3-peubah-acak-statdas-16-feb-09.pdf

4/16/2009

Pemetaan (Fungsi) Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi:

PEUBAH ACAK DAN  DISTRIBUSINYA MA 2081 Statistika Dasar Dosen : Udjianna S. Pasaribu Dosen : Udjianna S Pasaribu Utriweni Mukhaiyar

A

B • • • • •

• • • •

1. Fungsi titik

2. Fungsi himpunan A

B • • •

Senin, 16 Februari 2009 1

Peubah Acak

2

Contoh Percobaan pelemparan sebuah dadu

Peubah acak, yaitu  pemetaan                 . X :S → R

S= {

,

, ... ,

}

X

X= { 1 , 2 ,…, 6 }

x

Ruang Sampel S

Himpunan Bil.Riil

3

4

1

4/16/2009

Keuntungan Peubah Acak

Jenis Peubah Acak

Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. Dapat dipetakan. Lebih mudah dalam penulisan

Peubah Acak Diskrit himpunan terhitung { x1 , x2 ,...} , berhingga atau tak berhingga, dan {s : X ( s ) = x } ∈ E ⊂ S i

Peubah Acak Kontinu peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x)) merupakan fungsi kontinu untuk semua x є R

5

6

Fungsi peluang P(X = x) dan f(x) Contoh

Peubah Acak X

Mempunyai komputer

X = 1, jika mempunyai 1 komputer = 2, 2 jika mempunyai 2 komputer = 3, jika mempunyai 3 komputer

Jarak dari rumah ke kampus

X menyatakan jarak dari rumah ke kampus dalam km

Tipe

Diskrit → P(X = x),  Sering juga disebut sebagai fungsi massa  d b b f peluang (f.m.p).

Diskrit

Kontinu → f(x), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f (f.k.p). k p)

Kontinu

7

8

2

4/16/2009

X:S

R

Diskrit

Contoh Grafik Fungsi Peluang Kontinu

Kontinu

Diskrit

f(x)

1. P(X=x) ≥ 0 1 2. ∑ P ( X = x ) = 1 3. P(X=x) = f(x) 4. F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ f (t ) x

t≤ x

P(X=x)

1. f(x), 1 f(x) x∈R 2. ∞ f x dx = 1 ∫ ( ) −∞

0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

b

3. P(a<X≤b) =∫ f ( x ) dx a

x

4.F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ f ( t ) dt

1

−∞

2

3

4

x x

Contoh: X=banyaknya sukses dalam n percobaan X=banyaknya tikus yang ada per m2

Contoh: X= waktu menunggu di jalan tol X= berat badan siswa angkatan 2006

Jumlah peluang untuk semua titik = 1

Luas di bawah grafik = 1

9

10

Contoh 1.a

Fungsi Distribusi Fungsi distribusi F dari peubah acak X Fungsi distribusi F dari peubah acak X Sifat-sifat 1. F fungsi yang monoton tidak turun, F ( x) = 1 2. lim x →∞

3. lim F ( x) = 0 x→−∞

4. F kontinu dari kanan.  a.

lim F ( x ) = F ( a )

b.

x→a+

Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori, kategori sebut ’baik’ dan ’tidak’. Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {☺☺, ☺ , ☺, }, dimana ☺ = baik, = tidak. Selanjutnya j y jjika dimisalkan T=banyaknya y y mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: Fungsi massa peluang dari peubah acak T Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan

…

11

12

3

4/16/2009

Jawab

Ilustrasi Contoh P (T = t)

☺☺ ☺ ☺

T

2 0 1

a. Misal peubah acak T = banyaknya mahasiswa yang moodnya sedang baik, baik maka: T = {0, 1, 2} dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah:

¼ ½

⎧1/ 2, t = 1 ⎪ P(T = t ) = ⎨1/ 4, 4 t = 0, 02 ⎪0, t yang lain ⎩

Ruang Sampel

13

b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai  riil. Ambil t  t < 0 sebarang, maka F(t) 0 sebarang, maka F(t) = P(T P(T< t)  t) = 0 0 Ambil t = 0, maka F(0) = P(T ≤ 0) = P(T < 0) + P(T = 0) = P(T = 0), peluang di T<0 bernilai 0  = ¼ Ambil 0< t <1, maka F(t)  = P(T< t) = P(T < 0) + P(T = 0) + P(0 < T < t) =  0 + ¼ + 0  = ¼ 15

14

Ambil t = 1, maka

F(1) = P(T ≤ 1) = P(T ≤ 0) + P(0
Ambil t = 2, maka

F(2) = P(T≤ 2) = P(T ≤ 1) + P(1
16

4

4/16/2009

Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut : ⎧0, ⎪ ⎪1/ 4, F (t ) = ⎨ ⎪3 / 4, ⎪⎩1,

Contoh 2

t<0

0 ≤ t <1 1≤ t < 2 t≥2

Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik F(t) di bawah ini: 1 ¾ ½

Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botol coca cola antara -1/2 ml s/d 1/2 ml. Dianggap setiap pengisian oleh mesin tidak akan kurang dan tidak akan l bhd lebih dari ½ ml. l Jika k Y adalah d l h peubah b h acak k volume l isi coca cola yang kurang atau lebih. Tentukan : a. Peluang mesin melakukan kesalahan pada pengisian botol kurang dari ¼ ml dan lebih dari 1/5 ml. b. Peluang mesin melakukan kesalahan dalam pengisian botol lebih dari 0,2 ml. c. F(y) dan gambarkan.

¼ t 0

1

2

3

4 17

18

b.

Jawab :

P (Y > 0, 2 ) = 1 − P (Y ≤ 0, 2 ) 1⎞ ⎛ = 1− P ⎜Y ≤ ⎟ 5⎠ ⎝

Diketahui Y menyatakan volume kesalahan mesin mengisi botol coca cola (ml).

−1 ⎛ − 12 ⎞ 5 = 1 − ⎜ ∫ 0 dy + ∫ 1 dy ⎟ ⎜ −∞ ⎟ −1 2 ⎝ ⎠ 7⎞ 3 ⎛ = 1− ⎜ 0 + ⎟ = ⎝ 10 ⎠ 10

1 1 ⎧ 1− < y< ⎪ 1, f ( y) = ⎨ 2 2 ⎩⎪0, y yang lain

a.

1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ ⎛ P ⎜ − < Y < ⎟ = P ⎜Y < ⎟ − P ⎜Y ≤ − ⎟ 5⎠ 5⎠ 4⎠ ⎝ 4 ⎝ ⎝

c. F ( y ) = ∫ f ( y) dy y

−1 ⎛ − 12 ⎞ 4 −1/ 2 1/5 = ∫ 0 dy + ∫ 1 dy − ⎜ ∫ 0 dy + ∫ 1 dy ⎟ −∞ −1/ 2 ⎜ −∞ ⎟ −1 ⎝ 2 ⎠ 7 ⎛ 1⎞ = 0 + −⎜0 + ⎟ 10 ⎝ 4 ⎠

−1

=

2

∫

1 = y+ 2

40 19

F(y)

y

0 dy +

−∞

( 28 −10) = 18 = 40

Fungsi distribusi :

−∞

∫

−1

1 dy 1

2

y -½

½ 20

5

4/16/2009

Ekspektasi

ekspektasi g(x) didefinisikan sebagai: ⎧ ∑ g ( x) P( X = x), jika X peubah acak diskrit ⎪ x E[ g ( x)] = ⎨ semua ∞ ⎪ ∫ g ( x) f ( x) dx , jika X peubah acak kontinu ⎩ −∞

Ekspektasi dari X ⎧ ∑ xP( X = x), jika X peubah acak diskrit ⎪ x µ = E[ X ] = ⎨ semua ∞ ⎪ ∫ xf ( x) dx , jika X peubah acak kontinu ⎩ −∞ dimana : x P(X=x)

Jika g(x) = Xp, maka E[Xp] disebut momen ke-p, tetapi jika g(x) = (X-a)p disebut momen ke-p di sekitar a. a Umumnya diambil a =µ =E[X] atau rataan X (momen ke satu)

= nilai-nilai pada X = peluang untuk setiap nilai x

21

Variansi

22

Sifat Variansi

Jika diambil g(x) = (X-µ)2, maka E[(X-µ)2 ] disebut variansi variabel acak X

Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, maka Var(Y) = a2Var(X) Bila X suatu peubah acak dan g suatu fungsi bernilai riil, maka:

Var ( X ) = E[( X − µ ) 2 ] = E[ X 2 − 2 µE[ X ] + µ 2 ]

2 Var(g(x)) = E[( g ( x) − µ ) ]

= E[ X 2 ] − µ 2 = E[ X ] − ( E[ X ]) 2

2

=

23

⎧ ∑ ( g ( x) − µ)2 P( X = x), ) jik jika X peubah b h acakk diskrit di k it ⎪ semua x ⎨ ∞ ⎪∫ ( g ( x) − µ)2 f ( x) dx , jika X peubah acak kontinu ⎩ −∞

24

6

4/16/2009

Contoh 3

Jawab:

Misal X adalah kesalahan dalam pengukuran untuk suatu lemari kayu (dalam mm). Jika ditetapkan p fungsi g p peluang g sebagai g berikut: ⎧ ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩

a. b.

a.

Rataan dari X 2

E[ X ] = ∫ x

x2 , −1 < x < 2 3 0, x yang lain

−1

2

x dx 3 2

1 ⎛ x4 ⎞ = ⎜ ⎟ 3 ⎝ 4 ⎠ −1

Tentukan: Rataan dan variansi dari kesalahan pengukuran di atas. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan variansi dari Y ini.

Variansi dari X 2 ⎡⎛ 5⎞ ⎤ Var ( X ) = E ⎢⎜ X − ⎟ ⎥ 4 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝

1 (16 − 1) 12 5 = 4 =

25

b. E [Y ] = E [ 4 X + 3]

= 4E [ X ] + 3 2

= 4∫ x −1

2

x dx + 3 3

2 = E ⎡( 4 X − 5 ) ⎤ ⎣ ⎦ 2

2

4 ⎛ x2 ⎞ = ⎜ ⎟ +3=8 3 ⎝ 4 ⎠ −1

∫ ( 4 x − 5)

−1

=

2

2

26

Soal Latihan

2 Var (Y ) = E ⎡⎢( ( 4 X + 3) − 8 ) ⎤⎥ ⎣ ⎦

=

2

5 ⎞ x2 ⎛ = ∫⎜x− ⎟ dx 4⎠ 3 −1 ⎝ = 0.6375 0 6375

1.

Pada ujian psikotes, seorang mahasiswa mengerjakan g j 100 soal p pilihan g ganda dengan g asal menebak, jika peluang menjawab benar adalah 1/4 , tentukan rata-rata banyaknya soal yang dapat dijawab dengan benar? Jelaskan alasannya.

2 2.

Jika

x2 dx 3

51 5

⎧1/ 3 , x = 1, 2,3 P( X = x) = ⎨ , x yang lain ⎩0

maka nilai F(2,5) = ......

27

28

7

4/16/2009

3. Suatu uang logam diberi beban yang lebih berat sehingga kemungkinan muncul muka dua kali lebih besar dari pada belakang. Bila uang tersebut dilantunkan tiga kali. a. Tentukan distribusi peluangnya. b. Carilah distribusi kumulatif peubah acak X yang menyatakan banyaknya muka yang muncul dan gambarkan grafiknya c. Tentukan P(1 ≤ X < 3) dan P(X > 2)

29

8