2654_progrmacion_lineal.docx

PROGRAMACION LINEAL TAREA 1. MÉTODOS SIMPLEX PRIMAL Y SIMPLEX DUAL

JULIANNY PALLARES AMAYA

CODIGO DEL CURSO: xxxxxxxx

TUTOR xxxxxxxxxxxxxx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) MARZO DE 2019.

INTRODUCCIÓN

Mediante la programación podemos resolver problemas de la vida diaria de manera eficaz, entregándole órdenes básicas para el desarrollo de una operación a una función lineal simple y básica, de esta manera se asegura que el sistema funcione. La programación permite modificar variables dentro de una función para que entregue resultados de optimización de manera inmediata y nos permite sistematizar procesos para hacerlos más eficientes y evitar errores de carácter humano. Un método usado para la programación y la resolución de problemas básicos que simplifican procesos básicos de la vida diaria, el método simplex primal permite tomar decisiones para conocer la estrategia óptima que en este caso nos permitirá conocer los valores óptimos de producción con las decisiones tomadas para la mejor venta En el siguiente trabajo desarrollaremos ejercicios propuestos para esta actividad usando el método simplex primal y el método simplex dual para varios casos identificar diferencias y facilidades en el momento de la resolución de los ejercicios.

EJERCICIO 1. Una empresa de jugos naturales produce tres tipos de bebidas que se venden en los supermercados de cadena y que cuyas compradoras potenciales son las madres para poner en las loncheras de sus hijos (Jugo 1 de pera, Jugo 2 de manzana y Jugo 3 tropical). El jugo 1 está compuesto por 20 mililitros el componente A, 30 mililitros el componente B y 20 mililitros el componente C. El jugo 2 está compuesto por 30 mililitros el componente A, 20 mililitros el componente B y 20 mililitros vez el componente C y finalmente el jugo 3 está compuesto por 20 mililitros el componente A, 10 mililitros el componente B y 20 mililitros el componente C. Se deben gastar como minino 1500 mililitros del componente A, máximo 1700 mililitros del B y máximo 1300 mililitros del C por producción al día. La utilidad de los jugos 1, 2 y 3, es respectivamente de 600, 400 y 500 pesos. El componente A, hace relación al agua usada, el B al saborizante que incluye concentración de azúcar y el C al conservante. Formule el problema expuesto en la situación 1 y resuélvalo por el método simplex por los algoritmos simplex algebraico y simplex de las dos fases. Responda: a. ¿Qué cantidad de cada uno de los jugos debe fabricarse, según el método algebraico del simplex primal? b. ¿Qué cantidad de cada uno de los jugos debe fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal? c. ¿Cuál es la utilidad del problema? d. ¿Las respuestas de producción según las condiciones varían de acuerdo a cada método usado? DESARROLLO FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Sea x_1: Jugo 1 x_2: Jugo 2 x_3: Jugo 3

FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=600x_1+400x_2+500x_3

RESTRICCIONES 20x_1+30x_2+20x_3≥1500 30x_1+20x_2+10x_3≤1700 20x_1+20x_2+20x_3≤1300 x_1, x_2, x_3≥0

Agregando las variables de holgura y de exceso se obtiene 20x_1+30x_2+20x_3-s_1=1500 30x_1+20x_2+10x_3+s_2=1700 20x_1+20x_2+20x_3+s_3=1300 Donde x_1, x_2,x_3,s_1,s_2,s_3≥0 Luego la función objetivo queda determinada de la siguiente manera

Max Z=600x_1+400x_2+500x_3-0s_1+0s_2+0s_3 METODO SIMPLEX ALGEBRAICO Ya que se tienen m=3 restricciones y n=6 incógnitas y como n≥m se obtendrá una solución básica si se hace (n-m)=6-3=3 variables iguales a cero: Ya que al observar en la función objetivo que la variable que genera mayor utilidad es la variable x_1 tomaremos las siguientes variables iguales a cero: x_2=0, x_3=0, s_1=0 Remplazando en la primera restricción se obtiene 20x_1+30*0+20*0-0=1500 x_1=1500/20=75 x_2=0, x_3=0, s_2=0 Remplazando en la segunda restricción 30x_1+20*0+10*0+0=1700 x_1=1700/30=56.7 x_2=0, x_3=0, s_3=0

Remplazando en la tercera restricción 20x_1+20*0+20*0+0=1300 x_1=1300/20=65

30x_1+20x_2+10x_3+s_2=1700 30x_1=1700-20x_2-10x_3-s_2 x_1=(1700-20x_2-10x_3-s_2)/30 Sustituyendo en la función objetivo se obtiene

Max Z=600((1700-20x_2-10x_3-s_2)/30)+400x_2+500x_3-0s_1+0s_2+0s_3

Simplificando Max Z=20(1700-20x_2-10x_3-s_2) +400x_2+500x_3-0s_1+0s_2+0s_3 Max Z=34000-400x_2-200x_3-20s_2+400x_2+500x_3-0s_1+0s_2+0s_3 Se obtiene Max Z=34000+300x_3+-0s_1-20s_2+0s_3

Remplazando x_1 en la primera restricción, se obtiene 20((1700-20x_2-10x_3-s_2)/30) +30x_2+20x_3-s_1=1500 2/3*(1700-20x_2-10x_3-s_2) +30x_2+20x_3-s_1=1500 3400/3-40/3 x_2-20/3 x_3-2/3 s_2+30x_2+20x_3-s_1=1500 ((90-40)/3) x_2+ ((60-20)/3) x_3-s_1-2/3 s_2=(4500-3400)/3 50/3 x_2+40/3 x_3-3/3 s_1-2/3 s_2=1100/3 50x_2+40x_3-3s_1-2s_2=1100

Remplazado x_1 en la tercera restricción 20((1700-20x_2-10x_3-s_2)/30)+20x_2+20x_3+s_3=1300 2/3(1700-20x_2-10x_3-s_2)+20x_2+20x_3+s_3=1300

3400/3-40/3 x_2-20/3 x_3-2/3 s_2+20x_2+20x_3+s_3=1300 ((60-40)/3 ) x_2+((60-20)/3) x_3-2/3 s_2+s_3=(3900-3400)/3 20x_2+40x_3-2s_2+3s_3=500

Equivalente. FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=34000+300x_3+-0s_1-20s_2+0s_3 RESTRICCIONES 50x_2+40x_3-3s_1-2s_2=1100 30x_1+20x_2+10x_3+s_2=1700 20x_2+40x_3-2s_2+3s_3=500

x_2=0, s_1=0 y s_2=0 Remplazando en la primera restricción se tiene

50*0+40x_3-3*0-2*0=1100 x_3=1100/40=27.5

x_2=0, x_1=0, s_2=0 30*0+20*0+10x_3+0=1700 x_3=1700/10=170 x_2=0, s_2=0, s_3=0 20*0+40x_3-2*0+3*0=500 x_3=500/40=12.5

Tercera restricción limita. 20x_2+40x_3-2s_2+3s_3=500 40x_3=500-20x_2+2s_2-3s_3

x_3= (500-20x_2+2s_2-3s_3)/40 Sustituyendo en la función objetivo se tiene Max Z=34000+300((500-20x_2+2s_2-3s_3)/40) +-0s_1-20s_2+0s_3 Max Z=34000+30/4 (500-20x_2+2s_2-3s_3) +-0s_1-20s_2+0s_3 Max Z=34000+3750-150x_2+15s_2-45/2 s_3-0s_1-20s_2+0s_3 Max Z=34000+3750-150x_2+15s_2-45/2 s_3-0s_1-20s_2+0s_3 Max Z=37750-150x_2-5s_2-45/2 s_3-0s_1

Remplazando en la primera restricción 50x_2+40((500-20x_2+2s_2-3s_3)/40)-3s_1-2s_2=1100 50x_2+500-20x_2+2s_2-3s_3-3s_1-2s_2=1100 30x_2-3s_3-3s_1=1100-500 30x_2-3s_3-3s_1=600 Remplazando en la segunda restricción 30x_1+20x_2+10((500-20x_2+2s_2-3s_3)/40)+s_2=1700 30x_1+20x_2+1/4(500-20x_2+2s_2-3s_3)+s_2=1700 30x_1+20x_2+500/4-20/4 x_2+2/4 s_2-3/4 s_3+s_2=1700 120/4 x_1+((80-20)/4) x_2+2/4 s_2-3/4 s_3+4/4 s_2=(6800-500)/4 120x_1+60x_2+2s_2-3s_3+4s_2=6300

Obtenemos el siguiente sistema FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=37750-150x_2-5s_2-45/2 s_3-0s_1 RESTRICCIONES 30x_2-3s_3-3s_1=600 120x_1+60x_2+6s_2-3s_3=6300 20x_2+40x_3-2s_2+3s_3=500

En donde obtenemos un sistema equivalente al inicial y ya que se tienen m=3 ecuaciones y n=6 variables, de nuevo podemos volver cero 3 variables de estas, en donde observando la función objetivo se debe aumentar el valor de x_2, por ello tomamos: s_3=0, s_1=0 En la primera restricción 30x_2-3*0-3*0=600 x_2=600/30=20 x_1=0, s_2=0, s_3 En la segunda restricción 120*0+60x_2+6*0-3*0=6300 x_2=6300/60=105 x_3=0, s_2=0, s_3=0 En la tercera restricción 20x_2+40*0-2*0+3*0=500 x_2=500/20=25 Entonces la primera restricción es la que más limita la variable x_2, por lo tanto despejamos que la primera restricción la variable x_2 de la siguiente manera 30x_2-3s_3-3s_1=600 30x_2=600+3s_3+3s_1 x_2=(600+3s_3+3s_1)/30 Remplazando en la función objetivo se tiene Max Z=37750-150((600+3s_3+3s_1)/30)-5s_2-45/2 s_3-0s_1 Max Z=37750-5(600+3s_3+3s_1)-5s_2-45/2 s_3-0s_1 Max Z=37750-3000-15s_3-15s_1-5s_2-45/2 s_3-0s_1 Max Z=34750-75/2 s_3-15s_1-5s_2

Remplazando x_2 en la segunda restricción se tiene 120x_1+60((600+3s_3+3s_1)/30)+6s_2-3s_3=6300 120x_1+2(600+3s_3+3s_1)+6s_2-3s_3=6300

120x_1+1200+6s_3+6s_1+6s_2-3s_3=6300 120x_1+3s_3+6s_1+6s_2=6300-1200 120x_1+3s_3+6s_1+6s_2=5100

Remplazando x_2 en la tercera restricción se tiene 20((600+3s_3+3s_1)/30)+40x_3-2s_2+3s_3=500 2/3(600+3s_3+3s_1)+40x_3-2s_2+3s_3=500 400+2s_3+2s_1+40x_3-2s_2+3s_3=500 5s_3+2s_1+40x_3-2s_2=500-400 40x_3+5s_3+2s_1-2s_2=100

Por lo tanto, obtenemos el siguiente sistema

FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=34750-75/2 s_3-15s_1-5s_2 RESTRICCIONES 30x_2-3s_3-3s_1=600 120x_1+3s_3+6s_1+6s_2=5100 40x_3+5s_3+2s_1-2s_2=500-400 Y por último, se le da el valor de cero a las variables s_1,s_2,s_3 entonces se tiene: Max Z=34750-75/2*0-15*0-5*0=34750

30x_2-3*0-3*0=600 x_2=600/30=20

120x_1+3*0+6*0+6*0=5100 x_1=5100/120=42.5

40x_3+5*0+2*0-2*0=100 x_3=100/40=2.5

En resumen, se obtuvo: Max Z=34750 Con   

x_1=42.5 x_2=20 x_3=2.5 METODO SIMPLEX DOS FACES

FUNCIÓN OBJETIVO Max r=R_1 RESTRICCIONES 20x_1+30x_2+20x_3-t_1+R_1=1500 30x_1+20x_2+10x_3+s_2=1700 20x_1+20x_2+20x_3+s_3=1300 x_1,x_2,x_3,s_1,s_2,s_3≥0 FASE 1 C_j

0

0

0

0

-1

0

0

0

C_s

VB

X_1

X_2

X_3

t_1

R_1

S_2

S_3

LD

-1

R_1

20

30

20

-1

1

0

0

1500

50

0

S_2

30

20

10

0

0

1

0

1700

85

0

S_3

20

20

20

0

0

0

1

1300

65

r_j

20

30

20

0

1

0

0

1500

r

-20

-30

-20

1

0

0

0

-1500

C_j-r_j

Theta

C_j C_s

VB

0

0

0

0

-1

X_1

X_2

X_3

t_1

R_1

0

0

0

S_2 S_3 LD

0

X_2 0,6667

1

0,666667

-0,0333 0,03333

0

0

50

0

S_2 16,667

0

-3,333333 0,66667 -0,6667

1

0

700

0

S_3 6,6667

0

6,666667

0

1

300

0

0

0

0

0

C_j-r_j

r

0

0,66667 -0,6667 0

1

Es decir existe alguna solución posible para el problema ya que todos los C_jr_j≥0 para todas la j, entonces se tiene que 𝑥1∗ 50 𝑥𝑏∗ = ( 𝑠2 ) = ( 700 ) 𝑦 𝑟 ∗ = 0 𝑠3∗ 300

FASE 2 Para este caso el sistema no tiene alguna variable artificial, entonces para no tener demasiadas columnas en la tabla se suprimen todas las columnas de las variables artificiales, es decir Estandarizando la Fase 2 se tiene FUNCIÓN OBJETIVO Max W=600x_1+400x_2+500x_3+0*s_2+0*s_3

RESTRICCIONES 0,66x_1+x_2+0,66x_3=50 16,66x_1-3.33x_3-t_1+s_2=700 6,66x_1+6,66x_3+s_3=300 x_1,x_2,x_3,t_1,s_2,s_3≥0

Theta

Entonces la tabla de la fase dos queda determinada de la siguiente manera C_j

600

400

500

0

0

0

0

X_3

t_1

S_2

S_3

LD

Theta

0

0

50

75

0,66667

1

0

700

42

45

C_s

VB

X_1

X_2

400

X_2

0,6667

1

0

S_2

16,667

0

0,666667 -0,0333 3,333333

0

C_j-

S_3

6,6667

0

6,666667 0,66667

0

1

300

w_j

266,67

400

266,6667 -13,333

0

0

20000

r

-

0

0

0

20000

-

-13,333

w_j

333,33

233,3333

C_j

600

400

500

0

0

0

0

C_s

VB

X_1

X_2

X_3

t_1

S_2

S_3

LD

400

X_2

0

1

0,8

-0,06

-0,04

0

22

600

X_1

1

0

-0,2

0,04

0,06

0

42

0

S_3

0

0

8

0,4

-0,4

1

20

C_j-

r

0

0

-300

0

20

0

34000

600

400

500

0

0

0

0

Theta

w_j

C_j C_s

VB

X_1

X_2

X_3

t_1

S_2

S_3

LD

Theta

400

X_2

0

1

0,8

-0,06

-0,04

0

22

27,5

600

X_1

1

0

-0,2

0,04

0,06

0

42

-210

0

S_3

0

0

8

0,4

-0,4

1

20

2,5

w_j

600

400

200

0

20

0

34000

w

0

0

-300

0

20

0

34000

C_jw_j

C_j

600

400

500

0

0

0

0

C_s

VB

X_1

X_2

X_3

t_1

S_2

S_3

LD

400

X_2

0

1

0

-0,1

0

-0,1

20

600

X_1

1

0

0

0,05

0,05

0,025

42,5

500

X_3

0

0

1

0,05

-0,05

0,125

2,5

C_j-

w

0

0

0

15

5

37,5

34750

Theta

w_j

Por lo tanto, se tiene la siguiente solución Z=34750 x_2=20 x_1=42,5 x_3=2,5 CONCLUSIÓN a. En conclusión, por el método simplex a dos fases se sugiere que se deben producir 42.5 jugos 1 de Pera, 20 jugos 2 de manzana y 2.5 jugos 3 tropical con una utilidad de 34750. b. En conclusión, por el método algebraico del simplex primal se sugiere que se deben producir 42.5 jugos 1 de Pera, 20 jugos 2 de manzana y 2.5 jugos 3 tropical con una utilidad de 34750 c. Por el método simplex a dos fases se sugiere que se deben producir 42.5 jugos 1 de Pera, 20 jugos 2 de manzana y 2.5 jugos 3 tropical con una utilidad de 34750. d. La utilidad del problema es de Z=34750 e. No, en este caso las respuestas coincidieron.

EJERCICIO 2.

De acuerdo a las siguientes condiciones de un problema productivo, donde se han tomado los datos de utilidades y restricciones, según ciertas condiciones y necesidades, determine:    

Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método simplex algebraico. Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex primal. Utilidad del problema. Compare los resultados obtenidos por cada uno de los métodos propuestos y justifíquelos.

FUNCIÓN OBJETIVO Maximizar Z = 6x_1+7x_2+5x_3+3x_4

SUJETO A LAS RESTRICCIONES: 3x_1+3x_2+2x_3+x_4≤ 75 3x_1+ 2x_2+3x_3+2x_4≤ 100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4≥ 30 2x_1+2x_2+x_3+2x_4≤ 68 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0

MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO

Maximizar Z -6x_1 - 7x_2 -5x_3 -3x_4=0 3x_1+3x_2+2x_3+x_4≤75 3x_1+2x_2+3x_3+2x_4≤100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4≥30 2x_1+2x_2+1x_3+2x_4≤68

x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0 Agregando las variables de holgura Maximizar Z -6x_1 - 7x_2 -5x_3 -3x_4=0 3x_1+3x_2+2x_3+x_4+y_1=75 3x_1+2x_2+3x_3+2x_4+y_2=100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3=30 2x_1+2x_2+x_3+2x_4+y_4=68 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0 Vamos a tomar la -7x_2, 3x_1+3x_2+2x_3+x_4+y_1=75 3x_1+2x_2+3x_3+2x_4+y_2=100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3=30 2x_1+2x_2+1x_3+2x_4-y_4=68 Al cambiar las variables 3(0)+3x_2+2(0)+ (0)+ (0)=75 3(0)+2x_2+3(0)+2(0)+ (0)=100 2(0)+2x_2+4(0)+3(0)-(0)=30 2(0)+2x_2+1(0)+2(0)+ (0)=68 Obteniendo los valores correspondientes de las variables x_2 3x_2=75 x_2=75/3=25

2x_2=100 x_2=100/2=50

2x_2=30 x_2=30/2=15

2x_2=68 x_2=68/2=34 Despejar de la ecuación 3, la variable x_2 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3=30 2x_2=30-(2x_1+4x_3+3x_4-y_3) x_2= (30-(2x_1+4x_3+3x_4+y_3))/2 x_2=15-x_1-2x_3-3/2 x_4+1/2 y_3 Esta ecuación se sustituye dentro de las ecuaciones iniciales a excepción de la ecuación 3. Maximizar Z -6x_1 - 7(15-x_1-2x_3+3/2 x_4-1/2 y_3) -5x_3 -3x_4=0 3x_1+3(15-x_1-2x_3+3/2 x_4-1/2 y_3)+2x_3+x_4+y_1=75 3x_1+2(15-x_1-2x_3+3/2 x_4-1/2 y_3)+3x_3+2x_4+y_2=100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3=30 2x_1+2(15-x_1-2x_3+3/2 x_4-1/2 y_3)+x_3+2x_4+y_4=68 Expandiendo y Multiplicando las ecuaciones por 2, ahora nuestro sistema de ecuaciones es: Maximizar 2z-210+2x_1+18x_3+15x_4-7y_3=0 -8x_3-7x_4+2y_1+3 y_3=60 2x_1-2x_3-2x_4+2y_2+2y_3=140 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3=30 -6x_3-2x_4+2y_3+2y_4=76 Con lo cual vamos a tomar la variable -7y_3. En cada restricción vamos a cambiar las variables por cero a excepción de la variable y_3, es decir si las ecuaciones en su respectivo orden son:    

-8x_3-7x_4+2y_1+3y_3=60 2x_1-2x_3-2x_4+2y_2+2y_3=140 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3=30 -6x_3-2x_4+2y_3+2y_4=76

Al cambiar las variables -8(0)-7(0)+2(0)+3 y3=60 2(0)-2(0)-2(0)+2(0)+2y3=140 2(0)+2(0)+4(0)+3(0)-y3=30 -6(0)-2(0)+2y3+2(0)=76 Obteniendo los valores correspondientes de las variables y_3 3 y_3=60 y_3=60/3=20

2y_3=140 y_3=140/2=70

-y_3=30 y_3=30/-1=-30

2y_3=76 y_3=76/2=38 Tomando la ecuación cuyo valor positivo es mínimo, es decir la ecuación 1 entonces vamos a despejar de la ecuación 1, la variable y_3 -8x_3-7x_4+2y_1+3y_3=60 Multiplicando por 2 toda la ecuación 3 y_3=60+8x_3+7x_4-2y_1 y3=1/3 (60+8x_3+7x_4-2y_1 ) Esta ecuación se sustituye dentro de las ecuaciones iniciales a excepción de la ecuación 1. Maximizar 2z-210+2x_1+18x_3+15x_4-7(1/3 (60+8x_3+7x_4-2y_1 ))=0 -8x_3-7x_4+2y_1+3 y_3=60 2x_1-2x_3-2x_4+2y_2+2(1/3 (60+8x_3+7x_4-2y_1 ))=140 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-1/3 (60+8x_3+7x_4-2y_1 )=30

-6x_3-2x_4+2(1/3 (60+8x_3+7x_4-2y_1 ))+2y_4=76 Expandiendo y multiplicando por 3 6z-1050+6x_1-2x_3-4x_4+14y_1=0 -8x3-7x_4+2y_1+3 y_3=60 6x_1+10x_3+8x_4-4y_1+6y_2=300 6x_1+6x_2+4x_3+2x_4+2y_1=150 -2x_3+8x_4-4y_1+6y_4=108 Tomando la variable de la función objetivo mas grande pero negativo, es decir -4x_4 en cada restricción vamos a cambiar las variables por cero a excepción de la variable x_4, es decir si las ecuaciones en su respectivo orden son: -8x_3-7x_4+2y_1+3 y_3=60 6x_1+10x_3+8x_4-4y_1+6y_2=300 6x_1+6x_2+4x_3+2x_4+2y_1=150 -2x_3+8x_4-4y_1+6y_4=108 Al cambiar las variables -8(0)-7x4+2(0)+3 (0)=60 6(0)+10(0)+8x4-4(0)+6(0)=300 6(0)+6(0)+4(0)+2x4+2(0)=150 -2(0)+8x4-4(0)+6(0)=108 Obteniendo los valores correspondientes de las variables x_4 -7x_4=60 x_4=60/-7.

8x_4=300 x_4=300/8=37,5.

2x_4=150 x_4=150/2=75

8x_4=108 x_4=108/8=13,5 Tomando la ecuación cuyo valor positivo es mínimo, es decir la ecuación 4 entonces vamos a despejar de la ecuación 4, la variable x4 -2x_3+8x_4-4y_1+6y_4=108 8x_4=108+2x_3+4y_1-6y_4 x_4=1/8 (108+2x_3+4y_1-6y_4 ) Esta ecuación se sustituye dentro de las ecuaciones iniciales a excepción de la ecuación 2. 6z-1050+6x_1-2x_3-4(1/8 (108+2x_3+4y_1-6y_4 ))+14y_1=0 -8x_3-7(1/8 (108+2x_3+4y_1-6y_4 ))+2y_1+3 y_3=60 6x_1+10x_3+8(1/8 (108+2x_3+4y_1-6y_4 ))-4y_1+6y_2=300 6x_1+6x_2+4x_3+2(1/8 (108+2x_3+4y_1-6y_4 ))+2y_1=150 -2x_3+8x_4-4y_1+6y_4=108 Expandiendo y Multiplicando 24z -4416+24x_1-12x_3+48y_1+12y_4=0 -39x_3-6y_1+12y_3+21y_4 =618 24x_1+48x_3+24y_2-24y_4=768 24x_1+24x_2+18x_3+12y_1-6y_4=492 -2x_3+8x_4-4y_1+6y_4=108 Tomamos la variable de la función objetivo con valor más grande pero negativo, con lo cual vamos a tomar la variable -12x_3. En cada restricción vamos a cambiar las variables por cero a excepción de la variable x_3, es decir -39x_3-6y_1+12y_3+21y_4=618 24x_1+48x_3+24y_2-24y_4=768 24x_1+24x_2+18x_3+12y_1-6y_4=492 -2x_3+8x_4-4y_1+6y_4=108 Al cambiar las variables -39x_3-6(0)+12(0)+21(0)=618

24(0)+48x_3+24(0)-24(0)=768 24(0)+24(0)+18x_3+12(0)-6(0)=492 -2x_3+8(0)-4(0)+6(0)=108 Obteniendo los valores correspondientes de las variables x_3 -39x_3=618 x_3=618/(-39)

48x_3=768 x_3=768/48=16

18x_3=492 x_3=492/18=27.3

-2x_3=108 x_3=108/-2 Tomando la ecuación cuyo valor positivo es mínimo, es decir la ecuación 2 entonces vamos a despejar de la ecuación 2 la variable x3   

24x_1+48x_3+24y_2-24y_4=768 48x_3=768-24x_1-24y_2+24y_4 x_3=1/48 (768-24x_1-24y_2+24y_4 )

24z -4416+24x_1-12(1/48 (768-24x_1-24y_2+24y_4 ))+48y_1+12y_4=0 -39x_3-6y_1+12(1/48 (768-24x_1-24y_2+24y_4 ))+21y_4=618 24x_1+48x_3+24y_2-24y_4=768 24x_1+24x_2+18(1/48 (768-24x_1-24y_2+24y_4 ))+12y_1-6y_4=492 -2(1/48 (768-24x_1-24y_2+24y_4 ))+8x_4-4y_1+6y_4=108

Expandiendo por 2     

48 z -9216+60x_1+96y_1+12y_2+12y_4=0 39x_1-12y_1+39y_2+24y_3+3y_4=2484 24x_1+48x_3+24y_2-24y_4=768 30x_1+48x_2+24y_1-18y_2+6y_4=408 2x_1+16x_4-8y_1+2y_2+10 y_4=280

Como todas las variables en la función objetivo no tiene ninguna constante negativa el proceso acaba y haciendo las variables x_1=y_1=y_2=y_3= y_4=0 las cuales están presentes en la función objetivo    

39x_1-12y_1+39y_2+24y_3+3y_4=2484 24x_1+48x_3+24y_2-24y_4=768 30x_1+48x_2+24y_1-18y_2+6y_4=408 2x_1+16x_4-8y_1+2y_2+10 y_4=280

Cambiando las variables 39(0)-12(0)+39(0)+24(0)+3(0)=2484 24(0)+48x3+24(0)-24(0)=768 30(0)+48x2+24(0)-18(0)+6(0)=408 2(0)+16x4-8(0)+2(0)+10(0)=280 Es decir inconsistente 48x_3=768 x_3=768/48=16

48x_2=408 x_2=408/48=8.5

16x_4=280 x_4=280/16=17.5

CONCLUSIÓN

Z=192 x_1=0 x_2=8.5 x_3=16 x_4=17.5

MÉTODO SIMPLEX DOS FASES Maximizar Z -6x_1 - 7x_2 -5x_3 -3x_4=0 3x_1+3x_2+2x_3+x_4≤75 3x_1+2x_2+3x_3+2x_4≤100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4≥30 2x_1+2x_2+1x_3+2x_4≤68 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0 Agregando las variables de holgura Maximizar Z -6x_1 - 7x_2 -5x_3 -3x_4=0 3x_1+3x_2+2x_3+x_4+y_1=75 3x_1+2x_2+3x_3+2x_4+y_2=100 2x_1+2x_2+4x_3+3x_4-y_3+y_4=30 2x_1+2x_2+x_3+2x_4+y_5=68 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0

Organizando las ecuaciones en una tabla entonces x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

z

R

y1

3,00

3,00

2,00

1,00 1,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00

y2

3,00

2,00

3,00

2,00 0,00 1,00

0,00 0,00 0,00 0,00 100,00

y3

2,00

2,00

4,00

3,00 0,00 0,00 -1,00 1,00 0,00 0,00

30,00

y4

2,00

2,00

1,00

2,00 0,00 0,00

0,00 0,00 1,00 0,00

68,00

-6,00 -7,00 -5,00 -3,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 1,00

0,00

z

75,00

Tomando de la última fila el valor más mínimo, para fijar la columna pivote, por otro lado, haciendo los cocientes de las columnas R con los valores de la columna pivote, y tomando la fila cuyo valor al realizar el cociente es el menor número positivo. x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

z

R

cocientes

y1 3,00 3,00 2,00

1,00 1,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00

75,00

25,00

y2 3,00 2,00 3,00

2,00 0,00 1,00

0,00 0,00 0,00 0,00 100,00

50,00

y3 2,00 2,00 4,00

3,00 0,00 0,00 -1,00 1,00 0,00 0,00

30,00

15,00

y4 2,00 2,00 1,00

2,00 0,00 0,00

0,00 0,00 1,00 0,00

68,00

34,00

- -3,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 1,00

0,00

z

-

-

6,00 7,00 5,00

La variable que entra es x_2 y la variable que sale es y_3, ahora bien realizando las operaciones siguientes entre filas de la tabla 1 𝑓 → 𝑓3 , 2 3

3 𝑓1 − 𝑓3 → 𝑓1 , 2

𝑓2 − 𝑓3 → 𝑓2 ,

𝑓4 − 𝑓3 → 𝑓4 ,

7 𝑓5 + 𝑓3 → 𝑓5 2

Donde el cuadrado designa la variable entrante y saliente x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

z

R

y1 0,00 0,00 -4,00 -3,50 1,00 0,00

1,50 -1,50 0,00 0,00

30,00

y2 1,00 0,00 -1,00 -1,00 0,00 1,00

1,00 -1,00 0,00 0,00

70,00

x2 1,00 1,00

2,00

1,50 0,00 0,00 -0,50

y4 0,00 0,00 -3,00 -1,00 0,00 0,00 z

1,00 0,00

9,00

0,50 0,00 0,00

15,00

1,00 -1,00 1,00 0,00

38,00

7,50 0,00 0,00 -3,50

3,50 0,00 1,00 105,00

Tomando el valor mínimo de la última fila, para fijar la columna pivote, por otro lado, haciendo los cocientes de las columnas R con los valores de la columna pivote, y tomando la fila cuyo valor al realizar el cociente es el menor número positivo. x1 y1

x2

0,00 0,00

x3

x4 -

4,00 y2

x2

1,00 0,00

1,00 1,00

y1

y2

- 1,00 0,00

y3

y4

1,50

3,50

-

y5

z

- 0,00 0,00

R

theta

30,00

20,00

70,00

70,00

0,50 0,00 0,00

15,00

-30,00

- 1,00 0,00

38,00

38,00

1,50

- 0,00 1,00

1,00

1,00

2,00

1,50 0,00 0,00

1,00

- 0,00 0,00 1,00

0,50

y4

z

0,00 0,00

1,00 0,00

-

- 0,00 0,00

3,00

1,00

9,00

7,50 0,00 0,00

1,00

1,00 -

3,50 0,00 1,00 105,00

3,50

La variable que entra es y3 y la variable que sale es y1, ahora bien realizando las operaciones siguientes entre filas de la tabla 1 𝑓 → 𝑓1 , 1.5 1 𝑓4 −

𝑓2 −

1 𝑓 → 𝑓2 , 1.5 1

1 𝑓 → 𝑓4 , 1.5 1

𝑓5 +

𝑓3 +

0.5 𝑓 → 𝑓3 , 1.5 1

3.5 𝑓 → 𝑓5 1.5 1

x1

x2

x3

x4

y1

y3 0,00 0,00 -2,67 -2,33

y2

y3

y4

y5

z

0,67 0,00 1,00 -1,00 0,00 0,00

R 20,00

y2 1,00 0,00

1,67

1,33 -0,67 1,00 0,00

0,00 0,00 0,00

50,00

x2 1,00 1,00

0,67

0,33

0,33 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

25,00

1,33 -0,67 0,00 0,00

0,00 1,00 0,00

18,00

y4 0,00 0,00 -0,33 z

1,00 0,00 -0,33 -0,67

2,33 0,00 0,00

0,00 0,00 1,00 175,00

Tomando el valor mínimo de la última fila, para fijar la columna pivote, por otro lado haciendo los cocientes de las columna R con los valores de la columna pivote, y tomando la fila cuyo valor al realizar el cociente es el menor número positivo. x1

x2

x3

x4

y1

y3 0,00 0,00 -2,67 -2,33

y2

y3

y4

y5

z

0,67 0,00 1,00 -1,00 0,00 0,00

R 20,00

theta -8,57

y2 1,00 0,00

1,67

1,33 -0,67 1,00 0,00

0,00 0,00 0,00

50,00 37,50

x2 1,00 1,00

0,67

0,33

0,33 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

25,00 75,00

1,33 -0,67 0,00 0,00

0,00 1,00 0,00

18,00 13,50

y4 0,00 0,00 -0,33 z

1,00 0,00 -0,33 -0,67

2,33 0,00 0,00

0,00 0,00 1,00 175,00

La variable que entra es x4 y la variable que sale es y4, ahora bien, realizando las operaciones siguientes entre filas de la tabla 1 𝑓 → 𝑓4 , 1.33 4 𝑓3 −

𝑓2 +

2.33 𝑓 → 𝑓2 , 1.33 4

0.33 𝑓 → 𝑓3 , 1.33 4

𝑓5 +

𝑓2 − 𝑓4 → 𝑓2 ,

0.67 𝑓 → 𝑓5 1.33 4

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

y3 0,00 0,00 -3,25 0,00 -0,50 0,00 1,00 -1,00

z

R

1,75 0,00

51,50

y2 1,00 0,00

2,00 0,00

0,00 1,00 0,00

0,00 -1,00 0,00

32,00

x2 1,00 1,00

0,75 0,00

0,50 0,00 0,00

0,00 -0,25 0,00

20,50

0,00

0,75 0,00

13,50

0,00

0,50 1,00 184,00

x4 0,00 0,00 -0,25 1,00 -0,50 0,00 0,00 z

1,00 0,00 -0,50 0,00

2,00 0,00 0,00

Tomando el valor mínimo de la última fila, para fijar la columna pivote, por otro lado, haciendo los cocientes de las columnas R con los valores de la columna pivote, y tomando la fila cuyo valor al realizar el cociente es el mentó numero positivo. x1

x2

y3 0,00 0,00

x3

x4 - 0,00

3,25

y1

y2

y3

y4

- 0,00 1,00 0,50

y5

z

- 1,75 0,00

R

cocientes

51,50

-15,85

32,00

16,00

20,50

27,33

13,50

-54,00

1,00

y2 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00

- 0,00 1,00

x2 1,00 1,00 0,75 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00

- 0,00 0,25

x4 0,00 0,00

- 1,00 0,25

z

1,00 0,00

- 0,00 0,00 0,00 0,75 0,00 0,50

- 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 0,50 1,00 184,00 0,50

La variable que entra es x3 y la variable que sale es y2, ahora bien realizando las operaciones siguientes entre filas de la tabla 1 𝑓 → 𝑓2 , 2 2 𝑓4 +

𝑓1 +

3.25 𝑓 → 𝑓1 , 2 2

0.25 𝑓 → 𝑓4 , 2 2

𝑓5 +

𝑓3 −

0.75 𝑓 → 𝑓3 2 2

0.5 𝑓 → 𝑓5 2 2

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y3 1,63 0,00 0,00 0,00 -0,50

1,63 1,00 -1,00

x3 0,50 0,00 1,00 0,00

0,00

0,50 0,00

x2 0,63 1,00 0,00 0,00

0,50 -0,38 0,00

x4 0,13 0,00 0,00 1,00 -0,50 z

1,25 0,00 0,00 0,00

2,00

y5

z

R

0,13 0,00 103,50

0,00 -0,50 0,00

16,00

0,00

0,13 0,00

8,50

0,13 0,00

0,00

0,63 0,00

17,50

0,25 0,00

0,00

0,25 1,00 192,00

Debido a que en la última fila no hay más numero negativos entonces el proceso termina y por tanto la solución al problema está dada por x_1=0,x_2=8.5,x_3=16,x_4=17.5 CONCLUSIÓN Z=192 x_1=0 x_2=8.5 x_3=16 x_4=17.5

EJERCICIO 3: Raúl García es el heredero de un taller de carpintería que le ha dejado su padre como parte de tradición familiar. Raúl es un comerciante de vehículos importados que nunca se interesó por el negocio con el que su padre le creó y le pagó sus estudios universitarios. Ahora con la muerte de su padre Raúl debe hacerse cargo del negocio, el cual heredará algún día a uno de sus hijos. Cuando Raúl visita el taller para hacerse cargo, encuentra que el producto que mayor atención merece por ser el de mayor venta es el de escritorios tipo deko que su padre diseñó y que se fabrican según especificaciones de los clientes, tipo 1 para hogar, tipo 2 para oficinas y tipo 3 para colegios. Cada escritorio pasa por 3 procesos básicos el corte de la madera, el ensamblado y la pintura del producto terminado que se miden en horas de trabajo. Raúl seguirá la política de contratación de personal de su padre, los turnos rotativos, por lo cual el tiempo de trabajo es variable entre una y otra semana, las horas mínimas a contratar por semana se muestran en la tabla 1. A partir de los datos siguientes que se consignan en la tabla 1, formule el problema de programación lineal y resuélvalo a partir del método simplex primal de las dos fases para ayudar a Rubén a minimizar los costos del proceso. Tipo de

Corte

Ensamble

Pintura

escritorio

Costos por producto semanales

1

2

3

2

US 17

2

2

2

3

US 17

3

3

1

1

US 23

Horas

33

31

35

Sea x_1≔Cantidad de escritorios del Tipo 1 x_2≔Cantidad de escritotios del Tipo 2 x_3≔Cantidad de escritorios del Tipo 3 FUNCIÓN OBJETIVO Min Z=17x_1+17x_2+23x_3

RESTRICCIÓN 2x_1+2x_2+3x_3≥33 3x_1+2x_2+x_3≥31 2x_1+3x_2+x_3≥35 x_1,x_2,x_3≥0 Agregando las variables de holgura y de exceso se tiene

FUNCIÓN OBJETIVO Min Z=17x_1+17x_2+23x_3+0*s_1+0*s_2+0*s_3 RESTRICCIÓN 2x_1+2x_2+3x_3+s_1=33 3x_1+2x_2+x_3+s_2=31 2x_1+3x_2+x_3+s_3=35 x_1,x_2,x_3,s_1,s_2,s_3≥0

MÉTODO SIMPLEX A DOS FASES Se tiene el siguiente sistema Sea x_1≔Cantidad de escritorios del Tipo 1 x_2≔Cantidad de escritotios del Tipo 2 x_3≔Cantidad de escritorios del Tipo 3 FUNCIÓN OBJETIVO Min Z=17x_1+17x_2+23x_3+0*s_1+0*s_2+0*s_3 Y esto es lo mismo que Max Z=-17x_1-17x_2-23x_3+0*s_1+0*s_2+0*s_3

RESTRICCIÓN 2x_1+2x_2+3x_3-s_1+s_2=33 3x_1+2x_2+x_3-s_3+s_4=31 2x_1+3x_2+x_3-s_5+s_6=35 x_1,x_2,x_3,s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6≥0 FASE 1 Construyendo la tabla simplex se obtiene C_j

0

0

0

VB

X_1

X_2

X_3

-1 s_2

2

2

3

-1

1

0

0

0

0

33

-1 s_4

3

2

1

0

0

-1

1

0

0

31

-1 s_6

2

3

1

0

0

0

0

-1

1

35

r_j

-7

-7

-5

1

-1

1

-1

1

-1

-99

r

-7

-7

-5

1

0

1

0

1

0

-99

C_s

C_j-r_j

0 s_1

-1 s_2

0 s_3

-1 s_4

0

-1

s_5

0

s_6

LD

Theta

Seleccionando el menor valor de los C_j-r_j la cual nos indica la columna pivote, luego determinado el valor de theta del cual se selecciona el menor valor más positivo, indicándonos este la fila pivote y culla intersección con la columna pivote es el pivote de la tabla. C_j C_s

0

0

0

0

VB X_1 X_2 X_3 s_1

-1

0

-1

s_2 s_3 s_4

0

-1

0

s_5 s_6 LD

Theta

-1 s_2

2

2

3

-1

1

0

0

0

0

33

-1 s_4

3

2

1

0

0

-1

1

0

0

31 10,3333333

-1 s_6

2

3

1

0

0

0

0

-1

1

35

-7

-7

-5

1

0

1

0

1

0

-99

C_j-r_j r

16,5

17,5

Volviendo 1 en pivote y ceros los valores de la columna pivote se obtiene C_j

0 VB

C_s

0

X_1 X_2

-1 s_2 0 X_1 -1 s_6 C_j-r_j r

0

0

X_3

-1

0

s_1 s_2 s_3

-1 s_4

0

0,66667

2,333333

-1

1

1

0,66667

0,33333

0

0

-0,33333

0

1,66667

0,33333

0

0

0

-2,33333

-2,66667

1

0 -1,33333333

0

-1

s_5

0,66667 -0,66667

0

s_6 LD 0

0

12,3333

0,33333

0

0

10,3333

0,666667 -0,66667

-1

1

14,3333

2,33333

1

0 -26,6667

Repitiendo el proceso, volvemos a determinar el pivote, la columna pivote y la fila pivote: C_j

0

C_s

0

V

X_ X_2

B

1

-1 s_

0

2

0 X_3

0,66666

2,33333

667

333

0

-1

s_

s_

1

2

-1

1

0 s_3

-1 s_4

0,66666

-

667

0,66666

0

-1

s_

s_

5

6 0

0

0 LD

Theta

12,3333

5,285

333

71429

10,3333

31

667 0 X_

1

1

0,66666

0,33333

667

333

0

0

-

0,33333

0,33333

333

0

0

333

333 -1 s_

0

6

1,66666

0,33333

667

333

0

0

0,66666

-

667

0,66666

-1

1

14,3333 333

667 r_j

C_jr_j

r

0

0

-

-

2,33333

1

-

1,33333

2,66666

1,33333

333

333

667

333

-

-

2,33333 333

1

-1

0

1

-1

26,6666 667

-

2,33333

2,66666

1,33333

333

667

333

1

0

26,6666 667

43

Theta

Volviendo 1 el nuevo pivote y ceros la columna pivote se obtiene. C_j C_s

0 V

X

B

_1

0 X

0

_3

0 X_2

0 X

0 s_1

-1 s_2

0 s_3

s_4

_3

0,2857

1

1429

-

0,4

0,2857

-

0,4285

29

1429

0,2857

714 0 X

1

_1

-1 s_

0,5714

0

2857

0

6

1,5714

0

2857

0

j

C_j- r r_j

0

-

0,1428

-

-

0,4285

5714

0,1

0,4285

7143

43

7143

0,1428

-

0,5714

5714

0,1

2857

s

_

_

5

6

0

0

0

0

0 LD

Th eta

5,2857

18,

1429

5

8,5714

15

2857

1

0,5714

12,571 4286

2857

0,1

-

0,5714

1,5714

0,1428

43

0,5714

2857

2857

571 0

s

- -1

-

-

0

0 -1

1429

43 r_

-1

1 -1

12,571

2857

4286

-

1,1

-

1,5714

1,5714

0,1428

43

0,5714

2857

2857

571

2857

-

1

0

12,571 4286

8

Repitiendo el proceso para determinar de nuevo el pivote y la columna pivote se obtiene C_j C_s

0 V

X

B

_1

0 X

0

_3

0 X_2

0 X

0 s_1

-1 s_2

0 s_3

s_4

_3

0,2857

1

1429

-

0,4

0,2857

-

0,4285

29

1429

0,2857

714 0 X

1

_1

-1 s_

0,5714

0

2857

0

6

1,5714

0

2857

0

j

C_j- r r_j

0

-

0,1428

-

-

0,4285

5714

0,1

0,4285

7143

43

7143

0,1428

-

0,5714

5714

0,1

2857

s

_

_

5

6

0

0

0

0

0 LD

Th eta

5,2857

18,

1429

5

8,5714

15

2857

1

0,5714

12,571 4286

2857

0,1

-

0,5714

1,5714

0,1428

43

0,5714

2857

2857

571 0

s

- -1

-

-

0

0 -1

1429

43 r_

-1

1 -1

12,571

2857

4286

-

1,1

-

1,5714

1,5714

0,1428

43

0,5714

2857

2857

571

2857

-

1

0

12,571 4286

8

Volviendo 1 el pivote y cero los otros valores de la columna pivote se obtiene C_j

0

0

0

V

X

X

X

B

_1

_2

_3

0 X

0

0

1

C_s

_3

0 s_1

-1 s_2

s_3

- 0,45 0,45454

0

-1 s_4

1

0

0 0,09090

_1

0 X

0

1

-

0,1

-

818

0,18181

82

0,18

5

818

r

0

0

0,63636

0,3

-

909 0,09

0,63636

364

64

0,36

1

364

-

0,36363

-

-

0,63

909 0,09

636

0,36363

0,6

64

636

4

1

0

0

0

1

0 L

The

D

ta

3

2

-

4

4

1 C_j-

s_6

-

0 0,09090

_2

s_5

-1

0,18181

55 0 X

0

0

1

8

0

r_j

Ya que todos los valores de C_j-r_j son todos positivos, ssignifica que existe una solución posible al sistema, entonces se pasa a la fase 2. FASE 2 Colocando los datos de la función objetivo en nuestra tabla simplex: C_j

-17

-17

-23

0

0

0

s_3

s_5

LD Theta

0,182

C_s

VB

-23

X_3 0

0

1

-0,4545455

0,18181818

3

-17

X_1 1

0

0

0,09090909 -0,636 0,36363636

4

-17

X_2 0

1

0

0,09090909 0,364

-0,63636364 8

0

0

0

0

C_j-r_j r

X_1 X_2 X_3 s_1

0

0

0

0

Determinando 𝐶𝑗 − 𝑟𝑗 se obtiene C_j

-17

-17

-23

0

0

0

s_3

s_5

LD

0,182

C_s

VB

-23

X_3 0

0

1

-0,4545455

0,18181818

3

-17

X_1 1

0

0

0,09090909 -0,636 0,36363636

4

-17

X_2 0

1

0

0,09090909 0,364

-0,63636364 8

r

-17

-17

-23

7,36363636 0,455

0,45454545

-273

0

0

0

7,36363636 0,455

0,45454545

-273

C_j-r_j r

X_1 X_2 X_3 s_1

0

Theta

Ya que todos los valores de C_j-r_j son positivos, ya se obtiene la solución del problema: Max Z=-273 Es decir Min Z=273 x_1=4 x_2=8 x_3=3 CONCLUSIÓN: Según el método simplex primal a dos fases, Raúl debe producir 4 escritorios del Tipo 1, 8 cantidades del Tipo 2 y 3 cantidades del Tipo 3 para obtener un costo mínimo de 273.

EJERCICIO 4. FUNCIÓN OBJETIVO Minimizar Z = 720x_1+ 215x_2+120x_3+70x_4 SUJETO A LAS RESTRICCIONES: 30x_1 + 5x_2 + 3x_3+ 7x_4≥ 510 17x_1+ 7x_2+ 3x_3+ 5x_4 ≥ 320 11x_1+ 5x_2 + 4x_3 + 2x_4≥ 280 7x_1+ 6x_2+ 5x_3+ 1x_4≥ 170 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0 PRIMERA FASE Minimizar Z = 720x_1+ 215x_2+120x_3+70x_4 SUJETO A LAS RESTRICCIONES: 30x_1 + 5x_2 + 3x_3+ 7x_4-y_1+z_1= 510 17x_1+ 7x_2+ 3x_3+ 5x_4-y_2+z_2=320 11x_1+ 5x_2 + 4x_3 + 2x_4-y_3+z_3= 280 7x_1+ 6x_2+ 5x_3+ 1x_4-y_4+z_4=170 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0 PRIMERA FASE Minimizar r = z_1+z_2+z_3+z_4 Sujeto a las restricciones: 30x_1 + 5x_2 + 3x_3+ 7x_4-y_1+z_1= 510 17x_1+ 7x_2+ 3x_3+ 5x_4-y_2+z_2=320 11x_1+ 5x_2 + 4x_3 + 2x_4-y_3+z_3= 280 7x_1+ 6x_2+ 5x_3+ 1x_4-y_4+z_4=170 x_1,x_2,x_3,x_4≥ 0

x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4 LD 0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

-1

z1 30

5

3

7

-1

0

0

0

1

0

0

0 510

z2 17

7

3

5

0

-1

0

0

0

1

0

0 320

z3 11

5

4

2

0

0

-1

0

0

0

1

0 280

7

6

5

1

0

0

0

-1

0

0

0

1 170

r

z4

-1

0

Formando la tabla Sumando las filas 1, 2, 3,4 y 5 en la primera fila. FASE 1 x1 x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

z4

LD

r

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

-1

-1

-1

0

z1

30

5

3

7

-1

0

0

0

1

0

0

0

510

z2

17

7

3

5

0

-1

0

0

0

1

0

0

320

z3

11

5

4

2

0

0

-1

0

0

0

1

0

280

z4

7

6

5

1

0

0

0

-1

0

0

0

1

170

x

x2

x3 x4

y1

1 r

-

-23

6

-

-15

1

y

y

y

2

3

4

1

1

1

z1

0

z

z

z

2

3

4

0

0

0

15

3

1

0

z

1

2

7

z

1

3

1

theta

128

5 x

LD

0 5

3

7

-1

0

0

0

1

0

0

0 510

17

7

3

5

0

-

0

0

0

1

0

0 320

18,823

1 5

4

2

0

0

5294 1

0

0

0

1

0 280

25,454 5455

z

7

6

5

1

0

0

0

x

x2 x3

x4

y1

1

x

0

0

0

1 170

24,285

1

4

r

-

0

1

1

-

-

0,1666

-

12,166

8,

6667

1,1666

667

5

0,1666

0,

0,2333

-

6667

1

3333

0,0333

y

y

y

2

3

4

1

1

1

7143 z1

2,1666

z

z

z

2

3

4

0

0

0

6667

LD

theta

175

667 0

0

0

0,0333

0

0

0

17

102

1

0

0

31

7,44

0

1

0

93

29,368

3333

333 x

0

2

4,1666

1,

1,0333

0,5666

-

6667

3

3333

6667

1

0

0

0,5666 667

z

0

3

3,1666

2,

-

0,3666

6667

9

0,5666

6667

0

-

0

-

1

0,3666

667 z

0

4

667

4,8333

4,

-

0,2333

3333

3

0,6333

3333

0

0

-

-

1

0,2333

333

x x x3

x4

y1

r 0 0

y y4

z1

z2

3 -

3,18

0,48

4,

4

8

0

0

1

51

10,551 7241

333

y2

1 2

4211

-1,92 1

z z4

LD

theta

3 1

0,51

2,92 0

0

2

70

-

17,9

84,4

5918

8

37

15,7

328,

6

3333

4 x 1 0

0,

0,19

-

1

04

2

0,05

8

6

0,04 0

0

0,05 6

-0,04 0

0

33

x 0 1

0,

0,24

0,13

2

31

8

6

-0,24 0

0

2 z 0 0

1,

-

-

3

91

1,35

0,06

2

2

4

x 0 0

2,

-

-

3

79

1,83

0,42

2

2

4

x3

x4

y1

x x

0,76

0

1

0,24 0

0,09

-

7421

0,22

2

6361

0

1

0,22

-

3495 7

6

38

0,06

-0,76 1

0

4

1,16 0

-1

0,42

-1,16 0

1

4

0

y2 y

y4

z1

0,03 1

2

0

3

z2 z

z4

LD

0,68

6361

5616

4813

59,1

95

4813

03

05

75

4040

3

1

theta

1

8710

8710

31

98

6

- 0

-

15,5

901,

0,02

0,01

0143

6666

0057

7192

27

67

-

5,75

51,5

3 - 0

0,11

-

0,36 0

0,36

1747

0,18

9627

0,11

9312

3846

9627

85

3381

51

1747

32

15

-

59,1

86,3

1

9

-

0,22

-

-

0,68

-

0,09

6361

0,03 1

4813

0,22

4383

0,68

4040

5983

7421

03

75

6361

95

4813

11

26

0,35

5,38

-

4384

0,03 1

2 x 0 0

6819

4383

5 z 0 0

4

-

7191

09

5,38

1,68

0057

06

15,0

0,96 0

0,04

3381

1799

1,22

0,04

2722

4

-

0,01

0,18

36,3

3

0,02 0

0,45

69,4

48

6 x 0 1

23,8 4615

8 x 1 0

7,44

0,13

3 0

0

16

1 2 r 0 0

-

-

8

-

-

0,65

0,15

6160

1862

5

5

0,41 0

-

0,15

5472

0,35

1862

0,41

8166

6819

15,0

78

8166

46

5472

19

48

4

2

- 0

8

x x x x4

y1

y2

y y4

1 2 3

- 0,034 1

3

3 - 1,226 0,965 0 1,684

-

3610

6160

361

5

8138

3

5

5

- 0

- 15,50 901,6

- 0,020 0 0,017 0,048

8137 59,14 0401

4957 0,048

0573

1919

7106 0,020

0,017

1432

6666

7106

1

8

0573

192

7

7

7220

- 0 0,111

3810 0,369 6275

5

- 0,226

-

- 0,684

0,097

-

3610 0,034 1 3

1605

384

- 0,415 0

0,656 0,151 8625

- 0,369 0

7478 0,183

9

4212 x 0 0 1

theta

0,684

6

3

LD

3839

x 0 1 0 0,452 0,183

z 0 0 0

z z4

4212 0,226

x 1 0 0 0,223

2

z2

3

r 0 0 0 0,097

1

z1

3811

5

361

- 0,151

4727

0,358

8

1662

6275

0,111

3123

8461

1

7479

2

5

- 0,034 1

8137 0,226

- 59,14 86,35

3839

0,684

0401

9832

5

8138

1

6

- 0 0,358 5,386

-

8624 0,415 6

- 5,759 51,53

4728

1661 9

8194 15,04 8

x x2

x x4

1

3

r 0

6,128 0

2,871

0,897

2051

7948

4359

3

7

x 1 1

y1

y2

y y z1

z2

z z LD

3 4

- 0

3 4

- 1 0 2,230

0,102

3,230 0 1

5641

7692

23,84

3

6154

- 0 0

14,61

7692

0,153

-

0,153

8461

8462

theta

-

0,076 0 0

0,076

0,076

9230

9230

0,076

5384

5

9231

8

8

9231

6

- 0 1

-

3,307 0

-

51,53

-

1

8461

15,58

5

1395

23,84

10,68

2,230

6153

9655

7692

8

2

0,769 0 0

23,84

-31

y 0

8,948 0

4,051

1,641

4

7179

2820

0256

3,307

1,641

6923

5

5

4

6923

0256

1

- 0

-

-

2,230

0,897

- 1 0

6,128

2,871

0,897

7692 1

2051

7949

4359

3

x 0

3,205 1

0,794

0,435

- 0 0

3

1282

8717

8974

0,769

0,435

2307

6153

1

9

4

2308

8974

7

8

z 0 3

x

x2

x

1

x4

y1

3

0

0

0

0

x

1

0,0574

0

0,2528

7126

4359

-

y3

y

2

r

1

y

- 0

7356

0

z1

z

0

4

y 2

0

- 0

-

0,1379

0,2068

31

966

- 0

-

z

4

2

4

LD

0

0

0

1 1

1 1

0

- 0

0,0344

0

0,0459 0

- 0

13,793

0,0459

8276

7701

0,0344

77 y

z3

190

0,3103 0 4483

- 1

1034

828 - 1

- 0

1,4827

0,3103

586

448

- 0

2,7471

1,2873

0,4022

0,4482

264

563

989

759

0,4022

-

9885 1

1,4827

-

86,896

5862 1

5517

0,4482 0

10,689

7586

6552

x

0

1,0919

1

5402

3

-

0,1264 0

0,1954

3678

023

- 0

- 0

0,3448

0,1264

276

368

0,3448 0 2759

32,068 9655

FASE 2 x1

x2

x3

x4

y1

y

y3

y

2 z

x

-

-215

-

72

12

0

0

1

0,05747

0

126

4

LD

theta

4

-70

0

0

0

0

0

0,25287

-

0

0,03448

0

13,7931

54,5454

356

0,04597

034

545

86,8965

-420

276

7 y

0

4

y

0

2

x 3

0

-

-

0,31034

0,13793

0,20689

483

1

66

-

0

-

2,74712

1,28735

0,40229

0,44827

64

63

89

59

-

0,12643

0,19540

678

402

23

517

86 -

1

1

1,48275

-

1,09195

0

0

1

0

-

0,34482 76

0

10,6896

-

552

8,30357 14

0

32,0689

-

655

164,117 65

z

x1

x2

x3 x4

-720

-83,965517

0

y1

y2 y3

-93,448276 15,1724138

-41,37931

0 3848,27586

0 0,03448276

0 13,7931034

x1

1 0,05747126

0 0,25287356

y4

0

-0,137931

0

-0,2068966 0,31034483

0

-1,4827586

1 86,8965517

y2

0

-2,7471264

0

-1,2873563

-0,4022989

1

-0,4482759

0 10,6896552

x3

0 1,09195402

1

-0,1954023 0,12643678

0

-0,3448276

0 32,0689655

x

x2

x

1 z

0

-

2

0 88,62068

-

0

theta

4 -

0 13779,31 03

4

4

-

0 0,034482

56 0,045977

76

34

45

-

1 86,89655

-420

1,482758

17

-

0 0,252873

0

- 0,310344 0,206896

0

83

6

2

LD

7

0,137931

0

y

16,55172

26

y

y3

97 17,93103

1

4

y

42,58620

1 0,057471

0

y1

3

x

y

x4

-0,045977

0

y4 LD

-

0

2,747126

0 1,091954

3

02

6 -

1

1,287356 0,402298

4 x

-

3 1

9

- 0,126436 0,195402 3

0 13,79310 54,54545

78

0

-

0 10,68965

-

0,448275

52 8,303571

9

4

-

0 32,06896

-

0,344827

55 164,1176

6

5

x1

x2

x3

x4

z

-350,45

y1

-62,727273

0

0

-1,8181818

0

-28,636364

0 8945,45455

x1

3,95455 0,22727273

0

1

-0,1818182

0 0,13636364

0 54,5454545

y4

0,81818

-0,0909091

0

0 0,27272727

0

-1,4545455

1 98,1818182

y2

5,09091

-2,4545455

0

0

-0,6363636

1

-0,2727273

0 80,9090909

x3

0,77273 1,13636364

1

0 0,09090909

0

-0,3181818

0 42,7272727

y3

y2 y3

y4

LD

x1

x2

-350,45

-62,727273

0

0

-1,8181818

0

-28,636364

0 8945,45455

x1 3,95455 0,22727273

0

1

-0,1818182

0 0,13636364

0 54,5454545

y4 0,81818

-0,0909091

0

0 0,27272727

0

-1,4545455

1 98,1818182

y2 5,09091

-2,4545455

0

0

-0,6363636

1

-0,2727273

0 80,9090909

x3 0,77273 1,13636364

1

0 0,09090909

0

-0,3181818

0 42,7272727

z

x3 x4 y1

y2

Entonces     

x_1=0 x_2=0 x_3=42.7272727 x_4=54.5454545 Z=8945.4545 CONCLUSIÓN:

Min Z=8945.4545 x_1=0 x_2=0 x_3=42.7272727 x_4=54.5454545

y4 LD

theta

EJERCICIO 5. Para desarrollar el ejercicio se requiere consultar la siguiente referencia: Resuelva el ejercicio 1 de maximización por el método simplex dual, recuerde que en éste método la solución comienza siendo infectable y óptima en comparación con el método simplex primal que comienza siendo factible, pero no óptimo. Resuelva por cualquier método, recomendado simplex algebraico: Cantidad de cada uno de las variables a fabricarse, según el método de las dos fases del simplex dual.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Sea x_1=: Jugo 1 de Pera x_2=: Jugo 2 de manzana x_3=: Jugo 3 tropical FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=600x_1+400x_2+500x_3

RESTRICCIONES    

20x_1+30x_2+20x_3≥1500 30x_1+20x_2+10x_3≤1700 20x_1+20x_2+20x_3≤1300 x_1,x_2,x_3≥0

Estandarizando se obtiene FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=600x_1+400x_2+500x_3+0t_1+0s_2+0s_3 RESTRICCIONES    

20x_1+30x_2+20x_3-t_1=1500 30x_1+20x_2+10x_3+s_2=1700 20x_1+20x_2+20x_3+s_3=1300 x_1,x_2,x_(3,) t_1,s_2,s_3≥0

Multiplicando por (-1) la primera restricción para tener una matriz identidad de tamaño 3x3 en la variables básica. Así entonces queda: FUNCIÓN OBJETIVO Max Z=600x_1+400x_2+500x_3+0t_1+0s_2+0s_3

RESTRICCIONES    

-20x_1-30x_2-20x_3+t_1=-1500 30x_1+20x_2+10x_3+s_2=1700 20x_1+20x_2+20x_3+s_3=1300 x_1,x_2,x_(3,) t_1,s_2,s_3≥0



La tabla simplex queda determinada de la siguiente manera:

Z

600

VB

X_1

400 X_2

500 X_3

0 t_1

0 s_2

0 s_3

0 LD

t_1

-20

-30

-20

1

0

0

-1500

s_2

30

20

10

0

1

0

1700

s_3

20

20

20

0

0

1

1300



Tomando el menor valor de LD el cual nos indica la fila pivote y de esta se toma el menor valor en este caso -30

Z VB

600 X_1

400 X_2

500 X_3

0 t_1

0 s_2

0 s_3

0 LD

t_1

-20

-30

-20

1

0

0

-1500

s_2

30

20

10

0

1

0

1700

s_3

20

20

20

0

0

1

1300



Lo que significa que sale la variable 𝑡1 de la base y entra la variable 𝑥2 Pivoteando se obtiene

Z

333,333333

VB

X_1

X_2

0,66666667

1

s_2

16,6666667

0 -3,33333333

s_3

6,66666667

0



0 X_2

233,333333

13,3333333

X_3

t_1

0 s_2

0,66666667 -0,03333333

6,66666667

0 s_3

-20000 LD

0

0

50

0,66666667

1

0

700

0,66666667

0

1

300

De nuevo se seleccionan las filas y columna pivote, ya que no existe valores en LD negativos entonces se toma cualquier valor de tal manera que simplifiquemos los valores de 𝑥1 y 𝑥3

Z

333,333333

VB

X_1

X_2

0,66666667

1

s_2

16,6666667

0 -3,33333333

s_3

6,66666667

0

 Z VB

0 X_2

233,333333 X_3

13,3333333 t_1

0 s_2

0,66666667 -0,03333333

6,66666667

0 s_3

-20000 LD

0

0

50

0,66666667

1

0

700

0,66666667

0

1

300

Es decir sale de la base 𝑠2 y entra la variable 𝑥3 1500 X_1

0 X_2

0 X_3

60 t_1

70 s_2

0 s_3

29000 LD

X_2

4

1

0

0,1

0,2

0

190

X_3

-5

0

1

-0,2

-0,3

0

-210

s_3

40

0

0

2

2

1

1700



De nuevo se selecciona la fila y columna pivote

Z

1500 X_1

VB

0 X_2

0 X_3

60 t_1

70 s_2

0 s_3

29000 LD

X_2

4

1

0

0,1

0,2

0

190

X_3

-5

0

1

-0,2

-0,3

0

-210

s_3

40

0

0

2

2

1

1700



Es decir sale de la base la variable 𝑠3 y entra la variable 𝑥1 Pivoteando se obtiene

Z VB

0 X_1

0 X_2

0 X_3

-15 t_1

-5 s_2

-37,5 s_3

-34750 LD

X_2

0

1

0

-0,1

0

-0,1

20

X_3

0

0

1

0,05

-0,05

0,125

2,5

X_1

1

0

0

0,05

0,05

0,025

42,5

Como se ha restaurado la factibilidad y se cumple el criterio de optimalizad, la base actual es óptima y su solución es óptima es: x_2=20 x_3=2,5 x_1=42,5 MaxZ=34750 CONCLUSIÓN Por el método simplex dual se sugiere que se deben producir 42.5 jugos 1 de Pera, 20 jugos 2 de manzana y 2.5 jugos 3 tropical con una utilidad de 34750.

EJERCICIO 6. Resuelva el ejercicio 3 de minimización por el método simplex dual, recuerde que en éste método la solución comienza siendo infactible y óptima en comparación con el método simplex primal que comienza siendo factible, pero no óptimo. Resuelva por cualquier método, recomendado simplex algebraico FUNCIÓN OBJETIVO Min Z=17x_1+17x_2+23x_3 RESTRICCIÓN    

2x_1+2x_2+3x_3≥33 3x_1+2x_2+x_3≥31 2x_1+3x_2+x_3≥35 x_1,x_2,x_3≥0

Agregando las variables de holgura y de exceso se tiene FUNCIÓN OBJETIVO Min Z=17x_1+17x_2+23x_3+0*t_1+0*t_2+0*t_3 RESTRICCIÓN    

2x_1+2x_2+3x_3-t_1=33 3x_1+2x_2+x_3-t_2=31 2x_1+3x_2+x_3-t_3=35 x_1,x_2,x_3,t_1,t_2,t_3≥0

Multiplicando por (-1) las restricciones para tener una matriz identidad de tamaño 3x3 en la variables básica. Así entonces queda: FUNCIÓN OBJETIVO Min Z=17x_1+17x_2+23x_3+0*t_1+0*t_2+0*t_3 RESTRICCIÓN    

-2x_1-2x_2-3x_3+t_1=-33 -3x_1-2x_2-x_3+t_2=-31 -2x_1-3x_2-x_3+t_3=-35 x_1,x_2,x_3,t_1,t_2,t_3≥0

La tabla simplex queda determinada de la siguiente manera:

Z VB

17 X_1

17 X_2

23 X_3

0 t_1

0 t_2

0 t_3

0 LD

t_1

2

2

3

-1

1

0

-33

t_2

3

2

1

0

0

-1

-31

t_3

2

3

1

0

0

0

-35

Se selecciona el menor valor de LD el cual nos indica la fila pivote y de esta fila se selecciona el menor valor en este caso −3 Z VB

17 X_1

17 X_2

23 X_3

0 t_1

0 t_2

0 t_3

0 LD

t_1

-2

-2

-3

1

0

0

-33

t_2

-3

-2

-1

0

1

0

-31

t_3

-2

-3

-1

0

0

1

-35

Lo que significa que la variable que sale de la base es 𝑡3 y la variable que entra es 𝑥_2 Pivoteando se obtiene: Z

5,66666667

0

17,3333333

X_2 X_3

0

0

VB

X_1

t_1

-0,66666667

0 -2,33333333

1

0 -0,66666667 -9,66666667

t_2

-1,66666667

0 -0,33333333

0

1 -0,66666667 -7,66666667

x_2

0,66666667

1

0

0 -0,33333333

0,33333333

t_1 t_2

5,66666667 -198,333333 t_3

LD

11,6666667

Se determina de nuevo la fila y la columna pivote Z C_s

5,66666667

VB

X_1

0

17,3333333

X_2 X_3

0 t_1

0 t_2

5,66666667 -198,333333 t_3

LD

0 t_1

-0,66666667

0 -2,33333333

1

0 -0,66666667 -9,66666667

0 t_2

-1,66666667

0 -0,33333333

0

1 -0,66666667 -7,66666667

0 x_2

0,66666667

1

0

0 -0,33333333

0,33333333

11,6666667

Es decir la variable que sale de la base es 𝑡1 y la que entra es 𝑥3 Z VB

0,71428571 X_1

0 X_2

0 X_3

7,42857143 t_1

0 t_2

0,71428571 -270,142857 t_3

x_3

0,28571429

0

1 -0,42857143

0

t_2

-1,57142857

0

0 -0,14285714

1 -0,57142857 -6,28571429

x_2

0,57142857

1

0

0 -0,42857143

0,14285714

0,28571429

LD 4,14285714

10,2857143

De nuevo se selecciona la fila y columna pivote Z VB

0,71428571 X_1

0 X_2

0 X_3

7,42857143 t_1

0 t_2

0,71428571 -270,142857 t_3

X_3

0,28571429

0

1 -0,42857143

0

t_2

-1,57142857

0

0 -0,14285714

1 -0,57142857 -6,28571429

x_2

0,57142857

1

0

0 -0,42857143

0,14285714

0,28571429

LD 4,14285714

10,2857143

Es decir sale de la base la variable 𝑡2 y entra la variable 𝑥1 Pivoteando se obtiene: Z VB

0 X_1

0 X_2

0 X_3

7,36363636 t_1

x_3

0

0

1 -0,45454545

X_1

1

0

x_2

0

1

0,45454545 t_2

0,45454545 t_3

-273 LD

0,18181818

0,18181818

3

0

0,09090909 -0,63636364

0,36363636

4

0

0,09090909

0,36363636 -0,63636364

8

Como se ha restaurado la factibilidad y se cumple el criterio de optimalidad, la base actual es óptima y su solución es óptima es: 𝑥3 = 3 𝑥1 = 4 𝑥2 = 8 min 𝑍 = 273 CONCLUSIÓN: Según el método simplex dual, Raúl debe producir 4 escritorios del Tipo 1, 8 cantidades del Tipo 2 y 3 cantidades del Tipo 3 para obtener un costo mínimo de 273.

EJERCICIO 7 Como actividad grupal ingresen al Entorno Práctico, en este espacio se presentan videos para el uso del Complemento Solver de Excel y tutoriales prácticos para desarrollar las actividades propuestas, recuerden anexar mediante capturas de pantalla a su trabajo colaborativo definitivo, el ingreso y tabla de resultados para los ejercicios planteados. En este mismo espacio pueden revisar cuidadosamente la guía para el uso de recursos educativos, el uso del complemento Solver les ayudará a dar solución a los ejercicios planteados en esta tarea. a. Solución de Ejercicio 1 por Solver: FUNCIÓN OBJETIVO 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 600𝑥1 + 400𝑥2 + 500𝑥3 RESTRICCIONES 

20𝑥1 + 30𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 1500



30𝑥1 + 20𝑥2 + 10𝑥3 ≤ 1700



20𝑥1 + 20𝑥2 + 20𝑥3 ≤ 1300



𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0

Resultado 𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝟒𝟐, 𝟓

20

2,5

b. Solución del Ejercicio 3 por Solver FUNCIÓN OBJETIVO 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 17𝑥1 + 17𝑥2 + 23𝑥3 RESTRICCIÓN

𝒙𝟏

2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 33



3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 31



2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≥ 35



𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0

𝒙𝟐 4

Z



𝒙𝟑 8 273

3