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ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA Unidad 3: Tarea 4 - Desarrollar ejercicios unidad 3 Foro

Presentado por: Ivan Dario Ruiz Joven Código: 1075223131

Presentado a: Tutor Javier Fernando Melo Cubides

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

NOVIENBRE DEL 2018

INTRODUCCION El siguiente trabajo se realiza con el fin de comprender y analizar procesos de Algebra, geometría y trigonometría que nos servirán para poder mejorar nuestros planteamientos y construir nuevos conocimientos que serán de gran utilidad tanto para nuestro futuro profesional como para nuestro futuro personal, conociendo términos como Sumatorias, productoras y secciones cónicas podemos realizar y analizar problemas que a la vez podemos comprobar con la aplicación Geogebra.

Ejercicio 1: La Recta 1. El administrador de una planta encuentra que el costo total necesario para manufacturar 50 unidades de cierto producto es de $500 y de 100 unidades es de $900. Suponiendo que la relación entre ambas variables es lineal, encontrar la ecuación que relaciona el costo y la producción. Solución Tenemos los siguientes datos: A= (50𝑥1 , 500𝑦1 ) , B= (100𝑥2 , 900𝑦2 ) La ecuación para hacer el ejercicio es la siguiente: 𝑚 = 𝑚

900−500 100−50

=

400 50

𝑌2 −𝑌1 𝑋2 −𝑋1

=8=𝑚

Ahora procedemos a encontrar el intersecto remplazando los valores en la siguiente Ecuación: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 500 = 𝑚(8). 𝑥(50) + 𝑏 = 500= 400+b = 500-400=b = + 100 = b La ecuación que relaciona seria la siguiente: 𝑦 = 8𝑥 + 100

2. Supongamos que para vender $10,000 el costo total de una empresa es de $14,200 y para vender $40,000 es de $23,200. Suponiendo que la relación es lineal, encontrar la ecuación que relaciona ambas variables.

Solución: A= (10.000𝑋1 , 14.200𝑌1 ) , 𝐵 = (40.000𝑋2 , 23.200𝑌2 )

𝑚=

𝑌2 −𝑌1 𝑋2 −𝑋1

23.200−14.200

9.000

Remplazando nos quedaría 𝑚 = 40.000−10.000 𝑚 = 30.000 = 0.3𝑚

Ahora procedemos a encontrar el intersecto remplazando los valores en la siguiente Ecuación: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 14.200= 0.3 (10.000)+b = 14.200= 3000+b = 14.200-3000=b = +11.200=b La ecuación que relaciona ambas variables es: Y=0.3+11.200

Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse

6. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148,5 millones de kilómetros y que la excentricidad vale 0,017. ¿Hallar la máxima y mínima distancia de la tierra al sol? Solución Tenemos la siguiente información A: 148.5 millones de k. Excentricidad: 0.17 Entonces tenemos que excentricidad está definida como la razón entre el semieje focal que para este caso lo llamaremos C sobre el semieje horizontal que para este caso lo 𝑐

llamaremos A (𝑒 = ) 𝑎

C sería la única incógnita que tendríamos entonces 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑐 = 148.5 ∗ 0.017 = 𝑐 = 2.52 Para hallar la máxima distancia hacemos lo siguiente sumamos a + c = 148.5+2.52 = 151.02 esta sería la distancia máxima Para hallar la distancia mínima restamos a-c = 148.5-2.52= 145.98 esta sería la distancia mínima

7. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 40𝑥 + 30𝑦 = 975

Dibuje la curva de transformación de productos de esta empresa. La ecuación dada tiene la forma general de la ecuación 𝑥 2 +𝑦 2 -2hx-2kh+ (ℎ2 +𝑘 2-𝑟 2 )=0 Por ende su gráfica es un circulo los coeficientes son B=40, C=30 y D=975. Las coordenadas del centro del círculo son: h=

−𝐵 −40 = 2 = 2

-20 y k=

−𝐶 −30 = 2 = 2 1

-15 de modo que el centro está en el punto (-20, -15)

El radio es: r= ½ √B2+C2-4D = 2 √(40)2 + (30)2 − 4(−975)= 40

Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola

9. La estación guardacostas B se encuentra situada 400 km, al este de la estación A. Un barco navega 100 km al norte de la línea que une A y B. Desde ambas estaciones se envían señales de radio simultáneamente a una velocidad de 290.000 km/seg. Si la señal enviada desde A llega al barco 0’001 segundo antes que la enviada desde B, localiza la posición del barco. ¿A qué distancia está de cada una de las estaciones? Solución Llamando 𝑇𝐴 𝑦 𝑇𝐵 al tiempo que tardan en llegar al barco las señales enviadas dese A y B respectivamente y 𝐷𝐴 𝑦 𝐷𝐵 a las distancias desde el barco a las estaciones A y B, se tiene: 𝐷𝐴 = 290000 ∗ 𝑇𝐴 𝐷𝐵 = 290000 ∗ 𝑇𝐵

𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 =

𝐷𝐴− 𝐷𝐵 290000

Es decir 𝐷𝐴 − 𝐷𝐵 = 290000 ∗ 0′ 001 = 290𝐾𝑚 El barco estará situado en un punto de coordenada 100 cuya diferencia de distancia a los puntos A y B será de 290 Km Por lo tanto el barco estará en la hipérbola con focos A y B, y diferencia de distancia a los focos igual a 2ª=290Km. Por otra parte la distancia focal será: 2c= 400Km. La ecuación de la hipérbola buscada será: 𝑥2 𝑎2

𝑦2

− 𝑏2 = 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2 = 2002 − 1452 = 18975 𝑥2

𝑦2

Es decir 21025 − 18975 = 1 Como y=100 entonces x= -179’18 Las coordenadas del barco serán entonces (-179’18,100) Y las distancias a las estaciones 𝐷𝐴 = √1002 20′822 = 102′ 14𝐾𝑚 𝐷𝐵 = √1002 + 379′182 = 392′ 14𝑘𝑚

11. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua? Solución:

Tenemos la ecuación general de la parábola: 4𝑝(𝑦 − 𝑘) = (𝑥 − ℎ)2 Es la ecuación general de la parábola cuando esta se abre con vértice hacia arriba (h,k), longitud focal |𝑝| Entonces reescribimos 20𝑦 = −𝑥 2 + 10𝑥 + 15 luego dividimos entre 20:

𝑦=−

𝑥2 20

𝑥

3

2

4

+ +

Luego escribir a la forma estándar 𝑎𝑥 2 +bx+c 𝑥2

− 20 +

1∗𝑥 2

3

1

+ 4 Luego factorizar − 20

1

− 20 (𝑥 2 − 10𝑥 − 15) 2𝑎 = −10 2𝑎 = −10 Dividir ambos lados entre 2 2𝑎 2

=𝑎 y

−10 2

2𝑎 2

=

−10

= −5

𝑎 = −5 Sumar y restar de (izquierda a derecha) (−5)2 1

− 20 (𝑥 2 − 10𝑥 − 15 + (−5)2 − (−5)2 )

2

𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2 𝑥 2 − 10𝑥 + (−5)2 = (𝑥 − 5)2 Completar el cuadro con : 1

− 20 ((𝑥 − 5)2 − 15 − (−5)2 ) 1

Luego simplificamos − 20 (𝑥 − 5)2 + 2

1

𝑦 = − 20 (𝑥 − 5)2 + 2

Restamos 2 de ambos lados 1

𝑦 − 2 = − 20 (𝑥 − 5)2 1

Dividimos entre el coeficiente de términos cuadrados: − 20 −20(𝑦 − 2) = (𝑥 − 5)2 Luego reescribimos en la forma estándar: 4(−5)(𝑦 − 2) = (𝑥 − 5)2 Por lo tanto las propiedades de la parábola son: (ℎ, 𝑘) = (5,2), 𝑝 = −5 Entonces la máxima altura que alcanza el chorro seria 2m

Ejercicio 4 sumatoria 13. Una empresa tiene 6 sedes en cada una de 5 ciudades, la producción se realiza en una única ciudad y todas las sedes piden su producto estrella desde esta ciudad. En la tabla se muestran los productos pedidos por cada sede para un mes. ciudad(i)\Sede (j) 1 2 3 D4 5

x1 63 50 111 62 115

2

3

4

5

6

72

52

82

62

51

a) El número total de productos solicitados en la ciudad 4, se representa por: 𝟔

∑ 𝑫𝟒𝒋 𝒋=𝟏

Utilice la definición de sumatoria para calcular este número de productos. Solución

∑61 𝐷𝑗 = 62+72+52+82+62+51 = 381

b) Según los resultados de un estudio, las sedes número 1 son las que más venden entre todas las ciudades. Represente en notación de sumatorias, el número de productos solicitados por todas las sucursales número 1 Solución 5

∑ 𝑥𝑖 = 63 + 50 + 111 + 62 + 115 = 401 𝑖=1

15. En una institución educativa hay 6 cursos, denominados del 1 al 6. Para cada uno de los cuales hay 5 secciones de estudiantes. a) Usando la notación de sumatorias, el número total de estudiantes del curso 2 es: 𝟓

∑ 𝒏𝟐𝒋 𝒋=𝟏

Encuentre el número total de estudiantes para este curso, aplicando la definición de sumatoria. Solución 5

∑ 𝑛𝑗 = 31 + 23 + 36 + 20 + 37 = 147 𝑗=1

b) Identifique la notación de sumatorias que representa al número total de estudiantes que pertenecen a la sección 4. 6

∑ 𝑥𝑖 = 22 + 36 + 34 + 28 + 35 + 29 = 184 𝑖=1

Ejercicio 5: Productoria

17. Una fábrica de juguetes, la cual es responsable de producir la muñeca de moda, ha diseñado un kit de guardarropa para esta muñeca, el cual está compuesto de tres vestidos: un azul, un gris y un negro; así como también de dos pares de zapatos: un par de color rojo y un par de color amarillo. ¿Cuántas formas de organizar la ropa para esta muñeca se puede lograr con este kit de guardarropa? Solución: se puede organizar de 6 formas 3

∏𝑖 = 2 ∗3 = 6 𝑖=2

18. Una permutación es un arreglo donde los elementos que lo integran y su orden no importa. Considere el siguiente conjunto: {a,b,c,d}. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos pueden obtenerse de este conjunto? Solución= Puede obtener 24 permutaciones 4

∏ 𝑖 = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 = 24 𝑖=1

CONCLUSIONES



En el anterior trabajo se pudieron identificar en cada problema los elementos, características y procedimientos de la Unidad 3



Con la realización de la actividad se adquirieron habilidades en el desarrollo de ejercicios de elipse vértices, ecuaciones hiperbólicas



El desarrollo de los problemas me permitió comprender la importancia del uso del comprobador Geogebra para analizar los planteamientos y verificar si son correctos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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