3. Taller De Teoria De Conjunto.docx

TEORIA DE CONJUNTOS Trabajo individual

JUAN CAMILO HOYOS ORREGO Docente en Formación

FREDY ENRIQUE MARIN IDARRAGA Asesor de Lógica Formal y Teoría de Conjuntos.

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE MANIZALES LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FISICA EDUCACIÓN A DISTANCIA MANIZALES (CALDAS) 2015

ACTIVIDADES A DESARROLLAR 1. Luego de realizar una lectura afondo del documento y las lecturas recomendadas elaborar un mapa conceptual con las definiciones planteadas (lo pueden hacer en cmaptools(http://cmaptools.softonic.com/?ex=SWH-1696.3), en power point, o en cualquier otra herramienta.

2. Proponer un ejemplo de: Unión, Intercesión diferencia y complemento y solucionarlo utilizando diagramas de Venn. DIAGRAMA DE VENN:

Extensión se da cuando se describe a cada uno de los elementos. U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. B= {3, 6, 9, 12, 15} Compresión se hace explicita la propiedad que define los elementos. U = {Números naturales del 1 al 15}. A = {Múltiplos de 2}. B = {Múltiplos de 3}. La unión es la colección que agrupa en un mismo conjunto a los elementos de ambos conjuntos. A  B= {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15}

La Intersección es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. A  B= {6, 12}

La diferencia son los elementos de A que no están en B y los elementos de B que no están en A: A - B= {2, 4, 8, 10, 14} B - A= {3, 9, 15} El complemento es lo que le hace falta a un conjunto para ser el conjunto universal. U- (AB)= {1, 5, 7, 11, 13}

3. Finalmente, el estudiante debe realizar una búsqueda en la web sobre que son las relaciones de orden y la estructura de los conjuntos. Hacer un resumen ejecutivo. RELACIÓN DE ORDEN En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto. DEFINICIÓN Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida en dice que es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

, entonces se

1. Reflexividad: Todo elemento de

está relacionado consigo mismo. Es

decir, . 2. Antisimetría: Si dos elementos de

se relacionan entre sí, entonces ellos son

iguales. Es decir, 3. Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, Una

relación

ordenado

de

orden

sobre

un

conjunto

puede

denotarse

con

el par

.

RELACIÓN DE ORDEN AMPLIO En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.2 La inclusión no es una relación de orden total.

RELACIÓN DE ORDEN TOTAL Sea un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir, . 

Ejemplo



Reflexivo:



Antisimétrico:

si

y

entonces



Transitivo:

si

y

entonces

es totalmente ordenado. En efecto, es: entonces

(porque por definición,

)



Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m.3 Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.

RELACIÓN DE ORDEN PARCIAL Sea un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de se relacionan entre sí, es decir, tal que 

.

Ejemplo. Sea el conjunto

Entonces

y el conjunto potencia de

, definido por:

es parcialmente ordenado, pues sean

pero Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

RELACIÓN DE ORDEN DENSA O BIEN ORDENADA Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z< y. 



Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos queq3:= (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2. Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio. Sin embargo, para cualquier real t existen los enteros k y k+1, tal que k ≤ t < k+1.5

ESTRUCTURA DE CONJUNTOS Existen varios tipos de conjuntos que se destacan por sus características especiales. Conocerlos te ayudará a comprender mejor la estructura y el mundo de los conjuntos. CONJUNTO UNIVERSAL Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los elementos que lo conforman. Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra U para representar el conjunto universal.

Si por ejemplo quieres definir B como el conjunto conformado por las vocales i y a, el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura de se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto B y su conjunto universal U. CONJUNTO VACÍO Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío. Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de la derecha. También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.

CONJUNTOS UNITARIOS El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento. No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.

CONJUNTOS FINITOS Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee. Un conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman. Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27 letras. En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos. Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos.

CONJUNTOS INFINITOS No es fácil encontrar en la naturaleza ejemplos de este tipo de conjuntos. Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen. El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión. Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del conjunto y los estaremos determinando a todos. Considera el conjunto de los números que terminan en tres, podríamos {x∣x es número y termina en tres}.

definirlo

así: Sea T=

También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por extensión. Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto T, definido en el párrafo anterior y conformado por los números que terminan en tres, se tiene T={3, 13, 23, 33, 43, 53, ...}. Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos los encontramos en los números. ¿Cuántos números pares hay? ¿Cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.

Nota: El trabajo lo deben elaborar en medio digital y los anexos se deben escanear y pegarlos al documento final el cual se debe desarrollar en formato pdf para ser subido a la plataforma.

BIBLIOGRAFIA MARÍN I (2015), Unidad Académica De Formación En Ciencias Básicas - Pensamiento Lógico Matemático; UNIVERSIDAD CATÓLICA DE MANIZALES (CALDASCOLOMBIA)

ZANELLA, S. (2015), Estructura de datos para conjuntos disjuntos.

REFERENCIAS DIGITALES

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20130911161214AAE4tHF http://www.monografias.com/trabajos57/logica-matematica/logicamatematica2.shtml#ixzz3qXYbZJNt http://www.monografias.com/trabajos57/logica-matematica/logica-matematica2.shtml https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica https://es.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B3teles https://es.wikipedia.org/wiki/Characteristica_universalis https://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz https://es.wikipedia.org/wiki/Premisa