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CONTRL DE DEFLEXIONES DE LOSAS ALIGERADAS CON SAP2000

CONTROL DE DEFLEXIONES DE LOSAS ALIGERADAS EN UNA DIRECCIÓN CON SAP2000 Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe [email protected] 1.

INTRODUCCIÓN

Cuando se calculen las deflexiones, aquéllas que ocurran inmediatamente con la aplicación de la carga, deben calcularse mediante los métodos o fórmulas usuales para deflexiones elásticas, tomando en consideración los efectos de la fisuración y del refuerzo en la rigidez del elemento.

Figura 1. Carga distribuida en viga

Figura 2. Diagrama carga – deflexión Inicialmente la viga no está agrietada y es rígida (O – A). Con más carga, el agrietamiento por flexión ocurre cuando el momento en los extremos excede el momento del agrietamiento. Cuando una sección se agrieta, su momento de inercia disminuye, lo que lleva a una disminución de la rigidez de la viga. Esto causa una reducción en la rigidez (A – B). El agrietamiento por flexión en la región de la zona media provoca una mayor reducción de la rigidez (punto B). Eventualmente, el refuerzo cedería en los extremos o en la mitad del tramo, dando lugar a grandes aumentos en la deflexión con poco cambio en la carga (puntos D y E). ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE

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El nivel de servicio de carga está representado por el punto C. La viga es esencialmente elástica en el punto C, la desviación de carga no lineal es causada por una reducción progresiva de la rigidez a la flexión debida A mayor agrietamiento a medida que aumentan las cargas. Con el tiempo, la deflexión de la carga de servicio aumentaría de C a C’ debido al creep del concreto. La deflexión inmediata o de corto tiempo bajo cargas de servicio (punto C) y La deflexión prolongada bajo cargas de servicio (puntos) son de interés para el diseño. 2.

MOMENTO DE AGRIETAMIENTO

A menos que se haga un análisis más completo o que se disponga de datos experimentales confiables para evaluar la rigidez a flexión del elemento (Ec Ie), la deflexión inmediata para elementos de concreto de peso normal podrá calcularse con el módulo de elasticidad del concreto especificado en 8.5 (Norma E.060) y con el momento de inercia efectivo de la sección transformada agrietada (Ie). Cuando el momento flector para condiciones de servicio en cualquier sección del elemento no exceda el momento de agrietamiento (Mcr), podrá usarse el momento de inercia de la sección no agrietada (Ig).

bf tf

h

bw Figura 3. Sección de una vigueta de losa aligerada

-

Momento de Agrietamiento para Momentos Positivos

𝑌𝑡 +

𝑡𝑓 (ℎ − 𝑡𝑓 ) 𝑏𝑓 𝑡𝑓 (ℎ − 2 ) + 𝑏𝑤 (ℎ − 𝑡𝑓 ) 2 = 𝑏𝑓 𝑡𝑓 + 𝑏𝑤 (ℎ − 𝑡𝑓 ) 3

2

𝑏𝑓 𝑡𝑓 3 𝑡𝑓 2 𝑏𝑤 (ℎ − 𝑡𝑓 ) (ℎ − 𝑡𝑓 ) + 𝐼𝑔 = + 𝑏𝑓 𝑡𝑓 [𝑌𝑡 − (ℎ − )] + + 𝑏𝑤 (ℎ − 𝑡𝑓 ) [𝑌𝑡 + − ] 12 2 12 2 ′

𝑓𝑟 = 2√𝑓𝑐 𝑀𝑐𝑟 + =

𝑓𝑟 𝐼𝑔

𝑌𝑡 +

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-

Momento de Agrietamiento para Momentos Negativos

𝑌𝑡 − = ℎ − 𝑌𝑡 + 𝑀𝑐𝑟 − =

3.

𝑓𝑟 𝐼𝑔

𝑌𝑡 −

INERCIA AGRIETADA

Para el cálculo del momento de inercia de la sección transformada agrietada (Ie), cuando exista acero en compresión, se podrá utilizar una relación modular de 2n (n = Es / Ec) para la transformación del acero en compresión a concreto equivalente.

-

Inercia Agrietada para Momentos Positivos

𝑛=

𝐸𝑠 𝐸𝑐

−[As1 (2n − 1) + As2 n] + √[As1 (2n − 1) + As2 n]2 + 2𝑏𝑓 [As1 (2n − 1)d1 + As2 nd2 ] +

c =

𝑏𝑓 3

𝐼𝑐𝑟

-

+

𝑏𝑓 c+ = + 𝑛As2 (d2 − c+ )2 + (2𝑛 − 1)As1 (d1 − c+ )2 3

Inercia Agrietada para Momentos Negativos

c− =

−[As2 (2n − 1) + As1 n] + √[As2 (2n − 1) + As1 n]2 + 2𝑏𝑤 [As2 (2n − 1)d1 + As1 nd2 ] 𝑏𝑤 3

𝐼𝑐𝑟 + =

-

𝑏𝑤 c+ + 𝑛As1 (d2 − c− )2 + (2𝑛 − 1)As2 (d1 − c− )2 3

Cálculo de las inercias efectivas

𝑀𝑐𝑟 3 𝑀𝑐𝑟 3 𝐼𝑒 = ( ) 𝐼𝑔 + [1 − ( ) ] 𝐼𝑐𝑟 𝑀𝑎 𝑀𝑎

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4.

INERCIA EFECTIVA

El cálculo de las deflexiones se hará suponiendo que la rigidez en flexión del elemento (EcIe) es constante a lo largo del tramo y el momento de inercia efectivo será un promedio ponderado calculado e acuerdo a:

(a) En elementos continuos en ambos extremos: 𝐼𝑒 =

( 𝐼𝑒1 + 𝐼𝑒2 + 2𝐼𝑒3 ) 4

donde 𝐼𝑒1 y 𝐼𝑒2 son los momentos de inercia en las secciones extremas del tramo y 𝐼𝑒3 es el momento de inercia de la sección central del tramo. (b) Si el tramo sólo es continuo en un extremo: 𝐼𝑒 =

( 𝐼𝑒2 + 2𝐼𝑒3 ) 3

donde 𝐼𝑒2 es el momento de inercia en la sección en el extremo continuo y 𝐼𝑒3 es el momento de inercia en la sección central del tramo. (c) Para elementos simplemente apoyados en ambos extremos, se usará el momento de inercia calculado para la sección central. (d) Para elementos en voladizo se usará el momento de inercia calculado para la sección en el apoyo del voladizo. 5.

DEFLEXIÓN INMEDIATA

-

Corrección de deflexión inmediata por carga muerta

∆𝑖𝐷 = ∆′𝑖𝐷

𝐼𝑒𝐷 𝐼𝑒𝐷+𝐿

La deflexión inmediata no debe exceder los límites establecidos en:

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6.

DEFLEXIÓN DIFERIDA

A menos que se haga un análisis más completo, la deflexión diferida o adicional en el tiempo, resultante del flujo plástico del concreto y de la retracción de los elementos en flexión, podrá estimarse multiplicando la deflexión inmediata causada por las cargas sostenidas (carga muerta y la porción de carga viva que se prevé actuará permanentemente) por el factor λΔ.

𝜆∆ =

𝜉 1 − 50𝜌′

donde 𝜌′ es la cuantía del acero en compresión calculado en la mitad de la luz para tramos simples y continuos y en el punto de apoyo para voladizos. Puede tomarse 𝜉 , el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas, igual a:

5 años o más ................................................................................................................ 2.0 12 meses....................................................................................................................... 1.4 6 meses ...............................................................………………….………………….…. 1.2 3 meses ........................................................................................................................ 1.0

La deflexión diferida no debe exceder los límites establecidos en:

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7.

EJEMPLO CON SAP2000 -

Cálculo de Momentos de Agrietamiento: Es (kg/cm2) f'c (kg/cm2) Ec (kg/cm2) n

-

2000000 210 217371 9.20

h (cm) bf (cm) tf (cm) bw (cm)

20 40 5 10

Yt+ (cm) Yt- (cm) Ig (cm4) Mcr+ (Tn-m) Mcr- (Tn-m)

13.21 6.79 11800.60 0.26 0.50

Condición de servicio de carga muerta:

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DEFLEXIÓN INMEDIATA POR CARGA MUERTA

-

Descrip.

Ln (m)

Tramo 1

3.975

Tramo 2

3.975

Tramo 3

3.975

Tramo 4

3.975

Tramo 5

3.975

Tramo 6

3.975

As1 (cm2) As2 (cm2) 0.00 1.98 1.98 0.00 1.27 1.27 0.00 1.98 1.98 0.00 1.27 1.27 0.00 1.98 1.98 0.00

1.98 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.98

c (cm) 3.51 5.53 5.53 2.87 4.65 4.65 2.87 5.53 5.53 2.87 4.65 4.65 2.87 5.53 5.53 3.51

Icr (cm4) Ma (Tn-m) Iei (cm4) 3891.84 3101.91 3101.91 2648.21 2177.56 2177.56 2648.21 3101.91 3101.91 2648.21 2177.56 2177.56 2648.21 3101.91 3101.91 3891.84

0.24 0.26 0.27 0.1 0.19 0.19 0.13 0.21 0.21 0.13 0.19 0.19 0.1 0.27 0.26 0.24

11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60 11800.60

Ie (cm4)

Factor

Δ'iD (cm)

11800.60

1.00

0.1345

11800.60

1.00

0.0314

11800.60

1.00

0.0568

11800.60

1.00

0.0568

11800.60

1.00

0.0314

11800.60

1.00

0.1345

Condición de servicio de carga muerta + carga viva:

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DEFLEXIÓN INMEDIATA POR CARGA MUERTA + VIVA Descrip.

Ln (m)

Tramo 1

3.975

Tramo 2

3.975

Tramo 3

3.975

Tramo 4

3.975

Tramo 5

3.975

Tramo 6

3.975

As1 (cm2) As2 (cm2) 0.00 1.98 1.98 0.00 1.27 1.27 0.00 1.98 1.98 0.00 1.27 1.27 0.00 1.98 1.98 0.00

1.98 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.27 1.98

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c (cm) 3.51 5.53 5.53 2.87 4.65 4.65 2.87 5.53 5.53 2.87 4.65 4.65 2.87 5.53 5.53 3.51

Icr (cm4) Ma (Tn-m) Iei (cm4)

Ie (cm4)

Factor

ΔiD+L (cm)

3891.84 3101.91 3101.91 2648.21 2177.56 2177.56 2648.21 3101.91 3101.91 2648.21 2177.56 2177.56 2648.21 3101.91 3101.91 3891.84

7467.26

0.63

0.3995

11606.21

0.98

0.0541

11738.63

0.99

0.1139

11738.63

0.99

0.1139

11606.21

0.98

0.0541

7467.26

0.63

0.3995

0.46 0.50 0.52 0.20 0.38 0.37 0.26 0.41 0.41 0.26 0.37 0.38 0.20 0.52 0.50 0.46

5300.59 11800.60 11023.05 11800.60 11800.60 11800.60 11676.67 11800.60 11800.60 11676.67 11800.60 11800.60 11800.60 11023.05 11800.60 5300.59

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-

Condición de carga viva:

DEFLEXIÓN INMEDIATA POR CARGA VIVA ΔiD (cm) ΔiD+L (cm) ΔiL (cm) Δm áx (cm)

Descrip.

Ln (m)

Tramo 1

3.9750

0.2126

0.3995

0.1869

1.1042

OK

Tramo 2

3.9750

0.0319

0.0541

0.0222

1.1042

OK

Tramo 3

3.9750

0.0571

0.1139

0.0568

1.1042

OK

Tramo 4

3.9750

0.0571

0.1139

0.0568

1.1042

OK

Tramo 5

3.9750

0.0319

0.0541

0.0222

1.1042

OK

Tramo 6

3.9750

0.2126

0.3995

0.1869

1.1042

OK

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Obs.

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DEFLEXIÓN DIFERIDA TOTAL

8.

Descrip.

ρ'

ξ'D

ξ'L

λ'D

λ'L

ΔdD (cm)

ΔdL (cm)

Δ (cm)

Dm áx (cm)

Obs.

Tramo 1

0

1

2

1

2

0.2126

0.0935

0.4930

0.8281

OK

Tramo 2

0

1

2

1

2

0.0319

0.0111

0.0652

0.8281

OK

Tramo 3

0

1

2

1

2

0.0571

0.0284

0.1423

0.8281

OK

Tramo 4

0

1

2

1

2

0.0571

0.0284

0.1423

0.8281

OK

Tramo 5

0

1

2

1

2

0.0319

0.0111

0.0652

0.8281

OK

Tramo 6

0

1

2

1

2

0.2126

0.0935

0.4930

0.8281

OK

BIBLIOGRAFÍA

-

CSI Analysis Reference Manual. SAP2000 Integrated Solution for Structural Analysis and Design

-

Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe. Diseño de Losas Aligeradas en una Dirección con Sap2000

-

James K. Wight and James G. Macgregor - Reinforced Concrete Mechanics and Design

-

Norma Técnica de Edificación E.060 Concreto Armado

-

Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318SUS-14) y Comentario (ACI 318SUSR-14)

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