3 Poligonos Y Areas.pdf

Universidad Marcelino Champagnat Carrera de educación y Psicología Pre Grado

Curso Matemática II

Unidad 4 4. Polígonos 4.1 Polígonos. 4.1.1 Definición, elementos y clasificación. 4.1 .2 Polígonos regulares. Propiedades. 4.1.3 Cuadriláteros. Definición. Clasificación. 4.1.4 Propiedades de los cuadriláteros convexos 5. Perímetro y áreas de regiones poligonales.

Profesores: José Cáceres Arribasplata. José Loayza Rubén Gálvez Surco 2018 Información tomada en base al texto: GEOMETRÍA BÁSICA – Teódulo Verástegui Ch. – 2003

Polígonos. Definición: Un polígono es la unión de un conjunto de segmentos coplanares cada uno de los cuales tiene por intersección, con otros dos segmentos, los puntos extremos. Observa las siguientes figuras y notar que solo las figuras tres satisfacen la definición:

Elementos Dado el polígono ABCDEF, como se observa en la figura de la derecha: Vértices: A, B, C, D , E, F Lados: AB; BC; CD; DE; EF y FA Ángulos interiores: ; ; ; ;  y : Ángulos externos: e1; e2; e3; e4; e5 y e6 Diagonales: AC; AD; AE; BD; BE; BF;CE; CF; DF

Diagonal media: MN Perímetro: AB + BC  CD  DE + EF + FA

Clasificación: Se distinguen:

1

De acuerdo al número de sus lados Los polígonos según su número de lados se denominan: 3 lados: Triángulo. 4 lados: Cuadrilátero. 5 lados: Pentágono. 6 lados: Hexágono. 7 lados: Heptágono 8 lados: Octágono 9 lados: Nonágono 10 lados: Decágono 11 lados: Endecágono 12 lados: Dodecágono 15 lados: Pentadecágono 20 lados: Icoságono Otros se mencionan según su número de lados. Así: polígono de 19 lados, polígono de 23 lados, etc. Propiedades: a) En todo polígono convexo, el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos interiores o exteriores. b) En todo polígono convexo, de “n” lados, con n  3, el número de diagonales trazadas desde un solo vértice es (n-3). c) En un polígono convexo de “n” lados, con n  3, la cantidad de diagonales es Dn 

n  n  3 2

.

d) En todo polígono de “n” lados, con n  3, la suma de las medidas de sus ángulos interiores es: Si  180  n  2 e) En un polígono convexo de “n” lados, con n  3, la suma de las medidas de sus ángulos exteriores (uno por vértice) suman 360.. f) En todo polígono regular de “n” lados, la medida de su ángulo central es: C 

360 n

g) En un polígono equiángulo de “n” lados, la medida de cada ángulo interior es: i 

180  n  2  n

y la medida de cada ángulo exterior es: e 

360 . n 2

Actividad 1 1.

Identifica los elementos del polígono ABCDEF, presentada en la siguiente figura, para ello completa las líneas: a) A; B; C; D; E y F: ________________ b) AB; BC; CD; DE; EF y FA : ____________ c) ; ; ; ;  y : __________________ d) e1; e2; e3; e4; e5 y e6: ___________________ e) AC; AD; AE; BD; BE; BF;CE; CF; DF : ____________________________________

2.

Dada la gráfica de la derecha con 8 figuras: a) Identifica que figuras polígonos, justifica respuesta:

son tu

b) De las figuras que son polígonos cuales son convexos, justifica tu respuesta

3.

En el gráfico de la derecha se observa al plano Q, el polígono ABCDEF, los puntos P, R y S; que se puedes afirmar, del: a) Punto P con respecto del polígono ABCDEF

b) Punto R con respecto del polígono ABCDEF

c) Punto S con respecto del polígono ABCDEF

3

4.

Identifica polígonos: equiángulos, equiláteros, regulares, en las siguientes figuras justificando tu respuesta: Figura 1: __________________ __________________________ __________________________ Figura 2: ____________________________ _________________________ _________________________ Figura 3: __________________ __________________________ __________________________ Figura 4: __________________ ___________________________

5.

Completa el siguiente cuadro: Número de Polígono Triángulo

Lados

Vértices

Ángulos internos

3

3

3

Polígono

Número de lados Ángulos Lados Vértices internos 12

4

13

5

14 6

15

Heptágono

Icoságono 8

25 9

30

Decágono

40 11

50

4

6.

Completa el siguiente cuadro: Polígono

7.

Gráfica el polígono y traza todas las diagonales desde un solo vértice

lados

Cuadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6

Decágono

10

40 lados

Sin gráfica

40

60 lados

Sin gráfica

60

n lados

Sin gráfica

n

Número de diagonales triángulos

2

3

Grafica un octógono convexo, traza las diagonales desde un solo vértice, ¿cuántos triángulos se han formado?. Como la suma de las medidas de los ángulos internos en un triángulo es 180°, calcula la suma de las medidas de los ángulos internos del octógono.

5

8.

Como el número de triángulos que se forman al trazar todas las diagonales de un mismo vértice de un polígono convexo de “n” es “ n – 2 “, determina una expresión para calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.

9.

Determina la suma de ángulos internos del polígono mostrado.

10. Determina el valor de  en de la figura:

11. Determina el valor de x en de la figura:

12. Determina el valor de x en de la figura

6

13. Completa los espacios, para que las proposiciones sean verdaderas: (a) En todo polígono, el número de lados es igual al número de _________ e igual al número de ___________ (b) Si AB es un lado de un polígono, entonces los puntos A y B se llaman: _____________ (c) Si AC; AD y AE

son todas las diagonales trazadas desde el vértice A, entonces el

polígono se llama: ______________. (d) Dado el polígono RSTQU, entonces, las diagonales trazadas desde el vértice R son: ________________________________. (e) Un polígono regular es a la vez ____________ y _____________. (f) El máximo número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de “n” lados, es igual a: ________________. (g) El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de “n” lados es: ___________________. (h) En un polígono convexo, al trazar todas las diagonales desde un solo vértice se forman: __________triángulos. (i) La suma de las medidas de los ángulos internos de todo polígono convexo, es igual a: _________________. (j) La suma de las medidas de los ángulos externos de todo polígono convexo es: ___________________. 14. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i) Desde un vértice de un nonágono se pueden trazar 9 diagonales. ii) En un octágono se pueden trazar 20 diagonales. iii) Un heptágono tiene 7 ángulos interiores. a) VVV

b) VFV

d) FVV

e) FFV

c) VVF

7

Actividad 2 1.

El número de diagonales de un polígono excede al número de lados en 25, determina el número de lados del polígono.

2.

¿En qué polígono el número de lados es igual al número de diagonales?

3.

Al prologar los lados no consecutivos de un hexágono equiángulo, que figura se forma

4.

Las medidas de cinco ángulos internos de un polígono regular es 700°, determina la suma de las medidas de sus ángulos internos.

5.

¿Cuántas diagonales tiene el endecágono?

8

6.

¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7 200°?

7.

¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18?

8.

Determina el número de lados de un polígono regular si al aumentar en dos su número de lados, la medida de su ángulo externo disminuye en 9°.

9.

Si el número de diagonales de un polígono convexo disminuye en 5, entonces resulta un nuevo polígono convexo donde la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 720°, determina el número de diagonales del polígono convexo inicial.

9

10. En un pentágono equilátero ABCDE: AB = BE, determina la relación entre los perímetros del cuadrilátero BCDE y el triángulo ABE.

11. ¿En qué polígono se cumple que al duplicar el número de lados la suma de las medidas de los ángulos internos se triplica?

12. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo, AB = 7, CD = 6, DE = 8, tal que BC / / EF Determina BF

13. La diferencia entre el número de diagonales de un cierto polígono regular el número de ángulos rectos, a que equivale la suma de los ángulos internos en 8. calcular la medida del ángulo externo

10

Cuadriláteros. Es todo polígono de cuatro lados, como se observa en las figuras:

Observación a) En todo cuadrilátero convexo, dos lados que no tienen extremo común se llaman lados opuestos del cuadrilátero, y cuando tienen un extremo común se llaman lados consecutivos o adyacentes del cuadrilátero. b) En todo cuadrilátero convexo, dos ángulos interiores que no tienen lado común se llaman ángulos opuestos, y cuando tienen un lado común se llaman ángulos consecutivos del cuadrilátero. Respecto a la observación anterior, completa en cada caso según corresponda: i) DA y BC son lados ________________________ ii) DA y AB son lados _______________________ iv) ABC y BCD son ángulos ___________________ v) D AB y BCD son ángulos ___________________

Definición. Dado un cuadrilátero con vértices los puntos A, B, C y D: i.

El cuadrilátero se llama trapecio si dos lados opuestos están contenidos en rectas paralelas; es decir, tiene dos lados opuestos paralelos. En la figura, los lados paralelos AD y BC son las bases del trapecio.

15

ii. El cuadrilátero se llama paralelogramo si los lados opuestos dos paralelos dos a dos.

En la figura, DA // BC y AB // CD .

iii. El cuadrilátero se llama rectángulo si P4 es un paralelogramo y tiene un ángulo interior recto.

En la figura, DA // BC , AB // CD y m  D AB   90

iv. El cuadrilátero se llama rombo si P4 es un paralelogramo y las longitudes de sus cuatro lados son iguales.

En la figura, DA // BC , AB // CD y AB = BC = CD = DA

v. El cuadrilátero, se llama cuadrado si es un rombo con En la figura, AD / / BC , AB // CD , AB = BC = CD = DA y m DAB  90

Dado un trapecio ABCD, cuyas bases paralelas AD y BC ; i. Si los otros lados AB y CD tienen longitudes iguales; es decir AB = CD, se dice que el trapecio ABCD es isósceles.

ii. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y CD , respectivamente, el segmento de recta MN se llama mediana del trapecio ABCD.

16

Clasificación de los cuadriláteros Trapezoide: Cuadrilátero donde no existe paralelismo entre sus lados opuestos.

Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos llamados bases.

Paralelogramo: Cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos y además congruentes.

Propiedades:

MN 

ab 2

PQ 

ba 2

17

Actividad 3 1. Determina el valor de x del gráfico

2. Determina el valor de: x + y del gráfico

3. En el trapecio ABCD: MN es mediana. Determina el valor de: MN  PQ

4. Determina el valor de: mB  mD , si el trapecio ABCD es isósceles BC // AD .

5. Determina el valor de x°

4u

4u x° 8u

18

6. Si ABCD es un paralelogramo, AC = 16 u , BD = 22 u, determina: OB + OC.

7. Si ABCD es un paralelogramo, determina "BR", si: AD = 10 u y CD = 8 u.

8. Si: AC = 8 u; EO = 3 u, determina: x° B

C O x°

A

D

E

9. Si las diagonales del rombo ABCD miden 14 u y 48 u respectivamente, determina el perímetro del rombo.

B

C

A

D

10. Calcular: AD, si ABCD es un romboide y EC=1 u y AB=3 u B

A

 

E

C

D

19

11. Si ABCD es un trapecio. CD = 6 y BC = 7. Determina la longitud de la base mayor. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

12. Si ABCD es un cuadrado BE = 2 y ED = 14. Determina el valor de "x". a) 60° b) 30° c) 37° d) 53°

13. En el cuadrado MNPQ de lado 2 y AB = 6. Determinar AM. a) 3 2 b) 4 2 c) 5 2 d) 6 2

14. En el gráfico ABCD es un rombo, AE = 6 cm y ED = 4 cm, BD  4 5 cm Calcular medida del ángulo BAE. a) 60° b) 30° c) 37° d) 53°

15. La diferencia de dos ángulos consecutivos de un romboide es 60°. Determina la medida del menor de ellos. a) 60° b) 30° c) 120° d) 150°

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Perímetro y área de regiones poligonales Regiones poligonales Se denomina región poligonal a la unión del polígono con su interior El perímetro, denotado como 2p, es la suma de las medidas de los lados Área de regiones cuadrangulares Para calcular el área “A” de una región cuadrangular se presentan las siguientes relaciones a) Cuadrado: Conociendo la longitud “a” de su lado:

A  a2

b) Rectángulo: Conociendo las longitudes “a” y “b” de sus lados: A  a  b

c) Paralelogramo: Conociendo las longitudes de su base “b” y su altura “h” A  b  h

d) Rombo: Conociendo las longitudes “a” y “b” de sus diagonales: A 

a b 2

e) Trapecio: Conociendo las longitudes de sus bases a y b y la de ab su altura “h”. A   h  2 

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Área de regiones triangulares Para calcular el área “A” de una región triangular se presentan las siguientes relaciones: a) Conociendo las longitudes de la base (b) y de su altura (h) respectiva

A

bh 2

b) En un triángulo rectangulo, si se conoce las longitudes “a” y “b” de los catetos

A

a b 2

c) Conociendo la longitud “a” del lado de un triángulo equilatero

A

a2 3 4

d) Conociendo las longitudes “a”, “b” y “c” de sus lados, donde p es el semiperimetro

A  p  p  a  p  b  p  c 

p

abc 2

Área del círculo 2 El área de un círculo de radio r es: Ac    r El área de un sector circular de radio r cuyo ángulo central está

  r 2 en grados sexagesimales es AS  360 30

Actividad 5 1. Determina el área de las siguientes regiones:

2. Determina el área de la región triangular rectangular, si un cateto mide 12 u y la hipotenusa 37 u.

3. La longitud de la hipotenusa y uno de sus catetos de un triángulo rectángulo miden 17 u y 15 u. Determina el área de su región.

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4. Determina el área de la región de un triángulo equilátero, si su perímetro es 18 u.

5. Si la diagonal de un cuadrado mide 5 2 , determina el área de su región.

6. En un triángulo ABC, el área de su región es 96 u2 y la longitud del lado AC = 16 u. Determina la longitud de la altura BH .

7. Determina el perímetro de un cuadrado, si el área de su región mide 225 u2.

8. Las bases de un trapecio miden 7 u y 12 u. Si su altura mide 10 u, determina el área de su región.

32

9. Determina el área de la región de un triángulo oblicuángulo ABC, si: su base BC mide 14u, el lado AB mide 10 u y el ángulo ABC mide 150°.

10.

El perímetro de un triángulo equilátero es 21 u. Determina el área de su región.

11.

Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2, ¿cuánto mide su hipotenusa?

12.

Determina la altura del triángulo, si el área de la región del triángulo es 24 u2.

13.

La base de un rectángulo mide el doble de su altura y su área de su región interior es 18 u2. Determina la longitud de su base del rectángulo.

33

14.

Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u y el área de su región interior del trapecio es 63 u2. Determina la altura del trapecio.

15.

Determina el área de la región sombreada, de la figura si: AB = BC = AC = m; D, E y F son puntos medios

16.

Determina el área de la región sombreada, de la figura si: AB = BC = CA = m, AM = BN = CP =

17.

2 m 3

Determina el área de la región sombreada, de la figura si: AB = BC = CA = m; D y H son puntos medios. DEFH es un cuadrado

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