276230370-fenomenos-de-transportes.pdf

Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa

Gerardo Chacón Valle

2012

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa

En este documento se presenta el desarrollo teórico general sobre el análisis macroscópico y microscópico sobre los Fenómenos de transporte de la cantidad de movimiento, calor y masa de una sustancia, es complemento de las obras clásicas sobre el tema. El material está dirigido a las y los estudiantes de un primer grado en Ingeniería, como fundamento y entrenamiento en los conceptos, teorías y modelos que son utilizados en las Operaciones y Procesos unitarios. En los ejercicios se presentan los equipos más empleados; se describen la forma, la función y las tecnologías. Se plantean las técnicas y los criterios tradicionales usados por los ingenieros para su análisis y su dimensionamiento. También, se analizan los instrumentos de medición de que utilizan propiedades de estado en forma directa.

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE

G. Chacón V.

2012

Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica

660.284.2 Ch431a Chacón Valle, Gerardo Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa San José, C. R. : G. Chacón V. , 2007-2012. 648 p. ; 22 cm ISBN

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa

1. Fenómenos de transporte. 2. Transferencia de cantidad de movimiento calor y masa.

Gerardo Chacón Valle

2012

Fenómenos de Trasporte

ii

G. Chacón V.

ÍNDICE

Índice Bibliografía Presentación

ii v vi

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Glosario de principios científicos Conceptos matemáticos Escalares, vectores y tensores Conceptos físicos Propiedades fundamentales Propiedades de estado Difusión Fenómenos de transferencia superficiales

2 2.1 2.2 2.3

Leyes de conservación para un volumen de control Introducción 49 Teorema del trasporte 50 Ecuación de la conservación de la masa (total) 54 Ecuación de la conservación de la masa de una sustancia, A 57 Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento 61 Ecuación de la conservación de la energía 69

2.4 2.5 2.6

3 3.1 3.2 3.3

Naturaleza del flujo de fluidos Fluido Cinemática de un elemento de fluido Regímenes de flujo de fluidos

4

Estimación de propiedades Para gases Para líquidos

Fenómenos de Trasporte

iii

1 8 13 19 24 29 37

79 82 86

94 104

G. Chacón V.

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Balances Globales o microscópicos Balance de masa total Balance de cantidad de movimiento Balance de energía Balance de combinados Balance de momento de la cantidad de movimiento

118 128 165 210 234

6 6.1 6.2 6.3

Difusión unidimensional de la energía y la masa Modelos para la difusión de calor y masa 245 Paredes 248 Aletas 279

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Estática de los fluidos Fuerza y presión en un fluido Fuerza sobre un cuerpo sumergido Manometría tubo-líquido Manómetro de depósito Fuerza que ejerce un fluido Ejercicios Movimiento estable para un fluido en reposo relativo

305 308 309 310 312 316 370

8 8.1 8.2 8.3 8.4

Transferencia de calor en fluidos en reposo Introducción Convección libre o natural Modelo para la convección libre Ejercicios

373 373 378 385

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Transferencia de masa en fluidos en reposo Introducción Convección libre o natural Modelo en variables adimensionales Modelo unidimensional Ejercicios

397 397 398 400 405

Fenómenos de Trasporte

iv

G. Chacón V.

10 10.1 10.2 10.3 10.4

BIBLIOGRAFÍA

Transferencia de masa entre fases Coeficientes locales o individuales Coeficientes globales o totales Teoría de las dos resistencias Ejercicios

417 418 419 421

11 Análisis dimensional 11.1 Metodología 11.2 Ejercicios

433 427

12 12.1 12.2 12.3

Flujo externo de los fluidos Definición de capa límite Analogías entre los fenómenos de transportes Modelo para flujo en régimen laminar sobre una placa plana 12.4 Modelos de Prandtl o “exacto” para la capa límite 12.5 Modelos para la capa límite flujos sobre esferas y cilindros 12.6 Ejercicios 13 13.1 13.2 13.3 13.4

Flujo de fluidos en conductos rectos Introducción Modelo para el régimen de flujo laminar Modelos para el régimen de flujo turbulento Otros efectos de la fricción y de la irreversibilidad de los procesos 13.5 Ejercicios Cuadros

Fenómenos de Trasporte

453 454 455 460 469 474

505 512 517 523 529 597

v

G. Chacón V.

Bird, R.B., Steward, W.E. y Lighfoot, E.N. Transport Phenomena. 2a. Ed. Wiley, New York, 2002 (2a. Ed. Prentice Hall, México, 2006). Carslaw, H.S y Jeager, J.C. Conduction of Heat in Solids. 2a. Ed. Oxford University Press, Fair Lawn, N. J., 1959. Costa Novella, E. Ingeniería Química. 2. Fenómenos de transporte”. Alhambra, Madrid, 1984. Coulson, J.M. y Richardson, Chemical Engineering. Volumen One 3a. Ed. Pergamon Press, London 1977. Fox, R.W. y McDonald, A.T. Introducción a la Mecánica de Fluidos. 4a. Ed. McGraw-Hill. México, 1995 Himmelblau, D.M. y Bischoff, K.B. Process Analysis and Simulation (Determinastic Syst.). Wiley, New York, 1968. Holman J. P. Transferencia de Calor. CECSA, México, 1988. Kessler, D. P y Greenkorn R. A. Momentum, Heat and Mass Transfer Fundamentals. Marcel Dekker Inc., New York, 1999. Mc. Cabe, W.L., Smith, J.C y Harriot, P. Operaciones unitarias en Ingeniería Química. 6a. Ed., Mc. GrawHill Interamericana, México, 2002. Mills A. F. Transferencia de Calor. McGraw-Hill-Irwin, Bogotá, 1998. Green, D.W. y Perry, R, H. Perry's Chemical Engineers Handbook. 8a. Ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 2008. (7a – 19987) Potter, M.C., Wiggert, D.C. y Hondzo, M. Mecánica de fludios. 2a. Ed. Prentice Hall, México, 1998. Reid, R.C.; Prausnitz, J.H y Sherwood, T.K. The a Properties of Gases and Liquids. 3 . Ed., McGrawHill Book Company, New York, 1977. Rouse, H. y Howe, J. W. Basic Mehanics of Fluids. Wiley, New York, 1953. Streeter, V.L. y Wylie, E.B. Mecánica de los fluidos. 8a. Ed., McGraw-Hill, México, 1996. Fenómenos de Trasporte

vi

G. Chacón V.

Treybal, R.E. Operaciones de transferencia de masa. 3a. Ed., Mc. Graw-Hill, México, 1988. Welty, J.C. et all. Fundamentos Transferencia de Momento, Calor y Masa. 2a. Ed., Limusa-Wiley, México, 1994. Welty, J.C. et all. Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer. 5a. Ed., John Wiley & Sans Inc. New York, 2008.

PRESENTACIÓN Como su nombre lo dice, este documento es de apoyo didáctico para las exposic iones, en clase, del profesor, no incluye muchos de los detalles y explicaciones; de tal manera, que permita al expositor realizarlas y trasmitir la tradición y los criterios de la Ingeniería. Por otro lado, es complemento de las obras clásicas sobre los Fenómenos de transporte de la cantidad de movimiento, el calor y la masa de una sustancia. El material está dirigido a las alumnas y los alumnos de un primer grado en Ingeniería, como fundamento y entrenamiento en los conceptos, las teorías y los modelos que son utilizados en las Operaciones y procesos unitarios. El desarrollo teórico del tema, es lo más general posible y se plantean las relaciones sobre el análisis macroscópico, para enfatizar el sentido físico de los términos, aunque parezca contradictorio por la maquinaria matemática que utiliza. La forma diferencial de las ecuaciones, se obtienen con recursos matemáticos y no con el análisis microscópico, pues es típico que existan cursos anteriores de análisis diferencial de procesos y cursos de Cálculo con variables múltiples. En los ejercicios se presentan los equipos más empleados; se describen la forma, la función y las tecnologías. Se plantean las técnicas y los criterios tradicionales usados por los ingenieros para su análisis y su dimensionamiento. También, se analizan los instrumentos de medición que utilizan propiedades de estado en forma directa.

Fenómenos de Trasporte

vii

G. Chacón V.

Fenómenos de Trasporte

viii

G. Chacón V.

Capítulo 1

1.1.2 CAMPO

GLOSARIO DE PRINCIPIOS CIENTÍFICOS para el análisis de procesos con fenómenos de trasporte

Campo, es la descripción con respecto a la posición (x,y,z) y el tiempo (t) de una propiedad intensiva (escalar, vectorial, etc.), definida por una función continua f , de variables independientes x , y , z y t , de v alores w .

1.1

w = f(x,y,z,t)

CONCEPTOS MATEMÁTICOS

ISOLÍNEA 1.1.1 FUNCIÓN

y

Sea una función continua f de una variable independiente x y de valores y , de la variable dependiente. 50

z

y  fx w2,2

w2,1 w3,1

f (x)

40

w1,3

w1,2

w1,1 w3,2

w2,3 w3,3

yxo + x  y0 + y

y  tan   x

30

x

x

y0

20

y



Ejemplos: latitud, altitud, presión, temperatura, velocidad, concentración · · ·.

10

x0 + x

x0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10

Usos: Flujo de fluidos, Mapas, modelos, analíticos, gráficos o numéricos, teoría del caos, teoría de fractales · · ·.

La función representa la regla de la dependencia, en forma analítica, de cuadros o de gráficos, mediante los valores o datos de una variable, dependiente, efecto o respuesta, con respecto a una variable independiente, causa o estímulo. Fenómenos de Trasporte

1

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

2

G. Chacón V.

1.1.3 DERIVADA

1.1.4 TEOREMA O FÓRMULA DE TAYLOR

Incremento finito, perturbación o cambio de una variable

Variable dependiente f  y  fxx  fx Variable independiente x Derivada: se define para una función continua f, de una variable independiente x, de valores y, como el límite de la razón del cambio de la variable dependiente al cambio de la independiente cuando este último se hace muy pequeño. Que es el efecto de la variable independiente sobre la dependiente.

f  x  

dy f x  δ x   f x  δy  lím  lím δ x0 δ x d x δ x0 δx

Derivada parcial, es el efecto de una sola, de la variables independientes, sobre la dependiente; se define para una función continua f , de variables independientes x, y , z y t , de valores w , como

f  x  δ x, y , z , t   f  x, y , z , t   f w  lím  x x δ x 0 δx Diferencial: es la variación o perturbación infinitesimal de una variable

df  dy ;

dx

Diferencial (total): es la suma de todos los efectos

df 

f f f f dx dy dz dt x y z t

El valor de una función, f, de una variable, x, en un punto dado más un incremento finito, x, en términos de las derivadas en ese punto, es:

f x0  δ x   f  x0  

δx δ x2 f  x 0   f  x0   1! 2! δ x3 f  x0    3! 

δ x n (n) f  x0  f x0  δ x    En forma reducida n! 0 (n) indica orden de derivación. Es válida si la serie converge. Es útil si converge rápidamente, si después del tercer término, éstos se hacen despreciables. Se puede generalizar para una función, f, de más variables; para dos variables:

f  x 0  δ x, y 0  δ y   f  x 0 , y 0  

 f  x0 , y 0   1   f x0 , y 0  δx δ y   1!  x y 

 2 f x0 , y 0  1   2 f x0 , y 0  2 δ x  2 δ xδ y   2!  xy x 2

 2 f x0 , y 0  2  δ y   y 2  En general

Fórmula de Leibnitz: V2  t   f V  t  V  t  d V2 t  f d V  f V  t , t 2 dV  f V  t  ,t 1   2 1 V1  t  t d t V1  t  t t

Fenómenos de Trasporte

3

G. Chacón V.

f  k , 0  δ  k ,  ,  n , 0  δ  n  

1  n    n  0 n!  k  0 

Capítulo. 1. Principios científicos

(k )

f  k , 0 ,  ,  n , 0   k

4

 δ   

n

k

G. Chacón V.

1.1.5 PROMEDIO

Promedios binarios

Para una variable y, que se relaciona por medio de una función, f, continua con una variable s, (región o extensión) y modificada por una función de peso p, el promedio se define como:

Para facilitar los cálculos, se emplean los siguientes promedios usando dos puntos o valores de una variable.




 y  y  yPROM 

 p f  d s   p d s

Los promedios, valores globales, de cazo o de bulto, se emplean para facilitar la descripción de los procesos, ya sea, con modelos teóricos, empíricos o cualitativos.



Promedio aritmético

y AM 

Promedio logarítmico

y LM

Promedio geo métrico

y GM     2 y IM  1 1 

Promedio armónico

2    ln   





Ejemplos Media (estadística) 

x

Centroide 

   p d x

p x  d x

  



   d A 



 d A

1,0

esfuerzo de arrastre 

   d t

S

Concentración

  v d A    v    d A 

  CA v  d A    C A     v d A  







1,6

1,8

2,0

0,94 0,92 Prom. logarítmico

S

S

Velocidad media

Fenómenos de Trasporte

  d A    d A r,z S

1,4

0,96



 F

1,2

0,98

Fuerza promedio

 F dt



1,00

0,90

Prom. geométrico Prom. armónico

0,88

Comparación de los diferentes promedios binarios con la media aritmética.



5

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

6

G. Chacón V.

1.1.6 APROXIMACIONES ÚTILES



lím 

D

1

0

2  D0

 D  2  lím  0 ln1   D0 0  2  D



1.2

    

k  k 0 1    T  ; el parámetro k varía linealmente,

Si:

ESCALARES, VECTORES Y TENSORES 1.2.1 TENSOR

Escalar, se define como la magnitud que posee un valor dado. Es un tensor de orden cero.

ss

La integral   T  T0 T0 k d T  k 0 1    2 T

 k  k0    T  T0    T  T0     2   

Se puede evaluar con



T

T0

k d T  k 0 1    T AM T  T0   k AM T  T0   T  T0   dT T0 k T  k 0 1   ln T T0  ln T T0 

x

Vector, se define como la magnitud que posee un cierto valor y una dirección. Es un tensor de primer orden.

 r  rx eˆx  ry eˆ y  rz eˆz 

La integral

Se puede evaluar con



T0

dT k  k 0 1    TLM lnT T0   k T lnT T0  LM T

Para una pendiente, formada por un arco s  s(x,y), muy pequeña Con



δ s  δ x   δ y  2

s δ s  1 x δ x

2



1

entonces

2

δy  1 δx

si

sen  

y y   tan  s x

i x, y,z

 0



y

7

ˆ

z

xx

xy

 yx  zx    yy  zy     i , j eˆi eˆ j i x, y ,z j  x, y ,z  yz  zz 

x

1.2.2 PRODUCTOS CON VECTORES Producto escalar por vector, produce un vector.

Producto escalar (producto punto) entre dos vectores, produce un escalar.

    v  A  v x  Ax  v y  Ay  v z  Az  v  A  cos  vA

Nota: ver definición de promedios en la Sec. 1.1.5.

Fenómenos de Trasporte

x



lím  R     R 2  2    R   2

z

  v    v x eˆ x    v y eˆ y    v z eˆ z

Para el área de un anillo cilíndrico



 r

i i

Tensor de segundo orden, se define como la magnitud que posee un valor con dirección y sentido.

 xx  ˆ   xy   xz

y

 r eˆ

T

T

s

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

8

G. Chacón V.

Producto vectorial (producto cruz o aspa) entre dos vectores, produce un vector.

eˆ x   r  v  rx vx

eˆ y ry vy

eˆ z   rz   r  v  sen  rv ˆ  rv vz

1.2.4 OPERADORES DIFERENCIALES

Gradiente, para un campo o una función, continua, f , de variables independientes x , y y z , es la operación

 f f f f  eˆx  eˆ y  eˆz x y z

Producto diádico, es el producto entre dos vectores que produce un tensor de segundo orden.

 u x  vx   u v   ux  vy u v  x z

u y  vx u y  vy u y  vz

u z  vx   uz  vy    i  x, y, z u z  vz 

 u  v eˆ eˆ

j  x, y, z

i

j

i j

1.2.3 PRODUCTOS CON TENSORES DE ORDEN DOS Producto escalar por tensor, produce un tensor.

s  ˆ 

  s   eˆ i, j

i  x, y , z j  x, y , z

 

i x, y ,z j  x, y, z

i, j

  j ,i

Producto tensorial (producto punto simple) entre dos tensores, produce un tensor.

ˆ  ˆ 

        i , j   j , k  eˆk  eˆi     i  x, y, z  k  x, y, z  j  x, y, z  



Producto vectorial (producto punto) entre un tensor y un vector, produce un vector.



ˆ  v 

Fenómenos de Trasporte

     i , j  v j  eˆi   i  x, y, z  j  x, y, z 



9

  r ry rz  r  x  x y z Diferencial de un campo tensorial, existe la operación

   ˆ 

i

Producto escalar (producto doble punto) entre dos tensores, produce un escalar.

ˆ : ˆ 

Divergencia, para un campo o función vectorial, continua, r , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación

  x , k  y , k  z , k    y z k  x , y , z  x



  eˆk 

Rotacional, para un campo o función vectorial, c ontinua, v , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación

eˆ x    v  x vx

eˆ y  y vy

eˆ z  z vz

v   v  v v  v   v   z  y  eˆx   x  z  eˆ y   y  x  eˆz z  y  x   z  y  x Laplaciana Laplaciana de un campo escalar, para una función continua, f , de variables independientes

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

10

G. Chacón V.

Por la dificultad de expresar esta relación en coordenadas curvilíneas, es preferible usar la fórmula del cálculo vectorial,

x , y y z , e s la operación, producto escalar del gradiente,

 2 f 2 f 2 f 2 f  2  2  2 z y x

v   r  v  r   v    r  r    v  r   v 

Laplaciana de un campo vectorial, para un vector representado por una función continua v , de variables espaciales independientes x , y y z , es la operación

 2   2 v  2 v  2 v  2    v  2  2  2   v x eˆ x   2 v y eˆ y   2 v z eˆ z z y x Por su dificultad para aplicarla a coordenadas curvilíneas, es preferible usar la fórmula del cálculo vectorial,



  

         2v     v      v











vx  t

dvx  dt

La interpretación de derivada sustancial o total, es que expresa la variación o efecto con respecto a un “observador” fijo, mientras que la derivada parcial lo hace con respecto a un observador que se mueve con la velocidad del volumen de control. 1.2.5 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Derivada sustancial o material Derivada sustancial o material de un campo escalar, para una función continua, f , de variables independientes x , y y z , es la operación de la derivada total respecto al tiempo

Df f f f f   f  vx  vz    v f  vy Dt y z t t x



Para un campo vectorial v , que actúa en una región ocupada por un volumen V y cerrada por una superficie A , se cumple que



     v  d V   V

A

  v  dA

Se debe a Gauss, Ostrogradskii y Green. Derivada sustancial o material de un campo vectorial, para un vector representado por una función continua r de variables espaciales independientes x , y y z , es la derivada total respecto al tiempo

      r Dr r r r r     vx  vy  vz    v  r Dt x y z  t t





Para un campo tensorial, ˆ :





    ˆ  d V   ˆ  dA V

A

Para un campo escalar, f:



   f  d V   V

Fenómenos de Trasporte

11

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

12

A

 f dA

G. Chacón V.

1.3 CONCEPTOS FÍSICOS

1.3.1 CONCEPTOS BÁSICOS Espacio, es la formulación conceptual de aquello que, a los sentidos, se manifiesta como grande o pequeño, alto o corto, ancho o delgado, etc. Materia, es la idea que concretiza la presencia de una cosa que uno observa ocupando un espacio y se puede determinar por los sentidos: si cambia de forma, color o se mueve, si impide el paso, si se manifiesta un aroma, si vibra, etc. Sustancia: es una materia que está formada por una especie química pura. Puede ser un elemento o compuesto. Mezcla: es un conjunto de sustancias presentes en un espacio dado. Estado, se dice que una materia posee un estado dado, cuando se intuyen o se tiene una idea concreta de las condiciones o circunstancias que definen su situación, modo de ser, etc.

Movimiento: Energía: Consistencia:

ánimo, color, edad, calidad, geometría, sabor Posición, rapidez, cantidad de movimiento e. cinética, e potencial, e interna, e. de vibración, etc. aglomeración, espesamiento, forma, resistencia al movimiento o la deformación, etc

Cambio de estado, se dice que una materia realiza un cambio de estado, cuando cambia al menos una de sus características o atributos. Proceso o transformación: se dice que una materia realiza un proceso, cuando efectúa uno o más cambios de estado en secuencia. Movimiento, es aquella característica que uno observa cuando una materia cambia o pasa de una posición (punto, lugar o espacio) a otra. Forma , es aquella característica que uno observa que determina el espacio que ocupa una materia, se nota cuando el espacio ocupado cambia de tamaño.

Propiedad de estado, es aquella característica o atributo que define uno y sólo un estado dado y se puede (o podría) evaluar cuantitativamente (medida). Ejemplos: ancho, volumen, posición, concentración, temperatura, tiempo, esfuerzo, velocidad, color, etc.

Propiedad intensiva: Propiedad extensiva:

Etc.

Fenómenos de Trasporte

Ejemplos: frecuencia de onda (color), años (edad), velocidad (movimiento), fracción de no conformes (calidad), temperatura (energía), viscosidad (movimiento), etc.

1.3.2 PROPIEDAD

Ejemplos: Atributos:

Medida, patrón establecido, que representa una unidad de una característica o atributo, que define un tipo de estado de la materia. Se utiliza para comparar cuantas veces cabe el valor de una condición, que define un estado dado, con ese patrón.

13

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

la que no depende de la masa la que es proporcional a la masa

14

G. Chacón V.

Equilibrio, es un estado en el cual las propiedades que lo definen no denotan cambio. En Ciencia e Ingeniería, se evalúan y definen las propiedades en el equilibrio. En Ingeniería, se considera el estado estacionario, como un estado en pseudo equilibrio. En Ingeniería Química, se aprovechan los estados de equilibrio para realizar procesos, de separación o con reacción química, en etapas.

1.3.3 PROPIEDAD DE TRANSPORTE Propiedad de transporte, es aquella propiedad que se transporta (traslada, transfiere, mueve). Se manifiesta como una propiedad extensiva, que depende del área a través de la cual pasa. Se evalúan, por cálculo, como flujos o razones de variación con respecto al tiempo. Se definen como una función continua o campo, escalar o vectorial, sobre el modelo de una masa continua o continuo.

P  Px, y, z,t

  P  Px, y, z,t

o

Diferencias entre las propiedades de estado y de transporte Característica de la propiedad

Propiedad de estado

transporte

Extensiva por

Volumen (masa)

Evaluación

Por medición al inicio y al final

Área Por cálculo en un punto, instantánea

Su valor depende de como se realice el proceso (“camino”) Se manifiesta como

Fenómenos de Trasporte

no

sí

Una cantidad

Un flujo

15

G. Chacón V.

Las propiedades de transporte se clasifican como: Propiedades por advección, son las transportadas o empujadas dentro del sistema, por el flujo de masa que lo atraviesa. Ejemplos: flujo, a través de un volumen de control, de: masa, cantidad de movimiento, energía, masa de una sustancia, entalpía, entropía, · · · .

Propiedades mutuas o por difusión, son las que se transmiten de un punto a otro del sistema, debido a diferencias o gradientes de potenciales energéticos. Ejemplos: difusión de masa de una sustancia por un gradiente de concentración, calor por conducción por gradiente de temperatura, fricción interna por gradiente de velocidad, · · · .

Propiedades de contacto, son las que actúan entre la superficie de frontera del sistema o una porción de ella, interfase, y un cuerpo o un medio externo. Ejemplos: calor por radiación, potencia, · · · .

Propiedades externas, son las causadas por campos externos y que actúan sobre el sistema. Ejemplos: campo gravitatorio, campo electrostático, · · · NO T A: En los procesos con flujo de masa, las otras propiedades de transporte (sin advección) se afectan por las propiedades por advección (convección); por lo cual, las transferencias de propiedades, son fenómenos en los que se manifiestan varias propiedades de transporte a la vez.

Capítulo. 1. Principios científicos

16

G. Chacón V.

1.3.4 SISTEMA Sistema, es el conjunto de elementos, concretos o abstractos, separados arbitrariamente del universo por fronteras físicas o imaginarias y que interaccionan entre sí y con el ambiente, utilizado para efectuar un análisis con un objetivo o problema definido. AMBIENTE

INSUMO SISTEMA

PRODUCTO

Análisis, se dice que se realiza un análisis cuando para un sistema dado, se estudia el efecto de las propiedades, variables, interacciones o insumos, sobre el producto del sistema o el proceso que realiza. Propósito, la definición del uso que se le va a dar al análisis (evaluación, modelo, control, diseño, etc.). Recursos (para el análisis), tiempo, dinero, medios de obtener la información, instrumentos de medición, con los que se cuenta para desarrollar el análisis. También, herramientas de trabajo, matemáticas, tecnológicas, estadísticas, etc. para realizar los cálculos y analizar la información. Modelo, es la descripción, en forma simbólica, del sistema definido, utilizando las variables, propiedades e insumos más significativos, de los que están involucrados, y las interacciones entre ellos, con el medio y con el producto.

Volumen de control, en un espacio fijo, delimitado por una superficie dada, que se define como sistema y que contiene una cantidad de materia, masa, aunque la materia en sí cambie. Masa de control, cantidad de materia, masa, fija que se utiliza como sistema. Prototipo, ente real o imaginario, del cual se está definiendo un sistema. Insumos, elementos materiales, recursos financieros, tecnología, materia prima, personal, equipo de medición, etc., con lo que cuenta el prototipo para obtener un producto dado.

Diseño, se dice que se realiza un diseño, cuando para un insumo, un producto o problema dado se propone un sistema. Evaluación, es la medición de las variables del proceso y las características del producto que efectúa un prototipo, su archivo, manipuleo y análisis. Se utiliza para compararlo con un estándar de calidad, un patrón de comportamiento del prototipo, un modelo del sistema o el diseño del sistema; con el propósito de efectuar controles (calidad, proceso, producción, inventarios, etc.), calcular eficiencias y obtener otros parámetros para la toma de decisiones.

Productos, objetos, materiales o intangibles, o beneficios generados por un prototipo.

Fenómenos de Trasporte

17

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

18

G. Chacón V.

1.4

1.4.3 MOVIMIENTO

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

1.4.1 ESPACIO Longitud: es el espacio o distancia entre dos puntos, establecido operacionalmente con un patrón de medida. Su unidad es el m.

Posición, es aquella característica que uno  observa cuando un objeto cambia o pasa r de un punto a otro. En forma operacional se define, como la longitud entre un punto dado y uno de referencia, 0, y su dirección (ángulo). z

Ángulo: es el espacio o distancia entre dos puntos de un arco, establecido operacionalmente como la fracción de un círculo. Su unidad es el rad.

m m

Área: es el espacio delimitado por dos longitudes que se intersecan, y se intuye como la proyección de un cuerpo o cantidad de materia. Su unidad es el m2.

r

 r

Volumen: es el espacio delimitado por tres longitudes que se cruzan, y se intuye como el espacio ocupado por un cuerpo o cantidad de materia, con una forma dada. Su unidad es el m3

t

x

 y

1.4.2 TIEMPO Tiempo: es aquella magnitud que, a los sentídos, se manifiesta como que ha transcurrido, al ir ca mbiando el estado de la ma teria, las cosas, personas, hechos, fenómenos, etc. El tiempo es establecido operacionalmente con un patrón de medida, como el intervalo en que se repite un fenómeno (frecuencia).

Desplazamiento, es la longitud en que se traslada un objeto, en una dirección dada.

 δr

Velocidad, es la razón por cociente de un desplazamiento dado, entre el tiempo (diferencia) en que transcurre el mismo.

  dr v dt

Conceptualmente, se define primero la velocidad y con ella el tiempo.

Aceleración, es la razón por cociente de la variación de una velocidad dada, con respecto al tiempo.

Fenómenos de Trasporte

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G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

20

  dv a dt

G. Chacón V.

1.4.4 MASA Masa, es la magnitud que representa una cantidad de materia; se manifiesta a los sentidos como una resistencia al movimiento o inercia. V es el volumen más pequeño posible cuya masa se comporta como un continuo

m V

Velocidad de acumulación de masa, es cuando la masa contenida dentro de un volumen de control varía, se dice que se acumula o des acumula.

dm dt

mδmm δm  lím  lím δ t 0 δ t 0 δ t δt

m

t

m + m m

Flujo de masa, cuando la masa cambia de posición dentro de un volumen de control, como un chorro, con una velocidad dada, se dice que fluye.

m

t

  m    v  A

v A

Densidad o intensidad de la masa, es el incremento o decremento de una masa con respecto al respectivo volumen (el que ocupa dicha cantidad de materia).



δm Lim δV δV  δ V

Gravedad específica densidad relativa Peso específico Compresibilidad isotérmica, módulo de compresibilidad Expansión isobárica, dilatación térmica

Fenómenos de Trasporte

g .e.  DR  

  δ  δ r  A δ t 0 δ t

 lím



r

1.4.5 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cantidad de movimiento, es una medida que representa la capacidad que posee una masa para moverse. Operacionalmente se define como la masa por la velocidad

0

  g

Cantidad de movimiento

1 V  1           V   P T    P T 1 V  1           V   T P    T P

21



G. Chacón V.

Partícula

Acumulación

Flujo (Fluido)

 mv

 d m  v  dt

  v  A  v

Capítulo. 1. Principios científicos

22

G. Chacón V.

1.4.6 ENERGÍA

1.5

Energía, es una medida, que representa la capacidad que una materia posee para mantenerse en movimiento, con una forma dada o en una posición dada; o bien, para mantener sus partículas juntas, en movimiento interno, etc.

PROPIEDADES DE ESTADO 1.5.1 FUERZA (Leyes de Newton)

Fuerza, es la propiedad que mide la capacidad de mover, deformar o levantar una masa (campo vectorial). Se manifiesta a los sentidos co mo e mpuje, pesado o apretado.

Energía cinética La energía asociada con el movimiento 1 2

Partícula

1 2

Flujo (Fluido)







d 2 2 m v v0 dt   2 2  v  A v  v 0

1 2

Acumulación



2 2 m v  v 0





 F

 d mv  F dt

 A  R



Energía potencial La energía asociada con la posición, perpendicular a la superficie de la tierra

m  g  z  z 0 

Partícula

d m  g  z  z 0  dt     v  A g   z  z 0 

Acumulación Flujo (Fluido)





Energía interna La energía asociada con la materia; como una representación métrica de la suma de las energías cinéticas y potenciales de las moléculas que forman la materia en cuestión: atracciones, movimientos, rotaciones, etc.

m  u  u 0 

Partícula

d m  u  u 0  dt     v  A u  u0 

Acumulación



Flujo (Fluido) Fenómenos de Trasporte

23



G. Chacón V.

Equilibrio mecánico. Cuando la posición de un sistema no cambia (con el tiempo), se dice que el sistema está en equilibrio mecánico con el medio.

 δF  0

 FMedio Sistema  R



F  0

  F δF   Potencial mecánico. Se postula que, en el R  F  equilibrio, existe una “fuerza motriz” igual y contraria en todo el sistema, llamada fuerza de reacción, R.

Trabajo. Si el sistema no está en equilibrio mecánico, se produce una transferencia de energía llamada trabajo. Se manifiesta como levantar un peso. Potencia. Para un volumen de control, se manifiesta como “flujo de trabajo” que es transportada por una masa o que gira un eje Capítulo. 1. Principios científicos

24

 d  mv  dt

  F  dr 



  F  d v   M  G. Chacón V.

Esfuerzo, es la intensidad de la fuerza reactiva con respecto al área en que actúa.

Te mperatura, es la propiedad que mide la capacidad de modificar la energía interna de la materia (campo escalar). Se manifiesta a los sentidos co mo caliente o frío .

Rn Rs

1.5.2 TEMPERATURA

An

Esfuerzo directo o normal Es la razón de la componente normal de la reacción al área normal, al sistema. Esfuerzo cortante o tangencial Es la razón de la componente tangencial o de cizalla de la reacción al área, normal al sistema.

 nn 

 sn 

Presión interna P Es un promedio de los esfuerzos directos en todas las direcciones.

δ Rn lim δ Aδ A δ An

δ Rs lim δ Aδ A δ An

 xx   yy   zz 3  s   T   v V

Presión externa  Es un promedio de la intenδF  lim sidad de la fuerza que actúa PAC  δ Aδ A δ AAC sobre el sistema, en todas las direcciones.

Equilibrio térmico Cuando la temperatura de un sistema no cambia (con el tiempo), se dice que está en δT  0 equilibrio. Si el cuerpo está en equilibrio, la temperatura es uniforme en toda la masa Potencial térmico Se postula que, en el equilibrio, existe una “fuerza motriz” igual en todo el sistema llamada temperatura, T.

Medio

TS

Sistema T

Tf  T  δT

 u  CV     T V  s   T   u V

Calor Si el sistema no está en equilibro térmico, se produce una  transferencia de energía,  llamada calor. Se manifiesta Q  h Ts  T f d A como un intercambio de energía, en forma de flujo, del sistema de mayor temperatura al de menor temperatura.

 



Tensor esfuerzo

Si

 nn   nn  P

Fenómenos de Trasporte

 xx  entonces ˆ   xy   xz

25

 yx  zx    yy  zy   yz  zz 

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

26

G. Chacón V.

1.5.3 CONCENTRACIÓN

Actividad El potencial químico se prefiere expresar en términos de la actividad y ésta en términos de la concentración.

Concentración, es la densidad de partículas de una de las especies químicas o sustancias de una mezcla (es un campo escalar). Se manifiesta a los sentidos por los cambios de color, textura, espesamiento, olor, etc.

 A   A0

 R  T  ln a A   R  T  lnf  x A 

Formas de expresar la concentración δ mA  A  lim δV δV  δ V δn C  lim δV δV  δ V

Molécula de A Equilibrio másico Cuando la concentración de cada una de las sustancias, que forman el sistema no cambia (con el tiempo), se dice que está en δA  0 equilibrio

medio

A

sistema AA

  G   Potencial químico    Se postula que, en el equilibrio, i  n   i  T , P ,nj existe una “fuerza motriz”, igual en todo el sistema, llamado poten  nu      cial químico,  A  ni  nv ,ns ,nj Energía libre Si el sistema no está en equilibrio se produce una transferencia de energía libre (de Gibbs). Que se manifiesta como un movimiento G  nu  P  v  de masa de una sustancia dada, i, n  i entre el sistema y el medio o bien, T  s   por una reacción química; que son “acompañadas” con una transferencia de energía: calor, trabajo, etc



Fenómenos de Trasporte

27

G. Chacón V.

Nomenclatura V m



n C MA mA nA

m3 kg kg/m3 kmol kmol/m3

volumen total de la mezcla, masa total de la mezcla, densidad total de la mezcla, moles totales de la mezcla, densidad molar total de la mezcla,

masa molecular de la sustancia A kg A/kmol A masa de la sustancia A, en la mez- kg de A cla kmol de A moles de A, en la mezcla, mA/MA

Concentración

A 

δ mA lim δV δV  δ V

Concentración molar

CA 

δ nA   A lim MA δV δV  δ V

Fracción peso o masa

wA 

mA  A  m 

Fracción molar

xA 

nA C A  n C

Relaciones entre las formas de expresar la concentración

xA 

wA M A  wI M I 

Capítulo. 1. Principios científicos

wA 

28

xA  M A  xI  M I

G. Chacón V.

1.6

1.6.2 DIFUSIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA Ley de Fick

DIFUSIÓN

1.6.1 DIFUSIÓN Difusión, es el movimiento de una propiedad extensiva de la materia (de transporte), a través de una masa, en una dirección dada, mientras la masa, como un todo, no se traslada en la dirección del flujo de la propiedad en cuestión. Se cumple que: El valor del flujo de la propiedad de transporte es proporcional al área transversal y al negativo de la diferencia de concentración de la propiedad de estado correspondiente e inversamente proporcional al camino recorrido

Coeficiente Área Gradiente Flujo =  de de de difusión transversal concentración Propiedad

El fenómeno que se manifiesta cuando un flujo de una sustancia A, componente de una mezcla, se mueve de la zona de mayor concentración de A a la de menor concentración, mientras el resto de la masa no se traslada en la dirección del flujo de A, se denomina difusión de masa. Se cumple que: el flujo de la masa de A es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de la sustancia A (o al potencial químico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

J Ax 

j Ax d CA   D AB dx Ax CAo

Ley de Fick En general

Ax

jAx

  J A   D AB  C A

CA

En forma matemática

fx 

Para jAx y DAB constantes

dC Fx   Ax dx

xo



Fx

En general

  f    C

C

Para fx y  constantes

F  K C , 0  A0 Co  C  xo  C: concentración de la propiedad, cantidad de propiedad por unidad de volumen : difusividad, m2/s KC,0: coeficiente total de transferencia, de la propiedad, evaluado en un punto escogido 0, m/s. Correspondiente al área en ese mismo punto. A0, m2

Fenómenos de Trasporte

j A  K C , 0  A0 C A, 0  C A, 

Ax

Co

29

G. Chacón V.

mA: masa de la sustancia A, en el sistema,

kmol

CA: concentración de A, ( mA/V)

kmol/m3

jA:

kmol/s

flujo de la sustancia A,

JA: intensidad de flujo, “flux” de la sustancia A, DAB: difusividad másica de A en B,

kmol/s m2 m2/s

KC: coeficiente total de transferencia de masa, m/s.

Capítulo. 1. Principios científicos

30

G. Chacón V.

1.6.3 DIFUSIÓN DE LA ELECTRICIDAD Ley de Ohm

1.6.4 DIFUSIÓN (Conducción) DE CALOR Ley de Fourier

El fenómeno que se presenta cuando un flujo de carga eléctrica se mueve de la zona de mayor concentración de carga a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección del flujo de carga, se define como difusión de carga o corriente eléctrica. Se cumple que: el flujo de carga es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de carga eléctrica (o al potencial eléctrico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

El fenómeno en el cual un flujo de energía térmica, o calor, se mueve de la zona de mayor concentración de energía interna a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección del calor, se denomina difusión de energía térmica o calor por conducción. Se cumple que: el flujo de calor es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de energía interna (o al potencial térmico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

Jx 

d CQ ix   Ax dx

qx  CQo

En general

  J     CQ

Ax

Jx

  q    CU

Ax

Qx

CU

Para qx y  constantes

i  K C , 0  A0 CQ , 0  CQ , 

con lo que

Q  K C , 0  A0 CU , 0  CU , 



xo

Definición de potencial eléctrico

Q = C·E

  J    E

1 i  E0  E  R

con lo que

G. Chacón V.

xo



U =  V CV T

  q   k  T Ley de Fourier Q  h  A0 T0  T 

Ley de enfriamiento de Newton

Ley de Ohm

carga eléctrica, A s  Coulomb concentración de carga ( Q/V), A s/m3 flujo de carga o corriente, A  Ampere intensidad de flujo, “flux”, de carga o densidad de corriente, A/m2 : difusividad eléctrica, m2/s KC: coef. total de transferencia de electricidad, m/s E: potencial eléctrico, V Volt C: capacidad eléctrica, A s /V  Faraday : conductibilidad eléctrica (·C/V), A/m V R: resistencia eléctrica, V/A  Ohm 31

Definición de temperatura Para q y k constantes

Q: CQ: i: J:

Fenómenos de Trasporte

CUo

En general

CQ

Para Jx y  constantes

Para i y  constantes

Q x d CU   Ax dx

U: CU: Q : q: : KC: T: CV: k: h:

energía interna, J  Joule concentración de energía interna ( U/V), J/m3 flujo de calor, W  Watt intensidad de flujo, “flux”, de calor, W/m2 difusividad térmica, m2/s coeficiente total de transferencia de calor, m/s temperatura o potencial térmico, K  Kelvin capacidad calorífica o calor especifico, J/kg K conductibilidad o conductividad térmica, W/m K (·CV/) coeficiente de transf. de calor o de película, W/m2 K

Capítulo. 1. Principios científicos

32

G. Chacón V.

1.6.5 DIFUSIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ley de viscosidad de Newton

v:

:

El fenómeno producido por la fuerza de fricción que actúa sobre una masa, que fluye, en régimen de flujo laminar, crece de la zona de mayor concentración de cantidad de movimiento a la de menor concentración, mientras la masa no se traslada en la dirección de la fuerza de fricción, se denomina difusión de cantidad de movimiento, pérdidas por fricción o fuerzas viscosas. Se cumple que: la fuerza de fricción es directamente proporcional al área transversal al flujo y a la diferencia de concentración de la cantidad de movimiento (o al potencial mecánico) e inversamente proporcional al camino recorrido.

 xy 

d CM y Rx   Ax dx

velocidad o potencial mecánico,

m/s

Nota: la capacidad mecánica sería unitaria y adimensional

conductibilidad mecánica o viscosidad ("dinámica") (·), CF: coeficiente de arrastre o de fricción, : esfuerzo cortante viscoso, Es de naturaleza tensorial

 xx  yx  ˆ   xy  yy   xz  yz

 v x   x  zx     v  zy      v     y  x  zz   v z  x 

kg/m s Adim. Pa  Pascal

v x y v y y v z y

v x   z  v y   z  v z  z 

vy Rx xy CMy,o

En general

ˆ    ˆ CM

Ax CMy,

Para  y  constantes



Rx  K C , 0  Ax , 0 C M Y , 0  C M Y , Cantidad de movimiento



xo



My =  V vy



ˆ     v

con lo que

Ley de viscosidad de Newton Para  y  constantes

Rx  CF , 0    v y ,   Ax ,0 v y ,0  v y , 

M: CM: R: : KC:

cantidad de movimiento, kg m/s conc. de cantidad de movimiento ( M/V), kg/s m2 fuerza viscosa, de fricción o rozamiento, N  Newton difusividad mecánica o "viscosidad cinemática", m2/s coef. total de transf. de cantidad de movimiento, m/s

Fenómenos de Trasporte

33

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

34

G. Chacón V.

1.6.6 RELACIONES DE LAS DIFUSIVIDADES Las difusividades dependen de las materias que conforman el sistema, la temperatura, la presión y l a concentración, del mismo.   (sust., T, P, x I ) Los coeficientes totales de transferencia dependen, también, de la geometría del sistema y de las características del flujo de fluidos del sistema. Kc = K(sust., geom.,  , v, T, P, x I , etc.)

RELACIONES ENTRE PARÁMETROS DIFUSIONALES

No. de Lorenzo, para sólidos

Lo 

k conductibi lidad térmica   T conductibi lidad eléctrica

P ar a m et a l e s pur o s: L o  3 (  /e ) = 2, 2 3 1 0 - 8

No. de Prandtl Las difusividades tienen correspondencia entre sí, lo que genera números, adimensionales, que representan razones entre las diferentes fuerzas motrices y que describen la naturaleza del fluido en movimiento. Se emplean para: Escalamiento: Sistemas dinámicamente semejantes, características semejantes de los materiales, usados para la correspondencia entre equipos de tamaño diferente o de procesos de magnitud de su producción diferente, etc. Generalización Extender los datos de prototipos en la simulación física, analógica o matemática, mejorar los modelos teóricos de procesos o sistemas con ayuda de la respuesta experimental, etc.

Pr 

  C P difusivida d mecánica    k difusivida d térmica

P ar a ga se s m on oa tó mi co s P r  (0, 65- 0, 90)  1

No. de Schmidt

Sc 

 D AB



  D AB



difusivida d mecánica difusivida d másica

P ar a ga se s mon oa t ó mi co s Sc  ( 0, 67- 0 , 83)  1

No. de Lewis

Le 

 D AB



k

 C P DAB



difusivida d térmica difusivida d másica

Análisis dimensional Encontrar relaciones empíricas del comportamiento de los procesos en sistemas dados, para evaluar parámetros de transporte (Kc, C F , h, k C , etc.).

Fenómenos de Trasporte

35

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

36

G. Chacón V.

1.7

  C F    v f vs  v f 

FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA SUPERFICIALES

:

esfuerzo cortante, Pa = N/m2 vs: velocidad del fluido, paralela a la superficie, en contacto con la superficie, m/s vf: velocidad del fluido, paralela a la superficie, m/s CF: coeficiente de fricción o arrastre Adim. Nota: K = CF··vf , es el coeficiente de transferencia de

1.7.1 PÉRDIDAS POR FRICCIÓN EN UN FLUIDO Transferencia de cantidad de movi miento

kg/m2 s

cantidad de movimiento,

La fricción en un fluido , es el fenómeno de transferencia de esfuerzo o de cantidad de movimiento entre una superficie sólida y un fluido adyacente, que se desplaza en forma paralela al mismo. Es provocado por el roce entre las partículas en movimiento, tanto dentro del fluido como con la pared. Se ve afectado por varias causas.

No debe confundirse este fenómeno con la advección de cantidad de movimiento, debido al flujo de masa





    flujo de cantidad de movimiento    v  A v  v0 

1.7.2 CONVECCIÓN DE CALOR

Convección de calor , es el fenómeno de transFluido

 tx

vx vf

S

Superficie Interfase

Sólido

vs

ferencia de calor entre una superficie sólida y un fluido que lo rodea, en el cual, la difusión o conducción de calor se ve afectada por el movimiento de energía, arrastrada por el flujo de masa, advección de energía, en dirección del flujo de calor. Es provocado por diferentes causas.

El esfuerzo de fricción disminuye, en la zona, entre la pared sólida, con una velocidad vs, y la del seno del fluido, con velocidad vf, llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la velocidad es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El esfuerzo cortante debido a la fricción, difusión de cantidad de movimiento, se suele expresar, sobre la base de que la difusión de cantidad de movimiento, es, aproximadamente, proporcional a la diferencia entre la velocidad en la superficie y la del seno del fluido.

Fenómenos de Trasporte

37

G. Chacón V.

Fluido Q conv

v

Tf

S Superficie Interfase

Capítulo. 1. Principios científicos

Q radi

Ts Sólido

38

G. Chacón V.

La convección de calor se da en una zona, entre la pared sólida, a una temperatura Ts, y el seno del fluido, con temperatura Tf, llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la temperatura es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El fluido puede estar en movimiento, en dirección perpendicular a la transferencia de calor (paralelo a la dirección de la pared), el fenómeno lleva el nombre de convección forzada; y la transferencia se debe, principalmente, a ondas del fluido, remolinos y otras turbulencias. El fluido puede estar en reposo, la transferencia de calor se llama convección libre o natural; y, el fenómeno se debe, principalmente, al empuje provocado por la diferencia de densidad, que es efecto de la diferencia de temperatura, provocado por la fuerza boyante. Cuando la velocidad del flujo es “muy baja”, régimen de flujo laminar, puede dominar este fenómeno con respecto al de las turbulencias, mencionada en la convección forzada. El flujo de calor, en el caso de la convección, se suele expresar, sobre la base de la difusión de calor, como, aproximadamente, proporcional a la diferencia de temperatura entre la de la superficie y la del seno del fluido.

q  h Ts  T f 

q: Ts: Tf : h:

Ley de enfriamiento de Newton

intensidad de flujo (flux) de calor, temperatura en la superficie del sólido, temperatura en el seno del fluido, coeficiente de transferencia de calor o de película,

W/m2 K K W/m2 K

No se debe confundir este fenómeno con la advección de energía debido al flujo de masa





  flujo de energía    v  A u  u 0 

Fenómenos de Trasporte

39

G. Chacón V.

1.7.3 RADIACIÓN TÉRMICA

Radiación térmica , es el fenómeno de transferencia de calor entre una superficie y otra, sin que interfiera un medio entre ellas. Se considera que se realiza en forma de ondas, radiación electro-magnética o por fotones, cuantos de energía. Se definen los siguientes términos

Emisión de radiación , es el flujo de radiación térmica que sale de una superficie (de un cuerpo). Reflexión de la radiación , es el flujo de radiación térmica que la superficie recibe, pero que vuelve a salir, es decir la refleja. G : Irradiación, es el flujo de radiación térmica que la superficie (cuerpo) recibe.

J : Radiosidad, es el flujo de radiación térmica que sale de una superficie por emisión y reflexión.

 : Absorbancia, es la fracción de la radiación que recibe la superficie (cuerpo) y que es absorbida por la misma.

 : Reflectancia, es la fracción de la radiación que recibe la superficie (cuerpo) y que es reflejada por la misma.

 : Emitancia o emisividad, es la fracción o eficiencia de la radiación que emite un cuerpo con respecto a lo que emite un cuerpo negro. Para un objeto opaco o no transparente:

  1  .

Capítulo. 1. Principios científicos

40

G. Chacón V.

Superficie negra o cuerpo negro, es la superficie o cuerpo, ideal, que absorbe toda la radiación incidente o irradiación, sin reflejar nada. La radiación que proviene, irradiación, de una superficie negra se describe por

J    Ts

4

fase II

W/m K

constante de Stefan Boltzmann, 5,6705 10-8 W/m2 K4

Irradiación

T2 Cuerpo gris

fA* límite de fase

xAL

1

xA*

Q12

1

A1

x

Cuando un sistema constituido por varias sustancias o especies químicas, distribuidas entre varias fases, está en equilibrio, las actividades (a i ) de cada uno de ellas, en todas las fases, son iguales.

aiI  aiII   aiN

T1

    Constante

xi

0

Superficie gris, es la superficie o cuerpo, para la cual la absorbancia y la emitancia son constantes e iguales

A2



fAG

yi

fase I

Transferencia de calor por radiación entre dos superficies grises grandes

2

fˆi

fi

2

solamente en Kelvin

Superficie gris

Fase: es una cantidad de materia totalmente homogénea en sus propiedades.

Ley de Stefan Boltzmann

J: radiosidad o potencia del cuerpo negro, Ts: temperatura en la superficie irradiante,

:

1.7.4 EQUILIBRIO ENTRE FASES

i

a i = a(sustancias, T, P, i)

Radiosidad

Superficie gris

Para líquidos

ai   i  xi

Para gases

ai  fˆi / f i 0

En la práctica

yi  mi  xi

La transferencia de calor entre dos superficies grises finitas, se representa por:







4 4 4 4 Q12radi  12  A1   T1    T2  1  A1   T1    T2

:



Factor de transferencia.

Fenómenos de Trasporte

41

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

42

G. Chacón V.

1.7.5 TRANSFERENCIA DE LA MAS A DE UNA SUSTANCIA EN LA INTERFASE

Relaciones para el cálculo líquidos

gases

ai  fˆi / f i 0

ai   i  xi Solución diluida y0

 i  H i   i

(1)

Transferencia de masa entre fases, es el fenómeno de transferencia de una sustancia A, que pasa de una fase (por ejemplo líquida) a otra fase (por ejemplo gaseosa) debido a la diferencia de potencial químico entre las dos fases.

fˆi  K i  yi

Solución concentrada y1

fˆi  f i 0  yi

 i   i0  1 Solución ideal

i 1

(2)

fˆi  f i  yi

Solución de gases perfectos o ideales

fˆi  P  yi  Pi

P0 (1)

Ley de Henry,

(2)

Le y d e Lewis y Randall,

(3)

.

Nota: En esta sección se tratará el tema tomando como ejemplo el equilibrio líquido vapor, es decir las fases son una líquida y la otra gaseosa, pero se puede aplicar para fases sólido gas, sólido líquido, sólido sólido, líquido líquido.

(3)

Gas,

Ley de Dalton

No me ncla tu ra : a i : a cti vida d de la su stancia i en la m e zcla  i : co e fi cie n t e d e a ct i vida d d e l a su stan c ia i e n la me z cla f i : f u ga cida d d e l a su stan cia i pu ra f i 0 : f u ga cida d d e l a su st a n ci a i en c on di ci on e s e stánd ar m i : co e fi cie n te de d i str ib u ci ón o r epar to par a la su stan c ia i P: p r e sión de l s i st ema H i , K i ,   i : co e fi ci e n tes x i : co mp o si c ión mo la r d e l a s u sta nci a i e n l a f a se líquida y i : co mp o si c ión mo la r d e l a s u sta nci a i e n l a f a se g a seo sa 0 : su pra índ i ce , se re fier e a u n e sta do e st ándar o d e r e fer enci a , ( Por l o ge ner al, de la sus ta nci a i a la tem pera tura de la m e zcla) . Ejemplos, cuando se usa la forma

yi  mi  xi

Solución gaseosa ideal y líquida ideal

mi  f i 0 / f i

Solución gaseosa ideal, de gases ideales y líquida normal Solución gaseosa ideal, de gases ideales y líquida ideal

mi   i  Pi 0 / P

PAG NA

v S

PAi

Superficie Interfase

Líquido,

CAi

CAL

La transferencia de masa entre fases se da en una zona entre la interfase, con una concentración CAi, PAi, etc., y el seno del fluido, a una concentración CAL, PAG, etc., llamada capa, película, límite. A partir de la cual, se considera que la concentración es homogénea y no varía en forma perpendicular a la superficie. El fluido puede estar en movimiento, en dirección perpendicular a la transferencia de masa de A, y la transferencia se debe, principalmente, a ondas del fluido, remolinos y otras turbulencias. No se debe confundir este fenómeno con la advección de A debido al flujo de masa





  flujo de A    v  A C A 

mi  Pi 0 / P

Ley de Roult Fenómenos de Trasporte

43

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

44

G. Chacón V.

El fluido puede estar en reposo, la transferencia de masa de A se debe, principalmente, al empuje provocado por la diferencia de densidad, que es efecto de la diferencia de concentración, provocado por la fuerza boyante. Cuando la velocidad del flujo es “muy baja”, régimen de flujo laminar, puede dominar este fenómeno con respecto al de las turbulencias, mencionada para la convección forzada. Para cuando se tienen dos fases, insolubles entre sí, en contacto y una sustancia, A, se distribuye entre ellas, si no está en equilibrio, el flujo de la masa de A, se suele expresar, sobre la base de la difusión de masa, como, aproximadamente, proporcional a la diferencia de concentración, dentro de la fase: entre la de la interfase y la del seno del fluido.

Coeficiente globales o to tales de transferencia de masa Como es difícil medir las concentraciones en la interfase

(CAi, PAi, xAi, yAi.), se definen los coeficientes globales de transferencia de masa, con base en el equilibrio de fases así:

Flujo en la fase gaseosa







N A  K y y AG  y *A  K G PAG  PA* Flujo en la fase líquida









N A   K x x AL  x*A   K L C AL  C A*



K…: Coeficiente global o total de transferencia de masa de A, unidades según corresponda

Flujo en la fase gaseosa

Con las relaciones de equilibrio definidas como:

N A  k y  y AG  y Ai   kG PAG  PAi 

y Ai  m  x Ai

Flujo en la fase líquida

N A  k x  x AL  x Ai   k L C AL  C Ai  2

NA: intensidad de flujo, flux, de masa de A, kmolA/s m CAi: concentración de A en la interfase líquida, kmolA/m3 CAL: concentración de A en el seno del líquido, kmolA/m3 PAi: presión parcial de A en la interfase gaseosa, Pa PAG: presión parcial de A en el seno del gas, Pa x, y: concentración molar kmolA/kmolA k…: coeficiente local de transferencia de masa de A, unidades según corresponda

Fenómenos de Trasporte

45

G. Chacón V.

y *A  m  x AL

x *A  y AG m

PA*  m  C AL

C A*  PAG m

Capítulo. 1. Principios científicos

46

G. Chacón V.

RELACIONES ENTRE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA

No. de Froude

v2 fuerza inercial  g  fuerza gravitacional

Fo 

Los fenómenos de transferencia en la superficie son muy complejos y dependen de: - La velocidad paralela a la superficie del fluido (y su turbulencia) - La diferencia de temperaturas y/o de densidades entre la pared y el seno del fluido - la geometría del sistema - Las asperezas (“roughness”) de la pared - Las propiedades de estado (T, P, , C) - las propiedades termofísicas (k, , DAB) - los accesorios, curvaturas, etc., del conducto donde se traslada el fluido

Kc = K( sust., geom.,  , v, T, P,  C I , k,  . D A B , etc. ) La complejidad de los fenómenos de transferencia en la superficie, hace que sea difícil desarrollar modelos mecanicistas sobre ellos, por lo que se utilizan modelos empíricos (correlaciones de datos experimentales) o semi empíricos; con las características de éstos: existen varios modelos para un mismo fenómeno, que van cambiando con el tiempo al desarrollarse mejores y más costosos experimentos y tecnología del tratamiento de datos. Las desviaciones (“errores”) alcanzan del 10 al 15 %, para fricción, del 10 al 30 %, para transferencia de calor y del 10 al 100 % para transferencia de masa.

Los coeficientes de transferencia tienen correspondencia entre sí, lo que genera números, adimensionales, que representan razones entre las diferentes fuerzas motrices que describen la naturaleza del fluido en movimiento.

No. de Euler

Eu 

 v2 P



fuerza inercial Presión

Coeficiente de fricción

 v2 fuerza inercial   fuerza cortante

Cf  No. de Grashof

Gr  g

  2  3



2

No. de Reynolds

Re 

 fuerza boyante  fuerza inercial

 v  fuerza inercial   fuerza viscosa

No. de Nusselt

Nu 

h  difusión t érmica convectiva  difusión t érmica molecular k

No. de Sherwood o No. de Nusselt de masa

Sh  Nu D 

kC  difusión másica convectiva  D AB difusión másica molecular

Se emplean igual que las difusividades para: escalamiento, generalización, modelos, y el análisis dimensional.

Fenómenos de Trasporte

47

G. Chacón V.

Capítulo. 1. Principios científicos

48

G. Chacón V.

2.1.2 PROPIEDAD EXTENSIVA

Capítulo 2 LEYES DE CONSERVACIÓN PARA UN VOLUMEN DE CONTROL

2.1

La propiedad extensiva es aquella que es proporcional a la masa. La masa está asociada al volumen, por lo que para una elemento de volumen

d m   dV

INTRODUCCIÓN 2.1.1 ALCANCE

El propósito de este capítulo es: formular las leyes científicas, que han sido planteadas para una masa de control o sistema de masa fija, para ser usadas en un volumen de control. 2.1.2 VOLUMEN DE CONTROL El volumen de control es un sistema que consiste en un espacio físico o marco fijo, delimitado arbitrariamente, el cual contiene una masa determinada que circula continuamente a través de mismo, cambia su estado y produce transformaciones e interacciones con el medio. El volumen de control, generalmente, representa un conjunto de recipientes o dispositivos, empleados para obtener algún beneficio material. La definición de un sistema como volumen de control se emplea en la Ingeniería, para el análisis, evaluación, control y diseño de los procesos en los que se manifiestan transporte de la masa de una sustancia, de la cantidad de movimiento y de la energía. El interés de emplear el volumen de control es: Evaluar el efecto que causa el movimiento de un fluido, sus transformaciones energéticas y los insumos, sobre algún dispositivo y en el beneficio del mismo. Evaluar los cambios en el contenido energético (velocidad, temperatura, concentración) de la masa que fluye a lo largo de un espacio dado. Es la primera etapa en el balance de transporte de masa (total), masa de una sustancia, cantidad de movimiento y energía. Y sus aplicaciones económicas y de ingeniería.

Fenómenos de Trasporte

49

G. Chacón V.

Para una propiedad extensiva, P, se puede obtener la propiedad intensiva, correspondiente, si se divide por la masa

δP δP dP  lím  δ m  δm  δ m δ m0 δ m dm

p  lím Nomenclatura: p: : V: L: A:

propiedad extensiva por unidad de masa densidad, kg/m3 volumen, m3 desplazamiento, m área, m2

2.2 TEOREMA DEL TRANSPORTE Para la demostración, se toma un sistema de masa constante, que se mueve dentro de un volumen de control; el cual incluye la entrada o la salida de masa y la que ocupa el volumen de control. La zona AB:

La zona B: La zona BC:

Es la masa del sistema de masa constante en el tiempo t; que representa la masa que está entrando en ese instante y la masa ocupada por el volumen de control Es la masa ocupada dentro del volumen de control; volumen constante, para ambos instantes. Es el sistema de masa constante en el tiempo t + t; que representa la masa que está saliendo en ese instante y la masa ocupada por el volumen de control.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

50

G. Chacón V.

El inventario o conservación de la propiedad extensiva, P Propiedad extensiva Sistema Volumen Tiempo masa constante de control B S = ABC

t

C

B

PSt

PAt + PBt entrada

t+t A

δP δP dP    P      lím   lím     δ t 0 δ t δ t 0 δ t t d   sistema  flujo salida  flujo entrada  t  volumen de control

El término

t A

Obteniendo el límite cuando t  0

B

C

PSt+t

t+t

PBt+t + PCt+t salida

Balance de Propiedad extensiva PSt+t  PSt  PBt+t  PCt+t  PAt  PBt ahora antes

ahora

salida

es el flujo de la propiedad que atraviesa la superficie (del volumen) de control. Este último término, no es un diferencial exacto, pues se refiere a una propiedad que depende del camino o trayectoria, típico de una propiedad de transporte (y no de las condiciones iniciales y finales del proceso, como las propiedades de estado). En la figura se observa el esquema de la salida, del cual se considera un elemento del volumen de control, que contiene el fluido que pasa a través del área de control diferencial, A

δ P  p    δV   δ P  p   δ L  δ A

entrada antes

El teorema establece, para una propiedad extensiva dada, de la materia, una relación entre la ley científica, que se postula para un sistema de masa constante o masa de control, análisis de Lagrange, y la correspondiente ecuación de conservación, para la propiedad en cuestión, en tránsito, dentro de un volumen de control fijo o inercial, el cual puede intercambiar masa u otra propiedad de transporte a través de sus fronteras o área de control, análisis de Euler. La propiedad extensiva del sistema de masa constante, S, se conserva por lo que

 δA

V

Entonces, para un flujo de una propiedad que atraviesa el área de control (entrada y salida), se plantea, la integral de contorno

P  

51

G. Chacón V.



A.C . L

Expresándolo como el cambio de propiedad extensiva con respecto al tiempo transcurrido, t, es decir la rapidez de propiedad,  PBt   PSt  δ t  PSt  δP  δP  P   Ct  δ t    At    Bt  δ t    δt δt   sistema  δ t  salida  δ t entrada   vol. de control

 v

 δL

PSt  δ t  PSt sistema  δ PCt  δ t salida  δ PAt entrada  PBt δ t  PBt vol. de control

Fenómenos de Trasporte

δP    δ t  flujo a través del área de control

El término

  p  δ L  A

 P     t  volumen de control

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

52

G. Chacón V.

es la tasa de cambio de la propiedad extensiva almacenada o acumulada en el volumen de control con respecto al tiempo. Una propiedad que actúa en el volumen se puede expresar, en términos de su respectiva propiedad intensiva como:

P  

V .C .

La Ley de conservación de la masa dice que

p    dV

La masa no se crea ni se destruye

Esto es, que para un sistema de masa constante o masa de control, que la masa, m, no varía con el tiempo,

Sustituyendo estas expresiones, se tiene

  P    p    d V    t  volumen decontrol t V .C .

dm 0    d t  sistema

Sustituyendo en la relación de para conservación de P

dP    d t  sistema

2.3 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA (TOTAL)

   δ  lím  p  δ L  δ A   p d V A.C . L δ t 0 δ t t V .C .

Para un volumen de control, con el teorema del transporte, si

La velocidad lineal se expresa como,

 δ v  lím δ t 0 δ t

  δL Lδ L  δlím t 0 δ t

 

 vx y

Por otro lado, el volumen de control V =V(x,y,z), y el área de control A = A(x,y,z) son independientes del tiempo, con lo que, usando el teorema de Leibnitz,

  p  dP        p v A d dV    A.C . V .C . t  d t  sistema La propiedad p, puede ser un escalar, un vector, un tensor de orden dos, etc. La expresión se puede describir en palabras, así: Flujo de neto Velocidad de cambio de la propiedad extensiva Velocidad de acumulación + de la propiedad extensiva = a través del área de control de la propiedad extensiva para una masa de control en el volumen de control (lo que entra  lo que sale)

Que es conocido como el Teorema del transporte de Reynolds.

Fenómenos de Trasporte

53

z

 dV

G. Chacón V.

: densidad del fluido, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2.

x

La ley científica de la conservación de la masa, se convierte en

   dm dV  0    v  d A     A . C . V . C . t  d t  sistema Con lo que se obtiene la Ecuación de la conservación de la masa para un volumen de control, o ecuación de continuidad

   d V   v  d A 0 V .C . t A.C . acumulación de masa

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

(2.1)

flujo de masa

54

G. Chacón V.

Forma global de la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control

d mVC    e  ve  Ae    s  vs  As dt entrada salida Donde la velocidad promedio es

(2.2)

  v d A  A.C .  v    d A A.C .

Aplicando el teorema de la divergencia a la ecuación 2.1, del balance de masa, se tiene

     V .C .  t      v  d V  0 por lo que

- Fluido estático: es el fluido, que ocupa un volumen de control y que no posee movimiento

criterio

 v 0

forma global

d mVC 0 dt

forma diferencial

 0 t

- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa

criterio forma global

     v   0 t

d mVC 0 dt



e

forma diferencial

Forma diferencial de la ecuación de conservación de la masa para un volumen de control (2.3)

 0 t

o

 ve  Ae 

entrada

Efectuando la derivada del producto y arreglando, se llega a la

      v       v  0 t

Casos específicos



s

 vs  As

salida

   v  0

- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad dentro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición

criterio

D 0 Dt

forma global El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de la derivada sustancial o material

- etc.

1 D   v 0  Dt

Fenómenos de Trasporte

55

1 d mVC d VVC     ve  Ae    vs  As dt  dt entrada salida   v 0 forma diferencial

G. Chacón V.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

56

G. Chacón V.

2.4

ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA A

La difusión de la sustancia A, a través del resto de la masa, se expresa por la Ley de Fick (....), que establece que es proporcional al gradiente de concentración de la sustancia en cuestión.

  J A   DABC A

La ley de conservación de la masa para una sustancia, componente de una mezcla, establece que

La masa (moles) de una sustancia, en una mezcla, no se crea ni se destruye, sólo se transforma. Para un sistema de masa constante o masa de control, la velocidad con que la masa molar nA, de una de las sustancias, A, que lo componen, se produce o consume, equivale a la rapidez, (rA), de generación o degradación, llamada reacción química.

 d nA      rA  m  0    d t  sistema

Y se obtiene la Ecuación de la conservación de la masa de una sustancia A, para un volumen de control acumulación de A

flujo de A por advección

    C A V C v A J A d  d  d   A A V .C . t A.C . A.C .      RA  d V  0

z

CA dV (-RA)dV x

y

CA: concentración de A, kmol A/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s 3 V: volumen, m A: área transversal al flujo, m2. (-RA): tasa de generación volumétrica de la sustancia A, kmol A/m3 s : factor de rendimiento o conversión JA: difusión de la sustancia A, a través del resto de la masa, kmol A/m2s

Con el teorema del transporte se expresa como

    d nA    C Av  d A   C A d V  0   A.C . t V .C .  d t  sistema

Generación, (), o degradación, (), de A

Forma global de la ecuación de conservación de la cantidad de una sustancia A para un volumen de control

d  C AV VC dt





C Ae  ve  Ae 

entrada

  kC AAC  C Aw  C Af

Pero el flujo de masa a través del volumen de control se debe al flujo por advección y al flujo por difusión

   N A  C Av  J A 57

G. Chacón V.

 C v  A      R V As

s

s

salida

A

VC

(2.6)

El término representa el intercambio, en promedio, de la sustancia A, debido al gradiente de concentración, entre la pared, w, del volumen de control, y el medio, f.

C Aw  C As  C AAC

Fenómenos de Trasporte

(2.5)

V .C .

Para un volumen de control, la ley científica de la conservación de la masa para una sustancia (especie química), A, si

vx CA JAx

flujo de A por difusión

C Af  C A  C AMEDIO

Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.5, del balance de masa de una sustancia A, se tiene que

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

58

G. Chacón V.

    C A     C v   A     J A     RA   d V  0 V .C .  t 

- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa

d mVC 0 dt

criterio

Por lo que

   C A      C A v     J A     RA   0 t

 0 t

forma global

Desarrollando el producto y arreglando, se obtiene la Forma diferencial de la ecuación de conservación de una sustancia A para un volumen de control

    C A    v  C A  C A  v    J A     RA   0 t

o

d C AV VC   C Ae  ve  Ae   C As  vs  As dt entrada salida

  kC AAC  C Aw  C Af      RA  VVC

forma diferencial

    D CA  C A  v    J A     RA   0 Dt

(2.7)

El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice.

Nota: quedan igual

Aplicando la definición de derivada sustancial o material

- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad dentro del volumen de control no cambia con el tiempo ni la posición

    D CA  C A  v    J A     RA   0 Dt

D 0 Dt

criterio Casos específicos

 v 0

d C AV VC   C Ae  ve  Ae   C As  vs  As dt entrada salida

  kC AAC  C Aw  C Af      RA  VVC

forma diferencial

forma global

d  C AV VC dt

   kC AAC  C Aw  C Af      RA  VVc

forma diferencial

Fenómenos de Trasporte

  v 0

forma global

- Movimiento de una sustancia, A, a través de una masa estática o sólida: es un material cuya masa total no posee movimiento

Criterio

con lo que

D CA      J A     RA   0 Dt

- Etc.

C A      J A     RA   0 t

59

G. Chacón V.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

60

G. Chacón V.

2.5

      d mv      v d V v v d A      A.C . t V .C .  d t  sistema

ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La ley de conservación de la cantidad de movimiento (“momentum”) establece que

Por otro lado, las fuerzas, internas o de reacción, que actúan a través de un volumen de control, son:

La cantidad de movimiento de una masa (cuerpo) no se crea ni se destruye, sólo se transforma.

    d Finternas  ˆ  d A  P d A   g d V

Para un sistema de masa constante o masa de control, la rapidez con que cambia su cantidad de movimiento, relativa a un punto fijo, equivale a la suma de las fuerzas, o fuerza neta, que actúan sobre el sistema.

La difusión de la cantidad de movimiento, está expresada por la Ley de viscosidad de Newton ( · · · ) y establece que el esfuerzo cortante, debido a la fricción, es proporcional a la variación de la velocidad con la posición.

   d mv  F 0    d t  sistema

ˆ     v 



Primera ley de Euler o Segunda ley de Newton. (1687) Para un volumen de control, la ley científica de la conservación de la cantidad de movimiento, si xy 

 v dV



 vx v xx , xx

xz

yz

z

P  13  xx   yy   zz 



 xx  P / 3   xx  xx   yy   zz  0

En un plano, según Stokes,

zy

- Esfuerzo cortante y

 v x v y      y x  

 xy   yx    

Notas:

:

densidad de la materia en el sistema, kg/m3 v: velocidad lineal del fluido, m/s V: volumen, m3 A: área transversal al flujo, m2. g: aceleración de la gravedad, m/s2 P: presión a lo largo de la masa, Pa : esfuerzo viscoso, cortante, a través de la masa, en dirección paralela a  y perpendicular a , Pa : esfuerzo directo, a través de la masa, Pa F: fuerza sobre el sistema, N

con el teorema del transporte, se convierte en

61

- Presión interna

y

x

Fenómenos de Trasporte

 xx  2 

- Con lo que, el esfuerzo directo

yx

  g dV

zx



vx 2     v x 3

- Esfuerzo normal

G. Chacón V.

   v v y v : ˆ :   vv  d A :  ˆ  d A :        v v , v

productos diádicos, tensores de orden dos es un tensor de orden dos el resultado es un vector el resultado es un vector



y   ˆ : no son divergencias simples, por su naturaleza tensorial, pero su interpretación física o matemática es la misma que la divergencia, el gradiente o la derivada normal   g    g z  conversión de la gravedad

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

62

G. Chacón V.

Con lo que se tiene la

Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.8, del balance de cantidad de movimiento

Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento, para un volumen de control flujo por advección de acumulación de cantidad de movimiento cantidad de movimiento

    v V .C . t d V  A.C .  v v  d A    ˆ   A  P A   d d   A.C .

A.C .

V .C .

(2.8)

  gdV  0

Fuerza debido a la Fuerza debido Fuerza debida difusión de la cant. movi. a la presión a la gravedad

       v  ˆ  v v  P   g  dV  0         V .C .  t        v      v v    ˆ   P   g  0 se obtiene t Desarrollando las derivadas o divergencias de los productos y arreglando

            v v    v   v  v    v    ˆ   P   g  0 t t









Acomodando términos Forma global de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento para un volumen de control

 d  mv VC

dt



       v v A P A       e e e e e e  entrada        vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

(2.9)

Forma diferencial de la ecuación de conservación de la cantidad movimiento para un volumen de control

      v     v   v    ˆ  P   g  0 (2.10) t Ecuación de Navier (1822) y Stokes (1845)

  v d A A.C .  dA A.C .

factor de corrección de la cantidad de movimiento

  

A.C .

  v2 d A   v d A

Fenómenos de Trasporte



El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice. Aplicando la definición de derivada sustancial o material

A.C .

Para un conducto cilíndrico de radio R, con área Si v = vmax 1(r/R)2, laminar, entonces Si v = vmax (1r/R)1/7, turbulento, entonces

63



El término entre paréntesis cuadrado es la ecuación de continuidad, 2.3, por lo tanto se anula, con lo que se llega a la



velocidad promedio

  v   -



término nulo

Notas: -

            v v      v  v       v  v  t  t     Ecuación de continuidad,   ˆ   P   g  0

A =  r2  = 4/3  = 1,02

G. Chacón V.



   Dv     ˆ  P   g  0 Dt

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

64

G. Chacón V.

Usando el resultado del cálculo vectorial para el producto 1 2

    2         v  v   12  v  v   v  v    v







Criterio

y definiéndose como

  v     v    v 

rotación

y



- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa.

vorticidad.

forma global

   v 1   2    1   2  v  v    v    ˆ  P  g  0 t 









mVC  0 0 t t  d  v VC mVC   m  a VC dt      ve   e  ve  Ae   Pe Ae  entrada

    vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

(2.11) Casos específicos

forma diferencial

- Fluido estático: es un sistema cuya masa total no fluye, (no posee movimiento relativo a un eje de referencia)

 v  0 con lo que ˆ  0 criterio   d mv VC   mVC g   FEXTERNAS forma global dt   forma diferencial P  g  0 dP   g   0  T  T0  g Si z = z, es la plomada: dz

- Velocidad del volumen de control constante

Criterio

Forma global

forma global



 vVC  0





    ve  e  ve  Ae   Pe Ae   vs  s  vs  As   Ps As  entrada salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS  0 forma diferencial

Fenómenos de Trasporte

 d vVC 0 dt

y

 v 0 t

 d  m VC vVC dt      ve   e  ve  Ae   Pe Ae  entrada

- Sistema fijo o volumen de control inercial

criterio

queda la original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11



forma diferencial

    vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS  2       v   v  12  v  v    v   1      ˆ  P  g















queda la ecuación original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11 65

G. Chacón V.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

66

G. Chacón V.

- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad dentro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición

- Velocidad del volumen de control constante y no viscoso.

  vVC v 0,  0 y τˆ  0 t t

  D  0 con lo que   v  0 Dt

criterio

forma global

queda la original, Ec. 2.9

forma global

forma diferencial

queda la ecuación original, Ec. 2.10 o Ec. 2.11

criterio

- Flujo no rotacional: no se producen rotaciones del fluido dentro del volumen de control.

Criterio

  v  0

forma global

queda la original, Ec. 2.9





con lo que   v  0

  d  m VC     ve   e  ve  Ae   Pe Ae  vVC dt entrada        vs   s  vs  As   Ps As   mVC g   FEXTERNAS salida forma diferencial 1 2

forma diferencial

   v 1   2 1    2 v    ˆ   P   g  t





 2   2 1    v  P   g    12 v  P  g z   0    2 1 1 P  g z  Cte 2 v 







Ecuación de Bernouilli (17 · · · ) - Flujo no viscoso: se desprecian las fuerzas viscosas, como modelo de comportamiento del volumen de control.



τˆ  0

criterio

- Etc.



(por lo que no rota   v  0 )

forma global

 d  mv VC

      v v A P A      e e e e e e  dt entrada        vs   s  vs  As   Ps As   mVC g   FEXTERNAS 

salida

forma diferencial

    2 1  v 1   2 1    2  v  P  g   12 v  P  gz  t     Ecuación de Euler (1775)



Fenómenos de Trasporte



67

G. Chacón V.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

68

G. Chacón V.

2.6 ECUACIÓN DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La ley de conservación de la energía establece que

La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma. Para un sistema de masa constante o masa de control, la rapidez con que cambia su energía, m·e, equivale a la transferencia de energía sobre él y la generación (o consumo) de energía dentro del sistema.

 d me   Q  W   mG  0    d t  sistema Primera Ley de la Termodinámica Joule (Kelvin, Clausius ~1850)

F: fuerza sobre el sistema, N Q: calor, transmitido por una diferencia de temperaturas entre el sistema y el medio o entre dos puntos dentro del sistema, J. W: trabajo, comunicada como un empuje, levantar un peso o girar un eje, J. Flujo de calor

Q Q  lím δ t 0  t

Potencia o flujo de trabajo

W W  lím δ t 0  t

o

Q   q  dA

W

o

  W   v  d F   W   w  d M

W

Para un volumen de control, con el teorema del transporte,

Por convención: () significa entrada o generación (producción) () significa salida o degradación (consumo) La ley científica de la conservación de la energía, se convierte, si

 d me   Q  W   mG     d t  sistema      ev d A    e d V  Q  W   mG  0 A.C . t V .C . El flujo de energía a través del volumen de control se debe a: El flujo de energía por advección o energías que lleva la materia

 vx e

qx P vx xx vx +



 G dV







      δ W  v  d F  v  P d A  v  ˆ  d A



x







La difusión de la cantidad de movimiento, está expresada por la Ley de viscosidad de Newton ( · · · )

: densidad de la materia en el sistema, kg/m3



ˆ     v 

v: velocidad lineal del fluido, m/s e: energía contenida en la masa, J/kg e = u + v2/2 + g z + ··· (energía interna) + (energía cinética) + (energía potencial) + (etc.)

volumen, m3 área transversal al flujo, m2. generación o consumo de energía, HRXN, i2R, etc., J/kg presión a lo largo de la masa, Pa : esfuerzo viscoso, cortante, a través de la masa, Pa q: flujo (“flux”) de calor, por unidad de área transversal al flujo, W/m2.

V: A: G: P:

69



2

El flujo de trabajo, interno, o potencia y

Fenómenos de Trasporte



 ev  d A   u  12 v  gz v  d A

z

 e dV

G. Chacón V.

El flujo difusivo o calor por conducción

  δ Q  q  d A

La difusión de la energía o intensidad del flujo de calor, a través del resto de la masa, se expresa por la Ley de Fourier (1822), que establece que es proporcional al gradiente de la temperatura en el sistema en cuestión. Capítulo. 2. Leyes de Conservación

70

G. Chacón V.



  q   kT



-

velocidad promedio





 v  d A  v   d A A.C .

Con lo que se tiene la

A.C .

Ecuación de la conservación de la energía, para un volumen de control





A .C .

A.C .

 

V .C .

 G dV  0

A.C .

A.C .

- pérdidas de energía por la fricción entre el fluido y las paredes del sistema o área de control





VC



(2.13)

dt  2     v P e e       v A u   g z       e e e e  e 2 e   entrada  e      2    v P s s        s  vs  As u s   s  g z s     2 entrada  s         v  A  AC H f   mVC G Q  W  E VC

VC







 2 v A     AC AC  H f  A.C .   12 C D v  v  d A    v  A  AC

ˆ  v  d A A.C .

-

2 d m u  12 v  g z

A =  r2 =2  = 1,06

Para un conducto cilíndrico de radio R, con área Si v = vmax 1(r/R)2, laminar, entonces Si v = vmax (1r/R)1/7, turbulento, entonces

flujo de energía flujo de trabajo flujo de trabajo irrever- Generación difusivo o conduc- reversible debi- sible debido a la fricción o consumo de energía ción de calor do a la presión o fuerzas viscosas

Forma global de la ecuación de conservación de la energía para un volumen de control



3

 v  d A    v  d A



 2 2   1 1       u v gz d V  u v gz v d A  2 2 A.C. t V .C .         q  d A   P  v  d A   ˆ  v  d A (2.12) A .C .

factor de corrección de la energía cinética

flujo de energía por advección

acumulación de energía



-

Intercambio, transferencia, de calor por contacto, entre el sistema y el medio (a través de su área de control)

  4 4 QVC  hTAC  T f   AAC   AC TAC AAC  E OTROS  TEM



Difusión de calor con convección



Radiación de energía

- Intercambio, transferencia, de trabajo entre el sistema y el medio

    WVC  v  FEXTERNA      M  WOTROS Mover una masa

Girar un eje

- Trabajo de flujo, empleado por el fluido en atravesar el volumen de control y en expandirse (o comprimirse) dentro de él

 W Flujo  v  P  A

- Entalpía, se define como h; d h  d u  d  P /  

OTRAS

Notas: Fenómenos de Trasporte

71

G. Chacón V.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

72

G. Chacón V.

Aplicando el teorema de la divergencia, a la ecuación 2.12, del balance de energía.









 2 2   1       u  12 v  gz v  d V  u v gz 2 V .C .  t            q     P  v     ˆ  v     G  d V  0 V .C . por lo que







Desarrollando las derivadas, gradientes o divergencias de los productos y arreglando  2 2 2     u  12 v  gz  u  12 v  gz   u  12 v  gz    v t t         2 1   v   u  2 v  gz    q  P  v  v    P      v    ˆ  ˆ:  v   G  0

 















Acomodando términos y derivando los términos de energía que posee la masa z independiente de t, término nulo

Ecuación de continuidad, término nulo

u 

1 2

      v 2 z u  v  gz      v     v   g  v   u  t t t  t            v  v   v  v   gz     q  v   P        P  v  v    ˆ  ˆ:  v   G  0











El término entre paréntesis es la ecuación de continuidad, 2.3, por lo tanto se anula, con lo que se obtiene la

Fenómenos de Trasporte

73

Energía térmica

       u       v  u   P   v    q    G  ˆ:   v   t  (2.14)       v         v    v   v   v    P   v  g  v    ˆ  0  t 















G. Chacón V.







Energía mecánica



 2 2   1 1  t  u  2 v  gz     u  2 v  gz v          q     Pv     ˆ  v     G  0



Forma diferencial de la ecuación de conservación de la energía para un volumen de control

Notas: Los términos correspondientes a la energía mecánica, se pueden obtener al multiplicar escalarmente, la velocidad por los términos de la ecuación de Navier-Stokes, Ec. 2.10, que es la potencia del flujo.

   v          v   v    ˆ  P   g  v d F  v   t 





La variación de la energía potencial es

   g z   g

La variación de la energía cinética es, del cálculo vectorial 1 2







    2        v  v   12  v  v   v  v    v



La rotación de un fluido y la vorticidad de un fluido      y v  v v El flujo de energía irreversible que se convierte en energía interna,   debido a la expansión o compresión P v









    ˆ:    v 

debido a la disipación viscosa o fricción

El flujo de trabajo, potencia, que se convierte en energía mecánica   debido a la traslación v P



  v    ˆ

debido a la disipación viscosa o fricción



Aplicando la definición de derivada sustancial o material



      Du  P   v    q    G  ˆ:   v Dt   Dv        v   v    P   v  g  v    ˆ  0 Dt









Capítulo. 2. Leyes de Conservación



74







G. Chacón V.

Una forma práctica de presentar la ecuación de conservación de la energía, para un volumen de control, es usando el concepto de capacidad calorífica o calor específico, para evaluar la energía interna. De la Termodinámica, cuando no se presenta cambio de fase, se tiene que

  P   d  mu   mcV d T  T    P dV   T V  Por la ecuación de continuidad

1   D   1 DV 1 D v    2  m Dt Dt  Dt  dividiendo por el tiempo transcurrido y por la masa

1 D    Du D T   P   cV  T    P Dt D t   T    D t     v D T   P   cV  T    P D t   T    



 v  0 con lo que

criterio





2 d  m u  12 v  gz   VC  QVC  WVC   mVC G   E OTRAS dt

 cV

forma diferencial

en consecuencia, cuando no se presenta cambio de fase,

  DT  P      ˆ   v    T   v   q  G  :   Dt  T   (2.15)   v 1    2        v   2  v   v  v   P   v  g  v    ˆ  0 t

 cV

T   q  G  0 t

- Flujo de masa (total) en estado estacionario: en el volumen de control no se acumula masa.

mVC

    

ˆ  0

forma global

d mVC 0 dt

forma global

 2    v v  v ,     y, del álgebra vectorial, se tiene que v  v    v  0 1 2

- Sistema sin flujo o sólido: es un sistema cuya masa total no se desplaza dentro de él

criterio

Por otro lado, usando el resultado del cálculo vectorial

v   v 

Casos específicos



2 d u  12 v  gz

o

 0 t



VC  dt  2    ve Pe           v A u gz    e e e  e  e 2 e  entrada  e     2    v P     s  vs  As   u s  s   s s  gzs     2 s entrada          v  A   AC H f   mVC G  QVC W   E VC

forma diferencial

OTRAS

queda la original, Ec. 2.14 ó Ec. 2.15.

El desarrollo en coordenadas se muestra en los cuadros 26 a 28 del apéndice.

Fenómenos de Trasporte

75

G. Chacón V.

Capítulo. 2. Leyes de Conservación

76

G. Chacón V.

- Flujo de masa (total) incompresible: la densidad dentro del volumen de control no cambia con el tiempo ni con la posición

  D  0 con lo que   v  0 Dt

criterio forma global

queda la original, Ec. 2.13 con e  s  

forma diferencial

T 1      q   G  t        v 1  1  v    cV T   P   gz    ˆ   0    t 

cV

- Flujo ideal o Ecuación de Bernouilli (17..): se desprecian las fuerzas viscosas, flujo isotérmico y en estado estacionario.

forma global 2  P d 12 v  gz VC    e  ve  Ae  e mVC  e dt entrada     P   s  vs  As   s   s   s entrada   





forma diferencial



 v 0 t

 2  ve  e  gze     2   2  vs  gz s    WVC  2 



  2 v   12  v  P  gz  0 2 1  v  P  gz  Cte 2

Nota:

  P   CV T     C P T 

τˆ  0 ,

criterio

DT  0, Dt

- Etc.

- Flujo isotérmico: Ecuación de la energía mecánica.

DT 0 Dt

criterio

forma global 2  2  P  d m 12 v  gz VC ve e     e  ve  Ae   e  gz e     e  dt 2 entrada      2  P   v   s  vs  As   s   s s  gz s       v  AAC  WVC   s  2 entrada    





forma diferencial

  v 1    2        v   2  v   v  v    P   v  g  v    ˆ  0 t

Fenómenos de Trasporte

77

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

78

G. Chacón V.

3.1

Capítulo 3

Fluido como un continuo

NATURALEZA DEL FLUJO DE FLUIDOS

Se considera el fluido como un continuo, es decir, que se comporta como si las partículas forman una masa continua.

FLUIDO densidad :   lim

δm δV

esfuerzo : sn  lim

δRs δ An

δVδV

Se define como fluido, aquella cantidad de materia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo (que posee la forma del recipiente).

δ Aδ A

y

y Esfuerzo Fluido

V

Esfuerzo Sólido





d dv   x dt d y

d   e dy

x

Deformación continua

Deformación elástica

x

Sustancias intermedias: vítreos, plásticos, elastómeros, pastas, lodos etc. Nota: La presión de un fluido en un punto (centro de masa) de un fluido es igual en todas las direcciones, Arquímedes

Las moléculas de un fluido (y de un sólido), están formadas por moléculas o partículas, que poseen una masa, m y ocupan un volumen V (infinitesimales). El estado de cada partícula se representa por sus propiedades, asociadas a su centro de masa (T, P, , v, etc.). V

Fenómenos de Trasporte

V

Mecánica Clásica

De esa forma sus propiedades de estado (T, P, r, v, etc.) pueden representarse como: - Puntos de un dominio, lo que permite su tratamiento matemático - Una función continua - Valores promedio y parámetros estadísticos. Condición de no-deslizamiento

Propiedad puntual

r

Mecánica Estadística

Si un fluido se comporta como un continuo, su velocidad en el límite de una fase, es igual a la de la otra fase. Ejemplos Líquido - líquido: en la interfase, sendas velocidades son iguales. Sólido - líquido: en la interfase la velocidad del fluido es igual a la del sólido. Líquido - gas: en la interfase la velocidad del gas es igual a la del líquido. Nota: las pastas no cumplen con esta condición.

Centro de masa, m

79

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

80

G. Chacón V.

Campo de velocidad para un fluido

3.2 CINEMÁTICA DE UN ELEMENTO DE FLUIDO

La velocidad de un flujo de fluidos, se define como el desplazamiento del centro de masa de una partícula de volumen dV por unidad de tiempo, bajo la hipótesis del continuo.

  δr  v  lim  v(x, y , z , t ) δ t 0 δ t

Un fluido sometido a un campo de velocidades, por la acción de un esfuerzo, se mantiene en movimiento, además de la traslación, se puede presentar deformación, angular o lineal, y rotación. vy vx

xy

Tangente Flujo

El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial

yx

y



Si el elemento rota entonces se deforma (puede deformarse sin rotar)

x Trayectoria Línea de trazador

Deformación vy x

vx

rx

Definiciones para un flujo de fluidos

Trayectoria: Línea trazada por una partícula, del fluido,

y 

en movimiento.



Línea de corriente: Línea trazada por los puntos tangentes a la velocidad de la partícula.

de pasan un grupo de partículas dado o “canal”.

Flujo: Zona trazada por un grupo de partícula, de un fluido, que se mueven como un continuo, en una dirección dada.

Fenómenos de Trasporte

81

G. Chacón V.



Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

ry

x

Rapidez de rotación

 t  t   t d  lim d t x , y , t  0 t

Deformación continua en el plano (x, y) (Plano de flujo)

vx



x

Rapidez de deformación





 y

Nota: La línea de corriente no corta la de la trayectoria.

Línea de trazador: Línea trazada por los puntos por don-

y

Rotación vy

z 

  R  R    t  2 

Rotación perpendicular al plano (x, y) (Plano de rotación)

82

G. Chacón V.

Rapidez de deformación



d  dt

lim

Flujo incompresible (función de corriente )

Rotación

Se define la función de corriente, un campo escalar, para describir en forma concisa, las líneas de corriente, que son las líneas tangentes a la trayectoria de un flujo de masa. Para lo cual se considera flujo incompresible y bidireccional.

2   D   D   2 t

x ,  y , t  0

  y  x

  y    x       D  arctan  x   x  y  y d    lim x , y , t  0 dt  v y  v y t x x x  x  t  v x y y  v x y t    y  t 

 D  arctan 

 ry  x

 ry    x  r  r  R  arctan  x    x y  y 

 R  arctan 

2  z 

Si la función de corriente es continua debe cumplir que

x , y ,  t  0

2  z 

Como el flujo es incompresible

  v v v  x  y 0 x y con lo que ambas ecuaciones se satisfacen si,

vx 

 v y  vx  x y

la deformación es : En general

ˆ ˆ  t

Ψ Ψ dx  dy x y  2  2  xy yx

dΨ  y que

lim

 v y  v y t x  x x  x   t  v x y y  v x y t    y   t 

d   vx  v y   dt  y  x

dΨ  v y d x  vx d y

   2      v : rotación

la rotación es:

 y

vy  

y

d  xy dt



 x

 2  2  y 2 x 2

   2  2 2  z    v   2    2  2 x y

Nota:  es el tensor cuyas componentes cartesianas son: i,j = ( vi/ j) + ( vj/ i)

Fenómenos de Trasporte

83

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

84

G. Chacón V.

Flujo irrotacional e incompresible (función potencial )

3.3

REGÍMENES DE FLUJO DE FLUIDOS

Se define la función potencial de velocidad, un campo escalar, para describir las líneas de trayectoria. Para lo cual se considera flujo irrotacional, incompresible y bidireccional.

Los siguientes son modelos del comportamiento de los fluidos en movimiento.

d   vx d x  v y d y

Régimen de flujo laminar

Si el flujo es incompresible

  v v v  x  y 0 x y

Si el flujo es irrotacional

  v v v  y  x  0 x y

Flujo externo (sobre un cilindro o una esfera)

Flujo interno (en un conducto)





Si la función de corriente es continua, debe cumplir que

d 

  dx  dy x y

y que

 2  2  x y y  x

(flujo de tinta)

Experimento de Reynolds 1883

Condiciones que se satisfacen si,

 vx  x

y

-

 vy  y

-

  v  

con lo cual

-

Que es una función análoga a las de los flujos de   calor q   k T

  J A   DAB C A   J   E

masa de A electricidad

La deformación es :

d  xy dt

2

 2 x y

Describe el flujo de un fluido que manifiesta un movimiento con estructura de capas (moleculares) Las líneas de corriente se confunden con las trayectorias Dominan las fuerzas viscosas sobre las inerciales.

Fluido newtoniano Cuando un fluido se mueve con régimen de flujo laminar, presenta una relación análoga a la Ley de Hook (1678, Young l807) para sólidos xy = E e La llamada Ley de viscosidad de Newton

 yx   

Fenómenos de Trasporte

85

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

86

d vx dy

G. Chacón V.

Régimen de flujo turbulento Flujo interno (en un conducto)

El efecto en la energía cinética es

Flujo externo (sobre un cilindro o esfera)



Estela 

EC 

1 2

 v

  vx    v y  vy    vz   vz  2

x

2

2



dado que para todo vi  vi  0 , con i = x, y, z, el efecto asignado a las pérdidas de energía por irreversibilidad, I, (fricción, expansión, mezclado, etc.) se consideran como

vx  vy  vz 2

Hf  I 

(flujo de tinta)

2

2

3

Experimento de Reynolds, 1883

-

Describe un flujo de un fluido que manifiesta un movimiento de las partículas al azar La masa se mueve con un flujo neto homogéneo, la línea de trazador es estable Dominan las fuerzas inerciales sobre las viscosas.

Modelo de flujo de fluidos turbulento El fenómeno se puede representar como “remolinos” o “terroncitos” (“eddies”) que se trasladan con velocidades vx´, vy´, vz´, relativas, con respecto a la velocidad promedio o flujo.

Hipótesis de la longitud de mezclado, Prandtl 1925. Para convertir la expresión del esfuerzo, en términos de propiedades o variables de flujo, se propone el modelo de la longitud de mezclado. Sea un flujo en la dirección x, que presenta un gradiente de velocidad en la dirección y. y vxyL vx

L

 vx  vx  eˆx  vx eˆx  vy eˆy  vz eˆz

vxyy

Efecto en el flujo neto:

1 t vx d t  vx  t 0

1 t vw d t  0 t 0

w

Efecto en la fuerza de arrastre o frcción es

Fy  

AC

vy      vx   vx  d A     vy  vx d A AC

Dado que vy   vx  0 , son ortogonales, entinces el esfuerzo cortante turbulento o de Reynolds es

87

La perturbación vx, es la diferencia entre las dos velocidades netas, de sendos puntos, separados una distancia L.

vx   vx  y  L   vx  y por el teorema de Taylor, con L suficientemente pequeño,

vx   L

 yx    vy  vx  Fenómenos de Trasporte

x

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

d  vx  dy

88

G. Chacón V.

Con lo que, si son del mismo orden de magnitud, vxO=vy y son independientes, vx vx  0, entonces

 yx

d  vx  d  vx     vy  vx    L dy dy 2

El valor absoluto, se coloca para mantener el signo del gradiente de velocidad. Generalmente se considera que la longitud de mezclado es proporcional a la distancia a partir de la interfase Lky Para gases ideales o perfectos L = 2 (2/3)  Z  : paso libre medio Z : velocidad media molecular

Régimen de flujo crítico Existe una gama de valores de la velocidad y de las características del flujo de fluidos, en las cuales no se comporta ni como laminar ni como turbulento, llamado flujos de transición, de amortiguamiento o críticos. Nota: Como en otros fenómenos afectados por mecanismos diferentes a la vez, la suma de ambos efectos no modela adecuadamente, este caso.

 yx

dv    x     vy  vx  dy

La transición, de laminar a turbulento, se ve afectada por - El gradiente de presión - La turbulencia de la corriente libre (zona de velocidad constante) - Las asperezas (“roughness”) de la pared - La curvatura de la pared - La diferencia de temperatura o concentración entre la pared y el medio.

Flujo invíscido Es un modelo de flujo de fluidos, empleado para facilitar el manejo matemático y luego realizar correcciones empíricas, para el ajuste, sobre el mismo. Es útil en modelos semiempíricos, gráficos y simulación de procesos. Se considera que el flujo es:

vy

-

Bidireccional

-

irrotacional

-

no viscoso, no deformable,

-

incompresible



dy dx

vx   v  0

 0  t 

 v 0

En este tipo de flujo las funciones de corriente  y de Como se puede potencial  están relacionadas. observar del análisis de las isolíneas de dichas funciones

d   vx dx  v y dy d   v y dx  v x dy

dy dx dy dx

 

 

vx vy

vy

dy dx

 

vx

1 dy dx 

Lo que indica, además, que las funciones  y  son ortogonales.  = constante En la figura se describe el flujo inviscido alrededor de un cilindro circular de longitud infinita, mostrando las líneas de corriente  y las de potencial  a velocidad constante.

 = constante

Fenómenos de Trasporte

89

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

90

G. Chacón V.

Flujo en estado estacionario Se considera como flujo en estado estacionario, aquél cuya velocidad no varía con el tiempo, pero si con la posición. Por otro lado, las líneas de trazador son respectivamente coincidentes con las líneas de corriente. Entonces para: flujo bidimensional flujo tridimensional

vy

dy vx d x dx dy dz   vx vy vz 

Fluido no newtoniano Se define como aquel fluido cuyo comportamiento se desvía de la ley de viscosidad de Newton. newtoniano

xy

0

dvx dy

 

Uno de los modelos propuestos, es el de la potencia n

d v d vx  xy   0  m x dy dy

Patrones de las líneas de corriente típicas del flujo de fluidos sobre cuerpos sumergidos. Rouse y Howe, publicado por Wiley 1953.

0 > 0 fluido deslizante n<0 fluido pseudo plástico n>0 fluido dilatante

Fenómenos de Trasporte

91

G. Chacón V.

Capítulo.3. Naturaleza del flujo…

92

G. Chacón V.

ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES PARA GASES

Capítulo 4 ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES

Ejemplo 4.1. Estimación para gases La estimación de propiedades se usa cuando no se cuenta con datos experimentales de las mismas. Para escoger un valor de una propiedad se siguen los siguientes criterios, en ese orden de prioridades Propiedades experimentales de fuentes confiables Propiedades experimentales por métodos aproximados Interpolación a partir de datos experimentales Modelos generales ajustados a partir de datos experimentales Estimadores de propiedades

Para el nitrógeno a 300 K y 1 atm., estime su: a) densidad, b) capacidad calorífica, c) viscosidad, d) conductividad térmica y e) difusividad en amoniaco. Compárelos con los valores experimentales:

 CP



k DN2:NH3

    

1,138 2 1,041 2 17,86 26,06 23,3

kg/m3 kJ/kg K mg/m s mW/m K mm2/s

Respuesta 4.1 Parámetros

En las siguientes bibliografías se encuentran estimadores de propiedades y en los cuadros 21 al 23 del apéndice se presenta un resumen.

M

 

Reid, R .C.; Prausnitz, J. H. y Sherwood, T. K. The Properties of Gases and Liquids, 3a. Ed. McGraw-Hill Book Co., New York, (l977). Perry’s Chemical Engineers Handbook, 7a. y 8a. Ed. Mc Graw-Hill Book Co., New York, 1998 y 2008.

TC PC



N2 28,013 71,4 0,3798 126,2 3,39 0,040

4.1a)

Bird, R.B. et all. Fenómenos de Transporte. Reverté, Barcelona, 2006. Welty, J. C. et all. Fundamental of Momentum, Heat and Mass Transfer. 5a. Ed. Wiley, New York, 2008.

NH3 17,031 558,3 0,2900

kg/kmol K nm K MPa

Densidad

ρ

PM z  R T

 0,422 0,172     P PC     z  1  0,083  0,139    1, 6 T TC  T TC 4, 2   T TC   z  1  0,083  0,139  0,040 

0,422



0,172  0,040   0,0101 3,39    300 126 

300 126 1,6 300 126 4, 2  

z  1,0000 Fenómenos de Trasporte

93

G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

94

G. Chacón V.

kg kg  28,013 2 s m kmol  kg m 2  300 K 1,000  8314,5 2 s kmol K

4.1d)

1,01325  105

k  8, 328 10

4.1 a)

J kmol K kJ kg 1000 J 2  28,013 kmol

7  8314,5

CP  1,039 kJ/kg K

mW mK

Con   1 4.1 b)

k  19,7 mW/m K

4.1 d)

Diferencia 24,4 % Con  

Viscosidad

  2,669  10 8

M  T 1 2

  T 300   4,202 71,4 

   0,9599

  17,7 mg/m s

Nota: El promedio da k  32,8 mW/m K, con una diferencia se 0,7 %

1 E 6 mg kg

Difusividad másica

D AB  

4.1 c)

Diferencia -1,0 % 95

4.1 d)

Diferencia 25,5 %

4.1e)

12

kg    300 K   28,013 kmol    2,669 E  8  2 0,3798 nm   0,960

2  CV 2  5 5   3 R 3 2 3

k  32,8 mW/m K

 2 

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4, con

Fenómenos de Trasporte

 

 k     0,9599

k  19, 68  

Diferencia -0,2 % 4.1c)

 2k

kg    300 K 28, 013  1000 mW kmol   k  8, 328 E  4  2 W  0,3798 nm   0, 960

Capacidad calorífica

7 R  2M

4

12

Diferencia 0,0 %

CP 

T / M 

12

  1,138 kg/m3

4.1b)

Conductividad térmica

G. Chacón V.

M AB 

T32 2 P  M 1AB2   AB  D

2 2 kg   21,183 1 M A  1 M B 1 28,013  1 17,031 kmol

Capítulo 4. Estimación de Prop…

96

G. Chacón V.

 AB 

A B 2



0,3798  0,2900  0,3349 nm 2

Respuesta 4.2

 AB  71,4  558,3  199,67 K 

 AB   A   B ;

Parámetros Código Fórmula

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4, con

TC PC

300  T   1,503  AB 199,67

Tb

 0,996    3,066  M AB 

 D  1,197

 4   10   3,066  0,996 1 E  4   21,183   

  2,856  10 4 DAB



Acetato de etilo A C4H8O2

523,2 3,83 0,363 350,3

K MPa K

Estimación de los parámetros de Lennard-Jones para el acetato de etilo, usando el punto de ebullición. (lo cual se supone que es mejor que usando las relaciones con el punto crítico).

Vb   iV Ai  4  VC  8  VH  1  VO  1  VOéster

2,856 E  4 3003 2  1000 mm     12 2 101325  21,183 0,3349  1.197  m 

DAB  23,7 mm2/s

2

4.1 e)

Diferencia 1,7 %

Vb  4  14,8  8  3,7  1  7,4  1  9,9 1 E  3 Vb  0,1061 m3/kmol

Diferencia 0,0 %.

 A  1,18 Vb 1 3  1,18 0,10611 3  0,559 nm

   1,21  Tb  1,21  350,3 K  424 K Estimación de los parámetros de Lennard-Jones para el acetato de etilo, usando el punto crítico.

Ejemplo 4.2. Estimación de parámetros Para el acetato de etilo gaseoso a 0 C y 1 atm., estime su: a) viscosidad y b) difusividad en aire, como si no se conociesen  y . Compárelos con los valores experimentales

Vb



DAce:Air Fenómenos de Trasporte

  

13

 523,2    3,83 E 6 

 A  10,98  0,406  0,363

 0,558 nm

   0,7915  0,1693   TC

0,106 m3/kmol 6,7 mg/m s 7,12 mm2/s 97

 A  10,98  0,406   TC PC 1 3

   0,7915  0,1693  0.363 523,2 K  446 K

G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

98

G. Chacón V.

4.2 a)

Viscosidad

  2,669  10 8

DAB 

M  T 1 2  2 

Método

AB AB TAB

12

kg    273 K   88,107 kmol    2,669 E  8   2 

 Método

A A TA

 , mg/m s Dif. %

4.2 a)

Dif. %

0,559 424 0,644 1,991 6,7 0

0,558 446 0,612 2,044 6,5 -3

0,5205 521,3 0,524 2,207 6,9 3

2

 AB   A   B

Punto ebull.

Punto crítico

Svehla

0,465 182,5 1,497 1,199 7,6 6

0,465 187,3 1,458 1,212 7,5 6

0,4458 202,4 1,349 1,253 7,9 11

Ejemplo 4.3. Estimación con un solo valor Estime la viscosidad del metanol (gaseoso) a 240 C: a) a partir de la las relaciones de estimación, b) conociendo un (uno solo) valor dado. A 35 C la viscosidad (como gas) es 0,101 mPa s.

 (240 C)

T32  2 P  M 1AB2   AB  D



169 mg/m s

Respuesta 4.3

2 2 kg   43,8 1 M A  1 M B 1 88,107  1 29,1 kmol

Parámetros para metanol Svehla

M

0,996 M 1AB2

 

 0,996   3,066   1 E  4  2733 2  43,8   2 101325  43,8   AB  D

99

A B

Valor experimental

Difusividad másica

Fenómenos de Trasporte

 AB 

4.2 b) Svehla

  3,066  10  4 

DAB

4,14 E  6  2  Punto crítico

D AB

M AB 

D DAB mm2/s

Punto ebull.

4.2 b)

1,96 E  6 2  AB  D

4.3a)

Tradic.

32,042 481,8 507 0,3626 0,3585 Viscosidad

  2,669  10 8

G. Chacón V.

kg/kmol K nm

Capítulo 4. Estimación de Prop…

100

M  T 1 2  2  G. Chacón V.

12

Ejemplo 4.4. Estimación con dos valores

kg    513 K   32,042 kmol    2,669 E  8  2   

Estime la conductividad térmica del acetaldehído a: a) 60 C, b) 120 C, conociendo dos valores dados (experimentales de referencia), de su conductividad k:

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4. Método

TA 



Dif. % 4.3b)

Svehla

Tradic.

1,065 1,5382 169 0

1,012 1,5775 169 0

12

mg/m s

12

 T   T0 m  a T  k  k0   Partiendo de que  T0   T  12,60  ln  ln k1 k 2  15,87   1,9194 m   Con dos puntos ln T1 T2   313  ln   353 

 T0  T

513,2 1,065 1,5382

m

 12, 60  313 K 

1,9194

 2, 042 10 7

a  2,042·10-7 mW/m K-2,9194

(Svehla)

4.4a)

mW m K -2.9194

Conductividad a 60 C

k  2,042 E 7 333 K 

1, 9194

kg  513 K  1,9984 1 E 6 mg   m s  308 K  1,5382 kg

  169 mg/m s

a  k1 T1 

K

12

  1,01 E  4

14,24 mW/m K 19,38 mW/m K

Respuesta 4.4

T

308,2 0,6396 1,9984

T TA 

60 C 120 C

k k

Interpolando (ln-ln) el potencial de Lennard Jones, del cuadro 4. T0

12,60 mW/m K 15,87 mW/m K

Valores experimentales

Viscosidad (Conociendo un valor)

T    0    T0 

40 C 80 C

k k

k 14,19 mW/m K

4.4 a)

Diferencia -0,4 % 4.3 b)

4.4b)

Conductividad a 120 C

k  2,042 E 7 393 K 

1, 9194

Diferencia 0 %

k 19,50 mW/m K

4.4 b)

Diferencia 0,6 %

Fenómenos de Trasporte

101

G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

102

G. Chacón V.

ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES PARA LÍQUIDOS

Ejemplo 4.5. Extrapolación con dos datos Estime la viscosidad del amoniaco a 400 C, conociendo dos datos (valores dados experimentales o de referencia), de su viscosidad :

 

0C 80 C

Estime, usando relaciones generalizadas, para el acetato de etilo líquido a 20 C, su: a) densidad b) viscosidad, c) conductividad térmica y d) difusividad en agua a dilución infinita.

90 mg/m s 13,1 mg/m s

Valore experimental



400 C

Ejemplo 4.6. Estimación para líquidos

Valores experimentales

25 mg/m s

 

Respuesta 4.5

   

k D0AB

Partiendo de que 12

T    0    T0 

 T0  T



a T1 2 1 b T

Respuesta 4.6

Con dos puntos

Parámetros

1, 5

c

1  T2     2  T1 

b

T2  c  T1 c 1

a

1 b  T1 

acetato de etilo Fórmula C4H8O2

1, 5

T1

373  1,097  273 0,9  373   758,1    1,097 , b  1,31  273  1,097  1 90 mg/m s  758,1  273 a  0,2056 2731,5



zC Tb Vb

0,2056  6731 2  1  758,1 673

  25 mg/m s

20 20 4.5)

Diferencia 0 %

Fenómenos de Trasporte

88,107 523,2 3,83 0,286 0,363 0,252 350,3 0,106 901 458

M TC PC VC

1, 5

c

kg/m3 mg/m s W/m K mm2/s

901 458 0,147 0,001

4.6a)

G. Chacón V.

K m3/kmol kg/m3 Mg/m s

Densidad

 ρ T  1  ln ρC  TC 103

kg/kmol K MPa m3/kmol

Capítulo 4. Estimación de Prop…

104

  

27

ln zC

G. Chacón V.

ρC 

M 88,107 kg/kmol   308 kg/m 3 3 VC 0,286 m /kmol

ρ  293  ln   1   308  523 

4.6d)

D

27

0 AB

 1,173  10

16

  M S 1 2 T

ln 0,252

  916 kg/m3

4.6 a)

Diferencia 1,7 %

0 D AB  1,173 E  16

2,6 18,016 1 2 1,006 E  3

 S  Vb 0S, 6 293  1 E 6 μm    0,106 0, 6  m 

D0AB  899 μm2/s

4.6b)

Viscosidad

  3,99  10 7

T exp 3,8 b  T  V20

  383 mg/m s

4.6 b)

Para el n butanol a 40 C obtenga la: a) densidad, b) viscosidad, c) conductividad térmica y d) difusividad en agua a dilución infinita, considerando que se conocen las propiedades a 20 C (solamente).

 

Diferencia -16 %

23

3  20  1  T  TC   23 T 3  20  1  b  TC  

810 5,14 0,154 0,000 88

Parámetros

23

Fórm.

4.6 c)

n butanol C4H9OH

M TC PC



zC Tb

Diferencia –6,7 %

105

kg/m3 g/m s W/m K mm2/s

Respuesta 4.7

3  20 1  293 523, 2  1,11 k 12 88,108 3  20 1  350, 3 523, 2 2 3

Fenómenos de Trasporte

   

k D0AB

Conductividad térmica

k  0,137 W/m K

4.6 d)

Ejemplo 4.7. Estimación con un solo valor

 exp3,8  350,3 293  1 E 6 mg  88,107 901   kg

1,11 k  12 M

2

Diferencia -10 %

  3,99 E  7 

4.6c)

Difusividad másica, a dilución infinita

G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

74,123 563,0 4,42 0,590 0,259 390,9 106

kg/kmol K MPa K G. Chacón V.

Valores experimentales a 40 C

 

   

k D0AB 4.7a)

Por otro lado si se define

788 1,77 0,147 0,001 40

kg/m3 g/m s W/m K mm2/s

B  3,8  Tb  3,8  390,9  1485 K Aplicando la relación a un punto 0 y simplificando 3,99·10-7V20

  1 1    T T0   

   0 exp  B 

Densidad

 T ln ρ  ln ρ0  1   TC

  

27

 T  1  0  TC

  

27

  ln z C 

 

 313  2 7  293  2 7  ln ρ  ln 810   1    1    ln 0,259   563    563 

  3,79 g/m s

  791 kg/m3

4.7c)

4.7 a)

1  1000 g  1    313 293  kg

  5,24  exp 1485 

4.7 b)

Diferencia 114 % Conductividad térmica 23

3  20  1  T  TC   k  k0  23 T 3  20  1  b  TC  

Diferencia 0,4 % 4.7b)

Viscosidad

  3,99  10 7

 T  exp 3,8 b  T   V20

W 3  20 1  313 563,0   m K 3  20 1  293 563,0 2 3 23

k  0,154

Se define

3,99  10 7 3,99 E  7 kmol A   4,36 E  6 3 74,123 810 V20 m Aplicando la relación a un punto 0 y simplificando 3,8·Tb

 0    A

  A

 T0  T

  

 5,14 E 3   4,36 E  6    4,36 E  6 

 293     313 

4.7 c)

Diferencia 0,6 % 4.7d)

Difusividad másica, a dilución infinita

D  D AB   B  Constante  AB 0 B 0 T T0

1000 g kg

Valores experimentales de la viscosidad del agua, B

  3,27 g/m s

4.7 b)

Diferencia 85 %

Fenómenos de Trasporte

k  0,148 W/m K

107

G. Chacón V.

B0 B

20 C 40 C

Capítulo 4. Estimación de Prop…

1,0065 g/m s 0,6544 g/m s 108

G. Chacón V.

D AB

mm 2 1,0065 313,15  mm     0,00088 s 0,6544 293,15  1000 μm 

2

4.8 b) Difusividad másica, a dilución infinita para el (NH4)2SO4 Parámetros, Reid et all (1975), para el H2SO4

D

0

AB

2

 0,00145 mm /s

Fórm.

4.7 d)

0 0

Diferencia 3,6 %

0 DAB  8,931 E  14  297,2

Ejemplo 4.8 Electrolito Estime la difusividad másica a dilución infinita en agua, a 24 C para a) el ácido clorhídrico, b) sulfato de amonio.

(NH4)2SO4

73,4 80,0

1 1  1 2 1000 mm 1 73,4  1 80,0 m

D0AB  0,00104 mm2/s

4.8b)

Valor experimental para el HCl en agua

D0AB

0,00280 mm2/s



Ejemplo 4.9. Estimación con dos datos

Respuesta 4.8 4.8 a) Difusividad másica, a dilución infinita para el HCl

0 D AB

1 1    n  8,931  10 14  T n 1 1  0 0



Estime, usando dos datos conocidos a sendas temperaturas, las siguientes propiedades, a una temperatura dada. 4.9 a)

Densidad del agua a 15 C, conociendo:

T, C 5 25



Parámetros, Reid et all (1975), para el HCl HCl

Fórm.

0 0 D

0 AB

999,9637 997,0429

Valor experimental

349,8 76,3



1 11 1  1000 mm   8,931 E  14  297,2   1 349,8  1 76,3  m 

15 C

999,0977 kg/m3

2

Forma sencilla

  A  B T  C T 2  A  B T

D0AB  0,00332 mm2/s

4.8a) Suponiendo línea recta

Diferencia 19 %

Fenómenos de Trasporte

, kg/m3

109

G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

110

G. Chacón V.

B

 2  1 T2  T1



997,0429  999,9637 25  5

 288,15  ln  ρ   6,722454  0,217511 1    374,15 

B   0,14604 kg/m3 C

27

  998,5 kg/m3

4.9a)

A   1  B  T1  999,9637  0,14604  5 A  1000,6939 kg/m3

Diferencia -0,06%

  1000 ,6939  0,14604  15

4.9 b) Capacidad calorífica del agua a 15 C, conociendo:

  998,5 kg/m3

T, C 5 25

4.9a)

Diferencia -0,06 %

Valor experimental

Otra forma

 T ln  ρ   a  b 1   TC

  

27

b

  

27

 T  1  1  TC

C P  A  ln T   B  C  T  D  T 2

  

27

Suponiendo línea recta

CP  A  B T

ln 997,0429  ln 999,9637 298,15   1    647,29 

27

 278.15   1    647,29 

C P 2  C P1 4,1796  4,2022  T2  T1 25  5 B   0,00113 kJ/kg K2 B

27

b  0,217511

 T a  ln  ρ1   b 1  1  TC

A  C P1  B  T1  4,2022  0,00113  5

  

A  4,20785 kJ/kg K

27

 278,15  a  ln 999,9637   0,2175111    374,15  a  6,722454 Fenómenos de Trasporte

4,1858 kJ/kg K

Con la relación

ln  2   ln 1   T2 1   TC

15 C

CP

TC 374,14 C

b

CP, kJ/kg K 4,2022 4,1796

111

C P  4,20785  0,00113  15

27

CP  4,191 kJ/kg K

4.9b)

Diferencia 0,12 % G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

112

G. Chacón V.

4.9 c)

La viscosidad de la acetona a 30 C, conociendo T, C 0 60

Valor experimental

, mg/m s

k

389 226

60 C

Con la relación

k  A  B T

Valor experimental



30 C

292 mg/m s

B

Con la relación

B T 

k 2  k1 0,135  0,165  T2  T1 74  20

B  -5,556 10-4 W/m K2

  A  exp 

A  k1  B  T1  0,165  5,56 E  4  20

   226  ln 2  ln  1  389    B  1 1 1 1   T2 T1 333 273

A  0,1761 W/m K

k  0,1761  5,556 E  4  60 k  0,143 W/m K

B  823,6 K

A  ln 1  

0,142 W/m K

4.9 d)

Diferencia 0,5 %

823,6 B  ln 389   T1 273

4.9e) La difusividad másica, a dilución infinita, del ácido acético en acetona a 25 C, conociendo.

A  19,07 mg/m s

DAB0, mm2/s 0,00292 0,00404

T, C 15 40

 823,6    303 

  19,07  exp

Valor experimental

  289 mg/m s

k

4.9 b)

0,00331 mm2/s

25 C

Con la relación

Diferencia -1,2 %

0 D AB  A T m

4.9d)

Conductividad térmica del etanol a 60 C, conociendo T, C 20 74

Fenómenos de Trasporte

k, W/m K 0,165 0,135 113

m

0 0 ln D AB  ln D AB ln 0,00404  ln 0,00292 2 1  ln T2  ln T1 ln 313  ln 288

m  3,9021 G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

114

G. Chacón V.

Psat  26,89 kPa

m

0 A  D AB T1  0,00292 288 3,9021 1

Diferencia 0,9 %

A  7,373E-13 0 D AB  7,373 E  13  298 3,9021 1

4.9g) La tensión superficial del benzoato de etilo a 40 C, conociendo

D0AB  0,00334 mm2/s

La presión de vapor o de saturación del  metil estireno a 121,8 C, conociendo T, C 102,2 143,0

Psat, kPa 13,332 53,329

121,8 C



B T

n

     A  BT n n   

Con n  1

  A  B T

P   53,329  ln  sat 2  ln  P 13,332  sat 1     B 1 1 1 1   416,2 375,4 T2 T1 B  5307,4 K

B

 2  1 T2  T1



30,81  35,04 60  20

B  0,105 75 mN/m K A   1  B  T1  35,04  0,10575  20 A  37,155 mN/m

5307,4 B A  ln Psat1    ln 13,332   T1 375,4

  37,155  0,10575  40

A  16,7300 lnPa

  32,93 mN/m

5307,4    exp16,7300   394,4  

Fenómenos de Trasporte

32,92 mN/m

 T 1  TC  0   T0 1   TC

Con la relación

Psat

40 C

Con la relación

26,664 kPa

ln Psat   A 

35,04 30,81

Valor experimental

Valor experimental Psat

, mN/m

T, C 20 60

4.9 e)

Diferencia 0,7 % 4.9f)

4.9 f)

115

4.9 g)

Diferencia 0,02 %

G. Chacón V.

Capítulo 4. Estimación de Prop…

116

G. Chacón V.

5.1

Capítulo 5 BALANCES GLOBALES o MACROSCÓPICOS Mediante casos se propone ilustrar y ejercitar los conocimientos obtenidos con la teoría de las leyes de conservación. Se presentan los conocimientos complementarios y necesarios, para su aplicación. Se realiza el análisis de procesos, en equipos típicos de la Ingeniería, de los cuales se espera, que al final de esta actividad, el participante conozca la descripción y funcionamiento, desde el punto de vista de los Fenómenos de transporte, de los mismos. Debido a que el balance de masa, es objeto de estudio en los cursos previos a este, y que son requisitos, y que es indispensable para el balance de cantidad de movimiento, energía y la masa de una sustancia en una mezcla, se practica al mismo tiempo que éstos y no por aparte. Aunque un entrenamiento previo en balance termodinámico y análisis diferencial de procesos es muy útil para facilitar el desarrollo de los problemas, no es un requisito, si el estudiante está consciente de la necesidad de dominar los conceptos y técnicas relacionados con estos aspectos.

BALANCE DE MASA TOTAL

Ejemplo 5.1. Depósito horizontal Para un depósito cilíndrico colocado horizontalmente, conteniendo un aceite mineral, determine la relación entre la altura del líquido (a partir del fondo) y el tiempo que resta para vaciarse, por completo, por medio de una bomba que dosifica a razón constante, desde un orifico practicado en el fondo. Datos conocidos: D L V g.e

: : : :

diámetro del tanque 1,20 m longitud del tanque 10,0 m flujo extraído por la bomba 50 L/h  1,39 10-5 m3/s densidad relativa o gravedad específica 0,8674/4C

Respuesta 5.1 Diagrama del volumen de control

D

 D2 h V

Relaciones geométricas

h

2h cos   1  D Fenómenos de Trasporte

117

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

D D  cos  2 2 12

 4  h 4  h2    sen    D 2   D 118

G. Chacón V.

D2  L   sen   cos   V  4

t

  D2 4  V

L

V V

Balance de masa

Sea tr el tiempo que falta para que, el tanque, quede vacío

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

t r  t V 0  t V V 

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

D2  L   sen   cos  tr  4  V

- Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Densidad constante - Curvatura, de las caras, de las bases despreciable; bases planas - El flujo de salida no depende de la altura del líquido en el tanque - Geometría perfecta. En términos del volumen (del volumen de control) y del flujo volumétrico

d   V      V dt

tr 

D2  L  h  arccos 1  2     D 4 V  

h  2 1  2  D 

4  V tr D2  L



h D



V  3,6  

5.1

En forma de cuadro

V   V  t  Cte

h/D

Al inicio, el recipiente está lleno, Vt  0  (·D 4) L, 2

4



Normalizando el resultado usando variables adimensioles

t r  2,592 10 5 

Integrando

V

h h   1     D    D

  arccos1  2     2 1  2     1   

d V   V dt

  D2



En términos de los valores del diámetro y la altura



Considerando la densidad constante

V V

L  V  t

Despejando el tiempo Fenómenos de Trasporte

119

G. Chacón V.

1,00 0,95 0,90 0,85 0,80

h m 1,20 1,14 1,08 1,02 0,96

Capítulo 5. Balances globales

tr h 226,2 222,0 214,4 204,9 194,0 120

tr d:h:min 9:10:12 9:05:58 8:22:25 8:12:55 8:01:59 G. Chacón V.

0,70 0,60 0,50 0,40 0,30

0,84 0,72 0,60 0,48 0,36

169,1 141,7 113,1 84,5 57,1

7:01:07 5:21:42 4:17:06 3:12:29 2:09:04

0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0,24 0,18 0,12 0,06 0,00

32,2 21,3 11,8 4,2 0,0

1:08:12 0:21:17 0:11:46 0:04:14 0:00:00

Nota: La velocidad de paso de un fluido a través de un orificio está regida por la ecuación de Torricelli

vs  2   g  h Donde: h: diferencia entre las alturas del nivel del líquido en el recipiente y del orificio vs : velocidad lineal, a la salida : coeficiente de pérdidas por fricción, 0,38 – 0,50 g: aceleración de la gravedad.

Datos conocidos: En forma gráfica

D h V g.e Ds

L D

: : : : :

diámetro del tanque 2,5 m altura del líquido en el tanque ¿? flujo de entrada al tanque 0,001 m3/s densidad relativa o gravedad específica diámetro interno de la salida del tanque 0,0266 m

Respuesta 5.2 Relaciones geométricas

As 

Ecuación de Torricelli

vs  2   g  h



4

D s2

V 



4

D2  h

Diagrama del volumen de control

V  Ejemplo 5.2. Desalojo de un tanque por gravedad  Para un flujo (máximo) de un fluido de 1 L/s determine la altura en el estado estacionario, que alcanza el líquido almacenado en un tanque, vertical, de reserva (o de calma) de 2,5 m de diámetro, si se desaloja por gravedad a través de un orificio de 1” Céd 40. Evalúe el tiempo que dura en alcanzar dicha altura si originalmente está vacío. Fenómenos de Trasporte

121

G. Chacón V.

h

Ds

vs

D

Capítulo 5. Balances globales

122

G. Chacón V.

Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

h 

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. Volumen de control: el líquido dentro del tanque Densidad constante Curvatura de la base despreciable, plana La velocidad del fluido a la salida depende de la altura del líquido con la relación dada - Geometría perfecta.

h 

4  0,001 m 3 /s

  0,0266 m 

2

1



2  0,38  9,80665 m/s 2 

La altura para un flujo de 1 L/s es

h  0,5 m

d   V     V    v s  As dt

5.2

Despejando el tiempo

Considerando la densidad constante y las relaciones para el área y de Torricelli.

  d D 2  h  4   V   D 2 2   g  h s dt 4

2 h a

 h  h   ln1    h   h 



2

2  0,38  9,80665 m/s 2

a  3,091  10 -4 m1 2 /s

2   g h

4  V h    Ds2 2   g

t

 0,0266  a   2,5 

Arreglando

D2 a  s2 D



Para el estado estacionario (0,99h)

2   g



dh   a h  a h dt

t EE  

2 0,99  0,43 m 1 2 3,091 E  4 m 1 2 s





0,99  ln 1  0,99

ks 1000 s

El tiempo para alcanzar el estado estacionario es

h0 a t0  h h  a  ln1    t  h h 2 h    

tEE  18,3 ks

Resolviendo, con

Fenómenos de Trasporte



h  0,6591 m1 2

En términos del volumen de fluido y de los flujos

Sea

4  V   Ds2 2   g

Sustituyendo valores

-

dh  4  Ds2  V 2 dt   D2 D

h  h

t

En el estado estacionario

123

tEE  5 h : 5 min

5.2



G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

124

G. Chacón V.

Ejemplo 5.3. Perfiles de velocidad

Balance de masa

En un experimento se mide la velocidad del líquido, que fluye a través de un conducto circular en estado estacionario; la medición se efectuó en el centro del conducto, a la entrada y salida, con un tubo de Pitot. Se considera que a la entrada el perfil de velocidad es parabólico (flujo en régimen laminar) y a la salida es del tipo de la potencia de Prandtl (flujo en régimen turbulento). Determine el parámetro del modelo de la potencia, n.

Datos conocidos: Modelo parabólico

 r v  v máx 1      R 

2

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Volumen de control: el líquido dentro del conducto Flujo incompresible Flujo en estado estacionario Perfiles de velocidad completamente desarrollados Desviaciones, “errores”, por las mediciones, las debidas al proceso y del modelo despreciables - Geometría perfecta.

Modelo de la potencia

  

  w  u  u máx 1      W 

1n

R : radio a la entrada del conducto 440  51,1 mm vmáx: velocidad en el centro del conducto a la entrada 300,5 mm/s W: radio a la salida del conducto ¾40  10,5 mm umáx: velocidad en el centro del conducto a la salida 0,440,005 m/s

Respuesta 5.3

Como la velocidad es variable con el radio, a la entrada

 ve  Ae  

R 0

  r 2  vmáx 1     2    r d r   R   rR

r2 r4   ve  Ae  2    vmáx   2  2 4  R  r 0

 v e  Ae 

 2

R 2  v máx



A la salida

Diagrama del volumen de control

 vs  As  

w

r

W 0

  w  umáx 1       W 

1n

2   w d w w W

u

v R

Fenómenos de Trasporte

125

W

G. Chacón V.

1 1 2 1   n   w  n   1   w   1    W     W       vs  As  2    umáx     2 2   1  1    1  2   1      1       n  W   n  W   w0

Capítulo 5. Balances globales

126

G. Chacón V.

 vs  As  2    W 2  umáx

n2 1  3  n  2  n2



5.2

BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ejemplo 5.4. Sistema Fijo Sustituyendo en el balance de masa, con  constante

1 d mVC  ve  Ae   vs  As  0  dt

Un conducto, cilíndrico inclinado con una reducción, que se muestra en la figura, transporta un fluido. Evalúe la fuerza que ejerce el líquido sobre el conducto. Datos conocidos:

Con lo que

0

  R 2  vmáx 2

2    W 2  umáx  n 2  1  3  n  2  n2

Despejando para n 2

1 1 u W   3  2  4 máx     2 n n vmáx  R  Resolviendo

1  3  9  4  2     n 2 Sustituyendo valores 2

440 mm/s  10,5 mm  4    2,477 30 mm/s  51,1 mm 

1  3  9  4  2  2,477    0,1514 n 2

V : flujo volumétrico, gasto o carga

2,5 L/s

g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido

0,8825/4C

A la entrada (1) del conducto: D1: diámetro interno v1: velocidad del fluido P1: presión absoluta T1: temperatura L1: longitud del conducto 1: ángulo del conducto 1: coeficiente de fricción

54 mm ¿? 500 kPaabs 26 C 2,5 m 53º 0,0042

A la salida (2) del conducto: D2: diámetro interno v: velocidad del fluido P2: presión manométrica T2: temperatura L2: longitud del conducto 2: ángulo del conducto 2: coeficiente de fricción

19 mm ¿? m/s 310 kPaman ¿? 6m 15º 0,0028 93 kPa

PAtm: presión atmosférica

Con lo que el factor del modelo de la potencia es

Pérdidas de esfuerzo en la contracción 2 ,1

n7

(6,606)

 v  BC  0,02    V 1  e  vs  vs 

5.3

Pérdidas de esfuerzo por la fricción

Fenómenos de Trasporte

127

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

128

 AC      v 2

G. Chacón V.

Diagrama del volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante)

L2

D2

   e   s  Constante

L1

- Flujo de masa en estado estacionario v2 P2

2 D1

d mVC 0 dt - Volumen de control fijo

 vVC  0

1 v1 P1

w

w

v

P Pw

Fy  y

v

P

m2g x

Pw

- Pérdidas de fuerza por fricción y contracción, las indicadas - Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable.

v  v 

m1g El balance de masa se expresa

Fx

0  1  v1  A1   2  v 2  A2 El balance de cantidad de movimiento

Respuesta 5.4

x: 0  1  v1  A1  v1 x   2  v2  A2  v2 x  P1  A1x  P2  A2 x    1  AAC 1 x    2  AAC 2 x x  mVC g x  BCx  Fx

Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

y: 0  1  v1  A1  v1 y   2  v2  A2  v2 y  P1  A1 y  P2  A2 y 

Balance de cantidad de movimiento

Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

  1  AAC 1 y    2  AAC 2 y  mVC g y  BCy  Fy

  d mv VC    v e  e  v e  Ae   Pe Ae  dt entrada   vs  s  vs  As   Ps As   salida       AAC  mVC g   FEXTERNAS

 

Fenómenos de Trasporte





129

G. Chacón V.

V  v1  A1  v 2  A2  Fx    V v1  cos  1  v 2  cos  2  

P1  A1  cos  1  P2  A2  cos  2 

1    v1 2  AAC1  cos 1   2    v 2 2  AAC 2  cos  2  Capítulo 5. Balances globales

130

G. Chacón V.

310 kPa  0,019 m   cos  15  

2 ,1

2

 v  0,02    V 1  1  v2  v2 

 1000 N/m 2  4

 Fy    V v1  sen 1  v 2  sen  2   P1  A1  sen 1  P2  A2  sen  2 

1    v1 2  AAC1  sen 1   2    v 2 2  AAC 2  sen  2    A1  L1  A2  L2 g Sustituyendo valores, Velocidad

v1 

4  V L 1 m3 4 V   2 , 5 2 s 1000 L   0,054 m 2 A1   D1

v1  1,09 m/s v2 



4  V L 1 m3 4 V 2 , 5   2 s 1000 L   0,019 m 2 A2   D2

v 2  8,82 m/s



Nota SI: Para dar el resultado, hay que seguir las normas SI de unidades, que es diferente de la costumbre seguida para hacer los cálculos y análisis de unidades (dimensiones).

Cantidad de movimiento

 kg L 1 m3  Fx  0,88  999,972 3  2,5  s 1000 L m  m m   1,09  cos 53   8,82  cos  15   s s  

500  93 kPa  0,054 m 2  cos53 Fenómenos de Trasporte

131

G. Chacón V.

1 kPa

 

2  m kg  0,0042  0,88  999,972 3 1,09   s m     0,054 m  2,5 m  cos53  2

kg  m  0,0028  0,88  999,972 m 3  8,82 s        0,019 m 6,0 m  cos 15 

L 1 m3 kg      2 , 5 0 , 02 0 , 88 999 , 972  s 1000 L m3 2 ,1  m   1,09   s  8,82 m  1  m s   8,82   s     Fx   17,29  476,1  1,124   66,26  0,294  Fx  388 N Nota: obsérvese los valores relativos de cada término, que dependen de la velocidad y el área.

 kg L 1 m3  F y  0,88  999,972 3  2,5  s 1000 L m  m m   1,09  sen 53   8,82  sen  15    s s  

500  93 kPa  0,054 m 2  sen 53

Capítulo 5. Balances globales

132

G. Chacón V.

310 kPa  0,019 m   sen  15  

Datos conocidos:

2

Q  V : flujo volumétrico, gasto o carga

 1000 N/m 2  4

1 kPa

 

VL: volumen de líquido dentro del volumen de control

2  m kg  0,0042  0,88  999,972 3 1,09   s m     0,054 m  2,5 m  sen 53 



 F y  6,938   767 ,2  1,492    17 ,75   64,09  Fy  726 N

A la salida (3) del sistema, vapor: D3: diámetro v3: velocidad del fluido P3: presión de vacío T3: temperatura 3: ángulo del conducto 3: densidad del fluido

La fuerza que ejerce el líquido sobre el sistema es

F  388eˆx  726eˆ y

N

635 mm ¿? 100 kPaabs 18 C 0º 1,123 Mg/m3

A la salida (2) del sistema, líquido concentrado: D2: diámetro 254 mm v2: velocidad del fluido 4,5 m/s 5,31 kPaman P2: presión de vacío T2: temperatura 133 C 2: ángulo del conducto 30 º 1: densidad del fluido 1,327 Mg/m3

m   6,0 m  9,80665 m/s 2 2

87 kPa

A la entrada (1) del sistema: D1: diámetro v1: velocidad del fluido P1: presión T1: temperatura 1: ángulo del conducto 1: densidad del fluido

2

0,019

5 m3

PAtm: presión atmosférica

kg  m  0,0028  0,88  999,972 m 3  8,82 s        0,019 m 6,0 m  sen  15  kg   2 0,88  999,972 m 3  4  0,054 m   2,5 m  

0,5 m3/s

5.4

1,829 m ¿? 5,28 kPaman 132 C 45 º 1,598 kg/m3

Respuesta 5.5  Ejemplo 5.5. Sistema Fijo



Para un separador al que entra un líquido y tiene dos salidas, una de ellas vapor (gas), como se muestra en la figura, determine la fuerza necesaria para mantenerlo fijo. Considere que las variaciones de la presión dentro del sistema son despreciables.

Fenómenos de Trasporte

133

G. Chacón V.

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

  d mv VC    ve  e  ve  Ae   Pe Ae  dt entrada



Capítulo 5. Balances globales



134

G. Chacón V.

 v  s

salida



  vs  As   Ps As        AAC  mVC g   FEXTERNAS



s

v3 D3 P3

3

 2  v2  A2  v2 x  P2  A2 x   3  v3  A2  v3 x  P3  A3 x  Fx Fx  m 2  v2  cos  2  m 3  v3  cos  3  m 1  v1  P2  A2  cos  2  P3  A3  cos  3  P1  A1

2

1

El balance de fuerza cantidad de movimiento en y

v2 D2 P2

VL

0  1  v1  A1  v1 y  P1  A1 y 

 2  v2  A2  v2 y  P2  A2 y   3  v3  A2  v3 y  P3  A3 y  mVC g  Fy

2

1

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del recipiente evaporador - Flujo de masa en estado estacionario -



- Volumen de control fijo vVC  0 - Pérdidas de fuerza por fricción despreciables

ˆ  0

Fy  m 2  v 2  sen  2  m 3  v3  sen  3  P2  A2  sen  2  P3  A3  sen  3   2 V L g Sustituyendo valores A la entrada (1)

m 1   1  v1  A1   1  Q 

m 1  562 kg/s

1123 kg 0,5 m 3 s m3 

A1    D12 4   0,635 m  4 A1  0,3167 m 2 2

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable

v  v 

- Efectos de presión interna, cabeza hidráulica, despreciables - Geometría perfecta. Fenómenos de Trasporte

m 1  m 2  m 3 0  1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x 

3

d mVC 0 dt

0   1  v1  A1   2  v 2  A2   3  v3  A3

El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

Diagrama del volumen de control

v1 D1 P1

El balance de masa se expresa

135

G. Chacón V.



Q 0,5 m 3 1 v1   A1 s 0,3167 m 2 Capítulo 5. Balances globales

136

G. Chacón V.

v1  1,58 m/s



A la salida (2)

v2  4,5 m/s

A2    D22 4   0,254 m  4 A2  0,0507 m 2 2

m 2   2  v2  A2 



1327 kg 4,5 m 0,0507 m 2 m3 s

m 2  303 kg/s



Fx  2,6 kN



259 kg 61,7 m  303 kg 4,5 m sen  30   sen 45  Fy   s s s  s ( 5310 Pa)  0,0507  sen  30  m 2  ( 5280 Pa)  1327 kg 9,80665 m  2,6273  sen 45 m 2  5 m3  3 m s2  kN 1000 kg m/s 2

Fy  66,0 kN



La fuerza necesaria para mantener el separador fijo es

A la salida (3)

m 3  m 1  m 2  m 3  259 kg/s

562 kg 303 kg  s s

F  2,6 eˆx  66,0 eˆy

kN

5.5



A3    D32 4   1,829 m 4 2

A3  2,6273 m

2

Ejemplo 5.6. Álabe fijo 

m 3 259 kg m 3 1 v3    3  A3 s 1,598 g 2,6273 m 2 v3  61,7 m/s



Un carrito en forma de álabe, recibe un chorro de aceite, desde una tobera estacionaria horizontal. Evalúe el ángulo de salida del flujo del fluido, del álabe, para que comience a moverse. Datos conocidos:

Fuerza cantidad de movimiento

259 kg 61,7 m  303 kg 4,5 m Fx   cos45  cos 30   s s s  s 562 kg 1,58 m  (5310) Pa  0,0507  cos 30  m 2  s s ( 5280 ) Pa  2 ,6273  cos 45  m 2  kN 13000 Pa  0,3167 m 2 1000 kg m/s 2



Fenómenos de Trasporte

137

G. Chacón V.

V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido 0,79520/4 C v: velocidad del fluido a la salida de la tobera 32 m/s A: área de salida de la tobera que suministra el fluido al álabe 0,023 m2 : ángulo de salida del fluido, del álabe ¿? : coeficiente de fricción estático 0,15 MC: masa del carrito 85 kg PAtm: presión atmosférica 89 kPa Capítulo 5. Balances globales

138

G. Chacón V.

Diagrama del volumen de control

v1 A1 P1

v A P

y

v2 A2 P2 2

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt



- Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable.

v  v 

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

1

Pe  Patm  Ps  Patm  0 WC

- Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna, despreciable

vC

  g  ze  z s   0

F

x

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

Ry

 AC  0

- La fuerza de fricción entre el carrito y la placa, se representa por

Respuesta 5.6

F    Ry  Fx

Balance de masa

- La masa del fluido en el álabe es despreciable

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

mVC  M C  M C - El movimiento sobre la placa es horizontal

 d  mv VC dt



gy  g

gx  0

Balance de cantidad de movimiento

   ve   e  ve  Ae   Pe Ae     entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

- La reacción del piso es

Ry  M C  g  Fy - Los efectos de entrada y salida son despreciables. Nota: el signo , en todos estos casos, es una aproximación, aceptable para los cálculos de ingeniería; especialmente, en diseño, simulación, predicción y proyección de procesos.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

El balance de masa se expresa

- Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante)

0  1  v1  A1   2  v 2  A2

   e   s  Constante

  v  A  1  v1  A1   2  v 2  A2

- Volumen de control fijo

 vVC  0

Fenómenos de Trasporte

Si 139

G. Chacón V.

v1  v2  v

entonces

Capítulo 5. Balances globales

140



A1  A2  A



G. Chacón V.

 Ejemplo 5.7. Álabe en reposo

El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0  1  v1  A1  v1x  P1  A1x   2  v2  A2  v2 x  P2  A2 x  Fx Fx    v  A  v 2  cos  2    v  A  v1  cos  1

Fx    v 2  A cos  1    Ry



El balance de fuerza cantidad de movimiento en y

0  1  v1  A1  v1 y  P1  A1 y   2  v2  A2  v2 y 

Un recipiente se encuentra fijo en un carro, el nivel del agua en él, se mantiene constante, mediante una tubería vertical. El agua sale del tanque a través de una tobera y el chorro, lo recibe un álabe, también montado en el carro. Determine a) la tensión en el cable que mantiene el carro en reposo y b) la fuerza que el álabe ejerce sobre el carro. Datos conocidos:

P2  A2 y  mVC g y  Fy

Fy    v 2  A  sen 



v: A:



: ángulo de salida del fluido, del álabe PAtm: presión atmosférica

Considerando que

Ry  WC  Fy  M C  g    v 2  A sen



velocidad del fluido a la salida del tanque 10 m/s área de salida de la tobera que suministra el fluido al álabe 600 mm2 60 º 95 kPa

Sustituyendo este resultado en el balance de fuerzas en

x y arreglando

Diagrama del volumen de control

  v  A cos    sen   1    M C  g  0 2

Volumen de control a)

Arreglando para resolver para 

cos     sen   1 

  MC  g   v2  A

v2 A2 P2

V0 A0 P0



Sustituyendo valores

cos   0,15  sen   1  0,15

2

m3 85 kg 0,795  998 kg

v A P

2

1  s  9,81 m   2 s 0,023 m 2  32 m  Resolviendo para 0º    90º e iniciando con   45º, se obtiene el ángulo de salida del flujo del fluido, del álabe, para que comience a moverse es

  19,3º Fenómenos de Trasporte



v1 A1 P1 1

y

cos   0,99331  0,15  sen 

Volumen de control b)

T

x W Ry

5.6

141

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

142

G. Chacón V.

Respuesta 5.7

- La masa del fluido en el álabe es despreciable

mVC  0

Balance de masa

- El movimiento sobre el piso es horizontal - Los efectos de entrada y salida son despreciables.

Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt





entrada

gy  g

gx  0

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

Respuesta 5.7 a)

   ve   e  ve  Ae   Pe Ae   

     vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Flujo incompresible (densidad constante)

- Volumen de control: el líquido dentro del tanque y el álabe. El balance de masa se expresa

0   0  v0  A0   2  v2  A2

  v  A   0  v0  A0   2  v2  A2



El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

   e   s  Constante

0   0  v0  A0  v0 x  P0  A0 x   2  v 2  A2  v 2 x  P2  A2 x  Fx

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt

Fx    v  A  v2  cos  2

- Volumen de control fijo

Fx    v 2  A  cos   T

 vVC  0

- Geometría perfecta - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable

v  v 

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

Pe  Patm  Ps  Patm  0 - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna, despreciable

  g  ze  z s   0



Sustituyendo valores 2

T  998

kg  10 m  2  6 E  4 m  cos 60 º 3  m  s 

La tensión en el cable, que mantiene el carro en reposo, es

T  30 N

5.7 a)

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

 AC  0

Fenómenos de Trasporte

143

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

144

G. Chacón V.

Respuesta 5.7 b)

Ejemplo 5.8. Sistema de velocidad constante

- Volumen de control: el líquido dentro del álabe. El balance de masa se expresa

0  1  v1  A1   2  v 2  A2   v  A  1  v1  A1   2  v 2  A2



El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

Datos conocidos:

0  1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x   2  v2  A2  v2 x  P2  A2 x  Fx

v:

Fx    v  A  v 2  cos  2    v  A  v1  cos  1

Fx    v 2  A  cos   1   Rx



Sustituyendo valores 2

kg  10 m  2 Fx  998 3   6 E  4 m 1  cos 60 º  m  s  Fx  30 N

Sobre un álabe, que forma parte de una máquina hidráulica, incide un chorro en dirección horizontal y tangente a su punto inferior, que proviene de una boquilla. El álabe se mueve con una velocidad constante en dirección horizontal. Evalúe la velocidad del álabe que maximiza la potencia del mismo.

velocidad del fluido a la salida de la boquilla D: diámetro de la salida de la boquilla : ángulo de salida del fluido, del álabe PAtm: presión atmosférica U: velocidad del álabe FR: resistencia del mecanismo al movimiento

FR  

27 m/s 52 mm 153 º 89 kPa ¿? m/s

584 U  0,91

N

Diagrama del volumen de control

El balance de fuerza cantidad de movimiento en y

v2 A2 P2

0  1  v1  A1  v1 y  P1  A1 y 

 2  v2  A2  v2 y  P2  A2 y  mVC g y  Fy Fy     v 2  A  sen    R y



Sustituyendo valores

v1 A1 P1

v A P

2

kg  10 m  2 Fy  998 3   6 E  4 m  sen 60 º m  s 

Fy  52 N





2

FRR U

1

y

La fuerza que el álabe ejerce sobre el carro es

 F  30eˆx  52eˆ y N

Fenómenos de Trasporte

145

5.7 b)

G. Chacón V.

x

Capítulo 5. Balances globales

146

G. Chacón V.

Respuesta 5.8

con lo que

 v e  v s  v

Balance de masa

- La masa del fluido en el álabe es despreciable

mVC  0

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

- El movimiento es horizontal

Balance de cantidad de movimiento

- Los efectos de entrada y salida son despreciables.

 d  mv VC dt



   ve   e  ve  Ae   Pe Ae    entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS



Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante

El balance de masa se expresa

0  1  v1  A1   2  v 2  A2

  v  A  1  v1  A1   2  v 2  A2

d mVC 0 dt

Por el concepto de volumen de control inercial

v1  v 2  v  U El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0  1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x 

 Fx   v  U  A v  U  

 v  U  A v  U cos  

- Volumen de control inercial

   ve  v  U

- Pérdidas de fuerza por fricción y otros se representan por FR - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

Pe  Patm  Ps  Patm  0

2

584 U  0,91



Potencia del álabe

  g  ze  z s   0

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

 AC  0

147

584 U  0,91

Fx   v  U  A cos   1 

W  Fx  U

- Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna, despreciable

Fenómenos de Trasporte



 2  v2  A2  v2 x  P2  A2 x  Fx  FR

- Flujo de masa en estado estacionario

 vVC  0

gy  g

gx  0

G. Chacón V.

El valor de la velocidad del álabe que da el máximo de potencia, se obtiene con

F W  Fx  U  x  0 U U

Capítulo 5. Balances globales

148

G. Chacón V.

 Ejemplo 5.9. Álabe con aceleración constante

Sustituyendo las respectivas variables

0   v  U  A cos   1  2

584  U  0,91

U    2 v  U  1 A cos  1  U

584 U  0,912

Arreglando

U 

v v 584  0,91   2 3 3 3    A 1  cos  v  U U  0,91





Un álabe se desplaza movido por un flujo de agua con velocidad constante; que incide horizontalmente, en la parte inferior del álabe y sale por la parte superior desviado un ángulo dado. El área de la boquilla de suministro es variable, con el propósito de mantener el sistema con aceleración constante, al inicio está completamente abierta. Obtenga el valor del área con relación al tiempo y el tiempo requerido, desde el inicio, hasta que la boquilla quede cerrada; considerando las fricciones entre los diferentes materiales del sistema y las fuerzas reactivas insignificantes.

Sustituyendo valores

m 27 s  U  3

27  U  m U  0,912  m  s

U 9

Datos conocidos:

m 584  0,91 N 1 s   kg 2 1  cos 135 º  3  998 3  0,052 m m 1

v A

: velocidad del fluido a la salida de la tobera ¿?  A(t): área de salida de la boguilla que suministra el fluido al álabe ¿? A0  área mayor de la salida de la boguilla 0,001 m2  : ángulo de salida del fluido, del álabe 120 º 2,5 m/s2 ac : aceleración del álabe mc : masa del álabe 5 kg PAtm: presión atmosférica 85 kPa

2

s 

44,78 , 27  U  U  0,912

Respuesta 5.9

m/s

Balance de masa Resolviendo, con el valor de prueba inicial de 9 m/s, el valor de la velocidad del álabe que maximiza su potencia es

U  9,0 m/s

5.8

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC Nota:

dt

v Potencia máxima  3  U

Fenómenos de Trasporte

149

G. Chacón V.



   ve   e  ve  Ae   Pe Ae    entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS



Capítulo 5. Balances globales

150

G. Chacón V.

Diagrama del volumen de control

mc  mc  mVC

v2 A2 P2

y



- El movimiento es horizontal

2

ac vc

1

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del álabe - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante d  mVC  0 dt

F  mc  a c

vc  ac  t



- Los efectos de entrada y salida son despreciables.



El balance de masa es



Por el concepto de volumen de control inercial

   ve  v  vc

v1  v2  v  vc

- Pérdidas de fuerza por fricción y otros se representan por FR - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

Pe  Patm  Ps  Patm  0 - Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna, despreciable

  g  ze  z s   0

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

 AC  0

 v e  v s  v 151

  v  A   0  v 0  A0 v A  0 A0 v

1  v1  A1   2  v2  A2

- Volumen de control inercial

Fenómenos de Trasporte

- Las fuerzas resistivas y de fricción, despreciables

0  1  v1  A1   2  v 2  A2

- Flujo de masa en estado estacionario

con lo que

F  FR   m c  a c  Constante

El flujo de masa que sale de la boquilla es constante (estado estacionario)

x

 vVC  0

gy  g

gx  0

- La aceleración del volumen de control es constante

v1 A1 P1

v A P

- La masa del fluido en el álabe es despreciable

G. Chacón V.

El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0  1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x   2  v2  A2  v2 x 

P2  A2 x  Fx  Fx   v  vc  A v  vc    v  vc  A v  vc cos   mc  ac

mc  ac   v  vc  A 1  cos  2

Valor de la velocidad inicial a t0 v  v0 Capítulo 5. Balances globales

152



vc  0 G. Chacón V.

v0 

mc  ac   A0 1  cos  

m   2,5 2  T  1 A0 s  100     2 A  2,9 m   s  

Despejando v, con el balance de cantidad de movimiento y el área, A.

0,865  T  0,5  0,865  T  0,250,5  100  0

 v0  A0   1  cos   mc  ac  v 

 v  vc 2 

Con el valor de la velocidad inicial, v0 y la velocidad del álabe, vc

v  vc 2 

m    2,5 2  T 1  s    4  2,9 m   s  

Resolviendo A  0 , 01 A0

T  t A A

mc  ac v  v0  v   A0 1  cos   v0

0

 104 s  1 min : 44 s

5.9 b)

v  ac  t 2  v0  v Ejemplo 5.10. Sistema con aceleración constante y masa variable

Queda que

v 2  2  ac  t  v0 v  ac  t   0 2

Resolviendo

A0 v  ac  t 1       2 A v0  v0

 ac  t 1     4  v0

5.9 a)

Nota: Sólo el signo positivo tiene sentido físico. El valor de la velocidad inicial es

v 0  5 kg  2,5

m s2

kg   2 998 m 3  0,001 m 1  cos 120 º 

v 0  2,9 m/s



El tiempo que dura en cerrarse la válvula de entrada

A  0,

t 

Considerando un 1 % de aproximación, con t  T , para

A  0,01  A0 Fenómenos de Trasporte

153

G. Chacón V.

Un carro cisterna abierto, se desplaza sobre una pista horizontal, con resistencia despreciable. El carro se impulsa con aceleración constante desde el reposo, mediante un chorro de líquido. El fluido incide en el recipiente desde un orificio de área A con velocidad V, constante, formando un ángulo  con la horizontal. El tanque (sin líquido) tiene una masa de M0. Obtenga una expresión general para la razón de la velocidad del carro, U, con referencia a la del chorro, como función del tiempo.

Datos conocidos:  V velocidad del fluido a la entrada del tanque : área de salida de la tobera que suministra el fluido al tanque  : ángulo de salida del fluido  : densidad del fluido M0 : masa del tanque vacío PAtm: presión atmosférica

v A

Capítulo 5. Balances globales

154

G. Chacón V.

Variables intermedias

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

aC: aceleración del carro M: masa del sistema carro fluido

- Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Flujo incompresible (densidad constante)

Variable incógnita

- Flujo de masa a la entrada uniforme (constante)

   e   s  Constante v  V  Constante

vC  U  U(t): velocidad del carro

- Volumen de control inercial

 vVC  0

Diagrama del volumen de control

ve  V  U

- Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables



Pe  Patm  Ps  Patm  0

v A P

- Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna, despreciable

  g  ze  z s   0

M

Fx

vc

y

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

 AC  0

- El movimiento sobre el piso es horizontal

gx  0

- Las fuerzas de fricción entre el carro y la pista son despreciables F  0

x

- Los efectos de entrada son despreciables. - La aceleración del carro es constante

Respuesta 5.10

F  FR   M  ac  Constante

Balance de masa

- Las fuerzas resistivas y de fricción, despreciables

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

F   M  ac El balance de masa se expresa

Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt





entrada

gy  g

dM    v e  Ae  1  v1  A1 dt

   ve   e  ve  Ae   Pe Ae   

     vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

Fenómenos de Trasporte

155

G. Chacón V.

dM    A V  U  dt

Capítulo 5. Balances globales



156

G. Chacón V.

El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0  P1  A1x  1  v1  A1  v1 x  P2  A2 x  Fx

 V  M  ac  M 0   V U 

 Fx   e v e  A  ve  cos  e  M  ac

Separando variables

M  ac   V  U  A V  U cos 

dU

Sustituyendo, con la definición de aceleración del carro

M  ac  M



 1   1  cos 

dU dM  V  U  cos  dt dt

  A  cos  M 0  V cos 

dt

   A  cos   1    1 cos  cos   V  U   M 0 V

Con la condición inicial,

  t  C2 

a t  0, U  0

se evalúa la constante C2, resultando

Simplificando

    A  cos   1 1      1 cos  1 cos   cos  V    V  U    M 0 V

M d U  V  U  cos  d M

 1   1  cos 

Arreglando y separando variables

Despejando para UV

dU dM  V  U cos  M

   A  V  cos  1  cos    U  1  1  t V M0  

Integrando



dU 2    A V  U  cos  dt

Integrando

dU 2    A V  U  cos  dt

Sustituyendo el balance de masa

M

V  U 

2  cos 

cos 

1 lnV  U   lnM   ln C1 cos 

1 1 cos 

5.10

Nota: Con el valor del ángulo   0 se obtiene un máximo para la velocidad U.

Con la condición inicial, a t  0 , U  0 y M  M 0, se evalúa la constante C1, y se obtiene

M  V    M 0 V U 



  t 

 2    A V  U  1  1  t V M0  

1 2

cos 

Sustituyendo la masa, M, en la ecuación del balance de cantidad de movimiento

Fenómenos de Trasporte

157

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

158

G. Chacón V.

 Ejemplo 5.11. Flujo externo sobre un cuerpo esférico



Se desea obtener la fuerza de arrastre que ejerce el aire sobre un cuerpo esférico, de diámetro D, expresada como un coeficiente de arrastre CD,

D: diámetro de la esfera T: Temperatura del sistema Diagrama del volumen de control

v3

FD CD   v A

r

FD: fuerza de arrastre sobre el cuerpo v: velocidad, del fluido, característica o promedio A: área proyectada por el cuerpo

0ra

v4 x

Respuesta 5.11

ar

Balance de masa

Para dos modelos: a) que la velocidad máxima del fluido a la salida es igual que la velocidad promedio con una caída de presión despreciable y b) que existe una caída de presión, entre la entrada y la salida, de tal forma que la velocidad máxima a la salida es diferente de la velocidad promedio; ambos casos se consideran como procesos isotérmicos. a) u  u max  v  v P  0

P  h L

u  u max  v 

a

y

Considere, como condiciones del modelo, para interpretar los datos experimentales, que el flujo entra al túnel con un perfil de velocidad uniforme y sale con uno parabólico (sinusoidal), con amplitud a  k·D,

b)

v2u

D

v1

: densidad del fluido

 r  u  u max  sen    2 a u  v  v

25 mm 25 C

Datos observados (conocidos):

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt



   ve   e  ve  Ae   Pe Ae    entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS



v1: velocidad del fluido a la entrada del túnel

v1  v  v  42,5 m/s

k: coeficiente de amplitud de la velocidad a la salida hL: diferencia de presión entre la entrada y la salida

Fenómenos de Trasporte

159

3 42 mmH2O

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el gas dentro del conducto - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante

Capítulo 5. Balances globales

160

G. Chacón V.

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt

Sustituyendo las condiciones de contorno

  v    a 2  m 3 4 

 vVC  0

- Volumen de control fijo - Geometría perfecta - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables



  u max  a 2



El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

Pe  Patm  Ps  Patm  0

0  1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x    2  v 2 d A2  v 2 x  P2  A2 x 

- Efecto de la presión, cabeza hidrostática interna, despreciable

 3  v 3  A3  v 3 x  P3  A3 x   4  v 4  A4  v 4 x  P4  A4 x  Fx

  g  ze  z s   0

Fx    v 2   a 2 

y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

 AC  0

con lo que  v e  v ; aunque, con el cuerpo si son apreciables y representadas por FD - Perfil de salida según modelo - El movimiento es horizontal

gx  0

8

Integrando, con

 r    2   r  d r   2 a m 3  v 3  m 4  v 4  P2  P1    a 2



a

0

2  sen 2    u max

FD  Fx

 r  r  sen   2 a  2 2 2 r FD    v    a  2      u max       4 4   2a  2

gy  g

- Los efectos de entrada y salida son despreciables.

a

 r  cos   2 a    m  v  m  v  P  P   a 2 3 3 4 4 2 1 2     8    2  a  0

El balance de masa es

0   1  v1  A1    2  v 2 d A2   3  v 3  A3   4  v 4  A4 Definiendo

m 3 4   3  v 3  A3   4  v 4  A4 0    v   a   2

a

0

Efectuando operaciones y simplificando

 r    umax  sen   2    r d r  m 3 4  2 a

 2  2  a2  FD    v 2    a 2       umax 2  m 3  v3  m 4  v4  P2  P1    a 2

Integrando

  v    a 2  m 3 4  2      u max 



a

 2  a  2   r   r   2a   sen    r cos    2 a     2 a  0    Fenómenos de Trasporte

161

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

162

G. Chacón V.

Respuesta 5.11a) Caso de P  0

Sustituyendo

Otras consideraciones del modelo

P2  P 1 ;

u max  u  v ;

m 3 4    v    a 2 

v3 x  v 4 x  v

8



  u max  a 2  0

De donde Sustituyendo

u max 

8  m 3 4     v     a 2  

 6 1 FD    v   a  2   2  2

 4



FD  C D    v 2

5.11a)

C D  3,9 Respuesta 5.11b) Caso de P  0

m 3 4  0

 4k2   P1  P2  2   v

 2     CD  3  3  4   4  32 m kg   42,5  3  s  m 

2

C D  11,7

G. Chacón V.



2

1,18

Otras consideraciones del modelo

v3 y  v 4 y :

4

D2

 2 C D  k 2  3  4 

 12  C D  2  k  2  1  0,4317  k 2  

u max  v





Con lo que

2

163

  3 2    P2  P1    a 2 FD     v 2    4 16   

D2

P1  P 2   H 2 O  g h L :



Simplificando

Con lo que

Fenómenos de Trasporte



2

Simplificando

FD  C D    v 2

v

 2   2 2 FD    v 2    a 2      v a  2  8 P2  P1   a 2

 2  FD    v 2    a 2       v 2  a 2  2   8   v2     a2  

si

8

La fuerza de arrastre sobre el cuerpo es

La fuerza de arrastre sobre el cuerpo es

2

2

Capítulo 5. Balances globales

164

997

kg m 9.81 2 0,042 m 3 m s

5.11b)

G. Chacón V.

5.3

BALANCE DE ENERGÍA

5.3.1

Balance de energía mecánica

Balance de energía



Ejemplo 5.12. Ecuación de Torricelli Un depósito en forma de cono invertido, de 3 m de alto por 3 m de diámetro, contiene un líquido que se desaloja por gravedad, a través de un orifico practicado en el fondo, que tiene 20 mm de diámetro. Demuestre que, si se desprecian los efectos de fricción y de salida, la velocidad de salida se puede evaluar por

vs  2  g  h Donde: vs: velocidad de salida h: altura del líquido (diferencia entre el nivel superior del líquido y el correspondiente a la salida) g: aceleración gravitacional

Determine el tiempo de vertido del líquido contenido en el tanque si el nivel inicial es de 3 m.



2 d  m u  12 v  gz   VC   QVC  WVC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G   E OTRAS

Geometría

2r z  ; zH D

dV    r d z 

2

  z2 d z 4  z H 

D 3m 3m 9,82 m/s 97 kPa 0,02 m

: Altura del tanque : diámetro del tanque : aceleración gravitacional : presión atmosférica : diámetro del orificio de salida

zH r

z

H h

Variables h vs t

D

Diagrama del volumen de control

Datos conocidos: H D g PAtm Ds

2

: nivel del líquido dentro del tanque : velocidad del fluido a la salida del tanque : tiempo transcurrido

zs z0  0

Respuesta 5.12

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Balance de masa

- Volumen de control: el líquido dentro del tanque - Flujo incompresible (densidad constante)

   s  Constante

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Fenómenos de Trasporte

165

- Volumen de control fijo G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

 vVC  0

166

G. Chacón V.

T  Cte.

- Proceso isotérmico

d u VC 0 dt

Q  0

G0

u  Cte.

E OTRAS  0

- Pérdidas de fuerza por fricción despreciables - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - Trabajo de mover las frontera del sistema

Sustituyendo las relaciones geométricas (V  Vh  Vs), se tiene 2  d   V   d  z D 2      u g z    z d z    d t VC d t   zs 4  zH     P   s  v s  As  u   s  v s  As atm

s

dz W   Fz  v z    P  d A dt

 vs 2  d VVC    vs D   g  z s   Patm  2  4 dt  



Nota: de Termodinámica

W   P  dV :

δ W   lím  P  d V δ t 0 δ t

Simplificando 2   vs 2 dz  Ds  gz   z H  vs   g  zs    2 dt  D   

- La presión externa al sistema se mantiene constante Pe  Ps  Pexterna  Patm  Constante

3

El balance de masa se expresa

Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros, con la densidad constante 2  2    z d z      v s D s2 4  

2 2 2   Ds   vs  Ds  z H  v s   z H  vs  g  zs   g  z    2 D  D 

Arreglando 2

v  g  z  s  g  zs 2 Con lo que

Realizando operaciones y simplificando 2

z2

dz D    s z H  v s dt  D 



Sustituyendo el balance de masa

d   V VC    s  v s  As dt

d  z  D    d t   z s 4  z H 

2 s

v s  2  g z  z s   2  g  h



Ecuación de Torricelli

El balance de energía

d   V VC d u VC d    VVC    V  g  z VC  dt dt dt 2    vs P d z   s v s As  u s  atm   gz s     P  d A     2 s d t  VC  

uVC

Fenómenos de Trasporte

167

G. Chacón V.

Tiempo de vertido Sustituyendo este resultado en el balance de masa

dz D    s z H  z dt  D  2

Capítulo 5. Balances globales

2

2  g z  z s 

168

G. Chacón V.

z  z  zs

Con las aproximaciones

z

32

D  d z   s H   D 

H  zH

y

2 g dt 2

Evaluando la constante con las condiciones de contorno Cuando

Cte 

z  zH  H

t0



2

2 52 D  12 z   s H  2  g  t  Cte 5  D 

Integrando

 Ejemplo 5.13. Sifón

2 52 H 5

Sustituyendo

Un depósito cilíndrico de 3 m de diámetro, se descarga mediante un sifón, que está formado por un tubo de 25 mm de diámetro. Al inicio, el nivel alcanza 3 m arriba de la salida del sifón y 1,5 m abajo de la curvatura del mismo. Considerando que las pérdidas de energía equivalen a 1,63 veces la energía cinética del flujo en el sifón, exprese el gasto y el nivel, en términos del tiempo, así como, calcule la presión en la curvatura del sifón (presión de sifón). Respuesta 5.13 Diagrama del volumen de control

 D  g z  H 5 2  5  s H     D  2  2

12

 t 

25

v2 P2 z2

z  zs  0

t t

2 1   H 5 2   5 g

12

 D   Ds  H

  

z  zs

2

v1 P1 z1

El tiempo de vertido, , es cuando



2

1

z2 – z0 z1 – z0

Simplificando

1 D    5  Ds

  

2

 2 H   g

  

vs Ps zs

Con los datos del caso

1 3m     5  0,02 m 

2

 23m  2  9,80665 m/s

 1 ks   1000 s

  3,52 ks  58 min : 40 s

Fenómenos de Trasporte

169

S

v0 P0 z0

0

Datos conocidos: 5.12

G. Chacón V.

H: D 1: g: PAtm:

altura del líquido en el tanque (t  0) diámetro del tanque aceleración gravitacional presión atmosférica

Capítulo 5. Balances globales

170

3m 3m 9,81 m/s2 100 kPa G. Chacón V.

D0 : h: k:

0,025 m 4,5 m

diámetro del tubo, del sifón altura del sifón coeficiente de pérdidas de energía en el sifón

1,63

 vVC  0

- Volumen de control fijo - Proceso isotérmico

Q  0

T  Cte. G0

u  Cte. E OTRAS  0

H f  k  v 02 2

Variables

- Pérdidas de energía por fricción

vs: t: z:

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - Trabajo de mover las frontera del sistema

velocidad del fluido a la salida del tanque tiempo transcurrido nivel instantáneo del líquido en el sistema tanque sifón

Balance de masa

- La presión externa al sistema se mantiene constante

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

Pe  Ps  Pexterna  Patm  Constante

Balance de energía





2 d  m u  12 v  gz   VC   QVC  WVC dt 2    v P     e  ve  Ae   ue  e   e e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G   E OTRAS

Geometría del volumen del líquido en el tanque

dV    D d z 4 2 1

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del tanque y el sifón - Sifón lleno de líquido y el flujo, dentro de él, en estado estacionario - Flujo incompresible (densidad constante)

   s  Constante

Fenómenos de Trasporte

171

dz W   Fz  v z    P  d A dt

G. Chacón V.

El balance de masa en el tanque, se expresa como

d   V VC    s  v s  As dt El balance de masa en el tubo de sifón

0   s  vs  As   0  v0  A0 Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros,

 d  z  2   D1 d z      v 0 D02   d t  zs 4 4  Realizando operaciones y simplificando 2

D  dz   0  v0 dt  D1 



El balance de energía 2 P  v0 d 0  g  z0    V  g  z VC   0  v0  A0    dt 2  0 

2

v dz    0  v0  A0  k 0      P1  d A  2 d t VC  Capítulo 5. Balances globales

172

G. Chacón V.

Sustituyendo las relaciones geométricas se tiene, con

Separando variables

P1  P2  Pexterna  Patm

Patm d VVC d  z 2   D d z g z  v A P        atm 1 0 0  d t  z s 4  dt  2 2 v0  2  v 0    v 0 D0  g  z0  k  2 4 2 

z

   

Simplificando

2

2 g dt 1 k

2 z

12

D   0  D1

  

2

2 g t  Cte 1 k

t0

Cte  2  H 1 2

z  z1  H  3 m

Sustituyendo

2 2   v0  2   v 0  v 0  D0 k  1  g  z0    2   

2 12  1  D0   2  g   12   z  H     t 2  D1   1  k    

2

Gasto o flujo volumétrico

Simplificando

g  z  k  1

v0 2

2

  2 g  V  v 0  A0  D02  z 4 1 k 

 g  z0

Con lo que

2 v0  g z  z 0  1 k



Que es la ecuación de Torricelli, modificada con pérdidas por fricción

Utilizando este resultado en el balance de masa, con

z0  0 2

4

D

2 0

1D  2 g     H   0 2  D1  1  k  

  

2

 2 g     t  1  k  

  3 m  2  2  9,81 m/s 2 1 2 1000 s   t  z  3 m  1     ks    0,02 m   3 m 1  1,63  

2

z  3 1  0,05474  t 

2

2 gz 1 k

Fenómenos de Trasporte

V 



Con los valores dados para el caso, para la altura del líquido

Nivel en el tanque

D  dz   0  dt  D1 

  

Integrando

Cuando

Sustituyendo el balance de masa

D  D  g  z  0  D1

D d z   0  D1

Evaluando la constante con las condiciones de contorno

2   v0 dz 2  D gz  v 0  D0 k  1  g  z0    dt 2   2 1

2 1

1 2

z en m y t en ks  18,3 ks 173

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

174

5.13: z

G. Chacón V.

A2  A0

Para el flujo volumétrico

2  9,81 m/s 2 1000 L  2 V  0,025 m   3m 4 1  1,63 m3

El balance de energía

 1  0,025 m   2  9,81 m/s  1000 s   t    1   ks   2  3 m   3 m 1  1,63   2

2

v2  v0

12

V  2,322 1  0,05474  t  V en L/s y t en ks  18,3 ks

5.13: V

3,0

2   d   V  g  z VC  0    v 2  A2  P2  v 2  g  z 2   dt 2  

 P0 v 02  v 02   v 0  A0    g  z 0     v0  A0  k 2 2   Despejando P2,

v02 P2  P0    g   z 2  z 0     k 2

2,5 Altura Flujo vol.

2,0

altura, m

2,0 1,5 1,5 1,0 1,0

flujo volumétrico, L/s

2,5

Sustituyendo valores

kg m kg 1  P2  Patm   998 3 9,81 2  4,5 m 998 3 1,63  2 m s m  2  2,3221  0,05474  t  L m 3   kPa m s 2    2 2 s 1000 L   1000 kg    0,025 4  m 

0,5

0,5 0,0

P2 man  44,04  18,197 1  0,05474  t  P2 man en kPa man y t en ks  18,3 ks

0,0 0

5

10 Tiempo, ks

15

2

5.13: P2

20

Presión del sifón, en 2.  El balance se efectúa entre los puntos 0 y 2. Para lo que se considera que no se acumula masa en el tubo del sifón y su área es constante. El balance de masa es

d   V VC  0   2  v 2  A2   0  v 0  A0 dt Fenómenos de Trasporte

175

G. Chacón V.

Ejemplo 5.14. Distribuidor de flujo



Por un tubo vertical de 1,5 m de alto y 200 mm de diámetro, fluye agua hacia arriba, que se impulsa por una presión de 70 kPman. La salida del tubo tiene una rejilla, en forma de “T”, para desviar el flujo en ángulo recto, la cual tiene 12,5 mm de holgura (“luz”) y 300 mm de radio. Determine el flujo de agua por el sistema, si se desprecian los efectos de fricción y de presión. Capítulo 5. Balances globales

176

G. Chacón V.

Diagrama del volumen de control



vs, Ps

W

h

2    ve Pe             v A u  gz  e e e e e e   e 2 entrada     2    vs Ps    s  v s  As  u s    s  gz s     s 2 entrada         v  A  AC H f  mVC G   E OTRAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante)

D

   e   s  Constante

ve, Pe

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt

D: h: Pe : W: : Ps: PAtm:



- Volumen de control fijo vVC  0 y zVC  Cte.

Datos conocidos: diámetro del conducto altura del conducto presión de entrada (al conducto) holgura de la rejilla diámetro de la rejilla presión de salida (de la rejilla) presión atmosférica

0,2 m 1,5 m 70 kPaman 0,0125 m 0,6 m PAtm 90 kPa

- Proceso isotérmico

Q  0

T  Cte. G0

u  Cte. E OTRAS  0

- Pérdidas de energía por fricción y contracción despreciables

Hf 

   v  AC AAC 0    v  A  AC

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable v  v   1 - No se levanta un peso ni se mueve un eje, W  0 .

Respuesta 5.14 Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

El balance de masa se expresa

Balance de energía

Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante



2

d m u  12 v  gz



dt Fenómenos de Trasporte

VC

0   e  v e  Ae   s  v s  As

 D V  ve   vs      W 4 2

 Q VC  WVC  177

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

178

G. Chacón V.





v s  V     W 

v e  4  V   D 2 ;



El balance de energía

 P ve 2  0   e  ve  Ae  e   g  ze   e  2   2 P  vs s   s  vs  As    g  zs   s  2  

Simplificando 2

ve 2



vs

2



2

Ps  Pe



 g z s  z e 

Sustituyendo los valores de la velocidad 2

V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido agua : eficiencia de la bomba 0,75

Despejando el flujo volumétrico

 Pe man   16  1    4  2 V   2   2  g  h      D   W 2   

1

2

Sustituyendo valores

 kg m  9,81 2  1,5 m  70 000 Pa man 998 3 m s V   2   2  16 1   0,2 4 m 4 0,6 2 m 2  0,0125 2 m 2  V  0,38 m 3 /s

Fenómenos de Trasporte

179

Una bomba toma agua desde un depósito, por medio de un conducto No. 6 Ced. 40, cuyo extremo de succión se encuentra 1,5 m por debajo de la superficie (nivel) del agua, en el depósito. La bomba descarga el líquido por un conducto No. 3 Ced. 80, que desemboca 2,0 m arriba del nivel del agua en el tanque, contra una presión de 174 kPaman. Si el rendimiento de la bomba es de 75 % y las pérdidas en las tuberías es de 3,1 veces la de la energía cinética, correspondiente a la salida, determine la potencia de la bomba, para operarla con una velocidad de descarga de 3 m/s.

Datos conocidos:

2  4   Pe man 1   V    g h      2     D       W   2 2

Ejemplo 5.15. Bombeo

     

1

2

5.14

G. Chacón V.

H f  3,1 v 22 2

Pérdidas de energía En el nivel (1) del depósito: D1: diámetro v1: velocidad del fluido z1: nivel del fluido (referencia) P1: presión T1: temperatura L1: longitud del conducto

grande “ ” ¿? 0 PAtm ambiente ¿?

A la salida (2) del conducto: D2: diámetro v2: velocidad del fluido z2: nivel del fluido al salir P2: presión manométrica T2: temperatura L2: longitud del conducto

0,0737 m 3 m/s 2m 174 kPaman ambiente ¿?

PAtm: presión atmosférica

89 kPa

Capítulo 5. Balances globales

180

G. Chacón V.

     v  A   AC H f   mVC G QVC  WVC   E OTRAS

Respuesta 5.15 Diagrama del volumen de control v2 P2 z2

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante)

z2 - z1

   e   s  Constante

- Flujo de masa en estado estacionario

v1 P1 z1

d mVC 0 dt

 vVC  0 y zVC  Cte. - Proceso isotérmico T  Cte. u  Cte.   Q0 E OTRAS  0 G0 - Volumen de control fijo

- Pérdidas de fuerza por fricción

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - Las pérdidas de energía en la bomba, por irreversibilidad (fricción, expansión, turbulencia, etc.) están representadas por la eficiencia o rendimiento de la bomba.

Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

WVC   W S Donde:

Balance de energía





d  m u  12 v  gz   VC dt 2    v P     e  ve  Ae   ue  e   e e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada     2

Fenómenos de Trasporte

181

H f  3,1 v 22 2

G. Chacón V.

 :

eficiencia (termodinámica).  WS : potencia del eje de la bomba - El nivel del agua en el tanque, corresponde a la condición extrema de operación (constante). D1   . - Diámetro del tanque muy grande - Factor de seguridad 15% El balance de masa es

0  1  v1  A1   2  v 2  A2

Capítulo 5. Balances globales

182

G. Chacón V.

Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

  V  1  v1  A1   2  v 2  A2 2

v1  v 2

D2 A2  0,0737 m   v 2 12  3 m/s    0 m/s  A1 D1   

El balance de energía 2 P  v1 1    g  z1    2  v 2  A2  0  1  v1  A1  1  2   2 P   2  v 2  g  z      v  A  H    W 2 2 2 2 f S  2  2  

Simplificando y despejando en términos de la potencia

 P  P1     v 2  D22  2 W S  4    v22  v12 v2   g z2  z1   3,1 2   1,15 2 2 Sustituyendo valores  174000 Pa kg m  2 W S   998 3 3 0,0737 m  1,15   3 4  0,75 m s  998 kg m 2 2  1  m  m 1  m   1 kW    3   0  9,81 2 2  0 m  3,1  3   2  s  2  s   1000 W s  W  4,16 kW

S





Ejemplo 5.16. Turbina para líquido

Durante la operación de una turbina hidráulica, se entregan 450 kW con un gasto de 5 m3/s. La masa entra por un conducto de 0,5 m de diámetro con una presión de 80 kPaman. La salida está 4,4 m abajo del nivel del depósito, con un diámetro de 0,75 m. Si la eficiencia (coeficiente de desempeño) de la turbina es de 82 % y se desprecian las pérdidas de energía por fricción y otras irreversibilidades, determine la presión a la salida de la turbina.

Datos conocidos: 5 m3/s V : flujo volumétrico, gasto o carga g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido agua Entrada (A) de la turbina: DA: diámetro vA: velocidad del fluido PA: presión TA: temperatura zA: nivel o altura

0,5 m ¿? 80 kPaman ambiente referencia

A la salida (B) de la turbina: DB: diámetro vB: velocidad del fluido PB: presión TB temperatura zB: nivel o altura

0,75 m ¿? ¿? ambiente -4,4 m

450 kW W S : potencia suministrada : coeficiente de desempeño, “eficiencia” 0,82 88 kPa

PAtm: presión atmosférica La potencia requerida por la bomba es

W S  5 kW

Respuesta 5.16 (6 H.P.)

5.15 Diagrama del volumen de control

Fenómenos de Trasporte

183

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

184

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

vA PA zA DA

- Volumen de control: el líquido dentro de la turbina - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt

 vVC  0 y zVC  Cte. T  Cte. u  Cte. G0 E OTRAS  0

- Volumen de control fijo

zA – zB

- Proceso isotérmico

Q  0

- Pérdidas de fuerza por fricción, despreciables

Hf 0

vB PB zB DB

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable v  v   1 - Las pérdidas de energía en la turbina, por irreversibilidad (fricción, expansión, turbulencia, etc.) están representadas por la eficiencia o coeficiente de desempeño de la turbina.

Balance de masa

WVC   W S 

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

Donde:

W S : potencia del eje de la turbina

 : eficiencia (termodinámica).

Balance de energía





d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada          v  A   AC H f   mVC G Q  W   E 2

VC

Fenómenos de Trasporte

VC

185

- El nivel del agua en el depósito, corresponde a la condición extrema de operación (constante).

El balance de masa es

0   A  v A  AA   A  v A  AA Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

  V   A  v A  AA   B  v B  AB vA 

4  V V  AA   D A2

vB 

4  V V  AB   D B2

OTRAS

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

186

G. Chacón V.

g.e: gravedad especifica o densidad relativa del fluido Pérdidas de esfuerzo en la contracción

El balance de energía

P  v 0   A  v A  AA  A  A  g  z A   A  2   2 P  W v   B  vB  AB  B  B  g  z B   S  B   2   2

2 ,1

 v  BC  0,02    V 1  e  v s  vs  Pérdidas de esfuerzo por la fricción  AC      v 2

Simplificando y despejando en términos de la presión de salida

PB  PA 

8

2

 1 W S 1        g z  z   A B 4 4    V  DA DB 

  V 2 

Sustituyendo valores 2  8 kg  m 3   1   4 4  PB  80  88  kPa   2 998 3  5 m  s   0,5 m     1 kg m   998 3 9,81 2 0   4,4 m   4 4  m s 0,75 m   1 kPa 450 kW  2 1000 kg/m s 0,82  5 m 3 /s

La presión estática a la salida de la turbina es

PestB  361 kPa

0,8825/4C

273 kPaman.

5.16

A la entrada (1) del conducto: D1: diámetro v1: velocidad del fluido P1: presión T1: temperatura L1: longitud del conducto 1: ángulo del conducto 1: coeficiente de fricción z1: nivel o altura

54 mm ¿? ¿? 26 C 2,5 m 53 º 0,0042 referencia

A la salida (2) del conducto: D2: diámetro v2: velocidad del fluido P2: presión manométrica T2: temperatura L2: longitud del conducto z2: nivel o altura 2: ángulo del conducto 2: coeficiente de fricción

15 º 0,0028

PAtm: presión atmosférica

93 kPa

18 mm ¿? m/s 310 kPaman ¿? 6m

Respuesta 5.17 

Ejemplo 5.17. Sistema de conductos



Un conducto, cilíndrico inclinado, con una reducción transporta un fluido. Evalúe la presión necesaria para que el fluido salga contra una presión de 310 kPaman.

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de energía

Datos conocidos: V : flujo volumétrico, gasto o carga Fenómenos de Trasporte

Balance de masa

187

2,5 L/s G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

188

G. Chacón V.





2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe  v A u    e  e  e   e   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada          v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

OTRAS

- Volumen de control fijo - Proceso isotérmico

Q  0

 vVC  0 y zVC  Cte. T  Cte. u  Cte.  G0 E OTRAS  0

- Pérdidas de fuerza por fricción y contracción, las indicadas y

   v  A  AC H f    v  AC AAC

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - No se levanta un peso ni se mueve un eje W  0

El balance de masa se expresa

0  1  v1  A1   2  v 2  A2

Diagrama del volumen de control

Sustituyendo y arreglando, con la densidad constante

L2 D2 L1

2

  V   1  v1  A1   2  v 2  A2 L 1 m3 4  V V s 1000 L v1    2 A1   D1  0,054 m 2 4  2,5

v2 P2

D1

v1  1,09 m/s

1



L 1 m3 4  V V s 1000 L v2    2 A2   D 2  0,018 m 2 4  2,5

v1 P1 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el líquido dentro del sistema de tuberías - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante d mVC 0 dt 189



El balance de energía 2 P  v1 1    g  z1     1   1  v13  0  1  v1  A1  1  2  

- Flujo de masa en estado estacionario

Fenómenos de Trasporte

v 2  9,82 m/s

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

190

G. Chacón V.

2 P  v2 2    g  z2     D1  L1   2  v 2  A2  2  2  

 v  2   2  v    D2  L2  0,02   2  V2 1  1  v2 3 2

  

Ejemplo 5.18. Tubería

2 ,1

v 22

Simplificando y despejando para P1

 P v2 2 v1 2  L  2    g  z2  g  z1   4  1  v12 1  D1    2 2 

P1

2,1

 v  L  4   2  v 2  0, 02  1  1  v22 D2  v2  2 2

Sustituyendo valores

  310  931 E 3 Pa 9,83 2 m 2 1,09 2 m 2       0,88  999,972 kg 2  s2 2  s2  m3  9 ,81  6  sen15  9 ,81  2 ,5  sen53 

P1

2

2 ,1

Hf  kv22

2

La presión con la que sale, se toma como veinte por ciento mayor que la resistiva (que se opone a la salida)

m2 kg MPa 0,88  999,972 3 2 s m 1 E 6 kg/m s 2 La presión a la entrada del sistema es

191

II

Donde: Q : flujo o gasto volumétrico en m3/s v: velocidad promedio (ambos dentro del conducto)

9,83 2 m 2 s2

P 1  0,8 MPa

I

Las pérdidas de energía (irreversibilidad) debido a la fricción del fluido dentro del conducto y los accesorios es

P 1  458  48,3  0,6  15,2  19,6 0,9  360,3  1,5 

Fenómenos de Trasporte

Considere las siguientes aproximaciones: La presión atmosférica es de 665 a 672 mm Hg y la temperatura ambiente entre 23 y 27 C. La eficiencia de la bomba es de

  0,96 (1 –542 Q1,2)

1,09 m 6m 4  0,0042    2 0,054 m s 9,83 2 m 2 2,5 m 4  0,0028  0,018 m s2  1,09  0,02 1    9,83 

Se toma agua de un canal que mantiene un nivel de 0,8 a 1,0 m y se debe enviar una distancia de 25 m y 3,2 m de altura, desde la base del tanque, contra una presión de 25 kPaman. El fluido se traslada dentro de un conducto de acero al carbono de 2,” céd. 40, de 20 m de largo, donde está la bomba y luego por una de 1,” céd. 40, de 12 m de largo, unidas mediante una contracción. El sistema tiene dos válvulas de compuerta y una de globo, cuatro codos de 90 y 8 uniones, todas de brida. Calcule la potencia de la bomba, para un flujo de 50 litros por minuto.

5.17

G. Chacón V.

NO : OS: PAtm: T: DAB: PCS:

altura del líquido en el tanque 0,8 m altura de la salida 3,2 m presión atmosférica 665 mmHg 88,7 kPa temperatura atmosférica 23 C diámetro del primer tubo, 2” céd. 40 0,0525 m presión a resistiva a la salida 25 kPaman 1.2113,7 kPa DBC : diámetro del tubo de salida, 1” céd. 40 0,0266 m : eficiencia de la bomba Ec. I

Capítulo 5. Balances globales

192

G. Chacón V.

Hf :

pérdidas total de energía por fricción y accesorios Ec. II coeficiente de pérdidas en el tramo AB 4,8 coeficiente de pérdidas en el tramo BC 22,2 velocidad del fluido en el canal 2 a 3 m/s flujo dentro del conducto, 50 L/min 8,3310-4 m3/s

kAB : kBC : vR : V :

Respuesta 5.18

- Proceso isotérmico

Q  0

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - Pérdidas de energía por fricción y otras irreversibilidades

Balance de masa

H f  k AB

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida





d  m u  12 v  gz   VC dt 2    v P     e  ve  Ae   ue  e   e e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

2 v AO v2  k BC CS 2 2

- Eficiencia de la bomba que incluye todas las pérdidas de energía en ella, accesorios, fricciones, vibraciones, etc.

Balance de energía 2

d mVC 0 dt T  Cte. u  Cte. E OTRAS  0 G0

- Flujo en estado estacionario

  0,961  542  V 1, 2 

-

Velocidad de entrada al sistema

v AN  0 DTANQUE  

- Factor de seguridad 15 % Diagrama del volumen de control PAtmosférica

B

C

DBC

S PCS TCS N

S A N

vR DAB

OTRAS

O

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones - Volumen de control: el líquido dentro de la tubería y el tanque - Flujo incompresible (densidad constante)

   s  Constante

- Volumen de control fijo

Fenómenos de Trasporte

 vVC  0 y zVC  Cte.

193

G. Chacón V.

O A

C

B

El balance de masa, entre los puntos AN y CS

0   AN  v AN  AAN   CS  v CS  ACS Sustituyendo y arreglando, en términos de los diámetros,

  2  2 V  v AN DTANQUE  v CS DBC  v AO DAB 4 4 4 Capítulo 5. Balances globales

194



G. Chacón V.

El balance de energía

0   AN  v AN

P v AN  AAN  AN    AN 2 

P v CS ACS  CS    CS 2 

  g  z AN    CS  v CS      g  z CS     W    V  H f  

2

2

Sustituyendo las relaciones del balance de masa y de las pérdidas de energía.

  W  PCS  PAN v  v   2   V   2 CS

2 AN

g  zCS  zAN   k AB

v

2

 k BC

v   1,15 2  2 CS



0,96 1  542  8,33 E  41, 2 W  997 ,537 kg/m 3  8,33 E  4 m 3 /s

1.2  113,7  88,7 kPa 1000 kg/m s 2   997,537 kg/m 3 1 kPa  1 4 m3   8,33 E  4  2 s 

9,80665

2

 1 1   4 " "4  0,0266

 1  4  m

W  109 W

( W  1 5 H.P ) 5.18

5.3.2. Balance de energía térmica (Capacidad o capacitancia térmica global, Bi < 0,1)

Donde: h: coeficiente de película del fluido que rodea la placa. n y  : parámetros Ts: Temperatura de la superficie (externa) del sólido Tf: Temperatura del medio (que rodea) al sólido.

h:

4 m 3   4,8 22,2  1   8,33 E  4     1,15   s   0,0525 4 0,0266 4  m 4    2

0,855  W  47,85 m 2 /s 2  1,12 m 2 /s 2  0,8313 kg//s 23,53 m 2 /s 2  25,31 m 2 /s 2  1,15





195

Una placa de acero de 13 mm de espesor está, en un horno, a 900 K. Se retira del aparato y se apaga en un baño de aceite a 28 C. Determine el tiempo necesario para que se enfríe hasta 90 C, suponiendo que el coeficiente de película del medio es a) h  Constante. b) h   (Ts  Tf)n.

Datos conocidos:

m 3,2  0,8 m  s2

Fenómenos de Trasporte

La potencia es de

Ejemplo 5.19. Calor en estado transitorio 2 AO

Sustituyendo valores



0,8313 kg//s W  97,8 m 2 /s 2  1,15 0,855

G. Chacón V.

n:

Coeficiente de película del aceite a 323 K Parámetro Parámetro

400 W/m2 K 95 W/m2 K4/3 1/3

Ts0: T f 0: : CV : k:

Temperatura inicial de la placa Temperatura inicial del aceite Densidad del acero Capacidad calorífica del acero Conductividad térmica del acero

900 K 301 K 7,8 t/m3 450 J/kg K 50 W/m K

:

Capítulo 5. Balances globales

196

G. Chacón V.

L: Espesor de la placa H: Alto de la placa W: Ancho de la placa

13 mm

Respuesta 5.19

A  2 W  H ;

Geometría

V W H L

u    V  CV T T Ref 

Termodinámica

VC

Transferencia de calor entre el límite de la, superficie, fase sólida, en contacto con la fase líquida

q s  h Ts T

f



OTRAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.



Q VC  h T AC  T f   AAC

W

- La radiación se considera como parte de la evaluación del coeficiente de transferencia de calor por convención

qs

 4 4 Q VCRadicaión   AC T AC  TEM AAC  0 G0 E OTRAS  0 - Parámetros , CV, k y h constantes.



T(t) Placa

Bi 

L



- Número de Biot

Tf

Resistencia interna a la conducción

 Resistencia externa a la covección

Medio

Bi 

Balance de energía



2 d  m u  12 v  gz   VC dt

Fenómenos de Trasporte



- La masa no se mueve v  0 W  0 - En las caras externas el proceso está regido por la convección

A



VC

- Volumen de control: la placa dentro del líquido  - Volumen de control fijo vVC  0 y zVC  Cte.

Diagrama del volumen de control

H

2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   us  s   s s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G Q  W  E

V k  0,1 A hf

TAC  TS  T

Sustituyendo las relaciones en el balance de energía

197

G. Chacón V.

d m u   QVC dt



198

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

Reemplazando las relaciones energéticas y geométricas

d   V  CV  T   h T  T f  A dt



Con la condición inicial, t  0, en que la masa está a una temperatura T0, se obtiene la constante de integración y

 T  Tf ln T T f  0

Con los datos del problema, la longitud característica, 



V W H L L   A 2 W  H 2

O bien en forma adimensional, si

t* 

Se evalúa el número de Biot

V k L hf Bi   A hf 2 k

Bi 

    h A t    V  CV 

h A t   V  CV

Se obtiene

Bi  0,05  0,1

T  Tf T0  T f

T *  exp t *

2

13 mm 1 m 400 W/m K 2 1000 mm 50 W/m K

T* 

Despejando el tiempo de la ecuación del balance de energía y sustituyendo los valores conocidos. 

t

Con lo que el modelo propuesto ofrece resultados aceptables. tc: 5.19a) Coeficiente de transferencia de calor, h, constante

  L  CV 2h

 T Tf ln  T T f  0

 T  Tf    t c ln T T  f  0 

   

Se define como constante de tiempo del sistema, s,

tc 

  L  CV 2h

Sustituyendo valores Con el resultado anterior, considerando los parámetros constantes.

  V  CV

d T    h  A T  T f dt



Separando variables y simplificando,

Sustituyendo las temperaturas del proceso

dT  h A  T  T f    V  CV d t

t  57  ln

h A ln T  T f    t  CTE   V  CV 199

90  273  301 K 900  301 K t  129 s  2 min : 9 s

Integrando

Fenómenos de Trasporte

J m2 K t 1000 kg 13 mm 1 m 450 kg K 400 W 2 1000 mm m3 1 t t c  57 s

t c  7,8

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

200

5.19a)

G. Chacón V.

5.19b) Coeficiente de transferencia de calor variable: h   (Ts  Tf)n Con el resultado anterior, considerando la función para h.

  V  CV

d T     A T  T f dt

Sustituyendo las temperaturas del proceso

J m2 K 4 3 t 1000 kg 13 mm 1 m 450  2 1000 mm kg K 95 W m3 1 t   1 1 3  13 13  900  301 K    90  273  301 K 

t  7,8



n 1

Separando variables y simplificando,

d T 

T  T 

n 1

A



Integrando, para n  0 n

f



n

A   V  CV

t  CTE

Con la condición al inicio, t  0, en que la masa está a una temperatura T0, se obtiene la constante de integración y

T0  T f T  Tf

T *  exp t *

1,0

   An T0  T f  1  V C    V 



n

 t 

1n

TemperatruaT*, Adim.

T  T 

5.19b)

dt

  V  CV

f

t  96,4 s  1 min : 36 s

0,8

T *  1  t *

0,6

3

0,4 0,2 0,0

O bien en forma adimensional, si

t* 

A   V  CV

Se obtiene

T

0

 Tf

t

T  T  T*  T  T  0

T *  1  t *

Fenómenos de Trasporte

 1   T  T f



13

201

1

2

3 Tiempo t *,

f

n

4

5

6

7

Adim.

f

1 n

Despejando el tiempo de la ecuación del balance de energía y sustituyendo los datos del problema

  L  CV t 2   n

0

1  T0  T f

Ejemplo 5.20. Eficiencia de un compresor Un compresor de 160 kW, impulsa aire desde el ambiente (27 C y 100 kPa) hasta 200 kPa. En las condiciones normales de operación, mantiene un flujo de 1 kg/s. El gas sale a 147 C con una velocidad de 150 m/s. Considerando las pérdidas de calor y las debidas a la fricción, como parte del valor de la eficiencia, calcule:

  1 3 

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

202

G. Chacón V.

a) b) c)

la eficiencia mecánica. la eficiencia adiabática, termodinámica o de diseño. la eficiencia isotérmica, termodinámica.

Datos conocidos:

m : flujo másico o carga

1 kg/s

A la entrada (1) del compresor: D1: diámetro v1: velocidad del fluido P1: presión T1: temperatura z1: nivel o altura

¿? 0 100 kPa 300 K

A la salida (2) del conducto: D2: diámetro v2: velocidad del fluido P2: presión T2: temperatura z2: nivel o altura

¿? 150 m/s 200 kPa 420 K 0

2    vs Ps     s  vs  As   us   s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

OTRAS

Diagrama del volumen de control

v2 P2 T2

referencia

87 kPa PAtm: presión atmosférica R: Constante Universal de los gases 0,2870 kJ/kg K CP: capacidad calorífica, promedio del aire 1,0035 kJ/kg K

W

v1 P1 T1 Volumen de control

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. Respuesta 5.20

- Volumen de control: el gas dentro del compresor - Flujo de masa en estado estacionario

Balance de masa

d mVC 0 dt

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de energía





2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    v P     e  ve  Ae   ue  e   e e  gze     e 2 entrada    

Fenómenos de Trasporte

203

G. Chacón V.



- Volumen de control fijo vVC  0 y zVC  Cte - No has generación ni entradas de energía de otro tipo G0 E OTRAS  0 - Pérdidas de en energía por fricción y compresión del gas y de calor, expresadas por la eficiencia del equipo

WVC    W Suministra da

   v  A  AC

Capítulo 5. Balances globales

204

Q Pérdidas   W Suministra da H  W f

Suministra da

G. Chacón V.

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - Los efectos de presión y de nivel despreciables

z 2 z1  0 -

La velocidad de entrada es despreciable

2 2  v2 v1  P2 P1    g  z 2  g  z1  W  m  u 2  u1     2 2  2 1  

En este caso particular

v 2  v1  v 2

2 2   v v 2 1  W  m h2  h1    g  z 2  g  z1    2 2  

- Comportamiento de la masa como gas perfecto o ideal

M

P R T

T

h   CP d T  hT0 T

0

Con los valores del problema, usando

P CP s d T  R ln    sT0 , P0 T0 T  P0  T

h2  h1  C P TAM  T2  T1 

T AM 

El balance de masa se expresa, como

0  1  v1  A1   2  v 2  A2 Con lo que el flujo de masa es

m  1  v1  A1   2  v 2  A2



El balance de energía 2   P1 v1 0  1  v1  A1  u1    g  z1    1 2   2   P2 v2   2  v2  A2  u2    g  z2    2 2         v  A   AC H f  QVC  WVC

Simplificando, se obtiene, para el compresor, la POTENCIA TEÓRICA Que es la potencia para un proceso, que realiza el volumen de control, sin pérdidas de energía por fricción ni de calor (adiabático perfecto) Fenómenos de Trasporte

205



G. Chacón V.

T2  T1 420  300   360 K 2 2

kg  kJ 420  300  K  W  1 1,010 s  kg K  kJ kg 150 2 m 2 2 2 2  2 s 1000 m s  La potencia teórica es

W  133 kW 5.20a)

Eficiencia mecánica

Se define como

s 

potencia requerida W  potencia del eje W s

s 

133 kW 160 kW

 s  83 % Capítulo 5. Balances globales

5.20a) 206

G. Chacón V.

5.20b)

Eficiencia adiabática

TLM 

Se define como

0 , 287

potencia adiabática revesible W A   potencia requerida W

 200 kPa  1, 008  300 K   365 K   100 kPa 

T2 A

Para un proceso reversible y adiabático, se cumple que

La potencia adiabática reversible es, entonces,

Q VC  T0 S VC

2  v2    W A  m  h2 A  h1  2   

Para el caso

0  m s 2 A  s1 

(isentrópico)

Para un gas ideal

s 2 A  s1  

T2 A

T1

365  300  331,6 K ln 365 300 

P CP d T  R  ln  2 T  P1

 P   s 20 A  s10  R  ln  2   P1

  

kg  kJ 365  300  K  W A  1 1,008 s  kg K  kJ kg 150 2 m 2  2 s 2 1000 m 2 s 2  W A  77 kW

Resolviendo para la entropía

P T  s 2 A  s1  C P TLM   ln  2 A   R  ln 2  P1  T1 

T2 A

P  T1  2  P1

   0 

Y la eficiencia, adiabática reversible, es



R

 C P TLM   

A manera de tanteo se supone

TLM

T2 A

 200 kPa  1, 009  300 K   365 K   100 kPa 

77 kW 133 kW



T2 A  400 K

T T 400  300  2A 1   347,6 K ln T2 A T1  ln400 300

  58 % 5.20c)

5.20b)

Eficiencia isotérmica

Se define como

0 , 287

T 

potencia isotérmica revesible WT  potencia requerida W

Para un proceso reversible y isotérmico, se cumple que

Repitiendo para 365 K

Fenómenos de Trasporte



Q VC  T0 S VC 207

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

T0  T1  T2

y

208

G. Chacón V.

5,4. BALANCE COMBINADOS DE MASA, ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Para un gas ideal

s 2T  s1  

T2 T

T1

P CP d T  R  ln 2 T  P1

P     R  ln 2  P1 

  

Ejemplo 5.21. Propulsión

De la ecuación del balance de masa, la potencia isotérmica reversible es, entonces, 2

2

v2 v2 W T  m  Q VC  m  T1 S VC 2 2

 v2 2 P    R  T1 ln  2 WT  m   2  P1

    



Datos conocidos: V : Flujo volumétrico dentro de la tubería

kg 150 m 1000 kJ kg  W T  1  s  2 s2 m2 s2 kJ  200 kPa   0,287 300 K  ln   kg K  100 kPa   2

Un bote se desplaza con una velocidad de 10 m/s en un lago, usando una bomba que trasiega 60 L/s, del líquido, a través de un conducto Interno en el bote. Evalúe la fuerza y la eficiencia de propulsión del bote, si la velocidad dentro del conducto es de 25 m/s.

2

W T  71 kW

0,060 m3/s

vp: Velocidad de propulsión, flujo del fluido dentro del tubo 25 m/s vb: Velocidad del bote 10 m/s : Densidad del agua 998,2 kg/m3 FD: Fuerza ejercida, para la traslación, sobre el lago, ¿?

Diagrama del volumen de control

vb

Y la eficiencia, isotérmica reversible, es

T 

vs

71 kW 133 kW

 T  53 %

Respuesta 5.21 Eficiencia de propulsión (mecánica)



Fenómenos de Trasporte

209

G. Chacón V.

FD

x

5.20c)

Nota: Obsérvese que estas dos eficiencias presentan una diferencia, entres sí, sólo, de 10 %, y que los casos reales no son completamente adiabáticos ni completamente isotérmicos.

ve

F v potencia requerida  D b potencia suministrada W

Capítulo 5. Balances globales

210

G. Chacón V.

Balance de masa

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt



   v v A P A         e e e e e e  entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

Balance de energía





VC

OTRAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del conducto  - Volumen de control inercial vVC  0 y zVC  Cte - Proceso isotérmico

Q  0

v e  v b v s  v p T  Cte. u  Cte E OTRAS  0 G0

   e   s  Constante 211

Pe  Patm  Ps  Patm  0 - El movimiento horizontal gx  0

gy  g

- Fuerza neta del volumen de control igual a la fuerF   FD za de arrastre. - Velocidad del bote constante. El balance de masa se expresa, como

0   e  v e  Ae   s  v s  As Con lo que el flujo de masa es

  V    vb  Ae    v p  A p



El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0   e  v e  Ae  v ex  Pe  Aex 

 s  v s  As  v sx  Ps  Asx  Fx Fx    V  vb     V  v p    FD La fuerza ejercida por el bote sobre el agua o fuerza de arrastre es

- Flujo incompresible (densidad constante)

Fenómenos de Trasporte

  g ze  z s   0

Pe  Ps

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   u s  s   s s  gz s     s 2 entrada          v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despre   ciables    AAC  F  F - Pérdidas de energía por fricción están incluidas en la evaluación de la eficiencia de propulsión . - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 - Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables.

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

212

G. Chacón V.

FD    V v p  vb 



Sustituyendo



Sustituyendo valores

b

kg L 1 m3 25  10 m 1 kN FD  998,2 3 60 s 1000 L s 1000 N m FD  0,9 kN

FD   V

p

Simplificando 5.21

Eficiencia de propulsión

Expresando la velocidad de propulsión en términos de la del bote

v p  vb 

2    V v p  vb vb   V v 2  v 2 



2 vp 1 vb



 Sustituyendo valores

El balance de energía



P  ve  g  ze   0   e  v e  Ae  e   e  2   2 P  v  s  v s  As  s  s  g  z s   WVC  s  2   2

2  0,57 25 m/s 1 10 m/s

La eficiencia es

  57 %

5.21

La potencia, teórica, suministrada es

 vb2  v 2p    WVC  W     V   2 

   



La energía requerida para la traslación es

W Requerida   FD  vb



La eficiencia de propulsión es, entonces,



F v potencia requerida  D b potencia suministrada W

Fenómenos de Trasporte

213

G. Chacón V.

Ejemplo 5.22. Expansión súbita Para un fluido que atraviesa, incompresiblemente, una sección circular con un aumento del área en ángulo recto (expansión súbita o ensanchamiento brusco), evalúe las pérdidas de energía debidas a la irreversibilidad, por expansión y fricción. Si se expresan, dichas pérdidas, como proporcionales a la energía cinética en el punto de mayor velocidad (a la entrada), evalúe el coeficiente de proporcionalidad. Considere que los perfiles de velocidad del fluido a la entrada y salida del dispositivo son uniformes y se representan adecuadamente por su velocidad promedio. Capítulo 5. Balances globales

214

G. Chacón V.

Datos conocidos:

Balance de energía . ½  40 . 2  40

D1 : diámetro a la entrada D2 : diámetro a la salida

0,0158 m 0,0525 m

Diagrama del volumen de control

1

2 P0 v1

v2

P0 Fx

v1 D1 P1

v2 D2 P2

Q  0

d mVC 0 dt

    v v A P A        e e e e e e  entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

215

 vVC  0 y zVC  Cte. T  Cte. u  Cte.  G0 E OTRAS  0

- Flujo de masa en estado estacionario

Balance de cantidad de movimiento

Fenómenos de Trasporte

- Volumen de control: el fluido dentro de la expansión - Flujo incompresible (densidad constante)

- Proceso isotérmico

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

dt

OTRAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

- Volumen de control fijo

Balance de masa



VC

   e   s  Constante

velocidad mayor, a la entrada velocidad menor, a la salida densidad del fluido

 d  mv VC



VC

Otros datos útiles v1: v2: :



2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   u s  s   s s  gz s     s 2 entrada          v  A   AC H f   mVC G Q  W   E

G. Chacón V.

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared,    despreciables    AAC  F  F - Pérdidas de energía en la expansión, están incluidas en la evaluación de Hf

H f  CD

v 02 2

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es v  v  despreciable  1 Capítulo 5. Balances globales

216

G. Chacón V.

- Cabeza hidrostática despreciable.

El balance de energía

  g ze  z s   0

gx  0

- El movimiento horizontal

gy  g WVC  0

- No se levanta un peso ni gira un eje - Fuerzas netas debidas a la presión interna, en el volumen de control, equivalen a la reacción del área anular, en la pared

F   P0  A2  A1 

- La presión en la pared anular es igual a la de la entrada P1  P0 NOTA: Estas dos, últimas, consideraciones no representan la realidad física del proceso, pero son lógicas.





v 22  v12 Hf 0 2



  V v1  v 2  v 22  v12  Hf 0   A2 2

0  1  v1  A1   2  v 2  A2 Con lo que el flujo de masa

Sustituyendo la relación de la velocidad, menor, v2, en términos del área, del balance de masa,

  V    v1  A1    v 2  A2 A v 2  v1 1 A2



El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0   1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x 

2

 A  v2 H f  1  1  1 A2  2 

 F  Fx    V v1  v 2   P1  A1  P2  A2 Considerando que

Ecuación de Borda-Carnot

F   P0  A2  A1    P1  A2  A1 

En la práctica se utiliza el coeficiente pérdidas de energía, Kf (CD)

 P1  A2  A1     V v1  v 2   P1  A1  P2  A2 Simplificando

   V v1  v 2  217

2

 A   A  v1  A1  v1  v1 1   v1 1   v12 A2   A2   Hf 0  2 A2 Simplificando y despejando Hf,

 2  v 2  A2  v 2 x  P2  A2 x  Fx

Fenómenos de Trasporte

P2  P1

Sustituyendo la diferencia de presión, del balance de fuerzas,

El balance de masa se expresa

P2  P1  A2

2 P  v1 1    g  z1   0  1  v1  A1  1  2   2 P  v  2  v 2  A2  2  2  g  z 2    2  2      v  A  AC H f

 G. Chacón V.

Hf  Kf

Capítulo 5. Balances globales

v12 2 218

G. Chacón V.

Con lo que

Diagrama del volumen de control

1

 D  A  K f  1  1   1   1 A2    D2  2

  

2

  

2

2

x y1

v1

Coeficiente de pérdidas de energía en una expansión brusca

w

y2

v2

y  Respuesta 5.23 Sustituyendo valores

  0,0158 m  2  K f  1       0,0525 m  

Presión hidrostática

2

K f  0,83

La variación de la presión con la profundidad, y, está expresado por 5.22

dP  g dy Integrando, considerando el punto de referencia en la parte superior del líquido,

 Ejemplo 5.23. Salto hidráulico



Un líquido fluye en un canal abierto horizontal en el cual se manifiesta un salto hidráulico. Considere, para el caso, que corre agua a razón de 8 m3/s m de ancho, sufriendo una alza repentina desde una altura del líquido de 0,6 m, provocado por un muro. Evalúe la profundidad de la escorrentía, posterior, y calcule las pérdidas de energía debido a la irreversibilidad del proceso. Datos conocidos:

: Flujo volumétrico por unidad de ancho y1 altura de la capa de líquido anterior w: ancho del conducto

Fenómenos de Trasporte

219

8 m3/s m 0,6 m ¿?

G. Chacón V.

y0 P  Patm P    g  y  Patm

a



Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt



   v v A P A         e e e e e e  entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

Capítulo 5. Balances globales

220

G. Chacón V.

Balance de energía



Con lo que el flujo de masa



2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   u s  s   s s  gz s     s 2 entrada          v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

OTRAS

  Γ  w    v1  y1  w    v 2  y 2  w Γ  v1  y1  v 2  y 2 El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0   1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x   2  v 2  A2  v 2 x  P2  A2 x  Fx Nótese que la presión varía con la posición vertical, y, en ambos puntos, variación que no es despreciable en este caso.

0    v1  A1  v1   P1  d A1 

  v 2  A2  v 2   P2  d A2

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: el fluido dentro del conducto - Flujo incompresible (densidad constante)

y1

0    v12  w  y1     g  y  w  d y  0

   e   s  Constante

y2

  v 22  w  y 2     g  y  w  d y

 vVC  0 y zVC  Cte

- Volumen de control fijo - Flujo de masa en estado estacionario

0

Integrando y simplificando

d mVC 0 dt

T  Cte. u  Cte.  G0 E OTRAS  0 - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared,    despreciables    AAC  F  F - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable v  v   1 - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables Pe  Patm  Ps  Patm  0

v12  y1  v 22  y 2  g

- Proceso isotérmico

Q  0

gx  0

- El movimiento horizontal

gy  g

0  1  v1  A1  1  v1  A1

221

y12 y2 g 2 0 2 2



Poniendo v2 en términos de v1 con el balance de masa

v2 

y1 Γ v1  y2 y2

Y sustituyendo

g 2 2 y  v1  1   y 2  y1   y1  y 22  0 2  y2 





Factorizando (y1 - y2) y arreglando

2  v12 y  y 2  y1  y1  0 g 2 2

El balance de masa se expresa así

Fenómenos de Trasporte



G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

222

G. Chacón V.

Despejando para la velocidad

hf 

g y2  y 2  y1  2 y1 Velocidad en un vertedero

Hf

v1 

g



 y 2  y1 3 4  y 2  y1

Pérdidas por fricción en un salto hidráulico 



Nota: este aparato (vertedero) se utiliza para la medición de la velocidad (flujo).

En términos de la altura o profundidad de la corriente después del muro

Resolviendo par y2, 2

y 2  v12 y  y1 y2   1   1   2 g  2



2

y 2 Γ 2 y  y2   1   1   2 g  y1  2

El balance de energía

Hf 

P1  P2



Altura de un salto hidráulico

v12  v 22   g  y1  y 2  2

 Sustituyendo valores

Considerando la presión externa como la atmosférica y sustituyendo el área en términos de la altura.

Hf 

v12 2

 y2  1  12   g  y1  y 2  y2  

Nota: Obsérvese la diferencia conceptual entre la presión usada en la ecuación de la cantidad de movimiento y la ecuación de la energía mecánica.

Arreglando en términos de las alturas del líquido, sustituyendo los valores con el flujo de masa

Hf 

g  y 2  y 2  y1   y  y  2 2  2  y1  y2 2 2

2 1

   g  y1  y 2  

2

 m3  2 8 2  sm 0,6 m  0,6 m   y2       2  2  9,81 m 0 , 6 m s2

y 2  4 ,4 m

5.23a)

La pérdida de energía es

Hf g



4,4 m  0 ,6 m 3 4  4,4 m  0 ,6 m

Hf g

 h f  5,1 m

5.23b)

Simplificando

Fenómenos de Trasporte

223

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

224

G. Chacón V.

 Ejemplo 5.24. Contracción brusca



Un hidrocarburo atraviesa, incompresiblemente, una sección circular con una reducción del área en ángulo recto (contracción o reducción súbita o brusca). Considerando que las pérdidas de energía debidas a la irreversibilidad, por la contracción, se pueden expresar como

 A Pérdidas  1   2   A1

  

3

 v2  2  4

Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt

evalúe la fuerza (horizontal) que el fluido ejerce sobre el aparato y necesaria para mantenerlo fijo.



   ve   e  ve  Ae   Pe Ae    entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS



Balance de energía



Diagrama del volumen de control

1

2

y

P0 v2

v1 P0 v1 D1 P1

x

v2 D2 P2



2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    vs Ps      s  vs  As   u s   s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

OTRAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. Datos conocidos: D1 : D2 : V : P 1: P 2: g.e.:

diámetro a la entrada . 1 BWG 14 diámetro a la salida . ½ BWG 16 flujo volumétrico, gasto 1 L/s presión a la entrada presión a la salida densidad relativa o gravedad específica del hidrocarburo

Fenómenos de Trasporte

225

0,0212 m 0,0094 m 0,001 m3/s 314 kPaman ¿? 0,78320/4C

G. Chacón V.

- Volumen de control: el fluido dentro de la contracción - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante 

- Volumen de control fijo vVC  0 y zVC  Cte - Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt Capítulo 5. Balances globales

226

G. Chacón V.

 Fx    V v1  v 2   P1  A1  P2  A2

- Proceso isotérmico

T  Cte.

u  Cte.

E OTRAS

G0

Q  0 0 W  0

- No se levanta un peso ni gira un eje VC - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

      AAC  F  F

- Pérdidas de energía por fricción están incluidas en la evaluación de Hf

v2   A H f  C D 0  1   2 2   A1 

  

3

 v2  2  4

- La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable

v  v 

 1

- Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables.

 1 1  Fx    V 2     P2  A2  P1  A1  A2 A1  Se desconoce la presión a la salida, P2. El balance de energía 2 P  v1 1  0  1  v1  A1   g  z1    1  2   2 P  v  2  v2  A2  2  2  g  z2    2  2      v  A  AC H f

P2  P1



  g ze  z s   0

- El movimiento horizontal

gx  0

v 22  v12  Hf 0 2



Sustituyendo la relación dada para las pérdidas de energía,

gy  g

P2  P1

El balance de masa se expresa



0  1  v1  A1   2  v 2  A2

v 2  v12   A2  2  1   2   A1

  

3

 v2  2 0  4

En términos del flujo volumétrico

Con lo que el flujo de masa

  V    v1  A1    v 2  A2 V v1  A1

P2  P1 V v2  A2



El balance de fuerza cantidad de movimiento en x

0   1  v1  A1  v1 x  P1  A1 x   2  v 2  A2  v 2 x  P2  A2 x  Fx

Fenómenos de Trasporte



227



1  V   4  A2

  

2

 A 3  2  2   A1

2 3   A2         0   A1  

Despejando la presión a la salida 2   V  

A P2  P1    3  2  2 4  A2    A1  G. Chacón V.



Capítulo 5. Balances globales

228

2

  A2      A1

  

3

  

G. Chacón V.

Sustituyendo valores

P2  314 kPman

Diagrama del volumen de control

 m3  0,001 783 kg  s  3 4 m  2 2  4 0,0094 m 

2

vb

      

Fb

4 6  1 kPa  0,0094 m   0,0094 m   3  2      2   0,0212 m   0,0212 m   1000 kg m s

P2  196 kPa man

5.24

La fuerza que ejerce el fluido sobre el aparato de contracción es

kg m3 1 kN 1000 kg m

Fx  783

 m  0,001 s  s2





3

2

 4 1 1    2 0,0212 2    0,0094

196  0,0094 4

2

 Ejemplo 5.25. Banda transportadora

s

1

z Datos conocidos:

: densidad de la arena m : flujo másico de la arena

 1  2  m

vt:



 314  0,0212 2 kPa m 2

Fx  0,1 kN

vt



5.24



Una banda trasportadora, inclinada, se desplaza con una velocidad constante. Recibe arena que cae verticalmente desde una tolva. Determine, para la operación continua, la potencia del rodillo de tracción y la potencia necesaria para trasladar el sólido. Para lo cual, considere los efectos de carga, desde la tolva, y de salida despreciables, también, las pérdidas por rozamiento en las poleas, rodillos, soportes, etc.

velocidad de entrada de la arena (salida de la tolva) vb: velocidad de salida de la arena (salida de la banda) L: largo de la banda : inclinación de la banda Fb: Fuerza necesaria para la traslación de la arena,

1,6 t/m3 250 kg/s 3 m/s 3 m/s 175 m 30 º ¿?

Se pregunta: Wb : Potencia (de tracción) de la banda (rodillo) W : Potencia utilizada por la arena.

Respuesta 5.25 Balance de masa

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

Fenómenos de Trasporte

229

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

230

G. Chacón V.

 d  mv VC dt



   ve   e  ve  Ae   Pe Ae     entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS

Balance de energía





2 d  m u  12 v  gz   VC dt 2    ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     e 2 entrada     2    v P     s  vs  As   u s  s   s s  gz s     s 2 entrada           v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

OTRAS

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: masa de arena sobre la banda, sin excesos - Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante

- Volumen de control fijo

 vVC  0 y zVC  Cte v e  v b v s  v p

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt - Proceso isotérmico

Q  0

T  Cte. G0

u  Cte. E OTRAS  0

      AAC  F  F

231

v  v 

 1

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

Pe  Patm  Ps  Patm  0 - Fuerza neta del volumen de control igual a la fuerza de arrastre por la banda trasportadora

Fx   Fb - Velocidad de la banda constante e igual a la de vt  vb entrada de la arena El balance de masa se expresa

0   t  vt  At   b  vb  Ab Con lo que el flujo de masa

m    v t  At    vb  Ab



El balance de fuerza cantidad de movimiento en s

0   t  vt  At  v ts  Pt  Ats   b  v b  Ab  vbs  Pb  Abs  Fs Fs   m  vt  sen    m  vb  m  g  sen     Fb

Fb  m  vb 1  sen   

m  L g  sen   vb



El balance de energía

- Pérdidas de fuerza por fricción despreciables

Fenómenos de Trasporte

- Pérdidas de energía por fricción despreciables - La variación de la velocidad con el radio (perfil) es despreciable

G. Chacón V.

2 P  vt t  0   t  vt  At   g  zt    t  2   2 P  v  b  vb  Ab  b  b  g  z b   WVC  s  2  

Capítulo 5. Balances globales

232

G. Chacón V.

5,5. BALANCE DE MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La potencia, teórica, necesaria es

W  m  g  z b  z t   m  g  L  sen  



La potencia de la tracción (por la banda transportadora) es  W b  Fb  v b  Fb  Rb   b La eficiencia es, entonces,



F v potencia requerida  b b potencia suministrada W

La relación del momento para un sistema es

      T  r   F   r g   d V  TEje o Flecha Para un sistema de masa constante o masa de control, el momento de la cantidad de movimiento, relativa a un punto fijo, se expresa como

      T  r   F   r   v d V t

Sustituyendo valores

kg m  Fb  250 3 1  sen 30º   s s  kg m 175 m 1 kN  250 9,807 2 sen 30º  2 s s 3 m/s  1000 kg m/s

m

 F

 mv

 r

La fuerza necesaria para mover la arena es

Fb  73 kN

m W b  73 kN  3 s

Para un volumen de control, la ley científica de la conservación de la cantidad de movimiento, si

La potencia de tracción del rodillo

W b  218 kW

5.25

kg m 1 kW W  250 9,807 2 175 m  sen 30º  s s 1000 kg m 2 /s 3 La potencia requerida para mover la arena es

W  215 kW

5.25

Notas: - La eficiencia ideal, sin fricción, es:  IDEAL  0,99 - Si

  0 , horizontal, W  0 y W b  m  vb 2

Fenómenos de Trasporte

233

G. Chacón V.

F: r: : v: g: V: A:

fuerza sobre el sistema, N posición del centro de fuerza o masa del sistema densidad de la materia en el sistema, kg/m3 velocidad lineal del fluido, m/s aceleración de la gravedad, m/s2 volumen, m3 área transversal al flujo, m2.

Con el teorema del transporte, se convierte en

 T  



    r  v  v  d A  A.C .

Capítulo 5. Balances globales

234

    r  v   dV  t V .C .

G. Chacón V.

Ejemplo 5.26. Bomba centrífuga

Balance de masa

Una bomba centrífuga impulsa un fluido. Determine el par o “torque” ejercido por el fluido sobre el propulsor y la potencia necesaria para accionar la bomba.

Balance de momento de la cantidad de movimiento

Diagrama del volumen de control

 T

v2r v2 

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida

v2

   r  v   e

e

e

 ve  Ae

entrada

2

  d      rs  vs   s  vs  As   r  v  V VC dt salida

r2 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

r1

v1

y

w

y z

r



x

   e   s  Constante d mVC 0 dt

:

densidad del fluido, agua de mar, 1025 kg/m3  V : flujo volumétrico dentro de la tubería 50 L/s 0,05 m3/s : velocidad angular de la bomba 20 revoluciones/s

1

t1:

velocidad a la entrada, axial radio de la entrada, 50 mm ángulo de la entrada ancho de la entrada, 17,5 mm

0,05 m 0º 0,0175 m

v1: r2: 1 : t1:

velocidad a la salida, radial, radio de la salida, impulsor, 200 mm ángulo de la salida ancho de la salida, 125 mm

¿? 0,20 m 135 º 0,0125 m

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despre-



235

G. Chacón V.





   AAC  F  F ciables - Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables

  g  ze  z s   0

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

Pe  Patm  Ps  Patm  0 El balance de masa se expresa

0  1  v1  A1   2  v 2  A2 Con lo que el flujo de masa

v1  r12  v 2  r2  t 2  V 

Respuesta 5.26 Fenómenos de Trasporte

Volumen de control: el fluido dentro de la bomba Proceso isotérmico  Volumen de control fijo vVC  0 Flujo incompresible (densidad constante)

- Flujo de masa en estado estacionario

Datos conocidos:

v1: r1:

-

Capítulo 5. Balances globales

 236

G. Chacón V.

Ejemplo 5.27. Placa inclinada

El balance de momento de la cantidad de movimiento

   T  r1 e r  v1 e z   1  v1  A1  r2 er  v 2 e   v 2 r e r   2  v 2  A2 En la dirección z.

T z  r2  v 2    V



Como es un movimiento angular, la velocidad centrífuga es v 2  r2   y T z    V  r22   

Sobre una placa con una pendiente dada, incide un chorro de un líquido en dirección horizontal. El fluido proviene de una ranura del mismo ancho, que la placa. Calcule la fuerza necesaria para mantener la placa en posición y el punto de aplicación de la fuerza resultante, si de desprecian los efectos de fricción del líquido sobre la placa. Volumen de control



La potencia requerida es

1

W    Tz

s1

 x

v1



F Sustituyendo valores

s

kg m3 0,20 m 2 2    20 1 Tz  1025 3 0,05 s s m

  0  0

v1

  CP 

El momento en la dirección z.

y

v2

Tz  258 N m



5.26

s2

x

2

La potencia requerida es

1 1 kW W  2    20 258 N m s 1000 N m/s

Datos conocidos:

W  32 kW Nota: Momento en la dirección .

T 

5.26

T  r1  v1    V



  V  17 Nm   r1 2

Fluido agua 75 kg/s m : flujo másico 25 m/s v1: velocidad a la entrada, horizontal, : ángulo correspondiente a la pendiente de la placa arctan(4/3) s: espesor de la capa de líquido a la entrada de la placa, 20 mm 0,02 m w: ancho de la placa ¿? Respuesta 5.27

Fenómenos de Trasporte

237

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

238

G. Chacón V.

Balance de masa

- Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

Pe  Patm  Ps  Patm  0

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de cantidad de movimiento

 d  mv VC dt

       v v A P A     e e e e e e  entrada      vs   s  vs  As   Ps As  salida        AAC  mVC g   FEXTERNAS



Balance de momento de la cantidad de movimiento

 T

   r  v   e

e

e

 ve  Ae

  d      rs  vs   s  vs  As   r  v  V VC dt salida Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.



El balance de masa se expresa

0    v  A  1  v1  A1   2  v 2  A2 m  m 1  m 2



0   e  v e  Ae  v e  Pe  Ae 



s

 v s  As  v s   Ps As  F

0    v  A  v  sen   F



El balance de fuerza cantidad de movimiento en 

0   e  v e  Ae  v e  Pe  Ae 

   e   s  Constante



- Flujo de masa en estado estacionario

s

 v s  As  v s   Ps  As  F

0    v  A  v  cos   1  v1  A1  v1   2  v 2  A2   v 2   F

d mVC 0 dt - Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, despreciables

      AAC  F  F

- Fuerzas internas de presión y cabeza hidrostática despreciables.

  g ze  z s   0

239

v1  v 2  v

F   m  v  sen 

Volumen de control: el fluido sobre la placa Proceso isotérmico  Volumen de control fijo vVC  0 Flujo incompresible (densidad constante)

Fenómenos de Trasporte

Condición de velocidad

El balance de fuerza cantidad de movimiento en 

entrada

-

- Masa del líquido en la placa despreciable - Centro de fuerza en una capa homogénea se encuentra en el centro geométrico (centroide) - Flujo en la pared, como si fuese una capa de espesor uniforme.

G. Chacón V.

0  m  v  cos   m 1  v  m 2  v m 1  m 2  m  cos 



Resolviendo esta ecuación con la del balance de masa

m 1 

m 1  cos   2

Capítulo 5. Balances globales

m 2  240

m 1  cos   2



G. Chacón V.

El balance de momento de la cantidad de movimiento

En el centro de fuerza,

     T   0 e  σ 0 e  v  e   v  e     v  A  1e  σ 1e  v1 e   v 1 e   1  v1  A1   2 e  σ 2 e  v 2 e  v 2 e    2  v 2  A2



1 2



 CP   20 mm

3 4

 CP  7,5 mm

a partir de   0 5.27

El momento en la dirección de z.

Tz 

s1 s v 1 m 1  2 v 2 m 2 2 2

 Ejemplo 5.28. Irrigador de jardín

El momento producido por la fuerza, F, en la dirección de z.

T z   CP  F  m  v   CP  sen 

Expresando las relaciones anteriores en términos de los espesores de las capas y la condición de velocidad.

m    v  s  w s1 

m 1    v s 1 w

s 1  cos   2

s2 

m 2    v s 2 w

s 1  cos   2



CP

s 2 1  cos   1  cos  s 2  s22  1  2  s  sen  2  s  sen  1 2

 CP   s  cot 

2

Diagrama del volumen de control

v

Resolviendo para el centro de fuerza, CP.



Un irrigador de jardín está formado por dos secciones curvas de tubo hueco, de 200 mm, de cuerda. Gira alrededor de un tubo eje, vertical, con una velocidad angular de  y una área efectiva de A y una salida del tubo de 30º. Si el gasto es de 4 L/min, el fuido sale a una velocidad de 17 m/s y presenta un par resistivo al movimiento (fricción) de 0,18 N m, determine la velocidad del irrigador, .



1 1 Tz     w  s12  v 2    w  s 22  v 2 2 2 2    w  s  v   CP  sen  2

2





y x

R

Hacia abajo del punto   0. 

v

Sustituyendo valores, la fuerza aplicada es



kg m 4 25 F  75 s s 5

Datos conocidos:

F  1,5 N

Fenómenos de Trasporte



5.27

241

G. Chacón V.

: densidad del fluido, agua

Capítulo 5. Balances globales

242

998 kg/m3

G. Chacón V.

v: Q: : V0: R: : Tf :

17 m/s 6,6710-5 m3/s ¿? ¿? 0,20 m 30 º 0,18 N m

velocidad de salida del flujo caudal, 4 L/min velocidad angular del irrigador velocidad a la entrada, axial, radio de la cuerda del irrigador ángulo de la salida del flujo par (“torque”) resistivo

- Las fuerzas y la cantidad de movimiento se compensan por simetría y se desprecian. El balance de masa se expresa

0   e  v e  Ae  1  v1  A1   2  v 2  A2 Con lo que el flujo de masa

 1  v1  A1   2  v 2  A2   e  v e  Ae 2  Q 2

Respuesta 5.28

El balance de momento de la cantidad de movimiento

Balance de masa

    T  r1er  v 2 e   v 2 r e r  1  v1  A1  r2 er  v 2 e   v 2 r e r   2  v 2  A2

d mVC    e  v e  Ae    s  v s  As dt entrada salida Balance de momento de la cantidad de movimiento

 T

   r  v   e

e



e

 ve  Ae

    T  Re r   v  cos   R   e   v  sen  e r    v  A  Rer   v  cos   R   e    v  sen e r   v  A

entrada

  d      rs  vs   s  vs  As   r  v  V VC dt salida Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Volumen de control: el fluido dentro del irrigador Proceso isotérmico  Volumen de control fijo vVC  0 Flujo incompresible (densidad constante)

   e   s  Constante

- Flujo de masa en estado estacionario

d mVC 0 dt

- Pérdidas de fuerza por fricción y fuerzas de fricción dentro del fluido y entre el fluido y la pared, expresadas por el par dado - Fuerzas internas, en el conducto, de presión y cabeza hidrostática despreciables   g  ze  z s   0 - Fuerzas netas debidas a la presión, despreciables

En la dirección z.

Tz  R v  cos   R      Q  T f



Despejando la velocidad angular, 



Tf v  cos   R  Q  R2



Sustituyendo valores



17

m cos 30 º s  0,2 m

0,18 N m kg m3 0,2 m 2 998 3 6,67 E  5 s m

La velocidad angular del irrigador es

  6 rad/s  0,95 Hz

5.28

Pe  Patm  Ps  Patm  0 Fenómenos de Trasporte

243

G. Chacón V.

Capítulo 5. Balances globales

244

G. Chacón V.

Consideraciones del modelo

Capítulo 6 DIFUSIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA ENERGÍA Y DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA

6.1

MODELO PARA LA DIFUSIÓN DE CALOR Y DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, A TRAVÉS DE UNA MASA FIJA

- Flujo de energía o de la sustancia A en estado estacionario

T 0 t

C A 0 t  - Volumen de control fijo o inercial vVC  0  - No hay flujo de masa total v 0 - Material del volumen de control isótropo - Parámetros constantes k  constante( r , T ó C A )

D AB  constante( r , T ó C A )

6.1.1 Funda mento - Flujo unidireccional Se propone un modelo general para la transferencia de la energía o la masa de una sustancia que atraviesa una masa fija, es decir dicha masa no se mueve en la dirección del flujo de la energía o de la masa de la sustancia. El fenómeno se denomina transferencia de calor por conducción, en el caso de la energía y se aplica la ley de Fourier. Para la transferencia de masa de una sustancia, se denomina difusión de masa (de la sustancia en cuestión) y se aplica la ley de Fick. Los siguientes son los casos típicos de volúmenes de control, en la Ingeniería. Los modelos se definen en forma genérica, para realizar cálculos y para poder modelar sistemas de paredes y capas de fluidos, por otro lado para obtener parámetros experimentalmente.

T T  0;  0, z y T T  0,  0; Cilindro r z T T  0, Esfera r sen   r C A C A  0, r r sen   Placa



NAx

r

qr

r

NAr

D

D

qr NAr

 0.

Conducción de calor

Difusión de una sustancia

1  n r  qr  G  0 r n r

1  n r  J Ar  R A  0 r n r

Ley de Fourier

Ley de Fick

q r  k





T r



J Ar   D AB

C A r

Sustituyendo

x Placa, n  0

 0;

El balance diferencial de energía o de una sustancia, cuyas ecuaciones se muestran en los cuadros 26 al 28, se expresa mediante;



qx

C A C A  0, 0 ó y z C A C A  0, 0 ó z r 

Cilindro, n  1

Fenómenos de Trasporte

245

Esfera, n  2

G. Chacón V.

  n T  n   Gr k r  r  r 

Capítulo 6. Difusión unidimensional

  n C A  n  D AB  r    RA  r r  r 

246

G. Chacón V.

Integrando las expresiones se llega al resultado operativo

U0 

Para la conducción del calor

1  k  dT   r n





1 n  G  r d r d r  CTE1  r n d r  CTE 2 (6.1)

Para la difusión de masa de una sustancia A

D

AB

1  dCA   n r





1  R A  r d r d r  CTE1  r n d r  CTE 2 n

(6.2) Con las condiciones adecuadas de contorno (de frontera, cotas o límites) de acuerdo con la naturaleza física (física, química, geométrica, etc.) del proceso que se lleva a cabo en el sistema, se evalúan la CTE1 y la CTE2 La transferencia de calor o masa de A se evalúa en algún punto de la pared denotado con un “sub 0” y

Q   k  A r  D

Calor:

0

N A   D AB

Masa de A:

/2



T r

Calor:

k  A r  D0

Masa de A: N A 

E

2

E

2

C  A rD / 2  A 0 r

r  D0 / 2

   C A r  D0  C A r  D02  (6.4) 2 2  

247

D A r  D0 / 2 1  AB R  A0 A0 E

El valor E se define como un espesor equivalente.

 D0 D0  2  ,  2  2 

E  f

6.2 PAREDES, DIFUSIÓN A TRAVÉS DE 6.2.1. Modelo, para paredes Representando en forma general el sistema con la siguiente figura, del esquema de una pared. T CA 

T0 CA0 D0



(6.3)

El coeficiente U0 se conoce como coeficiente global o total de transferencia, evaluado en un punto 0, y su inverso

Fenómenos de Trasporte

KC0 

ó

o

   T r  D0  T r  D0 2   2 2  

DAB  A r  D0

1 k A r  D0 / 2  R  A0  E A0

r  D0 / 2

Se define que flujo el flujo de calor o masa de A es proporcional a la diferencia de potencial (temperatura o concentración de A) entre el punto de referencia y otro de características conocidas.

Q 

incluyendo el área, como una resistencia, R (térmica o másica).

G. Chacón V.

El modelo para el caso, común en Ingeniería, de paredes, como aislantes, tuberías tanques, etc., se obtiene considerando parámetros constantes y que se conocen las condiciones de contorno en las caras extremas de las paredes; para luego incluir el modelo obtenido en modelos más complejos según las necesidades.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

248

G. Chacón V.

Con las consideraciones adicionales

k y D AB  Constantes G0

- Parámetros: - No hay generación y las condiciones de contorno

Cuando r = D0/2 entonces T = T0 Cuando r = D0/2 +  entonces T = T

ó ó

CA = CA0 CA = CA

Esfera hueca, n=2 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A Perfil del potencial 1 1 1 1   C A  C A0 T  T0 2  r D0 2  r D0   1 1 1 1 C A  C A 0 T  T0   D0  2   D0 D0  2   D0 Espesor  E 

Resolviendo las ecuaciones 6.1 y 6.2, para cada uno de los casos, y evaluando el flujo de calor o masa de una sustancia, según corresponda, con las ecuaciones, 6.3 y 6.4, se obtienen:

C A  C A0 r  C A  C A 0 

espesor  E  

área base A0  W  L

  

C A  C A0 C A  C A 0

 2r   ln D 0     D0  2   ln D0 

  

área base A0    D02

···

T0 TfI

T1 T2

  

Espesor

D  2   E  0 ln 1  2  D0

2  D0

Cuando se tiene un sistema de varias paredes, de diferentes materiales, en contacto y a su vez sus paredes extremas están inmersas en medios fluidos,

Cilindro hueco, tubo, n=1 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A Perfil del potencial

 2r   ln D T  T0 0    T  T0  D0  2   ln D0 

1

6.2.2. Efectos combinados

Placa plana, n = 0, D0 = 0 Flujo de Calor Flujo de la sustancia A Perfil del potencial

T  T0 r  T  T0 



Área base A0    D 0  L

TfE TN-1

1

2

TN

N

se obtiene un modelo general, con las siguientes consideraciones: - Se cumple el modelo anterior para paredes - Parámetros constantes

Fenómenos de Trasporte

249

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

250

G. Chacón V.

- Contacto entre paredes perfecto (sin burbujas, y los efectos de soldadura, aire, corrosión, asperezas, etc., se consideran como despreciables)

En forma análoga para la masa de una sustancia A

- La radiación a baja temperatura, se incluye como parte del coeficiente de película. Para altas temperaturas, debe considerarse por aparte

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R   K R kC ; fI  A0 DAB ;1  A0 DAB ; 2  A1

Para

 EN  AR

- La transferencia de calor entre una fase fluida y una sólida se representa adecuadamente por la ley de enfriamiento de Newton. En forma análoga, la transferencia de masa entre fases

Q  h  A T1  T2 

DAB ; N  AN 1



k2

E2

  h fE  AN Con lo que, para

T

kN

 EN

N

AN 1 TN  TN 1 

 T fE

U

R

 AR

T

fE

 T fI

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R    U R h fI  A0 k1  A0 k2  A1 k N  AN 1

Fenómenos de Trasporte



251

AR   Ri h fE  AN

Di 1  Di   ln 2 D  i 1 

AR D  R Ai 1 Di 1

(6.8)

Di 1 Di  Di 1  2 Di

AR  D R    Ai 1  Di 1 

2

(6.9)

Nomenclatura usada

Q  U R  AR T fE  T fI 

 EN  AR

(6.7)

Esfera hueca

 Ei 

A0 T1  T0  

A1 T2  T1    

(6.6)

Cilindro hueco, tubo

Efectuando el balance de energía, en cada capa se obtiene

 E1

AR 1 Ai 1

 Ei  xi  xi 1

 Ei 

Q  h fI  A0 T0  T fI   

AR kC ; fE  AN

Espesor equivalente Razón de áreas Placa plana

- La temperatura, Tf, o la concentración, CAf, en el seno del fluido, se considera homogénea y constante a partir de una distancia dada de la pared. El coeficiente de transferencia correspondiente, h o KC, se aproxima como constante.

k1



Para los espesores equivalentes se tiene

N A  k C  A C A1  C A 2 

ó

M A  K R AR C A, fE  C A, fI 

(6.5)

G. Chacón V.



UR: coeficiente total de transferencia de calor, con referencia a un punto (área) R, m/s AI: área de transferencia de calor, en un punto i, m2 kI: conductividad térmica de la capa i, J/m s K h : coeficiente de película o conductancia térmica, J/m2 s K hC : conductancia de contacto térmico, J/m2 s K KR: coeficiente total de transferencia de masa, de A, con referencia a un punto (área) R, m/s DAB: difusividad másica de A en B, m2/s R : factor de resistencia térmica o másica F : factor de resistencia por la suciedad (“fouling”)

Capítulo 6. Difusión unidimensional

252

G. Chacón V.

6.2.3

EJERCICIOS

Relaciones de la transferencia de calor para paredes esféricas

Ejemplo 6.1. Modelo simple para el coeficiente de película de un fluido Un modelo simplificado para la difusión de calor de una masa de un fluido en reposo desde un objeto esférico, suspendido en él, es considerar que el calor sólo se transmite por difusión (“pura”); es decir que se desprecian los efectos convectivos provocados por la fuerza boyante debido a la diferencia de densidades y de otros tipos de flujo. Considerando que se conocen la temperatura en la pared del objeto y la del seno del fluido, evalúe el número de Nusselt, es decir, el coeficiente de película.

Q  U R  AR T fI  T fE 

As    D 2

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R   U R h fI  A0 k1  A0 k 2  A1 

 Ei

 EN  AR k N  AN 1



AR   Ri h fE  AN

D D  Di 1   i 1 i 2 Di

AR  D R    Ai 1  Di 1 

2

Lo que se pregunta es el coeficiente de transferencia de calor o de película, que se define como

Q  h  As Ts  T f

Respuesta 6.1



Diagrama del volumen de control

qr

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Tf r

- Las del modelo de la transferencia de calor en paredes - Volumen de control: el fluido alrededor y cerca de la esfera. Se considera como una esfera hueca o capa de fluido alrededor de la esfera - El fluido no presenta movimiento (provocado por alguna fuerza) - La conductividad térmica, k, del fluido es constante - La temperatura en el seno del fluido, Tf, se considera a una distancia muy grande (infinita).

D D

Ts

Datos conocidos: D : diámetro del sólido Ts : temperatura en la superficie (externa, del sólido) (Ts  TrD2) Tf : temperatura en el seno del fluido (Tf  Tr)

Fenómenos de Trasporte

253

m K K

G. Chacón V.

Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos.

Q  U s  As Ts  T f



1  E  As 1 Ds D  Ds    2 Us k  As k D

Capítulo 6. Difusión unidimensional

254

G. Chacón V.

Simplificando y obteniendo el límite cuando la distancia, radial, en el fluido es muy grande

Diagrama del volumen de control

 1 Ds  D  D 1 D 1  s   s   lím  U s D   k 2  D   2  k 2  k



2k Q  h  As Ts  T f   U s  As Ts  T f   As Ts  T f D

Por lo que

h

L

C H

C Ho

Datos conocidos: Sea: H M

Y el número de Nusselt es

hD 2 k

Nota: un modelo propuesto es Nu = 2 + 0,43 (GrD  Pr)1/4

6.1

11

Para GrD  Pr < 1 - 10

Ejemplo 6.2. Pérdidas de masa por las paredes de un tanque En un tanque, de acero, cilíndrico de 1 m de diámetro y 1,25 m de altura (internas) con 1,6 mm de espesor, se almacena hidrógeno a 1.3 MPa y 300 C. Calcule el tiempo trascurrido para que la presión del gas se reduzca a la mitad.

Respuesta 6.2

255

G. Chacón V.

Referente al hidrógeno Referente al metal

La solubilidad del hidrógeno (H2), SH, en la superficie del metal es proporcional a la raíz cuadrada de la presión del gas en el tanque, a una temperatura dada.

SH    P SH (1 Atm.; 300C)

1

2

= 10-6 kgHidro/kgAcero

= 1 p.p.m.

D : diámetro interno del tanque 1,00 m L : largo interno del tanque 1,25 m M: densidad del metal 7,3 Mg/m3 DHM: difusividad másica del hidrógeno en el acero a 300 C 510-6 m2/s T : temperatura del sistema 573 K Pi : presión inicial del hidrógeno en el tanque 1,3 MPa R = 8,31451 = kJ/kmol K

Balance de masa del gas en el tanque

d m A VC dt

Fenómenos de Trasporte

r

D



2k D

Nu 

NAr

NAr

Las relaciones del calor para este caso son



C

Ae

 v e  Ae 

entrada

 k C AAC C Aw  C Af

Capítulo 6. Difusión unidimensional

256

C  v  A     R V As

s

s



salida

A

VC

G. Chacón V.

Relaciones de la transferencia de masa para las paredes

M A  K R AR C A, fE  C A, fI 

d m A VC

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R   K R kC , fI  A0 DAB ;1  A0 DAB ; 2  A1



 EN  AR DAB ; N  AN 1



Balance de hidrógeno para el gas dentro del tanque como volumen de control.

dt

  M A

Balance del hidrógeno dentro de las paredes (curva y las dos planas) de metal

AR kC , fE  AN

M A

 K R AR curva C H , 0  C H ,   Cara

D  Dparedes

Paredes cilíndricas

Di 1  Di   ln 2 D  i 1 

AR D  R Ai 1 Di 1

Suponiendo la condición de continuidad

M A

Paredes planas

A  D 4

 Ei  xi  x i 1

2

AR 1 Ai 1

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones adicionales al modelo general. - Volumen de hidrógeno en el metal y volumen de M mezclado (V ) despreciables - No se acumula hidrógeno en la pared metálica - La concentración en la pared, interna, en contacto con el gas, es su solubilidad o saturación y cumple con el modelo propuesto CH0 SH - La concentración en la pared, externa es despreciable. El hidrógeno se “lava” al alcanzar la pared

CH0  CH  CH0 - El gas, hidrógeno, dentro del tanque se comporta CH0 P/R T como gas perfecto o ideal - La temperatura del sistema se mantiene constante - Se desprecia la curvatura de las caras laterales (bases) (se consideran planas) (-RA)  0 - No se manifiesta reacción química,

Fenómenos de Trasporte

2K R AR lateral C H , 0  C H ,  Cara

 Ei 

A  DL

D  Dgas

257

G. Chacón V.

D  Dgas

  M A

D  Dparedes

Entonces

d m A VC dt





 K R AR curva  2K R AR lateral  C H ,  C H , 0  Cara

Cara

Considerando el gas en el tanque como gas perfecto y sustituyendo las relaciones constitutivas, con base en el diámetro interno

AR  D    Ai  Di  C H , 0  C H ,  C H , 0  S H    P

1

2

 P   D2  L   d  4  R T   dt     D HM  D 2    D   D  L  4     P 12  2   HM     D  2    D    D  D  2       2 ln  D 2    

Capítulo 6. Difusión unidimensional

258

G. Chacón V.

Considerando la aproximación

4  0,00117

D  D  2   ln  D 2  

  8,31451

1m  2  0,0016 m  ln 1    0,0016 m 2  1m 

Nota:

mol H 1

5 E  10

m 3 Pa 2 0,0016 m

J 573,15 K mol H K

m2 s



1  1  1 m  2  1,25 m   

1

  9,76  10 5 Pa 2 /s

Reuniendo los términos constantes

 

4    DHM



1  1 R T    D 2  L 

El periodo trascurrido para alcanzar una presión dada en el tanque es:

t

Simplificando, la ecuación de la presión (Balance de hidrógeno), queda

P

1

d P    dt

2

t0

P

1

2

1

2



 2



1 1 2  1,3 E 6 Pa  2 1  0,5 2    1 Ms t 1 1E 6 s 9,76 E  5 Pa 2 /s

P  Pi

entonces

 Pi

1 2  12  Pi  P 2   

Sustituyendo valores,

Integrándola con la condición inicial a



t

t  6,8 Ms

t  79 dias : 5 h

6.02

 Ejemplo 6.3. Diámetro crítico

Cálculo de :

Se desea probar un aislante, hecho con caolín y resinas sintéticas. Los datos experimentales sugieren que se puede utilizar entre 5 y 300 C y que su conductividad térmica es de 0,21 W/m K.

S (1 atm, 300K)  H P (1 atm)1 2 kg kg 10 E  6 H 7,5 E 3 M kg M m 3 1000 mol H    2,016 kg H 101325 Pa  12

  0,0117 mol H /m 3 Pa

1

2



Cálculo de : Fenómenos de Trasporte

259

G. Chacón V.

La prueba de campo consiste en cubrir con una capa de 25 mm de espesor, de dicho aislante, un tubo de bronce No. 2” BWG 14. El ambiente está controlado a 20 C y presenta un coeficiente de película de 3,8 W/m2 K. Considerando que la temperatura en la capa interior del aislante se mantiene en 150 C, evalúe las pérdidas de calor y compárelas con las correspondientes al tubo sin aislante (a la misma temperatura en la pared). Capítulo 6. Difusión unidimensional

260

G. Chacón V.

Respuesta 6.3

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Datos conocidos, para el aislante: D0 : T0 : D : T : Tf : k :

0,0508 m 150 C 0,1008 m ¿? 20 C

diámetro interno temperatura en la pared interna diámetro externo temperatura en la pared externa temperatura en el seno del fluido conductividad térmica del material aislante h : coeficiente de transferencia de calor del ambiente

0,21 W/m K 3,8 W/m2 C

- Las del modelo de la transferencia de calor en paredes - Volumen de control: pared de material aislante - Las conductividad térmica, k, del material aislante se considera constante - Se conoce la temperatura en el medio.

Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos.

Q  U 0  A0 T0  T f  ,

D D 1  0 ln  U 0 2  k  D0

Diagrama del volumen de control, del aislante T

 

2

Q 

Tf

T0

 D0    h  D

Sustituyendo en la ecuación de la transferencia de calor.

r

qr

A0   D 0 L

2

  D0  L T0  T f

D0  D ln  2  k  D0



 D0    h  D

Simplificando Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas

Q  U R  AR T fI  T fE 

A DL

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R   U R h fI  A0 k1  A0 k 2  A1



 Ei 

 EN  AR k N  AN 1



Fenómenos de Trasporte

Q  L

AR D  R Ai 1 Di 1

261



Sustituyendo valores, el flujo de calor es

AR   Ri h fE  AN

Di 1  Di   ln 2  Di 1 

 T0  T f  Q  L D  1 1 ln     2  k  D0  h  D

G. Chacón V.

 150  20  K 1 1  0,1008 m  ln   2 2  0,21 W/m K  0,0508 m  3,8 W/m K  0,1008 m

Q  96,3 W/m L Capítulo 6. Difusión unidimensional

262

6.03 a)

G. Chacón V.

Para el caso sin aislante

Q    D0  h T0  T f L

Con lo que se obtiene el



DIÁMETRO CRÍTICO 2k Dc  h

Con los valores del dados

Q W    0,0508 m  3,8 2 150  20  K L m K

Notas:

Q  78,8 W/m L

6.03 b)

El aislante aumenta en un 22 % las pérdidas, transferencia de calor al medio.

Generalización del modelo para el DIÁMETRO CRÍTICO

 T0  T f  Q  0 L  D  1 1  ln  2  k  D0  h  D

1 1   2   2  k  D h  D   1      h  D 

2

El diámetro crítico Dc se da cuando

Fenómenos de Trasporte

2

0

- Para el caso, en discusión,

DC 

2  0 ,21 W m K  0,11 m  0,1008 m 3,8 W m 2 K

- Para una esfera, el diámetro crítico es

Dc 

4k h



Respuesta 6.4

D  Dc

263

  

Se propone aislar un tubo de acero No. 1½” cédula 40, por el cual fluye vapor de agua condensante a 275 kPa. Para lo que se utiliza una capa de magnesia al 85%. El ambiente se encuentra a 30 C. Determine el espesor de la capa de aislante para reducir la transferencia de calor a la cuarta parte de la correspondiente al sistema sin aislamiento.



para

 D k 1  ln   D0 

 Ejemplo 6.4. Espesor de un aislante

 T0  T f  

d Q 0 d D

2k D  h

 T0  T f h 2



Derivando con respecto al diámetro externo

 1 D ln    2  k  D0



El diámetro del aislante es menor que el crítico, por lo tanto aumenta la transferencia de calor.

Consiste el establecer el diámetro (o el radio) que maximiza la transferencia de calor

1 d Q  L d D

1 d 2 Q L d D 2

-

Diagrama del volumen de control G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

264

G. Chacón V.

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R   U R h fI  A0 k1  A0 k 2  A1



TB TA

qr

 Ei 

 EN  AR k N  AN 1



AR   Ri h fE  AN

Di 1  Di   ln 2  Di 1 

AR D  R Ai 1 Di 1

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. D0

- Las del modelo de la transferencia de calor en paredes - Volumen de control: el medio Interno, las capas de tubo metálico y de aislamiento y el fluido externo.

D1 D2

Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos.

Datos conocidos: hA : coeficiente de transferencia de calor (de película) del vapor condensante dentro 9,7 kW/m2 K del tubo (Coulson et All) P : presión del vapor condensante 275 kPa TA : temperatura del vapor condensante 130,6 C hB : coeficiente de transferencia de calor (de película) del aire 14,3 W/m2 K TB : temperatura del aire 30 C D0 : diámetro interno del tubo D1 : diámetro externo del tubo k1 : conductividad térmica del acero

0,0409 m 0,0483 m 42,9 W/m K

D2 : diámetro externo del aislante ¿? k2 : conductividad térmica del material aislante 0,069 W/m K

Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas

Q  U R  AR T fI  T fE 

A DL

Q  U 0  A0 T A  TB    D1   D0     ln  D D 0 0     D0 D1   D2  D0   ln  2  k 2   D1  D1 hB  D2

D0 D 1   0 U 0 h A  D0 2  k1

Sustituyendo y simplificando

Q 

  L T A  TB 

ln D1 D0  ln D2 D1  1 1    h A  D0 hB  D 2 2  k1 2  k2

Evaluando el calor, para el caso del tubo sin aislamiento,

Q 0 

  L T A  TB 

ln D1 D0  1 1   2  k1 h A  D0 hB  D1

Comparando los dos resultados Fenómenos de Trasporte

265

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

266

G. Chacón V.

ln D1 D0  1 1    h A  D0 2  k1 hB  D1 Q  ln D1 D0  ln D2 D1  1 1 Q 0    h A  D0 hB  D2 2  k1 2  k2

Y el espesor es

 

D 2  D1 0,0975 m  0,0483 m  2 2

  25 mm

(1 pulgada)

6.4

 Ejemplo 6.5. Temperatura intermedia



Sustituyendo valores, haciendo x  D1 D 2

  L T A  TB  Q



1



1

W W 0,0409 m  9700 2 2  42,9 mK m K ln 1 x  x  0,0483 m   ln  W  0,0409 m  2  0,069 W 0,0483 m  14,3 2 mK m K



y

  L T A  TB  Q 0



1



1

W W 0,0409 m  9700 2 2  42,9 mK m K 1  0,0483 m  ln    0,0409 m  0,0483 m  14,3 W m2 K



Comparando

Q 0 0,00446  7,246  ln x   1,448  x 4 1,452 Q

hA : coeficiente de transferencia de calor del fluido interno 570 W/m2 K TA : temperatura del fluido interno -10 C

D1 : diámetro externo del tubo No. 1½” céd. 40 k1 : conductividad térmica del acero 304

x  5,005  ln  x   4,0093  0 Con el valor inicial de 1, se obtiene x  D1 D 2  0, 4956 Con lo que

D2 : diámetro externo del aislante fibra de vidrio (12,7 mm) k2 : conductividad térmica de la fibra de vidrio D3 : diámetro externo del aislante orgánico (35 mm)

D 2  0,0483 m 0,4956  0,0975 m 267

Datos conocidos:

D0 : diámetro interno del tubo No. 1½” céd. 40

Resolviendo para x,

Fenómenos de Trasporte

Un conducto de acero inoxidable 304 No. 1½” céd. 40, transporta una salmuera a –10 C (h = 570 W/m2 K). El sistema se encuentra en un ambiente a 22 C (aire en reposo h = 12 W/m2 K). Si se recubre con un aislante de fibra de vidrio de ½ pulgada, seguido de una capa de aislante orgánico, cuya temperatura de trabajo está entre 10 y 70 C (k = 0,075 a 0,094 W/m K), de 35 mm. Determine la temperatura en la interfase fibra inorgánica – aislante orgánico.

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

268

0,0409 m 0,0483 m 14 W/m K 0,0737 m 0,030 W/m K 0,1437 m G. Chacón V.

k3 : conductividad térmica del material orgánico 0,085 W/m K hB : coeficiente de transferencia de calor del fluido externo 12 W/m2 K 22 C TB : temperatura del fluido externo

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor en paredes - Volumen de control: el medio interno, las capas de tubo metálico y de aislamiento y el fluido externo. Expresando el flujo de calor en términos de los datos conocidos.

Diagrama del volumen de control

Q  U 0  A0 T A  TB  TA

qr

Sustituyendo y simplificando

Respuesta 6.4 Relaciones de la transferencia de calor para paredes cilíndricas

Q  U R  AR T fI  T fE 

A DL

1 AR  A  A   E1 R  E 2 R   U R h fI  A0 k1  A0 k 2  A1

 Ei 

k N  AN 1



Evaluando el calor, Q , para el caso en que se define (“conoce”) la temperatura intermedia fibra inorgánica – aislante orgánico, T2. Procediendo en forma análoga

D0 D 1   0 II h A  D0 2  k1 U0

AR D  R Ai 1 Di 1 269

 1 ln D1 D0  Q    L T A  TB     2  k1  h A  D0 ln D2 D1  ln D3 D2  1     2  k2 2  k3 h B  D3 

Q  U 0II  A0 T A  T2 

AR   Ri h fE  AN

Di 1  Di   ln D 2 i  1  

Fenómenos de Trasporte

  D0   D 0 

  D 2   D0   ln  D D 1 1     D0 D 2   D3   D 0   ln 2  k 3   D 2   D 2 h B  D3

D0 D1 D2 D3

 EN  AR

  D1 ln   D0

D1 2  k2

TB



D0 D 1   0 U 0 h A  D0 2  k1

  D1 ln   D0

  D0 D1      D0 2  k 2

  D2 ln   D1

  D0     D1

Sustituyendo y simplificando G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

270

G. Chacón V.

Q 

  L T A  T2 

Ejemplo 6.6. Variación de la conductividad térmica con la temperatura.

ln D1 D0  ln D2 D1  1   h A  D0 2  k1 2  k2

Comparando los dos resultados ln D1 D0  ln D2 D1  1   hA  D0 2  k1 2  k2 TA  T2  ln D1 D0  ln D2 D1  ln D3 D2  1 1 TA  TB     hA  D0 2  k1 2  k2 2  k3 hB  D3

Sustituyendo valores

Para una pared, con sección trasversal cuadrada (base) y en forma piramidal (el perímetro varía linealmente con la altura), que está sometida a una diferencia de temperaturas, evalúe el flujo de calor, considerando que: - La conductividad del material varía linealmente con la temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la diferencia de temperaturas se mantiene constante) - El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable.

T2  10 C   10  22  C 

  0,0483 m   0,0737 m   ln  ln   1 0 , 0409 m     0,0483 m       W  W  570 W   2  0 , 030 0 , 0409 m 2 14 m K  m2 K mK 

Diagrama del volumen de control y

 0,0483 m   0,0737 m   ln  ln   1 0 , 0409 m 0,0483 m         W W  570 W 2  14 2  0,030  0,0409 m 2 m K mK mK    0,1437 m  ln    1   0,0737 m    W W 2  0,085 12 2  0,1437 m  mK m K 

T0 Q x

a

T

b

h

z

 x0

xx

x

x

Con lo que T2  10 C  32 C 

0,0429  0,0059  7,0429 0,0429  0,0059  7,0429  3,9278  0,5799

La temperatura en la interfase fibra inorgánica – aislante orgánico

T2  9 C

Fenómenos de Trasporte

271

6.5

G. Chacón V.

Datos conocidos: a : lado de la base interna b : lado de la cara externa  : espesor T0 : temperatura en la pared interna T : temperatura en la pared externa T k

Conductividad térmica del material K 260 370 550 W/m K 0,142 0,151 0,162

Capítulo 6. Difusión unidimensional

272

0.05 m 0.10 m 0.15 m 600 K 300 K 750 0,178 G. Chacón V.

  dT d Ax q  d A    k A.C. Ax . dx

Respuesta 6.6

Q  

Relaciones para la transferencia de calor En este caso como el área varía y está en coordenadas rectangulares, cartesianas, se debe partir de la relación básica:

Q  

A.C.

  qd A

Integrando

dT 2 Q  k 0 1    T  h dx

Relación para la conductividad térmica.

k  k 0 1    T 

Sustituyendo, h en términos de x

Ajustando los datos del cuadro de conductividad térmica dado, por medio del método de mínimos cuadrados, se tiene que

k0  0,1235 se  0.0011

  5,838310-4 1/K

W/m K W/m K

r  0,9953

Ax  h 2

Por el teorema de Thales.

h  xa

ba





Q

3

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control: la pieza descrita - La conductividad térmica del material, k, varía linealmente con la temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la diferencia de temperaturas se mantiene constante), por lo que Q es constante - El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable - La temperatura no varía con y ni con z. Expresando el flujo de calor en términos de la temperatura y la distancia, con la ley de Fourier. Fenómenos de Trasporte

273

Separado variables

dx  k 0 1    T  d T   x  a 2

Integrando con Q constante

0,1  0,05  m  1 0 ,15 m

dT   x  a 2 Q   k 0 1    T  dx

Q

Relación para el área.



yhx  z hx  dT Q   dzd y  k 0 1    T   y z dx

G. Chacón V.

1   x  a



0

T

    k0  T  T 2  2  T0 

 1 1   2  2  Q     k0 T  T0   T  T0   2        a   a   Arreglando

   k 0 1  T  T0  2  a  b  T  T  Q    0





Nota:

Q 

k TAM



Capítulo 6. Difusión unidimensional

AGM T  T0 

274



G. Chacón V.

Con:

TAM 

T  T0 2

k AM 

k T  k T0 2

Diagrama del volumen de control  k TAM

AGM 

a

2

 b2

 y

Sustituyendo valores, el flujo de calor es

Q 

W mK 0,15 m

0,123

  4 1 300  600  K 1  5,838  10 K 2 0,05 m  0,10 m 600  300  K



  

T

T0

Q x

6.06 x

x0

Tubo empotrado



Por un tubo empotrado en una pared se transporta un metal líquido. La pared tiene un espesor de 1,2 m y una conductividad térmica que se puede aproximar como k (W/mK) = 0,073 [1 + 0,0054 T (K)] La superficie interna, de la pared, se mantiene en 925 K y su cara externa está expuesta al aire, con una temperatura de 300 K y un coeficiente convectivo de transferencia de calor de 23 W/m2 K. Evalúe la distancia, desde la superficie caliente, a la cual se debe colocar el tubo para que su temperatura no exceda 650 K.

 : distancia a la que debe estar el tubo  : espesor de la pared : : : : :

temperatura en la pared interna temperatura en la pared externa temperatura del medio externo temperatura del tubo coeficiente de transferencia de calor del fluido externo

Fenómenos de Trasporte

275

x

Respuesta 6.7 Relación para la transferencia de calor, se parte de la relación básica:

Q  

A.C.

  qd A

Para la pared externa (interfase sólido-gas) se cumple la ley de enfriamiento de Newton.

Q

x 



 hf T

x 



 Tf A

Relación para la conductividad térmica.

k  k 0 1    T 

Datos conocidos:

T0 T Tf T hS

T



Q  1,6 W

 Ejemplo 6.7.

Tf

¿? 1,2 m 925 K ¿? 300 K 650 K

k0  parámetro de conductividad térmica   coeficiente para la temperatura, de la conductividad térmica

0,073 W/m K 0,0054 1/K

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

23 W/m2 K

- Volumen de control: la pieza descrita

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

276

G. Chacón V.

- La conductividad térmica del material, k, varía linealmente con la temperatura - El flujo de energía está en estado estacionario (la diferencia de temperaturas se mantiene constante), por lo que Q es constante - El flujo de energía por las paredes laterales es despreciable - La temperatura no varía con y ni con z - Geometría perfecta.

Sustituyendo valores, la temperatura y el flujo de calor son, respectivamente

W  Q T  925 K   0,0054   0,073  mK  2K A T2  925 2 K 2  1,21m  23 mW2 K T  300 K



Al simplificarse y resolverse la ecuación, se obtiene

T2  2  7,02  10 4  T  4,32  10 7  0

Expresando el flujo de calor en términos de la temperatura y la distancia, con la ley de Fourier.

  dT q  d A    k d Ax A.C. Ax . dx A dT Q   k 0 1    T  dA 0 dx

T  307 K

Q  



El flujo de calor es:

W  Q 307  925 K  0,0054   0,073  A mK  2K 307 2  925 2  K 2 1,21m  23 W2 307  300 K m K

Integrando

dT Q   k 0 1    T  A dx



Separado variables

Q A  162 W/m 2

Q d x   k 0  A 1    T  d T

La distancia, desde la superficie caliente, , a la cual se debe colocar el tubo para que su temperatura no exceda 650 K es

Integrando con Q y A constantes T

   Q  x  k 0  A  T  T 2  2  T0 

  A Q  k 0 T  T0   T 2  T02  2  x







0,073 

Aplicándolo en la pared externa, x  , para evaluar el flujo de calor







W  650  925 K  0,0054 650 2  925 2 K 2   2K mK   W 162 2 m

  0,65 m

6.07

  A Q   k 0 T  T0   T2  T02    h f T  T f  A 2  



Fenómenos de Trasporte



277

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

278

G. Chacón V.

6.3 ALETAS, DIFUSIÓN A TRAVÉS DE SUPERFICIES EXTENDIDAS O ADICIONALES

6.3.1. Modelo, para superficies extendidas Las superficies extendidas se emplean para aumentar la transferencia de calor, o masa, de una pared al medio, aumentando, o proyectando, el área de transferencia de calor. Su uso se ve limitado, pues al aumentar el área de la aleta disminuye la temperatura (fuerza motriz) a lo largo de la misma. Por otro lado, también, para cuando la resistencia térmica del medio (fluido) es muy pequeña comparada con la resistencia térmica de la aleta (sólido). Representando en forma general el modelo de una aleta, con el esquema. S z Q r

Ar

Tf = T

Q h

Consideraciones del modelo

T 0 t W T 0 0 - Pared delgada L z T 0 - Flujo unidireccional de calor r  - Parámetros constantes k  Cte y h  Cte - Flujo de energía en estado estacionario

- Resistencias térmicas, relativas, medio/aleta pequeña W  h 2  k   1

El balance diferencial de energía (Se puede hacer lo mismo para el balance de una sustancia);

Q h

T0

W: espesor de la aleta, W  2 t k: conductividad térmica del material de la aleta h: coeficiente de película o transferencia de calor del medio que rodea la aleta T0: temperatura de la base en la aleta T  Tf: temperatura del medio de la aleta

 W=2t

S r

Trr

Volumen de control diferencial

L

r

Tr

r

279

Aproximando los definiendo

parámetros como constantes y

Θ  T  Tf

d2 Θ 1 d A dΘ h 1 d S   Θ0 dr2 A dr dr k A dr

Nomenclatura: S: área lateral de la aleta A: área trasversal a la aleta A0: área de la base de la aleta L: largo de la aleta AF: área total de la aleta

Fenómenos de Trasporte

  T  S  k  A  δ r  h δ r T  T f   0 r  r  r

(6.10)

La transferencia de calor se calcula en un punto dado, se escoge la base de la aleta (0)

dT Q   k A r  R 0 dr G. Chacón V.

r  R0

Capítulo 6. Difusión unidimensional

 k A r  R

0

280

dΘ dr

(6.11) r  R0

G. Chacón V.

Eficacia

Condiciones de contorno Cuando

r = R0

entonces

T = T0 o  = 0

La otra cota puede interpretarse de diferentes formas, cuando:

r = RL

entonces

o bien

k

dT dr

d k dr



 he T r  RL

r  RL

Con los siguientes criterios he  h a) b) he = h he  0 , W/L  0 ó c)

 Tf

r  RL



 he  r  R

L





Otro término útil para evaluar las aletas es comparar el calor transferido con y sin aletas Q A0 =

calor, que se transfiere, desde de la pared, si se ha retirado la aleta correspondiente, con área A0.

A0  A r  R = área sobre la pared, que ocuparía la aleta 0

Q A0  h  A0 T0  T f



La eficacia se define como

A 

Ar  RL  0

0

A Q  F F A0 Q A0

(6.14)

Eficiencia Se define, como el rendimiento obtenido con respeto a la máxima capacidad física de la aleta, para transferir el calor. Q T0 = calor, que se transfiere como si toda la aleta se encontrase a la temperatura de la base de la aleta. = área total de la pared sin aletas

AN AF = área total de las aletas (en contacto con el medio)

Entonces el calor, si toda la aleta está a una misma temperatura, igual a la de la base, es

Q T0  h  AF T0  T f  Q F  La eficiencia se define como Q

6.3.2

Aleta rectangular de sección constante, Modelo para

Es la superficie extendida formada por una placa de área trasversal constante (recta) adherida a una pared plana. Volumen de control semi diferencial T0

Tf = T B W

(6.12)

T0

Fenómenos de Trasporte

Q  h  AN   F  AF  T0  T f 281

Tf = T

T0

r

Y el calor trasferido por una pared con aletas es: Transferencia de calor para aletas

Espina



W

L

L

(6.13)

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

282

G. Chacón V.

NOTA: El modelo sirve también como aproximación para paredes curvas con un ancho de la aleta muy grande (LB0).

Q  k  m  A0 T0  T f

Balance de energía, diferencial

he 0 mk

(6.10)

Espina o aleta cilíndrica

A = B·W S = 2 (B + W) r dS = 2 (B + W) dr

A = ·W /4 S = ·W·r dS = ·W dr

m

m

W 0 B

o

Q  k  m  A0 T0  T f  tanh  m  L 

4h W k

(6.15)

AF = ·W·L + ·W2/4  ·W·L

AF = 2·B·L + 2·W·L + B·W  2·B·L

(6.16)

y se obtiene

2

2 B  W  h 2h  B W  k W k

h 1 e mk

En el modelo usual, se desprecian los efectos de borde

d2 Θ 1 d A dΘ h 1 d S   Θ0 dr2 A dr dr k A dr Aleta rectangular



he mk  0 tanh  m  L 

tanh  m  L  

(6.17)

Según Harper y Brown (1922) la aproximación se puede mejorar si se corrige para,

m W  1

cuando

se cambia

L L

W 2

Con lo que queda

d2 Θ  m 2Θ  0 2 dr

Eficiencia

Cuya solución, con las siguientes condiciones de contorno, es cuando r=0 entonces  = 0 y

cuando

k

r=L

dΘ dr



rL

 he Θ r  L



h coshm L  r   e senh m L  r  Θ mk  h Θ0 cosh m  L   e senh m  L  mk

dT Q  k A r 0 dr

r 0

  k A r 0

dΘ dr

F 

Notas: r 0

mL0 m L   (m L > 5)

283



tanh m  L  mL

Eficiencia de la ateta recta

(6.18)

Que es la primera columna del cuadro 37 (RL/R0 = 1)

Con lo que

Fenómenos de Trasporte

dS  QT0  h   L T0  T f   k  m  A0  L T0  T f  dr  Obteniéndose

El calor transferido, se evalúa en la base de la aleta,

r=0

La eficiencia se evalúa con el calor trasferido si toda la aleta estuviese a T0, despreciando la transferencia de calor por los bordes.

G. Chacón V.

Q  k  AF T0 T

F  1

(pero AF  0);



Q  k  m  AF T0 T

F  1/(m L)

Capítulo 6. Difusión unidimensional

f

284

f



G. Chacón V.

Eficacia

A

0

Nota: Si

h 

k m  tanh m  L  h

(6.19)

Ao  0: no vale la pena poner aletas Longitud cítrica

Pretende encontrar un valor de la longitud de la aleta, L, que ofrezca el máximo, “técnico”, para el calor trasferido. Derivando la ecuación para el flujo de calor, Ec 6.16   he  2  2 sech  m  LC  1     Q   k  m   2  k  m  A 0T0  T f  0 2 L L  L h   e C 1  k  m tanh  m  LC   2

 h  1  e   0 k m

Por lo que

El resultado no da información sobre la longitud de la aleta, pero sí de la eficacia para valores de Si

wh  1 2k

Q 0 L

Q  0 La aleta produce efecto aislante L

h grande, k pequeña, como el caso de una aleta de metal inmersa en vapor condensante.

Se pretende evaluar el mínimo, técnico, del espesor para un área dada AP. 285

2h k W 3

m  L  AP

 Q AP  B 2  k  h  W T0  T f  tanh  AP  Para un máximo en W Q AP

 1  tanh  AP  B 2  k  h T0  T f   W  2 W 

3 W AP

2h k W 3 2h k W 3

 sech 2  AP 5 W 

2h k

1

  

   

2h k W 3

   

Igualando a cero la derivada con W  WC, se tiene

 2h tanh  L k  WC 

   3 L  

 2h sech 2  L k  WC 

xL

Simplificando con

2h k  WC

   

2h k  WC

tanh  x   3  x  sech 2  x 

2h 1,4192 k  WC

La raíz es

xL

Con lo que

WC  0,993

Y el calor es

Q T0  0, 632  h  B  WC T0  T f

h  L2  0,998  AP k

h k



La eficiencia para el espesor crítico es

Espesor crítico

Fenómenos de Trasporte

entonces

Sustituyendo en la ecuación de transferencia de calor para la aleta recta

La aleta es eficaz

h pequeña, k grande, como el caso de una aleta de metal inmersa en aire.

wh 1 Si 2k

AP  W  L

Si

G. Chacón V.

 F  0,63 Wc

Capítulo 6. Difusión unidimensional

286

Eficiencia de la ateta recta para el espesor crítico

G. Chacón V.

6.3.3 Aleta anular de sección constante, Modelo para La aleta anular, es una placa que rodea un cilindro (conducto o varilla) para aumentar la transferencia de calor (o masa).

L R0

Cuya solución, con las siguientes condiciones de contorno, es  = 0 cuando r = R0 entonces

RL con

r

r

W=2t

k

y

dΘ dr



r  RL

 he Θ r  RL



I m  r   C  K 0 m  r  Θ  0 Θ0 I 0 m  R0   C  K 0 m  R0  h I1 m  R L   e I 0 m  R L  mk C h K 0 m  R L   e K 0 m  R L  mk

 Tf = T

T0

r = RL

cuando

El calor transferido, se evalúa en la base de la aleta

T Q  k  A r  R 0 r

r = R0

r  R0

En el modelo usual, se desprecian los efectos de borde

he 0 mk

Balance, diferencial, de energía

d2 Θ 1 d A dΘ h 1 d S   Θ0 dr2 A dr dr k A dr

y se obtiene

Q  k  m 2    R0  To  T f  

Aleta rectangular

A = 2rW S = 2 (r2 – R02) dS = 4r dr 2h m W k AF = 2 (RL2 – R02)

L = RL – R0 : largo de la aleta R0 : radio de la base de la aleta RL : radio externo de la aleta (6.15)

(6.20)

K 1 m  R0   I1 m  R L   I1 m  R0   K 1 m  R L  K 1 m  R0   I1 m  R L   I 0 m  R0   K 1 m  R L 

Se puede usar la corrección de Harper y Brown (1922), auque no sea aleta recta, que se cambia L  L  W2 Nota: Cuando R0  , es decir RL/R0  1

I n m  R  

Con lo que queda 2

d Θ 1 dΘ   m2  Θ  0 2 r dr dr

Fenómenos de Trasporte

W 0 B

o

287

expm  R 

K n m  R  

2   m  R

exp m  R  2   m  R

Por lo que la ecuación para el flujo de calor se calcula como si fuese una aleta recta

Q  k  m 2    R 0  To  T f  tanh m R L  R 0 

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

288

G. Chacón V.

Eficiencia La eficiencia se evalúa con el calor trasferido si toda la aleta estuviese a T0, despreciando los efectos de borde.

Eficacia La eficacia se evalúa con el calor trasferido por el área de la base sin aleta.

Obteniéndose

Obteniéndose







Q T0  h 2   RL2  R02 To  T f

F 

2  R0  m R L2  R02 K 1 m  R0   I1 m  RL   I1 m  R0   K 1 m  RL  K 0 m  R0   I1 m  RL   I 0 m  R0   K 1 m  RL 

 

Q A0  h 2    W  R0  To  T f





A  0



2  k K 1 m  R0   I1 m  R L   I1 m  R0   K 1 m  RL  w  h K 0 m  R0   I1 m  R L   I 0 m  R0   K 1 m  R L  (6.23)

(6.21) 6.3.4 Nota: la normalización para hacer los cálculos, con

 = m (RL - R0) = m L

Ejemplo 6.8. Aleta rectangular de sección constante

 = RL/R0

y

          K1    K1     I1    I1  2     1   1  1  1 F      1              K0   K1     I1    I0    1   1   1   1

(6.22) Cuyos valores se muestran en el cuadro 37

Una aleta rectangular de acero al carbono AISI 1010 tiene una longitud de 20 mm y de espesor 1,5 mm. Para una temperatura en la base de 200 C, evalúe la transferencia de calor y la eficacia, si el ambiente está a 20 C y tiene un coeficiente de transferencia de calor de: a) h = 16 W/m2 K b) h = 8,2 kW/m2 K Datos conocidos:

1,0 0,9

T0 : temperatura de la base de la aleta k : conductividad térmica del material (a 110 C)

0,8 Eficiencia,hF

EJERCICIOS

0,7 0,6 0,5 0,4

RL/R0 1 2 3 5

0,3 0,2 0,1 0,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

(R L - R 0)(h /k W )1/2

Figura 6.1 Eficiencias de aletas, de sección trasversal constante.

Fenómenos de Trasporte

289

G. Chacón V.

200 C 55 W/m K

h : coeficiente de transferencia de calor del fluido caso a) 16 W/m2 K hS : coeficiente de transferencia de calor del fluido caso b) 8,2 kW/m2 K Tf : temperatura del medio 20 C L : largo de la aleta W : espesor de la aleta B : ancho de la aleta Capítulo 6. Difusión unidimensional

0,020 m 0,0015 m 290

G. Chacón V.

Respuesta 6.8

Caso a)

Relaciones de la transferencia de calor para aleta recta

Q  h   F  AF T0  T f AF  2  B  L

Eficiencia Eficacia

 m

A0  B  W

2h k W

Q a W  16 2  0,948  B m K

Q a kW  8,2 2  0,108  B m K

2  0,020 m  200  20  C

2  0,020 m  200  20  C

El flujo de calor por la aleta es

tanh m  L  F  o cuadro 37 (RLR0  1) mL A 2L Q  F F   A0  F A0 W Q A0

Q a  109 W/m B

Caso a) h = 16 W/m2 K

Caso b) h = 8,2 kW/m2 K

La  Lb  0,020  0,0015 / 2 m La  Lb  0,02075 m m  La  0,02075 m  m  Lb  0,02075 m 

2  0 ,0015 m 16 W/m 2 K 55 W/m K  m  La  0,409 tanh 0,409   Fa  0,409

2  0 ,0015 m

Q b  6,4 kW/m B 6,8

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para aletas - La conductividad se representa bien para su valor promedio.

Caso b)

La eficacia de cada caso es Caso a) Caso b)

A

a

A

a

0

0



2  0,020  0,948 0,0015

b

A

b

0

 25

0

A

a

A

b

0

0



2  0,020  0,108 0,0015

3

 8,8

6.8

Criterio para usar o no aletas Caso a)

8200 W/m 2 K 55 W/m K  m  Lb  9,25 tanh 9,25  1  Fb   9,25 9,25

A

W  h 0,0015 m   2k 2 16 W/m 2 K 55 W/m K  0,00022 Muy eficaz



Caso b)

W  h 0,0015 m   2k 2 8200 W/m 2 K 55 W/m K  0,11 Poco eficaz



o del cuadro 37

 Fa  0,948

 Fb  0,108

Fenómenos de Trasporte

291

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

292

G. Chacón V.

Ejemplo 6.9. Aleta anular de sección constante.



AF  2   R L2  R02

Para el diseño de un conducto que transporta un líquido condensante, se desea escoger entre usar: a) Duraluminio o b) Acero inoxidable 304. El conducto es No. 2” céd. 80 con una temperatura en la pared externa que puede aproximarse en 150 C. El sistema se usa para precalentar un gas, con una temperatura media de 20 C y un coeficiente de película de 125 W/m2 K, con la ayuda de aletas de 2 mm de espesor, 15 mm de largo, separadas 10 mm entre sí. Como parte de la evaluación técnica y económica, se desea comparar la transferencia de calor de las aletas para cada material. Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta h : coeficiente de transferencia de calor del fluido Tf : temperatura del medio L : largo de la aleta W : espesor de la aleta R0 : radio externo del conducto RL : radio de la aleta

150 C 125 W/m2 K 20 C 0,015 m 0,002 m 0,03015 m

k : conductividad térmica de los materiales Temperatura Acero inoxidable Duraluminio T, K k, W/m K 200 300 400 500

15 16 17 18

136 166 185 195

hC kW/m K

1,9

11

Respuesta 6.9 Relaciones para anular recta

la transferencia de calor para aleta

Q  h  AN   F  AF  T0  T f

Fenómenos de Trasporte

293



2h k W

A0  2    R0  W m 

 L  N   tubo  1 W  C  Redondeo a entero

Número de aletas

N : número de aletas Lt : longitud del tubo (Se toma como base 1 mtubo) ¿? 0,01 m C : separación entre aletas “claro” o “luz”

 F  Ec. 6.21

Eficiencia

o cuadro 37

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para aletas - La conductividad se representa bien para su valor promedio. Caso a) Duraluminio

Caso b) Acero inoxidable

L D  L A  0,015  0,002 / 2 m L D  L A  0,016 m

1 m2K m2K   hD 125 W 11000 W W hD  123,6 2 m K m  LD  0,016 m 

1 m2K m2K   hA 125 W 1900 W W hA  117,3 2 m K m  LA  0,016 m

2  123,6 W/m 2 K 0 ,002 m  177 W/m K

2  117,3 W/m 2 K 0 ,002 m  16,5 W/m K

 m  LD  0,423 m  LA  1,349 R L 0,03015  0,016 m   1,53 R0 0,03015 m

 FD  0,9319 G. Chacón V.





del cuadro 37

Capítulo 6. Difusión unidimensional

 FA  0,5967

294

G. Chacón V.

Número aletas

La comparación entre los dos materiales (diferencia de su conductividad térmica), es

1 N   84 aleta/m tubo Lt 0,002  0,01 m/aleta



Q D Q A  1,4 La aleta de duraluminio es un cuarenta por ciento más eficaz que la de acero inoxidable, desde el punto de vista de la transferencia de calor.

Área libre de aletas

A N  2    R 0  Lt  N  Lt  2    R 0  W

AN m  aleta m   2    0,03015  1  84 0 ,002  Lt m tubo  m aleta   Ejemplo 6.10. Aleta cilíndrica (pin)

AN  0 ,158 m 2 /m tubo Lt



Área de las aletas



A F  2   0,0455 2  0,03015 2

m 84  aleta 2

aleta m tubo

A F  0,596 m 2 /m tubo



El flujo de calor es Caso a) Duraluminio

Caso b) Acero inoxidable

Q D W  125 2 0,158  Lt m K

Q A W  125 2 0,158  Lt m K

m2  m tubo 150  20  K

m2  m tubo 150  20  K

0,93  0,596 

Q D kW  11,6 Lt m tubo

Fenómenos de Trasporte

0,59  0,596 

Q A kW  8,3 Lt m tubo

295

Se desea colocar un tapón (cilindro) de 20 mm de diámetro en una pared, ambos de aluminio, que se mantiene a -10 C. El ambiente se encuentra a 30 C (h = 12 W/m2 K). Determine el largo de la pieza para que la transferencia de calor no sobrepase a cinco veces la correspondiente a la superficie plana. Considere que los efectos de contacto con la pared son despreciables, que la temperatura en el trozo de tapón dentro de la pared es igual que la de la pared, no se forman perfiles de temperatura con el radio (ni con el ángulo) y que se deben tomar en cuenta los efectos de borde. Diagrama de la vista lateral del volumen de control

 Tf

T0

W L

6,9

G. Chacón V.



Capítulo 6. Difusión unidimensional

296

G. Chacón V.

Datos conocidos: Tf : temperatura del medio 20 C h : coeficiente de transferencia de calor del fluido 12 W/m2 K -10 C T0 : temperatura de la base de la aleta L : largo de la aleta ¿? D : diámetro (espesor) de la aleta 0,02 m k : conductividad térmica del material Temperatura Aluminio T, K k, W/m K 200 300 400 500 hC

Para este caso la eficacia es de 5 (veces el calor correspondiente a la superficie plana)

A  0

tanh m  L  

Respuesta 6.8

A0    W 2 4

4h k W

u

k m  h

4k h W

tanh m  L   1 u  Q  k  m  A0 T0  T f  1  1 u  tanh m  L  Calor sin aleta Eficacia

Q A0  h  A0 T0  T f Q  A0  Q

A0



u u



m

4 12 W/m 2 K  3,18 m -1 0 ,020 m 237 W/m K



u

4 237 W/m K  62,8 0 ,020 m 12 W/m 2 K



Relaciones de la transferencia de calor para aleta recta

m



1   A0



Sustituyendo valores

11

AF    W  L

1  u  tanh m  L  1  1 u  tanh m  L 

Despejando para L:

237 237 240 236

kW/m K

- Los efectos de contacto con la pared son despreciables - la temperatura en el trozo de tapón dentro de la pared es igual que la de la pared.

Con lo que

tanh 3,18  L  

1 5  0,064 5 62,8  62,8

El valor de la longitud del tapón es



L  20 mm

6.10

A0

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para aletas - La conductividad se representa bien para su valor promedio Fenómenos de Trasporte

297

G. Chacón V.

 Ejemplo 6.11. Aletas en un tanque



Se tiene un tanque de acero al carbono, que guarda aceite de soya caliente, agitada, que viene de un proceso de purificación con una temperatura de 100 C. El recipiente tiene 2 m de diámetro externo por 2,5 m de alto, el Capítulo 6. Difusión unidimensional

298

G. Chacón V.

Q  h  F  AF  AN  T0  T f

aceite alcanza 2,4 m. Se desea colocar aletas alrededor del tanque, cada 0,25 m, de 1/16. El medio se encuentra a 20 - 30 C ,12 - 28 W/m2 K. Formule un modelo del comportamiento del flujo de calor, con el tiempo. Datos conocidos: T0 : temperatura de la base de la aleta k : conductividad térmica del material Temperatura Acero 1010 T, K k, W/m K 300 400

64 59

HT : altura del líquido en el tanque DT : diámetro del tanque R0 : radio externo del tanque L : W: B : Claro RL :

variable

¿? m 0,00159 m 2m 0,25 m ¿? m

h coeficiente de transferencia de calor del fluido, medio Tf : temperatura del medio T : temperatura del aceite CPA: capacidad calorífica del aceite A : densidad del aceite kA : conductividad térmica del aceite

12-28 W/m2 K 20-30 C variable 1,46-1,88 J/kg K 0,89-0,82 Mg/m3

0,095-0,097 W/m K



AF  2   R L2  R02  4    R0  L

m

2h ; k W

A0  2    R0  W

  Ltubo N    1  Redondeo a entero  W  C laro A N  2    R 0  Lt  N  2    R 0  W

Número de aletas

Eficiencia 2,4 m 2,0 m 1m

largo de la aleta espesor de la aleta ancho de la aleta : claro entre aletas radio de la aleta





Eficacia

tanhm  L  o cuadro 37 mL A 2 L Q   F F  F  A0 W Q A0

F  A

0

Balance de energía para el aceite en el tanque





2 d  m u  12 v  gz   VC dt

2   ve Pe     e  ve  Ae   ue   e  gze     2 e entrada   2   v P     s  vs  As   us  s   s s  gzs     2 s entrada        v  A   AC H f   mVC G Q  W   E VC

VC

OTRAS

Respuesta 6.11 Relaciones para la transferencia de calor para la aleta anular recta, para

R L R0  L  1 R0 R0

Fenómenos de Trasporte

299

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Las del modelo de la transferencia de calor para aletas - La conductividad se representa bien para su valor promedio - La temperatura dentro del tanque es homogénea Capítulo 6. Difusión unidimensional

300

G. Chacón V.

- La temperatura en la base de la aleta es igual a la del tanque

El flujo de calor en cada instante es

Q  h F  AF  AN  T  T f  

T.  T0

h F  AF  AN  TI  T f exp    t 

- La relación de radios, es

R L R0  L  1 R0 R0

Evaluando numéricamente

se aproxima como aleta rectangular - La eficiencia se toma como  F  0,63 - Se toman los valores críticos de las propiedades y parámetros - La transferencia de calor del aceite es la que se desprende por las aletas y el área libre de la pared lateral (la otras pérdidas se consideran despreciables)

m

2  12 W/m 2 K  15,6 0 ,00159 m  62 W/m K



El largo de la aleta, se estima con la eficiencia supuesta.

F 

tanh m  L   0,63 mL m  L  1,408 m

Q  Q VC - Temperatura de referencia





L  1,408 m / 15,6  0,090 m

TREF .  0 K .



Número de aletas Simplificando el balance de energía del aceite en el tanque

d mu VC  Q VC dt

El área de, transferencia de calor, de las aletas

En términos de la temperatura





d    R  HT  CP T  h  F  AF  AN  T  T f dt 2 0



Fenómenos de Trasporte

301

El área de libre para la transferencia de calor

AF  15,60 m 2

Integrando, con la condición de contorno: a t = 0, T = T0 = TI

 exp   t 



AN  2    1 m  2,5 m  11 aletas  2    1 m  0,00159 m

h  F  AF  AN  1 d T     T  T f  d t   R0  H T  C P

TI  T f

AF  11 aletas  4    1 m  0,09 m 2  12,44 m 2

A N  2    R 0  Lt  N  2    R 0  W

Simplificando y separando variables

T  Tf

2,5 m   N   1  11 aletas   0,00159 m  0,25 m  Redondeo a entero



W 0,63  12,44  15,60 m 2 2 m K    0,0287 1/s  kg J 2 890 3   1 m   2,4 m  1,46 kg K m 12



G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

302

G. Chacón V.

Con lo que se obtiene el flujo de calor

W Q  12 2 0,63  12,44  15,60 m 2  m K 100  25 C  exp  0,0287 t s  s   El modelo para la transferencia de calor en el sistema es

Q  21  exp  0,0287  t 

6.11

Q en kW y t en s Duración del proceso

Q  0, 01 kW  21  exp  0, 0287  t 

t



1 0, 01 kW ln 0, 0287 21 kW 

t  267 s  5 min

O bien, con la temperatura, T  25  exp  0,0287  t  100  25 t



1  25, 25  25  ln   0, 0287  75 

 

t  199 s  3,5 min

El estimado del calor total (integrando el resultado anterior para el flujo de calor) es

Q

21 1  exp 0,0287  200  0,0287 Q  73 kJ

Fenómenos de Trasporte

6.11

303

G. Chacón V.

Capítulo 6. Difusión unidimensional

304

G. Chacón V.

Capítulo 7

La presión dentro del fluido en reposo, relativo, es

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

7.1

P  g z

(7.2)

FUERZA Y PRESIÓN EN UN FLUIDO

La Estática de los fluidos se define como la disciplina que estudia los fluidos en reposo relativo. En la que se     postula que la p F  ma  R  f P  resión y la fuerza



La presión dentro del fluido, cuando el volumen de control se traslada como un todo (como si fuese un sólido, volumen de control inercial) con aceleración ax, es

P     ax x

sobre una superficie se evalúan de acuerdo con la Ley de Newton.

La presión (Fuerza interna o reacción) se evalúa con la Ecuación de Navier Stokes

 1

       v  v   v    ˆ  P  g  0 t 1 2





La fuerza ejercida por el fluido sobre una superficie, Sec. 1.5.1, y como no se tienen fuerzas cortantes (en un fluido) en reposo (consideración No. 2), se obtiene por

  F   P d A

(2.10)

Simplificando, se obtiene la fuerza por unidad de volumen sobre una “partícula” de fluido

(7.1)

La fuerza, neta, tiene la misma dirección que el área y sentido contrario (La presión es un escalar y la fuerza ejercida es perpendicular a la superficie). El momento en un punto se expresa como

Fenómenos de Trasporte

Gravedad sobre el cuerpo 305

G. Chacón V.



     M   r  dF    r  P d A A



(7.5)

Presión manométrica y Presión absoluta Manómetro: Es un instrumento que mide la diferencia de presión entre dos puntos. Barómetro:

Variación de la presión

(7.4)

A

Con las siguientes consideraciones 1.- No existe movimiento relativo, dentro del volumen de control, v  0 2.- Con lo que no existe deformación (fricción),   0 3.- Sólo se manifiestan fuerzas internas debido a la presión 4.- La presión en un punto, del fluido, es igual en todas las direcciones (escalar)

  P    g  0

(7.3)

Es un instrumento que mide la Presión total o absoluta en un punto dado, Pabsuluta.

Capítulo 7. Estática de fluidos

306

G. Chacón V.

Presión atmosférica, Patmosférica: Es la presión, absoluta en un punto de la atmósfera, terrestre. Normalmente el barómetro solo está diseñado para medir la presión atmosférica.

7.2

FUERZA SOBRE UN CUERPO SUMERGIDO

Para un cuerpo sumergido Volumen de control diferencial

Notas: - no se debe confundir Patmosférica con 1 Atm. - Patmosférica  Patm

dA

P0g z

V

Presión manométrica, Pmanométrica o Pg: Es la diferencia de la presión en un punto dado y la de atmósfera terrestre.

Cg dV

Peso

La relación de la presión manométrica y la presión de vacío con respecto a la presión atmosférica se expresa mediante

dV

dz

P0g (zdz) Fuerza boyante

Presión manométrica Pman  Pg  Pabsoluta  Patmosféric a (7.6)

Pvac  Patmosféric a  Pmanométric a

Presión de vacío

(7.7)

Con:  = densidad del fluido y C = densidad del cuerpo

  δF dF    P  lim δ Aδ A δ A d A

Relación de la densidad con T y P Los siguientes coeficientes y sus aproximaciones para los cálculos son empleados en la Mecánica de los fluidos

1 1       Ev    P T P  P0    P  P0     0 exp     0 1  Ev  T   Ev  T 1    Expansión isobárica     Dilatación térmica   T  P

Compresibilidad isotérmica Módulo de compresibilidad Ev  Módulo de elasticidad



   0 exp  T  T0 P   0 1   T  T0 P Ambos efectos juntos

d

1  d P   dT  Ev

Fenómenos de Trasporte

307

(7.8)

G. Chacón V.

Sec. 1.5.1

Mediante un balance de fuerzas en la dirección z, de la plomada, se tiene que (la fuerza neta, Fz, es):

F z   P0    g z  d z d A    C  g d z d A  A

A

 P A

0

   g  z d A

F z    g dV   C  g dV A

A

(7.9)

Cg dV: Es el peso o fuerza ejercida por el cuerpo g dV: Es la fuerza ejercida por el fluido fuerza boyante, de empuje o de flotación. Principio de Arquímedes (220 A. C.): Un cuerpo sumergido experimenta una fuerza de empuje igual a la fuerza de gravedad (peso) del líquido desalojado (por el cuerpo).

Capítulo 7. Estática de fluidos

308

G. Chacón V.

7.3

MANOMETRÍA TUBO-LÍQUIDO

Manómetro en U Es un manómetro formado por un tubo en U, cuyos extremos están colocados en los puntos de interés, al mismo nivel. Utiliza un liquido, líquido manométrico, para efectuar la medida; el cual es inmiscible con el fluido en contacto y más denso que éste.

P1

l

z z

P2

l

h  Altura manométrica

z0 Líquido manométrico

Reglas para manómetros tubo-líquido  En un tramo continuo de un, mismo, líquido (en el tubo), la presión es igual en cualesquiera dos puntos que se encuentren en el mismos nivel (altura en dirección de la plomada).  La presión aumenta si se “baja” a lo largo de la columna de líquido (en dirección de la plomada).

Fenómenos de Trasporte

309

G. Chacón V.

P    g z

Con la Ec. 7.2

Integrando la ecuación entre los puntos de la columna izquierda



P1 P0

h

hl

0

h

d P      g dz  

  g dz

Para la columna derecha



P2 P0

h

h l

0

h

d P     m  g dz  

Donde

  g dz

 : densidad del fluido m: densidad del líquido manométrico

Efectuando las Integrales Manómetro en Δ P  P  P       g  h 2 1 m U estándar 7.4

(7.10)

MANÓMETRO DE DEPÓSITO

P2

P1 z z l

Lectura manométrica

z z h

L

z z 0 z z



l

d

h H

Líquido manométrico

D

Capítulo 7. Estática de fluidos

310

G. Chacón V.

El manómetro de depósito, micromanómetro o manómetro diferencial, se emplea para aumentar la sensibilidad de la medición con un depósito (columna) de diámetro grande y un tubo de diámetro pequeño e inclinado.

P    g z

Con la Ec. 7.2

m   D2  H 4  m   d 2  L 4 2

d H   L D h  L  sen  , se tiene

Simplificando Sustituyendo, con

Micro manómetro estándar 2  d  Δ P  P2  P1   m    g  L sen       (7.11)  D   

Integrando la ecuación entre los puntos del depósito (columna izquierda)



P1 Pz

zl

z0

zl

z0

z

z

d P      g dz     g dz      g dz

Nota: Δ P  K  L , como todos los términos diferentes de la altura manométrica, L, dependen de las características geométricas y de operación del aparato, se indica como “constante” del micro manómetro y se suele ofrecer por la casa fabricante o se calibra.

Para la columna derecha



P2 Pz

zl

zh

zh

z

d P      g dz    m  g dz

Donde

: densidad del fluido m: densidad del líquido manométrico L:

7.5

lectura manométrica

Restando las Integrales

FUERZA QUE EJERCE UN FLUIDO SOBRE UNA PARED (SÓLIDA) PLANA ATMÓSFERA

Patm zh

zh

z

z

 Δ P  P1  P2      g d z    m  g d z



z0 FLUIDO

Efectuando las Integrales y arreglando

Δ P  P2  P1     m    g  zh  z 

CP

h

L

Por otro lado, con las altura en el depósito

zh  z  h  H

: densidad

Y la Ley de conservación de la masa: La masa de líquido manométrico, que antes de la medida se encuentra en el recipiente de diámetro grande, se traslada al tubo de la derecha o brazo, en el momento de la medida.

Fenómenos de Trasporte

311

F

G. Chacón V.

del fluido

Capítulo 7. Estática de fluidos

0 h0 w

L



312

zh0

CP

x



ATMÓSFERA

z

zh

G. Chacón V.

Para una pared sumergida en un fluido, la fuerza que el fluido ejerce sobre ella, está relacionada con la presión, de la Ec. 7.4

  F   P d A

Sustituyendo el valor de la presión (en la dirección z) y el área

 F     g h0    sen   w d  L

0

A

Se usa como coordenada , que es perpendicular al área (fuerza) y con referencia en   0, en el borde superior de la pared analizada. Se supone que la fuerza aumenta al “bajar” en el fluido, a partir de dicha referencia. Con ayuda del esquema anterior se desarrollan las fórmulas. Presión, del fluido, sobre la pared

P  g z

Efectuando las Integrales

Fuerza del fluido sobre la pared (7.13)

L    F    g  w  L  h0  sen   2  

(7.2) Momento, del fluido, con respecto al origen de la pared

(  0)

Con lo que



P

z

Patm



     M   r  dF    r  P d A

d P  P  P atm     g dz    g  z 0

A

Por la geometría del sistema, para z  h0



(7.5)

Sustituyendo el valor de la presión (en la dirección z) la posición y el área

z  h0    sen 

M z     g h0    sen   w d  L

Sustituyendo y efectuando la Integral

0

Efectuando las Integrales Presión de un fluido sobre una pared

P    g h0    sen    Patm

(7.12)

 L L2  M z   0    g  w  L  h0  sen    2 3 

Fuerza, del fluido, sobre la pared

  F    P  Patm  d A A

Fenómenos de Trasporte

313

Momento del fluido sobre la pared, respecto al origen,   0

(7.14)

(7.4)

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

314

G. Chacón V.

Centroide

Notas

   d A         dA 

Por definición



cuando h0  0

Centroide

0

 w d  



L 0

w d





M z    g  w  L3  sen  3  2  L  F 3

Sustituyendo el valor de la posición y el área L



 F    g  w  L2  sen  2  P     Patm AL



   

entonces  CP  2  L 3

L: Longitud húmeda de la placa, es la parte de la placa en contacto con el líquido.

L 2

 F    g  w  L h0      sen   La presión en el centroide de la longitud húmeda por el área mojada.

(7.15)

M z    g  w  L   CP h0      sen    F   CP

Momento de área respecto al origen (  0)

   I 00    2 d A

Por definición

0

Sustituyendo el valor de la posición y el área Momento de área

I 00    2 w d    w L

0

L3 3

7.6

Ejemplo 7.1. Presión atmosférica

Centro de fuerza con respecto al origen (  0)

 CP

Por definición

  M 1     r  dF   F F

Sustituyendo el valor del momento, Ec. 7.14, y la de la fuerza, Ec. 7.13, se tiene Centro de fuerza del fluido sobre la pared, respecto al origen,   0

 CP

h0  L  13 L2  sen   h0  12 L  sen  1 2

Fenómenos de Trasporte

315

EJERCICIOS

(7.16)

Se desea estimar la altitud (altura a partir del nivel del mar) y la presión atmosférica correspondiente a una temperatura promedio de 21 C. Esto, con el propósito de escoger el lugar de una planta que requiere agua de enfriamiento a 19 - 22 C, para un proceso de fermentación que trabaja a 26 - 30 C. Se conoce que, en el paralelo correspondiente, la temperatura promedio a nivel del mar es de 29 C y la presión de 762 mmHg y en la montaña a 2,5 km de altitud es de 12 C.

Datos conocidos: P0 : presión barométrica a nivel del mar T0 : temperatura promedio a nivel del mar

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

316

101,6 kPa 302 K

G. Chacón V.

L : PL : TL : h : P : T :

altitud de referencia presión barométrica a L temperatura promedio a L altura de trabajo presión barométrica a h temperatura promedio a h

2,5 km ¿? 285 K ¿? ¿? 294 K

R : constante universal de los gases 8,314 5 kJ/kmol K M : peso molecular del aire 29 kg/kmol

Fórmula de los Gases perfectos o ideales



PM R T

Temperatura atmosférica, según NACA TN 1428, para la Atmósfera estándar

T  T0 1  b  z  Sustituyendo la densidad, para evaluar la presión

Respuesta 7.1

P PM  g R T z

Diagrama del volumen de control Luego la temperatura



 gM P   P  R  T0

P  P

Integrando y arreglando términos, con las condiciones a z=0 T = T0 y P = P0 z=L T = TL y P = PL a

h

h

Presión y temperatura atmosférica, con la altura

P

 g M   

 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático (se desprecian las corrientes verticales y horizontales del aire) - La presión disminuye a partir del nivel del mar (z  0) - El aire se comporta como gas ideal - La variación de temperatura con la altura es lineal.

T  T0 1  b  z 

  

 285,15 K  1 b  1   0,0225 km 1  302 , 15 K 2 , 5 km  

P    g z 317

 g M   T   RT0 b  P    1  b  z  RT0 b     P0  T0   T  1 g  M ln TL T0  b  1  L    T0  L R  T0 ln PL P0 

Sustituyendo valores

Presión (hidrostática) en el gas

Fenómenos de Trasporte

 z  1 b  z

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

318



G. Chacón V.

 T h  z  1   T0

1  294 K  1   1   302 K  0,0225 km 1 b 



La altura de trabajo es de

h  1,2 km

7.1

9,80665 m kmol K gM   8,3145 kJ R  T0  b s2 29 kg 1 km    5,03 kmol 302 K 0,0225  294 K  P   302 K 

La Presión a la altura de trabajo es 7.1

Presión del gas

P    g z

Fórmula de los Gases perfectos o ideales Presión atmosférica (adiabática)



Se desea estimar la altitud (altura a partir del nivel del mar) y la presión atmosférica correspondiente a una temperatura promedio de 21 C. Esto, con el propósito de escoger el lugar de una planta que requiere agua de enfriamiento a 19 - 22 C, para un proceso de fermentación que trabaja a 26 - 30 C. Se conoce que, en el paralelo correspondiente, la temperatura promedio a nivel del mar es de 29 C y 762 mmHg.



PM R T

Relación termodinámica para la temperatura atmosférica, reversible y adiabática

T P   T0  P0 

R M CP

Sustituyendo la densidad, para evaluar la presión

PM P  g z R T

Datos conocidos: P0 : presión barométrica a nivel del mar T0 : temperatura promedio a nivel del mar Fenómenos de Trasporte

R : Constante universal de los gases 8,314 5 kJ/kmol K M : Peso molecular del aire 28,97 kg/kmol CP : Capacidad calorífica a presión constante 1,0035 kJ/kg K

- Fluido estático (se desprecian las corrientes verticales y horizontales del aire) - La presión disminuye a partir del nivel del mar (z  0) - El aire se comporta como gas ideal - Comportamiento reversible y adiabático del sistema - La capacidad calorífica a presión constante se considera aproximadamente constante con la altura y la temperatura y representada por su valor promedio.

101,6 kPa

 Ejemplo 7.2.

¿? ¿? 294 K

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

5, 03 

P  88 kPa

h : altura de trabajo P : presión barométrica a h T : Temperatura promedio a h

319

101,6 kPa 302 K G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

320

G. Chacón V.

Sustituyendo la temperatura con la relación de la Termodinámica, para un proceso adiabático reversible para gases perfectos o ideales.

g  M  P0 d P   R  T0 dz

R M CP

P

 R M  1 CP 

 z  

7.2

Ejemplo 7.3. Fuerza neumática

C P M R



Para la temperatura

T g  1 z T0 C P  T0



Sustituyendo valores

g 9,80665 m kg K 1   0,0323 km 1 2 C P T0 1,0035 kJ 302,15 K s  T h  z  1   T0

P  92,5 kPa

  

Separado variables, integrando y arreglando términos

P  g  1  P0  C P  T0

La presión a la altura de trabajo es

 C P  T0  294 K  1   1    302 K  0,0323 km 1   g

Determine el diámetro del pistón de empuje de una elevadora neumática, para que con 1 kN, se pueda levantar 10 t (toneladas métricas) en la plataforma de 0,25 m de diámetro. Datos conocidos: F : Fuerza externa en 1 D1 : diámetro del pistón 1 M : masa de la carga en 2 W : peso de la carga en 2 D2 : diámetro de la carga en 2

1 kN ¿? 10 000 kg 0,25 m

Diagrama del volumen de control D2 Patm W

h

La altura de trabajo es de

h  0,82 km



L2

P2

7.2

D1 F

P1

C P  M 1,0035 kJ kmol K 28,97 kg   3,50 R kg K 8,3145 kJ kmol  294 K  P   302 K 

Respuesta 7.3

3, 50 

101,6 kPa

Fenómenos de Trasporte

Principio de la presión para un gas

P1  P2

321

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

322

G. Chacón V.

 Ejemplo 7.4.

La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4

  F   P d A

El sistema mostrado en el diagrama muestra el gas confinado en dos cilindros, de diferente diámetro, separados por un pistón de 10 kg. Evalúe la presión en B, si la presión en A es de 200 kPa.

A

A    D2 4

Área

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Fluido estático Temperatura constante La presión es homogénea El efecto de la altura sobre la presión es despreciable - El aire se comporta como gas ideal.

Sustituyendo

F W  2   D1 4   D22 4



 



Gas confinado



Respuesta 7.4 Datos conocidos: Patm: presión atmosférica PA : presión en A DA : diámetro del lado A del pistón PB : presión en B DB : diámetro del lado B del pistón m : masa del pistón

100 kPa 200 kPa 100 mm ¿? 25 mm 10 kg

Diagrama del volumen de control

Despejando el diámetro D1

DA

D1  D2 F W



A PA

Sustituyendo valores

D!  0,25 m

1E3 N 10E3 kg  9,80665 m s 2 Patm

Patm El diámetro del pistón de empuje es

y

D1  25 mm (1 pulgada)

PB

7.3 F 

x

B DB

Fenómenos de Trasporte

323

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

324

G. Chacón V.

2

La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec,7.4

4  10 kg  9,80665 m/s 2  1000 mm  1 kPa     25 mm  1 m  1000 Pa

  F   P d A A

PB  3200  1500  199,8 kPa

A    D2 4

Área

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

La presión en el cilindro B es

-

Fluido estático Temperatura constante La presión es homogénea El efecto de la altura sobre la presión es despreciable - El aire se comporta como gas ideal.

En términos de la presión

d AA   Patm d Aatm  m  g   PB d AB  0

Despejando para el punto B, con la presión homogénea con el área,

PB

  D B2 4

 PA

  D A2 4

 Patm



D 4

2 A

7.4

Espesor de una pared de un recipiente

Estime el espesor de las paredes de un recipiente cilíndrico de acero al carbono que almacena nitrógeno comprimido a 20 MPa. El diámetro es de 0,25 m y la longitud de 1,3 m. Considere que la temperatura se mantiene constante de 16 a 20 C

FA  Fatm  F peso  FB  0

A

PB  1,9 MPa

Ejemplo 7.5.

Balance de fuerzas en y

P

1 MPa 1000 kPa

Respuesta 7.5 Diagrama del volumen de control



 D B2  m  g

D

L

Simplificando 2  D  2  4  m  g  DA    Patm  A   1  PB  PA  2  DB     D B  DB 

FC 

Sustituyendo valores

Datos conocidos:

  100 mm   100 mm  PB  200 kPa    100 kPa    1   25 mm    25 mm  2

Fenómenos de Trasporte

2

325

G. Chacón V.

P : presión del fluido sobre la pared D : diámetro del tanque L : altura (longitud) del tanque

Capítulo 7. Estática de fluidos

326

20 MPa 0,25 m 1,3 m

G. Chacón V.

C : esfuerzo crítico o permisible del metal

210 MPa ¿ ?

t : espesor de la pared del tanque FC

FC

- Las tapas se consideran esféricas (generalmente son achatadas o toroides).

Balance de fuerzas en la pared lateral.

FFuerza del fluido  RFuerza resistiva  0 PF

PF

FF  FC  P  D  L  2   C  t  L  0

Pared de la tapa

Pared lateral Relaciones para las fuerzas

Espesor de una concha cilíndrica



Sustituyendo valores

La fuerza del fluido sobre una pared curva es la presión en el centroide por el área (de la pared) proyectada. Pared lateral

FF  P  D  L

Tapa

FF  P    D 2 4

t

20 MPa  250 mm 2  210 MPa

El espesor del tanque (con base en la pared lateral) es

Las fuerzas de reacción del material del recipiente para las condiciones críticas son “Cascarón” cilíndrico

FC  2   C  t  L

“Cascarón” esférico

FC   C  t    D

t  12 mm

- Paredes delgadas relativamente. Con lo que se aplican las fórmulas de la Mecánica expuestas anteriormente - Para un gas, se considera el efecto de la gravedad sobre la presión despreciable - La fuerza ejercida por la presión de un fluido sobre una superficie cóncava se ejerce sobre el centroide del área proyectada 327

G. Chacón V.

7.5

Balance de fuerzas en las paredes de las tapas (esféricas).

FFuerza del fluido  RFuerza resistiva  0





FF  FC  P    D 2 4   C  t    D  0

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Fenómenos de Trasporte

PD 2  C

t

Espesor de una concha esférica

t

PD 4  C



Como es menor que el espesor calculado con base en la pared lateral, se emplea el ya calculado. 7.5

Capítulo 7. Estática de fluidos

328

G. Chacón V.

Ejemplo 7.6.

Fuerza y presión en un punto

Sustituyendo valores

Un depósito cilíndrico lleno de aceite, con densidad relativa de 0,8820/4C, colocado sobre el piso y abierto a la atmósfera, tiene una profundidad de 12,5 m. Evalúe el diámetro del recipiente para que la fuerza máxima en el fondo sea de 0,36 MN.

kg m  Ph  0,88  999,720 3 9,80665 2 12,5 m m s  9,064 E 3 Pa  1 kPa  15 mH 2 O  1 mH 2 O  1 E 3 Pa La presión que ejerce el líquido en el fondo del tanque es

Datos conocidos: P0 : presión barométrica DR : densidad relativa del aceite h : altura del líquido en el tanque

15 m de H20 (4 C) 0,88 12,5 m

Ph  255 kPa

7.6

Fuerza en el fondo Respuesta 7.6 Diagrama del volumen de control

D P0

D 2

Fz

h



Fz

h

 Ph    D 2 4

0

P d Az

h

 Ph  Az 

En este caso es la presión absoluta, pues la carga la recibe el piso (balance de fuerzas). Despejando el diámetro

h

D

Ph

4 Fz h  Ph



Con los datos, se tiene

D

Presión (hidrostática) en el fondo

P  g z

4 360 kN  255 kPa

El diámetro del recipiente es

D  1,3 m

Integrando entre el nivel (0) y el fondo (h)

7.6

Ph    g  h  P0

Fenómenos de Trasporte

329

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

330

G. Chacón V.

Ejemplo 7.7.



Fuerza “hidráulica”

La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4

  F   P d A

Para una elevadora “hidráulica”, que utiliza aceite, con un diámetro del pistón de empuje de 25 mm y una fuerza 1 kN, determine el peso que se puede levantar sobre la plataforma, que es de 0,25 m de diámetro y 0,1 m de alto.

Área

Datos conocidos:

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

F : Fuerza externa en 1 D1 : diámetro del pistón 1 h1 : profundidad del líquido al pistón 1 L1 : W: D2 : L2 : h2 :

1 kN 0,025 m -0,10 m ¿? 0,25 m

alto del pistón 2 peso de la carga en 2 diámetro del pistón 2 alto del pistón 2 profundidad del líquido al pistón 2

A

A    D2 4

-

Fluido estático Temperatura constante La presión es homogénea, con el área Densidad del fluido constante.

Integrando entre los niveles 1 y 2

P1  P2    g h1  h2 

--

15 m de H20 (4 C) P0 : presión barométrica 0,888 g.e20/4: gravedad especifica (densidad relativa) del aceite

Balance de fuerzas, en el pistón, (en 2).

Fy Respuesta 7.7

A

 W   P2 d Ay

2

0

W  P1    g h1  h2  Ay

Diagrama del volumen de control D2 Patm W

D1 F

h1

2

   g  h2  Ay

2

0

2

2

0

L

W 

P2

F 2 h h  D2    g    D22  1  2  2 2 D1 4



Sustituyendo valores

P1

 1 kN  0,25 m 2   0,888  999,720 kg3  W  2 m  0,025 m    m 2m 0m 2  1 kN 9,80665 2     0,25 m   2  s  4  1000 N

Presión (“hidrostática”) del líquido

P  g z

Fenómenos de Trasporte

   g  Ay h2  0

W  P1  Ay    g  h1  Ay  2    g  h2  Ay 2

h2

2

2

331

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

332

G. Chacón V.

W  100 kN   0,9 kN 

Respuesta 7.8

La fuerza que ejerce el líquido sobre la carga es de

La fuerza debido a la tensión superficial (Ft) actúa sobre la pared (en su circunferencia).

W  99 kN (10 t)

7.7

Notas: En los cálculos se considera h1  2 m y h2  0, en forma arbitraria, pues el efecto en la fuerza es despreciable y se redondea (en toneladas) por defecto, por seguridad.

Ft    cos     D Balance de fuerzas en la pared, en la dirección z,

Ft  M  g  0 Diagrama del volumen de control D

Ejemplo 7.8.

Elevación del nivel de un líquido en un capilar 

Un tubo abierto a la atmósfera, de diámetro pequeño (capilar), se sumerge en un líquido, el cual sube debido a su tensión superficial, manteniéndose un nivel dado. Encuentre una relación entre la altura del líquido en el capilar y el diámetro del mismo, entre 0,2 y 20 mm, para agua y para mercurio, a 25 C.

 z

h



Datos conocidos: P0 : presión barométrica T : temperatura ambiente

¿? 25 C

 : densidad del agua (a 25 C) 997,0429 kg/m3  : tensión superficial del agua (a 25 C) 71,97 mN/m  : ángulo de contacto del agua (a 25 C) 0  : densidad del mercurio (a 25 C) 13 533,6 kg/m  : tensión superficial del mercurio (a 25 C) 467 mN/m  : ángulo de contacto del mercurio (a 25 C) 140 º 3

h : altura del líquido en el capilar (a 25 C) ¿? D : diámetro interno del capilar (a 25 C) 0,5 a 50 mm

r

Sustituyendo

333

G. Chacón V.

   D2  h g  0  4

  cos     D   

Despejando la altura del líquido (que sube) en el capilar, desde el nivel (h) del líquido Altura del líquido en un capilar

Fenómenos de Trasporte

·cos

P0

Capítulo 7. Estática de fluidos

h

4    cos   Dg

334



G. Chacón V.

Ejemplo 7.9. Fuerza boyante

Para el agua

4  0,07197 N/m  cos 0º 1  1000 mm  h   3 3 997,0429 kg/m  9,80665 kg/m D  1 m 

2

Determine la densidad relativa o gravedad específica de una esfera de 30,1 L, que requiere 10,02 kg para quedar suspendida dentro de agua, a 25 C.

La elevación del agua en un tubo capilar

h

25 C

Datos conocidos:

29,44 mm 2  D

7.8

Para el mercurio

h

4  0,467 N/m  cos 140 º 1  1000 mm    3 3 13533,6 kg/m  9,80665 kg/m D  1 m 

2

h 25 C

10,02 kg 997,0429 kg/m3

VC : volumen del cuerpo 0,0301 m3 g.eC  D.E.C: gravedad especifica o densidad relativa del cuerpo ¿? Respuesta 7.9

El descenso del mercurio en un tubo capilar

10,78 mm 2  D

M : masa que produce la tensión T : tensión o fuerza  : densidad del agua (a 25 C)

Diagrama del volumen de control 7.8

T

M

B



VC

W Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Fenómenos de Trasporte

335

G. Chacón V.

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel del líquido La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema Equilibro térmico del sistema, a 25 C.

Capítulo 7. Estática de fluidos

336

G. Chacón V.

Balance de fuerzas

Datos conocidos:

F  T  B W  0

T : temperatura de la medición 4,0 C h : distancia entre la marca, 1,00 y el nivel del líquido durante la medición ¿? VC : volumen total del densímetro, hasta la marca de 1,00 1,50104 mm3 MC: masa del densímetro DC : diámetro del vástago del densímetro 6,0 mm H20 : densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 g.e.T/4 C: gravedad específica del fluido con respecto al agua, esta última a 4 C. ¿?

Por Ec. 7.8, sustituyendo la fuerza boyante y el peso

T    VC  g  g .e.C    VC  g  0 Despejando para la gravedad especifica, g.eC, con

T  M g Balanza de Arquímedes o de Westfall

g .e.C  1 

M   VC

 Respuesta 7.10 Diagrama del volumen de control

Sustituyendo valores

h  1,00

10,02 kg 997,0429 kg/m 3  0,0301 m 3

B

La gravedad específica de la esfera en cuestión

W

g .e.C  1 

g .e.C  1,33 Referencias:

h 

7.9

Experimento de Arquímedes, Balanza de Westfall

 Ejemplo 7.10. Densímetro de vástago



Se tiene un densímetro de vástago o hidrómetro de 15,0 mL y de 6,0 mm de diámetro. La marca de 1,00 corresponde al nivel del agua destilada a 4 C. Formule una relación de la altura, a partir del nivel 1,00 y la superficie o nivel del líquido, con la gravedad específica, g.e.T/4 C o densidad relativa, D.R.T/4 C, desde 1,00 a 1,30.

Fenómenos de Trasporte

337

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel del líquido La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema

Capítulo 7. Estática de fluidos

338

G. Chacón V.

- Equilibro térmico del sistema, a 4,0 C.

Sustituyendo valores

Balance de fuerzas

h

F  B  W  0   V  g  M C  g Como el densímetro está calibrado para agua

4  15000 mm 3  1 1  2   6 mm   g .e.T/4C

  

Para el densímetro la relación entre la altura y la gravedad específica es

M C   H2O  VC

 1 h mm   530,5 1  g .e.T/4C 

Por Ec. 7.8, sustituyendo la fuerza boyante y el peso

 H2O  VC  g  g .e.   H2O  V  g  0 En términos de la altura h,

  

90

 H2O  VC  g  g .e   H2O VC    D  h 4  g  0 2 C

7.10

30

80

Altura o grados para el densímetro de vástago o hidrómetro

h

4  VC   DC2

 1 1  g .e.T/4C 

  



60

20

ºBaumé

Despejando para la altura, h (en términos de la gravedad específica, g.e.),

altura, mm

70

50 40 30

10

20 10

Referencias:

Gados Baumé y grados API

  1  º Bé 60 F  145 1  60 F/60 F  g . e .    140   131 º Bé 60 F   60 F/60 F  g .e.  º API

60 F

0 1,00

para g.e.>1

1,10 T/4 C g.e.

1,15

1,20

para g.e.<1

 141,5     131,5  60 F/60 F  g .e. 

para g.e.<1

339

G. Chacón V.

Fenómenos de Trasporte

0

1,05

Ejemplo 7.11.

Manómetro en U

Una restricción tipo orificio se emplea para medir el flujo de un hidrocarburo que se traslada por una tubería. Se emplea un manómetro en U, colocado a los lados del orificio, que contiene mercurio como líquido manométrico.

Capítulo 7. Estática de fluidos

340

G. Chacón V.

Respuesta 7.11

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Datos conocidos: KC : coeficiente de pérdidas de energía para el orificio h : altura manométrica

3,9

105 mm de Hg

20/4 C

g.e. m. : gravedad específica del líquido manométrico

13,545

T : temperatura de la medición

20 C

H20 : densidad del agua (a 4,0 C)

Fluido estático dentro del manómetro Temperatura constante La presión es homogénea, con el área La altura o nivel es igual en las dos tomas del manómetro - La velocidad del fluido se representa por su velocidad promedio - El flujo de fluido se homogeniza después del orificio y en los puntos de medida.

999,9720 kg/m3

g.e.20/4 C: gravedad específica del hidrocarburo

0.897

Hf : pérdidas por irreversibilidades en el orifico

H f  3,9

-

2

v 2

Caída de Presión La diferencia de presión medida en el manómetro, es Ec. 7.10: Δ P  P2  P1   m    g  hman Sustituyendo valores

kg  m3 m 1m 1 kPa 9,80665 2  105 mm 1000 mm 1000 kg/m s 2 s

P2  P1  13,545  0,897  999,9720 Diagrama del volumen de control

P2

P1

La caída de presión provocada por el orificio es

P2  P1  13 kPa man

7.11

l Velocidad del fluido en el conducto, con el balance de Energía mecánica h  Altura manométrica

P2  P1

 Líquido manométrico

341

v 22  v12  g z 2  z 2   H f  0 2

Simplificando y sustituyendo

H f  CD

Fenómenos de Trasporte



G. Chacón V.

P  P1   m  v2  2    1 g  hman 2    

Capítulo 7. Estática de fluidos

342

G. Chacón V.

Respuesta 7.12

Despejando la velocidad

v 

2 P2  P1    2  g  hman   m  1   CD CD   

Diagrama del volumen de control P2

P1

Sustituyendo valores

v 

2  13 kPa man 1000 kg/m s 2 1 kPa 0,897  999,9720 kg m 3  3,9

d Líquido manométrico

La velocidad del fluido, dentro del conducto, es de

v  2,7 m/s

L 7.11



Lectura manométrica

D Ejemplo 7.12.

Manómetro con depósito

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

La presión del oxígeno que entra a un fermentador se controla con un manómetro de depósito. El diámetro del depósito es de 30 mm y el tubo es de 10 mm con una inclinación de 46º. El líquido manométrico es rojo Meriam. Determine el desplazamiento o lectura manométrica, por cada milímetro de agua de presión diferencial, manométrica, (entre los dos punto de medida) de la corriente de oxígeno.

-

Fluido estático dentro del manómetro Temperatura constante La presión es homogénea, con el área La altura o nivel es igual en las dos tomas del manómetro - La densidad del gas es despreciable comparada con la del líquido

m    m

Datos conocidos: D: diámetro del depósito del manómetro 0,030 m d: diámetro del brazo del manómetro 0,010 m L: lectura manométrica ¿? g.e.m.20/4 C : gravedad específica del líquido manométrico 0,927 T: temperatura de la medición 20 C H20: densidad del agua (a 4,0 C) 999,9720 kg/m3 hH2O: presión medida en términos de una altura de agua ¿ ? mmH2O a 4,0 C

Fenómenos de Trasporte

343

G. Chacón V.

Caída de Presión: La diferencia de presión medida en el manómetro es, Ec. 7.11: 2  d      P P P g L Δ  2  1    m    sen       D   

Expresando la presión en términos de una altura en mm

de H2O

Δ P   H 2 O  g  hH 2 O Capítulo 7. Estática de fluidos

344

G. Chacón V.

Sustituyendo, para la medición de la presión de un gas



 H O  g  hH O    m g  L sen    d D 2 2

2

Diagrama del volumen de control



P0

Despejando para L,

0

0

2  d  T 4C  g .e.m sen       L  D   

hH 2O



keroseno

hA A

hB

PA

A

Sustituyendo valores, suponiendo que la temperatura de la medición es alrededor de 20 C

hC

2   10 mm    0,927 sen  46 º      L  30 mm   

hH 2O

B

B

C

C

La presión del gas expresad en términos de mmH2O, es

hH 2O L

 1, 30

1 mmH 2 O 1 mm manométrico

agua

7.12

mercurio

Respuesta 7.13 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.  Ejemplo 7.13. Sistema con manómetro en U



Para el sistema manométrico mostrado, en la figura, calcule la presión en el punto A, para agua a 70 C.

-

Fluido estático dentro del manómetro Temperatura constante La presión es homogénea, con el área La presión aumenta hacia abajo.

Datos conocidos: hA

: altura en A

180 mm

Caída de Presión

hB

: altura en B

230 mm

La diferencia de presión medida en el manómetro, Ec. 7.2, es

hC

: altura en C

360 mm

H2O : densidad del agua (a 70 C)

997,771 kg/m

Hg : densidad del mercurio (a 70 C)

13,424 Mg/m3

Ker : densidad del keroseno (a 70 C)

736 kg/m3

Fenómenos de Trasporte

345

3

G. Chacón V.

P P     g z h

Integrando entre dos puntos consecutivos, de un mismo líquido,

Capítulo 7. Estática de fluidos

346

G. Chacón V.

PA  PB    H2O  g h A  hB 

Diagrama del volumen de control

PB  PC    Ker  g h B  hC 

ATMÓSFERA



FLUIDO h0

Sumando

h

PA  P0   H2O  g hB  h A  

F

 Ker  g hC  hB    Hg  g hC  h0  B

Sustituyendo valores

kg  PA  P0  977,771 3 (230)  (180)  mm  m  kg 736 3 (360)  (230)  mm  m kg  13424 3 ( 360)  (0)  mm  m  m 1m 1 kPa 9,80665 2 s 1000 mm 1000 kg/m s 2



CP L

A

ATMÓSFERA

PC  P0    Hg  g hC  h0 

w

Datos conocidos: h0 : nivel del líquido sobre A L : largo de la placa w : ancho de la placa  : ángulo entre placa y el piso  : densidad del agua (a 25 C)

2,5 m 6,0 m 10 m 30 º 997,0429 kg/m3

Respuesta 7.14 La diferencia de presión medida es

PA  P0  46 kPa man

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. 7.13

Ejemplo 7.14. Fuerza de un fluido sobre una pared plana Para la superficie mostrada en la figura, que posee una articulación en A, si se desprecia el peso de la compuerta determine: a) La fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta b) La presión en el centroide c) La fuerza reactiva en el punto de apoyo, B.

Fenómenos de Trasporte

347

G. Chacón V.

-

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema Equilibro térmico del sistema, a 25 C El peso de la compuerta se desprecia.

Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,

L    F    g  w  L  h0   sen   2   Sustituyendo valores Capítulo 7. Estática de fluidos

348

G. Chacón V.

kg m 9,80665 2 10 m  3 m s 6 1 MN s 2   6 m  2,5  sen 30º  m 2   1E06 kg m

La presión que ejerce el fluido sobre el centroide es:

 F  999,0429

P   Patm  39,2 kPman

Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen A,   0: Ec. 7.17,

La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared es:

 F  2,4 MN Nota:

7.14a)

 CP

7.14a)

 F  P   Acompuerta

h0  L  13 L2  sen   h0  12 L  sen  1 2

Sustituyendo valores Centroide, Ec. 7.15,

  w d   L  w d 2 L

  

 CP

0

L

2,5 m  6,0 m  13 6 m  sen 30 º  2,5 m  12 6 m  sen 30 º 2

1 2

 CP  3,4 m

0

Sustituyendo valores



Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A,   0,

6m    2



M

   3 m

A

   M CPfluido  M Bexterno  0  F  CP  FB  L

7.14b) Sustituyendo valores

FB  F

Presión de un fluido en un punto, Ec. 7.12,

P  Patm    g h0    sen  

L

 2,4 MN

3,4 m 6,0 m

La fuerza en el punto de apoyo, B, es:

Sustituyendo valores

FB  1,3 MN

kg m 9,80665 2  3 m s 6 1 kPa s 2    2,5  sen 30 º  m 2   1E03 kg m

P   Patm  999,0429

Fenómenos de Trasporte

 CP

349

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

7.14c)

350

G. Chacón V.

 Ejemplo 7.15.



Compuerta deslizable

La compuerta de una represa se desliza en cada uno de sus lados, sobre la pared de la misma (según la figura), para librar el agua almacenada. Si la masa de la compuerta es de 5 t y el coeficiente de rozamiento estático, entre la compuerta y la placa soporte, es de 0,4. Determine la fuerza necesaria para iniciar el deslizamiento. Diagrama del volumen de control T

T W    F  0 El peso

W  mg

La fuerza que ejerce el fluido (F), sobre la pared, Ec. 7.13, Para el caso

L    F    g  w  L  h0   sen      g  w  L2 2 2   Sustituyendo y despejando para T.

 y

Balance de fuerzas, perpendiculares (y)

T  m  g      g  w  L2 2

W Sustituyendo valores 

 1000 kg kg m T  5 t 9,80665 2  0,4 997,0429 3  1t m s  1,5 m 2  1 kN s 2 m 9,80665 2 4 m  2  1000 kg m s

a L

F

Datos conocidos: L : nivel del líquido en la represa 1,5 m a : ancho de la compuerta 4 m m : masa de la compuerta 5 Mg  : coeficiente de fricción estático 0,4  : densidad del agua (a 20 C) 997,0429 kg/m3 T : fuerza necesaria para levantar la compuerta ¿?

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema Equilibro térmico del sistema.

Fenómenos de Trasporte

T  67 kN

7.15

 Ejemplo 7.16. Compuerta sostenida por un cable 

Respuesta 7.15

-

La fuerza inicial requerida para levantar la compuerta es

351

G. Chacón V.

El nivel del agua contenida en un depósito, se controla con una compuerta de 2 t, de 3 m de ancho y 5 m de largo, mediante un contrapeso de 3 t, usando un cable, como se muestra en la figura. El agua se desborda cuando el nivel del líquido alcanza una altura dada, H, para una inclinación de la compuesta de 60º, Evalúe dicha altura. Capítulo 7. Estática de fluidos

352

G. Chacón V.

Diagrama del volumen de control

L    F    g  w  L f  h0  f sen   2  

T

T ATMÓSFERA

Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.14,

mT

Para el caso



S

F

H

L WC··cos

AGUA P



ATMÓSFERA

CP

 F   gw

H  H  sen    sen   2  sen  

 F   gw

H2 2  sen 

Centro de fuerzas sobre la pared, a partir del origen, respecto al origen, S:   0 Ec. 7.16,

w

CP  Datos conocidos: H : nivel del líquido en la represa, a la salida del agua w : ancho de la compuerta L : largo de la compuerta mC : masa de la compuerta

¿? 3m 5m 2 Mg

3 Mg mT : masa del contrapeso  : densidad del agua (a 20 C) 998,2 kg/m3 T : fuerza necesaria para levantar la compuerta ¿? Respuesta 7.16

1 2

h0  L f  13 L2f  sen  h0  12 L f  sen 

 CP 

Para el caso

2 H 3 sen 

 M 

P

    M Fluido  M Compuerta  M Contrapeso  0

L   H F   CP   mC  g  cos    mT  g  L  0 2   sen  Sustituyendo el valor de F y CP,

-

  gw

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema Equilibro térmico del sistema La fuerza ejercida por la placa (peso) está en su cetroide.

353

G. Chacón V.



Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a P, en la rótula (  0: S),

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Fenómenos de Trasporte



H2 2  sen 

2 H   H     sen  3 sen   mC  g  cos  L  mT  g  L  0 2

Despejando par el nivel, H,

Capítulo 7. Estática de fluidos

354

G. Chacón V.

 6 L  m  cos   2 H   sen     mT  C 2   w 

13

Diagrama del volumen de control 

ATMÓSFERA h0

Sustituyendo valores

 65m 3000  H  3  998,2 kg/m  3 m

h

2000  cos 60 º  2  kg  sen 60 º   2  

L

CP

13



F

B

FLUIDO

El nivel del agua (para el desagüe) es:

H  2,7 m

w

A

7.16

Respuesta 7.17 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

 Ejemplo 7.17. Compuerta superior (tapa)



La siguiente figura describe el sistema que representa una compuerta, de acero, que está colocada y articulada a 1 m de profundidad y tiene 2 m de ancho y ¼" de espesor Calcule la fuerza necesaria, en el punto libre, para mantener cerrada la compuerta.

-

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema Equilibro térmico del sistema La fuerza ejercida por la placa (peso) está en su cetroide.

Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,

Datos conocidos: h : nivel del líquido en la represa, a la salida del agua h0 : nivel del líquido sobre A  : densidad del agua (a 20 C) w : ancho de la compuerta L : largo de la compuerta : espesor de la compuerta  : ángulo entre compuerta y el piso mC : masa de la compuerta C : densidad del material de la compuerta

¿? 1m 998,2 kg/m3 2m 2m 0,00635 m 30 º ¿? 7830 kg/m3

L    F    g  w  L  h0   sen   2   Sustituyendo valores

 F  998,2

m kg 9,80665 2 2 m  3 s m 2 1 kN s 2   2 m 1  sen 30 º  m  2  1000 kg m

La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared es:

 F  59 kN Fenómenos de Trasporte

355

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

7.17 356

G. Chacón V.

Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen, A:   0, Ec. 7.16,

 CP

El vertedor tipo compuerta, que se esquematiza en la figura, está articulado A y forma una presa que mantiene retenida el agua con una profundidad h, con los datos de la figura, calcule la profundidad que se necesita para permitir su salida.

h  L  13 L2  sen   0 h0  12 L  sen  1 2

Sustituyendo valores

 CP 

1 m  2 m  13 2 m  sen 30 º  1,1 m 1 m  12 2 m  sen 30 º 2

1 2



Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A:   0,

 M

A

Ejemplo 7.18. Fuerza de un fluido sobre una pared plana

Respuesta 7.18 Diagrama del volumen de control

=0

    M CPfluido  M Bexterno  M PesoPlaca  0

ATMÓSFERA xC



F   CP  FB  L  mC  g  cos   L 2  0

CP

CP

m  g  cos FB  F   C L 2

A

h F

Sustituyendo valores

1,1 m  2m kg m 7830 3 2 m  2 m  0,00635 m  9,80665 2  cos 30 m s 2 2  1000 kg m kN s

FLUIDO

FB  59 kN



La fuerza en el punto de apoyo, B, es: 7.17

b

Datos conocidos:

M : masa de la placa por unidad de ancho  : ángulo entre placa y el piso  : densidad del agua (a 20 C) a : b :

Fenómenos de Trasporte

357

G. Chacón V.

a

B

L : largo de la placa w : ancho de la placa xC : centro de fuerza de la placa

FB  32,63 kN  0,845 kN

FB  32 kN

w

Capítulo 7. Estática de fluidos

¿? ¿? 4,5 m 70 kg/mancho 60 º 998,2 kg/m3 1,8 m 3,0 m

358

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

y+

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema El peso de la compuerta se desprecia Centro de fuerza de la placa conocido.

F +

 F   gw

h sen 

L

Para el caso





Balance de momentos (par de fuerzas) con respecto a A, en la rótula.



M

A

       M Fluido  M Compuerta  0  r  F  d C  M  g

Los momentos en z

rx  F y  ry  Fx  d Cx  W  0 Fenómenos de Trasporte

359

L-CP

a

w

 b L-CPcos

 b  L   CP  cos   F  cos    a  L   CP sen  F  sen   xC  W  0

h.

h0  12 L f  sen 

2 h 3 sen 

Fx

Sustituyendo los valores de F, L y de CP, en términos de

h0  L f  13  L2f sen 

 CP 

A

Con ayuda del diagrama anterior, se sustituyen las distancias y las componentes de la fuerza.

Centro de fuerzas sobre la pared, con respecto al origen,

CP 

Fy F

L-CPsen

  0: A, Ec. 7.16,

1 2

MA

B

y h0  0

h2 2  sen 

xC

h

h  h  sen    sen   2  sen  

 F   gw

W

CP

L    F    g  w  L f  h0  f sen   2  

Lf 

=0 x+



Fuerza del fluido sobre la pared, Ec. 7.13,

Para el caso, con

PATM

  h  2 h   b     cos      sen  3 sen    2   h cos       g  w 2  sen   

   h  2 h    sen       a       sen  3 sen     h2    g  w sen    xC  M  g  0  2  sen    Simplificando

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

360

G. Chacón V.

 cos  h  cos   2    g  w  h 2      b 2  sen  3  sen   

Diagrama del sistema

h    g  w  h2  a   xC  M  g  0  3  2

C



P

Despejando para h,

 2 2  xC M h    w 



Sustituyendo valores numéricos

 3m h   tan 60 º  1,8 m  3  sen 60 º 2 

Datos conocidos:

 2 2  4,5 m kg h  70  kg m  998,2 3 m

0,4444  h 3  0,067 9 5  h 2 m  0,6311 m 3  0 La profundad que se necesita para permitir su salida es:

Nota:

a



 b h   tan   a  3  sen  2 

h  1,1 m

L

(1,18 m)

7.18

se redondea hacia abajo por seguridad.

Subíndices: P : barra de madera C : pieza de material b : fuerza boyante a : distancia desde nivel del líquido al apoyo en la barra  : ángulo entre la barra y el cuerpo LP : largo de la barra AP : área de la barra  : densidad del agua (a 20 C)

0,3 m ¿? 3m 0,002 m2 998,2 kg/m3 27 kg 0,025 m3

mC : masa del cuerpo VC : volumen del cuerpo Respuesta 7.19

 Ejemplo 7.19.

Cuerpo suspendido



En la figura siguiente se muestra un trozo de material, con una masa de 27 kg y un volumen de 25 L. El cual está sumergido en agua y colgado en el extremo de una barra de madera, que lo une a la pared, a una altura de 0,30 m partir del nivel del líquido. La barra es de 3 m de largo y de 20 cm2 de área transversal con una masa de 15 kg. Determine el ángulo de equilibrio del sistema.

Fenómenos de Trasporte

361

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Fluido estático La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema Equilibro térmico del sistema La fuerza ejercida por la barra (peso WP) está en su centroide.

Capítulo 7. Estática de fluidos

362

G. Chacón V.

Balance de momentos en (0,0)

Simplificando

mC    VC  L    AP L

2

½L+

ATMÓSFERA



L

½L

Despejando 

a

FbP





FbC

El valor del ángulo queda

L-

a L sen    2  m C  2    VC  m P  1     AP  L  

WC

 

 r F  0 Con las variables del sistema

 L  cos eˆ

x

L    sen  eˆ   F eˆ   L    cos  eˆx   y bP y 2 2   L  L    cos  eˆx  sen  eˆ y   WP eˆ y  0 2  2 

2

0,3 m 3m sen   kg   3  2  27 kg  2  998,2 m 3 0,025 m  1,5 kg  1   kg   998,2 3 0,002 m 2  3 m m  

  arcsen 0,3873 

Efectuando los productos

bP



Sustituyendo valores

 L  sen  eˆ y  WC  FbC eˆ y 

WC  FbC  L  cos  eˆz  L    cos eˆ F

 2  1 a     L2   mC    VC  mP  L  sen  2     AP  

WP

 FLUIDO



 2 L  mP  0 2 2

z

 WP

L cos eˆz  0 2

El ángulo de la barra en el equilibrio es:

  23 

7.19

En términos de la masa

mC g    VC g  L  cos  eˆz   L    A  g  L    cos eˆ P

2

mP  g

Fenómenos de Trasporte

363

z



L cos  eˆz  0 2 G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

364

G. Chacón V.

 Ejemplo 7.20.



Sistema neumático

Para el sistema mostrado en la figura, encuentre el mayor nivel del líquido, para el cual la compuerta, articulada en A, girará en dirección contraria a las mane-cillas del reloj, considerando la fricción despreciable, si el área transversal de la compuerta es: a) rectangular b) triangular, con la base en la articulación c) semicircular.

Respuesta 7.20 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Fluido estático - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - Equilibro de las fuerzas del sistema - El peso de la compuerta se desprecia - Centro de fuerza de la placa conocido. La presión dentro del fluido en reposo, Ec. 7.2,

Diagrama del volumen de control a



P  g z La fuerza ejercida sobre una superficie, Ec. 7.4,

h0 H

A

w

AIRE Fg

F

a El momento en un punto se expresa como

Pg

A AGUA

  F   P  d A



     M   r  dF    r  P  d A A

L a



El balance de momentos en A, para el caso,

h0  H  L



M zA      g H  L    w d      Pg  w d  L

L

0

0

Datos conocidos: L : alto de la compuerta a : ancho de la compuerta Pg : presión del aire

1m 1m 30 kPaman

H : nivel del agua en EL depósito

 : densidad del agua (a 20 C)

Fenómenos de Trasporte

365

¿? 998,2 kg/m3

G. Chacón V.

a) Caso de la compuerta rectangular

w  a  constante M zA      g H  L    a d      Pg  a d  L

L

0

Capítulo 7. Estática de fluidos

0

366

G. Chacón V.

Integrando

Integrando

 L L 0    g  a  H  L   2 3  2

3

 L   Pg  a 2 

2

Despejando H

H

Pg

g



L 3



 L2 L3 L4  0    g  H  L  L  L  H  L     2 3 4   L2 L3  Pg  L    2 3 Despejando H

H

Sustituyendo valores numéricos

H 

30 kPA man 1000 Pa 1 m  m kPA man kg 3 998,2 3 9,80665 2 m s

g



L 2

Sustituyendo valores numéricos

H 

La altura para empezar a girar es:

H  3,4 m

Pg

7.20 a)

30 kPA man 1000 Pa 1 m  m kPA man kg 2 998,2 3 9,80665 2 m s

La altura para empezar a girar es:

H  3,6 m

7.20 b)

b) Caso de la compuerta triangular

L  L  1 w a

c) Caso de la compuerta semicircular

a  D  2  L  constante

w  L 

1

M zA      g H  L   L    d   0



L 0

  Pg L    d 

1

 4  2  2 w    sen       1  2  D   w  a  constante

Arreglando

M zA    g 

L 0

H  L  L  L  H  L  2   3 d  

   P L    d 

Fenómenos de Trasporte

g

367

L

L

M zA      g  H  L    w d      Pg  w d  0

L

0

 4  2  2 sen     1  2  D  

D   cos   2

L

0

Arreglando y simplificando

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

368

G. Chacón V.

1

M zA

 4  2  2     g  H    g  L  Pg      1  2  d  0 D   L

1 2

 4      g   3  1  2  d 0 D    L

M zA

2

2

   g  H    g  D 2  P  D2  g

  g

D 2 0

5

La altura para empezar a girar es:

H  3, 6 m

7.20 c)

 D2    2  d 2 2 

2  

 2 D 2 3  D2    2   2  d  0 D 2 

7.7 Movimiento estable para un fluido en reposo relativo (cuerpo rígido) con aceleración rectilínea

Integrando con la ayuda de un manual de integrales

 Ejemplo 7.21. Tanque cisterna en movimiento

2     g  H    g  D 2  Pg   1  D  4     arcsen 1  D  8  2   5 3   2 2 2 2  1  D   2 1  D   D   2     g             D  5  2   3  2   2         g  H    g  D 2  Pg        g  D 4 64  D 120 5 Pg   D 8 D H    2 g  15    0

Despejando H

Respuesta 7.21 Diagrama del volumen de control y+

ATMÓSFERA

PATM

F + (xP, zP) D

h 



Se tiene un tanque, de 4 pies de diámetro por 25 pies de largo, que transporta kerosén. Determine el porcentaje de llenado (cuando el tanque está quieto) para que la altura del fluido alcance el diámetro del tanque con una aceleración, máxima, de 1 m/s2.

z+

Pg

D D5 H     g 2 15   P a a5 H g     g 2 15  

30 kPA man 1000 Pa 1 m 1 m  H   kg m 2 15   998,2 3 9,80665 2 kPA man m s

z=0

L

x=0

Sustituyendo valores numéricos Fenómenos de Trasporte

369

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

370

G. Chacón V.

PP  Patm  0    a  x P    g h  z P 

Datos conocidos: a = ax: :aceleración en la dirección del movimiento (x) h : altura del fluido en el tanque D : diámetro del tanque L : largo del tanque H2O : densidad del agua (a 60 F)  : densidad del kerosén 41,4 ºAPI

1 m/s2 ¿? 1,22 m 7,62 m 999,012 kg/m3 817 kg/m3

Despejando la altura

zP h 

a xP g

El fluido tiene un perfil lineal, cuando el sistema se traslada con aceleración constante. Para el valor promedio, altura en reposo,

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control inercial: las partículas del fluido se mantiene en reposo relativo, como las de un cuerpo rígido. - Aceleración del vehículo, a, constante - La presión aumenta a partir del nivel - La densidad del fluido es constante y conocida - La presión no varía con el ancho, y. La presión dentro del fluido para el volumen de control inercial, Ec. 7.2 y Ec. 7.3

P  g z

P    ax    a x

La presión total, es

dP 

P P dx dz   a dx    gd z x z

Integrando, esta ecuación diferencial, con la condiciones de contorno: a x0 y

zh

entonces

P  Patm

P  Patm    a  x    g h  z  El perfil de fluido (xP, zP), es cuando la presión es igual a la atmosférica. Fenómenos de Trasporte

371

G. Chacón V.

z En Reposo  z 

 a 1 L 1 L  h  x P  dx P  z x d P P   0 0 L L  g 

 z  h 

a L g 2



Nota: el valor corresponde a xP  L2

Cuando la altura sea igual al diámetro h  D,

 z  D 

a L g 2

Sustituyendo valores

1 m s2  z  1,22 m  7,62 m 9,8066 m s 2 La altura del fluido, dentro del tanque en reposo es:

 z  0,44 m

7.21

Que corresponde al 36 % de diámetro

z  36 % D

Capítulo 7. Estática de fluidos

7.21

372

G. Chacón V.

Ejemplo 7.22. Fluido en un recipiente que gira

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Un fluido con densidad y viscosidad constantes, llena parcialmente un recipiente cilíndrico, vertical, el cual gira alrededor de su eje con velocidad angular constante. Determine la forma de la superficie libre, en el estado estacionario.

El sistema se describe mejor en coordenadas cilíndricas, en lugar que utilizar la ecuación 2.10, se utilizan las desarrolladas en el cuadro 27; con las siguientes consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Volumen de control inercial: las partículas del fluido se mantiene en reposo relativo, como las de un

cuerpo rígido Respuesta 7.22

-

Diagrama del volumen de control ATMÓSFERA PATM r+

 v

ρ 0 t

F + (rP, zP)

La presión aumenta a partir del nivel La densidad del fluido es constante y conocida La presión no varía con el ancho, r Velocidad del tanque (paredes),  , constante y masa constante.

t

0

- El fluido solo gira, no se desplaza

z+

vr  0

-

r=0

vz  0

P  0 , por simetría. r θ

- Se desprecian las pérdidas de fricción con z, (L).

 2 vθ  2 0 z

h

Balance de masa, total,

z=0 D

  ρ  vθ  0 rθ Con densidad constante

Datos conocidos:

 : velocidad angular del recipiente h : altura del fluido en el centro del tanque (r = 0) D : diámetro del tanque L : alto del tanque  : densidad del fluido Fenómenos de Trasporte

373

 vθ  0 r θ

rad/s m m m kg/m3 G. Chacón V.

Ecuaciones de Navier-Stokes (Correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con  y  constantes)

Capítulo 7. Estática de fluidos

374

G. Chacón V.

vθ    r

Componente r:

 vθ 2 ρ   r

 P  2 v θ    r  ρ  g r  μ   r r θ   0   

Lo que indica que los elementos del fluido se mueven como los elementos de un cuerpo rígido.

Componente θ:

La presión dentro del fluido para el volumen de control inercial, es.

 v  P ρ   vθ θ    ρ  gθ  r θ  r θ     1  r  vθ    2vθ  2vθ   μ   0 2 2  z 2   r  r r  r θ

dP 

Aplicando el balance de masa y las componentes de la aceleración de la gravedad. 2

Componente θ:

μ

Componente z:

P  ρg z

I

  1  r  vθ   0 r  r r 

v P  ρ θ  ρ  2  r r r

La presión total, es

P  ρg z  0 z

P v ρ θ r r

2

P  ρg z

Componente z:

Componente r:



II

III

P P dr  d z  ρ  2  r d r    g d z r z

Integrando, esta ecuación diferencial, con la condiciones de contorno: a

r0

zh

y

P  Patm

ρ  2 2  r    g h  z  2

P  Patm 

El perfil de fluido (rP, zP), es cuando la presión es igual a la atmosférica.

PP  Patm  0 

ρ  2 2 rP    g h  z p  2

Resolviendo la ecuación II

Despejando la altura

C r  vθ  1 r 2  C2 2

zp 

Cuando r  0 entonces C 2  0

entonces

2 2 g

rP2  h

7.22

El fluido tiene un perfil parabólico, cuando el sistema gira con velocidad angular constante.

Por el principio de no deslizamiento

r  D2, v  vPared  D  2 Cuando entonces C1  2   , con lo que,

Fenómenos de Trasporte

375

G. Chacón V.

Capítulo 7. Estática de fluidos

376

G. Chacón V.

Capítulo 8 TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUIDOS EN REPOSO

La densidad, para cálculos de la Ingeniería, se puede aproximar como una variación lineal con la temperatura

 P       1   AM T  T  g  y 

8.1 INTRODUCCIÓN El propósito de este capítulo, es formular un modelo para la evaluación (o estimación) del coeficiente de película o de transferencia de calor h, de la relación de enfriamiento de Newton, para el caso de fluidos en reposo global; para efectuar los cálculos de procesos en la Ingeniería, en forma general. El modelo pretende describir el fenómeno de convección libre.



Seno del Fluido

y Fluido

8.2

CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Difusión de calor con advección

Interfase

Cuando un fluido está en reposo, pero sometido a una diferencia de temperatura entre la interfase o pared, Ts, y el seno del fluido o medio, T, se produce transferencia de calor entre la interfase y el medio por difusión (pura) de energía, térmica, o calor; además, se manifiesta una advección (movimiento, arrastre) de partículas (masa) que afecta la transferencia de energía por difusión. La diferencia de temperatura provoca un gradiente de densidad en la masa, que origina una fuerza de flotación debida al campo gravitacional. Lo que genera un empuje, por el movimiento de masa, en la misma dirección que la transferencia de energía por difusión, modificándola.

 P        g  y 

377

Ts

q

s

1        T  P

Pared

T

Nota: Se debe distinguir entre el mezclado, que consiste en colocar las partículas en contacto por fuerzas mecánicas, y la difusión, debido al potencial térmico (Ts  T).

8.3 MODELO PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL, A PARTIR DE UNA PLACA VERTICAL Considérese una “gran” masa de un fluido en reposo, global, con una temperatura en el seno del fluido o medio T, la cual está en contacto con una pared “caliente”, a Ts, en posición vertical.

La presión en el seno de un fluido, P

Fenómenos de Trasporte

T

 

El fluido cercano a la pared vertical, comienza a moverse lentamente en la parte inferior y el movimiento se hace más rápido a medida que avanza, hacia la parte superior. G. Chacón V.

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

378

G. Chacón V.

Como consecuencia, el perfil de temperatura, con la profundidad y, aumenta su pendiente con el incremento de la altura, x.

4-

Las corrientes de reposición son despreciables

5-

El fluido asciende en la proximidad de la pared debido a las fuerzas de flotación

 P       1   AM T  T  g  x 

x vx

6-

TS

La variación de la densidad y su efecto en el flujo de masa es despreciable

    v    v x  vy 0 x y T

7-

TS

La componente horizontal de la velocidad influye poco en el movimiento

v y

vx

y 8-

T



v y x

Parámetros termofísicos constantes

k  Cte. , CV  Cte. y   Cte.

TS

9-

La difusión de calor en la dirección x es despreciable

T 0 x

vx T

10- Los efectos cinéticos y potenciales y de fricción (irreversibilidad) en el balance de energía se desprecian y no hay generación de calor

y

   v        v  g ,  v    v   v  ,   t     ˆ :   v , v    ˆ ,     G

Condiciones del modelo 1-



Fluido (global) en reposo



v x T   0,  0, 0 t t t 2-

La distancia en la dirección de z es muy grande

3-

Flujo bidireccional

v x  v x  x, y  ; v y  v y  x, y  Fenómenos de Trasporte

P 0 y

0 y

379

G. Chacón V.









Las ecuaciones de variación, con ayuda del cuadro 26 y para las condiciones del modelo citadas, son:

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

380

G. Chacón V.

Masa total (C. M.:1, 2, 3, 4 y 7)

Números adimensionales

   v x     v y  0  y x

El sistema de ecuaciones diferenciales se “resuelven” por el método de reducción con variables adimensionales ,análisis dimensional, como las siguientes

Cantidad de movimiento, en la dirección x total (C. M.:1, 2, 3, 4, 6 y 8)



  vx 

  2v vx v  P  2v   v y x      g x    2x  2x   0 x y  x y   x

  2vx   v v    2     vx x  v y x     g   T  T   0 y   x  y 

  2T  2T  k  2  2 y  x

   P     vx  CV  T    x      P   vy  CV  T    0 y  

No. de Prandtl

CP  T  CV  T 

P



  T  T    T  T   T  T      C P v x  vy k   0 2 x y    y  La transferencia de calor, global, se evalúa en la pared



 0

 T  T  dx y y 0

381

Difusivida d mecánica Difusivida d térmica

Fuerza boyante  Fuerza inercial

 g  2  3 

Dif . térmica convectiva Difusivida d térmica

 h

No. de Nusselt

Nu 

No. de Rayleigh

  CP  3 Gr  Pr    g   Ts  T  k 

x 

(Entalpía)

2

k

k   CP  C  Pr   P  k Gr     Ts  T 



k

Cambio de variables

Desplazando la temperatura en T y como

Fenómenos de Trasporte

Difusividad térmica

No. de Grashof

Energía, térmica

q

Difusividad    mecánica 

x



   CP 1   y     g   Ts  T  k     



14

y  Gr  Pr 

14



T  T Ts  T 12

    CP   1  x     vx    Gr  Pr     g   Ts  T    k 

G. Chacón V.

y

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

382

12

  vx 

G. Chacón V.

14

3    vy 1      CP   y      vy  14 Gr  Pr      g   Ts  T   k  

Simplificando y con la definición de coeficiente de transferencia de calor o película, h de la Ley de enfriamiento de Newton,

k Masa total



  x    y  0   y  x

Ts  T Gr  Pr 1 4 0  

1   x    2 x    y x     0 x 2 Pr   x  y   y

C

   2  x  y 0 2  x  y  x

Nu 

Condiciones de contorno

k



q

k



 0

vx  vy  0 x  y  0

y

vx  vy  0 x  y  0

x

vx  vy  0 x  y  0

T  Ts 1 entonces

T  T 0 T  T 0

 T  T  dx y y 0

 T 1

0

s

 T

14  Gr  Pr     

Fenómenos de Trasporte



1 0

    y

d x  y 0

 h k

 C Gr  Pr 

14

(8.1)

El valor teórico para la placa

Sustituyendo los cambios en la transferencia de calor,

q

y

El modelo para el coeficiente de película o de transferencia de calor es

Energía, térmica

cuando

 y

 d x  h Ts  T   0

La integral definida es un valor numérico, que se denomina C

Cantidad de movimiento, en la dirección x total

y0

1

 y

383

Horizontal vy  0 C  0,458 Lorenz Vertical

(1880)

C  0,508 Schmidt y Beckman (1930)

El modelo se generaliza como

Nu  A  C Gr  Pr 

n

(8.2)

En el cuadro 34 se muestran algunos de los valores típicos para esta relación.

  d x  y 0

G. Chacón V.

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

384

G. Chacón V.

8,4

EJERCICIOS

Sustituyendo y despejando la temperatura de la pared,

Ts  T f 

Ejemplo 8.1. Conducto horizontal Una tubería de acero galvanizado No. 12” Ced. 120, que está colocada horizontalmente en una planta, cuya temperatura ambiente es de 28 C, produce una pérdida de energía de 1,5 kW/m de tubo. Evalúe la temperatura en la pared externa del conducto.

Ts  301 K 

Datos conocidos:

1500 W/m h    0,324 m 

Como no se conoce la temperatura en la pared, el primer intento se hace con

h  10 W/m 2 K

Ts  301 K 

T

Relación de la transferencia de calor



1473,2 W/m 2  448 K 2 10 W/m K

Ts  T f 2

448  301 K  375 K 2



Datos para el aire a 375 K:

Área lateral de conducto

g22  Pr : número de Prandtl k : conductividad térmica

As    D  L Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la pared.

Fenómenos de Trasporte

1473,66 W/m 2 h

La temperatura media o de película

Respuesta 8.1

Q  h  As Ts  T f



Con los valores dados

Ts  301 K  D : diámetro externo del conducto No. 12” Ced. 120 0,324 m Ts : temperatura en la pared externa del sólido ¿? 301 K Tf : temperatura en el seno del fluido Tf  T Q : flujo de calor entre el conducto y el medio 1,5 kW/m

Q L h   D

385

G. Chacón V.

4,854107 1/m3 K 0,6937 0,03186 W/m K

Número de Rayleigh

Gr  Pr    g Gr  Pr  4,854 E 7

2 T  T f D3  Pr 2 s

448  301K  m3 K 0,324 m 3 0,6937  1,69  108 1

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

386

G. Chacón V.

Número de Nusselt

Nu 

Realizando otra iteración para mejorar la aproximación

hD 14  0,53 Gr  Pr  k

Ts  301 K 

Sustituyendo valores y despejando para h

h





T

8 14

0,53 1,69  10 0,03186 W/m K 0,324 m h  5,9 W/m K

g22  3,14107 1/m3 K Pr  0,688 k  0,0346 W/m K

Continuado con la recurrencia

Número de Rayleigh

1473,66 W/m 2  549 K 5,9 W/m 2 K T

Gr  Pr  3,14 E 7

549  301 K  425 K 2



g22  2,791107 1/m3 K Pr  0,6866 k  0,03539 W/m K



14

0,53 1,66  108 0,0346 W/m K h 0,324 m h  6,42 W/m 2 K

Número de Rayleigh

Gr  Pr  2,791 E 7

527  301 K  m3 K 0,324 m 3 0,688  1,66  10 8 1

Número de Nusselt

Datos para el aire a 425 K:

1 3



Con lo que

549  301K 

m K 0,324 m 3 0,6866  1,62  108

Número de Nusselt



527  301 K  4 14 K 2

Datos para el aire a 414 K:

2

Ts  301 K 

1473,66 W/m 2  527 K 2 6,53 W/m K

Ts  301 K 

1473,66 W/m 2  531 K 6,42 W/m 2 K Ts  257 C

8.1

388

G. Chacón V.



14

0,53 1,62  10 8 0,03539 W/m K h 0,324 m h  6,53 W/m 2 K Fenómenos de Trasporte

387

G. Chacón V.

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

Ejemplo 8.2. Fórmulas para aire

Y se usa la relación para el aire

Una tubería de acero galvanizado No. 12” Ced. 120, que está colocada horizontalmente en una planta, cuya temperatura ambiente es de 28 C, produce una pérdida de energía de 1,5 kW/m de tubo. Evalúe la temperatura en la pared externa del conducto. (es el mismo caso anterior, Ej. 8.1). Datos conocidos: D : diámetro externo del conducto No. 12” Ced. 120 0,324 m Ts : temperatura en la pared externa del sólido ¿? 301 K Tf : temperatura en el seno del fluido Tf  T Q : flujo de calor entre el conducto y el medio 1,5 kW/m Respuesta 8.2

14

  

NOTA: h en W/m2 K o W/m2 C y

Ts  Tf en K o C

Sustituyendo, h, en la relación del flujo de calor, 45   Q L Ts    Tf 34  1,32    D 



Sustituyendo valores

  1500 W/m Ts   34  1,32   0,324 m  

45

 301

Ts  520 K  247 C

Relación de la transferencia de calor

Q  h  As Ts  T f

 T  Tf h  1,32  s  D

8.2

 Comprobación del número de Rayleigh

Área lateral de conducto

T

As    D  L

520  301 K  4 11 K 2

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Datos para el aire a 411 K:

- Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la pared.

g22  3,29107 1/m3 K Pr  0,688

Sustituyendo y despejando la temperatura de la pared,

Q L Ts  T f  h   D



Número de Rayleigh

Gr  Pr  3,29 E 7

1 m3 K

520  301K 0,324 m 3 0,688

Gr  Pr  1,69  10 8

Como primer intento se supone

Gr  Pr  10 9 Fenómenos de Trasporte

389

G. Chacón V.

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

390

G. Chacón V.

El coeficiente de película es

La temperatura media o de película

14

 520  301  h  1,32    0,324 

T

h  6,7 W/m 2 K





Una pared (placa) vertical dentro de un tanque, con un ancho de 2 m, se usa para calentar un aceite mineral que tiene una temperatura inicial de 20 C. La placa trasmite 2,5 kW y la temperatura de la pared es 150 C. Calcule la altura, necesaria, de la placa, para aprovechar todo el flujo de calor.



2

150  20 C  85 C 2

Datos para el aceite a 85 C:

   Ejemplo 8.3. pared vertical

Ts  T f

: : k : Pr :  :

849,0 kg/m3 3,110-5 m2/s 0,14 W/m K 4,1102 7,010-4 1/K

densidad viscosidad cinemática conductividad térmica número de Prandtl

Número de Rayleigh

Gr  Pr    g Gr  Pr  7,0 E  4

1

2

T

s

 T f  L3  Pr

m 1 9,80665 2  s K 2

s   1 150  20C  L3  4,1E 2  2  3 , 1 E 5 m   

Datos conocidos: L W Ts Tf Q

: : : : :

alto, vertical, de la placa ancho de la placa temperatura de la placa temperatura en el seno del fluido Tf  T flujo de calor entre la placa y el medio

¿? 2m 150 C 20 C 10 kW

Gr  Pr  3,8  1011  L3 /m 3 Número de Nusselt

Nu  Respuesta 8.3

Sustituyendo valores y despejando para h

Relación de la transferencia de calor

Q  h  As Ts  T f





0,10 3,78  1011  L3 h L

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la pared. Fenómenos de Trasporte

391

hL 13  0,10 Gr  Pr  k

G. Chacón V.



13

1 W 1 kW 0,14 m m K 1000 W

h  101,5 W/m 2 K

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

392

G. Chacón V.

El flujo de calor

Respuesta 8.4

W Q  101,5 2 2 m  L 150  20 C  2,5 kW m K

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Convección libre - Radiación despreciable (forma parte del valor de h) - La temperatura es homogénea a lo largo de la pared - Se desprecia el flujo de calor por el espesor.

Despejando el largo y haciendo los cálculos

L  0,09476 m La altura de la placa calentadora es

L  0,1 m

8.3

La temperatura media o de película

T

Ts  T f 2



115  15 C  65 C 2

Datos para el agua a 65 C:  Ejemplo 8.4. Placa caliente



Una placa de cobre de 20 mm de ancho por 3 m de largo y 2 mm de espesor, se sumerge en un tanque con agua en reposo a 15  1 C. La placa se utiliza como calentador (por los dos lados) con una temperatura de 115  5 C. Determine el flujo de calor, del sistema, si la placa está colocada en forma: a) horizontal b) vertical

Datos conocidos: a L Ts Tf Q

: : : : :

ancho de la placa largo de la placa temperatura de la placa temperatura en el seno del fluido Tf  T flujo de calor entre la placa el agua

0,02 m 3, m 115 C 15 C ¿?



: CP :  : k : Pr :  :

980,5 kg/m3 4,18710-3 J/kg K 4,3710-4 kg/m s 0,660 W/m K

densidad capacidad calorífica viscosidad conductividad térmica número de Prandtl

5,510-4 1/K

Número de Rayleigh

2  Ts  T f  3  Pr 2   2  CP  Ts  T f  3 Gr  Pr    g  k

Gr  Pr    g

2

1 m kg  1 ms Gr  Pr  5,5 E  4 9,807 2  980,5 3  K s  m  4,37 E  4 kg 1 mC J 115  15C  3 4,187 E 3 0,660 W kg K Gr  Pr  7,5  10 12   3 /m 3

Fenómenos de Trasporte

393

G. Chacón V.

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

394



G. Chacón V.

a) Caso de la placa horizontal



b) Caso de la placa vertical

  L  3m

2 A La 3 m  0,02 m   P L  a 3 m  0,02 m

Número de Rayleigh

  0,0199 m  0,02 m  a

Gr  Pr  7,5  1012 3 /m 3 3

Número de Rayleigh

Gr  Pr  2,0  1014

Gr  Pr  7,5  1012 0,02  /m 3 3

Gr  Pr  5,9  10

Número de Nusselt

7

Nu 

Número de Nusselt

Nu ar 

har   14  0,54 Gr  Pr  k

La transferencia de calor

Q  2  h  a  L Ts  T f 

h  14  0,27 Gr  Pr  Nu ab  ab k

L 13 Q  2  0,10 Gr  Pr  k  a Ts  T f  L

La transferencia de calor

Q  har  hab  a  L Ts  T f 







14 Q  0,54  0,27  5,9  10 7 W 0,02 m 1 kW 0,660 3 m 115  15 C m K 0,02 m 1000 W

Fenómenos de Trasporte

El flujo de calor para la placa vertical es

Q  16 kW

8.4 b)

La diferencia entre ambos casos es de 9%.

El flujo de calor para la placa horizontal es

Q  14 kW



13 Q  2  0,10 2,0  1014 1 kW W 0,02 m 115  15 C 0,660 1000 W mK

a 14 Q  0,54  0,27 Gr  Pr  k L Ts  T f 



hL 13  0,10 Gr  Pr  k

8.4 a)

395

G. Chacón V.

Capítulo 8 Trans. calor en reposo

396

G. Chacón V.

Capítulo 9 TRANSFERENCIA DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, UNIDIMENSIONAL, EN FLUIDOS EN REPOSO 9.1

La presión en el seno de un fluido, P

INTRODUCCIÓN

El propósito de este capítulo, es formular dos modelos para la evaluación (o estimación) de la transferencia de la masa de una sustancia, para el caso de fluidos en reposo global. Los modelos pretenden describir el fenómeno de la convección libre.

9.2

La diferencia de concentración provoca un gradiente de densidad, que origina una fuerza de flotación debida al campo gravitacional. Lo que genera un movimiento de masa, en la misma dirección que la transferencia de masa por difusión, modificándola.

 P        g  y  La densidad, para cálculos de la Ingeniería, se puede aproximar como una variación lineal con la concentración

 P       1   AM C A  C A  g  y 

CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL Difusión de masa con advección

Cuando un fluido está en reposo, pero sometido a una diferencia de concentración entre la interfase, CAi, y el seno del fluido o medio, CA, se produce transferencia de masa, de A, entre la interfase y el medio, por difusión (pura); además, se manifiesta una advección (por movimiento de partículas o masa) de A que afecta la transferencia de masa por difusión.

Seno del Fluido y

  Fase 



1      C A

  P

Interfase CA CAi

NA

CA

Nota: Se debe distinguir entre el mezclado, que consiste en colocar las partículas en contacto por fuerzas mecánicas, y la difusión, debido al potencial (CAs  CA).

9.3 MODELO EN VARIABLES ADIMENSIONALES PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL DE UN FLUJO DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA

En forma similar a la transferencia de calor. En un fluido en reposo, se puede desarrollar un modelo para la transferencia de la masa de una sustancia en una “gran” masa de un fluido en reposo, global, con una concentración en el seno del fluido o medio CA, la cual está en contacto con una interfase, presentándose una concentración, en la interfase, de CAi. Masa total

i Fase 

   v x  0 x

Cantidad de movimiento, en la dirección x total Fenómenos de Trasporte

397

G. Chacón V.

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

398

G. Chacón V.

  2vx   v v      v x x  v y x   2  y   x  y 

 

   AM C A  C A  g  0

9.4 MODELO UNIDIMENSIONAL PARA LA CONVECCIÓN LIBRE O NATURAL DE UN FLUJO DE LA MASA DE UNA SUSTANCIA, EN UNA MEZCLA BINARIA

Balance de masa de la sustancia A Otro modelo para la transferencia de la masa de una sustancia dentro de masa de un fluido en reposo, se obtiene por balance global de masa; considerando el flujo en una dirección y en estado estacionario, ya que la velocidad se puede evaluar con el mismo flujo total.

  2C A  2C A  C A   vx 0  D AB   2 2  x y   x Condiciones de contorno

cuando

y0

vx  vy  0

y

vx  vy  0

x

vx  vy  0

CA  CAi entonces

CA  CA

Condiciones del modelo

CA  CA

1-

Usando los siguientes Números adimensionales, las ecuaciones diferenciales se “resuelven” por el método de reducción con variables adimensionales (análisis dimensional, Difusividad    mecánica  Difusividad másica

D AB

No. de Schmidt

Sc 

No. de Grashof No. de Sherwood



C A  g 

 3  2

  kC

Difusivida d mecánica Difusivida d másica

Fenómenos de Trasporte

C A  0, t

La distancia en la dirección de z es muy grande

3-

Flujo unidireccional

D AB

  kC D AB

 C Gr  Sc 

14

399

4-

(9.1)

G. Chacón V.

vy  0

La variación de la densidad y su efecto en el flujo de masa es despreciable

     v    v x  vy  vz 0 x y z

Fuerza inercial Dif . masa convectiva Difusivida d másica

 0 t

2-

Fuerza boyante 

El modelo para el coeficiente de transferencia de masa es

Sh 

v x  0, t

vx  0 ;

D AB Gr     C Ai 

Sh 

Fluido (global) en reposo

5-

Difusividad constante

D AB  Cte. y D AB  D BA 6-

La difusión de la masa de A en las direcciones x y y son despreciables

C A 0 y

C A  0, x Capítulo 9 Trans. masa en reposo

400

G. Chacón V.

Definiciones de la concentración, para líquidos

xA 

C B , LM

1           C            M  AM 2  M  CA 2  M  CA1  C A1  C A 2 x A1  x A 2  ; x B , LM    M  AM  C A1   1  x A1  ln  ln    1  x A 2    M  AM  C A 2 

Sustituyendo esta ecuación y la ley de Fick

CA ; C

N A   D AB

C A N A  N B  C A  Constante z C

Separando variables e integrando C A2

 N C A1

 C  DAB C A   z 0 A  N B C A  C  N A

Para gases ideales

C A PA ;  C P PA1  PA 2

yA 

PB , LM 

 P  PA1  ln    P  PA 2 

;

P R T y  y A2  A1  1  y A1  ln   1  y A 2 

C y B , LM

9.4.1

Modelo para el flujo binario, en general

Con las condiciones del modelo y

N z  N Az  N Bz  N A  N B  0 Integrando

  N  N B C A 2  N A  C  C  DAB ln  A  N A  N B   N A  N B C A1  N A  C 

La ecuación de variación, con ayuda del cuadro 26 y para las condiciones del modelo citadas, son:

Multiplicando en ambos lados por NA y arreglando. Masa total

 v z  0 z vz  constante

NA 

NA NA  NB

 C  D AB   

C   NA  A2   C   NA  NB  (9.2)  ln C A1    NA N N  C  B  A 

Balance de masa de la sustancia A

 J Az   z

Para líquidos

C A  0   vz z 

Integrando, con v z  constante ,

J Az  vz  C A  N Az  N A  Constante El flujo total de masa, N, se expresa, en términos de la densidad molar (total de la mezcla) como

N  N A  N B  vz  C Fenómenos de Trasporte

401

G. Chacón V.

 NA   N  N  xA2  N A  DAB     B  NA     ln  A  N N A  N B     M  AM  A  x A1   N A  N B  C A2   NA   N  N B  M AM  N A  D AB      NA      ln  A N A  N B     M  AM  N A  C A1   N A  N B  M AM  Capítulo 9 Trans. masa en reposo

402

G. Chacón V.

9.4.3

Para gases ideales

 NA   y A2   NA  D AB   P   N A  N B  NA     ln N A  NB    R T   N A   N  N  y A1  B  A  P   NA  A2   N A  DAB   P  N  NB P  NA   ln  A   N P NA  NB    R T   A  A1   N A  N B P 

Modelo para el flujo en contra difusión molecular

Con las condiciones del modelo y

N z  N Az  N Bz  N A  N B  0 Partiendo de la ecuación

N A   D AB

C A N A  N B  CA z C

N A   D AB

C A  Constante z

Separando variables e integrado 9.4.2

Modelo para el flujo binario con B no difundente



C A2 C A1

Con las condiciones del modelo y

N Bz  N B  0 con lo que

NA 1 NA  NB

Para líquidos

 D AB N A      x B , LM

       x A1  x A 2   k x x A1  x A 2   M  AM 

 D AB N A      C B , LM

      C A1  C A 2   k L C A1  C A 2   M  AM 

Para gases ideales

 D AB N A      y B , LM

 P        R  T  y A1  y A 2  k y y A1  y A 2 

 D AB N A      PB ,LM

 P     R  T  PA1  PA 2   kG PA1  PA 2  

Fenómenos de Trasporte

403

G. Chacón V.

 DAB C A   z 0 NA

Realizando la operación integral

D  N A   AB  C A1  C A 2   kC C A1  C A 2    

(9.3)

Para líquidos

 D    N A   AB     x A1  x A 2   k x  x A1  x A 2      M  AM D  N A   AB  C A1  C A 2   k L C A1  C A 2     Para gases ideales

D N A   AB  

 P     y A1  y A 2   k y  y A1  y A 2   R T 

 D  1  N A   AB    PA1  PA 2   kG PA1  PA 2      R T  Capítulo 9 Trans. masa en reposo

404

G. Chacón V.

9.5

EJERCICIOS

Ejemplo 9.1. Difusión con reacción instantánea En un catalizador en forma de malla sólida, se degrada (“craked”) amoniaco, mediante la reacción 2 NH3  N2  3 H2 En un lugar del aparato, donde la presión es de 1 atm. abs. y la temperatura es de 200 C, el análisis químico en el seno de gas es de 33,33 % de NH3, 16,67 % de N2 y 50,00 % de H2, por volumen. Estime el flujo local de amoniaco, suponiendo, que la masa se difunde a través de una capa de un milímetro.

 T0/AI DTo

1,468 1,209

T  T/AI DT DAI PT

2,370 1,016 5,954

Fórmula para ponderar la difusividad de la mezcla

DAP  P 

yB 

Datos conocidos

A B C P

yA : 1/3 f.m yB : 1/6 f.m yC : 1/2 f.m.

DAP  P T I / AI/ T0 DAI PTo

Fenómenos de Trasporte

K K

A NH3 558,3

K N/s

32

  DTo      DT 

B N2 71,4 199,7

0,25 0,75  5,954 20,784

 12,808 N/s

 NA   y A2   N A  D AP P   N A  N P  NA    ln N   N A  NP    R T  A  N  N  y A1  P  A 



C H2 59,7 182,6

293 K 2,441 8,600 405

1

12  0,75 1 6 1 2

Flujo de masa de amoniaco, A

Difusividad (DAP) Corrección por temperatura

T   DAP  P To    T0 

y C 

Respuesta 9.1

2A  B3C4P

Reacción química

1  yB yC  DAB  P DAC  P

16  0,25 1 6 1 2 D AP  P 

Composición en el fluido (en 1)

: NH3 amoniaco : N2 nitrógeno : H2 hidrógeno : productos

473 K 2,592 0,9888 20,784

Difusividad de la mezcla

El fenómeno consiste en que, el amoniaco se difunde desde el seno del fluido hacia la superficie catalítica y los productos de la reacción en sentido contrario.

Nomenclatura

N/s

1,606 1,165

G. Chacón V.

El flujo total en reposo

4  N A  2  NP  0

Con lo que

N P  2  N A

y

NA NA   1 NA  NP NA  2 NA

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

406

G. Chacón V.

Sustituyendo valores

12,808 N/s 1    1 0   N A   1  ln   0,001 m  8,3145 J/mol K 473,15 K    1  1 3  Con lo que el flujo de masa del amoniaco, por difusión es

N A  0,94 mol NH 3 m s 2

9.1

M  x A  M A  xB  M B

Evalúe el flujo de cloruro de sodio que se difunde a través de una capa de 1 mm de agua estancada a 18 C. Las concentraciones en cada lado de la capa son 20 % y 10 %, respectivamente.

D   D  0 AS T

0 As To

Nomenclatura : NaCl cloruro de sodio, : H2O agua, solvente,

MA MB

58,45 18,02



()

0,2 kgA/kg kmolA/kmol 0,07154 20.909 kgA/kmol 1148,7 kg/m3 54,94 kmol/m3 3 3,9305 kmolA/m m3/s 1,4310-9

A

A M A M A  B M B

Fenómenos de Trasporte



Respuesta 9.2 Flujo de masa de la sal, A

 1,12 E  9 m 2 /s  55,1 kmol/m 3   1  0,07154   ln N A    1E  3 m    1  0,03311  1 E 6 mmol kmol

0,1 0,03311 19,355 1071,4 55,36 1,8330 1,2910-9

Prom.

1110 55,1

Con lo que el flujo de masa de la sal, por difusión es

1,3610-9

 N A  2,5 mmolsal m 2 s

Interpolación lineal, tomado del Perry y del Welty

xA 

m  8,93 E  4   998,6  291      s 2  10,57 E  4   997,0  298 

Sustituyendo valores

Composiciones y difusividad()

C CA DAS

  STo   ST  T        ST   STo  T0 

 1  xA2   D C   N A   AS  ln    AM  1  x A1 

Datos conocidos





M

0 DAS  1,12  10 9 m 2 /s

Ejemplo 9.2. Difusión en líquidos

xA M



Corrección por temperatura

0 DAS  1,36E  9

A B

C

407

CA  xA  C

 N A  0,15 g sal m 2 s

9.2



G. Chacón V.

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

408

G. Chacón V.

 Ejemplo 9.3. difusión de CO



Respuesta 9.3 Flujo de masa de CO, A , Ec.9.2

Se difunde monóxido de carbono a través de una capa de 1,5 mm de oxígeno en reposo a 500 K y 1 MPa, con un flujo de 0,5 kg de CO/m2 ks. Si en un lado de la capa se tiene 5 % de CO en volumen, determine la concentración al otro lado de la capa.

 NA   y A2   N A  D AB P   N A  N B  NA    ln NA  NA  NB    R T    N  N  y A1  B  A  Oxígeno no difundente

Datos conocidos Nomenclatura A : CO monóxido de carbono A  91,7; MA  28,010 B  106,7; MB  31,999 B : O2 oxígeno Difusividad (DAB)

DAP  P T T

K

DAB PT  T/AB DT

N/s

DAB P500K

N/s

  DTo      DT 

723

500

1,87 2,761 0,9709

10,1 7,311 0,7836

5,054 0,8404

5,35

5,41

409

 P   1  y A 2     ln  R  T   1  y A1  D AB  P    y A1  y A 2   y B , LM  R  T 

D N A   AB      

   R T   y A 2  1  1  y A1 exp N A DAB  P   

273

Difusividad del CO en el oxígeno

Fenómenos de Trasporte

32

NB  0

Despejando la concentración yA2

Corrección por temperatura Se cuenta con dos datos, y se interpola

T   DAP  P To    T0 





Sustituyendo valores

 kg 1000 molA y A 2  1  1  0,05exp 0,5 3 A  m 1000 s 28,010 kg A  0,0015 m J  8,314 500 K  5,38 N/s mol K  La concentración de monóxido de carbono es

D AB  P  5,38 N/s 

G. Chacón V.

y A 2  0,03 f.m.  3% en volumen

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

410

9.3

G. Chacón V.

 Ejemplo 9.4 Celda de Arnold



La celda de Arnold es un instrumento para la medición de la difusión másica de un vapor en un gas en reposo. Consiste en un tubo tipo chimenea, en cuyo fondo está el líquido, del vapor que se desea medir, y su nivel se mantiene constante. El vapor se difunde a través del gas, de la otra sustancia, dentro del tubo. Por la boca del tubo fluye dicho gas en forma perpendicular, dispersando y arrastrando la mezcla.

Para una experiencia que utiliza un sistema formado por un tubo de 100 mm de longitud con un diámetro interno de 20 mm, en el que se dosifica el líquido por medio de una microbureta de 5 mm de diámetro externo, de tal forma que su nivel se mantiene constante, en el depósito. Evalúe la difusividad para el etanol en el aire. En la medición se consumen 1,56 mL de etanol (líquido) en 60 horas, mientras la temperatura se mantiene en 24  0,1 C y la presión en 90  0,05 kPa.

Aire Respuesta 9.4 A

Nomenclatura A : etanol



B : aire

Datos para el etanol a 24 C: MA : peso molecular T : temperatura

Líquido

 P

0

46,069 297

K

: densidad 785,9 (805,0) kg/m3 : presión de saturación o vapor 7,13 (7,43) kPa

 : A :

altura del tubo área del tubo



0,100 m 2,945104 m2



A   0,02 2  0,005 2 4

Datos del aparato: Flujo del etanol, A, por difusión, Ec. 9.2, para B no difundente, Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Convección libre Aire, B, no difundente La difusividad es constante a lo largo del tubo Se desprecia la concentración en la salida.

Fenómenos de Trasporte

411

G. Chacón V.

 D   P   1  PA P  N A   AB    ln      R  T   1  PA0 P 

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

412

G. Chacón V.



Flujo de masa (por difusión) del etanol A.

1 m 3 785,9 kg 1 N A  1,56 mL 1 E 6 mL m 3 60 h 1 h 1000 mol 1 1000 mmol 2 3600 s 46,069 kg 2 ,945 E  4 m mol N A  0,418 mmol A m 2 s



Despejando para la difusividad del etanol, A, en el aire, B.

D AB  P 

D AB  P 

N A   R T  1  PA P   ln   1  PA0 P 

Ejemplo 9.5



Celda de Arnold modificada

La celda de Arnold modificada es un conducto, en que se permite variar las fronteras del sistema, para no tener que reponer el líquido que se difunde como vapor. Un sistema está formado por un tubo de 150 mm de longitud y de 20 mm diámetro interno. Si el sistema es etanol y se difunde en aire, que se encuentra a 297 K y 90 kPa, DAB P  1,25 m2 Pa/s, y el nivel del etanol es de 10 mm a partir de la boca del conducto evalúe la posición del nivel del líquido al cabo de 60 horas y la masa difundida.

 Respuesta 9.5 Datos conocidos

4,183 E  4 mol/m s  0,100 m  8,31451 J/mol K  297 ,15 K  1  0,0   ln   1  7,13 90  2

Nomenclatura A : etanol

B : aire

Datos para el etanol a 24 C: La difusividad del etanol en aire es

D AB  P  1,25 N/s

a 297 K

9.4

MA : peso molecular T : temperatura

46,069 297

K



785,9 (805,0) 7,13 (7,43) 0,150 0,020

kg/m3 kPa m m

: P : L : D : 0

densidad presión de saturación o vapor altura del tubo diámetro del tubo

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Fenómenos de Trasporte

413

G. Chacón V.

Convección libre Aire, B, no difundente Área del conducto constante La difusividad es constante a lo largo del tubo Se desprecia la concentración en la salida Temperatura y presión constantes.

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

414

G. Chacón V.

 A dA L  z 

Aire z0 zz0

dt

MA

 NA  A

Comparando los dos flujos

 A d L  z 

zz

MA

dt

 D  P   AB    z  R T

  1  PA P   ln    1  PA0 P 

Arreglando y separando variables Líquido

 M   D  P   1  PA P   d t z d z    A   AB  ln   A   R  T   1  PA0 P 

zL

Integrando con las condición de contorno

t0

z  z0  0,01 m

 M   D  P   1  PA P   t  z0 2 z 2  2  A   AB  ln   A   R  T   1  PA0 P  Flujo del etanol, A, por difusión, Ec. 9.2, para B no difundente,

 D  P   1  PA P   N A   AB   ln  z  R  T   1  PA0 P  Gasto de la masa (difundida) líquida en el recipiente, Ec 2.6.

d C AV VC   C Ae  v e  Ae   C As  v s  As  dt entrada salida  k C AAC C Aw  C Af     R A VVc

Sustituyendo los valores

z2  2

46.069 kg/1000 mol 1,25 N/s   3 785,9 kg/m 8,3145 J/mol K  297.2 K  1  0,0  3600 s 2  60 h ln  0,01 m  1h  1  7,13 90 

z 2  0,001157 m 2 El nivel del líquido a partir de la boca es

z  0,034 m  34 mm

9.5

Masa (volumen) transferida El alcohol está, aproximadamente, puro, por lo que, con

CA  C   A M A

d V   A M A   kC AAC C Aw  C Af    N A  A dt

   0, 02 m   0, 034  0, 010  m 1E 6 mL V  A  z  4 m3 2

V  7,6 mL

9.5

Con la geometría del sistema

Fenómenos de Trasporte

415

G. Chacón V.

Capítulo 9 Trans. masa en reposo

416

G. Chacón V.

Capítulo 10 TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE FASES

10.1

COEFICIENTES LOCALES O INDIVIDUALES DE TRANSFERENCIA DE MASA

El propósito de este capítulo, es formular un modelo para la evaluación de los coeficientes transferencia de masa, para cuando se transfiere la masa de una sustancia A, de una fase a otra. Aunque la teoría se desarrolla para las fases líquido– gas, se puede generalizar para otros tipos de fases.

xA : concentración de la sustancia A en fracción molar, f. m. en la fase líquida kmolA/ kmol yA : concentración de la sustancia A en fracción molar, f. m. en la fase gaseosa kmolA/ kmol CA : concentración de la sustancia A kmolA/ m3 PA : presión parcial de la sustancia A kPa variable k : coeficiente local de trans. de masa de A Índices G : se refiere al seno del gas L : se refiere al seno del líquido i : se refiere a la interfase * : se refiere al equilibrio de la sustancia de una fase con la correspondiente en el seno de la otra fase

CA *  PAG mL

El flujo de masa, de la sustancia A, está regido por la diferencia de concentración dentro del seno del fluido, entre la correspondiente al seno del fluido y la de la interfase.

Interfase Líquido

Gas

PA *  mL  CAL

yA *  mL  xAL xA *  yAG mL

Considérese dos fases en contacto e insolubles entre sí, entre las cuales se transfiere una sustancia A, componente de una mezcla.

yAG

Flujo en la fase gaseosa

N A  k y  y AG  y Ai   k G PAG  PAi 

yAi

Flujo en la fase líquida

N A   k x  x AL  x Ai    k L C AL  C Ai 

NA xAi 10.2 xAL

COEFICIENTES GLOBALES O TOTALES DE TRANSFERENCIA DE MASA

Nomenclatura

Como es difícil medir las concentraciones en la interfase, se definen los coeficientes globales en términos de la “fuerza motriz” expresada con base en la concentración de la sustancia dada en el seno de una fase y la del equilibrio correspondiente a la concentración en la otra fase.

NA : Intensidad de flujo de la masa de la sustancia de A entre las fases kmol/m2 s

Para lo cual se requiere de los datos del equilibrio de la sustancia, distribuida en ambas fases.

Fenómenos de Trasporte

417

G. Chacón V.

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

418

G. Chacón V.

Con lo que se obtiene la recta de operación

1 yA

y AG  

yAG

kx  x AL  x A i   y Ai ky

En la interfase se cumple (la curva de equilibrio)

Gas

y Ai  m x  x Ai 1 yA

yA*

(yAG, xAL)

yAG



xA xAL

Líquido

m

1

xA*

Gas

0

kx ky

(yAi, xAi)

Curva del equilibrio líquido vapor. m

con K : coeficiente global de trans. de masa de A

variable

yA*

Flujo en la fase gaseosa

N A  K y  yAG  y A *  K G PAG  PA *

Flujo en la fase líquida

N A   K x  xAL  xA *   K L CAL  CA *

10.3

TEORÍA DE LAS DOS RESISTENCIAS De Lewis y Whitman

0

xA xA* 1

xAL Líquido

Curva del equilibrio líquido vapor y curva de operación de la transferencia entre fases. Relaciones entre los dos tipos de coeficientes de transferencia de masa

El modelo supone que la resistencia en la interfase es despreciable, solo se presentan las resistencias en la fase líquida y en la gaseosa.

Sumando y restando yAi a la diferencia de concentración

Por lo que el balance de masa entre las fases o curva de operación es

y AG  y A *   y AG  y Ai   m   x Ai  x AL 

N A  k y  yAG  yAi   k x xAL  xAi  Fenómenos de Trasporte

419

G. Chacón V.

y AG  y A *   y AG  y Ai    y Ai  y A *

Comparándolos con el flujo de masa, en términos de los coeficientes locales y globales de transferencia de masa Capítulo 10. Trans. masa entre fases

420

G. Chacón V.

1 1 m   K y ky kx

también

1 1 m   K G kG k L

Datos conocidos: Presión parcial del amoniaco sobre soluciones de NH3 en agua.(+)

En forma análoga

1 1 1   K x m  k y k x

también

PA kPa

xA f. m.

1 1 1   K L m  kG k L

Y, otras combinaciones. Relaciones entre las resistencias de una misma fase

1 1 ky kG Resistencia en la fase gaseosa o  1 1 Resistencia total en ambas fases Ky KG

 kg/m3

0,05

6,7

976

0,07

8,7*

968*

0,10 0,15 0,20 0,25

12,6 21,4 34,9 55,9

956 937

0,261*

63,05

0,30 0,35

87,0 131,2

(+)

1

1

kx kL Resistencia en la fase líquida  o 1 1 Resistencia total en ambas fases Kx KL

Nomenclatura A : NH3 amoniaco B : aire f.m. fracción mol de A

10.4 EJERCICIOS Ejemplo 10.1. Absorción de amoniaco Una torre de absorción de pared húmeda, trabaja con una corriente de agua, sobre la pared, y una mezcla de amoniaco y aire, en la parte central, manteniendo una temperatura de 25 C y la presión en 97 kPa. El gasto es tal que el coeficiente de transferencia local en el líquido es de 3,110-5 kmol/m2 s kmol/m3 y en el gas de 9,510-4 kmol/m2 s fracción mol. En cierto nivel de la torre la concentración de amoniaco en el aire es de 0,65 f. m. de NH3 y la de la fase líquida de 0,07 f.m. de NH3. Evalúe la transferencia de masa, del amoniaco, entre las fases y su concentración en la interfase. Fenómenos de Trasporte

Se tomaron del Perry, interpolando: la densidad en forma cuadrática y la presión con el modelo de Van Hoff * Interpolado.

421

G. Chacón V.

yAG : composición en la fase gaseosa 0,65 f.m. PAG : presión parcial de NH3 63 kPa ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa 9,5104 kmolA/m2 s f.m. xAL : composición en la fase líquida 0,07 f.m. kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida 3,1105 m/s Respuesta 10.1 Difusión de amoniaco, A, usando los datos conocidos:

N A  k y  yAG  yAi  

ky P

PAG  PAi 

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

422

G. Chacón V.

N A   k L C AL  CAi    k L  C xAL  xAi 

 P  PA1    xAi  xA1   PA1 PAi   A 2  xA 2  xA1 

Resolviendo para xAi

ky P

 34,9  21,4  PAi     xAi  0,15  21,4  0,20  0,15 

PAG  PAi    k L  C xAL  xAi 

PAi  270 xAi  0,15   21,4 

Con lo que

PAG



k  PAi    L C  P xAL  xAi  ky

La recta de operación es

kL C  P  xAL  xAi   PAG ky



Evaluando, numéricamente,

M  x A  M A  1  x A  M B

100

Presión parcial, kPa

PAi 

(0,07; 63) (xAi; PAi)

50

M  0,07  17,031  0,93  18,015  17,946 kL 3,1 E  5 m/s CP   ky 9,5 E  4 kmol A /m 2 s f.m.

0 0,0

kL C  P  170 ,7 kPa ky

0,3

0,4

Preparando es sistema de ecuaciones, para su resolución 

PAi  170,7  x Ai  75,0 PAi  270 ,0  x Ai  19,1

Sustituyendo valores

PAi  170 ,7 0,07  xAi   63,05

PAi  38,5

x Ai  0,21

El flujo de masa de A, local, en el punto indicado es

Primer ensayo

N A  k y  yAG  yAi 

x Ai  (0,261  0,07 ) / 2  0,17 Interpolando en la curva de equilibrio líquido vapor, en la zona de trabajo, como si fuese lineal.

Fenómenos de Trasporte

0,2

Concentración en la solución, f. m.

968 kg/m 3 97 kPa 17 ,946 kg/kmol



0,1

423

G. Chacón V.

NA 

9,5 E  4 kmol A  38.5   0 ,65   f.m. 2 97  m s f.m. 

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

424

G. Chacón V.

N A  2 ,4  10 4 kmol A /m 2 s

Datos conocidos:

Comprobando

N A   k L  C  x AL  x Ai 

N A  3,1E  5

m 968 kg/m 3 0,07  0,21 f.m. s 17,946 kg/kmol

Respuesta 10.2

N A  2 ,4  10 4 kmol A /m 2 s Con lo que el flujo de masa del amoniaco, por difusión es

N A  0,24 mol NH3 m 2 s

yAG : composición en la fase gaseosa 0,45 f.m. xAL : composición en la fase líquida 0,90 f.m. ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa 3 molA/m2 s f.m. Proporción de la resistencia en la fase gaseosa 0,70

10.1

Difusión de A

N A  k y  yAG  yAi   K y  yAG  yA * N A   k x  xAL  xAi    K x xAL  xA * Equilibrio de fases

yA *  mA  xAL Ejemplo 10.2. Difusión entre fases, coeficiente de distribución constante

Resistencias en la fase gaseosa

1 ky 1 Ky

Para un sistema líquido gas, en el cual se transfiere una sustancia A, desde un líquido hacia el gas en contacto con él, la relación de equilibrio de fases, se representa adecuadamente por

y Ai  0,75  x Ai

 0,7

Sustituyendo valores numéricos

K y  0,7  k y El flujo de masa

En un punto dado del aparato, el líquido contiene 90 por ciento molar de A y el gas posee una concentración de 45 por ciento molar de A. El coeficiente individual de transferencia de masa en el gas, en dicho punto, tiene un valor de 3 molA/(m2 s f.m.A) y el 70% de la resistencia global a la transferencia de masa se encuentra en la fase gaseosa. Evalúe el flujo molar de A y las composiciones en la interfase.

N A  K y  yAG  mA  xAL  N A  0,7  3

mol A 0,45  0,75  0,9 f.m.A m s f.m.A 2

El flujo de masa de A, por difusión es

 N A  0 ,47 mol A /m 2 s Fenómenos de Trasporte

425

G. Chacón V.

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

426

10.2 G. Chacón V.

ky : coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida

Las concentraciones en la interfase, de lado del gas

y Ai  

NA  y AG ky

P°A : presión de vapor del benceno P°B : presión de vapor del tolueno

0,47 mol A /m 2 s  0,45 f.m.A yAi  3 mol A /m 2 s f.m.A y Ai  0,61 f.m. A

10.2

En la fase líquida

x Ai 

yAG : composición del benceno en la fase gaseosa xAL : composición del benceno en la fase líquida

124,4 kPa 48,90 kPa 0,50 f.m. 0,20 f.m.

NA : Flujo de benceno entre las fases 70 mmolA/m2 s Proporción de la resistencia en la fase gaseosa 0,60

y Ai 0 ,61 f.m. A  mA 0,75

Respuesta 10.3

x Ai  0,81 f.m. A

10.2

Difusión de benceno, A, usando los datos conocidos:

N A  k y  yAG  yAi   K y  yAG  yA *  Ejemplo 10.3 separación de benceno



En una torre para la separación de benceno del tolueno, que trabaja a una temperatura de 360 K, y en un punto de ella la fase gaseosa contiene 50 por ciento molar de benceno y el líquido, en contacto, tiene una concentración de 20 por ciento molar de benceno, el flujo de masa entre las fases es de 70 mmolde benceno/m2 s. Si se considera que el 60 % de la resistencia se encuentra en la fase gaseosa y los calores molares latentes del benceno y del tolueno son iguales, determine las concentraciones en la interfase.

N A   k x  xAL  xAi    K x  xAL  xA * Equilibrio de fases, considerando - Solución líquida ideal

A 30,0 MJ/kmol  B 34,3 MJ/kmol

- Gases perfectos (ideales)

y Ai  m A  x Ai 

P A x Ai P

P  P A  xAL  P B  x BL Resistencias en la fase gaseosa

Datos conocidos:

1 ky

Nomenclatura

1 Ky

A : benceno B : tolueno f.m. fracción mol de A

Fenómenos de Trasporte

mA 

427

G. Chacón V.



Ky ky

 0,6

P A 124 ,4  P 124 ,4  0,2  48,9 1  0,2 

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

428

G. Chacón V.

m A  1,94

presión de 15 kPaman. El coeficiente local de transferencia de masa en la fase líquida, del amoniaco en el agua, se estima en 2,110-6 (kmol/s m2)/(kmol/m3) y se considera que la fase gaseosa posee el 80% de la resistencia total a la transferencia de masa . Evalúe la transferencia de masa local y determine las concentraciones en la interfase.

El flujo de masa

N A  k y  y AG  y Ai   K y  y AG  m A  x A * Resolviendo para yAi,

y Ai  y AG 

Ky ky

 y AG  m A  x AL 

Datos y Nomenclatura:

y Ai  0,5 f.m.  0,6 0,5  1,94  0,2  f.m. y Ai  0,43 f.m. A

10.3

A : amoniaco CA : concentración de A en el líquido, kmolA/m3 PA : presión parcial de A en el vapor, kPa Equilibrio líquido vapor:

PAequ  P  y Aequ  f  C Aequ     x Aequ 

En la fase líquida

x Ai 

Sistema agua, aire, amoniaco a 288 K

y Ai 0 ,43 f.m.  mA 1,94

x Ai  0,22 f.m. A

10.2

Nota: No se preguntan los coeficientes de transferencia de masa, pero se pueden calcular k y  1,0 mol A /m 2 s f.m. A

k x  3,0 mol A /m 2 s f.m.A

 Ejemplo 10.4 extracción de amoniaco

429

kmolA/kmol kmolA/kmol 3

kmolA/m kPa



kg/m

M C

kmol/m3

3

kmol/kg

0 0,05 0,1 0 0,04019 0,07767 0 879,6 1721,4 0 4,14 8 999,1 979,2 960,8 17,97 17,92 17592 17214



G. Chacón V.

: coeficiente de transferencia de masa local en la fase gaseosa kL : coeficiente de transferencia de masa local en la fase líquida f(xA) : relación de equilibrio de fases kG

PAG : composición de amoniaco en la fase gaseosa CAL : composición del amoniaco en la fase líquida

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

430

Tabulado Calculado Calculado Tabulado Tabulado Calculado Calculado

2,17 Pa m2/s 1,7710-9 m2/s

Difusividad del amoniaco: en aire en agua líquida

Se requiere extraer amoniaco de una solución acuosa, que desciende dentro de una torre de pared húmeda, absorbiéndolo en una corriente de aire, que fluye por la parte central en contracorriente. En cierto nivel de la torre, la concentración de amoníaco es de 4 kmol/m3 en el líquido y la presión parcial de amoniaco en el aire de 3 kPa. La temperatura en el sistema es de 15 C y la Fenómenos de Trasporte

xA yA CA PA

m/s 2,110-6 m/s cuadro 3

kPa.

4

kmolA/m3

G. Chacón V.

MA : peso o masa molecular del amoniaco MB : peso o masa molecular del agua M



17,031

kmol/kg

18,015

kmol/kg

: peso o masa molecular de la mezcla : densidad de la mezcla

T : temperatura P : presión dentro del sistema Patm : presión atmosférica

388 103 88

kg/m3 K kPa kPa

PAequ  0, 00471

kPa C Aequ 3 kmolA /m

Difusión de amoniaco, A, usando los datos conocidos:

N A  kG  PAG  PAi   KG  PAG  PA * N A   k L  CAL  CAi    K L  CAL  C A * Resistencias en la fase gaseosa

1 ky

Respuesta 10.3

1 Ky



1 kG  P  PAi  K  G  0,8  AG 1 K G kG  PAG  PA *

Muestra del cálculos, para el equilibrio líquido gas

PAi  PAG 

xA  0, 05 M  M A  xAL  M B  (1  xAL ) M  17, 031 0, 05  18, 015  (1  0, 05)  17,9658

C   M C  979, 2

kg kmol 17,9658  17,592 Mmol m 3 3 m kg

CA  xA  C kmolA kmol CA  0, 05 17592 3  880 kmolA m3 kmol m yA 

PA P

yA 

34,14 kPa  0, 04019 103 kPa

PAequ  PAequ C Aequ  CAequ 1 1  equ equ equ equ PA2  PA1 C A2  CA1

Sustituyendo

 kmolA  Pa PAi  3 kPa  0,8  3 kPa  0, 00471 4  3 kmolA /m m3   PAi  0, 62 kPa

C Ai 

10.4

0, 615 Pa kmolA /m3 0, 00471 Pa C Ai  130 kmol A /m 3

N A  2,1  10 6

PAequ  0 CAequ  0  4,14 kPa  0 879, 6 kmolA /m3  0

KG  PAG  PA * kG

10.4

kmol A 103 mol m   4  130, 7   s m3 kmol

N A  0, 26 mol A /m 2 s

10.4

Con lo que Fenómenos de Trasporte

431

G. Chacón V.

Capítulo 10. Trans. masa entre fases

432

G. Chacón V.

Teorema  de Buckingham

Capítulo 11 ANÁLISIS DIMENSIONAL

11.1

METODOLOGÍA

El análisis dimensional, es una técnica que consiste en obtener relaciones entre las variables que afectan un proceso (independientes, causa o perturbadas) sobre una variable de interés (dependiente, efecto o respuesta), por medio de la consistencia entre sus dimensiones. La forma del modelo para la relación (modelo de regresión) se obtiene por conocimientos previos o por intuición y los parámetros de la función propuesta a partir de datos experimentales (ajuste).

Las variables estudiadas quedan expresadas en términos de grupos adimensionales, con otras variables que afectan el proceso. Para lo cual se aplica el Teorema  de Buckingham que se enuncia a continuación y cuya metodología se muestra mediante ejemplos. Si se tiene una variable relacionada por medio de función de varias variables independientes.

y  x1  f x 2 , x3 , x 4  , x n  Con

n : número de variables involucradas en la función (incluyendo la dependiente)

El método es sugerido por los modelos mecanicistas de los procesos, en cuanto que las relaciones obtenidas, permiten acomodarlas en grupos adimensionales. También, por el principio de los criterios de semejanza, que establece que para aplicar una fórmula obtenida para una tamaño dado de un proceso a uno de mayor tamaño o a uno de menor tamaño, escalar, se debe mantener la relación entre las variables de interés: deben corresponder y mantener el mismo valor. Ejemplos de criterios de semejanza Semejanza métrica

geo-

Semejanza cinemática para un flujo bidireccional Semejanza en la potencia para la agitación de un fluido

Fenómenos de Trasporte

dimensiones. Es decir, el orden máximo del determinante que no sea nulo, que se puede encontrar en dicha matriz. i : número de grupos adimensionales independientes, de la ecuación. Entonces se puede formar una ecuación entre i grupos adimensionales

 1    2 ,  3 ,  ,  i 

D D      L 1  L  2  vx   vx      v  v   y 1  y  2

  W    3 5       d 1

m: número de dimensiones primarias, en las n variables r : rango de la matriz formada por la n variables y las m

De tal forma que

i nr

 W  3 5     d

  2

Como regla (tiene excepciones) cuando se emplean solo unidades fundamentales,

rm El primer grupo, i  1 , incluye la variable dependiente (efecto o respuesta)

433

G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

434

G. Chacón V.

Quedan r variables que se repiten, que deben cumplir las siguientes reglas a)

El número de ellas es igual al rango r

b)

No deben tener (entre sí) las mismas dimensiones netas Ejs.: CP y s; DAB y v

c)

No se debe incluir la variable dependiente

d)

Deben incluir, entre los r números, todas las m dimensiones primarias.

Las variables en estudio se definen sobre la base de la experimentación, de criterios y modelos empíricos, técnicos y científicos y de la formulación de modelos mecanicista.

11.2

EJERCICIOS

Ejemplo 11.1. Ecuación diferencial en variables adimensionales

t*  x* 

  g g*  g

 v  t

 x

y* 



y

z* 



z



Sustituyendo en la ecuación diferencial para la cantidad de movimiento







  v  2 v *   v  2     v *  * v *  t *    v  2    v 2   * v *   * P *    g  g*  0 2       v *     v *  * v *   *2 v *  t *  v   g    * P * g*  0  v2





  v *    1   1   v *  * v *   *2 v *  * P *  g*  0 t * Re Fr





11.1

Escriba la ecuación de Navier Stokes), para viscosidad constante, en variables adimensionales. No. de Fraude

Fr 

 v 2 g 

No. de Reynolds

Re 

   v   

Respuesta 11.1 La ecuación de Navier Stokes (Ec. 2.10), para viscosidad constante

        v     v   v    2 v  P    g  0 t



  *   



Se definen los números adimensionales simples

P* 

P  P0   v 2

Fenómenos de Trasporte

 v* 

435

 v v G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

436

G. Chacón V.

k  T  T f   2  * T *     G  2

 Ejemplo 11.2. Ecuación de calor en variables adimensionales 



  v 2      * v * :  * v *  0 2

Escriba la ecuación de energía térmica, para un líquido, en variables adimensionales.



Respuesta 11.2 La ecuación de la energía térmica (Ec. 2.15) para densidad, capacidad calorífica y viscosidad constantes,

  T     v  T   k  2T   t           G   v :   v  v  P  0

  CV 

     CV T  P    C P T

entalpía

Sustituyendo

  CV



   2   * T *        G     C P  v   T  T f     v         v 2  * v * :  * v *  0 C P  T  T f 



T  Tf

t* 

 T  T f x



y* 



 v  t

y

 z* 



z



  v v*  v   *   

No. de Prandtl

Pr 

Nt  No. de Reynolds

Re 

No. de generación

G* 

Sustituyendo en la ecuación diferencial para la cantidad de movimiento

  CV  v   T  T f  T *  t *    CP  v   T  T f    v *  * T *  



Fenómenos de Trasporte

11.2

437

CP CV

Razón de Coeficientes

Se definen los números adimensionales simples

x* 



1 T *   1  2  v *  * T *  * T * Re  Pr  t * 1     G*  * v * :  * v *  0 Re  Nt



   T    CP v  T  k  2T      G  t     v :   v  0

T* 



CV T *   k  v *  * T *  C P t *   CP  v  

CP      k

CP  T  T f   v 2

   v       G

 v  C P  T  T f 



G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

438

G. Chacón V.

Det  1 3 1  10  12  1  1 3 0 2 0   3 3

Ejemplo 11.3. Pérdidas por fricción Formule mediante análisis dimensional, la relación de las pérdidas por ficción en un tramo recto de un conducto de un fluido en movimiento en régimen turbulento, expresado como una potencia, en términos de las variables del proceso. Considere que depende de la velocidad del fluido, la longitud y el diámetro del conducto, del valor de las asperezas del material del conducto y de las propiedades del fluido, su densidad y su viscosidad. Proponga un grupo que contenga la energía cinética del flujo de fluidos.

Por lo tanto el rango de la matriz es

r 3 Grupos adimensionales

i  73 4

W  f v, L, D,  ,  ,  

 v 2     v3  D 2 E c     v   A  2 8

Desarrollar las variables en términos de sus dimensiones primarias, en forma de matriz m\n

W



v

D

L





kg m 2 s3

kg m3

m s

m

m

kg ms

m

kg

1

1

0

0

0

1

0

m

2

-3

1

1

1

-1

1

s

-3

0

-1

0

0

-1

0

iii )



En este caso particular, se pide que un grupo contenga la energía cinética del flujo

Enlistar las variables

ii )



iv ) Definir las variables que se repiten

Respuesta 11.3 i)

Det  2  0

Evaluar el rango de la matriz

Por prueba y rectificación (las calculadoras automáticas realizan esta operación), se toma el determinante con las tres primeras filas y columnas, pues tienen menos ceros que las otras.

Fenómenos de Trasporte

439

G. Chacón V.

Entonces se escogen como variables que se repiten

 , v, D v)

Obtener los grupos adimensionales Primer grupo adimensional

 1   a v b D c W a

1   kg3   m  m   s  kg: m: s:

b

 kg m 2 m   3  s c

  

a10  3a  b  c  2  0 b30

Capítulo 11 Análisis dimen.

440

G. Chacón V.

Tercer grupo adimensional

Acomodando para resolver el sistema 1 a -3 a 0 a

  

  

0 b 1 b -1 b

0 c 1 c 0 c

  

 3   a vb Dc L

-1 -2 3

1   kg3 

b  -3;

kg: m: s:

c  -2

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

W  Pot   v3  D 2

1 

a0  3a  b  c  1  0 b0

Acomodando para resolver el sistema 1 a -3 a 0 a

(Pot : número de potencia) Segundo grupo adimensional

a

kg: m: s:

b

  

a  0;

m c  kg  ms

b  0;

3 

  

0 b 1 b -1 b

0 c 1 c 0 c

  

-1 1 1

1   kg3 

c  -1

L D

a

m   m   s 

b

m c m 

Por analogía con el caso anterior b  -1;

c  -1

4 

Sustituyendo se obtiene el grupo adimensional

2 

Fenómenos de Trasporte

0 -1 0

 4   a vb Dc 

Resolviendo a  -1;

  

Cuarto grupo adimensional

Acomodando para resolver el sistema   

0 c 1 c 0 c

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

a10  3a  b  c  1  0 b10

1 a -3 a 0 a

  

0 b 1 b -1 b

Resolviendo

 2   a vb Dc 

1   kg3   m  m   s 

b

m c   m  m  m   s 

Resolviendo a  -1;

a

  v  D 441



 D

La potencia en términos de las variables de interés es

1 Re G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

442

G. Chacón V.

ii )

  W L   , ,     3 2  v  D  v  D D D 

11.3

m\n

 1 L   4    v 3 D 2 W L  v 2  fD    , ,   2 vA D 2  Re D D      v  D Comparando esta definición con el resultado, entonces

 1   f D  θ ,   Re D 

iii )

Sobre base semiteórica se obtiene la relación de Colebrook

   

W

kg m s3

Referencia: Las pérdidas de energía se definen en términos del factor de fricción de Darcy

 2,52 1 0,269    2  log10    D fD  Re f D

Desarrollar las variables en términos de sus dimensiones primarias, en forma de matriz 2





D



kg m3

1 s

m

kg ms

kg

1

1

0

0

1

m

2

-3

0

1

-1

s

-3

0

-1

0

-1

Evaluar el rango de la matriz

Se toma el determinante con las tres primeras filas y columnas.

Det  5  0 Por lo tanto el rango de la matriz es

r 3 



Grupos adimensionales Ejemplo 11.4. Potencia en la agitación de un fluido 

Obtenga por medio del análisis dimensional, una relación para la potencia consumida por la agitación de un fluido. Considere que depende del diámetro y la frecuencia de revolución del agitador y de las propiedades del fluido, su densidad y su viscosidad.

i  53  2 iv )



Definir las variables que se repiten

Se escogen como variables que se repiten.

, , D v)

Obtener los grupos adimensionales

Respuesta 11.4 Primer grupo adimensional i)

 1   a  b D c W

Enlistar las variables

W  f  , D ,  ,  

Fenómenos de Trasporte

2  kg   1  c  kg m   1   3    m   3  m  s  s  a

443

G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

b

444

G. Chacón V.

kg: m: s:

a10  3a  c  2  0 b30

 Ejemplo 11.5. Convección libre

Obtenga por medio del análisis dimensional, una relación para el coeficiente de transferencia de calor, para la convección libre o natural. Considere que depende de la longitud de la placa, de la fuerza boyante del fluido y de las propiedades del fluido, su densidad, su viscosidad, su conductividad térmica y su capacidad calorífica.

Resolviendo a  -1;

b  -3;

c  -5

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

1 

W

  3  D 5

 Pot

Respuesta 11.5 i)

Segundo grupo adimensional

Enlistar las variables

h  f L , g  ,  ,  , C P , k 

 2   a  b Dc 

1   kg3 

a

1   m  s

kg: m: s:

b

ii )

m c  kg  ms

Resolviendo b  -1;

c  -2

Sustituyendo se obtiene el grupo adimensional

2 

1   2    D Re

W

       2     D     D  3

5

kg m3

kg ms

CP m2 s2 K

0

1

1

1

0

1

0

1

-2

-3

-1

2

1

s

-3

0

-2

0

-1

-2

-3

K

-1

0

0

0

0

1

-1

h

L

kg s3 K

m

kg

1

m

iii )

La potencia del agitador del un fluido en términos de las variables de interés es

Desarrollar las variables en términos de sus dimensiones primarias, en forma de matriz g  kg m2 s2

m\n

a10 3a  c  1  0 b10

a  -1;



445



k kg m s3 K

Evaluar el rango de la matriz

Se toma el determinante con las cuatro primeras filas y columnas.

Det  2  0 11.4 Por lo tanto el rango de la matriz es

r4 Fenómenos de Trasporte



G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

 446

G. Chacón V.

Grupos adimensionales

i 743 iv )



Definir las variables que se repiten

acd10 ab3cd20 3ad 20 a 0

Resolviendo a  0;

Se escogen, como variables que se repiten.

k , L,  ,  v)

kg: m: s: K:

b  3;

c  1;

d  -2

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

2 

Obtener los grupos adimensionales

g   L3   2

 Gr

Primer grupo adimensional Tercer grupo adimensional

 1  k a Lb  c  d h a

1   kg3 m  m b  kg3 

d

 kg   kg     3  m  ms s K

s K

kg: m: s: K:

c

 3  k a Lb  c  d C P a

c

1   kg3 m  m b  kg3   kg  s K m  ms

acd10 ab3cd 0 3ad 30 a10

kg: m: s: K:

d

 m2   2  s K

acd 0 ab3cd20 3ad 20 a10

Resolviendo a  -1;

b  1;

c  0;

d  0

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

3 

Segundo grupo adimensional

2  k L   b

c

d

 g  

Fenómenos de Trasporte

c

447

c  0;

d  1

CP    Pr k

El coeficiente de transferencia de calor (o de película) en términos de las variables de interés es

 1   kg3 m  m b  kg3   kg   kg 2 2 m  ms m s s K a

b  0;

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

hL  Nu 1  k

a

Resolviendo a  -1;

d

  

G. Chacón V.

 g   L3  C P    hL     , 2 k k   

Capítulo 11 Análisis dimen.

448

11.5

G. Chacón V.

 Ejemplo 11.6

Transferencia de masa de una sustancia 

Por lo tanto el rango de la matriz es

r 3



Grupos adimensionales Desarrolle mediante análisis dimensional, la relación para el coeficiente de transferencia de masa para el flujo de solvente en el secado de piezas recién pintadas, en régimen de flujo laminar. Considere que depende de la velocidad del aire, la longitud perpendicular al flujo de aire y la longitud en la dirección de dicho flujo y la presión del sistema; así como de las propiedades del fluido, su densidad, su viscosidad y su difusividad en el aire. Suponga que no depende de las concentraciones de la superficie ni la del medio y que el proceso es a temperatura constante.

i 83 5 iv )

Definir las variables que se repiten

Se escogen como variables que se repiten.

 , D AB ,  v)

Obtener los grupos adimensionales Primer grupo adimensional

 1   a D AB b  c k C

Respuesta 11.6 i)

1   kg3  m 

Enlistar las variables

k C  f v, L,  ,  ,  , D AB , P  ii )

Desarrollar las variables en términos de sus dimensiones primarias, en forma de matriz m\n

kC





 kg m3

m s

 kg ms

v

m s

m

kg

0

0

1

0

m

1

1

-3

s

-1

0

0

L

DAB 2

P

kg m s2

m

m s

1

0

0

1

1

-1

1

2

-1

-1

-1

0

-1

-2

kg: m: s:

a

 m2     s 

b

m c  m  s

a0 3a  2 b  c  1  0 b10

Resolviendo a  0;

b  -1;

c  1

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

1 

kC    Sh DAB

Segundo grupo adimensional iii )

Evaluar el rango de la matriz

 2   a D AB b  c v

Se toma el determinante con tres filas y columnas en el medio.

Det  1  0

Fenómenos de Trasporte

449

G. Chacón V.

1   kg3  m  Capítulo 11 Análisis dimen.

a

 m2     s 

b

450

m c  m  s G. Chacón V.

kg: m: s:

a0 3a  2 b  c  1  0 b10

kg: m: s:

Resolviendo a  0;

b  -1;

Resolviendo a  0;

c  1

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

2 

DAB

b  0;

c  -1

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

4 

 Re  Sc

 L

Tercer grupo adimensional

Quinto grupo adimensional

 3   a D AB b  c 

 5   a D AB b  c P

1   kg3  m  kg: m: s:

 v

a0 3a  2 b  c  1  0 b 0

a

 m2     s 

b

1   kg3  m 

m   kg  ms c

kg: m: s:

a  1 0 3a  2 b  c  1  0 b1 0

a  -1;

b  -1;

c  0

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

3 

 DAB  

Fenómenos de Trasporte

 m2     s 

b

451

kg  2  ms 

m c 

c  2

Sustituyendo se obtiene el número adimensional

 Sc

P  2 2   DAB

El coeficiente de transferencia de masa en términos de las variables de interés es

 4   a D AB b  c L a

b

b  -2;

5 

Cuarto grupo adimensional

1   kg3  m 

 m2    s  

a10 3a  2 b  c  1  0 b20

Resolviendo a  -1;

Resolviendo

a

  v kC     P  2    , , ,   2  DAB D D  L  D   AB AB   AB

m  m  c

G. Chacón V.

Capítulo 11 Análisis dimen.

452

11.6

G. Chacón V.

Capítulo 12

- Se presenta una subcapa laminar, entre el sólido y el seno del flujo del fluido en régimen turbulento. Si el flujo del fluido es laminar, toda la capa límite es laminar.

FLUJO EXTERNO DE LOS FLUIDOS

- A partir de cierta distancia, , perpendicular a la placa, los efectos pierden significación y las propiedades se mantienen constantes, la fricción, yx, es despreciable.

12.1 DEFINICIÓN DE CAPA LÍMITE Considérese un flujo, de un fluido, sobre una superficie sólida, cuyo movimiento se encuentra en estado estacionario, es decir la velocidad no cambia con el tiempo, sólo con la posición. y

Gradiente de velocidad v=v T=T CA=CA corriente libre

vx d vx dy

 capa

12.2

ANALOGÍAS ENTRE LOS FENÓMENOS DE TRANSPORTE

En la capa límite de un fluido se observa que los fenómenos presentan un mismo mecanismo energético, como se muestra en el cuadro: Momentum

Relaciones globales Calor

Masa de A

 s  C D  v v s  v  / 2

qs  h Ts  T 

N A s  K C C A s  C A  

límite

s qs NAs

x v=vs T=Ts CA=CAs

- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si la pared está en reposo, relativo, vs = vw = 0

Para y  0 : vx = vs = vw ; T = Ts = TW ; CA = CAs= CAW

- La magnitud de la velocidad aumenta, a partir de la pared, desde 0, hasta un valor dado por las características del flujo y del fluido. Por lo cual, debe existir un gradiente de velocidad, ejercido por un esfuerzo retardador, de arrastre o de fricción, yx. El esfuerzo decrece a medida que la velocidad aumenta. En forma análoga se manifiesta el cambio de temperatura con el flujo de calor y de la concentración de una sustancia A, componente de una mezcla, con la difusión de masa. - En la capa límite se manifiestan los efectos más importantes de energía molecular (cantidad de movimiento, potencial térmico y potencial químico).

Fenómenos de Trasporte

Para y   : vx = v = vf ; T = T = Tf ; CA = CA= CAf

453

G. Chacón V.

Relaciones suponiendo difusión “pura”

 s  

d v  v s  d y y 0

qs   k

d T  Ts  dy y 0

N A s   DAB

d C A  C As  dy y 0

Relaciones empíricas entre espesores de capa límite   V    C Sc1 3    T Pr 1 3 Comparando los dos criterios C D  v  2

d v  v s  d y y 0

v  v s  V

h  k Pr 1 / 3

d T  Ts  dy y 0

T  Ts 

d C A  C A, s  kC   D AB Sc 1 / 3

C

dy A,

y 0

 C A, s 

C

T

Aproximando los perfiles (de v, T, o CA) como lineales

CD Nu Sh   13 2 Re  Pr Re  Sc1 3 Reynolds Prandtl

Capítulo 12 Flujo externo.

454

(12.1)

Chilton Colburn

G. Chacón V.

12.3 MODELO PARA EL FLUJO, DESARROLLADO, EN RÉGIMEN LAMINAR, SOBRE UNA PLACA PLANA (Pared húmeda) Sea una película de líquido de espesor  que desciende por una placa inclinada, con un ángulo  (con la horizontal) y libremente (forzado sólo por la gravedad).

y

 Fx

x Ancho  B

yx

vx, T, CA g sen 

Con las siguientes consideraciones adicionales:

Largo, L

- Flujo del fluido en estado estacionario, para la cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A.

g



- Flujo del fluido en régimen laminar - Masa, fluida, como un continuo y homogénea

Balance de masa, total

 v x  0 x

- Fluido newtoniano (cumple la Ley de Newton en régimen laminar) - Geometría perfecta y espesor, , constante

Balance de cantidad de movimiento

- Las condiciones no cambian en la dirección z , perpendicular al plano del flujo (al plano del papel) - Variación despreciable de los parámetros (, , k y DAB) con la temperatura y la posición (flujo incompresible) - El fluido sólo se desplaza en la dirección x . La velocidad y la variación del esfuerzo en otras direcciones es despreciable, v y  0 y v z  0 - Efectos de contacto entre fases, regido por el principio de masa continua o no deslizamiento Interfase líquido sólido vx y =0  0 yxy =W  0 Interfase líquido gas - No hay generación de calor ni reacción química - La difusión de calor y de la masa de A, son despreciables en la dirección x , comparada con las debidas al movimiento del fluido en esa dirección. Fenómenos de Trasporte

455

G. Chacón V.

vx

 vx   2 vx      g  sen    0 x y 2

Despreciables

Balance de energía térmica





  v2 2    v x    2 T   T    vx      gx   k  CP 2 y x  y   x  Balance de la masa de la sustancia A  C A   2 C A  vx  D AB x y 2

2

Resolviendo las ecuaciones, con las condiciones de contorno:

Para y  0 vx = 0 Para y   yx = 0 vx = vMAX

Perfil de velocidad

T = Ts T = T

2     2  g  sen    1  y   y         vx       2      

Capítulo 12 Flujo externo.

456

CA = CAs CA = CA (12.2)

G. Chacón V.

La velocidad promedio

Perfil de temperatura

    g  sen  2  v MAX 3  3 2

 v x 

(12.3)

Flujo de masa por unidad de ancho sobre una pared plana

  2   3  g  sen   m        v x     3  B  

(12.4)

 3        2    g  sen  

Número de Reynolds para el flujo sobre una pared plana

Re  4

L

0

   v x   4     

(12.6)

L  v  B d x      x  B d x y 0 0  y  y  0

L

Fs   C Dx

  vx  2

0

2

B d x  CD  AAC

   2 x  C A  C As DAB  (12.9)   Cn exp  2n 2 3    vx  C A  C As n 1  

Números adimensionales

 CP     k    Schmidt: Sc  D AB   D AB Prandtl:

Pr 

  vx  2 2

Fs       g  sen   B d x    g  sen     B  L 0

Coeficiente de fricción o arrastre para la capa en régimen de flujo laminar

CD

2

Coeficiente de arrastre o fricción para la capa en régimen laminar

F   g  sen     B  L  s  AAC BL

CD 

6  24     vx   Re

457

Nu 

   hx Ts  T   y 0

Calor

 T q   k AB   y

Masa de A

 C  N A   DAB  A   k Lx C As  C A   y  y  0

Balances a lo largo de la placa Calor

 v x    w CP   T   δ x  hx Ts   T   w  δ x

(12.7)

Las Ecs. 12.5 y 12.7, se cumplen para Re  210 Fenómenos de Trasporte

h  k kC   Sherwood: Sh  D AB Nusselt:

Flujos en la pared

L

  vx  2

1  5,1213 2  39,318 3  105,64

C1  0,7857 C2  0,1001 C3  0,03599

(12.5)

Fuerza viscosa o de fricción, sobre la pared

Fs    xy

Perfil de concentración de A

Solución de Johnston Pigford (1952)

13

Espesor de la capa en régimen laminar

  2 x k   T  Ts  (12.8)   Cn exp  2n 2 T  Ts 3  v  C     n 1 x P  

5

G. Chacón V.



x



Masa de A

  CA  v x    w  δ x  k Lx C As   C A   w  δ x x

Capítulo 12 Flujo externo.

458

G. Chacón V.

Simplificando y separando variables

d T  hx  dx Ts   T   v x  C P  d  CA  k Lx  dx C As   C A  v x  

Calor Masa de A

Integrando, entre x  0 y x  L con hx  h y kLx  kL, constantes en ese intervalo.

12.4 MODELO DE PRANDTL O “EXACTO” PARA LA CAPA LÍMITE El modelo, parte de las ecuaciones de conservación (cantidad de movimiento, calor y masa de A, respectivamente) como consecuencia de suponer una capa límite muy delgada y un número de Reynolds grande. Con las siguientes consideraciones adicionales. - Flujo bidireccional

Calor  L 2   exp 5,1213    TL  Ts  Nu L 3  Re  Pr       ln   ln    0,7857   T0  Ts  Re  Pr      Masa de A  L 2   exp 5,1213    C AL  C As  Sh L 3  Re  Sc       ln   ln    0,7857   C A 0  C As  Re  Sc     

- A medida que la posición se aleja de la entrada, de la placa, en el sentido y dirección del flujo, la magnitud y forma del perfil de velocidad varía

vx

x

 vx



xδ x

x



xδ x

- Variación despreciable de los parámetros ( , , k y D AB) con la temperatura y la posición (flujo incompresible) - Flujo del fluido en estado estacionario, para la cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A .

  v  0

Con lo que Calor

Nu  3,41  0,241  Re  Pr   L  3,41

Masa de A

Sh  3,41  0,241  Re  Sc   L  3,41

(12.10)

- Flujo del fluido no rotacional (y en estado estacionario), las líneas de corriente y de trayectoria no se cruzan

vx d x  vy d y

(12.11) Se cumple para

Re  100 y L  1

- El esfuerzo cortante está representado por el gradiente de velocidad en la dirección del flujo con respecto la posición perpendicular al mismo

Para valores más grandes de Reynolds Calor Masa de A Se cumple para

Fenómenos de Trasporte

v y v x  y x

     

3  Re  Sc 2  L 100  Re  1200

Sh 

459

(12.12)

- Los efectos de cantidad de movimiento, térmicos y de masa, son equivalentes

    D AB

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

460

G. Chacón V.

v x  vs T  Ts C  C As   A v  v s T  Ts C A  C As

Balance de masa, total

- Los efectos energéticos en la dirección del flujo (x) son despreciables, comparados con los respectivos en la dirección perpendicular (y)

v y

P 0 x  2C A 0 x 2

0 x  2T 0 x 2

 2v  2x  0 x



 2v y y 2

Balance de energía térmica

 T   T   2 T    v y CP k x y y 2 Balance de la cantidad de sustancia A  C A   C A   2 C A  vx  vy  D AB x y y 2 “Solución” mediante análisis dimensional, Blasius (1908)

d v v T  Ts C  C As 2 x s 2 2 A d v  vs T  Ts C A  C As

 hx Ts  T  y 0

Transferencia de masa de A C A N A   DAB  kCx C As  C A  y y  0 - Se considera que la placa está en reposo y 0

 vx   vx   2 vx    vy  x y y 2

Las tres ecuaciones energéticas tienen la misma forma matemática, por lo que se convierten en ecuaciones en variables adimensionales con base en una velocidad adimensional.

Esfuerzo viscoso o de arrastre v v 2  v2  C Dx  s    x y y  0 2

vx

 vx

0

- Los flujos de cantidad de movimiento, calor y masa de una sustancia, se evalúan en la pared

Transferencia de calor T q  k y

Balance de cantidad de movimiento

 vx C P

- Los efectos mecánicos en la dirección perpendicular al flujo (y), no aportan significativamente a las fuerzas viscosas y a la cantidad de movimiento

P 0 y

 v x   v y   0 x y

 vs  0

Como v, T y CA son valores asintóticos cuando y () y considerando que     D AB , la forma sugerida para  , es una variable global así

1v     2  

12

y x

12

1v     2  

12

y x

12

1 v    2  D AB

  

12

y x1 2

Las derivadas de la variable adimensional, 12

  1  v  1      y   32  x 2    2 x  2 x 

Formulación del modelo, Prandtl (1904) Fenómenos de Trasporte

461

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

462

G. Chacón V.

 1  v      y 2    x 

Simplificando, queda

12

vx 

Entonces, la velocidad se define

d3  d2   0  d 3 d 2

v d  2 d

Con las condiciones de frontera

Con lo que v  d      v  d            2  4 x d 2  x   2 d   2  x  12 12 v x  v x     v  d 2   1  v    v   v   d 2              y    y   2 d  2  2    x   4    x  d  2 v x  v x  x  

2

  2    2 v x  2    2 y  y    2  2vx v d 3   y 2 8   x d  3

 2vx 2

 v   x  

2

2

    v  d 3   1  v         y   0   2 d  3  4    x        

y





Integrando 12

1   v  vy    2 x 

12

12

 1   v   d  d2    d 2 d  2  x   d   

Sustituyendo estos resultados en la ecuación diferencial del balance de la cantidad de movimiento. 12

v d  v  d  1    v   d  v          2 2 d 4 x d 2  x   d  4 2

 v      x  Fenómenos de Trasporte

12

463

v d  d    2 8   x d  3 d 2

2 

3

G. Chacón V.

 

 2  2

vx v

0,000 0,529 1,034 1,458 1,752 1,911 1,976 1,995 1,999 2,000 2,000 2,000

1,328 1,310 1,189 0,912 0,557 0,257 0,088 0,022 0,004 0,000 0,000 0,000

0,000 0,265 0,517 0,729 0,876 0,956 0,988 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000

  v x

y 2

0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 5,0

v x v   d 2   4 x d 2 x

v  d2  v  d 2     x  vy    y    4 x d 2  2 v   4 x d 2

(y  0; vx = 0) (y  ; vx = v)

Solución numérica de Howarth (1938) y validación de Nikuradse (1942).

Para la velocidad vy, en el punto y, con el balance de masa

v y

0  (0)= (0) = 0    () = 2

para para

Con la que se obtiene

v

x  0 , 99 v

 2,5

 

  0,99 v   1,98 v x  0 , 99 v

   0   1,328 24  2   0 2

(12.13)

El espesor de la capa límite, , se considera que es la distancia a partir de la placa, en la que la velocidad es 99% de la que corresponde a la corriente libre, vx  0,99 v. De la definición de  Capítulo 12 Flujo externo.

464

G. Chacón V.

 0,99 v

1v     2  



y

12

Coeficiente de fricción para la capa límite del flujo sobre una pared plana

y 

x1 2 12

  x     5,0   v 

(12.14)

C D 0,6641  2 Re 1 2 Re  5 104

Se cumple para Otros modelos Von Kármán

Re < 5 104

Prandtl-Blasius

Re < 5 104

Coeficiente de fricción o arrastre Se evalúa la transferencia de cantidad de movimiento en la pared o interfase.

v  0   x y

 0  C D , x

  v2 2

y 0

v 2  v2 v2  CDx  s   CDx   2 2

v   x y

C D,x 2



v  v  d2        4    x  d  2  0

 0   

   4  v   x 

Re 

(12.15)

v  L

(12.16)



Prandtl-Blasius

C D 1 L C D,x 1 L  0         dx   2 L 0 2 L 0 4  v  x 

Fenómenos de Trasporte

465

0

0,2275 4350 CD   2 , 584 2 Re logRe 

5 106 < Re < 5 109

Coeficiente de transferencia de calor Se parte del principio de analogía de los procesos de transporte

v  vs T  Ts d 2 x 2 v  v s T  Ts d

12

dx

Y, el flujo de calor se evalúa en la pared o interfase

q  k

Efectuando la Integral 12 L

CD 0,037 850   2 Re 1 5 Re

5 105 < Re < 5 107

El coeficiente global de arrastre o fricción

C D 1  0     x   2   2 L 4  v 

0,214 CD  2 logRe   0,4072,64

Schlichting (1960)

12

Número de Reynolds para el flujo sobre una pared plana Número de Reynolds para el flujo sobre una pared plana

C D 0,6465  2 Re 1 2 C D 0,037  2 Re 1 5

Schultz y Grunow

Re < 5 105

12

y 0

(12.17)

1  0     L     L 2  v  

12

G. Chacón V.

q  k

T y

Capítulo 12 Flujo externo.

y 0

T y

 h Ts  T  y 0

1 d 2  d   k T  Ts  2 2 d d y 466

 y 0

G. Chacón V.

1 d2  1  v   k T  Ts  2    2 d 2   x 

12

Coeficiente de transferencia de masa de A

  h x T  Ts 

Se parte del principio de analogía de los procesos de transporte

 0

v  vs C  C As d 2 A 2 x v  v s C A  C As d

Despejado en términos de coeficiente de transferencia de calor, h ,

hx 

 0  v  k  4   x 

12

(12.18)

N A   D AB

El coeficiente global de transferencia de calor

h

1 L 1 L  0   v   hx d x   k   L 0 L 0 4   x 

12

dx

N A   D AB

Efectuando la Integral

1  0  v x h k 2   L 4   

Nu 

12 L

0

k  0   v   L     L 2   

hL 12  0,6641 Re  k

12

(12.19)

Nu 

y 0

C A y

 k C C As  C A  y 0

1 d 2  d   D AB C A  C As  2 2 d d y 12

1 d2  1  v   DAB C A  C As  2     2 d 2    x 

 y 0

  kCx C A  C As   0

Despejado en términos de coeficiente de transferencia de masa de la sustancia A, kC ,

 0  4

 v  D AB      x 

12

(12.21)

El coeficiente global de transferencia de masa

hL 12 13  0,6641 Re  Pr  (12.20) k

Se cumple para

C A y

kC x 

Con la modificación de Pohlhausen (1925) Número de Nusselt para la capa límite del flujo sobre una pared plana

Y, el flujo de masa de A se evalúa en la pared o interfase

Re  5 104

Con la misma modificación, a partir del modelo de Prandtl-Blasius 45  Para Re  5 108 Nu  0,036 Re  Pr    25 calentamiento   13 enfriamiento

1 L 1 L  0   v  kC   kC x d x   D AB    L 0 L 0 4   x 

12

dx

Efectuando la Integral

1  0  v x kC  D AB 2    L 4   

Sh 

12 L

0

D  0   v  L   AB   L 2   

kC  L 12  0,6641 Re  D AB

12

(12.22)

Con la modificación de Chilton y Colburn (1933-34)

Fenómenos de Trasporte

467

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

468

G. Chacón V.

Número de Sherwood para la capa límite del flujo sobre una pared plana

Sh 

kC  L 12 13  0,6641 Re  Sc  (12.23) D AB

Con la misma analogía, a partir del modelo de Prandtl-Blasius Para Re  5 10

8

Sh  0,037 Re 

45

Sc 

para

(12.1)

r  D/2

vr = 0

T = Ts = TW

CA = CAs= CAW

- Para el Punto de estancamiento

para

13

Nota: al comparar las relaciones para los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento (“momentun”), calor y masa de A se tiene

CD Nu Sh   13 2 Re  Pr Re  Sc 1 3

- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si está en reposo relativo, v = 0.

0

v = 0

- A partir de cierta distancia, perpendicular a la línea de flujo, a partir del sólido

para

r

v = vx = v = vf T = T = Tf CA = CA= CAf

- El flujo entra o choca contra la superficie, con un perfil de velocidad constante

para

0

v = vx = v

- Flujo bidireccional 12.5

MODELO PARA LA CAPA LÍMITE DE FLUJOS SOBRE ESFERAS Y CILINDROS

Considérese el flujo, en estado estacionario de un fluido sobre un una esfera sólida y perpendicular a un cilindro sólido. Punto de desprendimiento Punto de estancamiento v=v T=T CA=CA corriente libre capa  límite

r

x

v=vs T=Ts CA=CAs r=0 Estela

vx

Fenómenos de Trasporte

469

r = D/2

G. Chacón V.

- Flujo del fluido en estado estacionario, para la cantidad de movimiento, el calor y la masa de la sustancia A.

  v  0

- Flujo del fluido incompresible y no rotacional, en términos de la función de corriente  - Variación despreciable de los parámetros ( , , k y DAB) con la temperatura y la posición (flujo incompresible) - En la capa límite se manifiestan los efectos más importantes de energía molecular (cantidad de movimiento, potencial térmico y potencial químico).

 2 vr   v  v r   Cantidad de movimiento r 2    2T v  T   Difusión de calor r 2  2C A   Difusión de una sustancia A v  C A  D AB r 2 Capítulo 12 Flujo externo.

470

G. Chacón V.

Los coeficientes de transferencia, de cantidad de movimiento, calor y masa, se evalúan en forma semiempírica, con relaciones como las siguientes, que se resumen en el cuadro 36. PARA LA ESFERA

vr 

 r sen   2

y

Re < 100

2 < Re < 500 10 3 < Re < 2105

v  

 r sen  r

Re < 610

1

3  2 1  16 ReD  18,5 Schlichting (1960) CD  35 ReD

24 CD  ReD

3

El balance de masa, Milne y Thomson (1955)

C D  0,4444

 24 1 2    0,5407  C D    ReD  

   sen         0  2  2 sen  r r      

 3  D  1  D 3  vr  v cos  1         4  r  16  r  

Abraham (1970) y Van Dyke (1971) (12.24)

Re < 3103

12

Nu  2,0  0,60  ReD  Pr 1 3 Ranz y Marshall (1952) 12

Sh  2,0  0,552  ReD  Sc1 3

(12.25)

Fröessling (1939)

 3  D  1  D 3  v  v sen  1        (12.26)  8  r  32  r  



1 < Re < 3104 Nu  2,0  0,4  ReD1 2  0,06  ReD

Caída de presión

P  P



v2   1  C D  2

CD 

24 Re D

Fenómenos de Trasporte

24 Re D

 Pr



Sh  2,0  0,347 ReD  Sc1 2

(12.27)

25



0 , 62

 FRa

Steinberger y Treybal (1960)

GrSc  10

8

GrSc  108

FRa  0,569GrD  Sc 

14

FRa  0,0254GrD  Sc  Sc 0, 244 13

Stokes (1850) PARA EL CILINDRO

Con el factor de forma

CD 

23

Schlichting (1960)

Paradoja de D’alembert, si el flujo es ideal, esto es: no presenta resistencia al flujo ni a la fricción, ni a la forma, CD = 0, la presión no varía con la posición, r.

Re < 1

2

2

2

Re < 0,1

Newton

3   1  16 Re D 

471

Osen (1910)

G. Chacón V.

vr 

 r 

Capítulo 12 Flujo externo.

y

472

v  

 r

G. Chacón V.

El balance de masa

12.6

       0 r 2 r r r 2 2 2

EJERCICIOS

2

(12.28) Ejemplo 12.1 Viscosímetro de bola

  D 2  vr  v cos  1       2r     D 2  v  v sen  1       2r  

(12.29)

(12.30)

Caída de presión

P  P

 Re < 0,5

1 < Re < 1000 104 < Re < 3105 Re < 1000



v 2 1  4  sen   C D  2

(12.31)

  1    2,002  ln ReD  Lamp (1932) 9,1 10 CD  1   1 34 23 ReD ReD 8  CD  ReD



Nu  0,43  0,50  ReD

12

Pr

0 , 38

Nu  0,25  Re3 5  Pr 0,38 McAdams, Hilpert, Knudsen y Katz

Sh  0,281  ReD

35

 Sc 0, 44

Bedigfield y Drew (1950)

0,1 < Re < 105

Datos conocidos:

H2O: densidad del agua (a 4 C) : densidad del líquido (a 20 C) g.e. 0,870 20/4 C

vM: v: D M: D: s:

velocidad final medida velocidad final diámetro del viscosímetro diámetro de la bola densidad de la bola (a 20 C)

999,972 kg/m3 870 kg/m3 3,22 mm/s ¿? 0,0953 m 0,00155 m 7808,8 kg/m3

C D  1,2

Hsu (1963) 10 4 < Re < 3104

Se tiene un viscosímetro de bola de 95,3 mm de diámetro, en el cual se usa una bola de acero (densidad certificada 7808,8 kg/m3) de 1,55 mm de diámetro. Evalúe la viscosidad de un fluido con gravedad específica 0,870 20/4 C, con el cual, la bola alcanza una velocidad final de 3,22 mm/s, cuando el sistema está a 20 C.

Nu   0.35  0,34  ReD1 2

Respuesta 12.1 Diagrama del volumen de control El viscosímetro de bola consiste en un recipiente cilíndrico, en el cual se coloca el líquido, para el que se desea realizar la medición. Se deja caer una esfera con densidad conocida (dentro del líquido) y se mide la velocidad final o constante. Se emplea para medir viscosidades de fluidos con valores altos de dicha propiedad.

 0,15  ReD 0,58  Pr 0,3 Balance de fuerzas

F   FBOYANTE  FFRICCIÓN  FFORMA   FPESO Fenómenos de Trasporte

473

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

474

G. Chacón V.



DM

D2  g  s   1  3  Re  v  18   16   FBOYANTE

1 2



Despejando para la viscosidad

D2  g  s   1  3  Re   16  18  v 

D

F PESO

1 2



Sustituyendo valores, la corrección de la velocidad por las paredes del recipiente

v

v  1  2,4  D DM vM

FFORMA



0,00155 m  mm  v   1  2,4  3,22 0,0953 m  s 

FFRICCIÓN

v   3,55 mm s

   V  g  C D  AP   

v2 2

  s V  g 

d  s  V  v  dt

Sustituyendo y considerando Re  0,1



0,00155 m 2 9,80665 m/s 2 7808,8  870  kg 18  3,55 E  3 m/s

En términos del diámetro de la esfera

 6

D 3  s    g  C D

 4

D2 

v 2 0 2



m3

La viscosidad del fluido evaluado es:

  2,71 kg/m s

Resolviendo para la velocidad final de la caída de una partícula esférica dentro de un fluido

12.1

Corrección por fuerzas inerciales de forma

v 2 

 4  D  g  s   1 3  CD   



Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, considerando flujo de fluidos laminar

v 2 

4 D g 24  3  Re  3 1   16  Re 

Fenómenos de Trasporte

12

D  v     s   1 con Re     

475

G. Chacón V.

Re 

D  v  





0,00155 m  3,55 E  3 m/s  870 kg/m 3 2,71 kg/m s

Re  1,7  10 3  0,1 No es necesaria realizar la corrección, dentro del error experimental del equipo de medición.

Capítulo 12 Flujo externo.

476

G. Chacón V.

Ejemplo 12.2 Sedimentación

Datos conocidos:

Para la sedimentación de tiza, 17 a 28 kN/m3, en partículas de 0,05 a 0,10 mm, en tolueno, de 20 a 30 C, evalúe la profundidad que alcanzan las partículas en cinco minutos.

Se utilizan las propiedades para las condiciones críticas, las que aseguren la sedimentación de todas las partículas (obsérvese la ecuación ):

Respuesta 12.2 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. -

Partículas perfectamente esféricas La fuerza aumenta, F  0, hacia abajo La posición aumenta, z  0, hacia abajo La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema, volumen de control inercial - Velocidad final estable v = constante - Régimen de flujo laminar, con Re  0,1. Balance de fuerzas

F   FBOYANTE  FFRICCIÓN  FFORMA   FPESO 2

Velocidad final, del balance de fuerzas en el estado estacionario,

v2    V  g  C D  AP       s  V  g  0 2  4  D  g  s   1 con 3  CD   

Re 

D  v  





Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, considerando flujo de fluidos laminar, con Re  0,1.

v 

D2  g  s    18  

Fenómenos de Trasporte

 

477

867 kg/m3 : viscosidad del tolueno (a 20 C, mayor viscosidad) 0,589 g/m s ¿? v: velocidad final D: diámetro de la partícula (menor diámetro) 0,05 mm s: peso especifico (densidad) de la partícula (el menor) 17 kN/m3 ¿? tee: tiempo en que se alcanza la velocidad final v hee: profundidad a la que se alcanza ¿? la velocidad final v t: tiempo en que se sedimenta la partícula 300 s h: profundidad a la que se sedimenta la ¿? partícula al tiempo t Simplificando el balance de fuerzas, para la etapa transitoria: 0  v  v.

CD  AP    v 2  d v    1   g  d t   s  2  s V

v d  s  V  v      V  g  C D  AP      s  V  g dt 2

v2 

: densidad del tolueno (a 20 C, mayor viscosidad)

G. Chacón V.

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, considerando flujo de fluidos laminar, con Re  0,1

  2 24 2   4 D   v    D v     d v        1  g    d t   s  2  s D3 6

d v   18    v   1   g  dt  s  s  D2



d v  18   1 2 v 1    s  g d t D  s    g 1

Capítulo 12 Flujo externo.

478

G. Chacón V.

Definiendo

  1    s  g

   exp  t ee   1  0,99  v v  0,01  v 

Entonces la ecuación se simplifica

1 d v  v 1 v  dt

La profundidad para que se deposite el sedimento,

h  v t  tee   hee

Separando variables

d v    dt 1  v v

h  v   t  0,99  v 2 



La velocidad final, sustituyendo valores,

Integrando





ln 1  v v  

 v

v

t  Cte

Al inicio t  0 y v  0 (la partícula parte del reposo) y la Cte  0, con lo que    1  v v  exp  t   v 

2  0,000 05 m   9,80665 m/s 2  

18  0,000589 kg m/s

 17000 N/m 3 kg    867 3  2 m   9,80665 m/s La velocidad final de la partícula:

v  0,002 0 m/s  2, 0 mm/s



Se redondea hacia abajo, por seguridad

Despejando la velocidad

    d z v  v 1  exp  t    v  d t 

Cálculo del número de Reynolds

Re 

La profundidad cuando se alcanza el estado estacionario es

      t  d t   d z v 1 exp   0 0  v     v2    hee  v   t ee   exp  t ee   1    v    hee



D  v  





0,000 05 m  0,002 0 m/s  867 kg m 3 0,000589 kg m/s

Re  0,15

tee

La corrección por factor de forma es

v 

 Corr

v

El tiempo cuando se alcanza el estado estacionario ( v  0,99 v) es

Fenómenos de Trasporte

479

G. Chacón V.

 3  Re   1   16  

1 2

 3  0,15   1   16  

1 2

 0,986

Queda dentro del redondeo de seguridad.

Capítulo 12 Flujo externo.

480

G. Chacón V.

  kg   867 3     9,80665 m/s 2 m   1    g  1  3   17000 N/m  s     9,80665 m/s 2     4,90 m/s 2 

: :

v: velocidad final D: diámetro de la partícula

h  0,0020 300  4 E  4 m La profundidad alcanzada a los cinco minutos es: 12.2

Elución (Clarificación)



Un suelo finamente dividido de galena y piedra caliza con una proporción de 1 a 4, se elucida, clarifica, con una corriente hacia arriba, la cual fluye a 5 mm/s. Evalúe la proporción de galena en el material depositado. Respuesta 12.3 Datos conocidos:

μm

Proporción de peso menor %

20 30 40 50

15 28 48 54

60 70 80 100

64 72 78 88

Diámetro

m 0,99  0,0020 m/s  h  0,0020  300 s   s  4,90 m/s 2 

 Ejemplo 12.3

0,005 m/s ¿?

La distribución de tamaños para cada material, tamizado, se muestra en el siguiente cuadro.

La profundidad de sedimentación en cinco minutos es

h  0,6 m

998,2 kg/m3 1,006 g/m s

densidad del agua (a 20 C), viscosidad del agua (a 20 C),

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. El problema consiste en determinar el tamaño de la partícula que tiene una velocidad de sedimentación igual o mayor a la del flujo de agua hacia arriba.

-

Partículas perfectamente esféricas La fuerza aumenta, F  0, hacia abajo La posición aumenta, z  0, hacia abajo La densidad del fluido es constante y conocida Equilibro de las fuerzas del sistema, volumen de control inercial - Velocidad final estable, v = constante.

Se utilizan las propiedades para las condiciones críticas, aquellas que aseguren la sedimentación de todas las partículas (obsérvese la ecuación ):

Balance de fuerzas

g.eG: gravedad especifica (densidad relativa) de la galena 7.5 g.eC: gravedad especifica (densidad relativa) de la piedra caliza 2,0 - 2,7

v d  s  V  v      V  g  C D  AP      s  V  g dt 2

Fenómenos de Trasporte

481

G. Chacón V.

F   FBOYANTE  FFRICCIÓN  FFORMA   FPESO 2

Capítulo 12 Flujo externo.

482

G. Chacón V.

Velocidad final, del balance de fuerzas en el estado estacionario,

   V  g  C D  AP    v2 

v 2   s V  g  0 2

Diámetro para la piedra caliza

 4  D  g  s   1 3  CD   

12

 3  5,0 E 3  D  1   16  

 

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre, considerando flujo de fluidos laminar y con

Re 

Dv 





D  5,4002 E  6 1  933,2  D 

12

DC  7,4810-5 m = 74,8 m

12

18    v  3  Re   1  16  g  s    



Remoción de galena y piedra caliza

D  0,005 m/s  998,2 kg/m 1,006 E  3 kg/m s

Base:

Re  5,0  10 3  D



100 kg de material de entrada

Galena removida

20  0,44  8,8 kg galena100 kg

Galena retenida

20  8,8  11,2 kg galena100 kg

Piedra caliza removida 80  0,75  60 kg p. caliza100 kg

Diámetro para la galena

D

(Re  0,4)

Partículas de piedra caliza con DP  74,8 m,  75 %

Sustituyendo valores, en el número de Reynolds.

Re 



m

El diámetro para la piedra caliza es

Despejando el diámetro de la partícula

D

18  1,006 E  3 kg/m  0,005 m/s  9,80665 m/s 2 2,7  1 998,2 kg/m

D

18  1,006 E  3 kg/m  0,005 m/s  9,80665 m/s 2 7,5  1998,2 kg/m  3  5,0 E 3  D  1   16  

Piedra caliza retenida Entonces

12



m

Galena en el clarificado Galena en el sedimento

El diámetro para la galena es -5

DG  3,805110 m = 38 m

8,8 100 8,8  60 11,2 % galena retenida  100 11,2  20 % galena removida 

12

D  1, 4229 E  9 1  930, 2  D 

80  60  20 kg p. caliza 100 kg

(Re  0,2)

13 % 16 %

12.3



Partículas de galena con DG  38 m,  44 % Fenómenos de Trasporte

483

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

484

G. Chacón V.

D: diámetro del tubo (externo) 1 ced. 80 L: longitud del tubo

Ejemplo 12.4 Cilindro calentado Un conducto de 1 ced. 80, cuya cara externa se mantiene entre 28 C, un extremo, y 35 C, el otro extremo, se calienta (externamente) con una corriente de gases de combustión a 150 C y 105 kPa, con una velocidad de 20 m/s, perpendicular al largo del conducto. Evalúe la transferencia de calor.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado térmico estacionario: el flujo de calor y las temperaturas no varían con el tiempo. Número de Reynolds

Respuesta 12.4

D v 

0,0334 m  20 m/s  0,966 kg m 3 Re    2,14 E  5 kg m/s 4 Re  3,02  10

Datos conocidos: Temperatura promedio o de película Se supone que para el proceso interno del conducto, la temperatura se comporta en forma logarítmica (y lo mismo la externa, Sec. 13.1, Ec. 13.4).

35  273 K  28  273 K T2  T1  ln T2 T1   35  273 K  ln    28  273 K   Ts  305 K  31,5 C

Ts  Tw 

Para evaluar las propiedades del fluido, de calentamiento, se usa la temperatura promedio o de película

T  T 150 C  31,5 C T s   90,7 C  364 K 2 2



T: temperatura promedio o de película del aire 364 K : densidad del aire (1 atm) 0,966 kg/m3 : viscosidad del aire 21,4 mg/m s k: conductividad del aire Pr: número de Prandtl del aire v: velocidad del aire 485

Número de Nusselt

hD  0,35  0,34  Re1 2  0,15  Re 0,58 Pr 0,3 k 12 Nu  0,35  0,34  3, 02 E 4   0,58 0,3  0,15  3, 02 E 4    0, 695   Nu  107



Nu 



Nota: con otra fórmula

Nu  0,25  Re 0,6  Pr 0,38 Nu  0,25 3,02 E 4 

0,6

Y se considera que los gases de combustión tienen propiedades similares a las del aire puro.

Fenómenos de Trasporte

0,0334 m ¿?

31,0 mW/m K 0,695 20 m/s G. Chacón V.

Con otra fórmula

Nu  0,193  Re

0, 618

0,6950,38  106 (McAdams, Hilpert, Knudsen y Katz)

 Pr

Nu  0,193 3,02 E 4 

13

0 , 618

0,6951 3  100

El coeficiente de película es

h  Nu

k 0,0310 W/m K  107  99 W/m 2 K D 0,0334 m

Flujo de calor

Q  h  A Ts  T 

Capítulo 12 Flujo externo.

486

G. Chacón V.

Q 1 kW W  99 2   0,0334 m 31,5  150  C L 1000 W m K Q L  1,2 kW/m

Respuesta 12.5

12.4

 Ejemplo 12.5 Cable eléctrico



Un cable de aluminio (con resistividad de 28,3 nV m/A) de 5 mm de diámetro, trasporta un corriente de 400 A. El elemento está cubierto con una capa de material aislante de 6,5 mm de espesor (cuya conductividad térmica es de 0,242 W/m K). El aire que lo rodea se encuentra a 290 K. Determine el coeficiente de transferencia de calor o de película, entre la capa aislante y el medio, si el aire: a) Está en reposo. b) Se desplaza perpendicularmente al eje del cable, a razón de 9 m/s. Datos conocidos: T: temperatura promedio o de película del aire : densidad del aire (1 atm) : viscosidad del aire k: conductividad del aire Pr: número de Prandtl del aire v: velocidad del aire DI: diámetro del cable, sin aislante D: diámetro del cable con aislante L: longitud del cable

: resistividad eléctrica del cable i:

corriente eléctrica

Fenómenos de Trasporte

487

¿? ¿? ¿? ¿? ¿? 9 m/s 0,005 m 0,018 m ¿? 28,3 nV m/A 400 A

G. Chacón V.

Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. - Propiedades (parámetros) constantes - Estado térmico estacionario: flujo de calor y las temperaturas constantes con el tiempo. Flujo de calor, disipado por la resistencia eléctrica

R

4 L    D I2



4 L  i   Q  i 2  R    DI

  

2



El calor disipado al ambiente es

Q  h  A Ts  T     D  L  h Ts  T 



Reuniendo las dos expresiones

4  i Q    D  h Ts  T     L   DI

  

2



Despejando la temperatura

Ts  T   4   D

 i     DI

2

 1   h



Sustituyendo valores

Ts 

4  28,3 E  9 V m/A  0,018 m 2

 400 A  1 W 1  290 K      0,005 m  1 V A h Ts 

4 078 W/m 2  290 K h

Capítulo 12 Flujo externo.

488



G. Chacón V.

a)

Caso del aire en reposo

b)

Como primer intento se toma

h  100 W/m 2 K Sustituyendo

Sustituyendo 

Ts 

4 078 W/m 2  290 K  331 K 100 W/m 2 K





T 

Ts  T 331 K  290 K   310 K 2 2



2

4 078 W/m  290 K  698 K 10 W/m 2 K T  T 698 K  290 K T  s   494 K 2 2

Propiedades

Propiedades T: temperatura promedio o de película del aire

500 K

g     2 /  2  1,366  10 7 1 m 3 K

v: velocidad del aire D: diámetro externo del cable

Gr  Pr  3,2  10 4 Con lo que, el coeficiente de película para el aire es

 T  T  h  1,32  s   D 

14

 4   1,32  2  D 

 i     DI

 1    h  2

Re 







0,018 m  9 m/s  1,1772 kg m 3 1,846 E  5 kg m/s

Número de Nusselt

Nu 

hD  0,35  0,34  Re1 2  0,15  Re 0,58 Pr 0,3 k







Nu  0,35  0,34 1,03E 4 

400 A          0,018 m  0,005 m  

12

0,15 1,03E 4

0 , 58

h  Nu 12.5 a) 489

Dv 

Re  1,03  10 4

2 15

h  15 W/m 2 K

9 m/s 0,018 m

Número de Reynolds 14

15

2     i 4 5  h  1,32 4       D  D I      V m 1W  h  1,32 4 5  4  28,3 E  9  A 1V A 

18,46 mg/m s 26,24 mW/m K 0,7081

k: conductividad del aire Pr: número de Prandtl del aire

3

3

T: temperatura promedio o de película del aire 300 K 1,1772 kg/m3

: densidad del aire (1 atm) : viscosidad del aire

  Gr  Pr  1,366 E 7 1 m K 0,018 m  698  290 K Gr  Pr  g     2 /  2 D 3 Ts  T 

Fenómenos de Trasporte

v  9 m/s

Como primer intento se toma

h  10 W/m 2 K

Ts 

Caso del aire en movimiento

G. Chacón V.



0,7081

0,3

 60,3

k 0,02624 W/m K  60,3  88 W/m 2 D 0,018 m

Capítulo 12 Flujo externo.

490

G. Chacón V.

Corrigiendo el primer valor de prueba



Ts 

4 078 W/m  290 K  336 K 88 W/m 2 K

T

336 K  290 K  313 K 2

Estime el flujo de masa de sal común, fundida, que se trasfiere de un cuerpo a una corriente de agua de 9 m/s y 300 K, si tiene la forma de: a) una esfera, de 15 mm de diámetro b) un cilindro, de 15 mm de diámetro por 15 mm de largo, con sus caras planas tapadas y el flujo perpendicular al eje del mismo.

Propiedades, a T = 313 K

  1,129 kg/m3   18,9 mg/m s

Datos conocidos:

k  27,3 mW/m K Pr  0,705

A  NaCl

v  9 m/s D  0,018 m

Re 



Ejemplo 12.6 Disolución de una pieza sólida

2

0,018 m  9 m/s  1,129 kg m 3 1,89 E  5 kg m/s

Re  9,7  10



MA: masa molecular de la sal MB: masa molecular del agua

58,45 18,015

T: temperatura del sistema w*: solubilidad de la sal en agua a 300 K

300 K

36,2 g A/100 g B 1198,4 kg/m3 DAB*: difusividad a la saturación a 300 K 1,5410-9 m2/s

*: densidad a la saturación a 300 K

3

Nu  0,35  0,34 9,7 E 3

12

D: diámetro de la esfera y del cilindro º: densidad a dilución linfita a 291 K (agua)



0,15 9,7 E 3

0 , 58

0,705

0,3

k 0,0273 W/m K  58,1 D 0,018 m

h  88 W/m 2 K

0,015 m

998,6 kg/m3 º: viscosidad a dilución linfita a 291 K (agua) 1,0610-3 kg/m s DABº: difusividad a dilución linfita a 291 K 1,2610-9 m2/s

Nu  58,1 h  Nu

B  H2O

12.5 b)

º: viscosidad del agua a 300 K º: densidad del agua a 300 K CA: concentración de la sal en el agua v: velocidad del agua

8,5610-4 kg/m s 996,5 kg/m3 ¿? 9 m/s

Respuesta 12.6 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

Fenómenos de Trasporte

491

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

492

G. Chacón V.

- Propiedades (parámetros) constantes - Estado de flujo de masa estacionario y la temperatura y las concentraciones constantes con el tiempo.

x

w* 36, 2   0, 266 kg A /kg w*  100 36, 2  100

x* 



0,266 58,45 0,266 58,45  0,834 18,015

x*  0,100 kmol A /kmol M  0,100  58,45  1  0,10018,015



Re 

D v  º D v  B  º B

Re 

0,015 m  9 m/s  996,5 kg/m 3 8,56 E  4 kg/m s

Sc 



M

CA *  5, 45 kmol A /m 3



Corrección de la difusividad por la temperatura

B T

 B T  T0 B 493



B B



a) Caso de la esfera Número de Rayleigh

s   f GrD Sc  g  D  AM 3

0

0

º º

Sc  546

kmol A 1198, 4 kg/m 3 kmol 22, 07 kg/kmol

BT



DAB DAB 8,56 E  4 kg/m s 1 Sc  3 996,5 kg/m 1,57 E  9 m 2 /s

Concentración molar, de saturación

Fenómenos de Trasporte

1, 54 E  9  1, 60 E  9 m 2 2 s

Número de Schmidt

M  22,07 kg/kmol

0



Re  1,57  10 5

Peso molecular medio

DAB º  DAB º T

2

f

Número de Reynolds

M A   1    M B 

CA *  0,100

DAB s  DAB

D AB  1,57  10 9 m 2 /s

 MA

CA  x  C  x 

DAB º  1, 605  10 9 m 2 /s

DAB 

Fracción peso

Fracción mol

m 2 1, 06 E  3 kg/m s 996,5 kg/m 3s 300 K s 8,56 E  4 kg/m 998, 6 kg/m 3 291 K

Difusividad media entre los dos puntos del análisis

Concentraciones en la saturación

* 

DAB º  1, 26 E  9

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

 B   B

494

2

  Sc 

G. Chacón V.

GrD Sc  9,80665

m 0,015 m 3  2 s

b) Caso del cilindro

2 1198,4  996,5 kg/m 3  996,5 kg/m    546 1198,4  996,5  8,56 E  4 kg/m s  2

GrD Sc  4,51  10 9

Se supone que se cumple la analogía de ChiltonCulburn, con el propósito de evaluar el número de Sherwood a partir del de Nusselt.

JD  JH



Sc  546

Re  1,57  10 5



Número de Sherwood



Sh  2  0,0254 GrD  Sc  Sc 0 , 244  0,347 Re  Sc 1 2 13

Sh  2  0,0254 4,51 E 9 546 13





0 , 244

1 2 0 , 62

0,347 1,57 E 5  546



0 , 62

Número de Sherwood





DAB 1,57 E  9 m 2 /s kC  Sh  4,28 E 3 D 0,015 m 4

kC  4,48  10 m/s



Sh  0,35  0,34 1,57 E 5

12

0,15 1,57 E 5

A    D2







kmol A m 2    0, 015 m   5, 45  "0"   3 s m   1 E 6 mmol kmol

m A  1, 7 mmolA /s

12.6 a)

495



0 , 58

546

13

Sh  2,37  10 3

Área de contacto

Fenómenos de Trasporte



Sustituyendo valores

Flujo de masa entre las dos fases

m A  4, 48 E  4



Sh  0,35  0,34  Re 1 2  0,15  Re 0,58 Sc 1 3



m A  N A  A  k C  A  CAs  CAf



Sh Nu  0,35  0,34  Re1 2  13 13 Re  Sc Re  Pr 0,15  Re 0,58  Pr 0 ,3

 2  195  4,08 E 3

Sh  4,28  10 3

3

Para Re > 10 y Sc >2,6

G. Chacón V.

kC  Sh

DAB 1,57 E  9 m 2 /s  2,37 E 3 D 0, 015 m

kC  2,48  104 m/s



Flujo de masa entre las dos fases

m A  N A  A  k C  A  CAs  CAf





Área de contacto

A  DL Capítulo 12 Flujo externo.

 496

G. Chacón V.

m A  2, 48 E  4

m   0, 015 m  0, 015 m  s kmol A   1 E 6 mmol "0"   5,45 3 m  kmol 

m A  0,96 mmolA /s

Respuesta 12.7 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones.

12.6 b)

Notas: - El área de transferencia de masa para el cilindro (del caso b) es de igual valor que para la esfera (del caso a). - El coeficiente de transferencia de masa para el cilindro (del caso b) es 55% del correspondiente a la de la esfera (del caso a).

- Propiedades (parámetros) constantes - Estado másico estacionario: flujo de masa y la temperaturas constantes con el tiempo - Se toma como propiedades de la masa gaseosa las correspondientes al gas solvente (nitrógeno) - Se considera el nitrógeno, B, no difundente - La corriente de nitrógeno suficientemente grande como para tomar yA2  0 , PA 2  0 - En la interfase, del lado del gas, se supone saturado

PAi  PA0 . Número de Schmidt

Sc  Ejemplo 12.7 Placa plana Estime el flujo de estireno que se retira por medio de “secado” desde una placa plástica, durante su manufactura, con una corriente de nitrógeno que pasa a lo largo de la misma, a 290 K. Datos conocidos:

A  estireno L: v: T: P:

B  nitrógeno

longitud en la dirección del flujo de gas velocidad del gas temperatura del gas presión del gas

0,6 m 30 m/s 290 K 101,3 kPa

DAB: difusividad del estireno en nitrógeno a 290 K 710-6 m2/s 0 PA : presión de saturación (vapor) del estireno a 290 K 670 Pa

: densidad del nitrógeno a 290 K y 1 atm 1,199 kg/m3 : viscosidad del nitrógeno a 290 K 17,45 mg/m s Fenómenos de Trasporte

497

G. Chacón V.



  DAB



1, 745 E  5 kg/m s 1,199 kg m 3  7 E  6 m 2 /s

Sc  2,08 Número de Reynolds

Re 

Lv 





0,6 m  30 m/s  1,199 kg m 3 1,745 E  5 kg/m s

Re  1,23  10 6 Número de Sherwood

Sh 

kC  L  0,037  Re 0 ,8  Sc 1 3 D AB

Sh  0,037 1,23 E 6 

0,8

2,081 3

Sh  3,5  10 3 El coeficiente de transferencia de masa es

Capítulo 12 Flujo externo.

498

G. Chacón V.

kC  Sh

Datos conocidos:

DAB 7 E  6 m 2 /s  3, 5 E 3 0, 6 m L

A  oxígeno

kC  0.041 m/s  41 mm/s



PBLM R T k m mol K 1 kG  C  0,041 R T s 8,314 J 290 K kG  PBLM  kC

k G  1,71  10 5 mol/Pa m 2 s  17 μmol/Pa m 2 s



Flujo de masa, de estireno, A,

N A  kG   PA1  PA 2 

diámetro interno de la columna

V : flujo de agua T: temperatura del sistema P: presión del sistema

12.7

0,712 m 1,510-5 m3/s 298 K 140 kPa

DAB: difusividad del oxígeno en agua a 298 K 2,510-9 m2/s H: parámetro de Henry, para oxígeno en agua a 298 K 4,44109 Pa yA: composición del oxígeno en el aire 0,21 f. m. kG: coeficiente de transferencia de masa individual del oxígeno en el aire 3,910-10 kmol/m2 s Pa Propiedades del agua a 298 K : densidad : viscosidad

mol 670  0 Pa 1000 mmol N A  1,71E  5 2 1 mol Pa m s N A  11 mmol/m 2 s

D:

B  agua

z: L:

posición vertical en la columna altura de la columna

997,04kg/m3 0,893 g/m s 1,38 m

Respuesta 12.8 Consideraciones, aproximaciones y suposiciones. Ejemplo 12.8

Columna de pared húmeda

Una columna de pared húmeda se emplea para oxigenar el agua, a 25 C y 140 kPa, a partir de una corriente de aire. La columna tiene un diámetro de 712 mm, un espesor de 11 mm y un alto de 1,38 m. El flujo de agua sobre la pared interna es de 15 mL/s. a) Evalúe, en un punto dado (de la columna), el flujo de oxígeno por unidad de área (flux), si se desprecia la concentración de oxígeno en el seno del fluido. b) Si se desprecia la concentración de oxígeno en el seno del fluido y la de la entrada a la columna, así como, la variación de la concentración del oxigeno en el (valor del) flujo de gas, evalúe la transferencia de oxígeno al agua, en toda la columna. Fenómenos de Trasporte

499

G. Chacón V.

- Propiedades (parámetros) constantes - Estado másico estacionario: flujo de masa y la temperatura constantes con el tiempo - Se toma como propiedades de la masa gaseosa las correspondientes al gas solvente (nitrógeno) - Se considera, la difusión del oxígeno en el agua en contra difusión molecular - La composición de oxígeno en el seno del fluido despreciable xA2  0 , - En la interfase, del lado del líquido en equilibrio con el gas y se cumple la ley de Henry,

yA  H  xA1 . Capítulo 12 Flujo externo.

500

G. Chacón V.

k L  6.96  10 5 m/s

Número de Schmidt

Sc 

   DAB



8,93E  4 kg/m s 997 kg m 3  2, 5 E  9 m 2 /s

k x  x BLM  k L  x BLM  C

Sc  358

kx  kL  C  kL 

Flujo de masa, del líquido, por unidad de ancho

N A  k x  xAi  xAL   K x  xA*  xAL 

Número de Reynolds

1 1 1   K x my  k y kx

4 Γ

4  6,7 E  3 kg m s Re    8,93 E  4 kg/m s

Re  30

kG  PBLM  k y 

Espesor de la capa líquida

 3  .  Γ      2   g 

13

1 1,40 E 5 Pa m2 s m2 s   K x 4,44 E 9 Pa 5,46 E  5 kmol 3,85 E  3 kmol



  1,22  10 4 m  0,12 mm



Número de Sherwood

xA* 

El coeficiente de transferencia de masa es



Fenómenos de Trasporte

1 m2 s m2 s  0,58  259,6 Kx kmol kmol

K x  3,84  103 kmol/m2 s  3,8 mol/m2 s

kC  L  3, 41 DAB  3, 41

kmol 1,40 E 5 Pa m 2 s Pa

k y  5,46  10 5 kmol/m 2 s  55 mmol/m 2 s

 3  8,93 E  4 kg/m s  6,7 E  3 kg/m s      997 ,04 kg m 3 2 9,80665 m/s 2   

DAB

PBLM P

k y  k G  P  3,9 E  10

13



m 997 ,04 kg kmol s m3 18,015 kg

a) Flujo de masa, local, de oxígeno, A,

Γ  6,7  10 3 kg/m s

k L  Sh

M

 6.96 E  5

k x  3,85  103 kmol/m2 s

  V 997 kg m 3  1,5 E  5 m 3 /s Γ   D   0,712 m

Sh 



2,5 E  9 m 2 /s 1, 22 E  4 m 501

PA 1, 40 E 5 Pa  0,21  4, 44 E 9 Pa H

xA*  6, 6  10 6 f.m. G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

502

G. Chacón V.

Con lo cual

z0

N A  3,84 E  3

kmol kmolA 1E9 μmol  6, 6 E  6  0  2 m s kmol 1 kmol

N A  25 μmol/m s 2

b)

12.8a)

Flujo global o total de masa, de oxígeno, A,

Balance de la masa de una sustancia en la columna

N A d A  d m A  k L  z 0  CAi  CAL    D d z  zL

x 

 v z  x 0   D   d C AL

CA  CAL

zL

z 0

0

CA   CAL

 xA*  x AL z  L ln  *  xA  x AL z 0 

zL



 M  Kx L    Γ 

Sustituyendo valores

6, 6 E  6 f.m  x AL

zL  6, 6 E  6 f.m  0  18,015 kmol ms 3,84 E  3 kmol  exp  1,38 m  2 kg 6,7 E  3 kg m s  

x AL

zL

 6, 6 106 f.m.

En términos de la composición en equilibrio





 K L  C A*  C AL   D d z   vz    D   d CAL Las definiciones

K  K L  x ; C C x A A ; C

Balance global de la masa de oxígeno

m A  vz    D    CAL m A    D

Γ  v z  ;  

C  CAM .

Γ C



m A    0, 712 m

x

AL z  L

Γ



 CAL

 xAL

zL

zL





6, 7 E  3 kg kg  ms 18, 015 kmol

6,6 E  6 f.m  01E9 μmol

Sustituyendo los respectivos valores

K x  xA*  x AL  d z 

zL

1 kmol

C d xAL

El flujo total de masa de oxígeno es

Separando variables

m A  5,5 μmol/s

  Kx d xAL dz  *  xA  x AL  Γ  C

12.8b)

Integrando con las condiciones de límites:

Fenómenos de Trasporte

503

G. Chacón V.

Capítulo 12 Flujo externo.

504

G. Chacón V.

Capítulo 13 FLUJO DE FLUIDOS DENTRO DE CONDUCTOS RECTOS Flujo incompresible y en estado estacionario

S = Área lateral del flujo (interna del conducto) S = Perímetro del flujo (interno del conducto), mojado.  Definiciones varias

13.1 INTRODUCCIÓN

Diámetro equivalente o hidráulico

El flujo unidimensional en conductos rectos es una aplicación clásica de la Ingeniería. En las secciones siguiente se desarrolla la teoría en la que se basan los modelos para evaluar los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento (“momentum”), calor y masa; que son necesarios para las ecuaciones de conservación. También, se realiza la aplicación de las ecuaciones de conservación a casos sencillos y su análisis. v=vmáx T=Tmáx CA=CAmáx r =L d v z=z L Gradiente de velocidad: P=PL dr Líneas de flujo T=TL CA=CAL Capa límite v Corriente libre

=0

z z=0 P=P0 T=T0 CA=CA0

s qs

De  L =

g

  v 

A 0

v d A A

v

Flujo volumétrico, caudal, gasto o carga. A V  Q   v d A  v   A 0

Fuerza de fricción o arrastre, sobre la pared, en promedio L

Fs    r r  D / 2 0

S d 

Esfuerzo de fricción o de piel g

dz  g sen   g d



P 

v=vs T=Ts CA=CAs P=PEst

CD =

r =

Posición perpendicular al flujo, a partir del centro del conducto  = Posición en la dirección del flujo, axial, a partir de la entrada A = Área transversal, perpendicular, a la dirección del flujo (del espacio libre del conducto) 505

Fs    v  2  CD S 2

Coeficiente de fricción o arrastre

Presión dinámica y estática

Nomenclatura

Fenómenos de Trasporte

Largo, en dirección axial del conducto

Velocidad promedio

 NAs

4 A Cuatro veces el área de flujo  Perímetro mojado dS    dλ

G. Chacón V.

Pdyn  Psta 

  v 2 2

Psta = Presión estática, es la medida en la pared del conducto, para r  D/2, v = vs = vw= 0 Pdyn = Presión dinámica, es la medida en cualquier punto en el seno del fluido, para r  r, v = v

Capítulo 13 Flujo en conductos

506

G. Chacón V.

Pérdidas por fricción

Nusselt

Pérdidas de energía debido a la fricción y otros tipos de irreversibilidad o pérdidas de energía no explicadas, de Darcy y Weisbach.

H f  g  hf 

2 Fs   v   L  v   fD       v   A D 2 L  2  f F    v  2 D

Flujo de Calor

Nu 

De  h  k

Prandtl

Pr 

Sherwood Flujo de Masa

fD = 4 fF = factor de fricción de Darcy fF = factor de fricción de Fanning

Sh 

De  kC  DAB

 CP     k

Schmidt

Sc 



DAB





  DAB

Ecuaciones de conservación

Otras formas de evaluar las pérdidas de energía:

Considérese un flujo, de un fluido, unidimensional, dentro de un conducto, con paredes sólidas, de área constante.

Le = Longitud equivalente. Es la pérdida de energía expresada en términos de una longitud de tubo recto. Kf = Coeficiente de pérdida de energía. Se expresa en términos de la energía cinética por unidad de masa. 2  v  2  Le   v  H f  g  hf  K f  fD   2  De  2

Curva de demanda del sistema, altura, carga o cabeza hidráulica o piezométrica

hPS

 1  L H  PS  ( z2  z1 )     fD   K f g  2  g  D

2   V         A  

Curva característica de operación de la bomba

hPB 

H PS W B  c1 (1  c2 V C3 )  g   V  g

C3  1,5 a 2,0

Geometría

A

 4

dS  D d

D2

Balance total de masa

 0  v0  A0   L  vL  AL    v  A    V

(13.1)

Balance de cantidad de movimiento en 



L 0

 r r    D d    0  v0  2 A0   L  vL  2 AL  D 2

P0  A0  PL  AL     g  sen  d  L

0

(13.2)

Balance de energía mecánica W    vL  2   v0  2 PL  P0    g z L  z0   H f (13.3)   V 2  Balance de energía térmica

Números descriptores del flujo Reynolds

Re 

Fenómenos de Trasporte

De  v  



507

 De

4  V    D2  G. Chacón V.

 T  S d Q s    cP   v  A d   hs Ts   T   d    Integrando a lo largo del conducto, entre 0 y L

Capítulo 13 Flujo en conductos

508

G. Chacón V.

v 0 t

h L Nu L 1  T   TL      ln s  (13.4) 4  Ts  T0    C P   v  D Re  Pr D Balance de la sustancia A, componente de una mezcla

d m A  v   A

  CA  S d   k L C As  C A  d   

1  C   C AL    k L  L Sh L    ln As  4  C As  C A0   v  D Re  Sc D

(13.5)

C A 0 t

- Unidireccional, solamente existe flujo en la dirección del conducto . La variación del esfuerzo y la velocidad en otras direcciones es despreciable

vr  0

Integrando a lo largo del conducto, entre 0 y L

T 0 t

v  0

y

Estas dos condiciones se resumen como flujo unidimensional; la difusión de la cantidad de movimiento, del calor y de la masa de A, son despreciables en la dirección , comparada con las debidas al movimiento del fluido en esa dirección - Flujo incompresible

Consideraciones y aproximaciones para los modelos de flujo de fluidos en conductos rectos - Masa, fluida, como un continuo y homogénea - Se presenta una capa límite (Cap. 12.). En la cual, se manifiestan los efectos más importantes de energía molecular (potencial mecánico, potencial térmico y potencial químico) - La magnitud de la velocidad aumenta, a partir de la pared, desde 0, hasta un valor dado por las características del flujo y del fluido. Por lo cual, debe existir un gradiente de velocidad, ejercido por un esfuerzo retardador, de arrastre o de fricción, y. El esfuerzo decrece a medida que la velocidad aumenta. En forma análoga, se manifiesta un cambio de temperatura con el flujo de calor o de la concentración de una sustancia A, componente de una mezcla, con la difusión de masa - Se presenta una subcapa laminar, entre el sólido y el seno del flujo del fluido en régimen turbulento (Si el flujo del fluido es laminar, toda la capa límite es laminar) - Estado estacionario para la cantidad de movimiento, el calor y la masa del la sustancia A, Es decir, no cambian con el tiempo, sólo con la posición Fenómenos de Trasporte

509

G. Chacón V.

D 0 Dt

(Para gases, si

PL  P0  0,1 ) P0

- De acuerdo con el principio de no deslizamiento, de la teoría del continuo, la velocidad del fluido en contacto con el sólido es igual a la del sólido. Si la pared está en reposo, relativo

r  D/2 v = vs = vw= 0 T = Ts = TW

CA = CAs= CAW

- La variación de la velocidad, la temperatura y la concentración a lo largo de la pared, son despreciables

r  D/2

v = vs = vw = Constante

T = Ts = TW = Cte.

CA = CAs= CAW = Cte.

- Punto de simetría en el centro del conducto

r0

v 0 r

T 0 r

C A 0 r

- Variación despreciable de los parámetros (, k y DAB) con la temperatura y la posición - Flujo completamente desarrollado. entrada y salida son despreciables Capítulo 13 Flujo en conductos

510

Los efectos de

G. Chacón V.

- Variación de la presión con el radio y el ángulo despreciables

P 0 r

P 0 r

P PL  P0  L 

v 0 r

T 0 r

 2C A 0 2

- Geometría perfecta - Área constante, un solo tramo,

Se desprecian los efectos de fricción en el balance de energía térmica

Re  2000 2000 , 2300 

   v   0; 

 v  0 

Balance de cantidad de movimiento en la dirección del flujo, .

  v

 v   P  z    v    g  r 0    rt  r 

PL  P0   v     g  sen     0 r L rt  r 

  v  CP

- Se cumple la analogía entre cantidad de movimiento, calor y masa

CD Re2 = Nu Pr-1/3 = Sh Sc-1/3

Se cumple para

viscosidad, , constante

Balance de energía térmica

A 0 

  v

(13.6)

- Los números de Reynolds, Nusselt y Sherwood, se evalúan con base en el diámetro equivalente del conducto, De.

511

-

Balance de masa, total

- No hay generación de calor ni reacción química

Fenómenos de Trasporte

Flujo de un fluido newtoniano en régimen laminar

-

C A 0 r

- Los efectos difusionales en la dirección del flujo,  , son despreciables

 2T 0 2

-

    ˆ  v   despreciab le

- El movimiento y la variación de la presión, en r, debido al efecto sobre la densidad, causada por las diferencias de temperatura o concentración, entre la pared y el seno del fluido, son despreciables

 2v 0 2

MODELO PARA EL RÉGIMEN DE FLUJO LAMINAR

Consideraciones adicionales, al modelo general

- Caída de presión constante

- El flujo del fluido no gira ni rota

13.2

G. Chacón V.

  T   T  k r   rr  r 

conductividad k, constante

  C A   C A   DAB r   rr  r 

Con las condiciones de contorno

r  D/2

v 0 r v=0

T 0 r T = Ts

C A 0 r CA = CAs

0

v =

T = T0

CA = CA0

r0

Capítulo 13 Flujo en conductos

512

G. Chacón V.

L

v =

P = P0

z = z0

T = TL P = PL

CA = CAL z = zL

Fuerza viscosa o de fricción, sobre la pared L

Fs    r 0

Balance de cantidad de movimiento

Fs  

Velocidad

v  

PL    g  z L   P0    g  z0   (13.7)

La velocidad máxima, en r  0

vMAX

P    g  z L   P0    g  z0   L L

D2 16  

 v 

PL    g  z L   P0    g  z0  L

L

2 r D / 2

  D d

  D2 4

Fs  8       v x  L

(13.11)

Coeficiente de fricción o arrastre (13.8)

   v  2 C D 2

D2 (13.9) 32  

1 vMAX 2



CD 

8       v  L Fs  AAC  DL 16   16     v  D Re

(13.12)

Coeficiente de fricción de Darcy, o coeficiente de pérdidas de energía por fricción

Flujo volumétrico, gasto o carga

P    g  z L   P0    g  z0    D 4 V   L L 128  

Hf  (13.10)

 V  Q  v  D 2 4 Ecuación de Hagen (1839) Poiseuille (1840). Desarrollo teórico por Weidemann (1856)

Fenómenos de Trasporte

S d  rD / 2

PL    g  z L   P0    g  z0  r

0

La velocidad promedio

 v  

L S v d      0  r

Fs  PL    g  z L   P0    g  z 0 

L

2 D2   2  r   1      16     D  

L

rD / 2

513

G. Chacón V.

Fs   v  8       v  L  v      v   A    v    D 2 / 4

2  L  v  H f  g  hf  fD    D 2

fD 

64   64     v  D Re

Capítulo 13 Flujo en conductos

514

(13.13)

G. Chacón V.

Balance de la cantidad de sustancia A

Balance de energía térmica Despreciando los efectos de fricción y sin generación de calor

  T     v  D C P    T  1  r  2 k   2  r   2  r   r  r 

   v  D   C A      DAB    C A  r  2  r   2  r   r  r    1   D   D   1

  1   D   D  

2

Perfil de temperatura   T  Ts  2r    Cn  f  n  T   0  Ts n 1 D  

(13.14)

 2  D   n2   k   exp  2 3 D    v  D CP     Escribiendo las variables y parámetros en términos de los números de Reynolds y de Prandtl, para r  D/2 y   L.   2   n2 L  TL  Ts μ     Cn  f  n  exp  T0  Ts 3 D Re  Pr  n 1 

Comparando con el balance de energía en el conducto,

1  T   TL   h L Nu L     ln s (13.15) 4  Ts  T0    cP   v  D Re  Pr D Se tiene que, Graetz (1885),

Nu  Re  Pr

D  D   Re  Pr   3,66 L  L

(13.16)

Sobre esta base, Seider y Tate (1936), proponen 13

D  Nu  1,86  Re  Pr  L 

      w 

515

  C A  C As  2r    Cn  f  n  D  C A r  0  C As n 1 

(13.18)

 2  D   n2     DAB   exp  2 3 D    v  D    Escribiendo las variables y parámetros en términos de los números de Reynolds y de Schmidt, para r  D/2 y   L.   2  n2 L    C A L  C As    Cn  f  n   exp  C A0  C As 3 D Re  Sc  n 1 

(13.19) Comparando con el balance de masa de A en el conducto, Ec. 13.5

Sh L 1  C   C AL    k L  L     ln As 4  C As  C A0   v  D Re  Sc D

(13.20)

Se tiene que

0 ,14

(13.17)

Las propiedades se miden a la temperatura media del flujo. El subíndice w indica que se mide a la temperatura de la pared. El cociente de viscosidades es una corrección por el efecto de la convección, entre la pared y el seno del fluido. Fenómenos de Trasporte

Perfil de concentración de A

G. Chacón V.

Sh  Re  Sc

D  D   Re  Sc  L  L

(13.21)

Debido a este resultado, se propone utilizar la analogía de Chilton Colburn

Sh Nu  13 Re  Sc Re  Pr 1 3 Capítulo 13 Flujo en conductos

516

(12.1)

G. Chacón V.

3.3

MODELOS PARA EL RÉGIMEN DE FLUJO TURBULENTO

Considérese un flujo de un fluido newtoniano en régimen turbulento, dentro de un conducto cilíndrico de área constante. Se cumple para

r  D/2 0 L

d  v  1 0  dy ky 

v T C A 0 0 0 r r r CA = CAs v=0 T = Ts v = T = T0 CA = CA0 P = P0 v = T = TL CA = CAL P = PL

Esfuerzo cortante Se utiliza la hipótesis de la longitud de mezclado de Prandtl (1925) (Sec. 3.3), para la capa límite (Sec. 12.1), con el propósito de evaluar las pérdidas por fricción, para las condiciones de fluido mencionado; la cual ofrece resultados aceptables para las aplicaciones de la Ingeniería. Para la subcapa laminar

 r   

d  v  dr

Integrando, con las condiciones de contorno

y D/2 – r = 0 y D/2 – r = D/2

-

-

 r   0  0 y  D 2r  D 2 No permite evaluar el esfuerzo de fricción en la pared, pues d v dv    d y y 0 d r r  D / 2 El esfuerzo de fricción queda implícito y sólo se evalúa si se mide la velocidad máxima.

v  vMáx

0 

Fenómenos de Trasporte

517

  y  Rr 



r  1  y  1    ln 1   l n  k  D 2 k  D 2 

(13.22)

La velocidad promedio

Para la subcapa turbulenta El modelo de Prandtl está definido en términos de la distancia, y , a partir de la pared interna del conducto o interfase.

d  v  d  v  dy dy

v=0 v = vMáx

NOTA: El modelo presenta las siguientes inconsistencias - En el centro del tubo existe resistencia, a pesar de que es un punto de simetría

R    r  R 

 r  ?

(r D/2) (r 0)

Se obtiene

R rR

Para la subcapa crítica o de amortiguamiento

 r    k  y 2

Con lo que

Re  3000 3000  4000 

Con las condiciones de contorno

r0

Consideraciones adicionales: - Toda la resistencia al movimiento se presenta en la zona turbulenta - El esfuerzo de fricción es constante a lo largo del radio  r   0 0  y  R  r  D 2.

D 2

D 2

G. Chacón V.

 v  



1  0  y  D   d y 2     y  vMáx  ln  k   D 2  2  D2  4

Capítulo 13 Flujo en conductos

518

G. Chacón V.

Integrando  v 

Con lo que, el espesor es

8  1  1 0 D  v y  y2   2  Máx  D  2  k  2

 D 2

yD 2

D 1 2  2  1 2  2  D  2 y ln  D y   2 y  2 y ln  D y   4 y          y 

(13.23)

d v dr

Despejando e integrando



Con la condición de no deslizamiento

v

rD 2

519

  v  2 (13.26)

 1 1  4  log10   Re C CD D 

   0,4  

(13.27)

Otras relaciones para flujo turbulento, en tubería lisa

0

0 

La única justificación, de esta proposición, es que representa un valor intermedio entre 0 y la vMáx y que el término de la derecha tiene unidades de velocidad. No está claro el sentido físico de la misma. Fenómenos de Trasporte

0

1 2

Nótese que el coeficiente de fricción queda implícito



v r  D 2   

El modelo propone que

 (13.25)  v  2 

El modelo desarrollado por Prandtl (1927), fue evaluado con datos experimentales para tubería lisa, por Nikuradse (1931) y obtuvo los siguientes parámetros, que fueron comprobados por Reichardt (1943).

  

0 r  r rD 2  r  D 2 

0  

 2 CD    Cte1  Cte2  ln 2  Re  2 CD  

Despreciando el espesor de la capa de flujo crítico

v r  D 2   v r  D 2  

(13.24)

Sustituyendo el coeficiente de fricción o arrastre

Espesor de la capa no turbulenta, : Si se supone que en la capa laminar el esfuerzo de fricción es constante

 r   0   

   v  2 0

  Cte1  Cte2  ln  2  Re 0  

CD 

     Cte1  Cte2  ln    D 2

2     D  0 Re

 v 

En forma resumida

 v 



Sustituyendo, la Ec 13.24, en la relación 13.23

Re arreglando 2  v  vMáx  2  13 4 2 2  1         2    0  0   D  k  2 D D  1 4 4 2  2     2   ln    kD D  D 

0

2

G. Chacón V.

4000 < Re < 100 000 0,0791 0.0395     v  2 CD  Blasius  0  (13.28) Re1 4 Re Re

1

Von Kármán

  2  r  7 v  vMáx 1      D 

Capítulo 13 Flujo en conductos

520

CD 

0,048 Re1 5

(13.29)

G. Chacón V.

Asperezas

Efectos de fricción combinados

Son las imperfecciones y variaciones que presentan las superficies de los materiales. Las cuales varían con el uso, de los mismos, por corrosión, erosión, sedimentación, etc.

Colebrook y White (1938-1939) proponen combinar los efectos provocados por la fricción, en el fluido (tubería lisa) y por las asperezas, de la manera siguiente, y que fue corroborada por Schlichting (1960).

 1,2615 0,2698   1  4  log10    Re C CD D D 



:

Asperezas, (“roughness”), es la longitud media de las alturas de las imperfecciones.

Su efecto en la fricción es despreciable en el régimen de flujo laminar, pero se vuelve importante a medida que aumenta la velocidad. Para flujo completamente turbulento, el valor de las pérdidas de energía por fricción debido a las asperezas son más significativas que las del fluido mismo. Régimen de flujo completamente turbulento



Re  2 10 4

D

Re C D  100

 

entonces

 v 

Modificando, para que no quede el factor de fricción implícito, sustituyendo el valor del coeficiente de fricción en el argumento del logaritmo, con la ecuación obtenida por Von Kármán, Ec. 13.29, Churchill (1973) propone

1  5,758 0,2698     4  log10  0,9   CD D  Re 

(13.33)

Coeficiente de fricción de Darcy, o coeficiente de pérdidas de energía por fricción,

 2,523 0,2698   1  2  log10    Re f D fD D 

   

(13.34)

Colebrook y White (1938-1939)

     Cte1  Cte2  ln  0   D 2

(13.30)

1    4  log10    2,28 CD D

521

 7 0,9   1  2  log10     3,7  D  fD  Re 

(13.35)

Churchill (1973)

Con los datos de Nikuradse (1931) y Reichardt (1943), se obtienen los coeficientes.

Fenómenos de Trasporte

(13.32)

Factor de fricción

Si se sustituye el valor de las asperezas en el modelo de fricción obtenido con la longitud de mezclado, Ec. 13.23, Si

   

 6,9   10 9  1  1,8  log10     fD  Re  3,7  D  

(13.36)

Haaland (1983) (13.31)

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

522

G. Chacón V.

Coeficientes de transferencia de energía térmica y de la cantidad de sustancia A En general, se modela los fenómenos de transferencia de calor y de masa con la teoría de capa límite y las analogías de Reynolds Prandtl y de Chilton Colburn. Con el modelo de fricción de von Kármán, Ec. 13.29

0,024 CD f Nu Sh  D    13 13 2 8 Re  Pr Re  Sc Re1 5

(13.37)

13.4 OTROS EFECTOS DE LA FRICCIÓN Y DE LA IRREVERSIBILIDAD DE LOS PROCESOS

Régimen de flujo en transición Algunos autores definen un régimen de flujo en transición, como aquél que es turbulento pero que dominan tanto las fuerzas inerciales y viscosas como las de las asperezas, para distinguirlo del completamente turbulento.



3  10 3  Re  2  10 4

D

Re f D  200

Régimen de flujo crítico Para el régimen de flujo crítico, que algunos autores lo llaman régimen de flujo de transición (laminar a turbulento), Sec. 7.4, Churchill (1977) recomienda una aproximación

2000  Re  3000

Fenómenos de Trasporte

f D  5,68  10 9  Re 2 (13.38)

523

G. Chacón V.

Efectos de entrada en un conducto Considérese un flujo de fluidos dentro de un conducto, supóngase que: - Entra con un perfil de velocidad uniforme - La velocidad en la pared, v, es cero, por la condición de no deslizamiento - Se desarrolla una capa límite a partir de las paredes del conducto - El efecto de la superficie es más pronunciado a medida que se profundiza en el conducto - A una distancia, C, suficientemente grande, la capa límite alcanza su máximo en el centro del tubo - Después de ese punto, el flujo continúa con el mismo perfil de velocidad, es decir se mantiene un flujo completamente desarrollado.

Se obtiene las siguientes relaciones empíricas, para la longitud necesaria, C, para alcanzar el flujo completamente desarrollado Flujo Laminar Turbulento

C D0

C D0

 0,0575  Re

Langhaar (1942)

(13.39)

 50  25, 50

Deissler (1950)

(13.40)

Los coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor y de la masa de una sustancia, A, tienden a ser más altos que los previstos, por las relaciones, debido a la formación de vórtices, por desviaciones y bordes pronunciados y los efectos de las diferencias de temperatura o concentración, altas.

Capítulo 13 Flujo en conductos

524

G. Chacón V.

Pérdidas menores Son las pérdidas de energía producidas por fuerzas internas en accesorios, como válvulas, codos, expansiones, contracciones y otras causas de irreversibilidad. Pese a su nombre, representan valores significativos de energía, especialmente en tramos cortos de tubería (menores de cincuenta diámetros) y flujo grandes; para tramos mayores (de mil diámetros) se pueden “volver” despreciables.

 D2  K fExp a1  b 02  D1   0,998 1 a  0, 081  0, 08  1 v0 v0

2

(13.42)

b  0,97  1

Para la expansión gradual

D04 K Exp 1  4  Cp  0,67 D1

(13.43)

Se expresan en términos de la energía cinética, por unidad de masa, en el punto de mayor velocidad.

D02/ D2

Cp (5 <  < 10º)

 v  02 Le  v  02 H f  g  hf  K f  fD De 2 2

0,80 0,75 0,50 0,25

0,35-0,30 0,45-0,35 0,53-0,42 0,70-0,50

Expansión o ensanchamiento

En la obra de Brater y King (1976), se encuentran valores experimentales para el coeficiente de expansión gradual.

F v0 D0

v1 D1

v1 D1

v0 D0

Contracción o reducción



Vena contracta

Para la expansión súbita, se puede obtener a partir de los balances de masa, cantidad de movimiento y de energía, una relación mecanicista (ver ejercicio 5.20): 2

2

 A   D2    v 1   K fExp 1  0   1  02   1  A1   D1    v  0  

2

vC v0 DC D0

v1 D1

v0 D0

 Contracción súbita

El coeficiente de pérdidas de energía, varía ligeramente con la velocidad de entrada, Brater y King (1976), presentan datos experimentales, que fueron relacionadas por Ulate (2003). 525

v1 D1

Contracción gradual

(13.41)

Que es la ecuación de Borda-Carnot

Fenómenos de Trasporte

F

Expansión gradual

Expansión súbita

G. Chacón V.

No se ha propuesto un modelo con base teórica, Weisbach, propone, sobre la base del área transversal de la vena contracta un modelo general del tipo

 1   1 K fCon   CC 

Capítulo 13 Flujo en conductos

526

2

(13.44)

G. Chacón V.

Los datos experimentales de Weisbach (1855), que son muy usados, se relacionan por

 D   CC  0,62  0,28   D  4 0 4 1

C·L/D5: Costo de operación o consumo (costo de las pérdidas de energía por fricción)

3

(13.45)

La función de costo u objeto 2

C   O   I  D2  5  L D  

También, se ajustan, Chacón (1993), por

 D04   K fCon 0,37 1  0,99 4  D1  

2

(13.46)

El coeficiente de pérdidas de energía, varía ligeramente con la velocidad de entrada, Brater y King (1976), presentan datos experimentales, que fueron relacionados por Ulate (2003) 2

 D3  K fCon    1   03  (13.47) D1     0,502  0, 0116  v0  0,5 ;   1,199  0, 0243  v0  1 Para la contracción gradual

K Con 0,05

El diámetro óptimo es 17

 5C  DOpt     7I 

(13.49)

Las diferentes ediciones del manual de Perry, contienen un nomograma para el estimado del diámetro óptimo, basado en éste y otros criterios. También se puede usar una velocidad típica, en lugar del diámetro, Para líquidos: (12.50) vtípica  1,3; 1,7 m/s

(13.48) KfCon

30 º 45 º 60 º

0,02 0,04 0, 07

0,07

Churchill (1973), Ec 13.35

0,06

Haaland (1983), Ec 13.36 Colebrook (1938), Ec 13.34 

0,05

En la obra de Brater y King (1976), se encuentran valores experimentales para el coeficiente de contracción gradual.

fD



D

Simulación de datos experimentales Re f D  200

Nikuradse (1931)

/D  0,01634

0,04

/D  0,01

0,03

/D  0,003968 /D  0,001

0,02

Laminar

Diámetro típico

Crítico 0,01 1,E+03

Como criterio de diseño para escoger el diámetro de una tubería se utiliza, el siguiente concepto de optimización.

I·D2·L: Inversión (costo de tubería basado en el

Churchill (1977), Ec 13.38 1,E+04

/D  0,0001

Lisa 1,E+05

1,E+06

1,E+07

Re

Factores de fricción, de Darcy Weisbach, para algunos casos, con la diferentes ecuaciones y los datos (○-□) de Nikuradse (1931) con asperezas artificiales, arena, y los simulados () para asperezas naturales a partir de los datos experimentales de Rouse y Howe (1953).

espesor, la longitud el material, etc.)

Fenómenos de Trasporte

527

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

528

G. Chacón V.

13.5

L : longitud del conducto D1 : diámetro de la entrada 6 Céd. 80 D0 : diámetro de la salida 4 Céd. 80

EJERCICIOS

Ejemplo 13.1 Presión dinámica Un medidor de flujo, del tipo contracción, se emplea para inspeccionar el gasto de un hidrocarburo, que se transporta por un conducto número 6 cédula 80. La contracción es gradual y reduce el diámetro a un conducto número 4 cédula 80. La diferencia de presión se mide en un manómetro en U; cuyo extremo aguas arriba, está colocado en el centro del tubo y la toma que se encuentra aguas abajo mide la presión en la pared (interna) del mismo. El líquido manométrico es una salmuera al 15% y marca en las condiciones de operación 215 mm. Evalúe el caudal en esas condiciones y la caída de presión provocada en el aparato. Diagrama del medidor tipo contracción v1 D1

v0 D0

Pdyn1

P0

P1

¿? 0,1463 m 0,0972 m  : valor de las asperezas para el conducto ¿? Kf : coeficiente de pérdida de energía 0,024

P : caída de presión en el conducto ¿? g.e.m 20/4 C: Grav. Esp. del líquido manométrico 1,107 hm : altura manométrica 0,215 m Std : densidad del agua a 4 C 999,972 kg/m3 Consideraciones -

Flujo incompresible Estado estacionario Las pérdidas se representan por Kf La velocidad se representa por su valor promedio, La diferencia de alturas o diferencia de energía potencial es despreciable No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay potencia del volumen de control.

Balance de masa

d mVC   1  v1  A1   0  v 0  A0  0 dt Balance de energía mecánica P0 P1  v0  2  v1  2   W     g  z0  g  z1  H f   0 1 2 2  v A

Al manómetro

Manometría

 P  Pdyn1  P0  g  m    hm

Respuesta 13.1

Presión dinámica

Datos conocidos:

g.e60/60 ºF: densidad relativa del hidrocarburo

0,765  : viscosidad cinemática del hidrocarburo 3,4 mm2/s Std : densidad del agua a 60 °F 999,014 kg/m3 v : velocidad del fluido ¿? Fenómenos de Trasporte

529

G. Chacón V.

Pdyn1  P1    v1  2 2 Pérdidas de energía

H f  K f  v0  2 2 Capítulo 13 Flujo en conductos

530

G. Chacón V.

 v  v 2 Pdyn1 P0 v0 v0   Kf 0   2 2

 D  P  P1  P0   1   0   D1

Resolviendo, con 2

2 1  K f  v20  Pdyn1 P0  g  m   hm

 P  0,765  999,972

2 v 2    K f  0  2 

2  kg   0,0972  1   0,024     3  m   0,1463  

1,36 m/s 2

Con lo que

2

v0 

2  g  g .e.m g .e.  1 hm 1  K f 



1 kPa 1000 kg/m s 2

La caída de presión en el medidor con reducción es

 P  0,41 kPa

13.1

Sustituyendo valores La velocidad



 1,107  0,215 m v0  2  9,80665 m/s   1  0,765  1  0,024  2

v0  v0  1,36 m/s



El flujo volumétrico del hidrocarburo, en el sistema, es

  2 V  v0  A0  D02  v0  0,0972 m  1,36 m/s 4 4 V  0 ,010 m 3 /s 10 L/s

13.1

Caída de presión en el aparato, con el balance de energía mecánica

P0

0



P1

1

2



v0 v v  1 Kf 0 0 2 2 2

v1  A1  v 0  A0  0 531

Respuesta 13.2 Datos conocidos:

g.e60/60 ºF. : densidad relativa del hidrocarburo v

Sustituyendo el balance de masa y arreglando

Fenómenos de Trasporte

Un medidor de flujo, del tipo orificio, se emplea para medir el caudal de un hidrocarburo, que se transporta por un conducto número 6 cédula 80. El diámetro del orificio es de 4 (pulgadas). La diferencia de presión se mide en un manómetro en U; cuyo líquido manométrico es una salmuera al 15% y marca en las condiciones de operación 363 mm. Evalúe el flujo en esas condiciones y la caída de presión provocada por el aparato.

0,765

 : viscosidad cinemática del hidrocarburo 3,4 mm2/s Std : densidad del agua a 60 °F 999,014 kg/m3

2

2



Ejemplo 13.2 Orificio

G. Chacón V.

¿?

: velocidad del fluido

L : longitud del conducto D : diámetro del conducto 6 Céd. 80 DC : diámetro del orificio 4 Capítulo 13 Flujo en conductos

532

¿? 0,1463 m 0,1016 m G. Chacón V.



¿?

: valor de las asperezas para el conducto Kfo : coeficiente de pérdida de energía (Perry: A1A0  2) P : caída de presión en el conducto

3,4 ¿?

g.e.m 20/4 C: Grav. Esp. del líquido manométrico 13,54 hm : altura manométrica 0,363 m Std : densidad del agua a 4 C 999,972 kg/m3

Balance de energía mecánica P0 P1  v0  2  v1  2   W     g  z0  g  z1  H f   0 1 2 2  v A Manometría

 P  P1  PC  g  m    hm

Pérdidas de energía

H f  K f  v1  2 2 Diagrama del medidor tipo orificio Al manómetro

Q  C C  A0 CC  0,61;

P1 v1 D1

2 P1  P0   1   A0 A1 

2

Re0  3104

Fórmula para el cálculo del flujo con un orifico (Perry)

v1  CC

v1  CC

2  g  g .e.m g .e.  1 hm D1 D0 4  1

Sustituyendo valores, la velocidad

v1  0,61

Vena contracta

2  9,80665 m/s 2 1,107 0,765  1 0,363 m 0,1463 0,1016 4  1 v1  v1  0,60 m/s

Consideraciones -

Flujo incompresible Estado estacionario Las pérdidas se representan por Kf La velocidad se representa por su valor promedio, La diferencia de alturas o diferencia de energía potencial es despreciable - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay potencia del volumen de control.

d mVC   2  v1  A2  1  v1  A1  0 dt 533

G. Chacón V.



Número de Reynolds en el orificio

v1  A1  v0  A0  0 2

2

D   0,1463  v0   1  v1    0,60 m/s  0,1016   D0  v0  1,24 m/s

Re0 

Balance de masa

Fenómenos de Trasporte

P0  PC

Sustituyendo el valor de las presiones del manómetro

P2 v2 D2

P0  PC V0 VC D 0 DC

2 P1  P0   D1 D0 4  1

D  v0  

0,1016 m  1,24 m/s  3,4 E  6 m 2 /s Re0  3,7  10 4

Capítulo 13 Flujo en conductos



534

 G. Chacón V.

El flujo volumétrico del hidrocarburo, en el sistema, es

  2 V  v1  A1  D12  v1  0,1463 m  0,60 m/s 4 4 V  0 ,010 m 3 /s 10 L/s

13.2

Caída de presión en el aparato, con el balance de energía mecánica

P2

2



P1

1

2



2

2

v2 v v  1  Kf 2  0 2 2 2

Datos conocidos:

 : densidad del agua  : viscosidad del agua V : flujo volumétrico

998,2 kg/m3 1,006 g/m s 0,83 L/s

L : longitud del conducto D : diámetro del conducto 1 Céd. 40  : valor de las asperezas para el conducto P: caída de presión en el conducto h : altura manométrica con una g.e.20/4 C : Grav. Esp. del líquido manométrico

14 m 0,0266 m ¿? ¿? 138 mm 13,546

Sustituyendo el balance de masa y arreglando Respuesta 13.3

v1  A1  v2  A2  0 2

i)

v  P  P1  P2    K f 1 2

Velocidad

 v  v 

0,60 m  kg 1 kPa  P  0,765  999,972 3 3,4 m 2 1000 kg/m s 2 2

 P  0,47 kPa

v  1,49 m/s ii )

La caída de presión en el medidor de orificio, es

4  V 4  8,3E  4 m 3 /s    D12  0,0266 m 3

Número de Reynolds

Re 

13.2



D  v   





0,0266 m  1,49 m/s  998,2 kg/m 3 1,006 E  3 kg/m

Re  3,94  10 4 

Ejemplo 13.3 Pérdidas por fricción



Para medir las pérdidas por fricción, de un material dado, se coloca un tubo de 18 m, con uniones soldadas cada 6 m de 1Ced 40. Para el ensayo se hace pasar agua a razón de 0,83 L/s, la temperatura se mantiene en 20 C. Se usa un manómetro, en U, con mercurio como líquido manométrico y las tomas se colocan a 2 m de la entrada y a 2 m de la salida. Si la lectura (altura manométrica) es de 138 mm, a) calcule el coeficiente de pérdidas por ficción y b) estime el valor medio de las asperezas (“roughness”). Fenómenos de Trasporte

535

G. Chacón V.

iii )



Factor de fricción

 2,523 1 0,2698    2  log   D fD  Re f D

   

Queda en términos del valor de las asperezas .

iv )

Pérdidas de energía, por fricción

H f  fD

L  v 2 D 2

Capítulo 13 Flujo en conductos

536

G. Chacón V.

v) Balance de energía mecánica P0 P1  v0  2  v1  2   W     g  z0  g  z1  H f   0 1 2 2  v A Para el caso

P1  P2



vi )



P



  0,001156  3,76 E  4 0,09859 m El valor medio de las asperezas es

  7,7  10 5 m  0,077 mm  Hf





Nota:

D

13.3 b)

Re f D  19  200

Manometría

 P  P1  P2  g  m    hm

 P  9,8066 5 m/s 2 13,546  999,972  998,2  kg/m 3  0,138 m  16980 kg/m s 2 (Pa) vii )

Conclusión

Un tipo de viscosímetro, para líquidos, consiste en un depósito relativamente grande, del cual, se deja correr el líquido (por gravedad), a través de un tubo delgado. La viscosidad se determina con el flujo o el tiempo en que baja el nivel del fluido en el depósito.

P

L  v 2   fD D 2  fD   fD 

Ejemplo 13.4 Viscosímetro con flujo provocado por el peso

2  D  P 2  D  g  m    hm  2    v  L    v  2 L

Diagrama del viscosímetro por gravedad

2  0,0266 m  16980 kg/m s 2 2 998,2 kg/m 3 1,49 m/s  14 m



P0, D 0

z0 Depósito

h El factor de fricción para el sistema es

f D  0,029

P1, D 1 z1

13.3 a)

Estimación del valor medio de las asperezas, despejando



L

    1    2 f D  2,523  D   10   Re f D  0,2698         1   2,523   2 0, 020   0,0266 m    10 3,94 E 4 0,029  0,2698    Fenómenos de Trasporte

537

G. Chacón V.

Capilar

P2 , D 1

z2

Para una muestra de aceite, con densidad constante, que fluye a razón de 273 mm3/s, por un conducto de 1,8 mm de diámetro, determine su viscosidad. Capítulo 13 Flujo en conductos

538

G. Chacón V.

Datos conocidos: g.e60/60 ºF.: densidad relativa  : viscosidad cinemática v : velocidad del fluido V : flujo volumetrico D : diámetro del conducto h : altura del líquido en el depósito L : longitud del conducto capilar fD : coeficiente de pérdida de energía

¿? ¿? ¿? 3 273 mm /s 1,8 mm 30 mm 0,550 m

H f  fD fD 

L  v 2 D 2

64 64   64    Re D  v   D  v

Del balance de energía mecánica en el conducto

v22 v12 L v2     g  z2  g  z1  f D 0   2 2 D 2

P2

P1

Sustituyendo valores y considerado flujo laminar, con

Respuesta 13.4

P2  P0

Consideraciones - Volumen de control, fluido en el conducto capilar (en movimiento) - Flujo incompresible,  constante - Estado estacionario - Las pérdidas se representan por fD - La velocidad se representa por su valor promedio, - No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay potencia del volumen de control - Las pérdidas de energía a la entrada del capilar (salida del depósito) son despreciables Balance de energía mecánica en el recipiente P0 P1  v0  2  v1  2   W     g  z0  g  z1  H f   0 1 2 2  v A

 g h  g L 

32  L  v  0 D2

Con lo que

 

  1 

 

  1 

30 mm  2    9,80665 m/s  550 mm 

1,8 E  3 m 4

 1000 mm    3 128  2,73 E  7 m /s  1 m 

2

La viscosidad cinemática de la muestra líquida es

  9,8 mm 2 /s

Resolviendo, con el balance de masa en el conducto

4  V   D2

13.4

Número de Reynolds

Re 

Pérdidas de energía Fenómenos de Trasporte



Sustituyendo los valores numéricos

Balance de masa

 v1 v 2  v 

h    g  D4  L  128  V

Referencia: Viscosímetro de Oswald.

P1  P0   v1  2 /2    g  h  P0    g  h

d mVC  1  v1  A1   2  v2  A2  0 dt

g  z 2  g  z1   g  L

y

539

G. Chacón V.

D  v  





Capítulo 13 Flujo en conductos

4  V   D  540

G. Chacón V.

Re 

iii )

4  2,73 E  7 m 3 /s   1,8 E  3 m  9,8 E  6 m 2 /s Re  20

Factor de fricción, suponiendo flujo laminar,

fD 

es flujo laminar

64 16      D  Re m

Entrada

contracción súbita D0 D  0

K f  0,5

Salida

expansión súbita D D0  0

Kf 1 K f  9,5

Válvula de globo media abierta Ejemplo 13.5 sistema en flujo laminar Se dosifica ácido sulfúrico al 75% y 40 C a un reactor a 65 kPa, impulsado por una presión de 102 kPa y con un gasto másico de 10 g/s. La tubería es de acero al carbono (oxidada internamente) cédula 80 y de 20 m de largo. Determine el diámetro de la tubería, para no utilizar otra fuerza impulsora.

iv )

Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

H f  fD

L  v 2  v 2  K fe  K fs  K fv  D 2 2 2

16      D L 1  4  m  Hf     m D 2      D 2 

K fe  K fs  K fv  1  4  m 2  2    D 

Datos conocidos:

 : densidad del ácido sulfúrico al 75 % (a 40 C)  : viscosidad del ácido sulfúrico al 75 % (a 40 C) m : flujo del ácido sulfúrico L : longitud del conducto D : diámetro del conducto ¿? Céd. 80  : valor de las asperezas para el conducto P  PLP0: caída de presión en el conducto

1650 kg/m3 8,6 mPa s 0,01 kg/s 20 m ¿? 0,5 mm -37 kPa

Respuesta 13.5 i)

m 4  m    A     D2

D  v   



Fenómenos de Trasporte

Para el caso

P0  PL

P



 Hf



Conclusión 2

 16      L  D4    K fe  K fs  K fv   m   2

1  4  m         2       P 

4  m    D 541





 16      L  1  4  m  1    K fe  K fs  K fv    4   m  2    D

Número de Reynolds

Re 

v) Balance de energía mecánica   W P0 PL  v0  2  vL  2     g  z0  g  z L  H f  0  L 2 2  v A

P

Queda en términos del diámetro, D.

ii )

2

128  m    L K fe  K fs  K fv  4  m   Hf     2     2  D4 2     D 

vi )

Velocidad

 v 

2

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

542



G. Chacón V.

Sustituyendo valores

 16    8,6 E  3 kg/m s  20 m  D 4    0,5  1  9,5  0,01 kg/s   1  4  0,01 kg/s    2    1650 kg/m 3 

2

 1650 kg/m 3       37 E 3 Pa  

D4 

128    L m    P  

D4 

128  8,6 E  3 kg/m s  20 m 0,01 kg/s     37 E 3 Pa  1650 kg/m 3

D 4  1,1479 E  9 m 4

D 4  864,6  0,5  1  9,5  0,5 7,72 E  6  0,0446 2

D  1,1625 E  9 m 4



D  0,0058 m  5,8 mm

4

D  0,0058 m  5,8 mm Ejemplo 13.6 Velocidad en régimen de flujo turbulento

El diámetro de la tubería es

D  1 4 Céd. 80

13.5

S comprueba de la suposición de flujo laminar

Un “crudo” se traslada por un oleoducto de acero comercial de 12” Céd. 40. Estime la velocidad del fluido, si la diferencia de presión entre dos puntos, de un tramo, separados 5 km y que están al mismo nivel, es de 323 kPa. Desprecie el efecto de las uniones.

D  1 4 Céd. 80  0 ,0077 m

Re  Re 

D  v   





4  m  D

Datos conocidos:

 : densidad del hidrocarburo  : viscosidad cinemática del hidrocarburo

4  0,01 kg/s   8,6 E  3 kg/m s  0,0077 m Re  193

es flujo laminar

v : velocidad del fluido

913 kg/m3 74 mm2/s ¿?

L : longitud del conducto D : diámetro del conducto 12 Céd. 40  : valor de las asperezas para el conducto P: caída de presión en el conducto

5 km 0,3032 m 0,046 mm -323 kPa

NOTA: despreciando las pérdidas en los accesorios. Se simplifica y se obtiene la ecuación de Hagen y Poiseuille, Ec. 13.10

m  P   D V     vx  D 2  L 128   4

Respuesta 13.6 i)

Velocidad

4

 v 

4  V  ¿?   D2

Queda en términos de la velocidad, . Fenómenos de Trasporte

543

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

544

G. Chacón V.

ii )

Número de Reynolds

D  v   

Re 





D  v 



Re

4  V     D

fD 

 3,23 E 5 Pa  0,3032 m 0,3032 m 2 2 7,4 E  5 m /s 5E3 m 913 kg/m 3 Re

iii )

Suponiendo flujo turbulento, con la Ec. 13.34 de Colebrook y White (1938-1939)

  2,523 0,2698   f D   2  log   Re f D  D 



   

2

  2,523 0,2698  4,6 E  5 m   f D   2  log   849 0,3032   

(i)

f D  0,0393



Nota:

iv )

D

Pérdidas de energía

H f  fD

L  v 2 D 2

Re 

Balance de energía mecánica P  v  2  v1  2   W  1 2   g  z2  g  z1  H f   2 1 2 2  v A

Para el caso vi )

P1  P2





P



 H f  g  hf

(ii)

Conclusión

P



 fD

L  v 2 D 2

L  v 2  Re    fD  D 2  D  v   P

  

Re f D  0,13  200

fD   2

849  4279 0,0393

La velocidad

 v  

2  P  D   fD  L

 v  

2  3,23 E 5 Pa  0,3032 m 913 kg/m 3  0,0393  5 E 3 m

P D 3 L   2

13.6

Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), Ecs i, ii y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva) (iii)

Sustituyendo valores 545

 v  1,0 m/s

2

Despejando para Re

Fenómenos de Trasporte



La velocidad del “crudo” en el conducto es

Multiplicando y dividiendo por el cuadrado del número de Reynolds.

Re

2

El número de Reynolds

v) P2



f D  849

Factor de fricción

G. Chacón V.

12  3,17  L 1 2  g  h f  D5         Q  0,965   ln  g  h  D 3    3,7  D  L f     

Capítulo 13 Flujo en conductos

546

G. Chacón V.

L : longitud del conducto 10 m D : diámetro del conducto 6 Céd. 40 0,1541 m  : valor de las asperezas para el conducto 0,15 mm ¿? P : caída de presión en el conducto

Sustituyendo valores

  3,23 E 5 Pa 0,3032 m 5    V  0,965   913 kg/m 3  5 E 3 m    3,17  913 kg/m 3  5 E 3 m 1 2   ln  3    3,23 E 5 Pa   0,3032 m   4,6 E  5 m  7,4 E  5 m 2 /s  3,7  0,3032  12



Respuesta 13.7 Consideraciones



El flujo volumétrico es

V  0,75 m 3 /s

 v 

13.6

4  V 4  0,75 m 3 /s    D 2   0,3032 m 2

-

Volumen de control, fluido en el sistema Flujo incompresible,  constante Estado estacionario La velocidad se representa por su valor promedio, No se levanta un peso ni se mueve un eje, no hay potencia del volumen de control - Los efectos energéticos en el tanque son despreciables

 vsalida    ventrada  v2    v1  v2  v La entrada y la salida están a la atmósfera

Psalida  Pentrada  Patmosféric a .

La velocidad del “crudo” en el conducto es

 v  1,0 m/s

13.6 Esquema del volumen de control 1

 Ejemplo 13.7 descarga por gravedad



Un depósito, de gran tamaño, está lleno de agua hasta un nivel de 5,00  0,05 m, la cual se desaloja por gravedad, a través de un orifico en el fondo. El conducto de salida es de hierro galvanizado con un diámetro nominal de 6 Céd 40 con 10 m de longitud. Estime la velocidad de salida.

h 2

z0 L

i)

v h

: : : :

Queda en términos de la velocidad, v. 3

densidad del agua 998,2 kg/m viscosidad del agua 1,006 g/m s velocidad del fluido, en el conducto de salida ¿? nivel del agua en el tanque 4,95 m

Fenómenos de Trasporte

Velocidad

 v  v  ¿?

Datos conocidos:

 



547

G. Chacón V.

ii )

Número de Reynolds

Re 

D  v   



Capítulo 13 Flujo en conductos

548

G. Chacón V.

iii )

Factores de fricción

El número de Reynolds

Suponiendo flujo turbulento

  2,523 0,2698   f D   2  log   Re f D  D 

   

Re 

2

contracción súbita D0 D  0

K f  0,5

Salida

Expansión súbita D D0  0

Kf 1

K

Sea iv )

abierta f

  2,523 f D   2  log    1,529 E 5  v

K f  0,2

L  v 2  v 2  K fe  K fc  K fv  D 2 2

2

Para el caso

v



2

(iii)

f D   2  log 2,6262   0,02 2

v

97,806  2,7  64,89  0,02

97,806 2,7  1,3

Segunda iteración 2

  1,650  f D   2  log  2,6262   0,0199   5  0,02 

2 g h 1  fD  L D   K f

v

Con los valores

97,806  4,62 m/s 2,7  64,89  0,0199   1,15

Factor de seguridad

2  9,80665 m/s 2  4,95 m v 1  10 m 0,1541 m  f D  1,7

97,806 m/s 2,7  64,89  f D

Fenómenos de Trasporte

2

v  5 m/s

Conclusión, despejando la velocidad, v.

v

0,2698  1,5 E  4    0,1541 fD 

Resolviendo, el sistema de tres ecuaciones i, ii y iii, por el método de sustituciones sucesivas, con un primer ensayo, de fD,

Balance de energía mecánica P  v  2  v1  2   W  1 2   g  z2  g  z1  H f   2 1 2 2  v A

v  g  h   H f  0 2 2 L  v g  h   1  f D   K f   0 D  2

(ii)

  1,650 E  5   2,6262  f D   2  log   v f  D  

 1,7

v) P2

vi )

0,1541 m  v  998,2 kg/m 3 1,006 E  3 kg/m s

El factor de fricción

Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

H f  fD





Re  1,529  10 5  v

Entrada

Válvula de compuerta

D  v   

549

La velocidad de salida del sistema depósito conducto, por gravedad, es (i)

G. Chacón V.

 v  4 1 2 m/s

13.7

550

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos



Ejemplo 13.8 Pérdidas por fricción en un tramo de conducto 

Se requiere determinar la presión necesaria a la entrada de un tramo de conducto que traslada amoníaco líquido, para que en un punto, a 250 m de distancia cerca de la salida, se encuentre como líquido saturado. El flujo es de 2 m3/h con una temperatura de operación de 25 a 30 C. La tubería es de acero comercial de 2 Céd. 160. Considere las pérdidas en las uniones despreciables.

ii )

Número de Reynolds

Re  Re 

T :  :  : Psat:

temperatura del sistema densidad del NH3 viscosidad del NH3 presión de saturación del NH3

30 C 595,2 kg/m3 0,136 g/m s 11,665 kPa

V : flujo volumétrico del fluido 2 m3/h L : D :  : P1 :

556 mm3/s longitud del conducto 250 m diámetro del conducto 2 Céd. 160 0,0428 m valor de las asperezas para el conducto 0,046 mm presión a la entrada del conducto ¿?

Se considera ligeramente mayor, un 10% de la presión de saturación del amoníaco.

P2 : presión a la salida del conducto 1,1Psat Referencia:

12,83 kPa

Válvula de expansión

i)

Flujo turbulento, con la Ec. 13.35 de Churchill (1973)

  7 f D   2  log   Re    7 f D   2  log   7,2 E 4  iv )

  

0,9

  

0,9

     3,7  D   

2

(ii) 2

4,6 E  5 m       0,023 3,7  0,0428 m   

Pérdidas de energía, por fricción

H f  fD

L  v 2 D 2

v) P2

Balance de energía mecánica P  v  2  v1  2   W  1 2   g  z2  g  z1  H f   2 1 2 2  v A

P1  P2





P



 H f  g  hf

Conclusión, para el caso

L  v  2 8  f D  L  V 2   fD    2  D5 D 2 P

Velocidad

Con los valores numéricos

P

4  5,56 E  4 m /s  0,386 m/s   0,0428 m 2

Fenómenos de Trasporte

(i)

Factores de fricción

vi )

4  V  v    D2 v

4  V   D 

4  5,56 E  4 m 3 /s  595,2 kg/m 3   0,0428 m  1,36 E  4 kg/m s

Para el caso Respuesta 13.8





Re  7,2  10 4 iii )

Datos conocidos: Se considera cítrico la mayor presión de saturación del amoníaco.

D  v   

3

551

 G. Chacón V.

 H f  8  0,023  250 m

Capítulo 13 Flujo en conductos

(iii)

5,56 E  4 m /s  3

2

 2  0,0428 m 5

552

G. Chacón V.



P



 H f  10,17 m 2 /s 2



La presión en el extremo de entrada

P1    H f  P2    g  h f  P2

P1  595,2

(iii)

kg m2 1 kPa 10 , 17  1,1  11,665 kPa 3 2 m s 1000 kg/m s 2 P1  19 kPa

 D  Q 2  L   h f  1,07 ln 4,62  5 gD    Q  

  

0,9

    3,7  D   



2

 Hf

Determine el diámetro, necesario, de una tubería BWG14, de bronce, que traslada tolueno, como líquido saturado entre 90 y 100 C, a razón de 1,75 L/s, de tal manera que en una distancia de 305 m, la caída de presión no sea mayor que 30 m. Considere las pérdidas en las uniones despreciables y que el nivel se mantiene constante.

5,56 E 4 m /s  250 m   1,07 3

2

0,0428 m 5

0,9    0,0428 m  1,36 E  4 kg/m s    ln 4,62  3 3   5,56 E  4 m /s  595,2 kg/m   

4,6 E  5 m    3,7  0,0428  

Datos conocidos: Se considera cítrica la menor temperatura, pues el fluido posee un mayor valor de la viscosidad. T :  :  : Psat:

temperatura del sistema densidad del fluido viscosidad del fluido presión de saturación del fluido

Respuesta 13.9 i)

2

Velocidad

 v 

4  V 4  1,75 E  3 m 3 /s    D2   D2

La caída de presión o la pérdida de energía por fricción es



P



 H f  10 m 2 /s 2

Fenómenos de Trasporte



Queda en términos del diámetro, D.

ii )

Número de Reynolds



4  V    D

(i)

Capítulo 13 Flujo en conductos

554

G. Chacón V.

Re 

553

90 C 800 kg/m3 0,290 g/m s 54,13 kPa

1,7510-3 m3/s V : flujo volumétrico del fluido 1,75 L/s L : longitud del conducto 305 m D : diámetro del conducto BWG14 ¿?  : valor de las asperezas para el conducto 0,0015 mm P: caída presión entre los dos puntos del tramo de conducto 30 m

Sustituyendo valores





13.8

Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), Ecs i, ii y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)

P

 Ejemplo 13.9 diámetro de un tramo de conducto

G. Chacón V.

D  v  



Re 

4  1,75 E  3 m 3 /s  800 kg/m 3   2,90 E  4 kg/m s  D

Re  6,1  10 3 D iii )

D  0,0762  f D

Factor de fricción

Suponiendo flujo turbulento, con la Ec. 13.34 de Colebrook y White (1938-1939)

  2,523 0,2698    f D   2  log  Re f D  D 

   

2

(ii)

  4,10 E  4  D 4,05 E  7    f D   2  log   D f  D  

2

vi )





Se itera con el factor de fricción de Darcy por ser más estable (matemáticamente) que el diámetro.

f D  0,01



D  0,0762  0,01

0, 2

Segunda iteración

D  0,0762  0,0168 



2

f D  0,0168

Balance de energía mecánica P  v  2  v1  2   W  1 2   g  z2  g  z1  H f   2 1 2 2  v A





  4,10 E  4  0,030 m 4,05 E  7   f D   2  log  0,030 m  0,01  

v) P2

Para el caso

0, 2

Mejorando el valor

L  v 2 H f  fD D 2

P

2

2

Pérdidas de energía, por fricción

P1  P2



D  0,030 m

  2,523  D 0,2698  1,5 E  6   f D   2  log  6,1 E 3 f  D  D  

iv )



8  f D  305 m 1,75 E  3 m 3 /s D   2  30 m  9,80665 m/s 2 5

0, 2

 0,0337 m

  4,10 E  4  0,0337 m 4,05 E  7   f D   2  log  0,0337 m  0,0168  

2

f D  0,0162

 H f  g  hf

D  0,0762  0,0162 

0, 2

 0,0334 m

Conclusión, para el caso

P



 fD

L  v  2 8  f D  L  V 2   2  D5 D 2

D5 

8  f D  L  V 2 2Hf

Fenómenos de Trasporte

El diámetro nominal, que es igual al externo, es

D  0,0334 m  2  0,00211 m  0,0376 m  1,48 (iii)

555

G. Chacón V.

D  1 12 " BWG14

Capítulo 13 Flujo en conductos

556

13.9

G. Chacón V.

Swamee y Jain (1976) reunieron este procedimiento (algoritmo), con la ecuación de Churchill (1973) - no usa la de Colebrook y White -, para calcular el factor de fricción de fD, y los pasos i y iii, en una sola fórmula (sólo se aplica para un tramo de conducto, con pérdidas menores despreciables o usando la Le respectiva)

  L D  0,66 Q 9, 4   g h  f  

5, 2

 2       1, 25  Q  L   g h   f   

Respuesta 13.10 Esquema del sistema

4 , 75 0 , 04

   



2

P1 T1 v1 z1

P2 T2 v2 z2

1

Sustituyendo valores  D  0,66  1,75 E  3 m 3 /s 





9, 4

305 m     2  9 ,807 m/s  30 m 

5, 2

2,90 E  4 m 3 /s  800 kg/m 3

1,5 E  6 m 1, 25  1,75 E  3 m 2/s  305 m   

3

2

9 ,807 m/s  30 m

 

4 , 75

   

0 , 04

D  0,0339 m

Datos conocidos:

 : densidad del ácido acético 20 C  : viscosidad del ácido acético 20 C V : flujo volumétrico L : longitud del conducto D : diámetro del conducto

1060 kg/m3 2,5 mPa s 0,015 m3/s 42 m 0,075 m

 : asperezas para el conducto Ejemplo 13.10 Trasiego de un fluido Se trasladan 15 L/s de ácido acético desde un tanque, de 2 m diámetro por 1,5 m de altura, abierto a la atmósfera, hasta otro cuya entrada está 3 m arriba de la base del recipiente y a una presión de 20 kPaman. El ambiente se mantiene a una presión de 90 kPa y su temperatura varía entre 20 y 26 C. El nivel del líquido en el depósito se mantiene en 1,1  0,1 m, (desde la base). El fluido lo impulsa una bomba centrífuga de 6 kW con una eficiencia de 68%. La tubería es de acero revestido con fibra de vidrio (  0,06 mm) con un diámetro interno de 75 mm y 42 m de largo. El sistema tiene una válvula de compuerta, una T de paso, tres uniones, tres codos y una válvula de globo. Evalúe la cabeza total y la presión del fluido a la salida. Fenómenos de Trasporte

557

G. Chacón V.

0,06 mm 1,0 m 90 kPa 3,0 m 110 kPa

z1 : nivel de entrada 1 P1 : presión a la entrada 1 z2 : nivel de salida 2 P2 : presión a la salida 2

i)

Velocidad

4  V  V  v  D 2    D2 4 4  0,015 m 3 /s  v   3,4 m/s  0,075 m 2 ii )



Número de Reynolds

Re  Re 

D  v   



0,075 m  3,4 m/s  1060 kg/m 3  1,08  105 2,5 E  3 kg/m

Capítulo 13 Flujo en conductos

558



G. Chacón V.

iii )

Factores de fricción y otras pérdidas de energía

  7 f D   0,8686  ln   Re 

  

0,9



   3,7  D   



2

Entrada

contracción súbita D0 D  0 K f  0,5

Salida

expansión súbita D D0  0

Balance de energía mecánica P  v  2  v1  2   W  1 2   g  z2  g  z1  H f   2 1 2 2  v A

vi )

Kf 1

Válvula de compuerta

abierta

K f  0,2

Válvula de globo

½ abierta

K f  9,5

Cabeza total Curva de demanda del sistema, altura, carga o carga hidráulica o piezométrica 2

hPS

90º estándar

 1  L   2  g   f D D   K f 

K f  3  0,8 K f  3  0,04

Uniones

K

f

 14,6

hPS 

2

Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

L  v 2  v 2  Kf 2 D 2

  7 f D   0,8686  ln   1,08 E 5  f D  0,021

  

0,9

hPS 

6 E  5 m     3,7  0,075 m   

559

18,9  19,6  5,8  153m 2 /s 2 9,80665 m/s 2

s 

1,15

La cabeza total o piezométrica es

hPS  23 m

13.10

NOTA: La potencia requerida es   V 1060 kg/m3  0,015 kg/m 3 W  g  hPS  23 m  9,80665 m/s 2  0,86

L  v H f   fD   K f   D 2 2 42 m   3,4 m/s   14,6  H f   0,021 0,075 m 2   H f  11,8  14,6  5,78 m 2 /s 2  153 m 2 /s 2

s

2

2 2

Fenómenos de Trasporte

 110  90  E 3 Pa s2 m  9,8067 2   3 9,80665 m  1060 kg m s 2 2 2 2  3  1 m  3,4  "0" m2  153 m2  1,15

  0,68

H f  fD

2   V         A  

Con los valores numéricos

Las pérdidas en la entrada, en la salida, por las partes del equipo, etc., en la bomba, se consideran en su eficiencia

iv )

2

H P  P v  v1  PS  2 1  2  ( z2  z1 )  g g 2 g

K f  0,9

Te paso en línea Codos

v) P2

W  4,2 kW

vii) 

G. Chacón V.

Presión del fluido a la salida

Pdyn 2  P2  

v2 2   W v2   P1   1 2 2 V    g  z2  z1     H f

Capítulo 13 Flujo en conductos

560

G. Chacón V.

Con los valores numéricos

Pdyn 2

2 kg  "0" m 2 0,68  6 kW   90 kPa  1060 3   0,015 m 3 s m  2 s2

9,8067

m m2  1 kPa   3 1 m 153   2 2  s s  1000 kg/s 2 m

La presión de salida es

Pdyn 2  180 kPa

13.10

 : densidad del agua, 60 C  : viscosidad

983,2 kg/m3 0,47 g/m s PAsat: presión de saturación del agua, 60 C 19,94 kPa 0,005 m3/s V : flujo volumétrico  : aspereza para el material del conducto 0,01 mm Conducto de acopio, 1 L1 : D1 : z1 : P1 :

longitud del conducto 1 diámetro del conducto 1 1 Céd. 80 nivel de entrada 1 presión a la entrada 1

Nota: la presión de salida es diferente y mayor que la externa y contraria. NOTA: La presión estática, a la salida es 2  v 2 kg  3, 4 m/s  1 kPa Psta 2  Pdyn 2   2  180 kPa  1060 3 2 m 2 1000 kg/s 2 m

Psta 2  173 kPa

3m 0,0243m 0,0 m 19,94 kPa

Conducto de servicio, 2 L2 : D2 : z2 : P2 :

longitud del conducto 2 diámetro del conducto 2 2½ Céd. 160 nivel de salida 2 presión a la salida 2

8m 0,0540 m 2,3 m 200 kPa

Respuesta 13.11 Esquema del volumen de control  Ejemplo 13.11 Tubería de condensador a caldera  De un condensador, que trabaja a 60 C, se traslada el agua por medio de una bomba centrífuga, hasta una caldera que opera a 0,20 MPa y que su entrada está a 2,3 m más arriba de la salida del condensador. La bomba recibe el agua (líquido saturado) por un tubo de acero inoxidable 304 # 1 céd 80 de 3 m de largo y lo impulsa por un tramo de tubo # 2½ céd 160 de 8 m, con un codo, una T usada como codo (purga) y otra T de paso (donde se coloca una válvula de seguridad o alivio) y una válvula de paso. Para el sistema mencionado calcule la potencia, de la bomba, requerida para un gasto 5 L/s y una eficiencia, de la misma, de 70%.

Caldera

P2 T2 v2 z2

P1 T1 v1 z1 V

Condensador i)

Velocidad

Balance de masa

0  1  v1  A1   2  v2  A2

Datos conocidos:

v1  A1  v2  A2  V Fenómenos de Trasporte

561

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

562

G. Chacón V.

Con lo que

v1 

4  V 4  5 E  3 m /s   10,8 m/s 2   D1  0,0243 m 2 3

4  V 4  5 E  3 m 3 /s v2    2,18 m/s   D22  0,0540 m 2 ii )

Factores de fricción

  7 f D   0,8686  ln   Re 

2

    3,7  D    contracción súbita D0 D  0 K f  0,5

Válvula de compuerta

  

0 ,9



K f  0,2

abierta

Te paso en línea

K f  0,9

Te entrada lateral

K f  1,0

Codo de 90º estándar

K f  0,8

Salida

K f  1,0

Expansión súbita D D0  0

K

f1

 0,7 ;

K

f2

 3,7

Las pérdidas en la entrada, la salida las partes, etc., de la bomba, se consideran en su eficiencia   0,70 iv )

  



0.0540 m  2,18 m/s  983,2 kg/m 3 Re2   2,47  105 3 4,7 E  4 kg/m s

Entrada

  7   0,8686  ln   2,26 E 5  f D 2  0,0166

D  v   

0,0243 m  10,8 m/s  983,2 kg/m 3 Re1   5,48  105 4,7 E  4 kg/m s 3

iii )

  

fD2

Número de Reynolds

Re 

  7 f D1   0,8686  ln   5,48 E 5  f D1  0,0171

Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

L  v 2  v 2 H f  fD  Kf 2 D 2 Fenómenos de Trasporte

563

G. Chacón V.

v)

P2

2 vi )

0 ,9

0 ,9

1,0 E  5 m     3,7  0,0243 m   

2

1,0 E  5 m     3,7  0,0540 m   

2

Balance de energía mecánica



P1

1



 v2  2  v1  2   W   g  z2  g  z1  H f  2 2  v A

Conclusión, para el caso

2 2   V  P2  P1 v2  v1   W  g z z     2 1    2

 v2   v2   L L  f D1 1   K f 1  1   f D 2 2   K f 2  2  D1 D2  2 2   Con los valores numéricos

kg m3 1 1 kW  W  983,2 3 5 E  3 s 0,70 1000 kg m 2 /s 3 m  1 m3 200  19,94  E 3 Pa    983,2 kg

2,18  10,8 m 2  m 9,8067 2 2,3  0  m  s 2 s2 2

2

3m   10,8 m 2   0,7   0,0171 0,0243 m s2   2 2

2 8m   2,18 m 2   3,7   0,0166  1,15 0,0540 s2    2

Capítulo 13 Flujo en conductos

564

G. Chacón V.

2

kW s W  8,08 E  3  m2 2

183,1  22,6  55,7  163,5  14,7 m2 s

 2,65 kW

La potencia es

V   

: : : :

flujo volumétrico, gasto o carga 0,013 m3/s densidad del agua 996,8 kg/m3 viscosidad del agua 0,873 g/m s asperezas del material de los conductos 0,01 mm

Respuesta 13.12

W  3 kW (4 H.P.)

13.11

 Ejemplo 13.12 Bombeo

v2 P2 z2



Una bomba toma agua, a razón de 13 L/s, desde un depósito, colocada a 5 m del depósito, por medio de un conducto No. 6 Ced. 40, cuyo extremo de succión se encuentra por debajo de la superficie (nivel) del agua, en el depósito, tiene un codo y una válvula de compuerta. La bomba descarga el líquido por un conducto que desemboca 2,0 m arriba del nivel del agua en un evaporador, contra una presión de 60 kPavac. La tubería de salida es No. 3 Ced. 80, con dos codos y una válvula de globo. Ambas construidas con acero inoxidable 304. El medio se encuentra a la presión barométrica de 87 a 91 kPa. Y la temperatura entre 20 y 26 C. Considere que la eficiencia de la bomba es 75 %. Calcule la altura sobre el nivel del líquido, que debe tener la bomba, para que en su entrada se presente cavitación incipiente. Para 7 m de altura, (de la bomba sobre el nivel del líquido) determine la potencia de la bomba. Datos conocidos: Se considera crítica la mayor temperatura, pues el fluido posee un mayor valor de la presión de saturación y menor valor de la viscosidad, produciendo menor caída de presión.

26 C

T1 : temperatura

Se considera ligeramente mayor, un 15 % de la presión de saturación, del amoníaco, como capaz de producir cavitación incipiente.

Fenómenos de Trasporte

Diagrama del volumen de control

565

G. Chacón V.

v0 P0 z0

z2 - z1 v1 P1 z1

h

A la entrada (0) de la bomba: D0 : diámetro, 6 Ced. 40, 0,1541 m v0 : velocidad del fluido en el conducto de entrada z0 : nivel de la bomba hm L0 : longitud del conducto, del depósito a la bomba, 5 + h m P0 : presión a la entrada de la bomba 1,15Psat 3,87 kPa Referencia:Cavitación, carga positiva neta de succión, NSPH. En el nivel (1) del depósito: D1 : diámetro v1 : velocidad del fluido z1 : nivel del fluido (referencia) P1 : presión PAtm Capítulo 13 Flujo en conductos

566

grande “ ” 0 87 kPa G. Chacón V.

A la salida (2) del conducto: D2 : diámetro, 3 Ced. 80, v2 : velocidad del fluido z2 : nivel del fluido al salir L2 : longitud del conducto P2 : presión (87  60) kPa

0,0737 m 2m 2m 27 kPa

Entrada

Válvula de compuerta

K

Velocidad

f D0

v1  A1  v0  A0  V

f0

 1,5

  

0 ,9

1,0 E  5 m     3,7  0,1541 m   

2

Balance de energía mecánica

P2

2 vi )



P1

1



 v2  2  v1  2   W   g  z2  g  z1  H f  2 2  v A

Conclusión, para el caso

2 2  v2 P  P v  v1  L   f D 0 0   K f 0  0 0   0 1  g  z0  z1   0 2 D0     2

Número de Reynolds

D  v   

Con los valores numéricos



0,1541 m  0,70 m/s  996,8 kg/m 3 Re0   1,23  105 8,73 E  4 kg/m s 3

0

3,87  87 E 3 Pa  9,8067 m h  0 m  996,8 kg/m 3

  7 f D   0,8686  ln   Re 

567

  

0,9

    3,7  D   



2

G. Chacón V.

s2

0,702  "0"2 m 2   0,0176 5  h  m  1,5  0,7 2 m 2 2

Factores de fricción

Fenómenos de Trasporte

K f  0,8

  7   0,8686  ln   1,23 E 5 

v)

4  V v1  0   D12 4  V 4  0,013 m 3 /s v0    0,70 m/s   D02  0,1541 m 2

iii )

K f  0,2

f D 0  0,0176

Con lo que

Re 

abierta

L  v 2  v 2 H f  fD  Kf 2 D 2

Balance de masa

ii )

K f  0,5

Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

Primera parte, evaluación de la altura de la bomba, h

0  1  v1  A1   0  v0  A0

D0 D  0

Codo de 90º estándar

iv )

i)

contracción súbita

s2

 

0,1541 m

 

2

s2

 83,397  0,245  0,140  0,368  9,83  h  0

h  8,4 m

Capítulo 13 Flujo en conductos

568

13.12

G. Chacón V.

Segunda parte, potencia de la bomba, para una altura de 7 m. i)

Velocidad

v1  A1  v2  A2  V Con lo que

4  V 0   D12 4  V 4  0,013 m 3 /s v2    3,05 m/s   D22  0,0737 m 2

v1 

Con los valores numéricos

kg m 3 1  27  87  E 3 Pa  W  996,8 3 0,013  m s 0,75  996,8 kg/m 3

3,05  "0" m 9,8067 2 2  7  0  m  s 2 5  7  m  1,5  0,70 2    0,0176 0,1541 m   2 2

Número de Reynolds

Re2  iii )

Conclusión, para el caso

2 2   V  P2  P1 v2  v1  W  g z2  z1       2   v2   v2 L L  f D 0 0   K f 0  0   f D 2 2   K f 2  2 D0 D2 2  2 

0  1  v1  A1   2  v2  A2

Re 

Balance de energía mecánica P  v  2  v1  2   W  1 2   g  z2  g  z1  H f   2 1 2 2  v A

vi )

Balance de masa

ii )

v) P2

D  v   



Factores de fricción

Salida

½ abierta

expansión súbita D D0  0

K

Sea iv )

f2

K f  9,5

2

kW s W  18,9 E  3  m2

K f  1,0 K f  0,8

Dos codos de 90º estándar

m2  60,2  88,3  4,6  0,7  58,2 2 s

 12,1 W  1,82 kW

Pérdidas de energía, por fricción y “menores”

fD2

  7   0,8686  ln   2,56 E 5 

  

0,9

1,0 E  5 m     3,7  0,0737 m   

m2  s2 m2  s2

2 2m   3,05 m 2   0 , 0161 12 , 1    0,0737 s2    2 1 kW 1,15 1000 kg m 2 /s 3

0,0737 m  3,05 m/s  996,8 kg/m 3  2,56  105 8,73 E  4 kg/m s 3

Válvula de globo

2

2

La potencia es

W  2 kW (2½ H.P.)

13.12

f D 2  0,0161 Fenómenos de Trasporte

569

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

570

G. Chacón V.

Ejemplo 13.13 Flujo de calor en régimen laminar

Balance de energía térmica, (Ec. 13.4)

Una solución de azúcar y otros compuestos, con 20° Brix, se calienta de 10 C a 40 C. El sistema lo forma un conjunto de conductos de acero inoxidable 304 de dos pulgadas cédula cuarenta, con un flujo de 30 mL/s, cada uno. El calentamiento es con vapor de agua, de tal forma que su pared se encuentra a 100 C. Evalúe la longitud de cada conducto y la caída de presión.

1  T   TL   h L Nu L    ln s  4  Ts  T0    c P   v  D Re  Pr D Resolviendo, con las propiedades a la temperatura logarítmica media entre los extremos del conducto.

TLM 

TL  T0  ln TL T0 

Datos conocidos: cuadro cuadro cuadro cuadro 310-5 m3/s

CP: capacidad calorífica k: conductividad térmica V : flujo volumétrico

0,0525 m ¿? 0,01 mm

D: diámetro del conducto L: longitud del conducto : aspereza para el conducto

CP k

C °Brix kg/m3 mPa s kJ/kg K W/m K

i)

10 20 1169 2,665 4,13 0,52

40 20 1097 1,199 4,32 0,59

Velocidad

 v  v 

¿? 100 C 10 C 40 C

h: coeficiente de película TW: temperatura de la pared T0: temperatura a la entrada TL: temperatura a la salida

 

C 25 °Brix 20 kg/m3 1134  kg/m s  (*) 1,74710-3 CP J/kg K 4,22103 k W/m K 0,55 (*) Interpolación ln con 1/T(en K) T

: densidad : viscosidad

T

40  10  297,9 K  25C  40  273,15  ln    10  273,15 

4  V 4  3 E  5 m 3 /s    D12  0,0525 m 2

v  0,014 m/s ii )



Número de Reynolds

Re  Re 

D  v   





4  V    D

4  3 E  5 m 3 /s 1134 kg/m 3   0, 0525 m 1, 747 E  3 kg/m s

Re  472

Flujo laminar 

Respuesta 13.13 iii ) Consideraciones, las del modelo de transferencia de calor en conductos.

Fenómenos de Trasporte

571

G. Chacón V.

Coeficiente de transferencia de calor o de película 13

D  Nu  1,86  Re  Pr   L 

Capítulo 13 Flujo en conductos

572

    W

  

0 ,14

G. Chacón V.

(**) No se conoce la viscosidad de la solución a la temperatura de la pared, pero se considera que es mejor aproximación usar, para esta corrección, los valores correspondientes al agua pura que extrapolar con los valores dados de la solución.

 0,893  1,86    0,822  Pr 

0 ,14

El flujo de calor transferido por cada tubo es

 2,19

 Q  4,3 kW

C P   4,22 E 3 J/kg K  1,764 E  3 kg/m s  k 0,55 kW/m K

Pr  13,4 iv )



L D 





P



 H f  fD   

L  v 2 D 2

   v  2 64     P  Re   W 2 P  1134

32





0 ,14

  

0 ,14

L D

kg  0, 014 m/s  64  0,893  m3 2 472  0,822  2

Despejando para L,

 1  T  TL   ln  W L  Re  Pr  D   8,74  TW  T0 

P1  P2

64    fD  Re  W

13

D  4  2,19  Re  Pr    TL L    Re  Pr  T0  8,74  TL    23  T0   D  Re  Pr  L 

13.13

Caída de presión

Conclusión

T  ln  W  TW T  ln  W  TW

J m3 kg 10  40 C 1 kW Q  1134 3  4,22 E 3  3 E 5 kg K s 1000 W m



0,14

3, 5 m 0, 0525 m

La caída de presión en cada tubo es

 P  1,2 Pa

Con los valores

 1  100  40   L  472 13, 4  0, 0525 m   ln    8, 74  100  10  

13.13

32

Que representa una necesidad de energía mecánica de

W  P  V

El largo de cada tubo es

3

L  3 12 m

13.13

El flujo de calor intercambiado, de la Termodinámica:

m 1 E 6 μW W  1,2 Pa  3 E  5  s W W  36 μW



Q    cP  V T0   TL   Fenómenos de Trasporte

573

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

574

G. Chacón V.

 Ejemplo 13.14 Analogía de los procesos de transferencia  Por una tubería 1 BWG 12 de 1,5 m de largo, fluye agua con una rapidez de 1 kg/s. La temperatura a la entrada, para el fluido, es de 20 C y la temperatura de la pared, del conducto, se considera aproximadamente constante en 50 C. Si se conoce que la caída de presión, entre los puntos de entrada y salida es de 7,0 kPa, estime la temperatura de salida (del agua).

Balance de energía térmica, (Ec. 13.14)

1  T   TL   h L Nu L    ln s  4  Ts  T0    c P   v  D Re  Pr D Resolviendo, con las propiedades a la temperatura logarítmica media del conducto

TLM 

TL  T0 ln TL T0 

Como primera iteración se toma la temperatura a la salida como

T L  30 C

Datos conocidos:

: densidad del agua : viscosidad constante

Ref. Ref. Ref. Ref. 1 kg/s

CP: capacidad calorífica k: conductividad térmica m : flujo másico L1: longitud del conducto D1: diámetro interno del conducto 1 BWG 12 : valor de las asperezas h: coeficiente de película TW: temperatura de la pared T0: temperatura a la entrada TL: temperatura a la salida P: caída de presión en el conducto

TLM 

30  20  298,1 K  25 C  30  273,15  ln    20  273,15   

1,5 m 0,0199 m ¿? 50 C 20 C ¿? 7 kPa

CP k Pr

i)

Velocidad

m 4  m    A     D2 4  1 kg/s v  3,2 m/s 2 997,04 kg/m 3   0,0199 m 

ii )

575

G. Chacón V.



Número de Reynolds

D  v   

4  m   D 4  1 kg/s Re    0,0199 m  0,893 E  3 kg/m s Re 



Re  7,2  10 4 Fenómenos de Trasporte

25 997,04 0,89310-3 4,1796103 0,610 6,12

 v  v 

Respuesta 13.14 Consideraciones, - Las del modelo de transferencia de calor en conductos - Se desprecia la variación de la temperatura a lo largo del conducto interno (de bronce) - Se cumple la analogía de Chilton Colburn.

C kg/m3 kg/m s J/kg K W/m K

T

Capítulo 13 Flujo en conductos

Flujo turbulento  576

G. Chacón V.

iii )

Coeficiente de transferencia de calor o de película Por el principio de analogía entre los procesos de transferencia, ya que se conoce la caída de presión



Caída de presión, con el balance de energía mecánica.





P



 H f  fD

L  v 2 D 2

fD  P D Nu   2 8 4     v  L Re  Pr1 3 Nu  iv )

 v  v 

4  m 4  1 kg/s  2 2    D 997,62 kg/m 3   0,0199 m 

v  3,2 m/s Valorando TL,

Conclusión, de la Ec. 13.4,

  7 E 3 Pa TL  50 C  50  20  exp   2 23 3  997 ,57 kg/m 3,2 m/s  6,51 

 Re  Pr 1 3 D L  P   4 2 Re  Pr 4     v  L D 

 T  TL   P    ln W 2 23  TW  T0     v  Pr

C kg/m3 kg/m s J/kg K W/m K

Velocidad

 P D Re  Pr 1 3 2 4    v  L

 T  TL  ln W  TW  T0

22,7 997,57 0,94710-3  (*) CP 4,1806103 k 0,606 Pr 6,51 (*) Interpolación ln con 1/T T

fD Nu  8 Re  Pr1 3 P1  P2

1

  25,5  273,15  TLM  25,5  20 ln   295,9 K  22,7 C   20  273,15 

La temperatura de salida del agua de enfriamiento es 

T L  25 C

13.14

La transferencia de calor en el sistema, de la Termodinámica

Despejando para TL,

   P TL  TW  TW  T0 exp  2 23     v  Pr 

Q    cP  V T0   TL    m  cP T0   TL  

Con los valores

  7 E 3 Pa TL  50 C  50  20 exp  2 23 3  997,04 kg/m 3,2 m/s  6,12 

T L  25,5 C

kg J 25  20  C 1 kW Q  1  4,18 E 3 s kg K 1000 W El flujo de calor transferido por cada tubo es

Q  21 kW

13.14

“Refinando” el resultado

Fenómenos de Trasporte

577

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

578

G. Chacón V.

Ejemplo 13.15 Diámetro equivalente Un flujo de 2 L/s de agua para enfriamiento a 20 C, corre por el espacio anular entre dos tubos concéntricos, Intercambiador tubo-tubo. El conducto interno es de bronce 1 BWG 14 y el externo de PVC 3 Céd 40 y tienen 1,0 m de largo. La temperatura de la pared del tubo interno se mantiene en 150 C, constante aproximadamente. Calcule la transferencia de calor al agua de enfriamiento.

- Se supone flujo turbulento y se puede usar el diámetro equivalente - Volumen de control: el flujo de agua dentro del conducto anular.

Esquema del volumen de control Flujo agua de enfriamiento, conducto externo V

Datos conocidos:

: densidad : viscosidad

Ref. Ref. Ref. Ref.

CP: capacidad calorífica k: conductividad térmica

V : flujo volumétrico L1: longitud de cada conducto D1: diámetro externo del conducto interno, de bronce 1 BWG 14 D2: diámetro interno del conducto externo, de PVC 3 Céd 40 : valor de las asperezas para tubo liso h: coeficiente de película TW: temperatura de la pared T0: temperatura a la entrada TL: temperatura a la salida

0,002 m3/s 1m 0,0254m 0,0779 m 0,0015 mm ¿? 150 C 20 C ¿?

D1

Balance de energía térmica, (Ec. 13.14)

1  T   TL   h L Nu L    ln s  4  Ts  T0    c P   v  D Re  Pr D Resolviendo, en términos del diámetro equivalente







4  D22  D12 4 A 4  De   D2  D1   D2  D1  dS    dλ



De  0,0779  0,0254  m

Respuesta 13.15

De  0,0525 m

Consideraciones, - Las del modelo de transferencia de calor en conductos - Se desprecia la variación de la temperatura a lo largo del conducto interno (de bronce) - Se desprecian las pérdidas del calor al medio (a través de conducto externo)

Fenómenos de Trasporte

D2

579

G. Chacón V.



Las propiedades a la temperatura logarítmica media, entre la entrada y la salida del conducto

TLM 

TL  T0 ln TL T0 

Capítulo 13 Flujo en conductos

580

G. Chacón V.

Como primera iteración se toma la temperatura a la salida

TL  30 C

TLM 

30  20  298,1 K  25 C  30  273,15  ln    20  273,15  C kg/m3 kg/m s J/kg K W/m K

T

  CP k Pr

i)

0,092 L  Pr   TL  TW  TW  T0  exp  0, 2 0,6  Re  Pr D  PrW

25 997,04 0,89310-3 4,1796103 0,610 6,12





v  0,47 m/s ii )

T L  150  130  0,89  34 C





“Refinando” el resultado

TLM 

De  v  



iii )

27 996,49  (*) 0,85410-3 CP 4,1792103 k 0,613 Pr 5,83 (*) Interpolación ln con 1/T

Nu  0,023  Re iv )



Flujo turbulento 

Coeficiente de transferencia de calor o de película 45

 Pr

25

 Pr   PrW

  

14

Re  14

 T  TL  0,023  Re 4 5  Pr 2 5 L  Pr    4    ln  W Re  Pr D  PrW   TW  T0  581

C kg/m3 kg/m s J/kg K W/m K

Número de Reynolds

Conclusión.

Fenómenos de Trasporte

34  20  300,2 K  27,0 C  34  273,15  ln    20  273,15  T

0,0525 m  0,47 m 3 /s  997,04 kg/m 3 Re  0,893 E  3 kg/m s Re  2,75  10 4

  

 0,092 TL  150 C  150  20 exp   0, 2 0,6  2,75 E 4  6,12  14 1 m  6,12      0,0525 m  1,16  

Número de Reynolds

Re 

14

  

Con los valores

4  V 4  0,002 m 3 /s   D22  D12  0,0779 m 2  0,0254 m 2





Despejando para TL,

Velocidad

 v  v 

14

 T  TL  L  Pr  0,092   0, 2    ln W 0,6  TW  T0  Re  Pr D  PrW 

G. Chacón V.

0,0525 m  0,47 m 3 /s  996,49 kg/m 3 0,854 E  3 kg/m s Re  2,87  10 4

Capítulo 13 Flujo en conductos

Flujo turbulento 

582

G. Chacón V.

Valorando TL,

Vapor de agua, sobre calentando (Perry), en el conducto a 3 MPa Ta: temperatura 700 K : densidad 9,63 kg/m3 : viscosidad 2,6010-5 kg/m s CP: capacidad calorífica 2,26103 J/kg K k: conductividad térmica 0,061 W/m K Pr: número de Prandtl 0,96

 0,092 TL  150 C  150  20 exp   0, 2 0, 6     2 , 87 E 4 5 , 83  1 m  5,83    0,0525 m  1,16 

14

  

La temperatura de salida del agua de enfriamiento es

T L  34 C

13.15

La transferencia de calor en el sistema, de la Termodinámica es:

Q    cP  V T0   TL   kg J m3 34  20  C 1 MW Q  996,49 3  4,18 E 3  2 E 3 m kg K s 1E 6 W

 Ejemplo 13.16 Conducto aislado

Aislante, para el conducto k1: conductividad térmica D2: diámetro externo del aislante

13.15



Una corriente de vapor de agua a 700 K y 3 MPa fluye dentro de un conducto de acero, horizontal  8 Céd 140, con un caudal de 5 t/h. El sistema se recubre, con un aislante, de conductividad térmica de 0,10 W/m K y se encuentra en un ambiente a 300 K. Estime el valor del espesor, necesario, del aislante, para que la temperatura de su cara externa, no sea mayor de 400 K.

0,10 W/m K ¿?

Aire, que rodea el aislante TAM: temperatura media

TAM 

El flujo de calor transferido es

Q  0,12 MW

Metal, del conducto k0: conductividad térmica 40 W/m K : valor de las asperezas 0,046 mm D1: diámetro externo del conducto 8 BWG 140 0,2191 m

400  300  350 K 2

g22: Pr: número de Prandtl Tf: temperatura

6,482107 1/m3 K 0,6972 300 K

Respuesta 13.16 Esquema del volumen de control Tf

D 2 D1

D0

Ta

Datos conocidos: 5 t/h m : flujo másico D0: diámetro interno del conducto 8 BWG 140 0,1778 m Fenómenos de Trasporte

583

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

584

G. Chacón V.

Consideraciones, - Las de los modelos de transferencia de calor en conductos y en paredes, despreciando el efecto de la radiación. i)

m 4  m    A     D2

4  5 t/h  1000 kg/1 t  1 h/3600 s 9,63 kg/m 3   0,1778 m 

2

 5,8 m/s 

0,423 400  300  K  0,6972

m K Gr  Pr  3,3  10 8

D  v   





4  m  D

Coeficiente de transferencia de calor o de película, para el vapor

hD Nu   0,023  Re 4 5  Pr 1 3 k ha  0,023  3,8 E 5 

0,96   1

0 ,14

 Pr   PrW

  

14



Coeficiente de transferencia de calor o de película, para el aire, en reposo

2 3 D TW  T f  Pr 2

Considerando, como primer intento, un espesor del aislante de   0,1 m.

D 2  0, 2191  2  0,1 m  0,42 m

Fenómenos de Trasporte

585

1 kW 1000 W

  LTa  T2 

Q 

1 ln D1 D0  ln D2 D1    ha  D0 2  k1 2  k2 Ta  T2 q D  D D D0 1 ln  2  0 ln  1   ha 2  k1  D0  2  k 2  D1

  

Resolviendo para el diámetro externo del aislante, D2.

0,061 W/m K 0 ,1778 m

ha  228 W/m 2 K

Gr  Pr  g  

TW  T2  400 K

Transferencia de calor

Espesor del aislante, con el balance de energía en el sistema, Sec.6.2.2

Flujo turbulento 

13



q  0,52 kW/m 2

4  5 t/h  1000 kg/1 t  1 h/3600 s Re   3,8  105   0,1778 m  2,60 E  5 kg/m s

45

14

q  h f TW  T f   5,2 W/m 2 K 400  300  K

Número de Reynolds

Re 

iv )

3

14

v

iii )

1

 T  Tf   400  300    1,32  h f  1,32  W   0,42   D2  h f  5,2 W/m 2 K

Velocidad del vapor

 v  v 

ii )

Gr  Pr  6,482 E 7

D ln  2  D1

 D   2  k 2  T2  Ta 1 D     0 ln 1   D0  q ha 2  k 1  D 0   

 D2  2  0,1 W/m K  700  400  K  ln  0,1778 m  520 W/m 2  0,2191 m  1 0,1778 m  0,2191 m   ln  2 228 W/m K 2  40 W/m K  0,1778 m  D 2  0, 4177 m El espesor es

G. Chacón V.

  99 mm

Capítulo 13 Flujo en conductos

586

G. Chacón V.

Respuesta 13.17

“Refinando” el resultado 14

 400  300  h f  1,32    0,4177 

 5,19 W/m 2 K



Nomenclatura A = CO2

B = aire

Consideraciones, las del modelo de transferencia de masa en conductos y se usan las propiedades de la mezcla gaseosa, como las ponderadas con los valores correspondientes a las sustancias puras.

Transferencia de calor

q  5,19 W/m 2 K 400  300  K  519 W/m Espesor del aislante

 D2  2  0,1 W/m K  700  400  K  ln  0,1778 m  519 W/m 2  0,2191 m  1 0,1778 m  0,2191 m  ln   2 228 W/m K 2  40 W/m K  0,1778 m  D 2  0, 4174 m

El espesor de la capa aislante es

  0,1 m

13.16

Datos conocidos, interpolando (Welty, Perry) para una composición promedio T P v D

: : : :

298 K 1,01 MPa 1 m/s 0,508 m

temperatura presión 10 atm velocidad diámetro del conducto

PA* : presión parcial del CO2 en equilibrio con la fase líquida yAG : composición del CO2 en el seno de la corriente

0,83 MPa 0,1 f.m.

PAi  PA*

y Ai  Ejemplo 13.17 Transferencia de masa en la corriente de aire, en una columna de pared húmeda Por una columna de pared húmeda de 508 mm de diámetro interno, fluye una mezcla de aire y anhídrido carbónico a razón de 1 m/s, junto a una corriente de agua (que se desliza sobre la pared del conducto). La columna opera a 10 atm y 25 C, En un punto dado del tubo, se tiene una concentración de 0,1 fracción mol de dióxido de carbono en el flujo gaseoso. En ese mismo punto, en la interfase, en el líquido, se tiene una fracción mol del anhídrido de 0,005, que corresponde a una presión parcial de 0,83 MPa, al equilibrio, de dicha sustancia en el aire. Calcule el flujo, local (en ese punto) de la masa del anhídrido carbónico.

Fenómenos de Trasporte

587

G. Chacón V.

PAi PA* 8,3 E 5 Pa    0,82 P P 10 atm  1,01325 E 5 Pa

y AM 

y AG  y Ai 0,10  0,82   0,46 2 2

Densidad

  1,786  0,46  1,1842  0,54  kg/m 3 

10 atm 1 atm

14,6 kg/m3

: densidad a 10 atm

Viscosidad

  14,896  0,46  18,38  0,54  mg/m s



16,8 mg/m s

: viscosidad

DABP: ifusividad CO2 en el aire

1,57 Pa m2/s

588

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

Balance de masa local,

El flujo de masa de anhídrido carbónico transferido en ese punto (local) entre la solución acuosa y la gaseosa, es

N A  k y  y Ai  y AG 

i)

Velocidad

 v  v  1 m/s

ii )



13.17

Número de Reynolds

Re  Re 

D  v   

 Ejemplo 13.18 Coeficiente local de transferencia de masa 



0,508 m  1 m/s  14,6 kg/m 3  4,3  105 1,68 E  5 kg/m s



Flujo turbulento iii )

Número de Schmidt.

Sc  Sc  iv )

N A  0,9 mol/m 2 s



  DAB

1,68 E  5 kg/m s  1,01 E 6 Pa  0,74 14,6 kg/m 3  1,57 Pa m 2 /s



Coeficiente de transferencia de masa

Sh  0,023  Re 0,83  Sc 1 3  k y  0,023 4,3 E 5 

0 , 83

kC  D k y  D R  T  D AB D AB P

0,74 

13

 : densidad del aire 1,5 atm

1,807 kg/m3

1,205 kg/m a 1 atm - Interpolación gas perfecto o ideal



El flujo de masa de CO2 local entre el agua y el aire

N A  k y  y Ai  y AG 

18,13 mg/m s DABP: difusividad del agua en el aire T DABP K Pa m2/s 273 2,229 Perry 298 2,634 Welty 293 2,55 PA0 : presión de vapor o de saturación del agua 2,339 kPa

V D yAi yAG

mol N A  1,2 2 0,82  0,1 m s 589

293 K 152 kPa

 : viscosidad del aire

1,57 Pa m 2 /s  1,01 E 6 Pa 0 ,508 m  8,314 51 J/mol K  298 K  1,01 E 6 Pa

Fenómenos de Trasporte

Datos conocidos, interpolando: T : temperatura P : presión 1,5 atm 3



k y  1,2 mol/m 2 s

Una tubería de 4 Céd 40 de diámetro, que se ha lavado, se seca mediante una corriente de aire. La tubería es de acero comercial muy usado. El flujo de aire es de 0,10 m3/s. En un punto dado la temperatura es de 20 C, la presión de 1,5 atm y la humedad es de 10% de la saturación. Considerando que la película en la pared es agua pura, calcule la transferencia local de la masa del agua al aire. Desprecie el efecto de la evaporación en la temperatura del sistema.

G. Chacón V.

: : : :

flujo volumétrico diámetro del conducto composición en la interfase composición en la corriente

Capítulo 13 Flujo en conductos

590

0,1 m3/s 0,1023 m ¿? ¿? G. Chacón V.

Respuesta 13.18

El flujo de masa local entre el agua y el aire

Consideraciones, las del modelo de transferencia de masa en conductos y se usan las propiedades del aire, seco, como si fuesen las de la mezcla aire agua.

La composición del agua en la interfase, en la fase gaseosa, por ser agua “pura”, en la fase líquida, se considera la saturación, por las leyes de Roult y Dalton

Balance de masa local,

y Ai  y* 

N A  k y  y Ai  y AG  i)

y Ai 

Velocidad

 v  v  ii )

4  V 4  0,1 m 3 /s   12 m/s   D12  0,1023 m 2



Re  Re 

D  v   





4  V    D

4  0,1 m 3 /s 1,807 kg/m 3  1, 24  105   0,1023 m 1,813 E  5 kg/m s



iv )

   DAB



1,813 E  5 kg/m s  152 E 3 Pa  0,60  1,807 kg/m 3  2,55 Pa m 2 /s

Coeficiente de transferencia de masa

Sh  0,023  Re 0 ,83  Sc1 3

Sh 

ky 

N A  k y  y Ai  y AG 

0,83

mol 0,0154  0,00151E3 mmol 2 m s mol

El flujo de masa de agua transferido en ese punto (local) es

N A  46 mmol/m 2 s

kC  D k y  D R  T  DAB DAB P 0, 023 1, 24 E 5 

2,339 kPa  0,00154 f.m. 152 kPa

El flujo de masa de agua transferido al aire, es

N A  3,3

Número de Schmidt.

Sc 

PA0  0,1 P

y AG  0,1

Flujo turbulento iii )

2,339 kPa  0,0154 f.m. 152 kPa

Composición del agua en el seno del aire, 10 % saturado

y AG

Número de Reynolds

PA0 P

 0, 60 

13

13.18

 2,55 Pa m 2 /s

0 ,1023 m  8,31451 J/mol K  293 K

k y  3,3 mol/m 2 s Fenómenos de Trasporte

 591

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

592

G. Chacón V.

Se propone separar etanol de una solución acuosa con proteínas. Para lo cual, se introduce la mezcla dentro de un conducto al que atraviesa. El tubo es de material semipermeable (  0,1 mm) de 20 mm de diámetro externo, 1,55 mm de espesor y 0,5 m de largo. Dentro del cual, se hace pasar agua, que entra pura, a razón de 30 L/h. Si se considera que la concentración en la pared interna del tubo, es de 30 % (en peso) de etanol y se mantiene constante, aproximadamente, a lo largo del mismo, estime la concentración a la salida del conducto. Datos conocidos, a 25 C: 298 K 997 kg/m3 0,893 g/m s 6,12 0,03 m3/h 0,5 m 0,0169 m 0,1 mm

T :  :  : Pr : V : L : D1 :  :

temperatura densidad del agua viscosidad del agua No. de Prandtl del agua flujo volumétrico longitud del conducto diámetro del interno del conducto valor de las asperezas

ky : xW : x0 : xL :

coeficiente de transferencia de masa del etanol ¿? concentración del etanol en la pared 30 % p.p. concentración del etanol a la entrada 0 concentración del etanol a la salida ¿?

xW 

0,3 46,069  0,14 0,3 46,069  0,7 18,015

Difusividad del etanol en agua a 25 C x DAB  2 f.m. kg/m3 m /s109 0,000 0,050 0,275 0,500 0,700 0,950 Fenómenos de Trasporte

1,28 1,13 0,41 0,90 1,40 2,20 593

Respuesta 13.19 Consideraciones, las del modelo de transferencia de masa en conductos y se usan las propiedades del agua como si fuesen las de la mezcla alcohol agua. Balance de masa de una sustancia, (Ec. 13.15)

Sh L 1  C   C AL    k L  L    ln As  4  C As  C A0   v  D Re  Sc D Resolviendo, La concentración logarítmica media del conducto, no funciona en este caso, a pesar de que el fenómeno presenta comportaiento logarítmico para la concentración.

Como primera iteración se toma la concentración a la salida, como

x L  0,05 f.m

x AM 

0,05  0  0,025 2

Del cuadro m2/s109

kg/m3

2,5

1000

2,0 900 1,5 1,0 800

Densidad



Difusividad

 Ejemplo 13.19 Tubo de diálisis

0,5 0,0

997,0 977,7 911,5 858,8 824,9 791,2

700 0,0

0,2 0,4 0,6 0,8 Concentración, fración mol

D AB  1,21  10 9 m 2 /s

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

594

1,0



G. Chacón V.

i)

iv )

Velocidad

 v  v 

 C  C AL  1,86 Re  Sc  1 3  D    4  ln  AW   Re  Sc L  C AW  C A0 

13

4  0,03 m 3 /h 1 h  0,037 m/s  0,0169 m 2 3600 s

v

ii )

m 4  V    A   D2 

D  v   4  V   Re     D

 C  C AL  7,44    ln AW 23  C AW  C A0  Re  Sc  D L 



  7,44 x AL  x AW  x AW  x A0  exp  23  Re  Sc  D L  

4  0,03 m 3 /h  997 kg/m 3 1h   0,0169 m  8,93 E  4 kg/m s 3600 s

Re  701

L D

Despejando para xAL  CALCL

Número de Reynolds

Re 

Conclusión.

Con los valores

Flujo laminar



  7,44 x AL  0,14  0,14  0 exp   23  701  740  0,0169 m 0,5 m  

x AL  0,00159 f.m iii )

Número de Schmidt.

Sc 

iv )

   D AB



0,893 E  3 kg/m s  740 997 kg/m 3  1,21 E  9 m 2 /s

Como no existe relación para el número de Sherwood, para flujos en régimen laminar, se emplea el principio de analogía entre los procesos de transferencia de Chilton Colburn Reynolds

fD Nu Sh   13 8 Re  Pr Re  Sc1 3 Usando

Nu  1,86 Re  Pr  D L  1 3

13.19

La transferencia de masa de alcohol en el sistema

 M A  V C A0   C AL    V  x A0   x AL   M 3 3 m 997 kg/m M A  0, 03   0, 00159  0  f.m.  h 46, 069 kg/kmol 1 h 1 E 6 mmol 3600 s 1 kmol

El flujo de masa del etanol es

M A  0,28 mmol/s

Al sustituirla queda

Sh  1,86 Re  Sc  D L  1 3 595

x AL  0, 00159 f.m.

“Refinando” el resultado, no afecta apreciablemente el valor de DAB

Coeficiente de transferencia de masa

Fenómenos de Trasporte

La concentración a la salida del conducto es

G. Chacón V.

Capítulo 13 Flujo en conductos

596

13.19

G. Chacón V.

Escuela de Ingeniería Química Facultad de Ingeniería Universidad de Costa Rica

Cuadro 1 Relaciones geométricas para cuerpos homogéneos Prisma rectangular y d

Apuntes de clase sobre FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cantidad de movimiento, calor y masa

z w

CUADROS

x h

Ax  w  d

Área transversal

S yz  2w  d h

Superficie lateral Momento de inercia (área) Volumen Momento de inercia (masa)

CARACTERÍSTICAS DE LOS CUADROS -

I x  121 d  w3 I y  121 d 3  w V  d wh J z  121 m w 2  d 2



Cilindro y

Son para apoyo didáctico y para las evaluaciones Están incompletos (el usuario debe completarlos para otros usos) Las fórmulas y otros relaciones para el cálculo de parámetros y propiedades son las que tienen apoyo teórico, no pretenden ser las más exactas (el lector puede usar otras, más “modernas”).

h

z x

D

Superficie lateral Momento de inercia (área)

Az  14   D 2 S   Dh I x  I y  641   D 4

Volumen

V  14   D 2  h

Momento de inercia (masa)

J z  18 m  D 2

Área transversal Gerardo Chacón Valle 2012



Fenómenos de Transporte

598

G. Chacón V.

Cilindro Hueco y

y z

h

r

z x

D

D





Momento de inercia (área)

Az  14  1   2 D 2 S   1   D  h I x  I y  641  1   4 D 4

Volumen

V  14  1   2 D 2  h

Área transversal Superficie lateral



Área transversal

Ar  4    r 2

Volumen

V  16   D 3

Momento de inercia (masa)

J r  101 m  D 2



Esfera hueca y

J z  18 m1   2 D 2

Momento de inercia (masa)

r Cono y zh D

z x

z0

 DD

h

z r

Área transversal

Az    r 2

Superficie lateral

Momento de inercia (área)

S   r r  z r D  z 2h I x  I y  641   D 4

Volumen

V  121   D 2  h

Momento de inercia (masa)

Jz 

2

3 40

Ar  4    r 2

Área transversal

x

Relación (Thales)

x

D

2

Volumen

V  16  1   3 D 3

Momento de inercia (masa)

J r  101 m

Concha esférica (   1 )

1    D 1    5

2

3

J r  16 mD 2

m  D2

Esfera Fenómenos de Transporte

599

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

600

G. Chacón V.

Cuadro 2 Propiedades moleculares de las sustancias (R.A. Svehla 1962) Sustancia

Fórmula

M

Cuadro 2. (Cont.) Propiedades moleculares de las sustancias Sustancia





K

nm

01 02 03 04 05 06

Helio-4 Neón Argón Criptón Xenón Aire

He Ne Ar Kr Xe

4,003 20,180 39,948 83,800 131,300 28,95

10,22 32,8 93,3 178,9 231,0 78,6

0,2551 0,2820 0,3542 0,3655 0,4047 0,3711

07 08 09 10 11 12

Oxígeno Nitrógeno Flúor Cloro Bromo Iodo

O2 N2 F2 Cl2 Br2 I2

31,999 28,014 37,997 70,905 159,808 253,808

106,7 71,4 112,6 316,0 507,9 474,2

0,3467 0,3798 0.3357 0,4217 0,4296 0,5160

13 14 15 16 17 18

Hidrógeno Ácido cianhídrco Ácido clorhídrico Ácido fluorhídrico Ácido bromhídrico Ácido yodhidrico

H2 HCN HCl HF HBr HI

2,016 27,026 36,461 20,006 80,912 127,912

59,7 569,1 344,7 330 449 288,7

0,2827 0,3630 0,3339 0,3148 0,3353 0,4211

19 20 21 22 23 24

Agua Peróxidohidrógeno Ácido sulfhídrico Amoniaco Hidrazina Arsina

H2O H2O2 H2S NH3 N2H4 AsH3

18,015 34,01 34,082 17,031 32,045 77,93

25 26 27 28 29 30

Fosfina Hidruro de silicio Óxido nitroso Óxido de nítrico Cloruro de nitrosilo Dióxidonitrógeno

PH3 SiH4 N2O NO NOCl NO2

34,00 32,09 44,013 30,006 65,459 46,006

Fenómenos de Transporte

601

809,1 289,3 301,1 558,3

0,2641 0,4196 0,3623 0,2900

259,8

0,4145

251,5 207,6 232,4 116,7 395,3

0,3981 0,4084 0,3828 0,3492 0,4112

G. Chacón V.

Fórmula

31 32 33 34 35 36

Dióxido de azufre Trióxodo de azufre Monóxidocarbono Dióxido de carbono Sulfurocarbonilo Formaldehído

SO2 SO3 CO CO2 COS

37 38 39 40 41 42

Cloruro de boro Floruro de boro Borato de metilo Mercurio Bromuro mercúrico Cloruro mercúrico

BCl3 BF3

43 44 45 46 47 48

Yoduro mercúrico Hexafloruroazufre Tetraflorur silicio Bromuro estánico Cloruro estánico Hexaflorurouranio

HgI2 SF6 SiF4

49 50 51 52 53 54

Ácido fórmico Bromuro de metilo Cloruro de metilo Metano Metanol Tetraclorocarbono

CH2O2

55 56 57 58 59 60

Tetrafluorcarbono Fosgeno Disulfurocarbono Cloroformo Tricloetileno Clorurometileno

Fenómenos de Transporte

CH2O

BC3H6O

Hg HgBr2 HgCl2

SnBr4 SnCl4





K

nm

64,065 80,064 28,010 44,010 60,070 30,026

335,4

0,4112

91,7 195,2 336,0

0,3690 0,3941 0,4130

117.169 67,805 68,89 200,590 360,44 271,52

337,7 186,3 396,7 750 686,2 750

0,5127 0,4198 0,5503 0,2969 0,5080 0,4550

327,53 164,050 104,060 483,306 260,502

695,6 222,1 171,9 563,7

0,5625 0,5128 0,4880 0,6388

236,8

0,5967

449,2 350 148,6 481,8 322,7

0,4118 0,4182 0,3758 0,3626 0,5947

134,0

0,4662

467 340,2

0,4483 0,5389

356,3

0,4898

M

UF6 CH3Br

CH3Cl

CH4

CH4O

CCl4 CF4 COCl2

CS2 CHCl3 C2HCl3 CH2Cl2

602

46,026 94,939 50,488 16,043 32,042 153,822 88,005 98,916 76,143 119,377 131,389 84,933

G. Chacón V.

Cuadro 3. Propiedades críticas de las sustancias (!)

Cuadro 2. (Cont.) Propiedades moleculares de las sustancias Fórmula Sustancia M   K nm 61 62 63 64 65 66

Cianógeno Acetileno Etileno Acetaldehído Metil formato Ácido acético

C2N2 C2H2 C2H4

67 68 69 70 71 72

Cloruro de etilo Etano Etanol Éter metílico Etilen amina Metil acetileno

C2H5Cl

73 74 75 76 77 78

Propileno Ciclopropano Acetona Acetato de metilo Propano Alcohol n propílico

C3H6 C3H6

79 80 81 82 83 84

1-3 butadieno Acetato de etilo n Butano Isobutano Éter etílico Dietil amina

C4H10 C4H10

85 86 87 88 89 90

n Pentano 2-2 Dimetil propano Benceno Ciclohexano n Hexano Tolueno

52,036 26,038 28,054 44,053 60,053 60,053

348,6 231,8 224,7

0,4361 0,4033 0,4163

64,514 30,070 46,069 46,069 45,084 40,065

300 215,7 362,6 395,0

0,4898 0,4443 0,4530 0,4307

251,8

0,4761

42,081 42,081 58,080 74,079 44,097 60,096

298,9 248,9 560,2 469,8 237,1 576,7

0,4678 0,4807 0,4600 0,4936 0,5118 0,4549

C4H10O C4H11N

54,092 88,106 58,123 58,123 74,123 73,138

521,3 531,4 330,1 313,8

0,5205 0,4687 0,5278 0,5678

C5H12 C5H12 C6H6 C6H12 C6H14 C7H8

72,150 72,150 78,114 84,161 86,177 92,141

341,1 193,4 412,3 297,1 399,3

0,5784 0,6464 0,5349 0,6182 0,5949

C2H4O C2H4O2 C2H4O2

C2H6

C2H6O C2H6O C2H7N

C3H4

C3H6O C3H6O2

C3H8

C3H8O

C4H6

C4H8O2

Fórmula

(!)

Fenómenos de Transporte

603

G. Chacón V.

TC K

PC MPa

ZC



Tb K

Vb

m3/kmol

01 02 03 04 05 06

He Ne Ar Kr Xe Aire

5,2 44,4 150,9 209,4 289,7 132,5

0,23 2,67 4,90 5,50 5,84 3,79

0,305 0,300 0,292 0,288 0,286 0,318

-0,388 -0,038 0,000 -0,002 0,002

4,21 27.1 87,3 119,8 165,0

0,0685 0,0168 0,0284 0,0347 0,0447

07 08 09 10 11 12

O2 N2 F2 Cl2 Br2 I2

154,6 126,2 144,1 417,2 584,2 819

5,02 3,39 5,17 7,79 10,28 11,7

0,287 0,288 0,287 0,279 0,286 0,266

0,020 0,037 0,053 0,073 0,128 0,229

90,2 77,4 85,0 239,0 331,9 457,5

0,0282 0,0347 0,0252 0,0454 0,0536 0,0715

13 14 15 16 17 18

H2 HCN HCl HF HBr HI

33,2 456,7 324,7 461,2 363,2 424,0

1,30 5,35 8,36 6,49 8,46 8,31

0,304 0,195 0,253 0,117 0,280 0,309

-0,22 0,407 0,134 0,383 0,069 0,05

20,4 298.9 188.1 292.7 206,1 237,6

0,0286

19 20 21 22 23 24

H2O H2O2 H2S NH3 N2H4 AsH3

647,1 728 373,5 405,7 653,2

21,94 19,4 9,00 11,30 14,73

0,228 0,248 0,287 0,241 0,429

0,343

373,2 423,4 212,8 239,7 386,7 218

0,0188 0,027 0,0329 0,0250

25 26 27 28 29 30

PH3 SiH4 N2O NO NOCl NO2

324 269,7 309,6 180,2 440 431,3

6,48 4,86 7,28 6,52 9,1 10,1

0,27 0,277 0,252 0,35

0,096 0,253 0,315

0,143 0,585 0,318 0,86

188 161 184,2 121,4 267,7 294,3

0,0306

0,0364 0,0236

Use el cuadro 2 para la nomenclatura de acuerdo con el número.

Fenómenos de Transporte

604

G. Chacón V.

Cuadro 3. (Cont.) Propiedades criticas de las sustancias (!) Fórmula TC PC ZC Tb Vb  m3/kmol K MPa K 31 32 33 34 35 36

SO2 SO3 CO CO2 COS CH2O

430,8 490,9 132,9 304,2 375 408

7,86 8,19 3,49 7,38 5,9 6,59

37 38 39 40 41 42

BCl3 BF3

452,0 260,8

3,87 4,99

43 44 45 46 47 48

HgI2 SF6 SiF4

49 50 51 52 53 54

CH2O2 CH3Br CH3Cl

55 56 57 58 59 60

CF4

0,269 0,255 0,300 0,274 0,26 0,223

0,244 0,423 0,048 0,225 0,099 0,282

263 318 81,7 subli 222,9 254

0,150 0,42

285,7 173.3

0,0439 0,0355 0,0515

BC3H6O

Hg

629,8 595 577

HgBr2 HgCl2

SnBr4 SnCl4

318,7 271,7

3,76 5,06

0,281

0,286

591,9

3,75

588 467 416,3 190,6 512,6 556,4

5,81 8,00 6,69 4,59 8,14 4,54

0,148 0,321 0,275 0,286 0,224 0,270

0,317 0,192 0,154 0,011 0,566 0,191

373,8 276,7 249,2 111,7 337,8 349,7

227,6 455 552 536,4 513 571

3,74 5,7 8,04 5,55 6,10 4,91

0,277 0,28 0,280 0,296 0,277 0,265

0,191 0,204 0,118 0,228 0,193 0,213

145,2 280,8 319,4 334,3 313.0 360,4

0,0157

209,3

UF6

CH4

CH4O

CCl4 COCl2

CS2

CHCl3 CH2Cl2 C2HCl3

Fenómenos de Transporte

605

0,0506 0,0378 0,0427 0,10 0,0538 0,0695

G. Chacón V.

Cuadro 3. (Cont.) Propiedades criticas de las sustancias (!) Fórmula TC PC ZC Tb Vb  K MPa K m3/kmol 400,2 5,94 0,348 0,276 252,5 61 C2N2 62 C2H2 308,3 6,15 0,271 0,188 282,3 5,03 0,283 0,086 169,4 0,0494 63 C2H4 64 C2H4O 466 5,57 0,221 0,292 293,6 5,98 0,255 0,254 304,9 0,0628 65 C2H4O2 487,2 5,74 0.208 0,463 391,1 0,0641 66 C2H4O2 592,0 67 C2H5Cl 68 C2H6 69 C2H6O 70 C2H6O 71 C2H7N 72 C3H4

460,4 305,3 513,9 400,1 456,2 402,4

5,46 4,85 6,12 5,27 5,59 5,62

0,221 0,279 0,240 0,271 0,298 0,276

0,206 0,098 0,643 0,192 0,283 0,216

285,4 184,7 351,5 248,3 289,7 250,0

0,0713 0,0522

73 74 75 76 77 78

4,63 5,51 4,71 4,69 4,21 5,12

0,286 0,277 0,234 0,256 0,273 0,252

0,137 0,264 0,307 0,326 0,149 0,617

225,4 240,4 329,4 330,1 231.1 370,4

0,0689

C3H8O

365,6 397,9 508,2 506,6 369,8 536,8

79 C4H6 80 C4H8O2 81 C4H10 82 C4H10 83 C4H10O 84 C4H11N

425,2 523,3 425,2 408.1 466,7 496.6

4,30 3,85 3,77 3,62 3,64 3,67

0,268 0,254 0,272 0,278 0,264 0,268

0,192 0,363 0,197 0,177 0,281 0,300

268,7 350,3 272,7 261,3 307,7 328,6

85 86 87 88 89 90

469,7 433,8 562,2 553,6 507,6 591,8

3,36 3,20 4,88 4,10 3,04 4,10

0,271 0,269 0,273 0,274 0,269 0,262

0,251 0,197 0,209 0,212 0,304 0,262

309,2 282,6 353,3 353,9 341,9 383,8

C3H6 C3H6

C3H6O C3H6O2

C3H8

C5H12 C5H12 C6H6 C6H12 C6H14 C7H8

Fenómenos de Transporte

606

0,0638

0,0775 0,075 0,0818 0,0832 0,106 0,0967 0,0979 0,109

0,096 0,117 0,118

G. Chacón V.

Cuadro 4 Integral de colisión para viscosidad y difusividad, basada en los potenciales de Lennard Jones. (Hirschfelder, Curtis & Bird, 1954)  T/



D

0,30 0,35 0,40 0,45

2,785 2,628 2,492 2,368

2,662 2,476 2,318 2,184

0,50 0,55 0,60 0,65

2,257 2,156 2,065 1,982

0,70 0,75 0,80 0,85



D



D

1,65 1,70 1,75 1,80

1,264 1,248 1,234 1,221

1,153 1,140 1,128 1,116

4,0 4,1 4,2 4,3

0,9700 0,9649 0,9600 0,9553

0,8836 0,8788 0,8740 0,8694

2,066 1,966 1,877 1,798

1,85 1,90 1,95 2,0

1,209 1,197 1,186 1,175

1,105 1,094 1,084 1,075

4,4 4,5 4,6 4,7

0,9507 0,9464 0,9422 0,9382

0,8652 0,8610 0,8568 0,8530

1,908 1,841 1,780 1,725

1,729 1,667 1,612 1,562

2,1 2,2 2,3 2,4

1,156 1,138 1,122 1,107

1,057 1,041 1,026 1,012

4,8 4,9 5 6

0,9343 0,9305 0,9269 0,8963

0,8492 0,8456 0,8422 0,8124

0,90 0,95 1,00 1,05

1,675 1,629 1,587 1,549

1,517 1,467 1,439 1,406

2,5 2,6 2,7 2,8

1,093 1,081 1,069 1,058

0,9996 0,9878 0,9770 0,9672

7 8 9 10

0,8727 0,8538 0,8379 0,8242

0,7896 0,7712 0,7556 0,7424

1,10 1,15 1,20 1,25

1,514 1,482 1,452 1,424

1,375 1,346 1,320 1,296

2,9 3,0 3,1 3,2

1,048 1,039 1,030 1,022

0,9576 0,9490 0,9406 0,9328

20 30 40 50

0,7432 0,7005 0,6718 0,6504

0,6640 0,6232 0,5960 0,5756

1,30 1,35 1,40 1,45

1,399 1,375 1,353 1,333

1,273 1,253 1,233 1,215

3,3 3,4 3,5 3,6

1,014 1,007 ,9999 ,9932

0,9256 0,9186 0,9120 0,9058

60 70 80 90

0,6335 0,6194 0,6076 0,5973

0,5596 0,5464 0,5352 0,5256

1,50 1,314 1,198 1,55 1,296 1,182 1,60 1,279 1,167

 =   D 

 T/

3,7 0,9870 0,8998 3,8 0,9811 0,8942 3,9 0,9755 0,8888

 T/

100 0,5882 0,5130 200 0,5320 0,4644 400 0,4811 0,4170

 T/

1,16145 ()-0,14874 + 0,52487 exp(-0,77320 ) + 2,16178 exp(-2,43787 )  1,604 ()-1/2 1,06036 ()-0,15610 + 0,19300 exp(-0,47635 ) + 1,03587 exp(-1,52996 ) + 1.76474 exp(-3,89411 )

Fenómenos de Transporte

607

G. Chacón V.

Cuadro 5

Constantes fundamentales Gravedad estándar Atmósfera estándar Temperatura estándar Cte. Univ. gases

g PStd TStd R

9,806 65 101 325 273,15 8,314 51

m/s2 Pa K kJ/kmol K

Pto. triple agua Vol. Std. del gas Dens. std. Agua 4 C Dens. std. Agua 60 °F

Tw V Std

Std Std

273,16 22,414 1 999,9720 999,0121

K m3/kmol kg/m3 kg/m3

Velocidad luz No. Avogadro Cte. Boltzmann Cte. Planck

c N k h

2,997 925 6,022 137 1,380 66 6,626 076

Cte. Stefan-Boltzmann Carga electrón Cte. de Faraday



5,6705 E-8 1,602 177 E-19 9,648 531 E 4

e F

E8 E 26 E-23 E-34

m/s 1/kmol J/K Js W/m2K4 As A s/mol

Cuadro 6 Densidad relativa o gravedad específica de fluidos normalmente usados como líquidos manométricos a 20 C/4 C g.e. / D.R. Aceite azul E. V. Hill Aceite rojo Meriam Aceite azul Meriam, Bromoetilbenceno

0,797 0,927 1,75

Benceno Dibultilftalato Monocloronaftaleno

0,879 1,04 1.20

Tetracloruro de carbono Tetrabromo metano Mercurio Mercurio Mercurio Mercurio

1,595 2,95 13,545 87 13,585 21 13,595 08 13,533 61

Fenómenos de Transporte

4C 0C 25 C

608

G. Chacón V.

Cuadro 7 Propiedades de metales a 300 K Sustancia



Mg/m3

C



J/kg K mm2/s

Cuadro 8 Conductividad térmica de metales TMP K

01 02 03 04 05 06

Hierro Puro Hierro Armco, forjado Acero al carbono 1010 Acero inoxidable 18-8 Acero inoxidable 304 Acero inoxidable 316

7,870 7,870 7,830 8,055 7,900 8,238

447 447 434 480 477 468

22,8 20,7 18,8 3,88 3,98 3,37

1810

1670

1,9 3,8

07 08 09 10 11 12

Aluminio puro Duraluminio Aluminio-195, 4,5 Cu Silumino 1,0 Cu Alusil Al-Si Al-Mg-Si

2,702 2,770 2,790 2,650 2,627 2,707

903 875 883 867 854 892

97,1 71,8 68,1 5,93 7,17 7,31

933 775

11

13 14 15 16 17 18

Cobre puro Cobre electrolítico Bronce Latón Plata alemana Constantán 40 Ni

8,933 8,950 8,800 8,530 8,618 8,92

385 385 420 380 410 420

117 112 14,1 34,2 32,8 6,06

1358

25

19 20 21 22 23 24

Niquel puro Inconel X-750 Hasteloy B Cuproníquel Platino puro Platino 40 Rh

8,90 8,51 9,24 8,80 21,45 16,63

444 439 381 421 133 162

23,0 3,13 3,47 5,26 25,1 174

1728 1665 2045 1800

25 26 27 28 29 30

Oro Plata Cinc Estaño Magnesio Plomo

19,30 10,50 7,14 7,31 1,74 11,34

129 235 389 227 1024 129

127 174 41,6 40,1 87,6 24,1

1336 1235 693 505 929 601

Fenómenos de Transporte

609

T, K  Sustancia

hI kW/ m2 K

1293 1188

G. Chacón V.

01 02 03 04 05 06

Hierro Puro Hierro Arm. Acero C 1010 Acero in.18-8 Acero in. 304 Acero in. 316

07 08 09 10 11 12

Aluminio puro Duraluminio Aluminio-195 Silumino Cu Alusil Al-Si Al-Mg-Si

13 14 15 16 17 18

200

400

1000 1200

600 800 W/m K

71 73 64 15 15 13

66 66 59 17 17 15

53 53 49 20 20 18

42 42 39 23 23 21

237 138 136 125 148

237 174 168 140 160 179

240 187 174 146 170 193

231 188 185 163 179

218

Cobre puro Cobre electr. Bronce Latón Plata alemana Constantán

413

401

393

379

366

42 74

52 134 135 23

146 147

150

21

52 111 116 21

19 20 21 22 23 24

Niquel puro Inconel X-750 Hasteloy B Cuproníquel Platino puro Platino 40 Rh

105 10,3 9

91 11,7 10

80 13,5 11

66 17,0

73

72

72

25 26 27 28 29 30

Oro Plata Cinc Estaño Magnesio Plomo

323 420 123 73 159 37

317 429 120 67 156 35

311 425 116 62 153 34

Fenómenos de Transporte

83 81

300

13

610

37 32 31 25 25 24

35 29

352

339

68 20,5

72 24,0

76 27,6

73

76

79

83

298 412 110

284 396

270 379

255 361

149 31

146

G. Chacón V.

Cuadro 9 Conductividad térmica de materiales inorgánicos

Cuadro 10 Propiedades de agua líquida saturada T

Refractarios T, K 

Ladrillo diatomea Cocido a 1330 C Ladrillo diatomea Cocido a 1450 C Missouri Magnesita Arcilla Sílica



C 300

kJ kg K

Mg m 2,0 2,3

2,6 2,53 0,98 2,65 0,938 1,32



Pyrex PTFE teflón Hule caucho Concreto Vidrio fundido Madera

2,64 0,84 2,20 1,05 1,23 1,74 2,31 0,65 2,22 0,745 0,5 2,6

Magnesia 85% Poliestireno Fibra de vidrio Fibra de vidrio Vidrio celular Corcho Espuma uretano (1) Asbestos Celulosa (1)

600

0,86

Materiales varios T, K 

Aislantes T, K 

400 W mK

0,90 4,0 0,9 1,52

50 0,38 0,32 0,14

1,06

1,08

1,29

1,35

1,39

1,87

2,60

100

k 200

300

400

0,57 0,88 1,1 0,62 1,00 0,35 0,17 0,20 0,22 0,93 - 1,41

1,6 0,45 0,24

1,67 2,15 1,8

1,38 0,10 - 0,35



C 300 kg/m3 270 0,98 30-60 1,21 28 0,835 40 145 160 1.68 70 0,58 1,05 0,045 1,34

1,04

1,39 3,03 1,4 2,22

C 300

k 800 1000 1300

250

300

0,066 0,023 0,028 0,038 0,026 0,035 0,050 0,058 0,043 0,026 0,162 0,030

k 350

400

450

0,069 0,073 0,077 0,033 0,051 0,066 0,069 0,035 0,197

Espuma de poliuretano con superficie externa aluminada

Fenómenos de Transporte

611

G. Chacón V.

C

0 2 4 6 8



kg/m3

CP



k

kJ/kg K

g/m s

W/m K

Pr

 (+)

(1/K)103

999,8396 4,2177 1,791 0,563 13,42 999,9399 4,211 1,673 0,567 12,43 999,9720 4,205 1,568 0,571 11,55 999,9399 4,200 1,473 0,575 10,76 999,8477 4,196 1,387 0,579 10.05

Pvap



Pa

kJ/kg

-0,067 6,113 -0,033 7,056 0,002 8,131 0,032 9,349 0,060 1,0721

102 102 102 102 103

2501 2497 2492 2484 2482

10 15 20 25 30

999,6987 999,0977 998,2019 997,0429 995,6454

4,1922 4,1858 4,1819 4,1796 4,1785

1,309 1,141 1,006 0,893 0,800

0,583 0,592 0,602 0,610 0,618

9,41 8,07 6,99 6,12 5,41

0,089 1,2276 103 0,151 1,7051 103 0,206 2,339 103 0,257 3,169 103 0,303 4,246 103

2478 2466 2454 2442 2430

35 40 45 50 55

994,0296 992,2136 990,213 988,037 985,696

4,1782 4,1786 4,1795 4,1807 4,1824

0,721 0,654 0,598 0,549 0,507

0,625 0,632 0,638 0,644 0,649

4,82 4,32 3,92 3,56 3,27

0,346 5,628 103 0,384 7,384 103 0,42 9,593 103 0,45 1,2349 104 0,49 1,5758 104

2419 2407 2395 2382 2371

60 70 80 90 100

983,200 977,771 971,799 965,321 958,365

4,1844 4,1896 4,1964 4,2051 4,2160

0,470 0,407 0,356 0,317 0,282

0,655 0,664 0,671 0,677 0,681

3,00 2,57 2,23 1,97 1,75

0,52 1,9940 104 0,58 3,119 104 0,64 4,739 104 0,69 7,014 104 0,75 1,01325 105

2358 2334 2309 2283 2257

110 120 130 140 150

951,0 943,4 934,9 926,2 917,0

4,229 4,244 4,263 4,285 4,311

0,256 0,233 0,213 0,195 0,184

0,685 0,686 0,687 0,687 0,686

1,58 1,44 1,32 1,22 1,16

0,84 1,4327 105 0,89 1,9853 105 0,94 2,701 105 1,00 3,613 105 1,03 4,758 105

2230 2203 2174 2145 2114

160 180 200 220 240

907,5 886,8 863,7 839 812

4,341 4,41 4,50 4,62 4,76

0,172 0,154 0,139 0,126 0,116

0,684 0,675 0,664 0,652 0,63

1,09 1,01 0,94 0,89 0,88

1,04 6,178 105 1,15 1,0021 106 1,3 1,5538 106 1,5 2,318 106 1,7 3,344 106

2083 2015 1941 1858 1767

260 280 300 320 340

784 751 712 667 610

4,97 5,28 5,76 6,58 8,19

0,108 0,101 0,094 0,084 0,075

0,61 0,58 0,54 0,51 0,46

0,88 0,92 1,00 1,08 1,34

2,0 4,688 106 2,6 6,412 106 3,0 8,581 106 4,2 1,1274 107 5,7 1,459 107

1662 1543 1405 1238 1027

350 360

574 528

9,70 0,071 14,6 0,065

0,43 0,40

1,60 2,4

6,5 18

1,651 107 1,865 107

893 720

374,15 306,75 0,045 0,24 2,21297 107 n En este y los otros cuadros 10 , significa que toda la columna está multiplicada por dicha cantidad, Ej.: para 180 C se lee  = 1,1510-3 1/K

(+)

Fenómenos de Transporte

612

G. Chacón V.

Cuadro 11 Propiedades del etilen glicol líquido saturado T C



3

Mg/m

CP kJ/kg K



k W/m K

2

mm /s

Cuadro 13 Propiedades del aceite para motor SAE 50 (sin uso)

 (+)

Pr

(1/K)10

0 10 20 30 40

1,129 1,122 1,115 1,108 1,100

2,283 2,333 2,382 2,430 2,479

54,05 31,47 18,66 12,51 8,49

0,248 0,250 0,253 0,255 0,258

562 329 196 132 89,9

50 60 80 100

1,093 1,086 1,074 1,057

2,527 2,574 2,668 2,761

6,45 4,22 2,89 1,96

0,259 0,260 0,261 0,263

68,8 45,4 31,7 21,8

4

kg/m

0 20 40 60 80 100 120 140 160

6,5 6,5

6,5



T C

mm /s

899,12 888,23 876,05 864,04 852,02

1,796 1,880 1,964 2,047 2,131

4280 900 240 83,9 37,5

0,147 0,145 0,144 0,140 0,138

47,1 10,4 2,87 1,05 0,49

840,01 828,96 816,94 805,89

2,219 2,307 2,395 2,483

20,3 12,4 8,0 5,6

0,137 0,135 0,133 0,132

0,276 0,175 0,116 0,084



kg/m3

CP



k

kJ/kg K

g/m s

W/m K

Pr

Pvap



kPa

kJ/kg

-20 -10 0 10 20

904 895 885 876 867

1,579 1,602 1,640 1,659 1,682

1,100 0,915 0,768 0,669 0,589

0,144 0,142 0,140 0,137 0,135

12,06 10,32 9,03 8,09 7,36

0,22 0,45 0,92 1,66 2,91

427,1 421,2 415,3

30 40 50 60 70 80

858 848 839 829 820 810

1,710 1,74 1,77 1,81 1,84 1,88

0,521 0,468 0,420 0,381 0,352 0,322

0,132 0,130 0,127 0,125 0,123 0,120

6,74 6,30 5,89 5,53 5,28 5,06

4,88 9,04 16,58 18,47 27,10 38,75

409,5 403,6 397,6 391,6 385,9 379,8

100 120 140 160 180

790 769 748 726 702

1,97 2,06 2,14 2,22 2,29

0,270 0,294 0,199

0,115 0,111 0,107 0,102 0,098

4,64 5,45 3,99

74,03 131,00 216,5 341,3 514,5

367,2 354,1 339,9 324,9 308,9

200 240 280 300

676 617 537 476

2,36 2,50

746,9 1438 2556 3262

291,6 253,5 200,6 154,7

Fenómenos de Transporte

0,093 0,083

613

2

 (+)

(1/K)104

7,0 7,0

7,0

n

En este y los otros cuadros 10 , significa que toda la columna está multiplicada por dicha cantidad, Ej.: para 80 C se lee Pr = 4,9102 1/K

Cuadro 12 Propiedades del tolueno líquido saturado T

Pr(+) 10-3

k W/m K

(+)

C



CP kJ/kg K

3

Cuadro 14 Propiedades de la glicerina T

G. Chacón V.



3

CP

3

k

Pr (+)

W/m K

10-3

C

Mg/m

0 10 20 30 40

1,2760 1,2701 1,2626 1,2565 1,250

2,261 2,319 2,389 2,426 2,484

8,87 3,07 1,18 0,50 0,22

0,282 0,284 0,285 0,286 0,287

90,7 31,8 12,5 5,33 2,38

50 60 70 80 90

1,243

2,544 2,548 2,588 2,625 2,657

0,15

0,288 0,289 0,291 0,293 0,294

1,65

100

kJ/kg K

 (+)

2

(m /s)10

2,686

(+)

 (+)

(1/K)104

4,7 4,8 5,0

0,295 n

En este y los otros cuadros 10 , significa que toda la columna está multiplicada por dicha cantidad, Ej.: para 10 C se lee  = 3,0710-3 m2/s

Fenómenos de Transporte

614

G. Chacón V.

Cuadro 15 Propiedades del aire a baja presión T



(*)

K

kg/m3

100 150 200 250

3,6010 2,3675 1,7684 1,4128

CP



k

kJ/kg K

mg/m s

mW/m K

1,0266 1,0099 1,0061 1,0053

6,924 10,283 13,289 15,99

9,246 13,735 18,09 22,27

Pr

Cuadro 15. (Cont.) Propiedades del aire a baja presión T g   / 2

2

1/(m3 K)

0,7688 0,7561 0,7391 0,7219

2,652 3,466 8,683 3,062

1010 109 108 108 8

273 298 300 325

1,2931 1,1842 1,1772 1,0862

1,0056 1,0062 1,0063 1,0076

17,17 18,38 18,46 19,63

24,13 26,10 26,24 28,16

0,7157 0,7086 0,7081 0,7022

2,037 1,366 1,329 9,244

10 108 108 107

350 375 400 425

0,9980 0,9412 0,8826 0,8304

1,0090 1,0116 1,0140 1,0176

20,75 21,85 22,86 23,88

30,03 31,86 33,65 35,39

0,6972 0,6937 0,6889 0,6866

6,482 4,854 3,655 2,791

107 107 107 107

450 475 500 550

0,7833 0,7429 0,7048 0,6423

1,0207 1,0255 1,0295 1,0392

24,84 25,78 26,71 28,48

37,07 38,77 40,38 43,60

0,6840 0,6819 0,6810 0,6788

2,167 1,714 1,366 9,069

107 107 107 106

600 650 700 750

0,5879 0,5430 0,5030 0,4709

1,0551 1,0635 1,0752 1,0856

30,18 31,77 33,32 34,81

46,59 49,53 52,30 55,09

0,6835 0,6822 0,6850 0,6860

6,202 4,407 3,193 2,393

106 106 106 106

800 850 900 950

0,4405 0,4149 0,3925 0,3716

1,0978 1,1095 1,1212 1,1321

36,25 37,65 38,99 40,23

57,79 60,28 62,79 65,25

0,6886 0,6930 0,6962 0,6980

1,810 1,401 1,104 8,807

106 106 106 105

1000 1100 1200 1300

0,3524 0,3204 0,2947 0,2707

1,1417 1,160 1,179 1,197

41,52 44,4 46,8 49,3

67,52 73,2 78,2 83,7

0,7021 0,704 0,705 0,705

7,064 4,64 3,23 2,27

105 105 105 105

1400 1500 1600 1700

0,2515 0,2355 0,2211 0,2082

1,214 1,230 1,248 1,267

51,7 54,1 56,3 58,4

89,1 94,5 100 105

0,705 0,704 0,704 0,704

1,66 1,24 9,45 7,31

105 105 104 104

(*)

K

 (*)

kg/m3

CP



k

kJ/kg K

mg/m s

mW/m K

Pr

g  2/2 1/(m3 K)

1800 1900 2000 2100

0,1970 0,1858 0,1762 0,1682

1,287 1,309 1,339 1,372

60,7 62,9 65,1 67,2

111 117 124 131

0,704 0,704 0,704 0,704

5,74 4,50 3,60 2,93

104 104 104 104

2200 2300 2400 2500

0,1602 0,1538 0,1458 0,1394

1,419 1,482 1,574 1,688

69,3 71,4 73,5 75,7

139 149 161 175

0,707 0,710 0,719 0,730

2,38 1,98 1,61 1,33

104 104 104 104

Cuadro 16 Propiedades del hidrógeno a baja presión T

 (*)

CP



k

kJ/kg K

mg/m s

W/m K

Pr

K

kg/m3

50 100 150 200 250

0,5096 0,2457 0,1637 0,1227 0,0982

10,50 11,23 12,60 13,54 14,06

2,52 4,21 5,60 6,81 7,92

0,0362 0,0665 0,0981 0,1282 0,1561

0,721 0,712 0,718 0,719 0,713

273 300 350 400 450

0,0904 0,0819 0,0702 0,0614 0,0546

14,46 14,31 14,44 14,49 14,50

8,42 8,96 9,95 10,86 11,78

0,175 0,182 0,206 0,228 0,251

0,696 0,706 0,697 0,690 0,682

500 600 700 800 900

0,0492 0,0408 0,0349 0.0306 0,0272

14,51 14,54 14,57 14,67 14,82

12,64 14,29 15,9 17,4 18,8

0,272 0,315 0,351 0,384 0,412

0,675 0,664 0,659 0,664 0,676

1000 1500 2000

0,0245 0,0164 0,0123

14,97 16,00 17,05

20,2 25,6 30,9

DH2,B

m2 Pa/s

NH3: 7,74

N2: 6,95 Ar: 7,01 O2: 7,06

0,440 0,686 0,587 0,697 0,751 0,701

DNH3,B: Difusividad del hidrógeno a 273 K en B

 está a una atmósfera.

Fenómenos de Transporte

615

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

616

G. Chacón V.

Cuadro 17 Propiedades del amoniaco a baja presión T K

250 273 300 400 500

(*)

3

kg/m

0,842 0,793 0,703 0,520 0,413

CP



k

kJ/kg K

mg/m s

W/m K

2,20 2,18 2,20 2,27 2,42

8,20 9,35 10,1 13,8 17,6

0,0198 0,0220 0,0246 0,0364 0,0511

Pr

Cuadro 19 Propiedades del nitrógeno a baja presión T K

DNH3,B 2

m Pa/s

0,91 0,90 0,90 0,86 0,83

Aire:

2,01 N2: 2,20 O2: 2,31 H2: 7,74

DNH3,B: Difusividad del amoniaco a 273 K en B

Cuadro 18 Propiedades del oxígeno a baja presión  (*)

CP



k

K

kg/m

kJ/kg K

mg/m s

W/m K

100 150 200 250 273

3,9918 2,6190 1,9559 1,5618 1,4402

0,9479 0,9178 0,9131 0,9157 0,9166

7,77 11,49 14,85 17,9 19,2

0,0091 0,0137 0,0182 0,0226 0,0247

0,815 Aire: 1,77 0,773 NH3: 2,31 0,745 N2: 1,83 0,725 H2: 7,06 0,696

300 350 400 450 500

1,3007 1,1133 0,9755 0,8682 0,7801

0,9203 0,9291 0,9420 0,9567 0,9722

20,6 23,2 25,5 27,8 29,9

0,0268 0,0307 0,0346 0,0383 0,0417

0,709 0,702 0,695 0,694 0,697

600 800 1000 1500 2000

0,650 0.487 0,390 0,260 0,195

1,00 1,05 1,85 1,14 1,18

33,9 41,1 47,6 62,1 74,9

0,049 0,062 0,074 0,101 0,126

0,70 0,70 0,70 0,70 0,70

T

3

Pr

DH2,B 2

m Pa/s

617

G. Chacón V.

kg/m3



CP kJ/kg K

mg/m s

k W/m K

Pr

100 150 200 250 300

3,481 2,276 1,707 1,366 1,142

1,072 1,050 1,044 1,043 1,041

6,86 10,3 13,0 15,5 17,8

0,0095 0,0157 0,0189 0,0234 0,0264

0,79 0,77 0,75 0,73 0,71

400 500 600 700 800

0,834 0,682 0,569 0,493 0,428

1,046 1,056 1,076 1,097 1,123

22,0 25,7 29,1 32,1 34,8

0,0330 0,0384 0,0458 0,0512 0,0561

0,69 0,68 0,69 0,69 0,70

1000 1200 1500 2000

0,314 0,285 0,228 0,171

1,168 1,204 1,244 1,287

40,0 44,5 51,5 61,9

0,065 0,072 0,091 0,114

0,72 0,75 0,70 0,70

 está a una atmósfera.

Cuadro 20 Propiedades del argón a baja presión  (*)

T K

DNH3,B: Difusividad del oxígeno a 273 K en B

Fenómenos de Transporte

(*)

 (*)

kg/m3

CP kJ/kg K

 mg/m s

k W/m K

Pr

150 200 250

3,471 2,409 2,006

0,527 0,525 0,523

12,5 16,5 19,5

0,0096 0,0125 0,0152

0,686 0,671 0,670

300 400 500 600

1,602 1,159 0,961 0,801

0,521 0,520 0,520 0,520

22,9 28,9 34,3 39,0

0,0177 0,0223 0,0264 0,0301

0,668 0,666 0,663 0,66

800 1000 1500

0.608 0,487 0,324

0,520 0,520 0,520

46,6 54,2 70,6

0,0369 0,0427 0,0551

0,66 0,66 0,67

Fenómenos de Transporte

618

G. Chacón V.

Cuadro 21 Estimadores para propiedades de la Interfase

Cuadro 21 (Cont.). Estimadores para propiedades de la Interfase

(nm), T(K), P(Pa), (kg/m3), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m2/s), M(kg/kmol), V(m3/kmol).

Calor latente de vaporización

Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia

  H VAP

Propiedades Críticas

z C  0,291  0,084  

TC  1,47 TB 

1, 03

21.01

 1,49  TB 

21.02

TB  50,2  0,16  M VC  2,41VB 

0 , 954

Para:

 1  T TC  h fg  0   1  T0 TC  A  B  T n

 2,76  VB

21.03

21.05

n  0,378 n  0,589 n  0,237

acetaldehído hidrógeno

B  1,093  R  TB

n

   

ln PC PB   1 0,930  TB TC 

21.06

Tensión superficial

Presión de vapor o saturación

n

B B ln PSAT   A   A   C ln T T C T

21.04

ln PSAT  

 T  C   TC  T   PC ln PC    B ln    T  C   TC  TB   PB

  

 1  T TC     A  B  T n    0   1  T0 TC  Para agua y alcoholes hidrocarburos otras sust. orgánicas

21.07

n  0,81 n  1,15 n  1,22

Para: TB  125 K: C  0,19 TB – 17,71; otros: C  0,034 TB – 0,3 elementos: C  13; sust. orgánicas: C  43

Fenómenos de Transporte

619

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

620

G. Chacón V.

Cuadro 22 Estimadores para propiedades para gases a baja presión (nm), T(K), P(Pa), (kg/m3), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m2/s), M(kg/kmol), V(m3/kmol), CP(kJ/kg), R(kJ/kmol K).

Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia

Conductividad o conductibilidad térmica

T / M   2 12

k  8, 328 10 4 12

T   kT o    T0 

 k

T   kTo  a   kT  T0 

Densidad

2 CV  3 R

m

22.11

Difusividad másica

PM ρ z  R T z  1  0,083  0,139   

D AS  

27 64   0,172     P PC   T TC 1, 6 T TC 4, 2   T TC  Se cumple para TTC  4 PPC  0,8 TTC  3 T TSaturación PPC  0,7

; 1 

TTC  1,5 TTC  1,0 TTC  0,7

22.08

PPC  2,5 PPC  0,8 VVC  2,0

T3 2  2 P  M 1AS2   AS  D

 AS   A   S  2

Capacidad calorífica

22.12

m

32

T  T  P  D AS To    0  DTo  a    T0   T0   P   DT  0,996     3,066  1 2 10  4  2,662  10  4 M AS   2 M AS  1 M A 1 M S y  AS 

 A S

C P  A  B  T  C  T 2  D T 2   R 2  M  Para: monoatómicos: diatómicos: otros orgánicos:

 5 7  8 a 9

Parámetros de escala del potencial de Lennard-Jones 22.09

T 11,38  C  PC

Viscosidad

  2,6693  10  8 12

T  To    T0 

Fenómenos de Transporte

M  T 

12

 2 



 T o a  T 1 2   T 1  b T

621

T   10,98  0,406    C  PC

22.10

G. Chacón V.

  

13

13

  

 22.13

 1,18 V B 

13

  0,7915  0,1693   TC   0,79  0,02 TC  1,18  0,03TB

Fenómenos de Transporte

622

22.14

G. Chacón V.

Cuadro 23 Estimadores para propiedades para líquidos saturados (nm), T(K), P(Pa), (kg/m ), (kg/m s), k(W/m K), DAB(m /s), M(kg/kmol), V(m3/kmol). 3

2

Capacidad calorífica

C P  A  ln T   B  C  T  D / T 2

Subíndices indican condición o punto: C: crítico, B: ebullición normal, Std: estándar o normal, 0: referencia

Viscosidad

  3,99  10  7 Densidad

ln  ρ   ln  ρ C   1  T TC  ln  zC  



27

 1  T0 TC 

27

lnz

C



23.01

ln  ρ   a  b 1  T TC   A  B  T  C  T 2 c

Volumen especifico a la temperatura de ebullición (Le Bas)

Vb   iV Ai

i: número de átomos

Nitrógeno doble enlace. amina primaria amina secundaria

Fenómenos de Transporte

3,7 Oxígeno 24,6 metil éster 8,7 metil éter 27,0 éster o éter más alto 37,0 ácido 25,6 Unido a S, P o N 15,6 Carbono 15,6 Anillo 10,5 tres at. 12,0 cuatro at. cinco at. seis at. o bencénico naftaleno antraceno

623

23.04

B    ; C  0,29TB  17,71 T C   B     exp  A   C  ln T   D  T      T   1  T TC       00,2861   233  

 1 0,2861

Conductividad o conductibilidad térmica

23.02 VAi: volumen atómico de cada elemento 3 3 (m /kmol) 10 No ofrece buenas resultados para líquidos altamente asociados y moléculas simples. Hidrógeno Cloro Flúor Bromo Iodo Azufre

exp 3,8  TB T  b  a  exp   V20C T 

  exp  A 

27

ln  ρ 0   1  T TC 

23.03

7,4 9,1 9,9 11,0 12,0 8,3 14,8 (resta) -6,0 -8,5 -11,5 -15,0 -30,0 -47,5

G. Chacón V.

1,11 3  20 1  T TC  k  12 M 3  20 1  TB TC 2 3 23

 A  B T  C T

23.06

2

Difusividad másica, a dilución infinita 0 0 DAS  DAS To

S S

To

1,173  10

S  T   T0  S

To

16

T

T

M S 1 2 T  S  VS0, 6 T

23.07

 a T

m

A

, para solvente S: agua 2,6; metanol 1,9; etanol 1,5; no asociados 1,0 Para agua como soluto es mejor usar VsA  0,0756 en lugar de 0,0188

Fenómenos de Transporte

624

G. Chacón V.

Cuadro 24 Datos para conductos (pipes) estándar (acero) ANSI, ASA Diámetro nominal

externo

No.

Espesor

cédula

m

mm

Diámetro interno

0,0103

10 40 80

1,2 1,7 2,4

0,0078 0,0068 0,0055

1/4

0,0137

10 40 80

1,7 2,2 3,0

0,0104 0,0092 0,0077

3/8

0,0171

10 40 80

1,7 2,3 3,2

0,0138 0,0125 0,0107

1/2

0,0213

5 10 40 80 160 XX

1,7 2,1 2,8 3,7 4,8 7,5

0,0180 0,0171 0,0158 0,0139 0,0118 0,0064

5 10 40 80 160 XX

1,7 2,1 2,9 3,9 5,5 7,8

0,0234 0,0225 0,0209 0,0188 0,0156 0,0110

5 10 40 80 160 XX

1,7 2,8 3,4 4,5 6,4 9,1

0,0301 0,0279 0,0266 0,0243 0,0207 0,0152

5 10 40 80 160 XX

1,7 2,8 3,6 4,9 6,4 9,7

0,0389 0,0366 0,0351 0,0325 0,0295 0,0228

1

1 1/4

0,0267

0,0334

0,0422

Fenómenos de Transporte

625

Diámetro nominal

externo

G. Chacón V.

Espesor

Diámetro interno

5 10 40 80 160 XX

mm 1,7 2,8 3,7 5,1 7,1 10,2

m 0,0450 0,0427 0,0409 0,0381 0,0340 0,0279

No. cédula

1 1/2

m 0,0483

2

0,0603

5 10 40 80 160 XX

1,7 2,8 3,9 5,5 8,7 11,1

0,0570 0,0548 0,0525 0,0493 0,0428 0,0382

2 1/2

0,0730

40 80 160 XX

5,2 7,0 9.5 14,0

0,0627 0,0590 0,0540 0,0450

3

0,0889

40 80 160 XX

5,5 7,6 11,1 15,2

0,0779 0,0737 0,0666 0,0584

4

0,1143

40 80 120 160 XX

6,0 8,6 11,1 13,5 17,1

0,1023 0,0972 0,0920 0,0873 0,0801

5

0,1413

40 80 120 160 XX

6,6 9,5 12,7 15,9 19,1

0,1282 0,1223 0,1159 0,1096 0,1032

6

0,1683

40 80 120 160 XX

7,1 11,0 14,3 18,3 21,9

0,1541 0,1463 0,1397 0,1317 0,1244

m

1/8

3/4

Cuadro 24. (Cont.) Datos para conductos (pipes) estándar

Fenómenos de Transporte

626

G. Chacón V.

Cuadro 25 Datos para tubos (tubing) estándar (cobre) BS, ASTM Diámetro BWG Espesor Diámetro nominal externo interno

mm

mm

mm

DIN Diámetro Espesor externo

mm

3/16

4,8

20

0,89

3,0

1/4

6,4

18 20 22 24 26 27

1,24 0,89 0,71 0,56 0,46 0,41

3,9 4,6 4,9 5,2 5,4 5,5

16 18 20 22 24

1,65 1,24 0,89 0,71 0,56

6,2 7,0 7,7 8,1 8,4

12 14 16 18 20 22

2,77 2,11 1,65 1,24 0,89 0,71

7,2 8,5 9,4 10,2 10,9 11,3

12 14 16 18 20

2,77 2,11 1,65 1,24 0,89

10,3 11,7 12,6 13,4 14,1

16,0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 20

3,40 3,05 2,77 2,41 2,11 1,83 1,65 1,47 1,24 0,89

12,2 13,0 13,5 14,2 14,8 15,4 15,7 16,1 16,6 17,3

18,0

3/8

1/2

5/8

3/4

9,5

12,7

15,9

19,1

Fenómenos de Transporte

627

Cuadro 25. (Cont.) Datos para tubos (tubing) estándar

8,0 10,0

11,0 12,0

14,0 15,0

19,0 20,0

mm 0,75 1,00 1,25 0,75 1,00 1,25

Diámetro nominal

externo

mm 7/8

1

22,2

25,4

0,75 1,00 1,25 0,75 1,00 1,25 0,75 1,00 1,25 0,75 1,00 1,25

1 1/4

0,75 1,00 1,25 1,50

1 1/2

1,00 1,25 1,50 1,00 1,25 1,50 1,00 1,25 1,50 2.00

G. Chacón V.

BWG Espesor Diámetro interno

2

31,8

38,1

50,8

mm

mm

10 12 14 16 18 20

3,40 2,77 2,11 1,65 1,24 0,89

15,4 16,7 18,0 18,9 19,7 20,4

8 10 11 12 13 14 15 16 18 20

4,19 3,40 3,05 2,77 2,41 2,11 1,83 1,65 1,24 0,89

17,0 18,6 19,3 19,9 20,6 21,2 21,7 22,1 22,9 23,6

10 12 14 16 18

3,40 2,77 2,11 1,65 1,24

24,9 26,2 27,5 28,4 29,3

8 10 12 14 16 18

4,19 3,40 2,77 2,11 1,65 1,24

29,7 31,3 32,6 33,9 34,8 35,6

8 10 12 14 16 18

4,19 3,40 2,77 2,11 1,65 1,24

42,4 44,0 45,3 46,6 47,5 48,3

Diámetro Espesor externo

mm 22,0

23,0

24,0

25,0

28,0

30,0

32,0

35,0

mm 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00 1,00 1,25 1,50 2.00

Cuadro 26 Fenómenos de Transporte

628

G. Chacón V.

 v x v y    x   y

Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial Coordenadas rectangulares

 xy   yx    

Masa total

 zx   xz    

 vx   v y  vz   0   y z t x

 yz

Cantidad de movimiento (“Momentum”)

x:

y:

z:

 vx v v v   vx x  v y x  vz x   x y z   t  P    g x  xx  yx  zx  0 x x y z

 

Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con  y  constantes

x:

 vx v v v   vx x  v y x  vz x   x y z   t

 

  2v  2v  2v  P  g x    2x  2x  2x   0 x y z   x

v v v   v y  vx y  v y y  vz y   x y z   t    P  g y  xy  yy  zy  0 y x y z

 

 vz v v v   vx z  v y z  vz z   x y z   t  P    g z  xz  yz  zz  0 z x y z Tensor esfuerzo

 vx

v  1  v v   x  y  z  z   x 3  x y  v 1  v v v   yy  2  y   x  y  z  y z   y 3  x  v 1  v v v   zz  2   z   x  y  z   z 3  x y z 

 xx  2 

629

G. Chacón V.

v v v   v y  vx y  v y y  vz y   x y z   t   2v  2v  2v  P  g y    2y  2y  2y   0 y y z   x

y:

 

z:

 

 

Fenómenos de Transporte

 v z v x     x z   v v    zy     y  z  y   z

 vz v v v   vx z  v y z  vz z   x y z   t   2v  2v  2v  P  g z    2z  2z  2z   0 z y z   x

Fenómenos de Transporte

630

G. Chacón V.

Energía

 v  2  v y  2  v  2     z    2   x    x y        z  

  v 2

v 2 v 2 v 2   P P    vx   vx  vy  vz  vy  x y 2  t z   x y P  vz    vx g x  v y g y  v z g z   z   T T T  T   CV   vx  vy  vz x y z   t

 P   v x v y v z   q x q y q z        z y z   x y  T    x v  v v  G   xx x   yy y   zz z   x y z  

 v v y  2  v y v  2  v v  2       x   z    z  x    0  y   x z    y  x z     Masa de una sustancia A

   

  vx v y   v v   v v     yz  y  z    xz  z  x   0   xy  x  y   x z   z   y

q x  k

T x

q y  k

T y

q z  k

T z

Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k, constantes

 v 2

T   vx g x  v y g y  vz g z   t 2 t   2T  2T  2T  k  2  2  2   G  y z   x

vx

 CV

v  v  C A C C A C A     C A  x  y   vx A  v y  vz x y z  y  t  x vz   J Ax J Ay J Az    RA  0    z   x y z 

J Ax   D AB

C A x

J Ay   D AB

C A y

J Az   D AB

C A z

Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con  y DAB constantes

 C A C C A C A     vx A  v y  vz x y z   t   2C  2C A  2C A    RA  0  DAB  2A  y 2 z 2   x

P P   v2   v2   CV T    v y   CV T      y  2 x  2   v2 P vz   CV T     z  2

Fenómenos de Transporte

631

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

632

G. Chacón V.

Cuadro 27 Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial Coordenadas cilíndricas Masa total

v   v τ rz  τ zr   μ z  r  z   r

ρ 1  ρrv r    ρvθ   ρv z    0  z t r r rθ

Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con  y  constantes

Cantidad de movimiento (“Momentum”)

r:

θ:

2  v v v v v  P ρ r  vr r  vθ r  θ  vz r    r rθ r z  r  t 1  rτ rr  τ θr τ θθ τ zr ρg r     0 r r rθ r z

v v vv v  P  v ρ θ  vr θ  vθ θ  r θ  vz θ    r rθ r z  rθ  t τ τ 1  r 2 τ rθ ρg θ  2  θθ  zθ  0 r rθ r z



z:



v v v  P  v ρ z  vr z  vθ z  vz z    r rθ z  z  t 1  rτ rz  τ θz τ zz ρg z    0 r r rθ z

 v 1  1  rv r  vθ v z  τ zz  2 μ  z      rθ z   z 3  r r

Fenómenos de Transporte

633

2  v v v v v  P r: ρ r  vr r  vθ r  θ  v z r    ρg r  rθ r r z  r  t    1  rvr    2vr 2 vθ  2vz  μ     0 2 2  r rθ z 2   r  r r  r θ

v v v  P vv  v θ: ρ θ  vr θ  vθ θ  r θ  vz θ    ρg θ  r z  rθ rθ r  t    1  rvθ    2vθ 2 vr  2vθ  μ    2 2  r rθ  z 2   0  r  r r  r θ  v v v  P  v z: ρ z  vr z  vθ z  vz z    ρg z  r z  z rθ  t  1   vz   2vz  2 vz  μ r     0 2 2 z 2   r r  r  r θ

Tensor esfuerzo

 v 1  1  rv r  vθ v z  τ rr  2 μ  r      rθ z   r 3  r r  v v 1  1  rv r  vθ v z   τ θθ  2 μ  θ  r   rθ z  rθ r 3  r r

  vθ r  v r  τ rθ  τ θr   μ r   rθ  r  v   v τ θz  τ zθ   μ θ  z   z rθ 

  

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

634

G. Chacón V.

Energía

P v 2 v 2 v 2   P ρ  v 2    vr   vθ   vr  vθ  vz 2  t r z   r rθ rθ P    ρvr g r  vθ g θ  vz g z   z  T T T   T  vθ  vz ρ CV   vr  r rθ z   t  P   1  rvr  vθ vz   1  rqr  qθ qz  T       rθ z   r r rθ z   T  ρ  r r vz

 v v  v   v  ρεG   τ rr r  τ θθ  θ  r   τ zz z   z   rθ r   r    vθ r  vr   v v    τ rz  z  r   τ rθ r  r rθ  z   r   v   v τ θz  θ  z   0  z rθ  q r  k

T r

qθ  k

 vr  2  vθ vr  2  vz  2     2 μ       r   rθ r   z     vθ r  vr  2  vz vr  2  vθ vz  2     μ  r      0 r z   z rθ   rθ   r  Masa de una sustancia A

C A C A C A   C A  1  rvr  vθ  vr  vθ  vz      CA  r rθ z  rθ  t  r r v z   1  rJ Ar  J Aθ J Az      RA  0 z   r r z  rθ

J Ar   D AB

C A r

J Aθ   D AB

C A rθ

J Az   D AB

C A z

Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con  y DAB constantes

T rθ

q z  k

T z

Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k, constantes

C A C A C A   C A  vr  vθ  vz   r rθ z   t  1   C A   2C A  2C A    RA  0 DAB   2 2  r z 2   r r  r  r θ

ρ v 2 T  ρCV  ρvr g r  vθ g θ  vz g z   t 2 t  1   T   2T  2T    ρεG    k  r   2 2 z 2   r r  r  r θ ρvr

P P   v2   v2   CV T      CV T    ρvθ rθ  2   r  2   v2 P ρvz   CV T     z  2

Fenómenos de Transporte

635

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

636

G. Chacón V.

Cuadro 28 Ecuaciones de variación para un volumen de control diferencial Coordenadas esféricas Masa total

ρ 1  ρr 2 vr   ρvθ sin θ   ρv    0  t r 2 r r sin θθ r sin θ





Cantidad de movimiento (“Momentum”)

r:

2  v v  P v vr v v     ρ r  vr r  vθ r  θ  v r rθ r r sin θ r  r  t τ r τ 1  r 2 τ rr   τ θr sin θ  τ θθ ρg r  2       0 r r r sin θθ r r sin θ r 2

2 v cot θ  P vθ θ: ρ vθ  v vθ  v vθ  vr vθ  v   r θ   t  rθ r rθ r r sin θ r   2 τ cot θ τ θ 1  r τ rθ   τ θθ sin θ  τ rθ  ρg θ  2      0 r r r sin θθ r r sin θ r

: ρ v  vr v  vθ v  v v  v vr  v vθ cot θ     t rθ r sin θ r r r   2 P 1  r τ r  τ r τ θ  ρg  2    r sin θ r r r rθ 2 τ θ cot θ r



τ r sin θ

0



 v 1  1  r 2 vr v   vθ sin θ     τ rr  2 μ  r   2 r r sin θθ r sin θ   r 3  r  v v  v 1  1  r 2 vr  vθ sin θ   τ θθ  2 μ  θ  r   2    r sin θθ r sin θ  r  rθ r 3  r  v v v cot θ τ  2 μ   r  θ  r θ  r r sin   v   vθ sin θ  1  1  r 2 vr  2    3r r sin θθ r sin θ  r





Ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con  y  constantes 2 2  v  P vr r: ρ vr  v vr  v vr  vθ  v     ρg r  r θ   t r rθ r r sin θ r  r   1   2 vr  v   2 vr 1    μ 2   sin θ r   2 r rθ  r sin 2 θ 2  r r  r  sin θ rθ 

2vr 2 vθ 2vθ cot θ 2 v  0    r 2 r rθ r2 r r sin θ  2  v cot θ  vθ : ρ  vθ  v vθ  v vθ  vr vθ  v   r θ  r rθ r r sin θ r  t   1   2 vθ  v  1   P  ρg θ  μ  2  sin θ θ    r rθ  rθ  r r  r  sin θ rθ 

 2 vθ vθ 2 vr 2 cot θ v  0    r sin 2 θ 2 r rθ r 2 sin 2 θ r r sin θθ  2

Tensor esfuerzo



 vθ r  vr   τ rθ  τ θr   μ r  r rθ    v sin θ   vθ   τ θ  τθ   μ sin θ   rθ r sin θ    v r    vr  τ r  τr   μ r  sin  r θ  r  



: ρ v  vr v  vθ v  v v  v vr   t r rθ r sin θ r   1   2 v  v vθ cot θ  P    r    ρg  μ  2 r  r sin θ  r r  r  v   2v v 1    sin θ    2 2  2  2  2  rθ  r sin θ r sin θ sin θ rθ  2 vr 2 cot θ vθ   0 r r sin θ r r sin θ 



Fenómenos de Transporte

637

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

638

G. Chacón V.

Energía

v 2 v 2 v 2  ρ  v 2    vr  vθ  v r 2  t rθ r sin θ 

 P P  P  vr  v   ρvr g r  vθ g θ  v g    vθ sin  r θ   r θ r   T T T T   ρCV   vr  vθ  v rθ r sin θ  r  t

2 v  1  vθ sin θ   P   1  r vr   T     2 T r r sin θ r θ r sin θ      ρ 

q   1  r 2 qr  1  qθ sin θ   ρεG    r 2 r  sin θ sin r  θ r θ    vr  v v  v v cot θ   v    r  θ  τ θθ  θ  r   τ   τ rr   r r  θ r r θ r r  sin        vθ vr vθ  v   v vr    τ r         τ rθ   r r  θ r  r r θ  r  sin      v cot θ   v vθ   0 τ θ      r  rθ r sin θ 

qr   k

T r

qθ   k

T rθ

q   k

 v v cot θ vθ      r θ r r θ  sin  

T r sin θ

 1   2 T  T ρ v 2  ρvr g r  vθ g θ  v g   k  2  ρCV r  2 t t  r r  r   1   T   2T  ρεG   sin θ  2 2 2 sin θ rθ  rθ  r sin θ 

2

 0 

Masa de una sustancia A

 C A C A  C A C A   v  vθ   vr r sin θ  r rθ  t v   1  r 2 vr  1  vθ sin θ   CA  2   r r sin θ r θ r sin θ    

J A   1  r 2 J Ar  1  J Aθ sin θ   ξRA  0   r2 r sin θ r θ r sin θ    

J Ar   DAB

Ecuaciones de energía correspondientes a fluido newtoniano en régimen de flujo laminar con parámetros, , , CV (CP) y k constantes

ρvr

2 2  v  2  v v   v v v cot θ       r  θ 2 μ  r   θ  r    r    r   rθ r   r sin θ r  2 2  v v v vr  v   v   μ  θ  θ  r        r r r θ r r r sin θ       

C A r

J Aθ   D AB

C A rθ

J A   D AB

C A r sin θ

Ecuaciones de continuidad para una sustancia A, con  y DAB constantes

 C A  1   2 C A  C A  C A C A   v   DAB  2  vθ  vr r  r  r r sin θ  rθ  r r   t  1   C   2C  sin θ A   2 2 A 2   ξRA  0 sin θ rθ  rθ  r sin θ 

  v2   v2 P P   CV T    ρvθ   CV T    r  2   rθ  2  v2  P   CV T    v r sin θ  2 

Fenómenos de Transporte

639

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

640

G. Chacón V.

Cuadro 29 Densidad y concentración en una mezcla binaria  

C 

 A 

CA 

densidad másica total de la mezcla, densidad molar total de la mezcla,

δm lim δV δV  δ V

xA 

δ mA lim δV δV  δ V

CB  B  xB 

mA  A  m 

Expansión isobárica, dilatación térmica

kgA/m3 kmolA/m3

Compresibilidad isotérmi1  V  1        ca, módulo de compre-     V  P T   P T sibilidad Compresibilidad isentró1  V  1           pica, módulo de elasV  P  S   P  S ticidad volumétrica

δ nA  A lim  δV δV  δ V M A

fracción másica del la especie A, fracción molar de la especie A,

wA  B 

CA 

xA 

kgA/kg kmolA/kmol

Módulo isentálpico de Young

nA C A  n C

densidad másica de la especie B, densidad molar de la especie B, fracción másica del la especie B, fracción molar de la especie B,

kgB/m3 kmolB/m3 kgB/kg kmolB/kmol

A  B  1

xA  xB  1 M   xA  M A    xB  M B 

A M A xA  A M A   B M B 

Transferencia de calor T  Ts

v f  vs

T f  Ts

CA 

M A  PA R T

PA R T

2

v g  No. de Reynolds  v  Re 



Para mezcla de gases a baja presión

A 

M A  PA  M B  PB  A  B R T A  YA   A 



P P  PB  A  CA  CB R T R T yA  xA  CA C  PA P C

g.e  DR  0  gravedad específica o densidad relativa   g  peso específico

Fenómenos de Transporte

641

G. Chacón V.

 T    P  H

 

Cantidad de movimiento v  vs No. de Fraude

xA  M A A   xA  M A    xB  M B 



Cuadro 31 Grupos adimensionales correspondientes

Fr 

Conversiones

1  V  1         V  T  P   T  P

kg/m3 kmol/m3

δn  lim  δV δV  δ V M

densidad másica de la especie A, densidad molar de la especie A,

A  A 

C

Cuadro 30 Módulos de expansión y compresión

JF 

CD 2

No. de Prandtl  C  Pr   P  k

No. de Schmidt

No. de Nusselt  h Nu  k Nu JH  Re  Pr 1 3

No. de Sherwood   kC Sh  DAB Sh JD  Re  Sc1 3

No. de Péclet No. de Stanton No. de Graetz No. de Match

Pe  RePr St  Nu(RePr) Gz = RePrL M = vc

No. de Biot Módulo de Fourier No. de Grashof No. de Rayleigh

Bi = hmedio (VkA)sistema Fo =  t/(V/A)2sistema Gr  g   3   Δ T  / 2 Ra = GrPr

Fenómenos de Transporte

Transferencia de masa C A  C As C Af  C As

642

Sc 



DAB



  DAB

Pe  ReSc St  Sh(ReSc)

Gr  g   3 Δ    / 2

G. Chacón V.

Cuadro 32 Coeficientes de transferencia

T  T f  Ts

v 2  v 2f  vs2    v   v  d A

TAM 

A

TLM 

T f  Ts

Cuadro 33 Coeficientes de transferencia de masa en el equilibro de fases

C  C Af  C Ai

C A, AM 

2

T f  Ts ln T f Ts 

C A, LM 

C Af  C Ai 2 C Af  C As

lnC Af C As 

Coeficientes locales

H f  CD

v 2f  vs2

2 2  L v  H f  fD   D 2

q  hT f  Ts 

N A  k C Af  C Ai 

N A  k C Af  C Ai 

Coeficientes globales para difusión de calor y masa

Q  U R AR T fE  T fI 

M A  K R AR C A, fE  C A, fI 

1 AR  A   1 R U R h fI  A0 k1  A0

1 AR  A   1 R K R kC , fI  A0 DAB;1  A0

k 2  A1



 N  AR k N  AN 1

AR   Ri h fE  AN Placa plana Cilindro hueco, tubo Esfera hueca

Fenómenos de Transporte







 2  AR DAB; 2  A1

DAB; N  AN 1



 D  D  i  i 1 ln i  2  Di 1 

AR D  R Ai 1 Di 1

643

N A  K G PAG  mL  CAL   K L PAG mL  CAL 

1 1 m   x K y k y kx

1 1 1   K x my  k y k x 1 1 1   K L mL  kG k L

etc. etc.

Relaciones entre los coeficientes de transferencia de masa

N A  kG P A  k y y A  kC C A

P B,LM P  kC B,LM P R T P  kG  P  k y  kC  kC  C R T

FG  kG P B,LM  k y

AR kC , fE  AN AR 1 Ai 1

Di 1 Di  Di 1  Di 2

N A  K y  yAG  mx  xAL   K x  yAG mx  xAL 

 kG P A  k y y A  kC C A

 i  xi  xi 1

i 

PAi  mx  xAi  mL  CAi

Para gases:



 N  AR

yAi  mx  xAi  mL  CAi

1 1 mL   K G kG k L

k : para cuando B (no A) no se difunde. k : para contradifusión molecular, de A en B (no A).

 2  AR

Coeficientes globales de transferencia de masa entre fases en equilibrio Equilibrio

AR  DR    Ai 1  Di 1 

Para líquidos

N A  k L C A k L C A k x x A  k x x A FL  k x x B,LM  k L  C x B,LM  k x  k L   M  k L  C 2

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

644

G. Chacón V.

Cuadro 34 Coeficientes de transferencia de calor para cuerpos simples en fluidos en reposo, McAdams (1949) Convección libre o natural (◊)(#) Para aire: h = b (T/)n (P/PStd)m h, W/m2 K; T, K; , m b n m 

Nu = a (GrPr)

n

GrPr

a

n



A partir de superficies vertical (placa y cilindro) 104 - 109 0,59 L 1,42 L 14 14 L 0,95 1 109 – 1013 0,10 13 13 0,021

25

12 23

L

A partir de superficies horizontales cilindro 104 - 109 109 – 1013

D 1

12 23

Placa caliente hacia arriba o fría hacia abajo 1,32 104 - 109 0,54 14 14 2AP 1,43 109 – 1012 0,14 13 13 2AP

2AP 1

12 23

Placa caliente hacia abajo o fría hacia arriba 0,59 105 – 1011 0,27 14 14 2AP 0,61 0,58 LaLb 15 15

2AP LaLl

12 23

General Esfera (◊)

0,53 0,10

14 13

D D

1,32 1,24

14 13

Las propiedades se calculan a la temperatura de película (promedio aritmético entre la temperatura de la pared y la del seno del fluido)

Coeficientes de transferencia unidimensional de masa en fluidos en reposo, mezcla binaria (‼) B no difundente

      C A1  C A 2   k L C A1  C A 2   M  AM 

Contra difusión molecular

(‼)

NOTA: Coeficientes de transferencia promedio, para propiedades constantes en la superficie (w). Se calculan con las propiedades del medio del fluido (f) y se hace la siguiente corrección:

Flujo Laminar   0,14   0,17   0,11

Sieder y Tate Calentamiento Enfriamiento

D  N A   AB  C A1  C A 2   kC C A1  C A 2    



 f     w 

Flujo Turbulento (PrfPrw)1/4   0,38   0,23

Notas: Los coeficientes se basan en el diámetro interno del conducto, D   25 calentamiento   13 enfriamiento f  fF2  fD8

Re < 2000 (Laminar)

A partir de objetos espaciales NuVA = 0,52 (GrVAPr)14 11 1 – 10 NuD = 2 + 0,43 (GrDPr)14

 DAB N A      C B , LM

Cuadro 35 Coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento calor y masa para flujo de fluidos dentro de conductos cilíndricos, convección forzada (#)

Pr = 0,6 – 700 RePrDL > 10

f D  64 Re

Nu  1,86 Re  Pr  D L 

13

 0,17  Re1 3  Pr  3,66

Nu  1,75 Re  Pr  D L  Nu0 

13

PrDL < 1



Nu 0  0,012 Gr 1 3  Re  Pr  D L



43

Para anillos concéntricos (Laminar), Con base en el diámetro  64  1 2 fD  equivalente D2  D1  2 2 Re 1    1   ln      D1 D2, D2  D1









Nu  6,567

Para conducto rectangular (Laminar) Con base en el diámetro equivalente. 2  a  b / a  b 

a/b f D Re Nu

0 96,0 7,54

1/8 82,3 5,60

Re = 2000 - 3000

1/4 72,9 4,41

1/3 68,3 3,95

1/2 62,2 3,39

f D  5,68  109 Re 2

5/7 58,3 3,10

1 56,9 2,98

(Crítico)

Para conversiones y definiciones ver cuadros 29 y 32

Fenómenos de Transporte

645

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

646

G. Chacón V.

Cuadro 35 (Cont.). Coeficientes de transferencia Re > 3000

(Turbulento)

    0,8686  ln7 Re









   D 3,7 

Pr = 0,6 – 160 Sc = 0,6 – 3000

 mm

2

Acero estirado, soldado Nuevo Usado con capa de óxido remachado comercial inoxidable Hierro galvanizado fundido fundido asfaltado forjado Tubo liso (bronce, plomo, vidrio, PVC, etc.) Concreto normal pulido Madera nueva lijada Polietileno D < 200 mm Poliestireno, fibra de vidrio reforzada, D > 200 mm

2



  0,7817  ln 6,9 Re     D 3,7  Tubo liso; D  0 Re = 4103 – 6108

Aspereza, “Roughness”, en conductos



f D   2  log 2,523 Re f D1 2  0,2698   D  9 10

Cuadro 35 (Cont.). Coeficientes de transferencia

10 9 2

f D 8  0,024 Re1 5

 0,03955 Re1 4 Nu  0,023  Re 4 5  Pr1 3 Sh  0,023  Re0,83  Sc1 3

Re = 104 – 4105 45  Pr = 0,7 – 1,7104 Nu  0,027  Re  Pr

Sh  0,0149  Re0,88  Sc1 3

Sc > 100 Corrección por entrada

1  a L D   m

LD  a   m

Pérdidas en accesorios, Kf

2 - 20 1 0,7 Rosca

0,7 - 0,8 Codos 90o estándar 90o radio largo 0 5 - 0,7 90o recto 1,3 - 1,5 45o estándar 0,3 - 0,4 180° de retorno, 1,2 - 1,7 1,0 Tes entrada lateral paso en línea 0,4 - 0,9 salida lateral 1,3 - 2,0 0,04 Acoples y uniones 0,13 - 0,20 Válvulas compuerta abierta ½ abierta 3,8 - 4,5 globo abierta 6,0 - 7,5 ½ abierta 8,5 - 9,5 en ángulo 2-4 tope, de bisagra 2 6 - 15 Medidores de flujo Expansión brusca (1  v0v)2 Contracción súbita 0,50 [(1  (vv0)2]2 Fenómenos de Transporte

647

20 - 60 6 1

> 60 0 -

Brida

Leq/D

0,3 0,2 0,3

32 20

0,2 0,2 1,0 0.0 0,10 5,0

0,04 - 0,10 0,15 - 0,20 0,2 - 0,5 0,9 - 9,0 0,046 0,01 0,15 0,25 0,12 0,05 0,0015 0.8 - 3,0 0.3 - 0,8 0,2 - 0,9 0,1 0,05 - 0,85

(#)

En este y los otros cuadros de coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento, calor o masa, las relaciones son las que están más asociadas con la teoría, por lo que el lector debe actualizarlas.

15 75 20 67 7 200 350 170

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

648

G. Chacón V.

Cuadro 36 Coeficientes de transferencia de cantidad de movimiento calor y masa para flujo de fluidos externo convección forzada (◊)(#) Alrededor de esferas Con base en el diámetro de la esfera, y la velocidad final Corrección de la velocidad

v  1  2,4  D DM vM

Velocidad de caída estable

v

2

s

3  CD

 f 

Re = 2 – 500 Re  106

 24   CD    ReD  CD  0,4444

Re = 103 – 2105

  0,5407 

Sh  0,281  Re3 5  Sc 0, 44



Nu  0.35  0,34  Re1 2 

0,15  Re 0,58  Pr 0,3



Re = 3,5 – 8104 Pr = 0,7 – 380

Nu  2,0  0,4  Re1 2 

Re = 1 – 3103 Sc = 0,6 – 1,9

Sh  2,0  0,552  Re1 2 Sc1 3

Re = 1 – 3104 Sc = 0,6 – 3200

Sh  2,0  0,347 Re  Sc1 2  FRa

Fenómenos de Transporte

CD  1,2

2

Nu  0,43  0,50  Re1 2 Pr 0,38 Nu  2,0  0,60  Re1 2 Pr1 3

GrSc  108

Re = 103 – 105

Re = 0,1 – 10

Re  103

GrSc  108

Re = 1 – 1000

5



D

CD  8   Re2  lnRe CD  1  9,1 Re3 4 Nu  0,43  0,50  Re1 2 Pr 0,38

Sc = 0,6 – 2,6

24  3  Re  CD  1   16  Re  CD  18,5 Re3 5 12

Con base en el diámetro del cilindro,

Re = 4102 – 2,5104 35 0 , 38 Pr = 0,7 – 1,5103 Nu  0,25  Re  Pr

f 12

Re  100

Flujo perpendicular (alrededor) de cilindros Re  0,5

D v

4  D  g  

Cuadro 36 (cont.) Coeficientes de transferencia …





0,06  Re 2 3 Pr 2 5





0 , 62

FRa  0,569Gr  Sc 

14

FRa  0,0254Gr  Sc  Sc0, 244 13

649

G. Chacón V.

Fenómenos de Transporte

650

G. Chacón V.

Cuadro 37 Eficiencias de aletas, de sección transversal constante

Cuadro 36 (cont.) Coeficientes de transferencia … Flujo sobre placas planas, paralelo e ilimitado Con base en la longitud de la placa,

mL

L

La transferencia comienza en el lado principal CD 2  0,664 Re1 2 Re  5104

Nu  0,664  Re1 2  Pr1 3

 0,76  Re1 2  Pr Sh  0,664  Re1 2  Sc1 3 5

Re = 310 –10

8

CD 2  0,037 Re1 5   870 Re   0,2275log Re 

2 , 584

Pr = 0,7 – 380

Nu  0,037  Re 4 5  Pr 0, 43  0,036  Re 4 5  Pr

Sc = 0,6 – 2500

Sh  0,037  Re 4 5  Sc1 3

Transferencia por ambos lados de la placa Nu  0,0027  Re  Pr 0, 43 Re = 2104 – 5105 Gas confinado en una tubería, flujo paralelo a la placa Re = 2,6103 – 2,2104 Sh  0,11  Re0, 71  Sc1 3

La transferencia en una pared húmeda (vertical) del líquido al gas (del lado del líquido)



Con base en el espesor de la película, sin agitación,

Re  4  Γ  Re  1200 Re  100

: flujo de masa por unidad de ancho

  3    Γ  2  g  CD  24 Re

13

Sh  3,41

Re = 100 –1200

Sh  3  Re  Sc   2    L 

Re = 1300 –8300

Sh  1.76  10 5  Re1,506  Sc1 2

12

(◊)

Las propiedades se calculan a la temperatura de película (promedio aritmético entre la temperatura de la pared y la del seno del fluido)

Fenómenos de Transporte

651

G. Chacón V.

1,00

1,25

1,50

RLR0 2,00

2,50

3,00

4,00

5,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

1,0000 0,9992 0,9967 0,9926 0,9869

1,0000 0,9991 0,9963 0,9917 0,9853

1,0000 0,9990 0,9959 0,9909 0,9839

1,0000 0,9988 0,9953 0,9895 0,9815

1,0000 0,9987 0,9947 0,9883 0,9793

1,0000 0,9986 0,9943 0,9872 0,9775

1,0000 0,9983 0,9934 0,9853 0,9743

1,0000 0,9982 0,9927 0,9838 0,9716

0,25 0,30 0,40 0,50

0,9797 0,9710 0,9499 0,9242

0,9773 0,9677 0,9442 0,9160

0,9752 0,9647 0,9391 0,9085

0,9714 0,9594 0,9302 0,8956

0,9681 0,9548 0,9227 0,8847

0,9653 0,9508 0,9161 0,8753

0,9604 0,9441 0,9050 0,8597

0,9564 0,9385 0,8960 0,8470

0,60 0,70 0,80 0,90

0,8951 0,8634 0,8300 0,7959

0,8840 0,8495 0,8135 0,7769

0,8741 0,8372 0,7990 0,7604

0,8571 0,8163 0,7743 0,7325

0,8429 0,7988 0,7541 0,7098

0,8307 0,7840 0,7370 0,6908

0,8106 0,7599 0,7094 0,6605

0,7944 0,7407 0,6878 0,6370

1,00 1,10 1,20 1,30

0,7616 0,7277 0,6947 0,6629

0,7405 0,7048 0,6702 0,6371

0,7221 0,6849 0,6492 0,6152

0,6915 0,6521 0,6146 0,5793

0,6669 0,6259 0,5873 0,5512

0,6464 0,6043 0,5649 0,5283

0,6140 0,5704 0,5300 0,4929

0,5891 0,5446 0,5038 0,4665

1,40 1,50 1,60 1,70

0,6324 0,6034 0,5760 0,5502

0,6057 0,5760 0,5482 0,5220

0,5830 0,5529 0,5247 0,4984

0,5463 0,5156 0,4871 0,4607

0,5176 0,4866 0,4581 0,4319

0,4945 0,4634 0,4349 0,4089

0,4589 0,4280 0,3999 0,3743

0,4326 0,4020 0,3742 0,3492

1,80 1,90 2,00 2,25

0,5260 0,5033 0,4820 0,4347

0,4977 0,4749 0,4537 0,4069

0,4740 0,4513 0,4302 0,3841

0,4364 0,4140 0,3933 0,3484

0,4078 0,3857 0,3654 0,3217

0,3851 0,3634 0,3435 0,3009

0,3511 0,3301 0,3109 0,2701

0,3266 0,3061 0,2876 0,2484

2,50 2,75 3,00 3,25

0,3946 0,3607 0,3317 0,3068

0,3678 0,3348 0,3068 0,2830

0,3457 0,3136 0,2866 0,2636

0,3115 0,2810 0,2555 0,2340

0,2861 0,2569 0,2327 0,2124

0,2664 0,2383 0,2151 0,1957

0,2376 0,2112 0,1897 0,1718

0,2173 0,1923 0,1720 0,1551

3,50 3,75 4,00 4,50

0,2852 0,2664 0,2498 0,2222

0,2624 0,2445 0,2289 0,2029

0,2439 0,2269 0,2120 0,1874

0,2157 0,2000 0,1863 0,1638

0,1951 0,1804 0,1676 0,1467

0,1794 0,1654 0,1534 0,1338

0,1567 0,1440 0,1330 0,1153

0,1411 0,1292 0,1191 0,1027

5,00 5,50 6,00

0,2000 0,1818 0,1667

0,1822 0,1652 0,1512

0,1678 0,1519 0,1388

0,1461 0,1318 0,1200

0,1304 0,1173 0,1065

0,1185 0,1063 0,0963

0,1016 0,0907 0,0819

0,0901 0,0801 0,0721

m

2h W k

Fenómenos de Transporte

652

G. Chacón V.