3. Vektor Silang.docx

HASIL KALI SILANG Dalam banyak penerapan vektor untuk soal-soal geometri, fisika, dan teknik, kita perlu membentuk vektor di ruang-3 yang tegakluras terhadap dua vektor yang diberikan. Dalam bagian ini kita perkenalkan sejenis perkalian vektor yang memungkinkan pembentukan ini. Defenisi Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor di ruang-3, maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan oleh u x v = (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) atau dalam notasi determinan 𝑢2 𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 𝐮 × 𝐯 = (|𝑣 𝑣 | , − |𝑣 𝑣 | , |𝑣 2 3 1 3 1

𝑢2 𝑣2 |)

(1)

pola pada Rumus (1) yang berguna untuk diingat. Jika kita bentuk matriks 2x3 𝑢1 𝑢2 𝑢3 [𝑣 𝑣 𝑣 ] 1 2 3 di mana entri baris pertama adalah komponen faktor pertama u dan entri baris kedua adalah komponen faktor kedua v, maka determinan dalam komponen pertama u x v didapatkan dengan mencoret kolom pertama matriks tersebut, determinan dalam komponen kedua kita dapatkan dengan mencoret kolom kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan mencoret kolom ketiga dari matriks tersebut. Contoh 12 Carilah u x v, di mana u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0,1). Pemecahan. 1 2 −2 ] 3 0 1 2 −2 1 𝐮 × 𝐯 = (| |,−| 0 1 3 [

−2 1 2 |,| |) = (2, −7, 1 3 0

−6)

Walaupun hasil kali titik dari dua vektor adalah skalar, namun hasil kali silang dari dua vektor adalah vektor lainnya. Teorema berikut memberikan hubungan penting di antara hasil kali titik dan hasil kali silang serta juga memperlihatkan bahwa u x v ortogonal baik untuk u maupun v. Teorema 5. Jika u dan v adalah vektor di ruang-3, maka 𝑎. 𝐮 ∙ (𝐮 × 𝐯) = 𝟎

(𝐮 × 𝐯 ) 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑘𝑒 𝐮

𝑏. 𝐯 ∙ (𝐮 × 𝐯) = 𝟎

(𝐮 × 𝐯 ) 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑘𝑒 𝐯

𝑐. ‖𝐮 × 𝐯‖2 = ‖𝐮‖2 ‖𝐯‖2 − (𝐮 ∙ 𝐯)2

(𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒)

Bukti. Misalkan u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = (v1, v 2 , v3) 𝑎. 𝐮 ∙ (𝐮 × 𝐯) = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) ∙ (𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 , 𝑢3 𝑣1 − 𝑢1 𝑣3 , 𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 ) = 𝑢1 ∙ (𝑢2 𝑣3 − 𝑢3 𝑣2 ), 𝑢2 (𝑢3 𝑣1 − 𝑢1 𝑣3 ), 𝑢3 (𝑢1 𝑣2 − 𝑢2 𝑣1 ) =0 Identitas Lagrange dapat dihasilkan dengan "menuliskan hasil kali” ruas kanan (3.16) dan (3.17) serta membuktikan kesamaannya. ■ Contoh 13 Tinjaulah vektor u = (1, 2, -2) dan v = (3,0,1) Kita telah menampilkan pada Contoh 12 bahwa u x v = (2, -7, -6) Karena u • (u x v) = (1)(2) + (2)(-7) + (-2)(-6) = 0 dan v • (u x v) = (3)(2) + (0)(-7) + (1)(-6) = 0 u x v ortogonal baik untuk u maupun v seperti dijamin oleh Teorema 5. Sifat ilmu hitung utama dari hasil kali silang didaftarkan pada teorema berikutnya. Teorema 6. Jika u, v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3 dan k adalah sebarang skalar, maka: (a) u x v = - (v x u) (b) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) (c) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) (d) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) (e) u x 0 = 0 x u = 0 (f) u x u = 0 Bukti-bukti diperoleh langsung dari Rumus 3.15 dan sifat-sifat determinan; misalnya, (a) dapat dibuktikan sebagai berikut: Bukti, (a) Dengan mempertukarkan u dan v dalam (3.15) maka akan mempertukarkan baris-

baris dari ketiga determinan pada ruas kanan (3.15) dan dengan demikian akan mempertukarkan tanda setiap komponen hasil kali silang. Jadi u x v = -(v x u). ■ Bukti bagian selebihnya sengaja dibiarkan sebagai latihan bagi anda. Contoh 14 Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0,0,1)

Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat (Gambar 3.25). Vektor tersebut dinamakan vektor satuan baku (Standard unit vectors) di ruang-3. Setiap vektor v = (vl, v2, v3) di ruang-3 dapat diungkapkan dengan i, j dan k karenanya kita dapat menuliskan Misalnya, v = (v1, v2, v3) = v1 (l, 0, 0) + v2 (0, 1, 0) + v3 (0, 0, 1) = v1 i+ v2 j + v3 k misalnya, (2, -3, 4) = 2 i – 3 j + 4 k

Gambar 3.25 Dari (3.15) kita dapatkan 0 i x j = (| 1

0 1 |,−| 0 0

0 1 |,| 0 0

0 |) = (0, 0, 1) = 𝑘 1

Anda tidak akan mengalami kesukaran untuk mendapatkan hasil-hasil berikut: ixi=jxj=kxk=0 ixj=k, jxk=i, kxi=j jxi=-k, k x j=-i, ixk=-j

Diagram berikut akan membantu anda untuk mengingat hasil-hasil ini.

Dengan melihat ke diagram ini, maka hasil kali silang dua vektor yang berurutan dalam arah perputaran jarum jam adalah vektor berikutnya, dan hasil kali silang dua vektor yang berurutan dalam arah berlawanan dengan arah perputaran jarum jam adalah negatif dari vektor berikutnya. Akan berfaedah juga bila anda mengingat kembali bahwa hasil kali silang dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk determinan 3 x 3 : 𝑖 𝑗 𝑢 × 𝑣 = |𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2

𝑘 𝑢2 𝑢3| = | 𝑣2 𝑣3

𝑢3 𝑢1 𝑢3 𝑢1 |𝑖 − | |𝑗 + | 𝑣3 𝑣1 𝑣3 𝑣1

𝑢2 |𝑘 𝑣2

Misalnya, jika u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1), maka 𝒊 𝒖 × 𝒗 = |𝟏 𝟑

𝒋 𝒌 𝟐 −𝟐| = 𝟐𝒊 − 𝟕𝒋 − 𝟔𝒌 𝟎 𝟏

hasil ini sesuai dengan perolehan pada Contoh 12. Peringatan. Umumnya tidaklah benar bahwa u x (v x w) = (u x v) x w. Misalnya, ix(jxj) = ix0 = 0 dan (i x j) x j = k x j = -(jxk)= -i sehingga i x (j x j)  (i x j) x j Dari Teorema 5 kita ketahui bahwa u x v adalah ortogonal baik untuk u maupun v. Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol, maka dapat diperlihatkan bahwa arah u x v dapat ditentukan

dengan menggunakan "aturan tangan-kanan” (Gambar 3.26). Misalkan  adalah sudut di antara u dan v, dan anggaplah u terrotasi melalui sudut  sehingga berimpit dengan v. Jika jari-jari tangan kanan dilikukkan sehingga mengarah rotasi, maka ibu jari menunjukkan (secara kasarnya) arah u x v.

Gambar 3.26 Anda dapat mempraktekkan aturan ini dengan hasil kali ixj = k

j x k = i

kxi=j

Jika u dan v adalah vektor-vektor taknol di ruang-3, maka norma u x v mempunyai tafsiran geometrik yang berguna. Identitas Lagrange, yang diberikan dalam Teorema 5, menyatakan bahwa ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u • v)2

(3.18)

•Ingat kembali bahwa kita telah sepakat untuk hanya meninjau sistem koordinat tangan kanan di dalam buku pelajaran ini. Seandainya kita gunakan sistem tangan kiri, maka "aturan tangan kiri” akan berlaku pula di sini.

I

Jika  menyatakan sudut di antara u dan v, maka u • v = ||u|| ||v|| cos , sehingga (3.18) dapat kita tuliskan kembali sebagai ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 - ||u||2 ||v||2 cos2 = ||u||2 ||v||2 (1 - cos2 ) \

= ||u||2 ||v||2 sin2  Jadi, ||u x v|| = ||u|| ||v|| sin 

(3.19)

Tetapi || v|| sin  adalah tinggi jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v (Gambar 3.27). Jadi, dari (3.19), luas A dari jajaran genjang ini diberikan oleh A = (alas) (tinggi) = ||u|| ||v|| sin  = ||u x v|| Dengan kata lain, norma u x v sama dengan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v.

i

Gambar 3.27

Contoh 15 Carilah luas segitiga yang ditentukan oleh titik-titik P1 (2, 2, 0), P2(-1, 0, 2), dan P3 (0,4,3). Pemecahan. Luas segitiga A tersebut adalah ½ luas jajaran genjang yang ditentukan oleh vektorvektor →

𝑃1 𝑃2

dan →

𝑃1 𝑃3

(Gambar 3.28).

I i

Gambar 3.28 Dengan menggunakan metode yang kita bahas pada Contoh 2 dari Bagian 3,1, maka →

𝑃1 𝑃2

(-3, -2, 2) dan →

𝑃1 𝑃3

=

= (-2,2, 3). Jelaslah bahwa →

𝑃1 𝑃2

×→

𝑃1 𝑃3

= (−10, 5, −10)

dan sebagai konsekuensinya maka A = ½‖→

𝑃1 𝑃2

×→

𝑃1 𝑃3

15

‖ = ½(15) = 2

Pada mulanya, kita mendefinisikan sebuah vektor sebagai sebuah segmen garis yang diarahkan atau panah di ruang-2 atau ruang-3; sistem koordinat dan komponen diperkenalkan kemudian supaya menyederhanakan perhitungan dengan vektor. Jadi, sebuah vektor mempunyai "keberadaan matematis” tak perduli apakah telah diperkenalkan sistem koordinatnya. Selanjutnya, komponen vektor tidaklah ditentukan oleh vektor itu sendiri; komponen tersebut bergantung juga pada sistem koordinat yang dipilih. Misalnya, dalam Gambar 3.29 kita telah menunjukkan vektor bidang v yang tetap dan dua sistem koordinat berbeda. Pada sistem koordinat xy, komponen v adalah (1, 1), sedangkan dalam sistem x'y', komponen tersebut adalah (√2, 0). Hal ini menimbulkan pertanyaan penting tentang definisi kita mengenai hasil kali silang. Karena kita telah mendefinisikan hasil kali silang u x v dalam komponen u dan v, dan karena komponen ini bergantung pada sistem koordinat yang dipilih, maka kelihatannya mungkin bahwa dua vektor tetap u dan v dapat mempunyai hasil kali silang yang berbeda dalam sistem koordinat yang berbeda. Untunglah, hal ini tidak demikian. Untuk melihat ini, maka kita hanya

I i

perlu mengingat kembali bahwa: (i)

u x v tegak lurus baik bagi u maupun v.

(ii)

Orientasi u x v ditentukan oleh aturan tangan kanan.

(iii) ||u x v|| = ||u|| ||v|| sin . Ketiga sifat ini akan menentukan vektor u x v secara lengkap, sifat (i) dan sifat (ii) menentukan arah, dan sifat (iii) menentukan panjang. Karena sifat-sifat ini hanya bergantung pada panjang serta kedudukan relatif u dan v dan bukan bergantung pada sistem koordinat tangan kanan khusus yang sedang digunakan, maka vektor u x v akan tetap tidak berubah jika kita perkenalkan sistem koordinat tangan kanan yang, berbeda. Kenyataan ini dijelaskan dengan menyatakan bahwa definisi u x v bebas koordinat (coordinate free). Hasil ini penting bagi ahli fisika dan ahli teknik yang sering bekerja dengan banyak sistem koordinat dalam soal yang sama.

Gambar 3.29