Ejemplos:
f ( x) x 2
1.-Encuentre el área bajo la curva :
f ( x) x 2
Desde x=1 hasta x=5 b
A
f ( x )dx a
f ( x) x
2
5
x 2 dx
A 1
A
(5) 3 3
125 1 A 3 3 124 2 A u 3
x3 3
5
1
(1) 3 3
2.-Encuentre el área bajo la curva :
f ( x) x 3 1
Desde x=2 hasta x=4 b
A
f ( x)dx a 4
x 3 1dx
A 2
A
( 4) 4 4
A
256 4 4
A 62u 2
4
x4 4
4
x
( 2) 4 4 16 2 4
2
2
3.-Encuentre el área bajo la curva :
f ( x) x 4 16
Desde x=1 hasta x=4
b
A
f ( x)dx
f (b)
f (a)
a 2
x 4 16dx
A1 1
A1
(2)5 16(2) 5
A1
32 16 5
A1
49 2 u 5
x5 16 x 5
2
1
(1) 4 16(1) 5 1 16 5
4
x 4 16dx
A2 2
A2 A2 A2 At
(4) 5 16(4) 5 1024 64 5 832 2 u 5 49 A1 A2 5
x5 16 x 5
4
2
( 2) 4 16(2) 5 32 32 5
832 5
881 2 u 5
4.-Encuentre el área bajo la curva :
f ( x) x 5
Desde x=-1 hasta x=1 b
A
f ( x )dx
f (b)
a 0
6
x 5 dx
A1 1
A1 A1
( 0) 6 6 1 2 u 3
x 6
0
1
( 1) 6 6
f (a)
1
6
x 5 dx
A2 0
A2
(1) 6 6
A2
1 2 u 6
At
A1
A2
x 6
1
0
(0) 6 6
1 6
1 6
2 6
1 2 u 3
Ejemplos:
1-10-2009
1.-Encuentre el área bajo la curva :
f ( x) g ( x)
x
2
x2
2x 2 6x 4
Encontrar los puntos de intersección Igualando las funciones y dejarlas en términos de cero.
f ( x) 0
g ( x)
g ( x)
f ( x)
x2
2x 2
x2
0
x2
0
2 x 2 8x 6
6x 4
6x 4 x2
2x 2
Resolviendo ecuación de segundo orden (Por cualquier Método) En este caso por fórmula general
0 x x x x x1 x2
2x2
8x
6
b
b2 2a
4bc
8
(8) 2 4( 2)( 6) 2( 2)
8
64 4 16
8
4 8 4 4 8 4 4
Por lo tanto x1 y x2 son los punto de intersección en las funciones.
De otra manera podemos obtener los puntos en donde se interceptan las funciones!!
48
'
f ( x) x
1
2
f ( x)
2x 2
x
1
2 x
2
g ' ( x)
2x 2
6
f ( x)
(1,1)
2
3 x2 6x 4
(3) 2 6(3) 4 5
(1) 2 2(1) 2 1
3
2x 6
(3,5)
b
A
g ( x)
f ( x)dx
a
En este caso como la función g(x) esta por encima de la función f(x) la formula queda expresada de la siguiente manera. Nota: La formula quedara expresada según cual función se anteponga a la otra claro que quede por encima de ella en la grafica!!
3
x 2 6 x 4 x 2 2 x 2dx
A 1 3
A
2x
2
8 x 6dx
1
A
2(3) 3 3
8 2 A u 3
8(3) 2 2
2x 3 6(3)
3
8x 2
3
2
2(1) 3 3
6x 1
8(1) 2 2
6(1)
2.-Encuentre el área bajo la curva :
f ( x) g ( x)
x x2
Encontrar los puntos de intersección
3
4x 4
Igualando las funciones y dejarlas en términos de cero.
f ( x) 0
g ( x)
g ( x) x3
f ( x)
x2 4x 4
0
x 2 4 x 4 x3
0
x3
x2 4x 4
Resolviendo ecuación de tercer orden (Por cualquier Método) En este caso por División Sintética
0 x x x x x1 x2
2x2
8x
6
b
b2 2a
4bc
8
(8) 2 4( 2)( 6) 2( 2)
8
64 4 16
8
4 8 4 4 8 4 4
48
1 3
Por lo tanto x1,x2 y x3 son los punto de intersección en las funciones.
En este caso como la función g(x) esta por encima de la función f(x) la formula queda expresada de la siguiente manera. Y como las funciones se tocan dos veces se procede ha sacar el área de cada parte sombreada con sus respectivos puntos.! Nota: La formula quedara expresada según cual función se anteponga a la otra claro que quede por encima de ella en la grafica!!
a
A
g ( x)
f ( x)dx
b 1
x2
A1
4x 4
x 3 dx
2 1
x2
A1
4x 4
2
A1 A1
( 1) 4 4 7 2 u 12
( 1) 3 3
x 3 dx
x4 4
4( 1) 2 2
x3 3 4( 1)
4x 2 2
1
4x 2
( 2) 4 4
( 2) 3 3
4( 2) 2 2
4( 2)
b
A
f ( x) g ( x)dx a 2
x3
A2
x2
4 x 4dx
1 2
A2
4
x
3
x
2
4 x 4dx
1
A2 A2
(2) 4 4
(2) 3 3
4(2) 2 2
x 4
3
x 3
4x 2
2
2
4(2)
(1) 4 4
A1
7 12
4x 1
(1) 3 3
4(1) 2 2
4(1)
47 2 u 12
At
A2
47 12
54 12
9 2 u 2