240745250 Lista De Probabilidade Wr 2013

ALUNO (A) :____________________________________ SALA:_____ TURMA: ______ PROFESSOR (A): ANDRÉ

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

1. (Fuvest 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a pesquisa de Francisco não sejam insetos? 49 7 5 15 14 a) b) c) d) e) 144 22 22 144 33

DATA: 25 / 11 / 2013

4. (Uerj 2014) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A, com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B, com 9 lápis, dentre os quais 4 estão apontados.

2. (Cesgranrio 2011) Um circuito é composto por uma bateria, cuja diferença de potencial elétrico (d.d.p.) vale V, além de duas lâmpadas idênticas e duas chaves (interruptores). Todos os componentes do circuito estão em perfeito funcionamento. A probabilidade de que a chave C1 esteja aberta é de 60%. A probabilidade de que a chave C2 esteja aberta é de 40%.

Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B. Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do porta-lápis B. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42

Qual a probabilidade de que pelo menos uma das duas lâmpadas esteja apagada? a) 76% b) 60% c) 52% d) 40% e) 24%

5. (Espcex (Aman) 2014) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é: 1 3 1 2 3 a) b) c) d) e) 2 5 3 3 8

3. (Uerj 2014) Em uma sala, encontram-se dez halteres, distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres de mesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento é denominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor são colocados juntos. Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos de armazenamento perfeito.

6. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é a) 1/5 b) 1/15 c) 1/45 d) 3/10 e) 3/7 7. (Espcex (Aman) 2013) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é 3 1 1 1 2 a) b) c) d) e) 4 4 2 5 5 8. (Fgv 2013) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal. a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos?

Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade de que eles formem um armazenamento perfeito equivale a: 1 1 1 1 a) b) c) d) 5040 945 252 120

b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10? 9. (Upe 2013) Nove cartões, com os números de 11 a 19 escritos em um dos seus versos, foram embaralhados e postos um sobre o

outro de forma que as faces numeradas ficaram para baixo. A probabilidade de, na disposição final, os cartões ficarem alternados entre pares e ímpares é de 1 1 1 2 3 a) b) c) d) e) 126 140 154 135 136 10. (Fgv 2013) Quatro pessoas devem escolher ao acaso, cada uma, um único número entre os quatro seguintes: 1, 2, 3 e 4. Nenhuma fica sabendo da escolha da outra. A probabilidade de que escolham quatro números iguais é 1 1 1 1 1 a) b) c) d) e) 256 128 64 32 16 11. (Ufrn 2013) Uma escola do ensino médio possui 7 servidores administrativos e 15 professores. Destes, 6 são da área de ciências naturais, 2 são de matemática, 2 são de língua portuguesa e 3 são da área de ciências humanas. Para organizar a Feira do Conhecimento dessa escola, formou-se uma comissão com 4 professores e 1 servidor administrativo. Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foi aleatória, a probabilidade de que nela haja exatamente um professor de matemática é de, aproximadamente, a) 26,7%. b) 53,3%. c) 38,7%. d) 41,9%. 12. (Ita 2013) Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito . Se A e B são eventos de  tais que 1 1 1 p  A   , p B   e p  A  B   , as probabilidades dos 2 4 3 eventos A \ B, A  B e A C  BC são, respectivamente, 1 5 1 1 3 1 5 1 7 a) , e . b) , e . c) , e . 4 6 4 4 4 6 6 6 12 1 7 3 1 5 1 d) , e . e) , e . 4 12 4 3 6 3

a)

3 3 2π

b)

2 3 3π

c)

2 3 π

d)

2π 3 3 e) π 3 3

18. (Ufpr 2013) Durante um surto de gripe, 25% dos funcionários de uma empresa contraíram essa doença. Dentre os que tiveram gripe, 80% apresentaram febre. Constatou-se também que 8% dos funcionários apresentaram febre por outros motivos naquele período. Qual a probabilidade de que um funcionário dessa empresa, selecionado ao acaso, tenha apresentado febre durante o surto de gripe? a) 20%. b) 26%. c) 28%. d) 33%. e) 35%. 19. (Ufrgs 2013) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1 a 12; seis bolas são pretas, e seis, brancas. Essas bolas serão distribuídas em 3 caixas indistinguíveis, com quatro bolas cada uma. Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessas distribuições, a probabilidade de que essa caixa contenha apenas bolas pretas é 1 1 1 2 1 . e) . a) . b) . c) . d) 11 33 23 33 3 20. (Epcar (Afa) 2013) Um dado cúbico tem três de suas faces numeradas com “0”, duas com “1” e uma com “2”. Um outro dado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas com “0”, uma com “1” e uma com “2”. Sabe-se que os dados não são viciados. Se ambos são lançados simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor ocorrido na face superior do dado cúbico com o valor ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser igual a 3 é de a) 12,5% b) 16,6% c) 37,5% d) 67,5% 21. (Ufrgs 2013) Observe a figura abaixo.

13. (Pucrj 2013) Se a = 2n + 1 com n  1, 2, 3, 4, então a probabilidade de o número a ser par é a) 1 b) 0,2 c) 0,5 d) 0,8 e) 0 14. (Fgv 2013) O quadrado ABCD está inscrito em uma circunferência de raio r. Marcando-se ao acaso um ponto na região interior dessa circunferência, a probabilidade de que esse ponto esteja na região interior do quadrado ABCD é igual a a)

2 π

b)

2 π

c)

3 3 4π

d)

1 π

e)

1 2π

15. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é 9 35 35 9! 2 a) b) c) d) e) 6 6 9 9! 2 2 2 29 16. (Pucrj 2013) Em uma caixa, existem 10 bolas vermelhas numeradas de 1 a 10 e também 10 bolas verdes numeradas de 1 a 10. a) Ivonete retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma de número 3? b) Marcos retira duas bolas da caixa. Qual a probabilidade de ele obter 2 bolas com o mesmo número? c) Joana retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada seja uma verde com um número par? 17. (Uepb 2013) Inscreve-se em uma circunferência de raio 4 cm um hexágono regular, e escolhe-se aleatoriamente um ponto no interior da circunferência. A probabilidade deste ponto estar no interior do hexágono é:

2

Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o desenho. A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é a) 32,5%. b) 40%. c) 62,5%. d) 75%. e) 82,5%. 22. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso. Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a: a) 0,48 b) 0,40 c) 0,36 d) 0,25

Número de divisores positivos de 360: (3 + 1).(2 + 1).( 1 + 1) = 24 Divisores de 360 que são múltiplos de 12: {12,24,36,60,72,120,180,360} n = 8

Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Resposta de Biologia: São artrópodes da classe inseto: besouro, barata, formiga, abelha e gafanhoto. Portanto, 5 animais. São artrópodes não insetos: aranha, escorpião, carrapato e ácaro (aracnídeos); lagosta, camarão e caranguejo (crustáceos).

Portanto, a probabilidade pedida será: P = 8/24 = 1/3. Resposta da questão 6: [B]

Resposta de Matemática: Escolhendo dois animais aleatoriamente, temos o espaço amostral do experimento: 12! C12,2   66 2!.10! Escolhendo artrópode que não seja inseto, temos 7! C7,2   21 2!.5! 21 7 Portanto, a probabilidade pedida será: P = P  .  66 22

3 Existem    3 modos de escolher duas pessoas dentre  2   aquelas que pretendem fazer intercâmbio no Chile, e  10  10! maneiras de escolher duas pessoas  2   2!  8!  45   3 1  . quaisquer. Logo, a probabilidade pedida é 45 15

Resposta da questão 2: [A]

Resposta da questão 7: [B]

Se a chave C1 estiver aberta, ambas as lâmpadas ficarão

As permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 que terminam em 2 ou 4 são divisíveis por 2. Logo, existem 2  P4  2  4! permutações nessas condições. Por outro lado, existem P5  5! permutações dos algarismos

apagadas, independentemente do estado da chave C2 . Por outro lado, se a chave C1 estiver fechada e a C2 estiver aberta, a lâmpada L2 ficará apagada. Portanto, a probabilidade pedida é dada por: 0,6  (1  0,6)  0,4  0,76  76%. Resposta da questão 3: [B] Um armazenamento perfeito pode ser feito de P5  5! modos. Além disso, os halteres podem ser armazenados de 10! (2, 2, 2, 2, 2) P10  maneiras. Portanto, a 2!  2!  2!  2!  2! probabilidade pedida é dada por 5! 22222 1   . 10! 10  9  8  7  6 945 2!  2!  2!  2!  2!

Resposta da questão 4: [B] Probabilidade do lápis retirado de A ser apontado e o lápis retirado de B não ter ponta: 3 5 15   10 10 100

Probabilidade do lápis retirado de A não ter ponta e o lápis retirado de B não ter ponta: 7 6 42   10 10 100

Portanto, a probabilidade do último lápis retirado não ter ponta será dada por: P

15 42 57    0,57. 100 100 100

Resposta da questão 5: [C] 360 = 23.32.5

3

1, 2, 3, 4 e 5. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 2  4! 2  4! 2   . 5! 5  4! 5 Resposta da questão 8: a) Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e 2 maneiras de escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é 2  2  5!  4!  4  120  24  11.520. b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: 2 (média aritmética de 2 e 2), 3 (média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5 (média aritmética de 3 e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7). Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é 6  100%  60%. 10 Resposta da questão 9: [A] Observando que de 11 a 19 existem cinco números ímpares e quatro números pares, segue que o primeiro e o último cartão devem ser, necessariamente, ímpares. Desse modo, existem 5! modos de dispor os cartões ímpares e 4! modos de dispor os cartões pares. Portanto, como existem 9! maneiras de empilhar os nove cartões aleatoriamente, a probabilidade pedida é 5!  4! 5!  4  3  2 1   . 9! 9  8  7  6  5! 126

Resposta da questão 10: [C]

Os casos favoráveis são exatamente quatro: 1111, 2222, 3333 e

4444. Por outro lado, existem 4  4  4  4  4 4 casos possíveis. 4 1  . Desse modo, a probabilidade pedida é igual a 4 64 4

Podemos escolher um professor de matemática de 2 modos e 3  13  13! professores das outras disciplinas de     3  3!  10!  2  13  11   maneiras. Além disso, como podemos escolher 4 professores  15  15! quaisquer de    maneiras, segue que a  4  4!  11!  15  13  7   2  2  13  11  100%  41,9%. probabilidade pedida é dada por 15  13  7 Resposta da questão 12: [E] Sabendo que p(A \ B)  p(A)  p(A  B), vem

1 1 1   . 2 4 4

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos

p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B) 1 1 1    2 3 4 7  . 12 Por De Morgan, encontramos p(A C  BC )  p[(A  B)C ]  p(Ω)  p(A  B) 1  1 4 3  . 4 Resposta da questão 13: [E]

 

2

 2r 2 . Por outro

lado, a área do círculo é igual a πr 2 . Portanto, a probabilidade

πr



2 . π

Resposta da questão 15: [A] Vamos considerar x o número de caminhos para leste e y o número de caminhos para oeste. Para que o menino fique 5 m da sua posição inicial: x – y = 5 ou y – x = 5. Vamos admitir o caso que x – y = 5 e resolver o sistema: x  y  9 .  x  y  5

4

9

2



2.4.9 9

2



9 26

.

Resposta da questão 16: a) Como existem duas bolas com o número 3, segue que a 2 1  . probabilidade pedida é igual a 20 10 b) 1ª Solução: Supondo que as retiradas são feitas sucessivamente e sem reposição, vem que, após a retirada da primeira bola, a probabilidade de que a segunda tenha o mesmo 1 . número da primeira é igual a 19 2ª Solução: Supondo que as bolas são retiradas simultaneamente  20  da caixa, temos que Marcos pode retirar 2 bolas de    190  2 maneiras. Além disso, como os casos favoráveis são (1, 1), (2, 2), , (10, 10), segue que a probabilidade pedida é dada por

10 1  . 190 19

c) Sabendo que existem 5 bolas verdes com números pares, temos que a probabilidade de retirar uma bola verde com um 5 1  . número par é igual a 20 4

3  r2 3 3 3 2  . 2 2π π r

Resposta da questão 18: [B]

A área do quadrado ABCD é dada por r 2

2

2.P97,2

A probabilidade pedida é dada pela razão entre a área do hexágono e a área do círculo, ou seja,

Resposta da questão 14: [A]

2r 2

O espaço amostral tem 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 29 elementos, portanto a probabilidade pedida será dada por : P =

Resposta da questão 17: [A]

Dado que n  {1, 2, 3, 4}, segue que a é ímpar para todo n. Portanto, como “ a par” é um evento impossível, segue que a probabilidade de a ser par é zero.

pedida é

Portanto, temos duas opções: 1. uma sequência com 7 lestes e 2 oestes 2. um sequência com 7 oestes e 2 lestes

Resposta da questão 11: [D]

p(A \ B) 

Portanto, x = 7 e y = 2, se considerássemos y –x = 5, teríamos x = 2 e y = 7.

x é o número de habitantes da cidade. 0,25x contraíram a gripe. 0,80  0,25x = 0,20x contraíram gripe e tiveram febre: 0,20x. Funcionários que apresentaram febre por outros motivos 0,08  0,75x Funcionários com febre: 0,20x + 0,08  0,75x = 0,26x Portanto, a probabilidade dos funcionários que apresentaram febre durante o surto de gripe foi de: 0,26x P  26%. x Obs.: Para atender ao gabarito oficial, a solução leva em consideração 8% dos funcionários que não apresentaram a gripe.

Resposta da questão 19: [A]

Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos favoráveis:

O número de modos que podemos distribuir as bolas, de modo que uma caixa contenha apenas bolas pretas, é igual a

i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro está entre os 80% que marcaram a resposta errada ao acaso; ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a questão e o outro errado.

6 8  4 6! 8!          4 4 4 4!  2! 4!  4!        52  7. 3! 3!

Por outro lado, o número total de maneiras de distribuir as bolas é  12   8   4  12! 8!          4 4 4 4!  8! 4!  4!        11 7  52  3. 3! 3!

Portanto, a probabilidade pedida é igual a

7  52 2

11 7  5  3



1 . 33

Resultados do dado cúbico: {0, 0, 0, 1, 1, 2} Dado tetraédrico: {0, 0, 1, 2} Somas possíveis (contanto as repetidas) = 6  4 = 24 Soma igual a 3: {(1,2), (1,2), (2,1)} Portanto, a probabilidade de que a soma dos valores ocorridos em cada dado seja três, será dada por: 3 1   12,5%. 24 8

Resposta da questão 21: [C] Seja r o raio do círculo. Sabendo que o lado do triângulo equilátero inscrito mede r 3, e

2r 3 , segue que 3 a probabilidade do dardo ter atingido a região triangular é igual a o lado do hexágono regular circunscrito mede

(r 3 )2  3 4 2

 2r 3    3 3  3  2



3 . 8

Portanto, a probabilidade do dardo não ter atingido a região triangular é

1

3 5   100%  62,5%. 8 8

Resposta da questão 22: [A] A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa 1 1 3 ao acaso é , e a de errar é 1   . 4 4 4

5

0,2  0,8 

3 3  0,8   0,2  0,24, 4 4

enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é

0,8 

1 3 3 1  0,8   0,8   0,8   0,24. 4 4 4 4

Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24  0,24  0,48.

Resposta da questão 20: [A]

P

Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é