292698706-finitos-3ra-practica.docx

CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS

TERCERA PRACTICA CALIFICADA

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Mecánica

TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA (ARMADURAS PLANAS) Curso:

calculo por elementos finitos.

Sección:

“D”.

Profesor:

Cueva Pacheco Ronald.

Alumno:

Paredes Rojas Jhon Edison.

Código:

20091032b

2013-I ARMADURAS PLANAS

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TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA (ARMADURAS PLANAS) OBJETIVOS: 

Estimar la distribución de los esfuerzos en la armadura para cada elemento finito. Hallar las reacciones en los apoyos, aplicando las matrices y ecuación de rigidez y condiciones de contorno, etc.



Calcular los resultados mediante la herramienta matemática MATLAB.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA: Dada el siguiente diagrama de una armadura de elementos con sección circular constante de diámetro Φ=50mm y material con módulo de elasticidad E=3.1*10^5N/mm^2, Calcular las reacciones en los apoyos en los ejes x, y respectivos y los esfuerzos longitudinales en cada barra. Realizar el diagrama de flujo y su respectiva codificación (solución) en MATLAB.

Pc

Pa = 5000N Pb = 4000N Pe = 2000N Pc = 3000N Φ

= 50 mm

E

= 3.1*10^5 N/mm2

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SOLUCION: 1. MODELADO DE LA ESTRUCTURA PLANA: Modelando en 7 elementos finitos

2. CUADRO DE CONECTIVIDAD:

Para los 6 grados de libertad es el siguiente cuadro de conectividad donde se muestra las longitudes y las áreas de los 7 elementos finitos: NODOS (e) (1) (2) 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 4 4 5

2 3 4 2 1 5 1

GDL 1 - 2 - 3 4 1 3 5 7 7 7 9

2 4 6 8 8 8 10

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3 5 7 3 1 9 1

4 6 8 4 2 10 2

𝑙𝑒 (𝑚𝑚)

𝐴𝑒 (𝑚𝑚2 )

𝐸𝑒 (𝑁 /𝑚𝑚2 )

l

m

1500 1500 2121.32 1500 2121.32 1500 1500

1963.4954 1963.4954 1963.4954 1963.4954 1963.4954 1963.4954 1963.4954

3.1x10^5 3.1x10^5 3.1x10^5 3.1x10^5 3.1x10^5 3.1x10^5 3.1x10^5

1 1 -0.707 0 0.707 0 0.707

0 0 0.707 1 0.707 1 -0.707

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También hacemos una tabla en donde se pueda ubicar todas las coordenadas de los nodos para poder hallar los cosenos. NODO x(mm) y(mm) 1 0 0 2 1500 0 3 3000 0 4 1500 1500 5 0 1500 3. DESPLACAMIENTOS NODALES GLOBALES: La estructura presenta 2 soportes fijos donde los desplazamientos en cualquier eje seria 0 mm así se tendría que en los nodos 1 y 3 están empotrados por lo cual: Q1 = Q 2 = Q 9 = Q10 = 0 Entonces tendríamos que el vector desplazamiento: Q1 0 Q2 0 Q3 Q3 Q4 Q4 Q5 Q Q= = 5 Q6 Q6 Q7 Q7 Q8 Q8 Q9 0 [Q10 ] [ 0 ] Los desplazamientos que se presentan en la figura son desplazamientos globales. Se ha supuesto el sistema de coordenadas XY globales en el primer cuadrante. 4. VECTOR CARGA:

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Según datos del problema: F4 = 2000N

F5 = 5000 N

F6 = 4000 N

F8 = 3000N

Además se tiene que en los nodos 1 y 5 existen reacciones: F1 = R1 ; F2 = R 2 ; F9 = R 9 ; F10 = R10 Teniendo así el vector carga como: F1 R1 F2 R2 F3 0 F4 2000 F5 5000 F= = F6 4000 0 F7 3000 F8 R9 F9 [F10 ] [ R10 ] 4. MATRICES DE RIGIDEZ PARA CADA ELEMENTO: Empleando la fórmula para el cálculo de Ke: l2 [K]e = k [ lm2 −l −lm

lm m2 −lm −m2

−l2 −lm −lm −m2 ] l2 lm lm m2

Tabla de los cosenos directores para cada elemento: (e)

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l

m

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1 1 -0.707 0 0.707 0 0.707

0 0 0.707 1 0.707 1 -0.707

Para el elemento 1 Q1 1 [K]1 = 4.05787 ∗ 105 0 [ −1 0

Q2 Q3 Q4 1 0 −1 0 Q1 0 0 0 Q2 ] 0 1 0 Q3 0 0 0 Q4

Q3 1 [K]2 = 4.05787 ∗ 105 0 [ −1 0

Q4 Q5 Q6 2 0 −1 0 Q3 0 0 0 Q4 ] 0 1 0 Q5 0 0 0 Q6

Para el elemento 2

Para el elemento 3

Q5 Q6 Q7 Q8 3 1 −1 −1 −1 Q5 [K]3 = 1.43468 ∗ 105 −1 1 1 −1 Q6 [ ] −1 1 1 −1 Q7 Q8 1 −1 −1 1

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Para el elemento 4

Q3 Q4 0 0 [K]4 = 4.05787 ∗ 105 0 1 [ 0 0 0 −1

Q7 Q8 4 Q3 0 0 0 −1 Q4 ] Q7 0 0 Q6 0 1

Para el elemento 5

Q7 1 [K]5 = 1.43468 ∗ 105 1 [ −1 −1

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Q8 1 1 −1 −1

Q1 Q2 5 −1 −1 Q7 −1 −1 Q8 ] Q1 1 1 Q2 1 1

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Para el elemento 6

Q7 1 [K]6 = 4.05787 ∗ 105 0 [ −1 0

Q8 Q9 Q10 5 Q7 0 −1 0 Q8 0 0 0 ] Q9 0 1 0 0 0 0 Q10

Para el elemento 7

Q9 Q10 0 0 [K]7 = 4.05787 ∗ 105 0 1 [ 0 0 0 −1

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Q1 Q2 7 Q9 0 0 0 −1 Q10 ] Q1 0 0 Q2 0 1

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4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS Ensamblando las matrices de cada elemento obtenemos la matriz global con las condiciones de contorno: F = KQ Para hallar los desplazamientos tomamos la sub matriz:

3000 De donde se obtiene los desplazamientos globales.

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Resultados

5. DIAGRAMA DE FLUJO: INICIO

UBICACIÓN DE NODOS Y ELEMENTOS: TABLA DE CONECTIVIDAD

CALCULO DE LOS COSENOS DIRECTORES Y COORDENADAS GLOBALES

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VECTOR FUERZAS: VECTOR DESPLAZAMIENTO: 𝑄𝑖

MATRIZ DE RIGIDEZ: 𝐾𝑖

𝐹𝑖

𝐹𝑖 = 𝐾𝑖 𝑄𝑖

VALOR DE 𝑄𝑖

CALCULO DE REACCIONES

ESFUERZOS 𝜎𝑖

FIN

6. CODIGO EN SOFTWARE MATLAB Luego escribimos la siguiente función en MATLAB: % TERCERA PRACTICA CALIFICADA % NOMBRE Paredes Rojas Jhon Edison % CODIGO 20091032b % ARMADURAS PLANAS clc;clear all;close all; % asignacion o ingreso de datos nd=5; % Numero de nodos ne=7; % Numero de elementos finitos D=50; % Diametro de c/u elemento finito (mm) E=3.1*10^5; % modulo de elasticidad (N/mm2)

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% Ingreso de la tabla de conectividad tc=input('INGRESE NODOS DE LA TC: '); % Ejm tc=[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ni=[]; % n=[0 0;1500 0;3000 0 ;1500 1500;0 1500] for i=1:nd disp('Ingrese las cordenadas del nodo : '); disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= '); end

F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS ejm:[0 -3000 0 0 0 0 0 2000 -5000 0]''='); CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [NODO VALOR] ejm:[1 0; 2 0; 5 0; 6 0]='); %Inicio del programa lm=[]; A=pi/4*D^2; krs=zeros(2*nd); Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i);

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krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd); end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[]; end Q1=acuv\FC; for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); j=i*10000; R=[R;r j]; end end R=R; ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)]; end format short %Resultados disp(' RESULTADOS'); disp('DESPLAZAMIENTOS(mm)'); disp(Q);

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disp('REACCIÓN(KN) POSICIÓN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS(MPa)'); disp(ESF');

6. RESULTADOS: >> Q >> DESPLAZAMIENTOS(mm) 0.000000000000 0.000000000000 0.022200000000 0.071400000000 0.044400000000 0.163300000000 -0.02460000000 0.066500000000

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0.000000000000 0.000000000000 >> format short >> R >> REACCIÓN(KN) POSICIÓN 1.0e+004 * -1.50000 -0.6000 1.0000 0

0.0001 0.0002 0.0009 0.0010

>> format long >> ESF’ >> LOS ESFUERZOS(MPa) 4.58370000000 4.58370000000 -2.88100000000 -1.01860000000 4.32150000000 -5.09300000000 0.00000000000 >>

CONCLUSIONES 

  

Para la asignación de grados de libertad hay q tener en cuenta la conveniencia practica de posicionar ejes paralelos a los ejes cartesianos para que los cálculos no sean engorrosos. La elección de los cosenos directores es libre pero es preferible tomar una conveniencia y seguirla a lo largo del problema. Los empotramientos presentan desplazamientos nulos en cualquiera de los dos grados de libertad asociados a cada uno. El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el plano tiene una tiene una aproximación casi exacta, sólo se comete error por

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las cifras significativas que trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analítica con la de elementos finitos el error del cálculo es cero.

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