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SETIT 2007

4th International Conference: Sciences of Electronic, Technologies of Information and Telecommunications March 25-29, 2007 – TUNISIA

Stabilisation d’un microsatellite par approche quadratique Ali Haddi and Noureddine El Alami Département de Génie Electrique LAII Ecole Mohammadia d’Ingénieurs, Avenue Ibn Sina BP. 765 Rabat-Agdal Maroc [email protected] [email protected] Résumé : Dans cet article nous nous intéresserons à la stabilité en utilisant l’approche quadratique et en tenant compte du terme intégral, qui apparaît dans le modèle, et des incertitudes, supposées bornées en norme, qui peuvent affecter les paramètres du modèle. Mots clés : Satellite, Stabilité Robuste, Approche Quadratique, Terme Intégral, Système Incertain.

la matrice d’état est incertaine. Le calcul de cette loi de commande passe par la résolution itérative d’une équation de Riccati [Pet 87], une année après, Zhou et Khargonekar [ZK 88] ont étendu les résultats sur les matrices d’état et de commande. Le contrôle robuste a maintenant atteint un certain degré de la maturité : Le contrôle H∞ [KPZ 90] et les méthodes de Lyapunov [Bar 85] ont prouvé leur efficacité dans les applications industrielles de contrôle. Habituellement dans ces méthodes on considère des modèles linéaires avec incertitude appropriée. Dans le contexte de méthodes Lyapunov, la stabilisation du système linéaire incertain d’incertitudes bornées en norme peut être résolue à travers le concept de stabilité quadratique [Bar 85], [KPZ 90] pour lesquels la condition nécessaire et suffisante est exprimée sous forme d’équation de Riccati. En fait, la stabilité quadratique est équivalent au contrôle H∞ [EE 03] et l’utilisation de l'équation Riccati. C'est important de noter que parmi tous ces travaux, un petit nombre prend en compte quelques considérations sur le contrôle et stabilisation par retour d’état avec des entrées bornées [BTK 94]. Ce problème de stabilisation peut être traité de deux manières différentes: la première considère les propriétés des contrôleurs linéaires saturés [BTK 94] et la seconde consiste en la conception d’un contrôleur non linéaire [GTS 99]. Cet article est organisé comme suit : Dans la section 2, un rappel des équations dynamiques et cinématiques régissant le système est donné ainsi qu’une linéarisation de ces dernières pour se retrouver avec le modèle

INTRODUCTION Les satellites ont révolutionné la science et la vie quotidienne à différents niveaux. C’est pour cela que beaucoup de chercheurs se sont intéressés au contrôle et à la stabilisation des microsatellites. Différentes approches ont été utilisées dans le contrôle d’attitude et d’orbite des microsatellites : Contrôle d’attitude et d’orbite d’un satellite (CAOS) par tuyère [Gai 01], par magnéto coupleurs et par CMG (Command Moment Gyro) [NC 02], par moment embarqué [TSH 99]... De même plusieurs méthodes de stabilisation et de contrôle ont été proposées : commande optimale [CTF 69], stabilité non linéaire par spin [CTF 69], contrôle fractionnaire [KMM 03], [Kai 04], PID [Sid 97], LQR [KMM 03], placement de pôles [Won 99], contrôle robuste [VDL 99] etc. Dans cet article nous élaborons une loi de commande de stabilisation quadratique [KPZ 90] par retour de sortie pour un microsatellite en considérant ce dernier comme système incertain et en prenant en considération le terme intégral souvent négligé dans les approches citées ci-dessus. Aux alentours des années 80, Barmish, en définissant la notion de stabilisation quadratique et en énonçant une condition nécessaire et suffisante de stabilité quadratique [Bar 85], [Bar 83], a donné le départ de nombreuses recherches dans le domaine. En 1987, Petersen [Pet 87] a établi un algorithme de stabilisation quadratique par retour d’état pour des systèmes où seule

-1-

SETIT2007 simplifié d’un microsatellite. Dans la section 3 nous donnons les principaux résultats de la stabilité quadratique. Un exemple illustratif de microsatellite avec des résultats de simulation sont présentés à la section 4. Une conclusion sur l’application de stabilité quadratique à un microsatellite est donnée à la section 5.

→

→

w SI = w S0 + TO / S (0 − w 0

0) T

(4)

Finalement, la vitesse du satellite par rapport au repère orbital, peut être exprimée en fonction des dérivées des angles d’attitude [KMM 03]:

1. Equation du système de contrôle d’attitude et d’orbite (SCAO) :

.  φ - Sθ     . (5) Cφ Cθ Sθ  θ  .  - Sθ Cθ Sφ  ψ      Les équations (1), (2), (4) et (5) constituent le modèle entier décrivant le mouvement d’attitude du microsatellite. 1 →  S w 0 = 0 0 

Le modèle dynamique d’un satellite à pointage Terre, utilisant un Système de Contrôle d’Attitude trois axes par le biais des roues de réaction et des magnétocoupleurs, et évoluant sous l’effet des perturbations, résulte des équations de la dynamique et de la cinématique du mouvement du satellite [Gui 01], [Kai 04].

0

1.1. Equation de la dynamique 1.3. Equations d’attitude linéarisées :

Les équations de la dynamique décrivant le mouvement d’attitude du satellite sont données par [KMM 03], [Sid 97] : − .

.

Lors des manœuvres petits angles, on peut linéariser le système d’équation d’attitude en tenant compte des approximations suivantes :

−

I wIS (t)=−hw(t)− wIS (t)Λ I wIS (t)− wIS (t)Λhw(t)+ M gS (t)+ P(t) (1) avec : − : Moment d’inertie du satellite sans roue de I réaction. wIS (t) : Vitesse angulaire inertielle exprimée dans le repère lié au satellite. hw(t) : Moment cinétique des roues de réaction. M gS (t) : Moments dus au gradient de gravité terrestre. Ces moments sont fonctions des angles : roulis ( φ ), tangage ( θ ) et lacet ( ψ ), et sont de la forme : → −→ (2) M gS (t)=3w02 Z0S Λ I Z0S    : Vitesse angulaire orbitale. w0 P(t) : Moments résultant des perturbations extérieures (radiations solaires, aérodynamiques, magnétiques, etc.…)

¾ ¾

Le mouvement angulaire est approché par un mouvement infinitésimal, ce qui signifie que les angles et leurs dérivées sont petits. Les termes négligeables

de

deuxième

ordre

sont

La matrice de passage (3) devient donc :

TO / S

 1 ψ = -ψ 1 θ -φ

-θ  φ  1 

Les vitesses angulaires inertielles exprimées dans le repère lié au satellite deviennent : .

w x = φ − w 0ψ .

wy = θ − w0

1.2. Equation de la cinématique :

.

Pour maintenir un pointage Terre du satellite, les axes du repère liés au satellite doivent être alignés avec les axes du repère orbital de référence. La matrice de transformation (matrice d’attitude), du repère orbital au repère satellite, peut être représentée en utilisant les angles d’Euler (roulis ( φ ), tangage ( θ ) et lacet (ψ )), comme suit :

w z = ψ + w 0φ

En

[x1

posant x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ]T ,

Cθ Sψ Cφ Cψ + Sθ Sψ Sφ -Sφ Cψ + Sθ Sψ Cφ

-Sθ  Cθ Sφ  Cθ Cφ 

]

T

t . x ( t ) = Ax( t ) + Bu ( t ) + G ∫ u (s)ds 0   y( t ) = Cx ( t )

(3) avec :

[

. . .  u = h w1 h w 2 h w 3  , le système Iz   d’équations précédentes peut être représenté sous la forme d’état suivante :

σ 3 = I x − I y et

Cθ Cφ  TO / S = -Sψ Cφ +Cψ Sθ Sφ  Sψ Sφ +Cψ Sθ Cφ

−

T x = φ θ ψ φ& θ& ψ& = Iy − Iz I − Ix σ1 = , ,σ 2 = z Iy Ix

C : cosinus et S : sinus

D’autre part, la vitesse de rotation du microsatellite par rapport au repère inertiel peut être exprimée comme suit :

avec :

-2-

(6)

SETIT2007 0 0 1  0  0 0 0 0   0 0 0 0 A=  2σ 1 0 4w 0 0  0  0 3w 2σ 2 0 0 0   0 0 w 02σ 3 -w 0(1+σ 3 )

 0  0   0  B = - 1  Ix  0    0  1 et C = 0 0

0  0  0 0   0 0  0   0 0  ; G= 0   -1 0   0  Iy   - w 0 0 -1   Iz Iz  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

     0 w 0(1−σ 1 )  0 0   0 0

0 1 0

0 0 1

L( x , t ) =

• • •

(9)

Théorème 1 : [GTS 99] Soient : Q∈R n×n et R∈R m×m deux matrices données de pondérations symétriques définies positives. On suppose qu’il existe un ε >0 tel que l’Equation de Riccati suivante :

0  0  0   w0  Ix  0   0  

A T P + PA − PBR −1BT P + εPDD T P + ε −1E T E + Q = 0 (10) admet une solution symétrique définie positive P. Alors le système incertain (Σ1 ) est stabilisable et la loi de commande stabilisante est donnée par : u ( t ) = − R −1B T Px ( t )

(11)

Avant de procéder à la démonstration de ce théorème, nous énonçons le lemme suivant : Lemme 1 : Pour tout ε >0 et F ∈ R p×q tel que F T F ≤ I données, on a : 2x T PDFEx ≤ ε x T PDD T Px + ε −1 x T E T Ex pour tout x ∈ R n

Parmi les approches de base dans le domaine de la robustesse s’inscrit l’approche quadratique [ZK 88], [GBC 94], [EE 03] et [BTK 94]. C’est une approche de type Lyapunov dont l’intérêt essentiel réside dans le fait qu’elle permet une paramétrisation convexe pour la recherche des gains robuste. Nous considérons le système incertain décrit par l’équation suivante :

Où :

2

pour tout couple (x, t) ∈Rn×R

2. Stabilité quadratique :

(Σ1 )

dV = 2 x T P(A + ∆A ) x − 2 x T PBKx ≤ − α x dt

Preuve : Supposons que l’ARE (10) admet une solution symétrique définie positive P. Le système bouclé par la loi de commande (11) s’écrira : .

(

)

x ( t ) = A + DF(t )E − BR −1BT P x ( t ) avec FT F ≤ I

.

x =(A+ ∆A)x + Bu ∆A= DF(t)E

Considérons la fonction de Lyapunov suivante : V(x) = xTPx Sa fonction dérivée est :

(7)

(

x(t) ∈ R est l’état du système ; m u(t) ∈R est le vecteur d’entrée du système ; ∆A est une matrice représentant les incertitudes du système pour laquelle FT ( t )F( t ) ≤ I . n

)

L( x, t) = x T A T P + PA x + 2x T PDF( t )Ex − 2x T PBR −1BT Px Par application du lemme précédant, au 2ème terme du membre de droite, nous obtenons l’inégalité suivante :

(

)

L( x , t) ≤ x T A T P + PA x + ε x T PDD T Px + ε −1 x T E T Ex

La notion de stabilité quadratique du système (Σ1 ) peut être formulée comme suit : Définition 1 : [BTK 94] Le système (Σ1 ) est quadratiquement stabilisable par retour d’état linéaire s’il existe une matrice constante m× n n× n K ∈R , une matrice P ∈R symétrique et définie positive et une constante α>0, telles que pour toute incertitude admissible F(t) le système bouclé par le retour d’état : u(t)=-Kx(t) (8) et la fonction de Lyapunov :

−1

− 2 x PBR B T Px T

n

∀ (x, t) ∈R × R En utilisant l’ARE (10), nous aurons : L( x , t) ≤ - x T Q x − 2x T PBR −1B T Px _ _ 2 2  ≤ - σ Q x où Q = Q + PBR −1B T P  

≤ -α x

2

_

α étant le carré de la plus petite valeur singulière de Q . Par application de la définition, le système est donc quadratiquement stabilisable.

V(x)=xTPx Possèdent la propriété suivante :

-3-

SETIT2007

3. Application au microsatellite : Nous avons appliqué ces résultats théoriques au

4. Conclusion :

microsatellite ayant comme paramètres [VDL 99], [Won

Dans cet article, nous avons rappelé le principe de la stabilisation quadratique. Nous avons vérifié son application pour la stabilisation d’attitude d’un satellite, qui a donné de bons résultats vérifiés par simulation : ¾ Le système diverge sans correction à cause de l’instabilité de A. ¾ Le système corrigé par approche quadratique est parfaitement stable et réagit de la même manière pour différentes incertitudes bornées. ¾ Le système corrigé par approche quadratique est plus rapide que le système corrigé par simple méthode de Lyapunov. En conclusion, l’approche quadratique est parfaitement applicable au contrôle d’attitude de satellite. Et comme perspective d’avenir nous envisageons d’étendre les incertitudes sur la matrice de commande et la matrice de sortie.

99] et [KLC 96] :

¾ ¾

La vitesse angulaire orbitale : w0 =0.00104 rad / s La matrice d’inertie du microsatellite : 0 0  4.730759 I =  0 4.518349 0  kg m²  0 0 3.494047

¾ Les

conditions

x(0)=[1°

1°

initiales

1° 2°/s

2°/s

sont : 2°/s] T .

Pour stabiliser et maintenir l’attitude du microsatellite proche du pointage Nadir nous proposons la démarche suivante : Dans le système (6) représentant le microsatellite étudié

10

x 10

7

t

on pose z = ∫ u (s)ds ce qui donne : . . x ( t ) = Ax( t ) + Bu ( t ) + Gz( t ) ⇒ X = Α X +B u .  z( t ) = u ( t ) 

Angles d'Euler en deg

6

(12) A avec : A =  0

G et 0 

x1 x2 x3

8

0

B B =  Id 

4 2 0 -2 -4

Comme les paramètres du modèle ne sont pas connus de manière exacte, on a : A = AN + ∆A où AN représente la matrice d’état du modèle nominal supposé connue de manière exacte et ∆A l’incertitude bornée en norme que l’on pose égale à DF(t)E avec D et E des matrices quelconques d’ordre approprié et F(t) une matrice

-6 0

T

1.5 Vitesses angulaires en deg/sec

.

(13)

Par application du théorème 1, choisissant les deux matrices de pondération Q et R symétriques définies positives et cherchons ε >0 permettant d’obtenir une solution P symétrique et définie positive pour l’ARE (10). Le système est stabilisable par la loi de commande −1

4 6 temps en seco nde

8

10

Figure 1 : Réponse indicielle du système incertain sans correction

quelconque que l’on suppose vérifiant F F ≤ I . Le système (12) devient donc :

X =( A N + DF(t) E )X +B u

2

T

u(t) = −R B Px(t) . Les résultats de simulation permettent de valider ce résultat. Ainsi les figures 1 et 2 : représentent la réponse du système incertain sans correction, les figures 3 et 4 : représentent la réponse du système sans incertitudes et sans correction, les figures 5 et 6 : représentent la réponse du système incertain corrigé, les figures 7 et 8 : représentent la réponse du système incertain corrigé avec F constante, les figures 9 et 10 : représentent la réponse du système corrigé sans incertitudes.

x 10

4

1

0.5

0 x4 x5 x6

-0.5

-1

-1.5 0

1

2 3 4 temps en seconde

5

6

Figure 2 : Réponse indicielle du système incertain sans correction

-4-

SETIT2007 2.5

12

Vitesses angulaires en deg/sec

Angles d'Euler en deg

8

6

4

x1 x2 x3

2

0 0

2

4 6 temps en seco nde

8

0

2

4 6 temps en seconde

8

10

1.4 x1 x2 x3

1.2 1

1.5

Angles d'Euler en deg

Vitesses angulaires en deg/sec

0.5

Figure 6 : Réponse indicielle du système incertain avec correction

x4 x5 x6

2

1 0.5 0 -0.5

0.8 0.6 0.4 0.2 0

2

4 6 temps en seco nde

8

-0.2 0

10

Figure 4 : Réponse indicielle du système sans incertitudes et sans correction

2

4 6 temps en seco nde

8

10

Figure 7 : Réponse indicielle du système incertain corrigé avec F constante

1.6

2.5

x1 x2 x3

1.4

x4 x5 x6

2 Vitesses angulaires en deg/sec

1.2 Angles d'Euler en deg

1

-1 0

10

2.5

1 0.8 0.6 0.4 0.2

1.5 1 0.5 0 -0.5

0 -0.2 0

1.5

-0.5

figure3 : Réponse indicielle du système sans incertitudes et sans correction

-1 0

x4 x5 x6

2

10

2

4 6 temps en seco nde

8

-1 0

10

Figure 5 : Réponse indicielle du système incertain avec correction

2

4 6 temps en seco nde

8

10

Figure 8 : Réponse indicielle du système incertain corrigé avec F constante

-5-

SETIT2007 [GTS 99] G. Garcia, S. Tarbouriech, R. Suarez, and J. Alvarez-Ramirez, “Nonlinear Bounded Control for Norm-Bounded Uncertain Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., vol 44 n° 4, pp. 1254-1258, 1999.

1.2 x1 x2 x3

Angles d'Euler en deg

1 0.8

[Gui 01] R. Guiziou “ Système de Contrôle d’Attitude et d’Orbite ” Cours de DESS AIR & ESPACE.Uniméca 2001.

0.6 0.4

[Kai 04] A. Kailil “ Contribution à l’étude et la conception d’un système de contrôle d’attitude trois-axes par roues de réaction pour microsatellite en orbite basse ” thèse de doctorat Ecole Mohammadia d’Ingénieurs Rabat 2004.

0.2 0 -0.2 0

1

2 3 4 temps en seconde

5

6

[KLC 96] B.J. Kim, H. Lee & S.D. Choi “ Three-axis reaction wheel attitude control system for KITSAT-3 Microsatellite”. IFAC Conference on Autonomous and Intelligent Control in Aerospace 1996.

Figure 9 : Réponse indicielle du système corrigé sans incertitudes

[KMM 04] A. Kailil, N. Mrani, M. Mliha Touati, S. Choukri & N. Elalami “ Satellite attitude stabilization with Fractionnal Controllers ” Systems Analysis Model Simul 2004

Vitesses angulaires en deg/sec

2 x4 x5 x6

1.5

[KP 90] P. Khargonekar, I. R. Petersen, and K. Zhou, “Robust stabilization of uncertain linear systems: Quadratic stability and H∞ control theory”, IEEE Trans. Automat. Contr., vol 35 n° 3, pp. 356-361, 1990.

1

0.5

[NC 02] H. Nang & H. Choi “ Attitude control of a Bias Momentum Satellite using Moment of Inertia ” IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems vol. 38 n°1 2002.

0

-0.5 0

1

2 3 4 temps en seconde

5

6

Figure 10 : Réponse indicielle du système corrigé sans incertitudes

[Pet 87] I. R. Petersen, “A Stabilization Algorithme for a class of Uncertain Linear Systems” Systems and Control letters, vol. 8, pp. 351-357, 1987.

Bibliographie :

[Sid 97] M.J. Sidi “Spacecraft Dynamics and control” Cambridge University Press, Cambridge, UK 1997.

[Bar 83] B. R. Barmish , “Stabilization of Uncertain Systems Via Linear Control” IEEE Trans. Autom. Contr., vol Ac 28, n° 8, pp. 848-850, august 1983

[TSH 99] P. Tsiotras, H. Shen & C. Hall “ Satellite attitude control and power tracking with momentum wheels”, AAS, 99-317 [VDL 99] C. Valentin-Charbonnel, G. Due & S. Le Ballois “ Low-order robust attitude control of earth observation satellite ” Control Engineering Practice, n° 7, pp. 493-506, 1999.

[Bar 85] B. R. Barmish, “Necessary and Sufficient Conditions for Quadratic Stabilisation of an uncertain System” Journal Optimisation Theory Appl., vol. 46, n°7, pp. 399-408, 1985. [BTK 94] C. Burgat, S. Tarboureich, and M. Klai, “Continuous-time saturated state feedback regulators: Theory and design”, Int. J. Syst. Sci., vol. 25, 1994

[Won 99] C. H. Won “Comparative study of various methods for attitude control of LEO satellite” Aerospace Science and Technology 1270-9638, 99/05/Elsevier Paris.

[CTF 69] D. Childs, B. Tapley & W . Fowler “ Suboptimal attitude control of a spin stabilized axis symmetric spacecraft” Automatica vol.14, n° 6, pp. 736-740, 1969.

[ZK 88] K. Zhou and P. Khargonekar, “Robust Stabilization of linear system norm Bounded time-varying uncertainty” Systems and Control letters, vol. 10, pp. 17-20, 1988.

[EE 03] S. El hani, N. El alami, “A parametric robust control of an electric power generator” 6th International Workshop on Electronics, Control, Measurement, and Signals 2003, Liberec Tchequie, ECMS’03. [GBC 94] G. Garcia, J. Bernussou, and P. Camozzi, “H2 guaranteed cost control for uncertain systems with norm bounded uncertainties” in Int. Workshop on Robust Control, Rio de Janeiro, Brazil, 1994

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