253354526-inductancia-de-un-conductor.docx

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INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO AL FLUJO EXTERIOR Como primer paso para calcular la inductancia debida al flujo exterior a un conductor, deduciremos los enlaces de flujo de un conductor aislado debidos a la porción de flujo exterior comprendida entre D1 y D2 del centro del conductor. Figura 1.19. Conductor y puntos P1 y P2 exteriores a él. En la figura 1.19, P1 y P2 son dos puntos a una distancia D1 y D2 del centro de un conductor por el que circula una corriente de I amperios. Como las líneas de flujo son círculos concéntricos al conductor, todo el flujo comprendido entre P1 y P2 está dentro de la superficie cilíndrica concéntrica que pasan por los puntos P1 y P2. En el elemento tubular, que esta a x metros del centro del conductor, la intensidad de corriente de campo es Hx. La fmm. a lo largo de este elemento es:

(1.24) La intensidad del campo es

(1.25) Y la intensidad de flujo en el elemento

(1.26) El flujo en el elemento tubular de espesor dx es

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(1.27) Los enlaces de flujo dλ por metro son iguales, numéricamente, al flujo , puesto que el flujo exterior al conductor enlaza toda la corriente del conductor solo una vez. Los enlaces de flujo totales entre P1 y P2 se obtienen integrando dλ desde x=D1 a x=D2. De esta forma obtenemos:

(1.28) O, para una permeabilidad relativa de 1,

(1.29) La inductancia debida solamente al flujo comprendido por los puntos P1 y P2

(1.30) Corrientemente se emplea la reactancia inductiva en lugar de la inductancia. La reactancia inductiva de un conductor.

(1.31)

(1.32)

(1.33) 2

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INDUCTANCIA DE UNA LÍNEA MONOFÁSICA Se puede ahora determinar la inductancia de una línea simple de dos conductores, compuestos de conductores cilíndricos sólidos. En la figura 1.20 se muestra una línea que tiene dos conductores de r1 y r2. Un conductor es el circuito de retorno. En principio consideraremos solamente los enlaces de flujo del circuito producidos por la corriente del conductor 1. Una línea de flujo, debida a la corriente del conductor 1, situada a una distancia mayor a D+r2 del centro del conductor 1 no enlaza el circuito y, por tanto, no induce ninguna f.em. en él. La fracción de la corriente total enlazada por una línea de flujo exterior al conductor1 y a distancia menor a D - r 2 es 1.0, por lo tanto es lógico suponer que se puede usar D en lugar de D+r2 o D-r2, cuando D es mucho mayor que r1 y r2.

Figura 1.20 Conductores de radios diferentes y campos magnéticos debido solamente a la corriente del conductor1

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La inductancia del circuito debida a la corriente del conductor 1 se determina usando la Ecuación (1.30), sustituyendo D2 por la distancia D entre los conductores 1 y 2, y D1 por el radio r1 del conductor 1.

Para el flujo exterior únicamente

(1.34)

Para el flujo interior únicamente

(1.35)

La inductancia total del circuito, debido a la corriente del conductor 1 tan solo, es

(1.36) La expresión que da la inductancia puede simplificarse sacando factores comunes de la Ecuación (1.36) teniendo en cuenta que de donde

(1.37)

(1.38) 4

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Aplicando propiedades de los logaritmos llegamos a

(1.39) Si sustituimos r1’ por

(1.40) El radio r’ es el de un conductor ficticio que se supone sin flujo interno pero con la misma inductancia que tiene el conductor real r1

Como la corriente del conductor 2 va en dirección contraria a la que circula por el conductor 1, los enlaces de flujo producidos por las corrientes en el conductor 2, considerado aislado, tiene la misma dirección que los producidos por la corriente del conductor 1. El flujo restante de los dos conductores está determinado por la suma de las fmm de ambos conductores. Sin embargo para la permeabilidad constante pueden sumarse los enlaces de flujo de los dos conductores considerados aisladamente.

Por comparación con la Ecuación (1.40), la inductancia debida a la corriente del conductor 2

(1.41) Y para todo el circuito

(1.42) 5

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Si r1’,r2’ =r’ la inductancia total se rebuce a:

(1.43) INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN GRUPO Un caso más general que el de la línea monofásica, es el de un conductor en un grupo de ellos, en el que la suma de las corrientes es igual a cero. El grupo de conductores se representan en la figura 1.21. Los conductores 1,2, 3,….n son recorridos por los vectores I1, I2, I3,……, In.

Figura 1.21 Vista de una sección transversal de un grupo de conductores en que la suma de las corrientes es cero. P es un punto lejano de los conductores Las distancias de estos conductores a un punto lejano P están indicados en la figura 2.21 por D1P, D2P, D3P,…..DnP. determinemos λ1P1 , en laces de flujos del conductor 1 debidos a la corriente I1, comprendiendo los enlaces de flujo interno, pero excluyendo todo el flujo más allá del punto P. Por las ecuaciones (1.22) y (1.29)

(1.44) 6

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(1.45) Los enlaces de flujo λ1P2 con el conductor 1 debido a I 2, pero excluyendo el flujo más allá de P1 es igual al flujo producido por I2 entre el punto P y el conductor 1. Así:

(1.46) Los enlaces de flujo λ1P con el conductor 1, debido a todos los conductores del grupo, pero excluyendo el flujo más allá del punto P1, es

(1.47)

Desarrollando los términos logarítmicos y reagrupando, se convierte en

(1.48)

Como la suma de las corrientes es nula,

Y despejando In, tenemos 7

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(1.49)

Sustituyendo en la Ecuación (1.47), In por su valor dado en la Ecuación (1.49) y agrupando los términos logarítmicos, tenemos:

(1.50)

Suponiendo que el punto P se aleja hasta el infinito, de forma que los términos logarítmicos de las relaciones de distancias desde P se hagan infinitesimales, puesto que dichas relaciones tienden a la unidad, obtenemos

(1.51)

Al hacer este supuesto, se incluyen en la deducción todos los enlaces de flujo de conductor1. De esta forma la Ecuación (1.51) nos da todos los enlaces de flujo del conductor1, en el grupo de conductores, cuando la suma de todas las corrientes es cero. Si las corrientes son alternas, estas tienen que ser corrientes instantáneas, o bien valores complejos, con lo que se obtienen los valores eficaces de los enlaces de flujo en forma de números complejos. INDUCTANCIA DE LÍNEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOS 8

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Los conductores trenzados están comprendidos en la denominación general de conductores compuestos que están formados por dos o más elementos o hilos en paralelo. Se limitara el estudio al caso en el que todos los hilos son idénticos y comparten la corriente por igual. El método por desarrollar indica una aproximación a problemas más complicados de conductores no homogéneos y a una repartición desigual de la corriente entre hilos. El método es aplicable a la determinación de la inductancia de líneas formadas por circuitos en paralelos, puesto que dos conductores en paralelo pueden considerarse como hilos de un solo conductor compuesto.

Figura 1.22 Línea monofásica formada por dos conductores compuestos

La figura1.22, representa una línea monofásica formada por dos conductores. Para hacer el caso general, cada conductor que constituye una parte de la línea, se representa como un indefinido numero de conductores agrupados arbitrariamente. Las únicas restricciones son, que los hilos paralelos han de ser cilíndricos y con la corriente igualmente distribuida entre ellos. El conductor X esta compuesto por n hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno lleva la corriente –I/n. El conductor Y, que constituye el retorno de la corriente de X, esta formado por m hilos paralelos, exactamente iguales, cada un de los cuales lleva la corriente –I/m. Las distancias entre los elementos que designaran por la letra D con los subíndices correspondientes. Aplicando la ecuación (1.51), al hilo a del conductor X, obtenemos los enlaces de flujo del hilo a

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(1.52) De

la

cual,

obtenemos

(1.53) Dividiendo la Ecuación (1.53) por la corriente I/n, encontramos que la inductancia sobre el hilo a es,

(1.54) Análogamente, la inductancia del hilo b, es

(1.55) La inductancia media de todos los hilos del conductor X, es

(1.56) El conductor X esta formado por n hilos en paralelo. Si todos tienen la misma inductancia, la del conductor será l/n la del hilo. En nuestro caso, todos los hilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos los hilos, en paralelo, es l/n de la inductancia media. Así la inductancia del conductor X, es

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(1.57) Poniendo la expresión logarítmica de la inductancia de cada hilo en la Ecuación (1.57) y agrupando términos, obtenemos

(1.58) Donde ra’, rb’ y rn’ se han sustituido por Daa, Dbb, Dnm, respectivamente. Nótese que el numerador de la expresión logarítmica es la raíz mn-ésima del producto de mn términos o producto de las distancias de cada uno de los n hilos del conductor X a cada uno de los m hilos del conductor Y. Para cada hilo del conductor X hay m distancias a los hilos del conductor Y, y en total, existe n hilos en el conductor X. El conjunto de las m distancias de cada uno de los n hilos da el total de mn términos. La raíz mn-ésima del producto de las mndistancias se llama distancia media geométrica entre el conductor X y el Y. Se representa por DMG. El denominador de la expresión logarítmica de la Ecuación (1.49) es la raíz n2-ésima de n2 términos. Hay n hilos y por cada hilo hay un producto de n términos, de r´ de dicho hilo por las distancias del mismo a cada uno de los restantes hilos del conductor X, lo que hace el total de n2 términos. A ra’ se le llama la distancia del hilo a a si mismo, especialmente cuando se representa por Daa. Teniendo en cuenta esto, la expresión subradical del denominador puede decirse que es el producto de las distancias de cada uno de los hilos a si mismo y a los restantes hilos. La raíz n2-ésima de esta expresión se le llama RMG del conductor X. La ecuación 1.58 en términos de RMG y DMG da

(1.59)

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(1.60) La inductancia del conductor Y se determina de forma análoga, siendo la de la línea: DISTANCIA MEDIA GEOMETRICA Y RADIO MEDIO GEOMETRICO Se dedujo la expresión para la inductancia de una línea de conductores compuestos. En la ecuación que da la inductancia debida a la corriente en un conductor, existe un término logarítmico cuyo numerador es el promedio geométrico de las distancias entre los dos grupos, denominado DMG (distancia media geométrica). El denominador de dicho término es el promedio geométrico de las distancias entre conductores de un mismo grupo, llamado RMG (radio medio geométrico). El RMG de una superficie circular puede demostrarse que es igual al radio del círculo multiplicado por ε-1/4. Como el r ’de la ecuación (1.40) que da la inductancia de un alambre de sección circular es el radio del alambre multiplicado por ε-1/4, por lo tanto el RMG de un conductor es r’. El RMG de un conductor con n número de hilos puede calcularse por medio de la ecuación:

(1.61) Se puede demostrar que el RMG para los conductores trenzados, siendo estos homogéneos es igual al radio de un hilo por una constante K

Figura 1.23 Dos hilos idénticos 12

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Si tenemos dos conductores circulares idénticos de una misma fase de radio igual a R el RMG es igual a

(1.62) Donde d11 y d22 son las distancias del centro del conductor a el mismo, es decir r’, por lo tanto, nos queda

(1.63)

(1.64) Ahora si tenemos son 3 conductores idénticos como en la figura 1.24 el RMG viene dado por:

(1.65)

(1.66)

(1.67)

Figura 1.24 Tres conductores idénticos

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Los cables reales poseen 7 conductores, calculando el RMG obtenemos Las distancias d12 =2R; d14= 4R d13=√d142-d342 = √ (4R)2-(2R)2=2R√3

(1.68)

(1.69)

(1.70)

Figura 1.25 Siete conductores idénticos Si se observan las ecuaciones 1.64, 1.67, 1.70 se observa que el RMG de los conductores trenzados es el radio de uno de los hilos multiplicado por una constante y si se sigue aumentando el número de conductores siempre el RMG es el radio de un alambre por una constante.

(1.71) Donde rh es el radio de un hilo del conductor 14

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Como el diámetro del conductor completo es proporcional al radio de un alambre para la geometría normal conductor se tiene (1.72) Donde rc es el radio del conductor LOS VALORES DE K SE OBTIENEN DE LA TABLA 1.3

Numero de capas

N

de

hilos

del K

conductor 1

1

0,389

2

7

0,363

3

19

0,371

4

37

0,378

5

61

0,381

Tabla 1.3. Valores de k La inductancia de una línea formada por conductores de secciones irregulares puede encontrarse calculando los valores DMG y RMG. La reactancia inductiva debida a la corriente en cada conductor viene dada por la ecuación (1.60) y la inductancia de la línea es la suma de la de ambos conductores. Suponemos una densidad de corriente uniforme. El método del RMG no se aplica exactamente a conductores no homogéneos como las ACSR, ni aquellos casos en que la densidad de la corriente no es homogénea a lo largo del conductor.

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