3 Algebra Booleana 3

ALGEBRA BOOLEANA  ALGEBRA BOOLEANA : En este sistema se tienen dos únicos posibles valores 0 y 1, los cuales no representan números reales sino estados lógicos o niveles de voltaje. 1 – SI – verdadero – ON – alto – máx. 0 – NO – falso – OFF – bajo – mín. En el álgebra booleana no hay operaciones complejas sólo admite tres operaciones. Suma lógica, función OR Multiplicación lógica, función AND Complemento o inversión lógica, función NOT Se utilizaran letras para representar las entradas y salidas a cada Función

TEOREMAS PARA REDUCCION DE ECUACIONES BOOLEANAS

1.- X . 0 = 0

5.- X + 0 = X

2.- X . 1 = X

6.- X + 1 = 1

3.- X . X = X

7.- X + X = X

4.- X . X = 0

8.- X = X

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA

PROPIEDADES 10.- X + Y = Y + X (CONMUTATIVA DE LA SUMA) 11.- X . Y = Y . X (CONMUTATIVA DE LA MULT.) 12.- X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z (ASOCIATIVA) 13.- X . (Y . Z) = (X . Y) . Z (ASOCIATIVA) 14a.- X . (Y+Z) = X . Y + X . Z (DISTRIBUTIVA) 14b.- (W+X) . (Y+Z) = W.Y + W.Z + X.Y + X.Z

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA

14.-

X + X . Y = X (LEY DE ABSORCION)

15.-

X + X . Y = X + Y (LEY DE ABSORCION)

16.-

(X + Y) = X . Y

TEOREMA DE

17.-

(X . Y) = X + Y

DeMORGAN

TEOREMAS PARA REDUCCION DE ECUACIONES BOOLEANAS Ejemplo: Reducir la siguiente función utilizando el método algebraico.

F = abc + abd + abc + cd + bd Paso 1: Sacamos factor común a b, del segundo y quinto término Paso 2: Al paréntesis le aplicamos propiedad distributiva Paso 3: Como

d+d=1 Paso 4: Aplicamos propiedad distributiva al parentesis que quedo del paso anterior

Paso 5: Sacamos factor común ab, entre los sumandos primero y cuarto, como

1+c=1 Paso 6: sacamos factor comun a b, del primero y segundo término Paso 7: aplicamos otra vez distributiva y tomamos en cuenta que

c+c=1

TEOREMAS PARA REDUCCION DE ECUACIONES BOOLEANAS Paso 7: Como en la expresión se tienen los sumandos

cd + cb Podemos incorporar el sumando bd, por aplicación inversa del teorema cuatro Paso 8: Sacamos factor común de los sumandos cuarto y quinto quedando el término

d+d=1 Paso 8: Sacamos b como factor común de los sumandos primero y cuarto quedando

(a + c + 1) = 1

Resultando

b + cd