3 Derivada De Funcion De Funcion (1)

8. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIONES

Sea f  x   f  u  x   una función de función, entonces

Ejemplo 1

df df du   dx du dx

5 5 Sea f  x    2 x 5  x  definimos u  x   2 x  x y f  u   u , entonces 5

4 df du 5 d    2 x5  x   5u 4   10 x 4  1  5  2 x 5  x    10 x 4  1 dx du dx 4

Ejemplo 2

x2 4  x2 Sea f  x     definimos u  x   5 y f  u   u , entonces  5  df du 4 d  x  2   x2 3 1      4u     4   dx du dx  5  5  5 

Ejemplo 3

3

1    5

4 x2   5 5 

3

3 Sea f  x   2 x3  5 definimos u  x   2 x  5 y f  u   u  x  , entonces 1 1 df d u d 1 1 1    2 x3  5   u 2   6 x 2    2 x3  5  2   6 x 2   3x 2  2 x3  5  2 dx du dx 2 2

Ejemplo 4

2 Sea f  x   3 x 2  1   x 2  1 3 definimos u  x   x  1 y f  u   u 3 , entonces 1

1

1

2 2 df du 3 d 2 1 2 1 2    x  1  u 3   2 x    x 2  1 3   2 x   x  x 2  1 3 dx du dx 3 3 3

Ejemplo 5

Sea f  x  

 3  2x 

3

  3  2 x  2 definimos u  x    3  2 x  y f  u   u 2 , 3

3

entonces 3 1 1 df du 2 d 3 1 3    3  2 x   u 2   2    3  2 x  2   2   3  3  2 x  2 dx du dx 2 2

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

21

Ejercicios para el aula 1. Encuentra la derivada de f  x    2 x  1 a) 3  2 x  1

b) 6  2 x  1

2

c) 3  2 x  1

2

 x 1 2. Encuentra la derivada de f  x      4   x 1 a)    4 

3

 x 1  b) 4    4 

3

3

3

d) 6  2 x  1

3

 x 1 d)    4 

3

4

1  x 1 c)   4 4 

3. Encuentra la derivada de f  x    3 x  4  a) 6 x  24 b) 12 x  24 c) 18 x  24

4

2

d) 20 x  24

4. Encuentra la derivada de f  x   3 x 4 a)

13 x 3

23 x 3

b)

5. Encuentra la derivada de a)  3 x  4 

c) f  x    3x  4 

b) 3  3 x  4 

2

6. Encuentra la derivada de g  x  a)  3  2x 

3

10

c) 10  3x 3  5 x 2  3

9

 6x

 6x

2

2

d) 9  3x  4 

2

2

3 2

3

 12

c)  3  2x  2

d)   3  2x  2

1

7. Encuentra la derivada de f  x    3x 3  5 x 2  3 a) 10  3 x 3  5 x 2  3

d) 4 3 x

c) 6  3 x  4 

2

 3  2x 

b)   3  2x 

 12

43 x 3

1

10

 10 x 

b) 10  3 x3  5 x 2  3

9

 9 x  10 x   3  9 x  10 x 

 10 x 

d) 10  3 x 3  5 x 2

10

2

2

10

 x 1  8. Encuentra la derivada de f  x      5x  2  9 9  x  1   7   x  1   10 x  7  a)  b)      2 2  5 x  2    5 x  2    5 x  2    5 x  2   9 9  x  1   7   x  1   10 x  7  10 10   c)  d)     2 2  5 x  2    5 x  2    5 x  2    5 x  2  

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

22

 x2  6  9. Encuentra la derivada de f ( x )   3   x   x2  6  a)  3   x 

a 1

 x 2  18    x4  

a

 x2  6  b) a  3   x 

 x 2  6   x 2  18  d) a  3     x4   x  

10. Encuentra la derivada de f  x   2  x 2  x  99

 x 2  18    x4  

a

a

 x 2  6   x 2  18  c)  3     x4   x  

a) 200  2 x  1  x 2  x 

a 1

b) 200  x 2  x 

99

100

c) 200  2 x  1

99

d) 2  x 2  x 

99

9. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las derivadas de las funciones trigonométricas son: d sen x  cos x dx d cos x  sen x dx d tan x  sec 2 x dx

d cot x   csc 2 x dx d sec x  tan x sec x dx d csc x   cot x csc x dx

Ejemplo 1 La derivada de h( x)  5 sen x es h '( x)  5 Ejemplo 2 La derivada de g ( x)   tan x es g '( x)  

d sen x  5 cos x dx

d tan x   sec 2 x dx

Ejemplo 3 La derivada de r ( x)  e csc x es d r '( x )  e csc x   e cot x csc x dx

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

23

Cuando el argumento de una función trigonométrica es otra función, por ejemplo u  x  entonces sus derivadas son: d du sen  u ( x )   cos  u ( x )  dx dx d du cos  u ( x)   sen  u ( x)  dx dx d du tan  u ( x)   sec 2  u ( x )  dx dx

2 Ejemplo 1 La derivada de f ( x)  sen

d du cot  u ( x )    csc 2  u ( x )  dx dx d du sec  u ( x )   tan  u ( x )  sec  u ( x)  dx dx d du csc  u ( x)    cot  u ( x)  csc  u ( x)  dx dx

x es 2

df x x 1 x x  2sen cos     sen cos dx 2 2 2 2 2 Ejemplo 2 La derivada de f ( x)  cos 6 x es

df  sen6 x  6  6 sen 6 x dx

Ejemplo 3 La derivada de f ( x )  tan sen x 2 es df   sec2  sen x 2  cos x 2  2 x  2 x sec 2  sen x 2  cos x 2 dx Ejemplo 4 La derivada de f ( x)  cot cos x  1 1  df 1   csc 2 cos x  sen x  x 2   csc 2 cos x sen x dx 2  2 x











Ejemplo 5 La derivada de f ( x)  tan x 2  cos 2 x es df  sec 2 x 2  2 x   sen 2 x  (2)  2 x sec 2 x 2  2sen 2 x dx

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

24

Ejercicios para el aula 1. Encuentra la derivada de f ( x )  sen x 2 a) 2 cos x 2 b) 2 x cos x

c) 2 x cos x 2

d) 2 x sen x 2

2. Encuentra la derivada de f ( x )  cos sen x 3 a) 3 x 2sen sen x 3 cos x 3 b) 3x 2sen sen x 3 cos x 3 c) 3 x 2sen cos x 3 cos x 3 d) 3x 2sen cos x 3 cos x 3 3. Encuentra la derivada de f ( x )  tan x 3 a) 3 x 2 sec 2 x 3 b) 3x 2 sec x 3

d) 3sec x3

c) sec 2 x 3

4. Encuentra la derivada de f ( x)  cot sen x 2 a) 2 x csc 2 sen x 2 cos x 2 b) 2 x csc 2 sen x 2 cos x 2 c) 2 x csc 2 cos x 2 cos x 2 d) 2 x csc 2 cos x 2 cos x 2 5. Encuentra la derivada de f ( x)  6 cos x a) 6 sen x b) 6 sen x c) sen x 3 6. Encuentra la derivada de f ( x )  cot  x  4 x  2 2 3 a)   3 x  4  csc  x  4 x  2 2 c)  csc  3 x  4 

b) d)

 3x

2

d)  sen x

 4  csc 2  x 3  4 x 

csc 2  3 x 2  4 

7. Encuentra la derivada de f ( x)  3csc xb , b es constante. a) 3b cot xb csc xb b) 3b cot xb csc xb c) 3b tan xb csc xb d) 3b tan xb csc xb 8. Encuentra la derivada de f ( x)  cos 2 x 4 a) 8 x 3 cos x 4 sen x 4 b) 8 x 3 cos x 4 sen x 4 c) x 3 cos x 4 sen x 4 d)  x 3 cos x 4 sen x 4 2 9. Encuentra la derivada de f ( x )  12 sen x a) sen x cos x b) 12 sen x cos x c) sen x cos x

d) 2 sen x cos x

10. Encuentra la derivada de h( x)  x sen 3 x a) 3 x cos 3x b) 3 x cos 3 x  3 sen 3 x c) cos 3x  3 x sen 3x d) 3 x cos 3 x  sen 3 x

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

25

Ejercicios para la casa 1. a)

Encuentra la derivada de 1 3 3

18x

b)

4  9x 2

3

1

1 3 3  18x 

c)

2

Encuentra la derivada de 1  3x 1 3 a)  1  3 x b) 2 3 2

3 3  4  9x 2 

2

d)

6x

 3

 4  9x 

2 2

2.

c)

3. Encuentra la derivada de x  3 sen x a) 1  3 sen x  cos x b) x  3 cos x

1 2 1  3x

d)

3 2 1  3x

c) 1  3 cos x

d) 1  3 cos x

4. Encuentra la derivada de cos x  2 tan x a)  sen x  2sec 2 x b) sen x  2 sec 2 x c)  sen x  2sec 2 x

d) sen x  2sec 2 x

5. Encuentra la derivada de 4sec x  tan x a) sec x  4sec x  tan x  b) 4sec x tan x  sec2 x

d) 4 tan 2 x  sec x

c) 4 tan 2 x  sec x

6. Encuentra la derivada de e x sen x a) e x cos x b) e x cos x

x c) e  sen x  cos x 

7. Encuentra la derivada de tan 3x a) 3sec 2 3x b) 3sec 2 x

c)  sec 2 3x

d) 3sec 2 3

c) 2 x  10

d) 10  2x

8. Encuentra la derivada de  5  x  a) 2x b) 12x

2

9. Encuentra la derivada de x 2  3 x  5 a) 2 x 2  3 b) x 2  3 c) 2 x  8 10. a) 

11.

Encuentra la derivada de 2

 x  2

b) 

2

x d) e  cos x  sen x 

d) 2 x  3

1 x2

1

 x  2

2

c)

1

 x  2

2

7 d 3 x 2  2 x  1 se obtiene  dx 6 2 b) 7  3 x 2  2 x  1 c) 7  3 x  2 x  1  6 x  2 

d)

2

 x  2

2

Al calcular

a) 7  6 x  2 

6

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

d) 7  3 x 2  2 x  1

6

 6x  2

26

Encuentra la derivada de  x  3 x 4 

12.

a) 6  1  12 x 3   x  3 x 4  13. a)

5

3 4 b) 6  1  12 x   x  3 x 

Encuentra la derivada de



x 2 4  x 2  3

3

b)

6



4

c) 6  x  3 x 4 

d) 6  1  12x 3 

5

5

1 x 3 2

x 2 4  x 2  3

c) 

5



1 4 4 6x  2

15 x  5 d)



2 4  3x 2  2 x  1

5

2 La derivada de sen x  4 x  1 es

14.

a) sen  2 x  4 

2 c)  2 x  4  sen  x  4 x  1

2 b) cos  x  4 x  1

Encuentra la derivada de 9  5x 2 9  10 x 10 x a) b)  2 2 9  5x 9  5x2

2 d)  2 x  4  cos  x  4 x  1

15.

16.

Encuentra la derivada de

17. a)

Encuentra la derivada de

1 1  cos x

18.

a)

9  5x

2

d)

8x

c)

 2 x 

d)

c)

cos x 1  cos x

d)

2 2

1 2 9  5x 2

4 x  x2  2

 2 x 

2 2

sen x 1  cos x

2

 1  cos x 

2

tan x x 2  x sec x  tan x b) x2

1  cos 2 x

 1  cos x 

2

Encuentra la derivada de

sec 2 x a) x2 19.

b)

5x

x2  2 2  x2

b) 1

a) 0

c) 

sen x x2 2sen x  x cos x b) x3

x sec 2 x  tan x c) x2

tan x  x sec 2 x d) x2

Encuentra la derivada de x cos x  2sen x x3

c)

 x cos x  2sen x x3

d)

2sen x  x cos x x3

20. Encuentra la derivada de csc x cot x 2 a) cot x csc x  csc3 x b) csc3 x  cot 2 x csc x c) csc3 x  cot 2 x csc x d)  csc3 x  2 cot 2 x csc x

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

27

Encuentra la derivada de  5 x 2  3

21.

a) 10 x 2  6 22.

2

b) 100 x 2  60

Encuentra la derivada de

a) 2  10 x  3 5 x 2  3x  6

b)

c) 10 x 3  6 x

d) 100 x 3  60 x

5x2  3x  6 1 2

 10 x  3

Encuentra la derivada de 4  3x 3 3 a) b)  2 4  3x 2 4  3x

5 x2  3x  6

c)

10 x  3 2 5x  3x  6 2

d)

10 x  3 5x2  3x  6

23.

c) 2 4  3x

Encuentra la derivada de  3 x  1  x  3

24.

a) 9 x 2  38 x  33 25.

b) 3 x 2  38 x  3

Encuentra la derivada de

a) 

26.

4

 3x

2

 1

b) 

4

2

a)

cos x 

c)

1 2

cos x  2 1 x sen x

1 2

sen x

d) 9 x 2  38 x  3

4x

 3x

 1

Encuentra la derivada de 1 2

2

c) 6 x 2  38 x  33

2

 1

36 x  4

 3x

d) 2 4  3x

2

c) 

3

36 x 2  4

 3x

2

 1

4

d) 

36 x 2  4

 3x

2

 1

3

x sen x b) cos x  2 1 x sen x d)

1 2

cos x 

1 x

sen x

27. Encuentra la derivada de x 2 csc 3 x a) 3x 2 cot 3x csc 3x  2 x csc 3 x b) 3x 2 cot 3x csc 3 x c) 3 x 2 cot 3 x csc3x  2 x csc 3x d) 2 x cot 3x csc 3x 28. Encuentra la derivada de tan x sen x 2 2 a) sen x  1  sec x  b) sen x  1  sec x  2 c) sen x  1  sec x 

2 d) sen x  1  sec x 

29. Encuentra la derivada de sen cos x sen x cos cos x a) b) sen x cos sen x c) sen x cos cos x d) sen x cos sen x 30. Encuentra la derivada de 2sen 3 5x 4 a) x 3 sen 2 5 x 4 cos 5 x 4 b) 12 x3 sen 2 5 x 4 cos 5 x 4 c) 120 x 3 sen5 x 4 cos 5 x 4 d) 120 x3 sen 2 5 x 4 cos 5 x 4

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

28

HOJA DE RESPUESTAS 8ª SESIÓN Ejercicios para el aula 1er bloque (8. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIONES) 1- b 7- b

2- a 8- c

3- c 9- b

4- c 10- a

5- d

6- c

2do bloque (9. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS) 1- c 7- b

2- d 8- b

3- a 9- c

4- b 10- d

5- b

6- a

3- d 9- d 15- c 21- d 27- a

4- c 10- b 16- c 22- c 28- b

5- a 11- d 17- a 23- b 29- c

6- d 12- a 18- c 24- c 30- d

Ejercicios para la casa 1- d 7- a 13- b 19- a 25- d

2- d 8- c 14- d 20- d 26- c

Elaborado por Sergio López Luna y NGD. DGIRE, 2002.

29