3 Unid Mates Eso3
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Sucesiones
ÍNDICE DE LA UNIDAD 1. Sucesiones 2. Progresiones aritméticas 3. Progresiones geométricas 4. Sucesiones recurrentes
Conoces
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3. Sucesiones
1 Sucesiones 1.1 Sucesiones Intenta completar lo que falta en las siguientes series: (Adornar estas series) 1 1 1 1 1 1 1 1, 11, 111, 1 111, __, 111 111, ........ 1, , , , , , , , 2 3 4 .... 6 7 .... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, 34, 55, __, .......
Az, By, Cx, ___, Ev, ___, .......
FALTA DIBUJO Observa que los elementos que forman estas series siguen una regla y se pueden continuar. Estos conjuntos se llaman sucesiones. Hay sucesiones de números, de letras, de símbolos y de figuras. Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una pauta. Cada uno de los números que componen una sucesión se denomina término. Los términos se representan por a1, a2, a3, ......, que corresponden al término que ocupa el lugar primero, el lugar segundo, el tercero ...... Por ejemplo, en la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, ...... se tiene: a1=3, a2=7, a3=11, a4=15 y a5=19.
1.2 Término general de una sucesión El término general de una sucesión numérica es una expresión matemática que nos da el valor de cualquier término de la misma en función del lugar que ocupa, n. Se representa por an. Obtención del término general Calcular el término general de una sucesión significa encontrar la relación entre el valor de cada término y el lugar que ocupa, es decir, la relación entre an y n. Del momento, el término general lo averiguaremos por tanteo. Ejemplo resuelto Hallar el término general de las siguientes sucesiones: a) 12, 22, 32, 42, 52,... b) 1, 4, 9, 16, 25,... a1 = 12 = 10 + 2 = 1 · 10 + 2 a1 = 1 = 12 a2 = 4 = 22 a2 = 22 = 20 + 2 = 2 · 10 + 2 a3 = 32 = 30 + 2 = 3 · 10 + 2 a3 = 9 = 32 an = n · 10 + 2 = 10n + 2 an = n2
Escribe cinco términos más de la sucesión
1
3
2 4 6 8 10 , , , , , ....... 3 5 7 9 11 Di cuál o cuáles de las siguientes secuencias numéricas son sucesiones:
2
2
Calcula el término general de las sucesiones: a) 10, 20, 30, 40,........ c)
b) 1, 10, 102, 103, 104,........
2 4 6 8 10 , , , , , ....... 3 5 7 9 11
a) 3, 22, -8, 0, 5,......
c) 3, 17, 11, 0, 224,......
Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones que tienen por término general:
b) –3, 1, 5, 9, 12,......
d) 1, -1, 1, -1, 1,......
a) an = 3n + 4 b) an = n2+ 1 c) an = (-1)n d) an = n2 -n
4
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3. Sucesiones
1.3. Cálculo de los términos de una sucesión a partir del término general Procedimiento
Ejemplo
Cálculo de los primeros términos de una sucesión a partir del término general.
Hallar los tres primeros términos de la sucesión de término n general an = n+1 a1 =
Para hallar a1, sustituimos n por 1.
1 1 = 1+ 1 2
Para hallar a2, sustituimos n por 2.
a2 =
2 2 = 2+1 3
Para hallar a3, sustituimos n por 3. Y así sucesivamente.
a3 =
3 3 = 3+1 4
Observa que… Al sustituir la n de la sucesión an = 3n2 – – 1 por un valor concreto, lo primero que tenemos que efectuar es el cuadrado, después la multiplicación por 3 y, por último, sumar – 1. Es decir: a1 = 3 · 12 – 1 = 3 · 1 – 1 = 2 Del mismo modo: a4 = 3 · 42 – 1 = 3 · 16 – 1 = 47
Ejemplo resuelto Hallar los términos a3 y a20 de las sucesiones de término general: a) an = n2 + 1 b) bn = 3n – 2 Sustituyendo en an = n2 + 1: Sustituyendo en bn = 3n – 2: Para n = 3, a3 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10. Para n = 3, b3= 3 · 3 – 2 = 7. Para n = 20, a20 = 202 + 1 = 400 + 1 = 401 Para n = 20, b20 = 3 · 20 – 2 = 58.
5
Halla los cuatro primeros términos de las sucesiones de término general: a) an = n2 – 7n + 12
Polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Isodecágono Triacontágono Tetracontágono Pentacontágono Hexacontágono Heptacontágono Octacontágono Eneacontágono Hectágono Megágono Googólgono
Nº de lados n 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 106 10100
b) an = 3n2 – 1
6
Calcula el término general de la sucesión formada por los números cubos perfectos 1, 8, 27, 64, 125........
7
Calcula los ocho primeros términos de las sucesiones de término general: a) an = n + (-1)n
8
d) an = n2 – (-1)n
Escribe los términos a10, a20 y a100 de las siguientes sucesiones: a ) an =
9
b) an = n + (-1)2n c) an = n – (-1)2
n –1 n +1
b ) an =
n2 n +1
c ) an = 1 +
(–1)n n
1 d ) an = ( )n –2 2
Calcula el término a9 de la sucesión an =
n· n n +1
10 El número de diagonales de un polígono de n lados viene dado por la expresión:
Dn =
n · (n – 3 ) 2
Halla el número de diagonales de cada uno de los polígonos de la tabla del margen. 3
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3. Sucesiones
2 Progresiones aritméticas 2.1. Progresión aritmética Observa las siguientes sucesiones e intenta encontrar qué tienen en común: a) 2, 4, 6, 8, 10, ........ c) 4, 0, - 4, -8, -12, ........ b) 4, 7, 10, 13, 16, ........ d) -100, -80, -60, -40, -20, ........ Te habrás dado cuenta de que todas las sucesiones anteriores son fáciles de continuar. Son progresiones aritméticas y tienen en común que, para pasar de un término al siguiente, se suma siempre una cantidad constante o, lo que es igual, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Una progresión aritmética es una sucesión en la que, al restar dos términos consecutivos, se obtiene siempre un mismo número, llamado diferencia, d. En los ejemplos anteriores las diferencias son: a) d = 2 b) d = 3 c) d = – 4 d) d = 20
2.2. Término general de una progresión aritmética La diferencia entre dos términos consecutivos en toda progresión aritmética es constante, e igual a la diferencia de la progresión, d. Así: a2 - a1 = d, a3 - a2 = d,........ Despejando en a2 - a1 = d, tenemos que a2 = a1 + d (I) Despejando en a3 - a2 = d, tenemos que a3 = a2 + d (II) Sustituyendo (I) en (II): a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d Razonando de la misma forma: a4 = a1 + 3d En general: an = a1 + (n –1) · d La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n –1) · d Donde an es el término general, a1 es el primer término, n es el lugar que ocupa y d es la diferencia.
4
Procedimiento
Ejemplo
Obtención del término general de una progresión aritmética.
Escribir el término general de la progresión -3, 1, 5, 9, ........
Identificamos el primer término a1.
El primer término es a1 = -3
Determinamos el número que se ha sumado para pasar de un término al siguiente. Este número es la diferencia, d, de la progresión.
Para hallar la diferencia, restamos dos términos consecutivos cualesquiera: 1- (-3) = 4 5–1=4 9–5=4 Por lo tanto, d = 4.
Sustituimos a1 y d en la fórmula an = a1 + (n –1) · d
Sustituimos a1 = -3 y d = 4 en an: an = - 3 + (n – 1) · 4
Efectuamos las operaciones y simplificamos.
an = - 3 + 4n – 4 an = - 7 + 4n
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3. Sucesiones
Ejemplo resuelto La escalera de un edificio de siete pisos tiene todos los peldaños iguales. Se sabe que entre dos pisos consecutivos hay 19 peldaños y cuando se suben dos pisos se asciende una altura de 532 cm: a) Escribir las dos sucesiones de 7 términos que están implícitas en este enunciado y obtener su término general. Observa las siguientes relaciones; ambas son progresiones aritméticas. – Número de piso y número de peldaños: Piso 1º 2º Nº de peldaños (desde el piso 0) 19 38
3º 57
4º 76
5º 95
6º 7º 114 133
Los números {19, 38, 57, 76, 95, 114, 133} son los 7 primeros términos de una progresión aritmética con a1 = 19 y d = 19. El término general es: an = a1 + (n – 1) d = 19 + (n – 1) · 19 = 19 + (n – 1) · 19 = 19 + 19n – 19 = 19n. Es decir: an = 19n para 0< n < 8 – Número de piso y altura: Piso 1º 2º Altura (cm) 266 532
3º 798
4º 1064
5º 1330
6º 1596
7º 1862
Los números {266, 532, 798, 1064, 1330, 1596, 1862} son los 7 primeros términos de una progresión aritmética con a1 = 266 y d = 266. Procediendo de forma análoga, tenemos que: an = 266n para 0 < n < 8, que es el término general de la progresión aritmética que relaciona el número de piso y su altura. b) ¿Qué altura tiene cada peldaño?¿A qué altura se encuentra el piso 7º?¿Cuántos peldaños hay en total? Entre dos pisos hay 19 · 2 = 38 peldaños, que corresponde a una altura de 532 cm. Por tanto, cada peldaño tiene una altura de de un piso es
532 2
532 = 14 cm. La altura 38
= 266 cm = 2,66 m. El número total de peldaños es
19 · 7 = 133
11 El primer término de una progresión aritmética es 12 y la diferencia es 5. Escribe sus diez primeros términos. 12 De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones aritméticas y determina la diferencia:
a) 1, 2, 3, 4, 5, ........
b) 2, 4, 8, 16, 32, ........
c) – 23, – 20, – 17, – 14, – 11, ........
d) 2, 1, 2, 1, 2, ........
13 Escribe los ocho primeros términos de una progresión aritmética en la que el 2º término es 8 y la diferencia
es –2. 14 Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
a) – 4, 0, 4, 8, 12,........ b) 0, 5, 10, 15, 20,........ c) 10, 20, 30, 40,........ d) 8, 11, 14, 17, 21,........ 5
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2.3. Progresiones aritméticas crecientes y decrecientes Si los términos de una progresión aritmética son cada vez mayores, a medida que se avanza en la progresión, la progresión es creciente; si los términos son cada vez menores, es decreciente. Por ejemplo, la progresión -2, 4, 10, 16, ........ es creciente, mientras que la progresión 4, 1, -2, -5, -8,........es decreciente. Observa que, cuando una progresión aritmética es decreciente, su diferencia es un número negativo. Por ejemplo, en 4, 1, -2, -5, -8,........la diferencia es -3, y el término general es: an = 4 + (n – 1) · (-3) = 4 – 3n + 3 = 7 – 3n. La diferencia de una progresión aritmética también puede ser un número fraccionario. Ejemplo resuelto En una progresión aritmética a1 = 2 y a11 = 0. Calcular la diferencia y el término general y escribir los doce primeros términos. Para calcular la diferencia, sustituimos los valores de a1 y a11 en la fórmula a11 = a1 + 10 · d : 1 0 = 2 + 10 · d ; d = - ; 5 Sustituyendo el valor de d en la expresión an = a1 + (n – 1) · d , calculamos el término general: 1 an = a1 + (n – 1) · d = 2 + (n – 1) · (- ) = (11 – n) / 5 5 Los doce primeros términos de la sucesión son: 9 8 7 6 4 3 2 1 1 2 2, , , , , 1, , , , , 0, − , ,... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
15 En una progresión aritmética a1 = 4 y a5 = 28. Calcula la diferencia. 16 En una progresión aritmética a1 = 5 y a3 = 10. Calcula d y an. 17 Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y el mayor mide 70º. ¿Cuánto miden los otros?
FALTA DIBUJO
18 De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones aritméticas y determina luego la diferencia y
el término general: a) 1, 2, 3, 4, ........ b) 2, 4, 6, 8, ........ c) 1, 4, 9, 16, ........ d) – 25, – 30, – 35, – 40, ........ e) 5, 13, 5, 13, 5, ........ f) 3, 7/2, 4, 9/2, ........ 19 Calcula el término a12 y el término general, an, de las siguientes progresiones aritméticas:
a) 15, 11, 7, ........
b) 1, 10, 19, .......
f) 2; 0,5; -2; -3,5, ........ 6
c) -10, -5, 0, ........
d) 1,5; 1,8; 2,1;........ e) 3,
10 11 13 , , 4, ,... : 3 3 3
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2.4. Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética Imagina que queremos sumar los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 2, 4, 6, 8, .....: En primer lugar calculamos el término a20: Sustituyendo los valores de a1 = 2 y d = 2 en la fórmula a20 = a1 + 19d, obtenemos a20 = 2 + 19 · 2 = 40 Los términos que debemos sumar son:
FALTA DIBUJO
Observa que la suma de los términos primero y último es igual a la de los términos segundo y penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, etc. Es decir, 2 + 40 = 4 + 38 = 6 + 36 = ........ = 42 Por tanto, para calcular la suma de los 20 primeros términos, basta con hacer la suma una sola vez, sumando el primer y el último término, y multiplicando este resultado por el número de veces que aparece la suma, que en este caso es 10. Es decir: (2 + 40) · 20 (2 + 40) · 10 = 420 2
S20 = 2 + 4 + 6 + ............. + 36 + 38 + 40 =
La suma de la n primeros términos de una progresión aritmética viene dada por la fórmula: Sn =
a1 + an ·n 2
Procedimiento
Ejemplo
Cálculo de los primeros términos de una progresión aritmética.
Hallar la suma de los 40 primeros términos de la progresión aritmética 3, 7, 11, 15,......
Identificamos a1 y d:
a1 = 3, d = 4
Se calcula a40 utilizando la fórmula del término general:
a40 = 3 + (40 – 1) · 4 = 159.
Se aplica la fórmula de la suma: Y así sucesivamente.
S40 =
3 + 159 · 40 = 3 240 2
20 Calcula la suma de los 100 primeros números pares. 21 Calcula la suma de todos los números pares de dos cifras 22 Halla la suma de los 111 primeros términos de la progresión aritmética: 3, 5, 8, 11, 14, .....
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3 Progresiones geométricas 3.1. Progresión geométrica Dada la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, ........, si calculamos el cociente entre cada uno de los términos y su anterior obtenemos siempre el mismo resultado: 6 18 54 = = = ........ = 3 2 6 18 Se dice que esta sucesión es una progresión geométrica de razón 3. Una progresión geométrica es una secuencia de números reales a1, a2, a3, ........, an, de forma que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija llamada razón de la progresión, r. Ejemplo resuelto Escribir los cinco primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 100 y cuya razón es 0,2. a1 = 100, a2 = 100 · 0,2 = 20, a3 = 100· 0,22 = 4, a4 = 100 · 0,23 = 0,8, a5 = = 100 · 0,24 = 0,16
3.2. Término general de una progresión geométrica En toda progresión geométrica se tiene: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r2 a4 = a3 · r = a1 · r2 · r = a1 · r3 En general,: an = a1 · rn – 1: La fórmula para calcular el término general de una progresión geométrica es: an = a1 · rn – 1 Donde an es el término general, a1 es el primer término, n es el lugar que ocupa y r es la razón. Procedimiento Obtención del término general de una progresión geométrica.
Escribir el término general de la progresión 1, 3, 9, 27 ........
Se identifica el primer término a1.
El primer término es a1 = 1
Se determina el número por el que se ha multiplicado para pasar de un término al siguiente. Este número es la razón, r, de la progresión.
Para hallar la razón, dividimos dos términos consecutivos cualesquiera: 3:1=3 9:3=3 27 : 9 = 3 Por lo tanto, r = 3.
Se sustituye a1 y r en la fórmula an = a1 · rn – 1
Sustituimos a1 = 1 y r = 3 en an: an = 1 · 3n-1
Efectuamos las operaciones y simplificamos. 8
Ejemplo
an = 3n-1
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3. Sucesiones
3.3. Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica Supón que queremos calcular la siguiente suma: 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + + 27 + 28 + 29 + 210
Invención del ajedrez ???????La invención del ajedrez. CUADRO DE LA PÁGINA 47 DEL LIBRO ESFERA – 3º ESO
Al tratarse de la suma de los términos de una progresión geométrica, existe una forma simplificada de efectuarla. La veremos a continuación. Queremos efectuar la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + a3 + ........ + an-2 + an-1 + an Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad anterior por r:
Observa que… Las progresiones geométricas con razón menor que 1 decrecen muy rápidamente.
Sn r = a1 r + a2 r + a3 r + ........ + an-2 r + an-1 r + an r Restando las dos últimas expresiones y simplificando, queda: r · Sn = a2 + a3 + a4 + ........
........
+ an-1 + an + an+1
– Sn = a1 + a2 + a3 + ........
........
+ an-2 + an-1 + an
r · Sn – Sn = an+1 – a1 = a1 · rn – a1 = a1 · (rn – 1) Sn · (r – 1) = a1 · (rn – 1), de donde: Sn =
a1 · ( r n – 1) r –1
Aplicando esta fórmula a la suma 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210: [fracción] S10 = 2 · (210 – 1) / 2 – 1 = 2046
23 El primer término de una progresión geométrica es 2 y la razón es 5. Escribe sus seis primeros términos. 24 De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones geométricas y determina la razón:
a) 1, 2, 4, 8, ........ c) – 3, – 60, – 120, – 2400, ,........
b) 2, -8, 32, -128........ d) 2, 1, 2, 1, 2,........
25 Halla el término general de las siguientes progresiones geométricas:
a) 4, 16, 64, 256,........
b) 1, 5, 25, 125,........
c) 10, 100, 1000, 10000,........
d) 8, 24, 72, 216, ........
26 Calcula las siguientes sumas siguiendo el procedimiento anterior:
a) 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 b) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 27 La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primer
y séptimo términos. 28 Calcula la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero sabiendo que están en progresión geométrica
y que el ángulo segundo es nueve veces menor que el mayor. 9
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3.4. Progresiones geométricas crecientes, decrecientes y oscilantes Observa que… En una progresión geométrica con IrI > 1, la suma de todos los términos es infinita. Por ejemplo, la suma 1 + 3 + 9 + 27 +........ es una suma infinita.
Una progresión geométrica es creciente si su razón es mayor que 1; es decreciente si su razón es positiva y menor que 1, y es oscilante si su razón es negativa. Ejemplos: La progresión 2, 4, 8, 16, ........ es creciente, con r = 2; La progresión 4, 2, 1, 1/2, 1/4,........es decreciente, con r = ? La progresión 3, -6, 12, -24, ........ es oscilante, con r = -2
3.5. Suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente Observa la sucesión: 1 , 1 , 1 , 1 , ........ 2 4 8 16 Te habrás dado cuenta de que se trata de una progresión geométrica de 1 razón . Los términos de esta progresión decrecen aproximándose a cero. 2 1 1 1 1 1 1 16 8 4 2 32 En estas sucesiones decrecientes, con 0 < r < 1 y en las que por tanto an · r es menor que a1, la fórmula de la suma se puede expresar del siguiente modo: Sn =
an · r – a1 a1 – an · r = r –1 1– r
Cuando n es muy grande (se indica, para n? ∞), an · r se aproxima a cero, y puede eliminarse este término. Por lo tanto: La fórmula de la suma de todos los términos de una progresión geométrica de razón -1 < r < 1 es: S∞ =
29 Suma todos los términos de la progresión
a1 1– r
1 1 1 1 , , , , ........ 3 9 27 81
30 Calcula la suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que a1 = 4 y r = 0,2 31 ¿Cuánto sumarán todos los términos de la sucesión: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ........ ?
2 4 8 16
32 Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sean de ninguno de estos dos tipos. Cal-
cula el término general de cada una: a) 1 , 1, 3 , 4, 5 , ....... 2 2 2 b) 2, 0, 2, 0, 2, 0, ......
d)
c) 2, 5, 10, 17, 26, ......
f) 5, 8, 11, 14, 17, ......
10
3 , 5 , 7 , 9 , 11, .......
e) 1, 10, 100, 1000, 10000, ......
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3.6. Producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica Imagina que queremos calcular el producto de los seis primeros términos, P6, de la progresión 2, 4, 8, 16, 32, 64,........ P6 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 Invirtiendo el orden de los factores, resulta: P6 = 64 · 32 · 16 · 8 · 4 · 2
P6 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 P6 = 64 · 32 · 16 · 8 · 4 · 2
Multiplicando las dos expresiones: P6 · P6 = (2 · 64) · (4 · 32) · (8 ·16) · (16 · 8) · · (32 · 4) · (64 · 2) Por lo que P62 = (2 ·64) 6 Haciendo la raíz cuadrada, P6 = ( 2 · 64 )6
La fórmula general del producto de los n términos consecutivos de una progresión geométrica es:
Observa que… La fórmula del interés compuesto es un caso particular del término general de una progresión geométrica de razón
r =1 +
i 100
Donde a1 es el capital inicial en el instante inicial (t = 0); a2 es el capital más los intereses del primer año; a3 el capital más los intereses del segundo año, y así sucesivamente
Pn = ( a1 · an )n
3.7 Interés compuesto y progresiones geométricas Una cantidad de dinero, C, puesta a un interés del i % durante t años se transforma en t i ⎞ ⎛ C1 = C0 · ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ Si sustituimos en esta expresión el valor de t por 0, 1, 2, 3,........ obtenemos una progresión geométrica de razón 1+
i 100
Ejemplo resuelto Ingresamos en un banco 2000 €, al 4% anual, al comienzo del año 2000. Hallar el capital disponible al final de cada año, durante los 7 años siguientes, suponiendo que no sacamos ningún dinero. Es una progresión geométrica de razón 1 + 4/100 = 1,04. El capital disponible en cada año es: Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Capital 2080 € 2163,2 € 2249,73 € 2339,72 € 2530,64 € 2737,14 € 2960,49 €
33 Halla el producto de los 10 primeros términos de la progresión 1, 4, 16, 64,........ 34 Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con primer término 6 y razón ?. 35 La suma de de los infinitos términos de una progresión geométrica es 8 y el primer término es 4. Calcula la
razón. 36 ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si colocamos 6000 € a un interés compuesto del 12%? 37 ¿Qué intereses producen 12000 €, en 4 años, al 8% de interés compuesto?
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3. Sucesiones
4 Sucesiones recurrentes Hay sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de términos anteriores. Se llaman sucesiones recurrentes. En la mayoría de los casos no es posible calcular su término general. Ejemplos: 1. En la sucesión 1, 2, 5, 9, 14, ........ se tiene: an = an – 1 + n, es decir, cada término es igual a la suma del término anterior más el lugar que ocupa en la sucesión. 2. El número de caminos distintos, sin retroceder, que hay desde cada uno de los puntos numerados hasta el punto 0 en el dibujo del margen es igual a la suma del número de caminos desde los dos vértices anteriores. FALTA DIBUJO
Número de caminos desde el vértice 1, C1 = 1 Número de caminos desde el vértice 2, C2 = 2 Continuando: C3 = 1 + 2 = 3; C4 = 2 + 3 = 5; C5 = 3 + 5 = 8; C6 = 5 + 8 = 13........ En general: Cn = Cn – 1 + Cn – 2 Los números que aparecen en esta secuencia son: 1, 2, 3, 5, 8, 13,........ Comprueba que al calcular la diferencia entre dos términos consecutivos vuelve a aparecer la propia sucesión. Esto indica que es imposible determinar su término general, al no hacerse las diferencias constantes. Sin embargo, en algunos casos es posible averiguar el término general de una sucesión recurrente. Ejemplo resuelto Calcular el término general de la sucesión 1, 2, 5, 14, 41, ........, en la que cada término se obtiene multiplicando por 4 el término anterior y restándole el triple del que está detrás de este: a1 = 1 a2 = 1 + 3 0 a3 = 1 + 30 + 31 a4 = 1 + 30 + 31 + 32 a5 = 1 + 30 + 31 + 32 + 33 ........
an = 1 + 30 + 31 + 32 + ........ + 3n -2
suma de los n – 1 primeros de la progresión geométrica 1, 3, 9, 27
Aplicando la fórmula de la suma de los n – 1 primeros términos de una progresión geométrica, 1 · ( 3n−1 − 1) Sn - 1 = a1( rn - 1 – 1)/r – 1, para a1 = 1 y r = Sn–1 = 3: 2 ( 3n−1 − 1) (1 + 3n−1 ) = Por tanto, an = 1 + 2 2
35 ¿Por qué la expresión [an = an – 1 + n] no es un término general? 36 En las siguientes sucesiones, calcula el término siguiente y descubre la ley de recurrencia.
a) 1, 3, 2, 2,5, 2,25, ........ b) 2, -2, 4, -6, 10, -16, ........ 37 Razona por qué son recurrentes las sucesiones del ejercicio anterior. 3812Calcula el término general de las sucesiones: a) 3, 5, 9, 17, 33,........
b) 2, 6, 14, 30, 62, 126,........
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3. Sucesiones
RESUMEN SUCESIONES Sucesión numérica. Es una secuencia de números que siguen una pauta.
Ejemplo: 7, 17, 27, 37, ........
Término general de una sucesión. Es una expresión matemática que nos da el valor de cualquier término de la misma en función del lugar que ocupa, n. Se representa por an.
En la sucesión anterior sería an = 10n – 3.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS Progresión aritmética. Es una sucesión en la que, al restar dos términos consecutivos, se obtiene siempre un mismo número, d, llamado diferencia.
Ejemplo: 5, 8, 11, 14, 17, ........ d=3
Término general: an = a1 + (n –1) · d
an = 5 + (n – 1) · 3 = 5 + 3n – 3 = 3n + 2 El término 100 es: a100 = 302
Suma de los n primeros términos
Suma de los 100 primeros términos:
Sn =
a1 + an ·n 2
S100 =
a1 + a100 5 + 302 ·n · 100 = 15 350 2 2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Progresión geométrica. Es una es una secuencia de números reales de forma que cada término se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón.
Ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, ........ r=2
Término general: an = a1 · rn – 1
an = 2n - 1
Suma de los n primeros términos
La suma de los 20 primeros términos es:
Sn =
a1 · ( r n – 1) r –1
S20 =
Suma de todos los términos con -1 < r < 1
1 1 1 Ejemplo: 1, , , , ........ 2 2 2 1 Sn = =2 1 1 2
a S∞ = 1 1– r
Producto de n términos consecutivos Pn = ( a1· an )
a1 · ( 220 – 1) = 220 – 1 = 1048575 2–1
P5 = (1 ·
n
1 5 1 ) = 16 1024
SUCESIONES RECURRENTES Sucesión recurrente. Son sucesiones en las que sus términos se obtienen a partir de términos anteriores.
Ejemplo: 4, -4, 0, -4, -4, -8, -12,........ donde a1 = 4, a2 = -4 y an = an-2 + an-1 para n > 2.
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3. Sucesiones
Niveles de dificultad:
1
sencillo
medio
ACTIVIDADES
alto
a) El primer término
SUCESIONES
39
b) La diferencia.
Escribe los 5 primeros términos de las sucesiones que tienen por término general:
49
Calcula la distancia que recorre un jardinero que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles situados al lado de un camino, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 40 m.
50
Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y el mediano mide 60º. ¿Cuánto miden los otros?
51
Los ángulos de un pentágono están en progresión aritmética y el menor mide 98º. ¿Cuánto miden los otros?
52
En la siguiente figura los números de cada octógono deben estar en progresión aritmética. Completa los números que faltan teniendo en cuenta los datos que se dan en cada caso y que el número central es la suma de todos ellos.
a) an = 2 + 3(n – 2) b) an = n2 – 1 c) an = an = n(n+1) d) an = (1/2)n e) an = (1/2)n – 1 f) an = (n + 1)2
40
Halla el término general de las sucesiones:
a) 1, -1, 1, -1,........ b) -1, 2, -3, 4, -5,........
2
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
41
Escribe los seis primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que el primer término es 8 y la diferencia, 5.
42
Escribe el término general de una progresión aritmética en la que a1 = 8 y a6 = 23.
43
Comprueba que 4, 13, 22, 31,........ es una progresión aritmética y calcula a20.
44
En una progresión aritmética la diferencia es 5 y el primer término es 11. Calcula a100 y la suma de los 100 primeros términos.
45
¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solo en las horas?
Calcula 7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 + 448 + 896 + 1792
46
En una progresión aritmética a1 = 200 y a5 = 0. Calcula:
a) La diferencia b) El término a10 c) La suma de los diez primeros términos
47
48
14
Miriam gastó 120 € el primer día del mes, y 10 € menos cada uno de los días siguientes. Se quedó sin dinero el día 13. ¿Cuánto dinero tenía a principio del mes? El último término de una progresión aritmética de 100 términos es 199, y la suma de todos ellos es 10000. Calcula:
FALTA DIBUJO
3
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
53
Calcula la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica que cumple las condiciones:
El primer término es a1 = 13,25 La razón es 1,5
54
Efectúa la suma de los 20 primeros números múltiplos de 4.
55
Calcula 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640
56
Una rana da saltos en línea recta hacia delante, saltando cada vez los 3/4 del salto anterior.
a) Calcula cuántos saltos tiene que dar para cruzar un camino de 6 metros si su primer salto es de 2 metros. b) ¿A qué distancia quedará del límite del camino? Expresa el resultado con 3 cifras decimales.
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Es casi seguro que conoces la leyenda del inventor del ajedrez, que pidió al rey un grano de trigo por
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente hasta la última casilla. ¿Cuántos granos pidió en total?
FALTA DIBUJO
A CTIVIDADES DE SÍNTESIS 69
a)
Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sean de ninguno de estos dos tipos. Calcula el término general de cada una: 3 5 3 7 , 1, , , , ........ 4 4 2 4
b) 2, 2, 2, 2, 2,........
58
59 60
61
c) 1, 4, 9, 16, 25,........ Calcula la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de primer término 16 y razón 3/4.
d) 2 , 4, 8 , 16,
Calcula la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica 9, 3, 1, 1/3,........
f) 7, 12, 17, 22, 27........
Ingresamos 5000 € en un banco, al 3% anual, al comienzo del año 2007. Calcula el capital disponible al final de cada año, durante los seis años siguientes.
e) 2 , 4,
70
32, ........
6 , 8, 10, ........
Realiza las siguientes sumas y después deduce la fórmula general que se indica:
a) 1 + 3 b) 1 + 3 + 5
Guillermo ingresa 6000 € al comienzo de cada año al 3,5% anual. ¿Cuál será su capital al final del décimo año?
c) 1 + 3 + 5 + 7
62
Calcula en cuánto se convertirá 1 euro al 5% de interés anual compuesto durante 20 años.
f) 1 + 3 + 5 + 7 + ........ + (2n – 1)
63
Calcula los ángulos de un hexágono sabiendo que están en progresión geométrica de razón 2.
d) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 e) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
g) Aplica el resultado obtenido en el apartado anterior para hallar la suma de los 500 primeros números impares.
71 4
SUCESIONES RECURRENTES
64
Escribe los doce primeros términos de una sucesión recurrente con estos datos:
a1 = 4, a2 = 9, an = an - 1 + an - 2
65
a) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir una torre de 7 pisos? b) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir una torre de n pisos?
Escribe los doce primeros términos de una sucesión recurrente con estos datos:
a1 = - 3, a2 = 3, an = an - 1 + an - 2
66
Para construir la torre de la figura, de 4 pisos, se necesitan 20 cubos.
FALTA DIBUJO
Escribe los doce primeros términos de una sucesión recurrente con estos datos:
a1 = 1, a2 = 5, an = an - 1 – an - 2
67 68
Escribe los siete primeros términos de una sucesión en la que an = an - 1 – an – 2, a7 = 1 y a5 = -5. ¿Por qué es imposible calcular el término general de la sucesión 1, 2, 3, 5, 8, 13,........?
Números poligonales Los números poligonales son los que se generan mediante un polígono: números triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S Números triangulares En la figura aparecen los cuatro primeros números triangulares, llamados así porque con el número de puntos que los forman se pueden formar triángulos equiláteros.
lo en el que una de sus dimensiones (base o altura) es una unidad mayor que la otra.
FALTA DIBUJO
FALTA DIBUJO T1
T2
T3
T4
a) ¿Cuál es el quinto número triangular? b) Escribe los diez primeros términos de la sucesión formada por los números triangulares. c) Encuentra la expresión general del número de puntos que hay que añadir para pasar del triángulo Tn al triángulo Tn + 1. d) Encuentra una expresión general que indique el número de puntos, tn , del triángulo Tn .
R1
R2
R3
R4
a) Escribe los diez primeros números rectangulares. b) Encuentra la expresión general que relaciona a dos números rectangulares consecutivos, rn y r n + 1. Números pentagonales En la figura se muestran los cinco primeros números pentagonales, p1 = 1; p2 = 5; p3 = 12; p4 = 22; p5 = 35, donde el número pi indica el número de puntos del pentágono Pi:
FALTA DIBUJO
Números cuadrados A continuación están representados los 4 primeros números cuadrados. 1
5
12
22
4
7
10
13
35
FALTA DIBUJO C1
C2
C3
C4
Observa que: a) ¿Cuál es el quinto número cuadrado? ¿Y el vigésimo?
p1 = 1
b) Escribe los diez primeros términos de la sucesión formada por los números cuadrados.
p2 = 1 + 4
c) Encuentra la expresión general del número de puntos que hay que añadir para pasar del cuadrado Cn al triángulo Cn + 1.
p4 = 1 + 4 + 7 + 10
d) Encuentra una expresión general que indique el número de puntos, cn , del triángulo Cn .
72
En el gráfico se muestra cómo obtener con fichas un número cuadrado a partir del anterior. Si tenemos un cuadrado de (n x n) fichas, ¿cuántas fichas hay que añadir para obtener el cuadrado siguiente?
FALTA DIBUJO
p3 = 1 + 4 + 7 p5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 a) Completa: El término p5 es la suma de 5 números que están en progresión ___________ de razón ____. b) Completa: El término pn es la suma de ___ números que están en progresión ____________ de razón 3. c) Completa los términos que faltan: p10 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ___ + ___ + ___ + ___ + ___ d) Calcula la expresión general del último sumando del término pn. e) Calcula el número de puntos que tendrá el pentágono P10.
73 Números rectangulares Los números rectangulares están formados por una cantidad de puntos que permiten formar un rectángu-
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En el cuadrado C3 del gráfico puedes observar que la línea que aparece permite expresar los 9 puntos como la suma de dos números triangulares consecutivos: c3 = t2 + t3.
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S a) Dibuja los cuadrados C4 y C5 y traza una línea que los divida de forma análoga.
77
b) Demuestra la siguiente propiedad: cn = tn + 1 + tn FALTA DIBUJO
74
A continuación aparecen los seis primeros números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales.
La figura muestra cuatro rectángulos, cada uno formado por la unión de dos cuadrados. El rectángulo A está formado por dos cuadrados de lado a, el rectángulo B está formado por dos cuadrados de lado b siendo b = a/2, y así sucesivamente; es decir, la altura de cada rectángulo es la mitad de la altura del rectángulo anterior.
a) Escribe, en función de a, la sucesión de 4 términos que exprese el perímetro de los rectángulos. b) Escribe, en función de a, la sucesión de 4 términos que exprese el área de los rectángulos. c) Calcula la altura, el perímetro y el área de la figura en función de a. d) Si se continúa el proceso indefinidamente hacia arriba, calcula la altura y la superficie de la figura.
FALTA DIBUJO
FALTA DIBUJO
a) Completa los números que faltan en los cuadros. b) Comprueba que se cumple: b1) c5= t5 + t4
b2) p5= c5 + t4
b3) h5= p5 + t4
c6 = t6 +t5
p6 = c6 +t5
h6 = p6 +t4
c) Observando las igualdades anteriores, completa las siguientes expresiones generales: c1) cn= ___ + ___ c2) pn= ___ + ___ c1) hn= ___ + ___
75
Escribe los diez primeros términos de la sucesión formada por los números hexagonales y calcula el término general.
78
Dibuja un triángulo equilátero de 10 cm de lado y une los puntos medios de sus lados. Obtendrás cuatro triángulos.
a) ¿Cuánto miden sus lados? ¿Y sus áreas? Repite el proceso anterior uniendo los puntos medios de los tres triángulos y calcula: b) El número de triángulos obtenidos. c) Las longitudes de sus lados y sus áreas. Si el proceso se repite sucesivamente, calcula los diez primeros términos de la sucesión formada por:
FALTA DIBUJO
d) El número de triángulos obtenidos e) El valor de los lados de los triángulos f) El valor de las áreas
76
El siguiente problema aparece en el papiro de Rhind (2000 a.C.): Entre cinco personas se reparten cien medidas de trigo de forma que la quinta persona recibe más que la cuarta tanto como la cuarta más que la tercera, que la tercera más que la segunda y que la segunda más que la primera. Entre las dos primeras recibieron siete veces menos que entre las tres restantes. Calcula cuánto recibió cada persona.
FALTA DIBUJO
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S
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ENTORNO MATEMÁTICO
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TECNOLOGÍ@S
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3. Sucesiones
E VA LUAC I Ó N 1
El término a10 de la sucesión de término general es igual a: an =
( −1) +1 n
7
n
El producto de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 2, 4, 8,........ resulta:
a) 2048
a) 1,001
b) 255
b) 1,01
c) 25302
c) 2
d) 210
d) 0,9
2
La suma de los 30 primeros términos de una progresión aritmética en la que a1 = 6 y d = 4 es:
8
En una progresión geométrica el primer término es 12 y el cuarto, 96. ¿Cuál es la razón?
a) 1
a) 720
b) 2
b) 2160
c) 3
c) 2400
d) 4
d) 1920
9
3
Sumando los 10 primeros términos de una progre1 sión geométrica en la que a1 = y r = 2 resulta: 4 a) 255,75 b) 256 c) 750 d) 2750
4
El término a27 de la sucesión es igual a:
a) 26 b) 28 c) -28 d) 0
5
En una progresión geométrica ilimitada el segundo término es 3 y el tercero,1. Sus infinitos términos suman:
a) 27/2 b) 15 c) 12 d) 17/2
6
Sumando todos los términos de la progresión geo1 1 1 1 métrica , , , , ........ se obtiene: 5 10 20 40
a) 450 b) 0,75 c) 0,5 d) 0,4
22
Los ángulos de un pentágono están en progresión aritmética y el menor de ellos vale 20º. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
a) 100º b) 196º c) 440º d) 120º
10
¿Cuánto dinero tendremos al cabo de dos años si colocamos a plazo fijo 2000 € al 7% anual?
a) 2289,8 € b) 3302,8 € c) 4505 € d) 4890 €
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Sucesiones
ÍNDICE DE LA UNIDAD 1. Sucesiones 2. Progresiones aritméticas 3. Progresiones geométricas 4. Sucesiones recurrentes
Conoces
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3. Sucesiones
1 Sucesiones 1.1 Sucesiones Intenta completar lo que falta en las siguientes series: (Adornar estas series) 1 1 1 1 1 1 1 1, 11, 111, 1 111, __, 111 111, ........ 1, , , , , , , , 2 3 4 .... 6 7 .... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, 34, 55, __, .......
Az, By, Cx, ___, Ev, ___, .......
FALTA DIBUJO Observa que los elementos que forman estas series siguen una regla y se pueden continuar. Estos conjuntos se llaman sucesiones. Hay sucesiones de números, de letras, de símbolos y de figuras. Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una pauta. Cada uno de los números que componen una sucesión se denomina término. Los términos se representan por a1, a2, a3, ......, que corresponden al término que ocupa el lugar primero, el lugar segundo, el tercero ...... Por ejemplo, en la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, ...... se tiene: a1=3, a2=7, a3=11, a4=15 y a5=19.
1.2 Término general de una sucesión El término general de una sucesión numérica es una expresión matemática que nos da el valor de cualquier término de la misma en función del lugar que ocupa, n. Se representa por an. Obtención del término general Calcular el término general de una sucesión significa encontrar la relación entre el valor de cada término y el lugar que ocupa, es decir, la relación entre an y n. Del momento, el término general lo averiguaremos por tanteo. Ejemplo resuelto Hallar el término general de las siguientes sucesiones: a) 12, 22, 32, 42, 52,... b) 1, 4, 9, 16, 25,... a1 = 12 = 10 + 2 = 1 · 10 + 2 a1 = 1 = 12 a2 = 4 = 22 a2 = 22 = 20 + 2 = 2 · 10 + 2 a3 = 32 = 30 + 2 = 3 · 10 + 2 a3 = 9 = 32 an = n · 10 + 2 = 10n + 2 an = n2
Escribe cinco términos más de la sucesión
1
3
2 4 6 8 10 , , , , , ....... 3 5 7 9 11 Di cuál o cuáles de las siguientes secuencias numéricas son sucesiones:
2
2
Calcula el término general de las sucesiones: a) 10, 20, 30, 40,........ c)
b) 1, 10, 102, 103, 104,........
2 4 6 8 10 , , , , , ....... 3 5 7 9 11
a) 3, 22, -8, 0, 5,......
c) 3, 17, 11, 0, 224,......
Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones que tienen por término general:
b) –3, 1, 5, 9, 12,......
d) 1, -1, 1, -1, 1,......
a) an = 3n + 4 b) an = n2+ 1 c) an = (-1)n d) an = n2 -n
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3. Sucesiones
1.3. Cálculo de los términos de una sucesión a partir del término general Procedimiento
Ejemplo
Cálculo de los primeros términos de una sucesión a partir del término general.
Hallar los tres primeros términos de la sucesión de término n general an = n+1 a1 =
Para hallar a1, sustituimos n por 1.
1 1 = 1+ 1 2
Para hallar a2, sustituimos n por 2.
a2 =
2 2 = 2+1 3
Para hallar a3, sustituimos n por 3. Y así sucesivamente.
a3 =
3 3 = 3+1 4
Observa que… Al sustituir la n de la sucesión an = 3n2 – – 1 por un valor concreto, lo primero que tenemos que efectuar es el cuadrado, después la multiplicación por 3 y, por último, sumar – 1. Es decir: a1 = 3 · 12 – 1 = 3 · 1 – 1 = 2 Del mismo modo: a4 = 3 · 42 – 1 = 3 · 16 – 1 = 47
Ejemplo resuelto Hallar los términos a3 y a20 de las sucesiones de término general: a) an = n2 + 1 b) bn = 3n – 2 Sustituyendo en an = n2 + 1: Sustituyendo en bn = 3n – 2: Para n = 3, a3 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10. Para n = 3, b3= 3 · 3 – 2 = 7. Para n = 20, a20 = 202 + 1 = 400 + 1 = 401 Para n = 20, b20 = 3 · 20 – 2 = 58.
5
Halla los cuatro primeros términos de las sucesiones de término general: a) an = n2 – 7n + 12
Polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Isodecágono Triacontágono Tetracontágono Pentacontágono Hexacontágono Heptacontágono Octacontágono Eneacontágono Hectágono Megágono Googólgono
Nº de lados n 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 106 10100
b) an = 3n2 – 1
6
Calcula el término general de la sucesión formada por los números cubos perfectos 1, 8, 27, 64, 125........
7
Calcula los ocho primeros términos de las sucesiones de término general: a) an = n + (-1)n
8
d) an = n2 – (-1)n
Escribe los términos a10, a20 y a100 de las siguientes sucesiones: a ) an =
9
b) an = n + (-1)2n c) an = n – (-1)2
n –1 n +1
b ) an =
n2 n +1
c ) an = 1 +
(–1)n n
1 d ) an = ( )n –2 2
Calcula el término a9 de la sucesión an =
n· n n +1
10 El número de diagonales de un polígono de n lados viene dado por la expresión:
Dn =
n · (n – 3 ) 2
Halla el número de diagonales de cada uno de los polígonos de la tabla del margen. 3
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3. Sucesiones
2 Progresiones aritméticas 2.1. Progresión aritmética Observa las siguientes sucesiones e intenta encontrar qué tienen en común: a) 2, 4, 6, 8, 10, ........ c) 4, 0, - 4, -8, -12, ........ b) 4, 7, 10, 13, 16, ........ d) -100, -80, -60, -40, -20, ........ Te habrás dado cuenta de que todas las sucesiones anteriores son fáciles de continuar. Son progresiones aritméticas y tienen en común que, para pasar de un término al siguiente, se suma siempre una cantidad constante o, lo que es igual, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Una progresión aritmética es una sucesión en la que, al restar dos términos consecutivos, se obtiene siempre un mismo número, llamado diferencia, d. En los ejemplos anteriores las diferencias son: a) d = 2 b) d = 3 c) d = – 4 d) d = 20
2.2. Término general de una progresión aritmética La diferencia entre dos términos consecutivos en toda progresión aritmética es constante, e igual a la diferencia de la progresión, d. Así: a2 - a1 = d, a3 - a2 = d,........ Despejando en a2 - a1 = d, tenemos que a2 = a1 + d (I) Despejando en a3 - a2 = d, tenemos que a3 = a2 + d (II) Sustituyendo (I) en (II): a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d Razonando de la misma forma: a4 = a1 + 3d En general: an = a1 + (n –1) · d La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n –1) · d Donde an es el término general, a1 es el primer término, n es el lugar que ocupa y d es la diferencia.
4
Procedimiento
Ejemplo
Obtención del término general de una progresión aritmética.
Escribir el término general de la progresión -3, 1, 5, 9, ........
Identificamos el primer término a1.
El primer término es a1 = -3
Determinamos el número que se ha sumado para pasar de un término al siguiente. Este número es la diferencia, d, de la progresión.
Para hallar la diferencia, restamos dos términos consecutivos cualesquiera: 1- (-3) = 4 5–1=4 9–5=4 Por lo tanto, d = 4.
Sustituimos a1 y d en la fórmula an = a1 + (n –1) · d
Sustituimos a1 = -3 y d = 4 en an: an = - 3 + (n – 1) · 4
Efectuamos las operaciones y simplificamos.
an = - 3 + 4n – 4 an = - 7 + 4n
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3. Sucesiones
Ejemplo resuelto La escalera de un edificio de siete pisos tiene todos los peldaños iguales. Se sabe que entre dos pisos consecutivos hay 19 peldaños y cuando se suben dos pisos se asciende una altura de 532 cm: a) Escribir las dos sucesiones de 7 términos que están implícitas en este enunciado y obtener su término general. Observa las siguientes relaciones; ambas son progresiones aritméticas. – Número de piso y número de peldaños: Piso 1º 2º Nº de peldaños (desde el piso 0) 19 38
3º 57
4º 76
5º 95
6º 7º 114 133
Los números {19, 38, 57, 76, 95, 114, 133} son los 7 primeros términos de una progresión aritmética con a1 = 19 y d = 19. El término general es: an = a1 + (n – 1) d = 19 + (n – 1) · 19 = 19 + (n – 1) · 19 = 19 + 19n – 19 = 19n. Es decir: an = 19n para 0< n < 8 – Número de piso y altura: Piso 1º 2º Altura (cm) 266 532
3º 798
4º 1064
5º 1330
6º 1596
7º 1862
Los números {266, 532, 798, 1064, 1330, 1596, 1862} son los 7 primeros términos de una progresión aritmética con a1 = 266 y d = 266. Procediendo de forma análoga, tenemos que: an = 266n para 0 < n < 8, que es el término general de la progresión aritmética que relaciona el número de piso y su altura. b) ¿Qué altura tiene cada peldaño?¿A qué altura se encuentra el piso 7º?¿Cuántos peldaños hay en total? Entre dos pisos hay 19 · 2 = 38 peldaños, que corresponde a una altura de 532 cm. Por tanto, cada peldaño tiene una altura de de un piso es
532 2
532 = 14 cm. La altura 38
= 266 cm = 2,66 m. El número total de peldaños es
19 · 7 = 133
11 El primer término de una progresión aritmética es 12 y la diferencia es 5. Escribe sus diez primeros términos. 12 De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones aritméticas y determina la diferencia:
a) 1, 2, 3, 4, 5, ........
b) 2, 4, 8, 16, 32, ........
c) – 23, – 20, – 17, – 14, – 11, ........
d) 2, 1, 2, 1, 2, ........
13 Escribe los ocho primeros términos de una progresión aritmética en la que el 2º término es 8 y la diferencia
es –2. 14 Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
a) – 4, 0, 4, 8, 12,........ b) 0, 5, 10, 15, 20,........ c) 10, 20, 30, 40,........ d) 8, 11, 14, 17, 21,........ 5
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2.3. Progresiones aritméticas crecientes y decrecientes Si los términos de una progresión aritmética son cada vez mayores, a medida que se avanza en la progresión, la progresión es creciente; si los términos son cada vez menores, es decreciente. Por ejemplo, la progresión -2, 4, 10, 16, ........ es creciente, mientras que la progresión 4, 1, -2, -5, -8,........es decreciente. Observa que, cuando una progresión aritmética es decreciente, su diferencia es un número negativo. Por ejemplo, en 4, 1, -2, -5, -8,........la diferencia es -3, y el término general es: an = 4 + (n – 1) · (-3) = 4 – 3n + 3 = 7 – 3n. La diferencia de una progresión aritmética también puede ser un número fraccionario. Ejemplo resuelto En una progresión aritmética a1 = 2 y a11 = 0. Calcular la diferencia y el término general y escribir los doce primeros términos. Para calcular la diferencia, sustituimos los valores de a1 y a11 en la fórmula a11 = a1 + 10 · d : 1 0 = 2 + 10 · d ; d = - ; 5 Sustituyendo el valor de d en la expresión an = a1 + (n – 1) · d , calculamos el término general: 1 an = a1 + (n – 1) · d = 2 + (n – 1) · (- ) = (11 – n) / 5 5 Los doce primeros términos de la sucesión son: 9 8 7 6 4 3 2 1 1 2 2, , , , , 1, , , , , 0, − , ,... 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
15 En una progresión aritmética a1 = 4 y a5 = 28. Calcula la diferencia. 16 En una progresión aritmética a1 = 5 y a3 = 10. Calcula d y an. 17 Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y el mayor mide 70º. ¿Cuánto miden los otros?
FALTA DIBUJO
18 De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones aritméticas y determina luego la diferencia y
el término general: a) 1, 2, 3, 4, ........ b) 2, 4, 6, 8, ........ c) 1, 4, 9, 16, ........ d) – 25, – 30, – 35, – 40, ........ e) 5, 13, 5, 13, 5, ........ f) 3, 7/2, 4, 9/2, ........ 19 Calcula el término a12 y el término general, an, de las siguientes progresiones aritméticas:
a) 15, 11, 7, ........
b) 1, 10, 19, .......
f) 2; 0,5; -2; -3,5, ........ 6
c) -10, -5, 0, ........
d) 1,5; 1,8; 2,1;........ e) 3,
10 11 13 , , 4, ,... : 3 3 3
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2.4. Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética Imagina que queremos sumar los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 2, 4, 6, 8, .....: En primer lugar calculamos el término a20: Sustituyendo los valores de a1 = 2 y d = 2 en la fórmula a20 = a1 + 19d, obtenemos a20 = 2 + 19 · 2 = 40 Los términos que debemos sumar son:
FALTA DIBUJO
Observa que la suma de los términos primero y último es igual a la de los términos segundo y penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, etc. Es decir, 2 + 40 = 4 + 38 = 6 + 36 = ........ = 42 Por tanto, para calcular la suma de los 20 primeros términos, basta con hacer la suma una sola vez, sumando el primer y el último término, y multiplicando este resultado por el número de veces que aparece la suma, que en este caso es 10. Es decir: (2 + 40) · 20 (2 + 40) · 10 = 420 2
S20 = 2 + 4 + 6 + ............. + 36 + 38 + 40 =
La suma de la n primeros términos de una progresión aritmética viene dada por la fórmula: Sn =
a1 + an ·n 2
Procedimiento
Ejemplo
Cálculo de los primeros términos de una progresión aritmética.
Hallar la suma de los 40 primeros términos de la progresión aritmética 3, 7, 11, 15,......
Identificamos a1 y d:
a1 = 3, d = 4
Se calcula a40 utilizando la fórmula del término general:
a40 = 3 + (40 – 1) · 4 = 159.
Se aplica la fórmula de la suma: Y así sucesivamente.
S40 =
3 + 159 · 40 = 3 240 2
20 Calcula la suma de los 100 primeros números pares. 21 Calcula la suma de todos los números pares de dos cifras 22 Halla la suma de los 111 primeros términos de la progresión aritmética: 3, 5, 8, 11, 14, .....
7
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3 Progresiones geométricas 3.1. Progresión geométrica Dada la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, ........, si calculamos el cociente entre cada uno de los términos y su anterior obtenemos siempre el mismo resultado: 6 18 54 = = = ........ = 3 2 6 18 Se dice que esta sucesión es una progresión geométrica de razón 3. Una progresión geométrica es una secuencia de números reales a1, a2, a3, ........, an, de forma que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija llamada razón de la progresión, r. Ejemplo resuelto Escribir los cinco primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 100 y cuya razón es 0,2. a1 = 100, a2 = 100 · 0,2 = 20, a3 = 100· 0,22 = 4, a4 = 100 · 0,23 = 0,8, a5 = = 100 · 0,24 = 0,16
3.2. Término general de una progresión geométrica En toda progresión geométrica se tiene: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r2 a4 = a3 · r = a1 · r2 · r = a1 · r3 En general,: an = a1 · rn – 1: La fórmula para calcular el término general de una progresión geométrica es: an = a1 · rn – 1 Donde an es el término general, a1 es el primer término, n es el lugar que ocupa y r es la razón. Procedimiento Obtención del término general de una progresión geométrica.
Escribir el término general de la progresión 1, 3, 9, 27 ........
Se identifica el primer término a1.
El primer término es a1 = 1
Se determina el número por el que se ha multiplicado para pasar de un término al siguiente. Este número es la razón, r, de la progresión.
Para hallar la razón, dividimos dos términos consecutivos cualesquiera: 3:1=3 9:3=3 27 : 9 = 3 Por lo tanto, r = 3.
Se sustituye a1 y r en la fórmula an = a1 · rn – 1
Sustituimos a1 = 1 y r = 3 en an: an = 1 · 3n-1
Efectuamos las operaciones y simplificamos. 8
Ejemplo
an = 3n-1
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3.3. Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica Supón que queremos calcular la siguiente suma: 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + + 27 + 28 + 29 + 210
Invención del ajedrez ???????La invención del ajedrez. CUADRO DE LA PÁGINA 47 DEL LIBRO ESFERA – 3º ESO
Al tratarse de la suma de los términos de una progresión geométrica, existe una forma simplificada de efectuarla. La veremos a continuación. Queremos efectuar la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + a3 + ........ + an-2 + an-1 + an Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad anterior por r:
Observa que… Las progresiones geométricas con razón menor que 1 decrecen muy rápidamente.
Sn r = a1 r + a2 r + a3 r + ........ + an-2 r + an-1 r + an r Restando las dos últimas expresiones y simplificando, queda: r · Sn = a2 + a3 + a4 + ........
........
+ an-1 + an + an+1
– Sn = a1 + a2 + a3 + ........
........
+ an-2 + an-1 + an
r · Sn – Sn = an+1 – a1 = a1 · rn – a1 = a1 · (rn – 1) Sn · (r – 1) = a1 · (rn – 1), de donde: Sn =
a1 · ( r n – 1) r –1
Aplicando esta fórmula a la suma 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210: [fracción] S10 = 2 · (210 – 1) / 2 – 1 = 2046
23 El primer término de una progresión geométrica es 2 y la razón es 5. Escribe sus seis primeros términos. 24 De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones geométricas y determina la razón:
a) 1, 2, 4, 8, ........ c) – 3, – 60, – 120, – 2400, ,........
b) 2, -8, 32, -128........ d) 2, 1, 2, 1, 2,........
25 Halla el término general de las siguientes progresiones geométricas:
a) 4, 16, 64, 256,........
b) 1, 5, 25, 125,........
c) 10, 100, 1000, 10000,........
d) 8, 24, 72, 216, ........
26 Calcula las siguientes sumas siguiendo el procedimiento anterior:
a) 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 b) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 27 La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primer
y séptimo términos. 28 Calcula la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero sabiendo que están en progresión geométrica
y que el ángulo segundo es nueve veces menor que el mayor. 9
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3. Sucesiones
3.4. Progresiones geométricas crecientes, decrecientes y oscilantes Observa que… En una progresión geométrica con IrI > 1, la suma de todos los términos es infinita. Por ejemplo, la suma 1 + 3 + 9 + 27 +........ es una suma infinita.
Una progresión geométrica es creciente si su razón es mayor que 1; es decreciente si su razón es positiva y menor que 1, y es oscilante si su razón es negativa. Ejemplos: La progresión 2, 4, 8, 16, ........ es creciente, con r = 2; La progresión 4, 2, 1, 1/2, 1/4,........es decreciente, con r = ? La progresión 3, -6, 12, -24, ........ es oscilante, con r = -2
3.5. Suma de todos los términos de una progresión geométrica decreciente Observa la sucesión: 1 , 1 , 1 , 1 , ........ 2 4 8 16 Te habrás dado cuenta de que se trata de una progresión geométrica de 1 razón . Los términos de esta progresión decrecen aproximándose a cero. 2 1 1 1 1 1 1 16 8 4 2 32 En estas sucesiones decrecientes, con 0 < r < 1 y en las que por tanto an · r es menor que a1, la fórmula de la suma se puede expresar del siguiente modo: Sn =
an · r – a1 a1 – an · r = r –1 1– r
Cuando n es muy grande (se indica, para n? ∞), an · r se aproxima a cero, y puede eliminarse este término. Por lo tanto: La fórmula de la suma de todos los términos de una progresión geométrica de razón -1 < r < 1 es: S∞ =
29 Suma todos los términos de la progresión
a1 1– r
1 1 1 1 , , , , ........ 3 9 27 81
30 Calcula la suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que a1 = 4 y r = 0,2 31 ¿Cuánto sumarán todos los términos de la sucesión: 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ........ ?
2 4 8 16
32 Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sean de ninguno de estos dos tipos. Cal-
cula el término general de cada una: a) 1 , 1, 3 , 4, 5 , ....... 2 2 2 b) 2, 0, 2, 0, 2, 0, ......
d)
c) 2, 5, 10, 17, 26, ......
f) 5, 8, 11, 14, 17, ......
10
3 , 5 , 7 , 9 , 11, .......
e) 1, 10, 100, 1000, 10000, ......
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3. Sucesiones
3.6. Producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica Imagina que queremos calcular el producto de los seis primeros términos, P6, de la progresión 2, 4, 8, 16, 32, 64,........ P6 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 Invirtiendo el orden de los factores, resulta: P6 = 64 · 32 · 16 · 8 · 4 · 2
P6 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 P6 = 64 · 32 · 16 · 8 · 4 · 2
Multiplicando las dos expresiones: P6 · P6 = (2 · 64) · (4 · 32) · (8 ·16) · (16 · 8) · · (32 · 4) · (64 · 2) Por lo que P62 = (2 ·64) 6 Haciendo la raíz cuadrada, P6 = ( 2 · 64 )6
La fórmula general del producto de los n términos consecutivos de una progresión geométrica es:
Observa que… La fórmula del interés compuesto es un caso particular del término general de una progresión geométrica de razón
r =1 +
i 100
Donde a1 es el capital inicial en el instante inicial (t = 0); a2 es el capital más los intereses del primer año; a3 el capital más los intereses del segundo año, y así sucesivamente
Pn = ( a1 · an )n
3.7 Interés compuesto y progresiones geométricas Una cantidad de dinero, C, puesta a un interés del i % durante t años se transforma en t i ⎞ ⎛ C1 = C0 · ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ Si sustituimos en esta expresión el valor de t por 0, 1, 2, 3,........ obtenemos una progresión geométrica de razón 1+
i 100
Ejemplo resuelto Ingresamos en un banco 2000 €, al 4% anual, al comienzo del año 2000. Hallar el capital disponible al final de cada año, durante los 7 años siguientes, suponiendo que no sacamos ningún dinero. Es una progresión geométrica de razón 1 + 4/100 = 1,04. El capital disponible en cada año es: Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Capital 2080 € 2163,2 € 2249,73 € 2339,72 € 2530,64 € 2737,14 € 2960,49 €
33 Halla el producto de los 10 primeros términos de la progresión 1, 4, 16, 64,........ 34 Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con primer término 6 y razón ?. 35 La suma de de los infinitos términos de una progresión geométrica es 8 y el primer término es 4. Calcula la
razón. 36 ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si colocamos 6000 € a un interés compuesto del 12%? 37 ¿Qué intereses producen 12000 €, en 4 años, al 8% de interés compuesto?
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3. Sucesiones
4 Sucesiones recurrentes Hay sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de términos anteriores. Se llaman sucesiones recurrentes. En la mayoría de los casos no es posible calcular su término general. Ejemplos: 1. En la sucesión 1, 2, 5, 9, 14, ........ se tiene: an = an – 1 + n, es decir, cada término es igual a la suma del término anterior más el lugar que ocupa en la sucesión. 2. El número de caminos distintos, sin retroceder, que hay desde cada uno de los puntos numerados hasta el punto 0 en el dibujo del margen es igual a la suma del número de caminos desde los dos vértices anteriores. FALTA DIBUJO
Número de caminos desde el vértice 1, C1 = 1 Número de caminos desde el vértice 2, C2 = 2 Continuando: C3 = 1 + 2 = 3; C4 = 2 + 3 = 5; C5 = 3 + 5 = 8; C6 = 5 + 8 = 13........ En general: Cn = Cn – 1 + Cn – 2 Los números que aparecen en esta secuencia son: 1, 2, 3, 5, 8, 13,........ Comprueba que al calcular la diferencia entre dos términos consecutivos vuelve a aparecer la propia sucesión. Esto indica que es imposible determinar su término general, al no hacerse las diferencias constantes. Sin embargo, en algunos casos es posible averiguar el término general de una sucesión recurrente. Ejemplo resuelto Calcular el término general de la sucesión 1, 2, 5, 14, 41, ........, en la que cada término se obtiene multiplicando por 4 el término anterior y restándole el triple del que está detrás de este: a1 = 1 a2 = 1 + 3 0 a3 = 1 + 30 + 31 a4 = 1 + 30 + 31 + 32 a5 = 1 + 30 + 31 + 32 + 33 ........
an = 1 + 30 + 31 + 32 + ........ + 3n -2
suma de los n – 1 primeros de la progresión geométrica 1, 3, 9, 27
Aplicando la fórmula de la suma de los n – 1 primeros términos de una progresión geométrica, 1 · ( 3n−1 − 1) Sn - 1 = a1( rn - 1 – 1)/r – 1, para a1 = 1 y r = Sn–1 = 3: 2 ( 3n−1 − 1) (1 + 3n−1 ) = Por tanto, an = 1 + 2 2
35 ¿Por qué la expresión [an = an – 1 + n] no es un término general? 36 En las siguientes sucesiones, calcula el término siguiente y descubre la ley de recurrencia.
a) 1, 3, 2, 2,5, 2,25, ........ b) 2, -2, 4, -6, 10, -16, ........ 37 Razona por qué son recurrentes las sucesiones del ejercicio anterior. 3812Calcula el término general de las sucesiones: a) 3, 5, 9, 17, 33,........
b) 2, 6, 14, 30, 62, 126,........
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3. Sucesiones
RESUMEN SUCESIONES Sucesión numérica. Es una secuencia de números que siguen una pauta.
Ejemplo: 7, 17, 27, 37, ........
Término general de una sucesión. Es una expresión matemática que nos da el valor de cualquier término de la misma en función del lugar que ocupa, n. Se representa por an.
En la sucesión anterior sería an = 10n – 3.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS Progresión aritmética. Es una sucesión en la que, al restar dos términos consecutivos, se obtiene siempre un mismo número, d, llamado diferencia.
Ejemplo: 5, 8, 11, 14, 17, ........ d=3
Término general: an = a1 + (n –1) · d
an = 5 + (n – 1) · 3 = 5 + 3n – 3 = 3n + 2 El término 100 es: a100 = 302
Suma de los n primeros términos
Suma de los 100 primeros términos:
Sn =
a1 + an ·n 2
S100 =
a1 + a100 5 + 302 ·n · 100 = 15 350 2 2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Progresión geométrica. Es una es una secuencia de números reales de forma que cada término se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón.
Ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, ........ r=2
Término general: an = a1 · rn – 1
an = 2n - 1
Suma de los n primeros términos
La suma de los 20 primeros términos es:
Sn =
a1 · ( r n – 1) r –1
S20 =
Suma de todos los términos con -1 < r < 1
1 1 1 Ejemplo: 1, , , , ........ 2 2 2 1 Sn = =2 1 1 2
a S∞ = 1 1– r
Producto de n términos consecutivos Pn = ( a1· an )
a1 · ( 220 – 1) = 220 – 1 = 1048575 2–1
P5 = (1 ·
n
1 5 1 ) = 16 1024
SUCESIONES RECURRENTES Sucesión recurrente. Son sucesiones en las que sus términos se obtienen a partir de términos anteriores.
Ejemplo: 4, -4, 0, -4, -4, -8, -12,........ donde a1 = 4, a2 = -4 y an = an-2 + an-1 para n > 2.
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3. Sucesiones
Niveles de dificultad:
1
sencillo
medio
ACTIVIDADES
alto
a) El primer término
SUCESIONES
39
b) La diferencia.
Escribe los 5 primeros términos de las sucesiones que tienen por término general:
49
Calcula la distancia que recorre un jardinero que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles situados al lado de un camino, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 40 m.
50
Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y el mediano mide 60º. ¿Cuánto miden los otros?
51
Los ángulos de un pentágono están en progresión aritmética y el menor mide 98º. ¿Cuánto miden los otros?
52
En la siguiente figura los números de cada octógono deben estar en progresión aritmética. Completa los números que faltan teniendo en cuenta los datos que se dan en cada caso y que el número central es la suma de todos ellos.
a) an = 2 + 3(n – 2) b) an = n2 – 1 c) an = an = n(n+1) d) an = (1/2)n e) an = (1/2)n – 1 f) an = (n + 1)2
40
Halla el término general de las sucesiones:
a) 1, -1, 1, -1,........ b) -1, 2, -3, 4, -5,........
2
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
41
Escribe los seis primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que el primer término es 8 y la diferencia, 5.
42
Escribe el término general de una progresión aritmética en la que a1 = 8 y a6 = 23.
43
Comprueba que 4, 13, 22, 31,........ es una progresión aritmética y calcula a20.
44
En una progresión aritmética la diferencia es 5 y el primer término es 11. Calcula a100 y la suma de los 100 primeros términos.
45
¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solo en las horas?
Calcula 7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 + 448 + 896 + 1792
46
En una progresión aritmética a1 = 200 y a5 = 0. Calcula:
a) La diferencia b) El término a10 c) La suma de los diez primeros términos
47
48
14
Miriam gastó 120 € el primer día del mes, y 10 € menos cada uno de los días siguientes. Se quedó sin dinero el día 13. ¿Cuánto dinero tenía a principio del mes? El último término de una progresión aritmética de 100 términos es 199, y la suma de todos ellos es 10000. Calcula:
FALTA DIBUJO
3
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
53
Calcula la suma de los diez primeros términos de una progresión geométrica que cumple las condiciones:
El primer término es a1 = 13,25 La razón es 1,5
54
Efectúa la suma de los 20 primeros números múltiplos de 4.
55
Calcula 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640
56
Una rana da saltos en línea recta hacia delante, saltando cada vez los 3/4 del salto anterior.
a) Calcula cuántos saltos tiene que dar para cruzar un camino de 6 metros si su primer salto es de 2 metros. b) ¿A qué distancia quedará del límite del camino? Expresa el resultado con 3 cifras decimales.
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Es casi seguro que conoces la leyenda del inventor del ajedrez, que pidió al rey un grano de trigo por
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente hasta la última casilla. ¿Cuántos granos pidió en total?
FALTA DIBUJO
A CTIVIDADES DE SÍNTESIS 69
a)
Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sean de ninguno de estos dos tipos. Calcula el término general de cada una: 3 5 3 7 , 1, , , , ........ 4 4 2 4
b) 2, 2, 2, 2, 2,........
58
59 60
61
c) 1, 4, 9, 16, 25,........ Calcula la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de primer término 16 y razón 3/4.
d) 2 , 4, 8 , 16,
Calcula la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica 9, 3, 1, 1/3,........
f) 7, 12, 17, 22, 27........
Ingresamos 5000 € en un banco, al 3% anual, al comienzo del año 2007. Calcula el capital disponible al final de cada año, durante los seis años siguientes.
e) 2 , 4,
70
32, ........
6 , 8, 10, ........
Realiza las siguientes sumas y después deduce la fórmula general que se indica:
a) 1 + 3 b) 1 + 3 + 5
Guillermo ingresa 6000 € al comienzo de cada año al 3,5% anual. ¿Cuál será su capital al final del décimo año?
c) 1 + 3 + 5 + 7
62
Calcula en cuánto se convertirá 1 euro al 5% de interés anual compuesto durante 20 años.
f) 1 + 3 + 5 + 7 + ........ + (2n – 1)
63
Calcula los ángulos de un hexágono sabiendo que están en progresión geométrica de razón 2.
d) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 e) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
g) Aplica el resultado obtenido en el apartado anterior para hallar la suma de los 500 primeros números impares.
71 4
SUCESIONES RECURRENTES
64
Escribe los doce primeros términos de una sucesión recurrente con estos datos:
a1 = 4, a2 = 9, an = an - 1 + an - 2
65
a) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir una torre de 7 pisos? b) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir una torre de n pisos?
Escribe los doce primeros términos de una sucesión recurrente con estos datos:
a1 = - 3, a2 = 3, an = an - 1 + an - 2
66
Para construir la torre de la figura, de 4 pisos, se necesitan 20 cubos.
FALTA DIBUJO
Escribe los doce primeros términos de una sucesión recurrente con estos datos:
a1 = 1, a2 = 5, an = an - 1 – an - 2
67 68
Escribe los siete primeros términos de una sucesión en la que an = an - 1 – an – 2, a7 = 1 y a5 = -5. ¿Por qué es imposible calcular el término general de la sucesión 1, 2, 3, 5, 8, 13,........?
Números poligonales Los números poligonales son los que se generan mediante un polígono: números triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.
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3. Sucesiones
AC T I V I D A D E S Números triangulares En la figura aparecen los cuatro primeros números triangulares, llamados así porque con el número de puntos que los forman se pueden formar triángulos equiláteros.
lo en el que una de sus dimensiones (base o altura) es una unidad mayor que la otra.
FALTA DIBUJO
FALTA DIBUJO T1
T2
T3
T4
a) ¿Cuál es el quinto número triangular? b) Escribe los diez primeros términos de la sucesión formada por los números triangulares. c) Encuentra la expresión general del número de puntos que hay que añadir para pasar del triángulo Tn al triángulo Tn + 1. d) Encuentra una expresión general que indique el número de puntos, tn , del triángulo Tn .
R1
R2
R3
R4
a) Escribe los diez primeros números rectangulares. b) Encuentra la expresión general que relaciona a dos números rectangulares consecutivos, rn y r n + 1. Números pentagonales En la figura se muestran los cinco primeros números pentagonales, p1 = 1; p2 = 5; p3 = 12; p4 = 22; p5 = 35, donde el número pi indica el número de puntos del pentágono Pi:
FALTA DIBUJO
Números cuadrados A continuación están representados los 4 primeros números cuadrados. 1
5
12
22
4
7
10
13
35
FALTA DIBUJO C1
C2
C3
C4
Observa que: a) ¿Cuál es el quinto número cuadrado? ¿Y el vigésimo?
p1 = 1
b) Escribe los diez primeros términos de la sucesión formada por los números cuadrados.
p2 = 1 + 4
c) Encuentra la expresión general del número de puntos que hay que añadir para pasar del cuadrado Cn al triángulo Cn + 1.
p4 = 1 + 4 + 7 + 10
d) Encuentra una expresión general que indique el número de puntos, cn , del triángulo Cn .
72
En el gráfico se muestra cómo obtener con fichas un número cuadrado a partir del anterior. Si tenemos un cuadrado de (n x n) fichas, ¿cuántas fichas hay que añadir para obtener el cuadrado siguiente?
FALTA DIBUJO
p3 = 1 + 4 + 7 p5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 a) Completa: El término p5 es la suma de 5 números que están en progresión ___________ de razón ____. b) Completa: El término pn es la suma de ___ números que están en progresión ____________ de razón 3. c) Completa los términos que faltan: p10 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ___ + ___ + ___ + ___ + ___ d) Calcula la expresión general del último sumando del término pn. e) Calcula el número de puntos que tendrá el pentágono P10.
73 Números rectangulares Los números rectangulares están formados por una cantidad de puntos que permiten formar un rectángu-
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En el cuadrado C3 del gráfico puedes observar que la línea que aparece permite expresar los 9 puntos como la suma de dos números triangulares consecutivos: c3 = t2 + t3.
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AC T I V I D A D E S a) Dibuja los cuadrados C4 y C5 y traza una línea que los divida de forma análoga.
77
b) Demuestra la siguiente propiedad: cn = tn + 1 + tn FALTA DIBUJO
74
A continuación aparecen los seis primeros números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales.
La figura muestra cuatro rectángulos, cada uno formado por la unión de dos cuadrados. El rectángulo A está formado por dos cuadrados de lado a, el rectángulo B está formado por dos cuadrados de lado b siendo b = a/2, y así sucesivamente; es decir, la altura de cada rectángulo es la mitad de la altura del rectángulo anterior.
a) Escribe, en función de a, la sucesión de 4 términos que exprese el perímetro de los rectángulos. b) Escribe, en función de a, la sucesión de 4 términos que exprese el área de los rectángulos. c) Calcula la altura, el perímetro y el área de la figura en función de a. d) Si se continúa el proceso indefinidamente hacia arriba, calcula la altura y la superficie de la figura.
FALTA DIBUJO
FALTA DIBUJO
a) Completa los números que faltan en los cuadros. b) Comprueba que se cumple: b1) c5= t5 + t4
b2) p5= c5 + t4
b3) h5= p5 + t4
c6 = t6 +t5
p6 = c6 +t5
h6 = p6 +t4
c) Observando las igualdades anteriores, completa las siguientes expresiones generales: c1) cn= ___ + ___ c2) pn= ___ + ___ c1) hn= ___ + ___
75
Escribe los diez primeros términos de la sucesión formada por los números hexagonales y calcula el término general.
78
Dibuja un triángulo equilátero de 10 cm de lado y une los puntos medios de sus lados. Obtendrás cuatro triángulos.
a) ¿Cuánto miden sus lados? ¿Y sus áreas? Repite el proceso anterior uniendo los puntos medios de los tres triángulos y calcula: b) El número de triángulos obtenidos. c) Las longitudes de sus lados y sus áreas. Si el proceso se repite sucesivamente, calcula los diez primeros términos de la sucesión formada por:
FALTA DIBUJO
d) El número de triángulos obtenidos e) El valor de los lados de los triángulos f) El valor de las áreas
76
El siguiente problema aparece en el papiro de Rhind (2000 a.C.): Entre cinco personas se reparten cien medidas de trigo de forma que la quinta persona recibe más que la cuarta tanto como la cuarta más que la tercera, que la tercera más que la segunda y que la segunda más que la primera. Entre las dos primeras recibieron siete veces menos que entre las tres restantes. Calcula cuánto recibió cada persona.
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ENTORNO MATEMÁTICO
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TECNOLOGÍ@S
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E VA LUAC I Ó N 1
El término a10 de la sucesión de término general es igual a: an =
( −1) +1 n
7
n
El producto de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 2, 4, 8,........ resulta:
a) 2048
a) 1,001
b) 255
b) 1,01
c) 25302
c) 2
d) 210
d) 0,9
2
La suma de los 30 primeros términos de una progresión aritmética en la que a1 = 6 y d = 4 es:
8
En una progresión geométrica el primer término es 12 y el cuarto, 96. ¿Cuál es la razón?
a) 1
a) 720
b) 2
b) 2160
c) 3
c) 2400
d) 4
d) 1920
9
3
Sumando los 10 primeros términos de una progre1 sión geométrica en la que a1 = y r = 2 resulta: 4 a) 255,75 b) 256 c) 750 d) 2750
4
El término a27 de la sucesión es igual a:
a) 26 b) 28 c) -28 d) 0
5
En una progresión geométrica ilimitada el segundo término es 3 y el tercero,1. Sus infinitos términos suman:
a) 27/2 b) 15 c) 12 d) 17/2
6
Sumando todos los términos de la progresión geo1 1 1 1 métrica , , , , ........ se obtiene: 5 10 20 40
a) 450 b) 0,75 c) 0,5 d) 0,4
22
Los ángulos de un pentágono están en progresión aritmética y el menor de ellos vale 20º. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?
a) 100º b) 196º c) 440º d) 120º
10
¿Cuánto dinero tendremos al cabo de dos años si colocamos a plazo fijo 2000 € al 7% anual?
a) 2289,8 € b) 3302,8 € c) 4505 € d) 4890 €
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