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2.-Minimizar f(x,y)=√𝑥 2 +𝑦 2 sujeta a la restricción 2𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0

(1)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) = √𝑥 2 +𝑦 2 + (2𝑥 + 4𝑦 − 15) = 0 𝜕⁄ → {((𝑥 2 +𝑦 2 )−1⁄2 )𝑥 + 2𝜆 = 0 𝜕𝑥 𝜕⁄ → {((𝑥 2 +𝑦 2 )−1⁄2 ) 𝑦 + 4𝜆 = 0 𝜕𝑦 Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación para eliminar (𝜆) −1⁄ 2 )𝑥

→ −2((𝑥 2 +𝑦 2 )

−1⁄ 2) 𝑦

→ ((𝑥 2 +𝑦 2 ) Eliminamos ((𝑥 2 +𝑦 2 )

− 4𝜆 = 0

+ 4𝜆 = 0

−1⁄ 2) −1⁄ 2) 𝑥

+ ((𝑥 2 +𝑦 2 )

−1⁄ 2) 𝑦

= 2 ((𝑥 2 +𝑦 2 )

−2 ((𝑥 2 +𝑦 2 ) ((𝑥 2 +𝑦 2 )

−1⁄ 2) 𝑦

𝑦 = 2𝑥 Reemplazamos en (1) 2𝑥 + 4𝑦 − 15 = 0 2𝑥 + 4(2𝑥) − 15 = 0 10𝑥 = 15 𝑥 = 15/10 Para (y): 15 2( ) + 4𝑦 − 15 = 0 10 3 + 4𝑦 − 15 = 0 4𝑦 = 12 𝑦=3 15 ⇒ √ + 9 + 𝜆(0) = 0 10 = √10.5 > 0

=0

−1⁄ 2) 𝑥

3.- Utilizar los multiplicadores de Lagranga para hallar todos los extremos de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = ℮−𝑥𝑦/4 sujeto a la restricción 𝑥 2 +𝑦 2 ≤ 1 𝑥 2 +𝑦 2 − 1 ≤ 0

(1)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝜆) = ℮−𝑥𝑦/4 + 𝑥 2 𝜆+𝑦 2 𝜆 − 1𝜆 = 0 𝜕⁄ → {℮−𝑥𝑦/4 (−1) + 2𝑥𝜆 = 0 𝜕𝑥 4 𝜕⁄ → {℮−𝑥𝑦/4 (−1) + 2𝑦 𝜆 = 0 𝜕𝑦 4