265255177-08-lingkaran-irisan-dua-lingkaran.pdf

LINGKARAN 2

IRISAN DUA LINGKARAN Oleh : Saptana Surahmat

Konsep hubungan dua lingkaran sangat penting dalam kehidupan kita. Sepasang roda pada sepeda, sepeda motor, kendaraan bermotor, roda gigi pada pengatur kecepatan mesin, dan lainlain adalah beberapa contoh penerapan hubungan antar lingkaran dalam kehidupan manusia. Pada pembelajaran kali ini akan mempelajari hubungan antar lingkaran secara konseptual. Sebagai mana sudah kita pahami, bahwa lingkaran adalah bangu dua dimensi yang memiliki titik pusat dan jari-jari. Dalam aljabar, sebuah lingkaran dapat disajikan dalam tiga bentuk persamaan, yakni : 1. 2. 3.

x2 + y2 = r2 merupakan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjarijari r. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 merupakan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r.  1 1  x2 + y2 + Ax + By + C = 0 merupakan lingkaran yang berpusat di  − A, − B  dan berjari2   2 jari r =

1 2 1 2 A + B −C . 4 4

Bila diketahui dua lingkaran dan keduanya digambar pada bidang yang sama, maka antara keduanya dapat terjadi hubungan, antara lain : 1.

Kedua lingkaran sepusat (kosentris) dengan kondisi seperti gambar 1a dan 1b.

Gambar 1a. Kedua lingkaran berimpitan

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

Gambar 1b. Salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya

1

LINGKARAN 2 2.

Kedua lingkaran tidak sepusat. Dengan kondisi seperti gambar di bawah ini.

Gambar 1c. Lingkaran yang satu berada di dalam lingkaran lain dan tidak bersinggungan

Gambar 1d. Lingkaran yang satu berada di dalam lingkaran lain dan bersinggungan

Gambar 1e. Kedua lingkaran saling berpotongan

Gambar 1f. Kedua lingkaran bersinggungan di luar.

Gambar 1g. Lingkaran yang satu berada di luar lingkaran lain dan tidak bersinggungan

Melalui gambar, hubungan dua lingkaran dapat dengan mudah ditentukan. Namun lain halnya bila kedua lingkaran disajikan dalam bentuk aljabar. Untuk dapat menentukan hubungan dua lingkaran secara aljabar, perlu ditelaah hubungan antara unsur-unsur yang terdapat dalam lingkaran. Dalam hal ini hubungan antara titik pusat dan jarijari dari kedua lingkaran. Misalkan terdapat dua lingkaran L1 dan L2. Lingkaran L1 yang berpusat di P1(x1, y1) dan berjari-jari R1, dan lingkaran L2 berpusat di P2(x2, y2) dan berjari-jari R2. Hubungan L1 dan L2 dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas tampak |P1P2| > R1 + R2 dengan |P1P2| menyatakan jarak kedua titik pusat atau | P1 P2 |=

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

( x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

2

LINGKARAN 2 Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa dua lingkaran dikatakan saling lepas di luar jika terpenuhi hubungan |P1P2| > R1 + R2. Dengan cara yang sama, hubungan dua lingkaran untuk kondisi lainnya dapat ditentukan berdasarkan ketentuan : No.

Bentuk Hubungan

Syarat

Keterangan

1.

|P1P2| = R1 + R2

Kedua lingkaran bersinggungan di luar

2

R1 – R2 < |P1P2| < R1 + R2

Kedua lingkaran berpotongan

3

|P1P2| = R1 – R2

Kedua lingkaran bersinggungan di dalam

4

|P1P2| < R1 – R2

Kedua lingkaran saling lepas di dalam.

5

|P1P2| = 0, dan R1 ≠ R2

Kedua lingkaran sepusat (Kosentris) dan saling lepas.

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

3

LINGKARAN 2 No.

Bentuk Hubungan

Syarat |P1P2| = 0, dan R1 = R2

6.

Keterangan Kedua lingkaran berimpit.

Contoh 1. Ditentukan lingkaran L1 : x2 + y2 = 9 dan L2 : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4. Jelaskan hubungan antara kedua lingkaran tersebut ! Penyelesaian : L1 : x2 + y2 = 9 → Pusat di P1(0, 0) dan jari-jari R1 = √9 = 3 L2 : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 → Pusat di P2(1, -2) dan jari-jari R2 = √4 = 2

| P1 P2=|

(1 − 0)2 + ( −2 − 0)2=

5

R1 + R2 = 3 + 2 = 5; R1 – R2 = 3 – 2 = 1 Berdasarkan hasil di atas, tampak bahwa R1 – R2 < |P1P2| < R1 + R2. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran saling berpotongan.

Contoh 2. Tunjukan bahwa lingkaran L1 : x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 bersinggungan di dalam ! Penyelesaian : Agar dua lingkaran bersinggungan di dalam, harus dipenuhi |P1P2| = R1 – R2. •

L1 : x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 → Pusat di P1(2, 3) dan jari-jari :

•

1 1 ( −4)2 + ( −6)2 − 4 = 4+9−4 = 9 = 3 4 4 L2 : x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 → Pusat di P2(2, 1) dan jari jari : R1 =

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

4

LINGKARAN 2 1 1 ( −4)2 + ( −2)2 − 4 = 4 4

R1 =

4 +1− 4 =

1= 1

Dari hasil di atas diperoleh :

| P1 P2 |=

(2 − 2)2 + (3 − 1)2 =

4= 2

R1 – R2 = 3 – 1 = 2 Karena |P1P2| = R1 – R2, maka dapat disimpulkan kedua lingkarang bersinggungan di dalam. Contoh 3. Tentukan m agar lingkaran x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 – 2x + 2my – 9 = 0 bersinggungan di luar. Penyelesaian : L1 : x2 + y2 = 4 → Pusat di (0, 0) dan jari-jari R1 = 2 L2 : x2 + y2 – 2x + 2my – 9 = 0 → Pusat di (1, −m ) dan jari-jari : 1 1 ( −2)2 + (2m)2 − ( −9)= 4 4

R2=

(1 − 0)2 + ( −m − 0)2=

•

| P1 P2=|

•

R1 + R2 =2 + 10 + m2

1 + m2 + 9=

10 + m2

1 + m2

Agar kedua lingkaran bersinggungan di luar, maka harus dipenuhi : |P1P2| = R1 + R2 ⇔

1 + m2 =+ 2 10 + m2 2

⇔  1 + m2  = 2 + 10 + m2     

2

⇔ 1 + m2 =4 + 4 10 + m2 + 10 + m2 ⇔ 1= 4 10 + m2 + 14 ⇔ −13 = 4 10 + m2 ⇔

( −13) = 2

 4 10 + m2     

2

⇔= 169 16(10 + m2 ) ⇔ 169 = 160 + 16m2 ⇔ 9 = 16m2 ⇔ m2 =

9 16

⇔ m= ±

3 4

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

5

LINGKARAN 2 Jadi agar kedua lingkaran saling bersinggungan di dalam, maka m =

Gambar 2a. Hubungan L1 dan L2 untuk m =

3 4

3 3 atau m = − . 4 4

Gambar 2b. Hubungan L1 dan L2 untuk m = −

3 4

Soal Latihan 1.

Selidikilah hubungan lingkaran-lingkaran berikut : a. L1 : (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 dan L2 : x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 b. L1 : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9 dan L2 : (x + 1)2 + y2 = 4 c. L1 : x2 + y2 + 2x – 3 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x -8y + 11 = 0 d. L1 : x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0

2.

Tentukan persamaan lingkaran berjari-jari 5 satuan dan bersinggungan di luar dengan lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 di titik A(5, 5) !

3.

Tunjukan bahwa lingkaran L1 : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 12x – 8y – 12 = 0 bersinggungan dan tentukan koordinat titik singgungnya !

4.

Diberikan dua lingkaran berikut : L1 : (x – 1)2 + (y – 3)2 = r2, dan L2 : x2 + y2 + 6x + 2y – 15 = 0. Jika L1 dan L2 berpotongan, buktikan bahwa 2 < r < 8 !

5.

Diketahui lingkaran L1 : x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 10x – 12y + 40 = 0. Tunjukan bahwa kedua lingkaran saling berpotongan dan tentukan persamaan lingkaran berjari-jari 4 satuan yang melalui titik potong L1 dan L2 !

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB

6