2m12_2009_s

MATEMÀTIQUES 2n Batxillerat 1r trimestre

1.

2a prova

SOLUCIÓ

Qualificació

Classe:

Data: 13-11-09

/10

Trobeu, de manera raonada, l'expressió analítica d'una funció racional que presenti: • Una asímptota vertical en x=3 • Una asímptota obliqua y=4x+7 • El numerador sigui de grau 2. [2 punts]

Px , amb P i Q polinomis. Q x Per la tercera condició sabem que el grau de P(x) ha de ser 2, per tant si el grau de Q és 1 possiblement aconseguirem asímptota obliqua.

Si f és una funció racional serà de la forma f x=

Ja que f ha de tenir asímptota vertical en x=3, escollim Q(x)=x-3; d'aquesta manera per a x=3 s'anul·larà el denominador. Al final de tot comprovarem que realment hi ha l'asímptota. y=4x+7 ha de ser l'asímptota obliqua; per tant, 4=lim x ∞

  lim 



f x Px = . x x2 −3x x ∞

Així doncs, escollim P(x)=4x +bx+c. 2

7=lim  f  x−4x =lim x ∞

x ∞



 

 



4x 2bxc 4x2 bxc−4x 212x 12b xc − 4x =lim =lim =12b x−3 x ∞ x−3 x ∞ x−3

b=7-12=-5 Triem f x=

lim f x=lim x 3

2.

x 3

2

4x −5x . x−3

2

4x −5x 21 = =∞ ⇒ f té una asímptota vertical en x=3. x−3 0

Raoneu si es pot aplicar el Teorema de Bolzano per provar que les funcions f(x)=x 2-2 i g(x)=ex es tallen en algun punt i determineu-lo amb un error més petit que 0.1 [2 punts]

Definim la funció h(x)=f(x)-g(x). D'aquesta manera, trobar els punts de tall de f amb g és equivalent a trobar els zeros d'h. h(x) és una funció contínua en tot els reals, ja que f (polinòmica) i g (exponencial) ho són. h(0)=-3<0 i h(-2)=1.86>0. Per tant, podem aplicar Bolzano en l'interval [-2,0], ja que h és contínua i h(0)·h(-2)<0.

}

h−1.4≃−0,29 h−1.5≃0,03

⇒ ∃ c ∈ −1.5,−1.4 tal que hc=0 ⇒ c≃−1.45

3.

Estudieu la monotonia i els extrem relatius de la funció f(x)=x·ln(x) [2 punts]

Domf =0,∞ ja que f és el producte d'una funció potencial (x) de domini tots els reals, per una funció logarítmica, on l'argument no pot ser ni negatiu ni nul.

1 −1 f ' x=1⋅ln x x⋅ =1lnx=0 ⇒ lnx=−1 ⇒ x=e x

0

∞

−1

e

Intervals de monotonia: x=0,1 ;

f '0.1=0,1ln0,1=−2,20 ⇒ f és estrictament decreixent en I 1  0, e−1 

x=1 ; f '1=1ln1=10 ⇒ f és estrictament creixent en I 2  e−1 ,∞  Extrems relatius: −1

Test de la 2a derivada: f ' ' e = f e =e ⋅ln  e −1

−1

1 =e0 x ∣x=e −1

 =−e−1

−1

Per tant f presenta un mínim relatiu en A  e ,−e −1

4.

−1



Estudieu la derivabilitat de la funció f(x)=2-|x-2| i trobeu l'expressió analítica de f'(x) [2 punts]

Transformem f en una funció a trossos. x-2 canviarà de signe en x=2. Així doncs, per a valors menors que 2, |x-2|=2-x; i per a valors més grans o igual a 2, |x-2|=x-2. f x=

{

2−2−x 2−x−2

si si

{

x2 x = 4−x x2

si si

x2 x2

Per estudiar la derivabilitat de f primer hem d'estudiar la seva continuïtat. Els dos trossos de f són polinòmics, i per tant, continus i derivables. Estudiem doncs, la continuïtat de f en x=2. f 2=4−2=2

lim f x=lim x=2 x 2

x 2

−

−

lim f x= lim 4−x=2 x 2 

x 2

}

⇒ lim f x=2 x 2

}

⇒ f 2=lim f x=2 ⇒ f és contínua en x=2. x 2

Així doncs, f és contínua en tots els reals.

{

f ' x=

1 si x2 .f és derivable en tots els reals menys en x=2 ja que 1=lim f ' x≠ lim f ' x=−1 −1 si x2 x 2 x 2 −



5.

2

mx , raoneu quin ha de ser el valor de m perquè el pendent de la recta x 1 tangent a f en x=10 sigui 6. Determineu l'equació de la recta tangent en aquest punt. Donada la funció f x=

[2 punts]

El pendent de la recta tangent a f en x=10 és f ' 10=

Així doncs, m=

f 10=

6.

2

2mx x1 −mx ⋅1

=

2

x1

∣x=10

220m−100m =6 121

6⋅121 =6,05 120

2

6,05⋅10 =55 . Per tant, l'equació de la recta tangent és: y-55 = 6·(x-10). 11

t: 6x-y-5=0

Donada la funció f x= e−3x ; trobeu l'expressió de f n x [2 punts]

}

f ' x=−3⋅e−3x n  n −3x 2 −3x ⇒ f x=−3 ⋅e f ' 'x=−3  ⋅e 3 −3x f ' ' 'x=−3  ⋅e