 13 + 5 3 − 2 ln 7 + 3 5

2

5 3

Elemente de analiză matematică

2 ⎫ ⎧ min ⎨ x , dx. 2 ⎬ ⎩ 1+ x ⎭ 1 π π d) + 2arctg 2 − c) 2arctg 2 − 2 2 2

AM - 352 Să se calculaze

a) 0

b)

1 2

∫

2

0

AM - 353 Care este valoarea integralei I =

a) I =

3 ln 2

d) I = 1

AM - 354 Să se calculeze

a) 0

307

b)

∫

π 4

{

}

max x 2 ,2 x dx ?

56 3

c) I =

e) I =

3 56 + ln 2 3

f) I =

−1

c)

0

0

b) I =

2 ln 4

AM - 355 Care este valoarea integralei:

∫

4

256 3

3 53 − ln 2 3

d)

5 ln 3

(

e) 1

)

2 ln 3 2

b)

2 (ln 3 − ln 2) 2

c) ln 2 − ln 3

d)

2 (ln 4 − 1) 2

e)

2 ln 2 − 2

f)

AM - 356 Să se calculeze

b) 0

f) ln3

max{sin x , cos x} ⋅ ln 1 + 2 sin x dx ?

a)

a) 2

π 2

⎧⎪⎛ 1 ⎞ x ⎫⎪ f ( x )dx , unde f ( x ) = max ⎨⎜ ⎟ ,3 x ⎬ , x ∈[ − 11 , ]. ⎪⎭ ⎪⎩⎝ 3⎠

1

4 ln 3

I=

∫

f) arctg 2 −

e) -1

∫

π 2 0

2 ln 2 + 2

max{sin x , cos x}dx .

c)

3 2

d)

2 2

e) 1

f) -1

Culegere de probleme

308

AM - 357 Dacă [α] reprezintă partea întreagă a lui α ∈ R , atunci să se

calculeze

∫

1990 0

[ x]dx.

a) 1989 ⋅ 995

b) 1992 ⋅ 995

c) 1990 ⋅ 995

d) 1988 ⋅ 995

e) 1991 ⋅ 995

f) 1993 ⋅ 995

AM - 358 Să se calculeze I =

a) I = 32

b) I =

31 2

∫ [2 x]dx . 1

5

0

c) I = 16

d) I = 1

AM - 359 Se consideră funcţia f : [0,2] → R , f ( x ) =

e) I = 2

f) I =

1 2

1 − [x ] . 2 x − [x ] + 1

2

Să se calculeze integrala I =

∫ f (x )dx 0

1 a) I = ln 3 2 1 d) I = − ln 12 2

b) I = 1 − ln 6 e) I =

1 ln12 − 1 4

AM - 360 Care este limita şirului: a n =

a) 0

b) + ∞

1 n!

c) 1

⎛ 1 ⎞ AM - 361 Să se calculeze: lim ⎜ e n − 1⎟ ⎜ ⎟ n→∞ ⎝ ⎠ întreagă a numărului real a . 1 a) b) e −1 2

c) 1

c) I = 1 −

∫

n +1 1

1 0

1 ln12 4

ln[ x ]dx ?

d) e

∫

f) I =

1 ln12 4

e) e

−1

f) e 2

[ ]

e x nx dx , unde [a ] reprezintă partea

d) 0

e) e –1

f) e + 1

Elemente de analiză matematică

an , dacă a n = n→∞ n

AM - 362 Să se calculeze lim

a) 2

b) 3

c) 1

n

n→∞

b) e

n→∞

∫

d)

1

xn

0

1+ x2

c) l = + ∞

b) l = 0

x −1 ∗ dx pentru orice n ∈N . x +1 e) 5

f) 4

dx .

c) e - 1

AM - 364 Să se calculeze l = lim

a) l = 1

−x

1

2

1

d) –1

∫ ( x − 1)e

AM - 363 Să se calculeze lim

a) 0

∫

n

309

1 e

e)

1 −1 e

f) 1

dx .

d) l = − ∞

e) nu există

f) l = arctg

1 2

AM - 365 Fiind dată funcţia continuă f :[0,1] → R, să se calculeze limita şirului

(an )n∈N a) 1

b)

dat de: a n =

1 2

∫

1 0

x n f ( x )dx .

c) 0

d) e

e)

2

f) f (1)

AM - 366 Fie Gg graficul funcţiei g:[0, π] → [0,1] , g ( x ) = sin x . Familia de drepte y

= t, t ∈[0,1] taie graficul Gg în două puncte A1 şi A2 . Fie γ :[0,1] → R , astfel încât

γ (t ) este egală cu distanţa dintre A1 şi A2 pentru orice t ∈[0,1] .

Să se calculeze integrala I =

a) I = 2

b) I =

2 3

∫

1 0

γ (t )dt .

c) I =

3 2

d) I = 3

e) I = 1

f) I = 4

Culegere de probleme

310

AM - 367 Dacă f :[a , b] → R este o funcţie de două ori derivabilă şi cu deriva-ta a

doua continuă pe [a , b] , atunci calculaţi I =

∫

b

x f '' ( x )dx , în funcţie de a şi b.

a

a) I = bf ′ (b) − af ′ (a ) + f (b) − f (a )

b) I = bf ′ (b) − af ′ (a ) + f ( a ) − f (b)

c) I = bf ′ (a ) − af ′ (b) + f (b) − f (a )

d) I = af ′ (a ) − bf ′ (b) + f (b) − f (a )

e) I = af ′(a ) − bf ′(b) + 2 f (b) − f (a )

f) I = (b − a )( f ′(b) − f ′ (a ))

[

]

AM - 368 Fie a < b şi f : 0, b − a → (0,+∞ ) continuă pe [0,b − a ] . Să se

calculeze

a)

b−a 2

∫

b a

b) b – a

AM - 369 Să se calculeze I =

a) π

b)

π 4

f ( x − a) dx în funcţie de a şi b. f ( x − a ) + f (b − x ) c) a – b

∫

1 0

∫

a) 10

c)

b) 2

a −b 4

e)

b−a 3

f)

a −b 3

2x + 1 dx . x 4 + 2 x3 − x 2 − 2 x + 2

c) 0

AM - 370 Să se calculeze I =

d)

d)

π 2

e)

3π 4

f)

3π 2

e)

1 10

f) 4

x 2 + 1 e x dx . 0 ( x + 1 )2 1

1 2

d) 1

AM - 371 Fie f : R → R o funcţie continuă şi k ∈ R astfel încât: x x f (t )dt = ( f ( x ) + k ) pentru orice x∈R. Care este valoarea lui f (0) ? 0 2 k k2 k d) 0 e) f) a) 1 b) k c) 2 3 4

∫

Elemente de analiză matematică

311

AM - 372 Fie f : [a , b] → R o funcţie continuă şi F : [a , b] → R , definită prin

F ( x ) = (b − a ) ⋅

∫

a) F ′( x ) = (b − a ) f ( x ) − ( x − a ) c) F ′ ( x ) = (b − a ) −

∫

b a

x a

∫

b a

f (t )dt − ( x − a ) ⋅

f ′(t )dt

∫

b a

2

∫

b

∫

b

f (t )dt

a

f (t )dt

a

e) f ′( x ) = 3x 2 e x

∫

x 0

2

et dt . Să se calculeze

2

c) f ′( x ) = 3x 2 e x

6

f) f ′( x ) = 3x 2 e 2 x

b) f ′( x ) = 3x 2 e x

d) f ′( x ) = 3x 2 e 3 x

f (t )dt . Să se calculeze F ′( x ) .

f) F ′( x ) = 0

f (t ) dt

f ′ ( x ) pentru orice x∈ [0,1] . 2

a

b) F ′( x ) = (b − a ) − ( x − a )

AM - 373 Fie f : [0,1] → R definită prin f ( x ) =

a) f ′( x ) =e x

b

d) F ′ ( x ) = −

f (t )dt

e) F ′ ( x ) = (b − a ) f ( x ) −

∫

AM- 374 Să se determine toate funcţiile polinomiale f : R → R astfel încât :

∫ a) x 2 + x −

1 ; 6

d) x 2 + 2 x − 1;

x +1 x

f (t )dt = x 2 , x ∈ R . b) x 3 − x 2 +

1 x + 2; 6

e) x 3 + x 2 + x −

1 6

c) x 2 − x +

1 6

f) x 2 + 2 x +

1 6

6x

Culegere de probleme

312

AM - 375 Se dau funcţiile f , g : [0,1] → R , f ( x ) =

g( x) =

a) e

∫

x

0

∫

x2 0

sin t 2 dt şi

2

e t dt . Care este valoarea limitei lim x →0 x >0

b) e – 1

c) 1

d) 1 – e

f ( x) ? g( x)

e) 0

f)

1 2

⎛ π⎞ AM - 376 Să se determine expresia analitică a funcţiei: f : ⎜ 0, ⎟ → (0,+∞ ) , ⎝ 2⎠

f(x)= ∫

x

(sin t + cos t ) sin t

0

cos 2 t

dt.

a) f(x) = - ctg x - x - ln (cos x)

b) f(x) = tg x - x + ln (cos x) + 1

c) f(x) = ctg x - x - ln (cos x) – 1

d) f(x) = tg x + x - ln (cos x)

e) f(x) = tg x - x - ln (cos x)

f) f(x) = tg x + 2x + ln (sin x)

AM - 377 Fie F : R →R , F ( x ) =

∫

x

0

e t ln(1 − t + t 2 )dt . Determinaţi punctele de

extrem local ale funcţiei F. a) x1 = −1 d) x1 =

1 e

b) x1 = e

c) x1 = 0, x2 = 1

e) nu are puncte de extrem local

f) x1 = 2, x2 = 5

AM - 378 Determinaţi o funcţie polinomială f : R→R , de grad minim, astfel încât să admită un maxim egal cu 6 în x = 1 şi un minim egal cu 2 în x = 3.

a) f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 2 x + 7

b) f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 5

c) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + x + 1

d) f ( x ) = − x 3 + 5 x 2 + 2 x + 7

e) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2 f) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 1

Elemente de analiză matematică

AM - 379 Fiind dată funcţia f : R→R , f(x)=

∫

x +2 π

313

t dt , să se 1 + sin 2 t

x

calculeze f ′(0) . a) f ′(0) = π

b) f ′(0) = 0

d) f ′(0) = 2 π

e) f ′ (0) = 1

π 2 π f) f ′(0) = 4

c) f ′( 0) =

AM - 380 Să se calculeze derivata funcţiei F : ( 0,+∞ ) → R ,

⎡ F ( x ) = sin ⎢ ⎣

∫

1

x 1

1+ t

dt +

2

∫

1x

⎤ dt ⎥ . 1+ t ⎦

1

2

0

a) F ′( x ) = cos x

b) F ′( x ) = cos

d) F ′ ( x ) = sin 2 x

e) F ′( x ) = 1

1 x

c) F ′( x ) = 0 f) F ′( x ) = cos2 x

AM - 381 Fie F : [0,3] → R definită prin F ( x ) =

∫

x

0

et (− t 3 + 4t 2 − 5t + 2 )dt 2

pentru orice x ∈[0,3] . Pentru ce valoare a lui x ∈[0,3] , F are valoarea maximă ? b) x ∈∅

a) x = 0

c) x = 3

AM – 382 Fie funcţia f ( x ) =

I =∫ a) I = 1;

∫

arctgx 0

d) x = 2

e) x = 1

f) x =

2

e tg t dt; x ∈ R; Să se calculeze

xf (x ) 1 1 e x dx + dx 0 ex 2e ∫ 0 1 + x 2 2

1

2

b) I =

π 4

;

c) I =

π 8

;

d) I = 0 ;

e) I =

π 2

;

f) I =

3π 4

1 2

Culegere de probleme

314

AM - 383 Să se calculeze aria domeniului marginit de graficul funcţiei f ( x ) =

1 x +1

cu axa Ox şi dreptele x=0, x=1. a) ln2

b)

1 2

c) π

d) 1

e)

π

f)

2

π 3

AM - 384 Să se calculeze aria subgraficului funcţiei

f : [0,2] → R, f ( x ) =

( ) 5 − 2 + ln (2 + 5 )

2x + 1

x2 + 1

.

(

a) 5 2 − 2 + ln 2 + 5

b) 2 5 + 2 + ln 2 + 5

d) 2

e) − 2 5 + 2 − ln

(

)

5−2

c) 2 5 + ln

)

9 2

b) 3

c) 2

d)

8 3

5−2

f) 2 5 + 2

AM - 385 Să se calculeze aria figurii plane cuprinsă între parabola y = x dreapta x + y = 2.

a)

(

2

şi

e) 7

f) 8

AM - 386 Calculaţi aria domeniului mărginit de curbele : y = 2 x − x 2 şi y = − x .

a) 13,5

b) 4,5

c) 13,2

d) 6,5

e)

2

1 2

f) 3,5

3

AM - 387 Fie f : (-1,+ ∞ ) →R, definită prin f (x) = x ln (1+x ). Care este aria porţiunii plane cuprinsă între graficul funcţiei, dreptele x = 0 , x = 1 şi axa Ox ?

a) 0 d)

2 1 ln 2 − 3 3

b) ln 2

c) ln

e) 3 ln 2 − 1

f)

1 3

3 1 ln 2 + 2 3

)

Elemente de analiză matematică

315

AM - 388 Să se calculeze aria porţiunii plane mărginită de graficul funcţiei x −1 , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2. f : ( − ∞,−1) ∪ [1, ∞ ) → R , f ( x ) = x +1

(

)

a) ln 2 − 3 + 3

b) ln 2 + 3

d) ln 2

e) ln 2 + 3 − 3

(

c) ln 2 − 3

(

)

)

f) ln 3 + 2 + 3

AM - 389 Să se determine abscisa x = λ , a punctului în care paralela dusă la axa Oy 1 , axa Ox şi dreptele x = 1 împarte porţiunea plană cuprinsă între curba y = 2 x + 2x + 5

şi x = 2 3 − 1 , în două părţi de arii egale. a) λ = 3 − 1 d) λ = tg

7π 1 − 4 2

b) λ = 2 3 − 2

c) λ = 2 tg

e) λ = 2

f) λ =

7π −1 24

3 2

AM - 390 Să se calculeze aria A a porţiunii plane mărginite de graficele 1 x2 . funcţiilor f , g :[ − 11 , ] → R , f ( x) = , g( x) = 2 2 x +1 a) A =

π 4

b) A =

π −1 2

c) A =

π 1 − 2 3

d) A =

π 6

e) A =

π +5 6

f) A =

π +1 3

AM - 391 Care este aria suprafeţei cuprinsă între parabolele de ecuaţii : y 2 = x şi x 2 = 8 y ? a) 8

b)

16 3

c)

8 3

d) 1

e)

1 24

f)

1 4

Culegere de probleme

316

AM - 392 Care este aria figurii plane situată în cadranul doi, mărginită de axe şi x+2 graficul funcţiei f : R → R , f ( x ) = 2 ? x + 2x + 2 b) A =

a) A = π − ln 3 d) A =

π 2

1 ln 2 2

c) A = π ln 3

e) A = π + ln3

f) A = π − ln 3

AM - 393 Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între graficele funcţiilor f , g : [0,2π ] → R , f ( x ) = sin x, g ( x ) = cos x a) 2 3

b) 4 3

c) 4 5

d) 4 2

e) 4

f) 3 2

AM – 394 Să se calculeze aria domeniului mărginit de graficul funcţiei

⎡ 3π ⎤ f : ⎢0, ⎥ → R , ⎣ 4⎦ 3π x = 0, x = . 4

a) 2 + tg d) − tg

f (x ) =

3π π + 8 4

cos x , 1 + cos x

b) − 2 + tg

3π 3π + 8 4

e) 2 − tg

axa (Ox) şi dreptele de ecuaţii

3π π + 8 4

3π π + 8 4

c) − 2 − tg

3π π + 8 4

f) − 2 − tg

3π π − 8 4

AM - 395 Să se calculeze aria cuprinsă între graficul funcţiei f ( x ) = arccos

x3 − 3x , 2

axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = -1 , x = 1. a)

π 2

b)

π 4

c) π

d)

π 2

e)

π 3

f)

π 6

Elemente de analiză matematică

317

AM - 396 Să se calculeze aria porţiunii plane mărginită de graficele funcţiilor f ( x ) = ln 1 + x 2 , g (x ) = xarctgx şi dreptele x = -1, x = 0.

(

a) −

d)

)

π 3 + ln 2 + 2 4

π 3 + ln 2 − 2 4

b) −

π 3 + ln 2 − 2 4

c)

π 3 − ln 2 − 2 4

e) −

π 3 − ln 2 + 2 4

f)

π 3 + ln 2 + 2 4

AM - 397 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei f ( x ) = 8 x , x ∈ [0,4] .

a) 64 π

b) 66 π

c) 20 π

d) 24 π

e) 4 π

f) 8π

AM - 398 Care este volumul corpului de rotaţie generat prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei f ( x ) = x + e x , x ∈[0,1] ?

(

a) V =

π (e + 1) 2

b) V = π e 2 + 9

d) V =

π (2e + 3) 3

e) V =

(

)

c) V =

)

π 2 3e + 11 6

π (3e − 1) 8

f) V = π e

AM - 399 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul

axei Ox a subgraficului funcţiei f ( x ) = a) 216 π

b) 200 π

c) 400 π

x 2 − 16 , x ∈ [4,10] . d) 20 π

e) 10 π

f) 60π

AM - 400 Calculaţi volumul corpului obţinut orin rotirea subgraficului determinat de arcul

de elipsă

a) 16π

x2 y2 + = 1 situat deasupra axei Ox în jurul acestei axe. 9 4 b) 9π

c) 36π

d) 6π

e)

4 π 3

f)

4π 9

Culegere de probleme

318

AM - 401 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea

subgraficului funcţiei f :[1,2] → R , f ( x ) = x 3 − 1 în jurul axei Ox .

a) π

π 4

b)

c)

11 π 4

d)

11 π 2

e)

7π 4

f)

5π 4

AM - 402 Să se calculeze aria porţiunii plane mărginită de graficul funcţiei 1 ⎛ π π⎞ f : R \ {0} → ⎜ − , ⎟ , f ( x) = arctg , axa (Ox) şi dreptele de ecuaţii: x 3 = 1 şi x ⎝ 2 2⎠ x= 3.

a)

d)

1 π 1 ⋅ + ln 2 2 3 3

b)

π

1 + ln 2 3 6 3

e)

π

1 + ln 3 6 3 2

c)

π

1 − ln 3 3 3 2

f)

π + ln 3 3 π

1 − ln 3 6 3 2

AM - 403 Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea subgraficului 1 ⎡1 3⎤ funcţiei f : ⎢ , ⎥ → R , f ( x ) = în jurul axei Ox. 2 4 4 ⎣ ⎦ x(1 − x )

a)

π 2

b)

π2 4

c)

π2 8

d) 1

e)

π2 6

f)

π2 2 2

AM - 404 Să se calculeze aria domeniului plan cuprins între curba de ecuaţie y = x , tangenta în x = 4 la această curbă şi axa Oy.

a)

1 2

b)

2 3

c)

1 3

d) 1

e)

1 5

f)

2 5

Elemente de analiză matematică

AM - 405 Calculaţi aria limitată de curba y =

319

1 , asimptota sa şi paralelele la 1 + x2

axa Oy duse prin punctele de inflexiune. a)

π 2

b)

π

c) π

3

d)

π

e)

4

π

f)

6

π 2

AM - 406 Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea subgraficului

funcţiei f : [0,1] → R , f ( x ) = 4 x(1 − x ) , în jurul axei Ox.

a)

π 2

AM - 407

b)

π2 8

c)

π 4

d)

π2 2 2

e) 1

f) π 2 2

Pentru ce valoare m > 0 , aria mulţimii ⎧ 6 ⎫ A = ⎨( x , y ) m ≤ x ≤ 2m, 0 ≤ y < x + 2 ⎬ este minimă ? x ⎭ ⎩

a) m = 2

b) m = 10

c) m =

5 6

d) m =

3 2

e) m = 5

f) m = 1

PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI ŞI INDICAŢII ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL ) AL - 009

a1 = 2;

Sn =

( 2 + an ) n 2

= n 2 + an + b, ( ∀ ) n ≥ 1

2n + nan = 2n 2 + 2an + 2b, ( ∀ ) n ≥ 1 2n + n ⎡⎣ a1 + ( n − 1) r ⎤⎦ = 2n 2 + 2an + 2b

(

)

n 2 r + 2 + a1 − r n = 2n 2 + 2an + 2b, ( ∀ ) n ≥ 1

⎧r = 2 ⎪ ⎨a1 = 2a ⎪ ⎩2b = 0

⇒

⎧r = 2 ⎪ ⎨b = 0 ⎪a = 2a = 2 ⇒ a = 1 ⎩1

Răspuns corect c. AL – 016

Fie Rezultă

Avem:

8

= q m şi

= qn 7 8 8n 9m m+ n q = şi = q m+ n 7n 8m 8n 9 m = m ⇒ 7 n ⋅ 9 m = 8m + n n 7 8

Cu m 8 = 7 + 1 ⇒ 8m + n forma termenii unei progresii geometrice. Răspuns corect e.

9

nu poate fi divizibil cu 7, deci nu pot

321

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii AL – 019

n

qn − 1

n 1 S1 = a1 , S2 = ∑ q −1 k =1 a q n−1 1

⎛1⎞ ⎜ ⎟ − 1 1 qn − 1 1 1 ⎝q⎠ = = ⋅ , a1

1

q

−1

a1 q − 1 q n−1

P = a1n q1q 2 ...q n−1 = a1n q1+ 2+...+ n−1 = a1n q

( n−1)n 2

qn − 1 n a1 ⎛S ⎞ S1 n( n−1) q −1 − 2 n 1 ⇒ = = a1 q ⇒ ⎜ 1 ⎟ = a12n q n ⎜ ⎟ 1 q −1 1 S2 ⎝ S2 ⎠ ⋅ − n 1 a1 q − 1 q

⎛S ⎞ ⇒P= ⎜ 1⎟ ⎜S ⎟ ⎝ 2⎠

n

Răspuns corect c. AL - 025

Notăm

5a -1 3

= K , deci K ∈ Z . Avem 5a - 1=3K, a =

3K +1 5

6K + 7 ⎡ 6K + 7 ⎤ ⎧1 4 ⎫ = K . Dar K ≤ < K +1 deci a ∈ ⎨ , ⎬ Adică ⎢ ⎥ 10 ⎣ 10 ⎦ ⎩5 5 ⎭ Răspuns corect b. AL - 028

Avem:

(1) x -1 < [ x ] ≤ x, ∀ x ∈ R (2) x 2 -1 < ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ ≤ x 2 , ∀ x ∈ R . Se înmulţeşte (1) cu -3 şi (2) cu 5 şi ⇒ (3) -3x ≤ -3 [ x ] < -3x + 2

322

Culegere de probleme

(4) 5x 2 - 5 < 5 ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ ≤ 5x 2 ; adunând (3) şi (4) ⇒ (5) 5x 2 - 3x - 3 < 5 ⎡ x 2 ⎤ - 3 [ x ] + 2 < 5x 2 - 3x + 5 . Deoarece

⎣ ⎦ 5 ⎡⎣ x ⎤⎦ - 3 [ x ] + 2 = 0 , (5) devine 2

⎛ 3 - 69 3 + 69 ⎞ ⎜ 10 , 10 ⎟⎟ ⎝ ⎠

5x 2 - 3x - 3 < 0 < 5x 2 - 3x + 5 ⇒ x ∈ ⎜

rezultă: [ x ] = -1 sau [ x ] = 0 sau [ x ] = 1 . Pentru primele 2 valori nu se verifică ecuaţia iniţială. Deci [ x ] = 1 ⇒ x ∈ [1, 2 ) ⇒ x 2 ∈ [1, 4 ) Rezultă ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ = 1 sau ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ = 2 sau

⎡⎣ x 2 ⎤⎦ = 3 Pentru nici una din aceste valori nu este verificată soluţia. Răspuns corect e. AL - 039

(

)

2 Se pun condiţiile: m − 1 < 0, ∆ = ( m + 1) − 4 m 2 − 1 ⇔ m < 1 şi

m 2 + 2m + 1 − 4m 2 + 4 ≤ 0 ⇔ m < 1 şi −3m 2 + 2m + 5 ≤ 0

m1,2 =

⎡5

−1 ± 1 + 15 −3

=

−1 ± 4 −3

⎞

Deci m < 1 şi m ∈ ( −∞, −1] ∪ ⎢ , +∞ ⎟ ⎣3 ⎠ ⇒ m ∈ ( −∞, −1] .

Răspuns corect c. AL - 048 Se scriu relaţiile lui Vieta: ⎧⎪ x + x =− 2m+1 ⎧⎪ x + x =− 2 − 1 1 2 3m ⇒ 1 2 3 3m + ⇒ ⎨ ⎨ m+1 1 1 x x = ⎪⎩ 1 2 3m ⎪⎩ x1x2 = 3+ 3m 1 ⇒ x1 + x2 + x1x2 = − 3

Răspuns corect d.

323

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii AL - 056

(m ≠ 0) f m (x ) = mx 2 − (2m − 1)x + m − 1 b 2m − 1 ⇒ xv = xv = − 2a 2m 2 2m − 1) − 4m ( m − 1) ( ∆ ⇒ yv = − yv = − 4a 4m V ∈ I bis ⇒ xv = yv ⇒

2m − 1 2m

=−

1 4m

⇒

8m 2 − 4 m + 2 m = 0 8m 2 − 2 m = 0

m=0

m=

1 4

nu convine Răspuns corect a. AL - 069 Notând x 2 − 4 x + 5 = t obţinem

⎡4 ⎞ t ∈ [ −1, 0 ) ∪ ⎢ , +∞ ⎟ , de unde ⎣5 ⎠ 4 −1 ≤ x 2 − 4 x + 5 < 0 sau x 2 − 4 x + 5 ≥ 5 Răspuns corect d. AL - 077 Se pun condiţiile: (1) f ( 2 ) ⋅ f ( 4 ) ≤ 0

(1)

şi

⇒ x∈R

(2) ∆ ≥ 0

( 4m − 2 + m − 7 )(16m − 4 + m − 7 ) ≤ 0 ⇔

( 5m − 9 )(17m − 11) ≤ 0 ⇔ m ∈ ⎡⎢

11 9 ⎤ , ⎥ = I1 ⎣17 5 ⎦

(2)

∆ = 1 − 4 m ( m − 7 ) ≥ 0 adică: −4m 2 + 28m + 1 = 0

⇒ m1,2 =

7±5 2 2

324

Culegere de probleme

⎡7 −5 2 7 + 5 2 ⎤ , ⎥ = I2 2 ⎦ ⎣ 2

deci ∆ ≥ 0 pentru m ∈ ⎢

⎡ 11 9 ⎤ m trebuie să aparţină lui I = I1 ∩ I 2 adică ⇒ m ∈ ⎢ , ⎥ ⎣17 5 ⎦ Răspuns corect e. AL - 107

Se pune condiţia 4 − x 2 ≥ 0 ⇒ x ∈ [ −2, 2]

Cazul I

1 − x ≤ 0 ⇒ [1, ∞ )

Soluţia (1)

[ −2, 2] ∩ [1, ∞ ) = [1, 2] 1 − x > 0 x ∈ ( −∞,1)

Cazul II

În acest caz se ridică inegalitatea la pătrat

⎛1− 7 1+ 7 ⎞ , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛1− 7 1+ 7 ⎞ ⎛1− 7 ⎞ Soluţia 2 , ,1⎟ [ −2, 2] ∩ ( −∞,1) ∩ ⎜ ⎟=⎜ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛1− 7 ⎞ ⎛1− 7 ⎤ Soluţia finală = Sol (1) ∪Sol (2) = [1, 2] ∪ ⎜ ,1⎟ = ⎜ , 2⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎦ 4 − x2 > 1 − 2 x + x2

⇒ x∈⎜

Răspuns corect f. AL - 109

⎛ x ⎞ ⎟ ⎝ x −1 ⎠

Adăugăm în ambii membrii 2 x ⎜

2 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎞⎟ ⎜ x 2 + ⎛⎜ + 2 x = 1 + 2 x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ x −1⎠ x −1 ⎠ x −1 ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠

325

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

⎛ ⎛ 2 ⎞2 ⎞ 2 ⎛⎛ x ⎞ 2 x2 ⎞ x x2 ⎜ ⎟⇔ ⎜ ⇔ ⎜⎜ x + −2 = 1⎟ ⎟ = 1+ ⎜ ⎜ x − 1 ⎟⎟ ⎟ ⎜⎝ x −1 ⎠ x −1⎟ x − 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎝ ⎠ Notăm

x2 x −1

(

)

⎡ y =1+ 2 ⎢⎣ y =1− 2

= y ⇔ y2 − 2 y − 1 = 0 ⇔

⎛ x2 ⎞ = 1 + 2 ⎟ ⇔ x2 − x 1 + 2 + 1 + 2 = 0 ⇒ x ∈ ∅ ⎜ ⎜ x −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x2 ⎞ = 1 − 2 ⎟ ⇔ x2 − x 1 − 2 + 1 − 2 = 0 ⇒ ⎜ ⎜ x −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎧1 ⎫ ⇒ x ∈ ⎨ 1− 2 ± 2 2 −1 ⎬ ⎩2 ⎭

(

(

(

)

)

(

)

)

)

(

Răspuns corect f. AL - 146

Se scrie

⎛ x − m −1 ⎞ sau ⎜ ⎟ ⎝ 2x + m ⎠

( x − m − 1)

x −1 −1

( 2x + m) − (2x + m)

x −1

=0

x −1 −1 =1

pentru 2 x + m ≠ 0

de unde rezultă x − 1 − 1 = 0 deci x1 = 0 x2 = 2 x − m −1 = 1 , deci x3 = −2 m − 1 . Condiţia cu x − m − 1 > 0 conduce la şi 2x + m −3m − 2 > 0 deci m < −

2 3

2 ⎞ ⎧ 3⎫ ⎛ ⇒ m ∈ ⎜ −∞, − ⎟ \ ⎨ − ⎬ , 3 ⎠ ⎩ 2⎭ ⎝ Răspuns corect a.

, iar −2m − 1 ≠ 0 şi −2m − 1 ≠ 2

x1 = 0 ⇒ m > 0 rezultă m ∈ ∅

326

Culegere de probleme

AL - 168 Se pun condiţiile

E=

x > 0, x ≠ 1

( y − 1)

2

( y + 1)

+

2

y = log 2 x ⇒

= y − 1 + y + 1 , ( ∀ ) y ∈ R \ {0}

⎧−2 y , y ∈ ( −∞, −1) ⎪ E = ⎨2, y ∈ [ −1,1] ⎪ y ∈ (1, ∞ ) ⎩2 y , ⇒E=2⇔

⎡1 ⎤ y ∈ [ −1,1] \ {0} ⇔ x ∈ ⎢ , 2 ⎥ \ {1} ⎣2 ⎦

Răspuns corect d. AL - 182 Not. lg x = u , lg y = v, lg z = t ;

⎧uv + ut + vt = 1 ⎪ ⎨uvt = 1 ⎪u + v + t = 1 ⎩

x, y , z > 0 ⇒

⇔ w3 − s1w2 + s2 w − s3 = 0 ⇔ w3 − w2 + w − 1 = 0

(

)

⇔ ( w − 1) w2 + 1 = 0 ⇒ Sistemul nu are soluţii în R Răspuns corect e. AL - 189

Cnk ; n, k ∈ N, n ≥ k x 2 + 10, 7 x, 5 x + 4, x 2 + 3 x − 4 ∈ N, x ∈ N∗

⎧⎪7 x ≥ x 2 + 10 ⎧⎪ x 2 − 7 x + 10 ≤ 0 ⎪⎧ x ∈ [ 2, 5] ⇔ ⇔⎨ ⇔ x ∈ [ 2, 4] ∩ N = {2, 3, 4} ⎨ ⎨ 2 2 + 3x − 4 x ∈ − 2, 4 [ ] ⎪ 5 x + 4 ≥ x x − 2 x − 8 ≤ 0 ⎩ ⎩⎪ ⎩⎪ Răspuns corect b.

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii AL - 196

k +1 = C k +1 + C k Pentru n ≥ k + 1 avem Cm m m +1 Dând lui m valorile n, n − 1, ..., k + 1 obţinem: Cnk++11 = Cnk +1 + Cnk Cnk +1 = Cnk−+11 + Cnk−1 ............................

Ckk++11 = Ckk++11 + Ckk+1 Cnk++11 = Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk++11 Ckk++11 = Ckk , deci Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk = Cnk++11 Răspuns corect b. Dar

AL - 207 Se scrie termenul general

k 16−k 2(16−k ) k ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ + k k 4 ⎜ x4 ⎟ = C x 3 Tk +1 = C16 ⎜ x 2 ⎟ 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

4 ( 32 − 2k ) + 3k 12

⎠

=

⎝

128 − 5k 12

⎠

∈ N ⇔ k ∈ [ 0,16] , k ∈ N ⇒

k = 4; k = 16 ⇒ Doi termeni nu conţin radicali Răspuns corect b. AL - 223 z1 + z1 +

z2 z2

=

( z1 + z2 )( z1 − z2 ) = z1 z1 − z2 z2 + z1z2 − z1 z2 = 2 2 z1 − z 2 z1 − z 2 2 2 z1 − z 2 z z −z z = + 1 2 1 2 2 2 z1 − z 2 z1 − z 2

327

328

Culegere de probleme

Z = z1z2 − z1 z2 ⇒ Z = z1 z2 − z1z2 = − Z ⇒ X − Yi = − X − Yi ⇒ X = 0, Y ∈ R

X + Yi

⇒ Z = Yi ⇒ −iZ = Y

Răspuns corect d. AL - 232

z−a z

2

2

(

)

(

)

(

)

= ( z − a ) z − a = ( z − a ) z − a = z ⋅ z − a z + z + a2 =

− 2a.Re z + a 2 = a 2 − b 2 ⇒ b−z b+ z

(b − z ) (b + z ) (b + z ) (b + z )

=

b2 − z =

2

2

=

− 2ib Im z =

2 ( a + b ) Re z

(b2 − a Re z )

z

+ b 2 ( Im z )

2

Re z ⋅ ( a + b )

=

2

= 2a.Re z − b 2

(

b2 − z z − b z − z

(

)

)=

b2 + b z − z + z z

b 2 − a Re z − ib Im z Re z ⋅ a + b

( Re z )

2

=

( a 2 − b2 ) =

Re z ( a + b )

a −b a+b

Răspuns corect c. AL - 250

Se folosesc formulele 1 + cos α = 2 cos 2

α 2

şi sin α = 2 sin

α 2

cos

Avem:

Z = 2 cos 2 = 2 cos Răspuns corect a.

α 2

− i 2 sin

α 2

cos

α 2

= 2 cos

α⎡ ⎛ α⎞ ⎛ α ⎞⎤ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎥ ⎢ 2⎣ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦

α⎡ α α⎤ cos − i sin ⎥ = ⎢ 2⎣ 2 2⎦

α 2

329

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii AL - 259

Avem ω n = 1 şi 1 + ω + ω 2 + ... + ω n−1 = 0 Înmulţim relaţia dată cu 1 − ω . Avem (1 − ω ) S = 1 + 2ω + 3ω 2 + ... + ( n − 1) ω n−2 + nω n−1 −ω − 2ω 2 − ... − ( n − 1) ω n−1 − nω n

(1 − ω ) S = 1 + ω + ... + ω n−1 − nω n = − n (1 − ω ) S = −n

Avem

S=

n

ω −1

Răspuns corect c. AL - 274

(i )

(1 + i )

n

=

( 2)

2k

( )

= i2

k

k = ( −1) ;

n⎛

nπ nπ + i sin ⎜ cos 4 4 ⎝

nπ nπ ⎞ ⎞ n⎛ + i sin ⎟ = 2 ⎜ cos ⎟ 4 4 ⎠ ⎠ ⎝

Avem:

(1 + i )

n

2k = Cn0 + C1ni + Cn2 ( −1) + Cn3 ( −i ) + Cn4 + Cn5i + Cn6 ( −1) + ... + Cn2k ( i ) =

(

k = Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + ... + ( −1) Cn2k + i C1n − Cn3 + Cn5 + ... ⇒ E = 2n cos

nπ 4

Răspuns corect c. AL - 286 Identificând matricele avem ⎧x − 2 y + z − t = 0

1

−2

1 −1

⎪2 x − y + 3 z − 3t = 0 2 −1 3 −3 ⎪ ⇒ =0⇒a=0 ⎨ 1 1 1 1 ⎪x + y + z + t = 0 ⎪2 x + ( a − 1) y + 2 z + at = 0 2 a − 1 2 a ⎩

Răspuns corect b.

)

330

Culegere de probleme

AL - 310

1 1 1 An+1 = An ⋅ A ⇔ an+1 = an + ; bn+1 = bn + + 2 2 3 1 1 1 n n n ( n − 1) n a1 = , b1 = ⇒ an = ; bn = ⎣⎡1 + 2 + ... + ( n − 1)⎦⎤ + = + 2 3 2 4 3 8 3 bn =

n ( 3n + 5 ) 24

Într-adevăr 1 a1 = 2

şi

1 a2 = a1 + 2

1 1 b2 = b1 + + 4 3 2 1 b3 = b2 + + 4 3

1 a3 = a2 + 2 ......................

......................... n −1 1 bn = bn−1 + + 4 3 1⎛ n⎞ bn = ⎜ 1 + 2 + ... + ( n − 1) + ⎟ 4⎝ 3⎠

1 an = an−1 + 2 an =

n 2

Răspuns corect d AL - 317 Trebuie ca un determinant de ordinul doi format din A să fie diferit de zero şi toţi determinanţii de ordinul 3 din A să fie nuli β 2 4 2 4 ∆2 = = −2 ≠ 0 ⇒ ∆1 = 1 2 3 = 2 ( β − 1) = 0 Fie 2 3 1 2 4

1

2 4

1 ⇒ β = 1; ∆ 2 = α 2 3 = −2 ( 2α − 1) = 0 ⇒ α = 2 2α 2 4 Pentru aceste valori:

331

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

β

1

4 ∆3 = 1 α 3 = 0, 1 2α 4

β

1

2 ∆4 = 1 α 2 = 0 1 2α 2

Răspuns corect b. AL – 323

β

1

β 2 4

2

Dacă 1 α 2 = 0; 1 2α 2

1 2 3 = 0; 1 2 4

1

2 4

α 2 3 =0 ⇔ 2α 2 4

⎧2α − 2αβ = 0 ⎪ 1 ⇔ ⎨2 ( β − 1) = 0 ⇒ Pentru α = , β = 1, matricea cu rangul 2 2 ⎪ ⎩2 (1 − 2α ) = 0 Deci rangul este 3 dacă α ≠

1 2

nu β ≠1 .

Răspuns corect d. AL - 332

x2 y

∆=

=−

1 xy

x y2

2y x xy y y 1 2y 0 xy 2 + y = − xy xy 2 = x+x xy − xy x 2 x2 y + y 2 0 x2 + y xy

x x (1 + xy ) y (1 + xy ) = − (1 + xy ) y x2 + y x2 y + y2 x2 + y

(

(

= − (1 + xy ) x 2 + y Răspuns corect e.

)( x − y2 )

)

y x2 + y

=

332

Culegere de probleme

AL - 336

Fiindcă: S =

aha bhb chc avem: = = 2 2 2

1

1 a

∆ = 4S 2

1 b 1 c

bc 1 ac 1

=0

ba

Răspuns corect b. AL - 351

x a a a

x + 3a a a a

1

a

a

a

a x a a x + 3a x a a 0 x−a 0 = = ( x + 3a ) a a x a x + 3a a x a 0 0 x−a a a a x

x + 3a a a x

3

( x + 3a )( x − a )

0

0

0 0 x−a

0

= 0 ⇒ x1 = −3a, x2 = x3 = x4 = a

Răspuns corect e. AL - 377

⎛ 1 −m ⎞ A = ⎜ 2 1 ⎟; ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 m − 1⎠ 1

∆car = 2

−m

1 −m 2

−1

1

= 1 + 2m ≠ 0 pentru m ≠ −

1

−m

−1

(

)

1 2

1 m = 0 2m + 1 2 + m = 6 1 − m 2 = 0 3 m − 1 1 − m 0 4m − 1 4 − m

⇒ m = 1,

m = −1

333

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

Pentru m = −

⇒

1

∆

2

2 princ

=

3 −

1 3 ≠0

∆car

e acelaşi

2

m ∈ {−1,1}

Răspuns corect d. AL - 385 Metoda 1.

Sistem compatibil simplu nedeterminat ⇒ necesar ca det A = 0

α

β 1 2 1 αβ 1 = β (α − 1) (α + 2 ) = 0 1 β α

⎛α 0 1 ⎞ β = 0 ⇒ A = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⇒ x sau z necunoscută secundară, exclus ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 0 α⎠ ⎛ 1 β 1⎞ α = 1 ⇒ A = ⎜1 β 1⎟ ⇒ rang A = 1, exclus ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 β 1⎠ ⎛ −2 β 1 ⎞ α = −2 ⇒ A = ⎜ 1 −2β 1 ⎟ ⇒ pentru p ≠ 0 posibil ca x sau z să fie cunoscute secundare ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 β −2 ⎠ −2 dacă z= nec.sec. :

∆c = 1 1

β

1

−2 β β = 0

β

1 ⇔ β 2 + 2 β = 0 ⇔ β = −2 ≠ 0

dacă x= nec.sec. :

β 1 1 ∆ c = −2 β 1 β = 0 β −2 1

334

Culegere de probleme

pentru α = β = −2 :

x = z = λ, y = −

1 2

(1 + λ )

verifică ecuaţiile principale

Metoda 2: Înlocuim x,y,z în sistem şi identificăm ∀λ ∈ R Răspuns corect d. AL - 409

(

)

Avem: x2 = x ∗ x = 3 x = 22 − 1 x Presupunem xk = 2k − 1 x şi demonstrăm că:

(

)

(

) xk ∗ x = ⎡( 2k − 1) x ⎤ ∗ x = 2 ( 2k − 1) x + x = ( 2k +1 − 1) x ⎢⎣ ⎥⎦ xk +1 = 2k +1 − 1 x

deci

( 22n − 1) x = 8 ⎡⎣( 2n − 1) x − x⎤⎦ − x, ∀x ∈ R ( 22n − 1) x = (8 ⋅ 2n − 8 − 8 − 1) x, ∀x ∈ R 22n − 1 = 8 ⋅ 2n − 17 ⇔ 22n − 8 ⋅ 2n + 16 = 0 ⇔ 2 ⇔ 2n − 4 = 0 ⇔ 2n = 4 ⇔ n = 2

(

)

Răspuns corect e. AL - 416

E1 = ( a ∗ b ) ∗ c = ( ma + nb + p ) ∗ c = m ( ma + nb + p ) + nc + p E2 = a ∗ ( b ∗ c ) = a ∗ ( mb + nc + p ) = ma + n ( mb + nc + p ) + p

⎧m ( m − 1) = 0 ⎪ din E1 ≅ E2 ⇒ ⎨n (1 − n = 0 ) ⎪ ⎩ p ( m − n) = 0

(1) ( 2) ( 3)

Ec (3) poate fi satis. în 2 cazuri a)

m=n dar atunci op. * este comut şi nu ne intere deci a; b) p=0 iar (1) şi (2) ne conduc fiecare la 2 posibilităţi: m=0 şi n=0 m=1 şi n=1 când * este comutat.

335

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii şi m=1 şi n=0 m=0 şi n=1 când * nu este comut./ceeace ne intere. Deci soluţiile sunt: (1,0,0) şi (0,1,0) Răspuns corect a. AL – 425

Avem:

⎛0 ⎜0 X2 =⎜ ⎜1 ⎜0 ⎝

0 1 0⎞

0 0 1⎟ ⎟, 0 0 0⎟ 1 0 0 ⎟⎠

⎛0 ⎜0 X3 = ⎜ ⎜0 ⎜1 ⎝

1 0 0⎞

0 1 0⎟ ⎟, 0 0 1⎟

X 4 = I4

0 0 0 ⎟⎠

Dar 1997=4.499+1

( )

X 1997 = X 4

( X 1997 )

−1

499

⋅X = X

(

= X 3 X 3 ⋅ X = XX 3 = I 4

)

Răspuns corect c. AL - 430

m>0

⎧⎪ nf m ( x ) , f m ( x ) > 0 ⇒ x > 0 fn ( fm ( x ) ) = ⎨ : f n o f m = f nm ⇓ , fm ( x ) ≤ 0 x≤0 ⎪⎩0 A f n o fe = fe o f n = f n ⇔ e = 1 f 2001 o f n = f n o f 2001 = f1 ⇔

Răspuns corect b. AL - 431

2001n = 1 ⇒ n ∉ N∗

336

Culegere de probleme Inversul lui x în M este elem. simetric al operaţiei x ' , adică: x ⋅ x ' = 1 sau

( a + b 2 ) ⋅ ( a '+ b ' 2 ) = 1, ⎧aa '+ 2bb ' = 1 ⇒⎨ ⎩ba '+ ab ' = 0

aa '+ 2bb '+ 2 ( ab '+ ba ') = 1 Nec.: ∆ ≠ 0,

a 2b ≠0 b a

sau a 2 − 2b 2 ≠ 0 (Condiţie Nec) Dar, mai trebuie ca

⎫ ⎪ 0 a a a' = = ∈Z ⎪ ⎪ 2 2 ∆ ∆ ⎬ ⇒ a − 2b = ±1 ⎪ 1 a 1 −b b' = = ∈Z⎪ ∆ b 0 ∆ ⎪⎭ 1 2b

şi

Răspuns corect c. AL - 432 Elementul neutru e funcţia identică 1E = f0 f −1 o ft = ft o f −1 = f0

c

⎛ ⎝

ft ⎜ x − y +

1 2

⎞ ⎠

, y − 1 ⎟ = ( x, y ) , ∀ ( x , y ) ∈ E c

⎛ ⎞ 1 t2 ⎜ x − y + + t ( y − 1) + , y − 1 + t ⎟ = ( x, y ) , ∀x, y ∈ R ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ c

⎧1 = 1 ⎪−1 + t = 0 ⎪⎪ ⇒ t = 1 ⇒ f1, adică ⎨1 t2 − t + =0 ⎪ 2 ⎪2 ⎪⎩−1 + t = 0

337

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii 1 ⎛ ⎞ g ( x, y ) = ⎜ x + y + , y + 1 ⎟ ; 2 ⎝ ⎠ Răspuns corect e. AL - 442

z ∗ e = z , ∀z ∈ C

∗este evident comutativă

z ( e + i ) + ie − 1 − i = z

∀z ∈ C ⇒ e + i = 1 e = 1− i

z ⋅ z ' = 1− i ⇒ z ' =

2 − iz z+i

(

)

Deci orice z ∈ C \ {−i} este simetrizabil astfel încât C \ {−i} , ∗ este grup abelian α = −i Răspuns corect f. AL - 458 Condiţia de comutativitate X ⋅ X ' = X '⋅ X , unde

⎡1 a b ⎤ ⎡ 1 a ' b '⎤ ⎢ ⎥ X = 0 1 c , X ' = ⎢0 1 c '⎥ , implică: ac ' = a ' c ( ∗) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ Dar ( ∗) nu este satisfăcută pentru orice a, b, c ∈ R în cazurile subgrupurilor generate de matricele d) şi e). Astfel, sunt comutative subgrupurile generate de a), b), c), şi f). Definim, acum, f : ( R , + ) → ( G , ⋅) prin

⎡1 0 x ⎤ f ( x ) = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 1 ⎥⎦ ⎡ 1 0 x + x ' ⎤ ⎡ 1 0 x ⎤ ⎡ 1 0 x '⎤ 0 ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥ ⋅ ⎢0 1 0 ⎥ = f ( x ) ⋅ f ( x ') Avem f ( x + x ') = ⎢0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ Iar f este bijecţie. Răspuns corect c.

338

Culegere de probleme

AL - 481 3$ 4$

= 3$ ⋅ 4$

−1

7$

= 3$ ⋅ 3$ = 9;

(

6$

$ = 7$ ⋅ 2$ = 3;

)

9$ 2$

1 = 9$ ⋅ 6$ = 10;

( )

$ E = 9$ ⋅ 5$ + 10 ⋅ 3$ = 9 ⋅ 10 = 3$ + 8$ 10 = 0$ ⋅ 10 = 0;

Răspuns corect a.

AL - 484

(

)

( ) ( )

1) f z1 + z2 = f z1 + f z2

deci f : C → C , f ( x) = x x∈R

( )

(

) 2) ( ) ( )

şi f z1 ⋅ z2 = f z1 ⋅ f z2 , ∀z1, z2 ∈ C ;

1) 2) f ( x + yi ) = f ( x ) + f ( yi ) ⇒ f ( x ) + f ( y ) f ( i ) =

x + yf ( i )

f i 2 = f ( −1)

f ( x) = x

− 1;

deci f ( i ) = ±i ⇒ f ( x + yi ) = x ± yi

⎟⎟

⎡⎣ f ( i )⎤⎦

⇓ 2

f ( z ) = z,

f ( z) = z

(sunt morfisme şi bijecţii)

⇒ S ( z ) = z + z = 2R ez Răspuns corect e.

AL - 505

f = a0 x n + a1x n−1 + ... + an−1x + an

(

)

(

)

f (15 ) − f ( 7 ) = a0 15n − 7 n + a1 15n−1 − 7 n−1 + ... + an−1 (15 − 7 ) = 4 = 8k , k ∈ Z , absurd Răspuns corect b.

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

AL - 513

f ( −1) = 2 f ( 2 ) = −1 ; Din identitatea împărţirii

(

)

f ( X ) = X 2 − X − 2 Q ( X ) + mX + n; deducem f ( −1) = − m + n = 2 f ( 2 ) = 2 m + n = −1

⎧m = −1

⇒⎨

⎩n = 1

⇒ − X +1

Răspuns corect a. AL - 525 Se face împărţirea şi se aplică Algoritmul lui Euclid

2X 3 − 7X 2 + λ X + 3 X 3 − 3X 2 + µ X + 3 −2 X 3 + 6 X 2 − 2 µ X − 6 2 / − X 2 + λ − 2µ X − 3

(

X 3 − 3X 2 + µ X + 3 − X 3 + ( λ − 2µ ) X 2 − 3 X

)

X 2 − ( λ − 2µ ) X + 3 X + ( λ − 2 µ − 3)

/ − ( λ − 2 µ − 3) X 2 + ( µ − 3) X − 3 − ( λ − 2 µ − 3) X 2 + ( λ − 2 µ )( λ − 2 µ − 3) X − ( λ − 2 µ − 3) ⋅ 3 /

⎡⎣( λ − 2 µ )( λ − 2µ − 3) + µ − 3⎤⎦ X + (12 − 3λ + 6 µ ) ≡ 0 ⎧λ − 2 µ = 4 ⎧ µ = −1 ⇔⎨ ⎩( λ − 2 µ )( λ − 2µ − 3) + µ − 3 = 0 ⎩λ = 2

⇔⎨ Răspuns corect d. AL - 528

P ( x + 1) − P ( x ) = 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1, ( ∀ ) x ∈ R ⇒ grad P = 4 , ⇒ P ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e ;

339

340

Culegere de probleme

(

) (

)

P ( x + 1) = P ( x ) a x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1 + b x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 +

(

)

+ c x 2 + 2 x + 1 + d ( x + 1) + e − ax 4 − bx3 − cx 2 − dx − e =

= 4ax3 + ( 6a + 3b ) x 2 + ( 4a + 3b + 2c ) x + a + b + c + d ≡ 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1

⎧a = 1 ⎧a = 1 ⎪6a + 3b = 6 ⎪b = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎪4a + 3b + 2c = 4 ⎪c = 0 ⎪⎩a + b + c + d = 1 ⎪⎩d = 0

P ( x ) = x4 + k ,

k ∈R

Răspuns corect c. AL - 529

f ( a ) = p, f ( b ) = p, f ( c ) = p, f ( d ) = p,

a, b, c, d ∈ Z diferite.

⇒ f = ( X − a )( X − b )( X − c )( X − d ) g + p, g ∈ Z [ X ]

( ) ( X 0 − a )( X 0 − b )( X 0 − c )( X 0 − d ) g ( X 0 ) = + p = prim.

Dacă ( ∃) X 0 ∈ Z : f X 0 = 2 p ⇔ (∗)

Egalitatea (∗) este imposibilă deoarece p este număr prim. Rezultă că nu

( )

există X 0 ∈ Z cu f x0 = 2 p Răspuns corect a.

AL - 535 Notăm rădăcinile x1, x2 , x3 cu: u − r , u , u + r ; b ⎧ ⎪ x1 + x2 + x3 = − a

⎪ c ⎪ ⎨ x1x2 + x1x3 + x2 x3 = a ⎪ d ⎪ ⎪ x1x2 x3 = − a ⎩

⇔

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

341

b ⎧ ⎪u = − 3a ⎪ elimin ⎪ 2 2 c ⇒ 2b3 + 27 a 2 d − 9abc = 0 ⎨3u − r = a u şi r ⎪ d ⎪ 2 2 ⎪u u − r = − a ⎩

(

)

Răspuns corect c. AL - 540

(x

3 1

)

+ x23 + x33 = ( x1 + x2 + x3 ) − 3 ( x1 + x2 + x3 )( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) + 3

3 +3 x1x2 x3 = ( −2 ) − 3 ( −2 )( − m ) − 3 = −6m − 11

x14 = −2 x13 + mx12 − x1 ⎫ ⎪ ⎪ 4 3 x2 = −2 x2 + mx2 − x2 ⎬ ⇒ x14 + x24 + x34 = −2 ( −6m − 11) + m ( 4 + 2m ) + 2 = 2m 2 + 16m + 24 ⎪ x34 = −2 x33 + mx3 − x3 ⎪ ⎭ ⇒ 2m 2 + 16m + 24 = 24 ⇔ m = 0, m = −8 Răspuns corect d.

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG ) TG - 141 Ecuaţia fasciculului de drepte ce trec prin intersecţia dreptelor d1 şi d2 este 2 + λ x ( ) + ( 2λ − 3) y + 6 − 4λ = 0 (1)

Ecuaţia unei drepte ce trece prin P este y − 2 = m ( x − 2 ) Punem condiţia ca această dreaptă să treacă prin punctul (4,0) respectiv (- 4,0). Găsim m = −1 1 respectiv m = . Obţinem două drepte ( 2 ) x + y − 4 = 0 şi x − 3 y + 4 = 0 ( 3) . 3 Condiţia ca dreapta (1) să fie perpendiculară pe (2) respectiv pe (3) este:

342

Culegere de probleme

−

λ=

2+λ 2λ − 3 1 3

= 1 respectiv −

respectiv λ =

(δ1 )

11

5

x− y+2=0

2+λ 2λ − 3

= −3 ⇒

. Obţinem două drepte

(δ 2 )

3x + y − 2 = 0

Răspuns corect f. TG - 148

m1 = 2,

Avem:

tgθ = ±

2−

1 m2 = 3 1

3 = ±1 ⇒ θ = 450 , θ = 1350 1 1+ 2 3

⇒ θ = 450

Răspuns corect c. TG - 174 Determinăm centrul şi raza cercului ce trece prin cele 3 puncte: 2 2 x − a + y − b = r2

(

)

(

)

⎧(1 − a )2 + (1 − b )2 = r 2 ⎪ 13 7 50 2 ⎪ 2 2 ⇒a= ,b= ,r = ⎨( 2 − a ) + b = r 6 6 6 ⎪ 2 2 2 ⎪( 3 − a ) + ( 2 − b ) = r ⎩ ⎛ 13 7 ⎞ , ⎟ ⎝ 6 6⎠

Deci ω ⎜

Oω 2 = OT 2 + r 2 ⇒ OT 2 = Oω 2 − r 2 OT 2 = Răspuns corect c.

169 36

+

49 36

−

50 36

=

168 36

⇒ OT 2 =

14 3

343

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

TG - 181 Fie M ( x1 , y1 ) şi N ( x2 , y2 ) de pe elipsă: avem

⎧ x2 y 2 2 ⎪ 2 + 2 − 1 = 0 ⇒ x − Sx + p = 0 b ⎪⎪ a ⎨ ⎧ y1 + y2 = S = m ( S − 2c ) ⎪y = m x − c ( ) ⇒ ⎪⎨ 2 2 ⎪ ⎪⎩ y1 y2 = P = m p − cs + c ⎩⎪

(

E=

⎧ ⎪ ⎪ MN = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ FM = ⎪ ⎪ ⎪ FN = ⎪ ⎩

2

( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) ( x1 − c ) ( x2 − c )

2

2

+ y12 = + y22 =

2

1 FM

=

+

1 FN

)

MN

=

FM ⋅ FN

(1 + m 2 )( S 2 − 4 p ) =

(1 + m 2 ) ( x1 − c ) 2 (1 + m 2 ) ( x2 − c )

(

4 a 2b 4 1 + m 2

(b2 + a2m2 )

(

2a b2

Răspuns corect a.

2

2

2

⇒

)

⇒ FM ⋅ FN = 1 + m 2 P − CS + c 2 =

E=

)

(

b4 1 + m2

)

b2 + a 2m2

344

Culegere de probleme

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM ) AM - 015 Avem

1−n ⋅n

1−2n ⋅n

⎡ n2 + n ⎤ n2 + n ⎡ n2 + n ⎤ n2 + n ⎢⎛ ⎢⎛ 1 − 2n ⎞ 1−2n ⎥ 1 − n ⎞ 1−n ⎥ ⋅ ⎢⎜ 1 + ⋅ an = ⎢⎜1 + ⎥ ⎥ ⎟ ⎟ 2 2 ⎢⎝ n + n ⎠ ⎥ ⎢⎝ n + n ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1−3n ⋅n

⎡ n2 + n ⎤ n2 + n ⎢⎛ 1 − 3n ⎞ 1−3n ⎥ ⋅ ⎢⎜ 1 + ⎥ ⎟ 2 ⎢⎝ n + n ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

→ e −1 ⋅ e −2 ⋅ e−3 = e−6

Răspuns corect b. AM - 020 Limita devine:

lim ⎡ a n→∞ ⎣

(

) (

n +1 − n + 3 + b

)

n + 2 − n + 3 + ( a + b + 1) n + 3 ⎤ =

= lim ( a + b + 1) n + 3 = 0 ⇔ a + b + 1 = 0 n→∞ Răspuns corect b. AM - 029 Limita devine:

n n ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 = lim ∑ ⎜ − ⋅ lim ∑ 2 n→∞ k =1 4k − 1 n→∞ k =1⎝ 2k − 1 2k + 1 ⎟⎠ 2 1⎛ 1 ⎞ 1 = lim ⎜1 − = n→∞ 2 ⎝ 2n − 1 ⎟⎠ 2 Răspuns corect d.

⎦

345

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii AM - 072 Avem:

⎧ ⎪ ⎪ ⎤ ⎪⎡ n f ( x ) = ⎨ ⎢1 + Π ln n (1 + kx ) ⎥ k =1 ⎦ ⎪⎣ ⎪ ⎪⎩

1 n ⎛ Π ln⎜1+kx ⎞⎟⎠ k =1 ⎝

n 1Π ln (1+ kx ) x ⎫ k =1

⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭

=

1 n Π ln (1+ kx ) x = e k =1

n n( n+1) ∑k k = 1 lim f ( x ) = e =e 2 x→0

Răspuns corect d. AM - 100

Arătăm că singurul punct de continuitate al funcţiei este Fie x0 ∈ R \ Q şi

( xn )n∈N ⊂ Q

2 3

.

cu xn → x0 n→∞

( )

Avem f ( xn ) = 2 − xn → 2 − x0 ≠ 2 x0 = f x0 , deci f nu e cont. în x0 n→∞

⎧2⎫ Fie x0 ∈ Q \ ⎨ ⎬ şi ⎩3⎭

( xn )n∈N ⊂ R \ Q

cu xn → x0 n→∞

( )

Avem f ( xn ) = 2 xn → 2 x0 ≠ 2 − x0 = f x0 n→∞ 2 Dacă x0 = arunci ( ∀ ) ( xn )n∈N , xn → x0 avem n→∞ 3 4 2 f ( xn ) → f x0 = , deci conf. T. Heine f este continuă doar în x0 = n→∞ 3 3

( )

Răspuns corect d.

346

Culegere de probleme

AM - 102

x ∈ ( −1,1)

⎧0 ⎪ ⎪1 n Se ştie că x → ⎨ n→∞ ∞ ⎪ ⎪ Nu există, ⎩ Se vede că şirul an ( n ) =

(

1 + xn x2 + 4

(

)

x xn + 1

x =1 x ∈ (1, ∞ ) x ∈ ( −∞, −1]

)

nu e definit în x = 0

⎛ 1 ⎞ xn ⎜ n + x2 + 4 ⎟ 2 ⎝x ⎠ = x +4 Trecând la limită avem lim an ( x ) = lim n→∞ n→∞ 1 ⎞ x ⎛ xn ⎜ x + n ⎟ x ⎝

⎠

⎧1 ⎪ : x ∈ ( − 1, 0 ) ∪ ( 0,1) ⎪⎪ x Deci A = R \ {0, −1} f ( x ) = , ⎨3, x = 1 ⎪ 2 ⎪ x + 4 , x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, ∞ ) ⎪⎩ x f (1 − 0 ) = 1 ≠ 5 = f (1 + 0 ) ≠ 3 = f ( 0 ) Deci D = {1} Răspuns corect b.

AM - 104 Se foloseşte inegalitatea Pentru x > 0 , înmulţind cu

⎡2⎤ 2 −1 < ⎢ ⎥ ≤ x ⎣x⎦ x

2

x

se obţine 3 x ⎡2⎤ 2 ⎛ 2 ⎞ x x ⎡2⎤ 2 x 2 ⎜ − 1⎟ < ⎢ ⎥ ≤ ⋅ = rezultă lim ⎢ ⎥ = ⎝ x ⎠ 3 3 ⎣x⎦ x 3 3 x→0 3 ⎣ x ⎦ 3 x >0

347

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

Pentru x < 0 înmulţind cu

x 3

se obţine

2 x x ⎡2⎤ x ⎛ 2 ⎞ x ⎡2⎤ 2 2 ⋅ ≤ ⎢ ⎥ < ⎜ − 1⎟ şi lim ⎢ ⎥ = ⇒ a = x 3 3 ⎣x⎦ 3 ⎝ x ⎠ 3 x→0 3 ⎣ x ⎦ 3 x >0 Răspuns corect c.

AM - 131 Avem:

f ( 0 ) = 0;

f ' ( 0 ) = lim x→0

f ( x ) − f (0) x−0

⎧ 1 ⎪ 2n 1 ⎪ 1 , când x = ⎪ x = lim ⎨ x→0 ⎪ n ⎪ 0 = 0 când x ≠ 1 ⎪⎩ x n deci f este derivabilă în x = 0 şi f ' ( 0 ) = 0

= lim

f (x)

x→0

x

=

=0

Răspuns corect b.

AM - 134 Funcţia se scrie ⎧ x7 , x ∈ ( −∞, −1] ∪ ( 0,1]

⎪ ⎪

f ( x ) = ⎨ x5 ,

x ∈ ( −1, 0]

⎪ 4 ⎪⎩ x , x ∈ (1, ∞ )

f s ' ( −1) = 7 ≠ 5 = f d ' ( −1) f s ' ( 0 ) = fd ' ( 0 ) Deci f nu este derivabilă în x = −1 şi Răspuns corect e.

⎧7 x6 , x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 0,1) ⎪ ⎪ f ' ( x ) = ⎨5 x 4 , x ∈ ( −1, 0 ) ⎪ 3 ⎪⎩4 x , x ∈ (1, ∞ ) f s ' (1) = 7 ≠ f d ' (1) = 4 x =1

348

Culegere de probleme

AM - 143

(3 −

x −1

)

2

3 − x −1 ≥ 0

(3 −

= 8 + x − 6 x −1 ⇒ f ( x) = şi

x −1

)

2

= 3 − x − 1 ⇒ D = [1, ∞ ) x ∈ [1,10]

⎧⎪3 − x − 1, 9 ≥ x − 1 ⇔ x ≤ 10 ⇒ f ( x ) = ⎨ ⎪⎩ x − 1 − 3,

x ∈ (10, ∞ )

1 ⎧ ⎪⎪− 2 x − 1 , x ∈ (1,10 ) ⇒ f '( x) = ⎨ ⎪ 1 x ∈ (10, ∞ ) ⎪⎩ 2 x − 1, f a ' (1) = −∞;

1 fs ' (0) = − ; 6

f a ' (10 ) =

1 6

⇒ M = {1,10}

Răspuns corect d. AM - 150 Punem succesiv condiţiile ca f să fie continuă în 1, derivabilă în 1 şi de două ori derivabilă în 1. f (1 − 0 ) = 0, f (1 + 0 ) = α + β + γ ⇒ α + β + γ = 0 (1)

⎧1 x ∈ ( 0,1) f s ' (1) = 1 ⎪ , ⇒ 2α + β = 1 f '( x) = ⎨ x ⎪2α x + β , x ∈ (1, 0 ) f ' ( 2α + β ) d ⎩

( 2)

⎧ 1 ⎪− , f '' ( x ) = ⎨ x 2 ⎪2α ⎩

( 3)

f s '' (1) = −1 ⎪

x ∈ (1, ∞ )

f d '' 2α

(1) , ( 2 ) , ( 3) ⇒ α = − Răspuns corect d.

⎫

x ∈ ( 0,1)

1 2

,

⎬ ⇒ 2α = −1 ⎪ ⎭

β = 2, γ = −

3 2

349

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

AM - 173 Avem f ' ( x ) =

7

( x + 3)

( )

f ' x0 = 2;

( )

y−

( )( x − x0 )

y − f x0 = f ' x0

Ec.tg :

2

−6 + 14 − 1 14

⎛

14 ⎞

⎝

2 ⎠

= 2⎜ x + 3 −

⎟

2 ⇒ y = 2 x + 8 − 2 14 Răspuns corect e.

AM – 186

(

)

f ( x ) = ln x 2 + 1 − x Fie:

2 − ( x − 1) 2x −1 = <0 x 2 +1 x2 + 1

f '( x) =

Tabelul de variaţie x

−∞

0

−−−−−−−0−−−−−

f' ∞

f

∞

1

−∞

0

Deci f ( x ) > 0 pentru x ∈ ( −∞, 0 ) Răspuns corect c.

AM - 200 Trebuie ca f ' ( −2 ) = 0 şi f ' ( 2 ) = 0 f '( x) =

( 2 x − a ) ( x 2 + 1) − x3 + ax 2

( x2 + 1)

3/2

=

−8 − 4 − a = 0 ⇒ a = −12 8 + 4 − a = 0 ⇒ a = 12 Răspuns corect c

x3 + 2 x − a 3/2 x2 + 1

(

)

350

Culegere de probleme

AM - 207 Avem: f ' ( x ) =

ax ; ax 2 + b

f ' ( x ) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = b = 1 ⇒ b = 1

Pentru ca D să fie interval de lungime minimă trebuie ca ⎧−4ab > 0 ⎧∆ > 0

⎪ ⎪ ⇒ ⎨ −b ⎨ 2 =2 ⎪⎩ S − 4 P = x1 − x2 = 2 ⎪2 a ⎩ ⇒ −

1 a

= 1 ⇒ a = −1 şi b = 1

Răspuns corect e.

AM - 215

f '( x) =

Avem:

(

x3 − 3 x + a x2 + 1 x2 + 1

)

x3 − 3 x + a = 0 Şirul lui Rolle : ϕ ' ( x ) = 3 x 2 − 3 = 0 −∞ −

−1

1

∞

a+2

a−2

+

+

−

⎧a + 2 > 0 ⇒ a ∈ ( −2, 2 ) ⎨ ⎩a − 2 < 0 Răspuns corect b. AM - 217 f ( x ) = 2 ln x + x 2 − 4 x + m 2 − m + 1

Fie:

Avem:

f '( x) =

x>0 2

x ⇒ x1,2 = 1

+ 2 x − 4 = 0 ⇔ 2 x2 − 4 x + 2 = 0

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

351

Şirul lui Rolle x

0

+∞

1 m −m−2 2

−∞

+∞

m 2 − m − 2 < 0 ⇒ m ∈ ( −1, 2 )

Trebuie ca: Răspuns corect c.

AM - 250 Avem: f ( x ) − f ( 0 ) = xf ' (θ ( x ) ) , unde θ ( x ) = θ ⋅ x f '( x) = − 1

Avem:

x +1

Deci θ = θ ( x ) =

Evident L = lim x→0

x +1 −1 x x +1 −1 x

1

( x + 1)

− 1 = −1

2

cu θ ∈ ( 0,1)

: ∀x ∈ [ 0,1]

1 2

[1 + θ ⋅ x]

: ∀x ∈ ( 0,1)

, ∀x ∈ ( 0,1)

=

1 2

Răspuns corect c.

AM - 251 '

1⎞ ⎛ Pentru x ≠ 0, f ( x ) = ⎜ x sin ⎟ . Dacă f α⎠ ⎝

F : R → R o primitivă.

Atunci F ( x ) = x sin

1

+ c, ∀x ≠ 0, c ∈ R . x Cum F este continuă pe R ⇒ F ( 0 ) = C

admite primitive pe R , fie

352

Culegere de probleme

F ( x ) − F (0) 1 Cum F este derivabilă pe R ⇒ F ' ( 0 ) = K = lim = lim sin , x −0 x→0 x−0 x limită care nu există. Deci am obţinut o contradicţie, aşadar f nu admite primitive pe R Răspuns corect f. AM - 254 f nu are proprietatea lui Darbaux pe [ −1,1] ⇒ f nu are primitive pe [ −1,1] .

Într-adevăr f ⎡

⎢⎣ −1,0

)

şi f ⎡

0,1⎤⎦⎥ ⎣⎢

sunt continue fără ca f să fie continuă pe [ −1,1]

⎡1 ⎞ f [ −1,1] = ⎢ ,1⎟ ∪ [ 2, 3] ⎣e ⎠ nu este interval Răspuns corect e. AM - 270 Schimbarea de variabile tgx = t ⇒ x = arctgt = ϕ ( t )

ϕ ' (t ) =

⎛ π π⎞ , ⎟ ⇒ t∈R ⎝ 2 2⎠

1 2 t +1

x ∈⎜ −

1 1 2 2 dt = ∫ dt = ∫ 1 + tg xdx = ∫ 1 + t ⋅ 2 t +1 t2 +1

⎛ ⎝

= ln ⎛⎜ t + t 2 + 1 ⎞⎟ + C = ln ⎜ tgx +

⎝

⎠

1 ⎞ ⎟+C cos x ⎠

Răspuns corect b. AM - 278

I =∫

sin x

dx;

sin x + cos x I + J = ∫ dx = x + c1

J =∫

cos x sin x + cos x

dx

353

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

J −I =∫

cos x − sin x

dx = ln sin x + cos x + c2 sin x + cos x 2 I = x + c1 − ln sin x + cos x − c2 I=

1 2

( x − ln sin + cos x ) + k

Răspuns corect d. AM - 282 2 2 ( 5 + x ) − 16x − 16 = ( x − 3) ,

⇒ f ( x) = f ( x) =

x +5+ x −3 2

2x + 2 2

−

⇒ F ( x) = x + c

8 2

+

2

x +5− x −3

−

2

18 2

(10 + x )

−

2x + 2 2

− 36 x − 36 = ( x − 8) +

x + 10 + x − 8 2

2

−

x + 10 − x − 8 2

,

x ∈ [3,8]

= −2 + 3 = 1

Răspuns corect b. AM - 285

I =∫

1 + x2 x

⋅ dx = ∫

1 + x2 x 1 + x2

=∫

dx x 1 + x2

+∫

x 1 + x2

=

= J + 1 + x2

J =∫ unde

dx x 1 + x2

=∫

⇒ I = 1 + x 2 − ln Răspuns corect b.

1 dx x2 1 2 x +1

= −∫

1 + x2 + 1 x

⎛1⎞ d⎜ ⎟ ⎝x⎠

+C

1 +1 x2

⎛

= − ln ⎜

⎝

1 1⎞ +1 + ⎟ + C 2 x x

⎠

354

Culegere de probleme

AM - 293

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 3⎢ 1 1 1 ⎥ an = 1 + + + ... + n⎢ 3 6 3 ( n − 1) ⎥ 1+ 1+ ⎢ ⎥ 1+ n n n ⎣ ⎦ an =

Alegem funcţia

3 n−1 ∑ n i =0

f : [ 0, 3] → R ,

integrabilă şi diviziunea ∆ ⎡

0,3⎤⎦⎥ ⎣⎢

1 1+ i

3 n 1

f ( x) =

1+ x

care este continuă deci

3 ( n − 1) ⎫ ⎧ 3 6 9 = ⎨0, , , ,..., , 3⎬ n ⎩ n n n ⎭

3 ( n − 1) ⎫ ⎧ 3 6 şi punctele ε i = ⎨0, , ,..., ⎬ n n n

⎩

⎭

3 dx lim an = ∫ = 2 1 + x 30 = 2 0 1+ x

(

)

1+ 3 − 1+ 0 = 2

Răspuns corect b. AM - 307

Cazul I.

a ≤1

) (

−a , ∞

⎪⎩− x 2 − a, x ∈ ⎡⎣− − a , − a ⎤⎦ ⎡ x3 ⎤ 1 1 F ( a ) = ∫ − x 2 + a dx = − ⎢ + ax ⎥ 10 = − − a 3 0 ⎢⎣ 3 ⎥⎦

(

Cazul II.

(

⎧ x 2 + a, x ∈ −∞, − − a ∪

⎪ x2 + a = ⎨

)

−1 < a ≤ 0 −a 1 4 1 F ( a ) = ∫ − x 2 − a dx + ∫ x 2 + a dx = − a − a + a + 3 3 0 −a

(

)

(

)

)

355

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii Cazul III.

0
(

)

1 1 F ( a ) = ∫ x 2 + a dx = + a 3 0 Răspuns corect c. AM - 326

Avem integrală pe interval simetric din funcţia impară f ( x ) =

x 1− x − 1+ x

Deci I = 0 Răspuns corect c. AM - 351

(

)

Ecuaţia t 2 + 2 ( x − 1) t + 4 = 0 , are ∆ = 4 x 2 − 2 x − 3 = 4 ( x + 1)( x − 3) Dacă

x ∈ ( −1, 3) , ∆ < 0 şi

x ∈ ( −∞, −1] ∪ [3, ∞ ) , ∆ ≥ 0

şi

t1, t2 ∈ C \ R t1, t2 ∈ R

⎧1 − x − x 2 − 2 x − 3, x ≤ −1 ⎪ t1 ( x ) = ⎨ ⎪⎩−1 + x + x 2 − 2 x − 3, x ≥ 3;

t1 = t2 = 2 . cu t1,2 = 1 − x ± x 2 − 2 x − 3 cu

Dacă

⎧1 − x + x 2 − 2 x − 3, x ≤ −1 ⎪ t2 ( x ) = ⎨ ⎪⎩−1 + x − x 2 − 2 x − 3, x ≥ 3;

aşa că

⎧1 − x + x 2 − 2 x − 3, x ≤ −1 ⎪⎪ f ( x ) = ⎨2 x ∈ ( −1, 3) ⎪ ⎪⎩−1 + x + x 2 − 2 x − 3, x ≥ 3 Se calculează separat I = ∫ x2 − 2 x − 3dx = ∫

( x − 1)

2

− 4dx =

1 2

( x − 1) ( x − 1)

2

− 4 − 2ln x − 1 +

( x − 1)

2

−4

356

Culegere de probleme

Atunci 4 3 4⎛ −1 ⎛ 2 2 ⎞ ⎞ ∫ f ( x ) dx = ∫ ⎜ 1 − x + x − 2 x − 3 ⎟ dx + ∫ 2dx + ∫ ⎜ −1 + x + x − 2 x − 3 ⎟ dx = ⎠ ⎠ 3⎝ −2 −2 ⎝ −1 = 13 + 3 5 + 2 ln

7−3 5 2

Răspuns corect d. AM – 369

(

)

Avem: x 4 + 2 x3 − x 2 − 2 x + 2 = x 2 + x − 1

Deci

1 I=∫ 0

2

+1

( x2 + x − 1) ' dx = arctg x2 + x − 1 1 = ( )0 2 1 + ( x 2 + x − 1)

= arctg1 − arctg ( −1) =

π

⎛ π⎞ π ⎟= 4 ⎝ 4⎠ 2 −⎜−

Răspuns corect d.

AM - 390

1 1 A = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx = −1 −1 2 1⎛ 1 x ⎞ x3 1 π 1 dx = arctgx 1−1 − = ∫ ⎜ − = − ⎟ 2 ⎜ ⎟ 1 − 6 2 3 −1⎝ x + 1 2 ⎠ Răspuns corect c.

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii AM - 406

1 V = π ∫ x (1 − x )dx; 0

x = sin 2 t

π

2 V = π ∫ sin 2 t cos 2 t 2 sin t cos tdt = 0

π

π

2 π 2 = 2π ∫ sin 2 t cos 2 tdt = ∫ sin 2 2tdt = 2 0 0 = Răspuns corect b.

π π 2

π2 ∫ (1 − cos 4t ) dt = 4 0 8

357

BIBLIOGRAFIE [1] MANUALE ALTERNATIVE APROBATE DE MEdC pentru clasele IX, X, XI, XII. [2] Catedra de matematică: - Algebră şi Analiză matematică - Culegere de teste pentru admitere în învăţământul superior, Universitatea Tehnică din Timişoara, 1991 (reeditată în 1992 – 1996). [3] Catedra de matematică: - Geometrie şi Trigonometrie - Culegere de teste pentru admitere în învăţământul superior, Universitatea Tehnică din Timişoara, 1991 (reeditată în 1992 – 1996). [4] Boja N., Bota C., Brăiloiu G., Bînzar T., Găvruţă P., Klepp F., Lipovan O., Matei Şt., Neagu M., Păunescu D. : - Teste de matematică – pentru bacalaureat şi admitere în învăţământul superior, Ed. Mirton, Timişoara, 1993. [5] Boja N., Bota C., Bânzaru T., Bînzar T., Hossu M., Lugojan S., Năslău P., Orendovici R., Păunescu D., Radu F. : - Probleme de Algebră, Geometrie, Trigonometrie şi Analiză matematică – pentru pregătirea examenului de bacalaureat şi a concursului de admitere în facultăţi.Ed. Mirton, Timişoara, 1996. [6] Bânzaru T, Boja N, Kovacs A, Lipovan O, Babescu G, Găvruţa P, Mihuţ I, Rendi D, Anghelescu R, Milici C. - Probleme de matematică – pentru absolvenţii de liceu, Ed. Politehnica Timişoara, Ediţia I.1998,Ediţia II-a revăzută 1999, Ediţia a III-a revizuită 2000. [7] Bânzaru T., Boja N., Kovacs A., Lipovan O., Babescu Gh.,Găvruţa P.,Mihuţ I., Rendi D., Anghelescu R., Milici C. - Matematică – Teste grilă pentru examenele de bacalaureat şi admitere în învăţământul superior Ed. Politehnica, Timişoara, 2001. [8] Teste grilă de matematică pentru examenul de bacalaureat şi admitere în învăţământul superior. Editura Politehnica Timişoara 2004.