3. Limites De Funciones.pdf

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C´alculo Infinitesimal Plan 2010

L´ımites de funciones Definici´ on: propiedades Definici´ on

l´ım f(x) = b ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − b| < 

x→a

Propiedades 1. El l´ımite de una funci´on si existe es u ´nico. 2. Si existe l´ım f(x) = b , la funci´on est´a localmente acotada. x→a

3. Si existe l´ım f(x) = b 6= 0 , la funci´on mantiene localmente el signo de b. x→a

Definiciones L´ımite lateral derecho l´ım f(x) = l ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < x − a < δ =⇒ |f(x) − l| < 

x→a+

L´ımite lateral izquierdo l´ım f(x) = m ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < a − x < δ =⇒ |f(x) − m| < 

x→a−

ω(x) es un Infinit´esimo en a cuando l´ım ω(x) = 0 ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ =⇒ |ω(x)| < 

x→a

Proposici´ on 1.- Existe

l´ım f(x) = b s´ı y s´olo s´ı existen los l´ımites laterales y coinciden con b.

x→a

l´ım f(x) = b = l´ım+ f(x) = l´ım− f(x)

x→a

x→a

x→a

Ejemplo f(x) =



x3 x ≤ 1 x x>1

l´ım f(x) =

x→1

  l´ım f(x) = l´ım x = 1    x→1  + + x→1   l´ım f(x) = l´ım x3 = 1   x→1−

x→1−

=⇒ l´ım f(x) = 1 x→1

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C´alculo Infinitesimal Plan 2010 x2 − x |x2 − 1|   2 x(x − 1) 1 x − x     = l´ım = l´ım     x→1+ |x2 − 1| x→1+ (x − 1)(x + 1)  2  =⇒ no existe el l´ımite l´ım f(x) = x→1   2   x − x −x(1 − x) 1    = l´ım =−   l´ım− 2  x→1 |x − 1| x→1− (1 − x)(x + 1) 2

f(x) =

Proposici´ on 2.- Sea ω(x) un infinit´esimo en a, y sea f(x) una funci´on localmente acotada en un entorno de a. Entonces f · ω es un infinit´esimo en a l´ım f(x) · ω(x) = 0

x→a

• Ejemplo l´ım x · sen (1/x) = {0 · funci´on acotada} = 0

x→0

Propiedades

Si existen

l´ım f(x) = b, l´ım g(x) = c . Entonces

x→a

x→a

1. existe el l´ımite de la suma de funciones 2. existe el l´ımite del producto de funciones

l´ım (f + g)(x) = l´ım f(x) + l´ım g(x) = b + c

x→a

x→a

x→a

l´ım (fg)(x) = l´ım f(x) · l´ım g(x) = b · c

x→a

x→a

x→a

l´ım f(x)

3. existe el l´ımite del cociente de funciones

l´ım (f/g)(x) =

x→a

x→a

l´ım g(x)

x→a

l´ım g(x) l´ım (f(x))g(x) = (l´ım f(x))x→a = bc

4. existe

x→a

x→a

si

=

b c

si c 6= 0

f(x) > 0 en un entorno de a.

L´ımites infinitos y en el infinito • • •

l´ım f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ =⇒ f(x) > M

x→a

l´ım f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < δ =⇒ f(x) < −M

x→a

l´ım f(x) = b ⇐⇒ ∀ > 0 ∃N > 0 tal que si x > N =⇒ |f(x) − b| < 

x→+∞

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C´alculo Infinitesimal Plan 2010 •

l´ım f(x) = b ⇐⇒ ∀ > 0 ∃N > 0 tal que si x < −N =⇒ |f(x) − b| < 

x→−∞

l´ım f(x) = +∞

l´ım f(x) = −∞

• • • •

l´ım f(x) = +∞

x→+∞

l´ım f(x) = π

x→0+

x→−1

x→+∞

l´ım f(x) = 1

x→−∞

l´ım f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃N > 0 tal que si x > N =⇒ f(x) > M

x→+∞

l´ım f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃N > 0 tal que si x > N =⇒ f(x) < −M

x→+∞

l´ım f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃N > 0 tal que si x < −N =⇒ f(x) > M

x→−∞

l´ım f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃N > 0 tal que si x < −N =⇒ f(x) < −M

x→−∞

l´ım f(x) = −∞

l´ım f(x) = +∞

x→+∞

x→−∞

l´ım f(x) = −∞

x→−∞

As´ıntotas de la gr´ afica de una funci´ on f Rama infinita Se dice que una curva recorre una rama infinita cuando la distancia al origen de sus puntos tiende a infinito cuando x ´o y tienden a infinito. Recta as´ıntota a una curva es una recta que verifica que la distancia de una rama infinita a dicha recta tiende a cero. As´ıntotas verticales de f, kOY , son las rectas x = x0 tal que l´ım f(x) = ∞

x→x0

As´ıntotas oblicuas de f, son las posibles rectas y = mx + n tal que m = l´ım

x→∞

f(x) , x

n = l´ım (f(x) − mx) x→∞

Si m = 0 la as´ıntota es horizontal, kOX.

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C´alculo Infinitesimal Plan 2010 Indeterminaciones

∞ − ∞, 0 · ∞,

0 ∞ ∞ 0 , , 1 , 0 , ∞0 0 ∞

Estrategias para resolver indeterminaciones en el c´ alculo de l´ımites 1. Dividir por (x − a): sean P (x), Q(x) funciones polin´omicas   P (x) 0 (x − a)P1 (x) P1 (a) l´ım = = l´ım = x→a Q(x) x→a (x − a)Q1 (x) 0 Q1(a) 2. Dividir por x elevado a la mayor potencia (o el infinito ”m´as”grande en general)  0 gradoP < gradoQ      P (x) n ∞ o  ∞ gradoP > gradoQ l´ım = = x→∞ Q(x)  ∞    a   0 gradoP = gradoQ b0

a0, b0 coeficientes principales de las funciones polin´omicas P (x), Q(x), repectivamente.

3. Operar: utilizando las expresiones conjugadas cuando hay radicales. 4. Utilizar la definici´on del n´ umero e en las indeterminaciones 1∞  n  f (x) 1 1 1 e = l´ım 1 + =⇒ e = l´ım 1+ = l´ım (1 + α(x)) α(x) n→∞ f (x)→∞ α(x)→0 n f(x) 5. Regla de L’Hˆopital: sean f, g funciones derivables, con existe

l´ım f(x) = l´ım g(x) = 0, si

x→a

x→a

f 0 (x) ∈ R entonces existe l´ım 0 x→a g (x) f(x) f 0 (x) = l´ım 0 x→a g(x) x→a g (x) l´ım

∞ ∞ 6. Tomar logaritmos en el caso de indeterminaciones de tipo exponencial  
g(x) g(x) l´ım (f(x)) = B =⇒ ln B = ln l´ım (f(x)) = l´ım ln (f(x))g(x) = l´ım g(x) ln(f(x)) An´alogo, en el caso de la indeterminaci´on

x→a

x→a

x→a

l´ım g(x) ln(f(x)) l´ım (f(x))g(x) = ex→a

x→a

x→a

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C´alculo Infinitesimal Plan 2010

Continuidad de funciones Definici´ on: propiedades Definici´ on

f es continua en a ∈ Dom f cuando existe

l´ım f(x) y coincide con f(a),

x→a

l´ım f(x) = f(a) ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que si |x − a| < δ =⇒ |f(x) − f(a)| < 

x→a

Definici´ on

f es continua en D ∈⊂ f cuando f es continua en a, ∀ a ∈ D

Definici´ on f es continua en el intervalo cerrado [a, b] ⊂ Dom f cuando es continua en los puntos del intervalo abierto (a, b), y es continua a la derecha de a y continua a la izquierda de b l´ım f(x) = f(a),

x→a+

Propiedades

Si f es continua en

l´ım f(x) = f(b)

x→b−

a ∈ Dom f. Entonces

1. f est´a localmente acotada en un entorno de a 2. si f(a) 6= 0,

f mantiene localmente el signo de f(a)

3. si f posee inversa,

f −1 es continua en f(a)

4. si g es continua en f(a), entonces g ◦ f es continua en a Propiedades

Si f, g son continuas en

a ∈ Dom f ∩ Dom g. Entonces

1. f + g es continua en a 2. f · g es continua en a f 3. es continua en a, si g(a) 6= 0 g Discontinuidades de una funci´on: evitable cuando existe

l´ım f(x) pero no existe f(a), o no coincide con el valor del l´ımite.

x→a

no existe el l´ımite de la funci´on porque los l´ımites laterales existen pero son distintos. no existe el l´ımite de la funci´on porque no existe alg´ un l´ımite lateral.

Discontinuidad evitable f(0) = 0 No continua en los enteros No continua en x = 0

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C´alculo Infinitesimal Plan 2010

Teoremas fundamentales de continuidad en intervalos [a, b] Teorema de Bolzano Si f es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0 =⇒ ∃α ∈ (a, b)

tal que f(α) = 0

Teorema de Acotaci´ on Si f es continua en [a, b] =⇒ f est´a acotada en [a, b] Teorema del m´ aximo / m´ınimo accesible Si f es continua en [a, b] =⇒ existen xM ∈ [a, b] (punto m´aximo) tal que f(xM ) ≥ f(x) ∀x ∈ [a, b] (valor m´aximo) xm ∈ [a, b] (punto m´ınimo) tal que f(xm ) ≤ f(x) ∀x ∈ [a, b] (valor m´ınimo) Consecuencia 1 Si f es continua en [a, b], la funci´on recorre todos los valores entre dos dados. Consecuencia 2 Si f es continua en [a, b], la funci´on recorre todos los valores entre el valor m´ınimo y el valor m´aximo.