236

Matematică financiară (IDD) Curs introductiv, sinteză CONF.UNIV.DR. PETRIŞOR PETRU-AVRAM Matematici financiare din perspectiva aderării europene Multă vreme ideea de Uniune a Europei s-a confruntat cu cea de organizare a lumii: se rezumă astfel la Europa dacă nu lumea cunoscută cel puţin lumea utilă1. Această asemănare apare la majoritatea precursorilor „ideii europene”. Prin ea se evocă o ideală „societate a naţiunilor”. Imediat după primul război mondial, deci în perioada interbelică, se observă un puternic declin politic al Europei. Din acest punct de vedere organizarea acestui continent din multiplele sale puncte de vedere devine o preocupare acerbă. Se observă două curente de opinii, unul caracterizând organizarea Europei printr-o simplă cooperare care să ocrotească suveranitatea statelor, iar un altul se referă la unificare sau prăbuşire susţinut de Condenheve-Kalergie în manifestul „Pan-european”. În această perioadă se observă o colaborare între statele europene. În mod cert se manifestă un interes pentru constituirea unui organism axat pe problemele Europei postbelice, idee pusă în practică de „Conferinţa de Cooperare Economică Europeană” (CCEE) care ia fiinţă în 12 iulie 1947 la Paris. Scopul acestei conferinţe este să facă un bilanţ al „nevoilor economice şi financiare comune”2. Convenţia este semnată un an mai târziu, 16 state sunt părţi, în 1955, iar în 1959 aderă Germania şi Spania. Câţiva ani mai târziu convenţia respectivă va fi reformată şi înlocuită de Organizaţia de Cooperare şi Dezvoltare Economică (O.C.D.E.), care ia fiinţă prin intermediul Conferinţei de la Paris. La OCDE aderă şi Statele Unite ale Americii având ca suport cuvintele lui Im. Kant şi anume: „În fiecare domeniu particular al cunoaşterii naturii se poate găsi atâta ştiinţă autentică câtă matematică conţine” (Im. Kant în Werkausgabe, IX, Shritten nur Naturphilosophie, Schrikamp, p. 14, 1978) şi de cuvintele lui D. Hilbert: „nu stăpânim o teorie ştiinţifică până nu am ajuns la nucleul ei matematic şi l-am pus în întregime în evidenţă „ (D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Band III, zweite Auflage, Springer, Berlin, p. 385, 1970). Tensiunea existentă în Europa face să se încheie Tratatul asupra Uniunii Occidentale, în anul 1948. În anii 1950 iniţiativa constituirii unei Uniunii Europene aparţine statelor Europei: Franţei în acelaşi an şi Beneluxului în 1955 având în vedere că într-un model destul de general elaborat de R. Valée de la Universitatea Paris-Nord din Franţa, putem considera economia şi 1 2

Charles, Zorfbibe, Constituţia europeană, Ed. Trei, Bucureşti, 1998,p 5-20 Corina, Leicu, Drept comunitar Ed. Lumina Lex, Bucureşti, 1992, p.5

1

finanţele ca fiind descrise de vectorul α=x(t), evoluţia în timp a modelului fiind descrisă de ecuaţia diferenţială :

dx(t ) = f ( x(t ), a(t ), t ) dt

unde f este o funcţie cu valori vectoriale care depinde de t şi de valorile pe care le iau funcţiile vectoriale x(t), a(t) şi a(t) corespunde comenzilor date sistemului. Dacă G reprezintă operaţia de actualizare impusă de Tratatul asupra Uniunii Occidentale, atunci avem: G(t2,t1)(x(t2)=x(t1) şi prin urmare obţinem: G (t2,t1)G(t1,t0)= x(t0) unde t0 ,t1, t2 sunt valori arbitrare ale lui t. Fie θ un moment fixat şi notăm cu qr(tr) valoarea actualizării realizată pentru valoarea tr, atunci valoarea completă a actualizării în t este: t

qr(tr)= G (t,tr) qr(tr)+

∫ G(t ,θ ) = a(θ )d (θ ) tr

tr≤t şi dacă definim: lim ∂ θ → t ∂ t G (t,θ)=P(t) atunci obţinem relaţia: d q r (t ) = P(t )dg r (t ) + a(t ) dt

În modul acesta procesul de actualizare este descris ca o ecuaţie diferenţială neomogenă. 2

Procesul de actualizare impus de Uniunea Occidentală reprezintă procesul de matematizare care se bazează pe faptul că legile naturii sunt descrise în limbajul matematicii şi progresul ştiinţific în economie şi finanţe depinde de cunoaşterea acestor legi, iar intervenţia matematicii în economie şi finanţe devine mai subtilă cu cât acestea conţin mai multă inteligenţă. În procesul de matematizare impus de Tratatul Uniunii Occidentale(TUO) un rol important este atribuit Uniunii Internaţionale a Matematicienilor care a hotărât la 6 mai, la Rio de Janeiro, declararea anului 2000 ca An Internaţional al Matematicii. Cu această ocazie urma să se stabilească marile provocări ale secolului XXI, rolul fundamental al matematicii în dezvoltarea economică şi financiară a societăţii umane. În anul 1900 la Congresul Internaţional al Matematicienilor ţinut la Paris, D. Hilbert a propus o listă de 23 de probleme care a fost amplu discutată de Felix Browder. La solicitarea lui V.J. Arnould liderii cercetării matematice contemporane vor preciza problemele din matematicile financiare care vor juca un rol important în secolul care abia a început. Ca răspuns la această provocare la Conferinţa Mathematical Challenges of the 21-st Century care s-a desfăşurat la Los Angeles în California în perioada 7-21 august 2000, cei mai fecunzi matematicieni contemporani au precizat lista problemelor importante din economie şi finanţe. Una din problemele acestei liste a condus la concluzia că a sosit momentul constituirii primelor organizaţii supranaţionale, Comunităţile Europene3. Comunităţile sunt organizaţiile care au pregătit integrarea politică a statelor pornind de la necesităţile de ordin financiar. În paralel cu evoluţia are loc şi extinderea lor prin captarea de noi state membre pornind de la numărul de 6 state membre s-a ajuns la 15 state membre care împreună au desfăşurat acţiuni de captare de noi state din Europa Centrală şi de Vest, în prezent râmând doar România şi Bulgaria ca şi candidate. Sub aspect evolutiv, succesul procesului de aderare , integrarea europeană constă în creşterea continuă a numărului de state care aderă la ideile şi principiile comunităţilor. Astfel în 1973 aderă Marea Britanie, Irlanda şi Danemarca. În 1981 a fost admisă Grecia, în 1986 Spania şi Portugalia, în 1995 numărul statelor a crescut la 15 prin aderarea Austriei, Finlandei şi Suediei. În cadrul evoluţiei Comunităţii Europene se observă două direcţii: 1. perfecţionarea instituţiilor europene; 2. extinderea Comunităţii. Crearea unor structuri suprastatale nu are o evoluţie liniară cum se constată din modelul matematic 4 şi care a condus la 1. şi 2. , deoarece aderarea la Structurile Internaţionale presupune „abandonul de suveranitate” în domeniile care cad sub incidenţa Tratatelor Comunitare. 3

Charles, Zorfbibe, Constituţia europeană, Ed. Trei, Bucureşti, 1998,p 5-20

3

La începutul anilor 1960 a fost elaborat Planul Werner care avea menirea să creeze o piaţă financiară unică, dar din cauza şocului petrolier din 1973-1974, obiectivele dezideratului au fost stinse. Criza sistemului Bretton Woods 5 i-a determinat pe europeni să treacă la cooperări regionale, pentru că criza respectivă a bulversat relaţiile monetar-financiare. Piaţa comună şi unificarea monetară sunt menite să contribuie la întărirea rolului Europei în industria finanţelor şi în economia mondială. Prin înfiinţarea unei pieţe comune şi a unei entităţi economice şi financiare, Comunitatea are misiunea să promoveze o dezvoltare echilibrată a activităţilor financiare în ansamblul comunităţii, o creştere durabilă şi neinflaţionistă, respectând mediul înconjurător, un înalt grad de convergenţă a performanţelor economice şi financiare.

Bibliografie 1. Charles, Zorfbibe, Constituţia europeană, Ed. Trei, Bucureşti, 1998,p 5-20 2. Corina, Leicu, Drept comunitar Ed. Lumina Lex, Bucureşti, 1992, p.5 3. Petru-Alexandru , Petrişor, Uniunea monetară europeană în perspectiva globalizării , Referat Master, 2004, Sibiu 4. Brunette, Sorin, Relaţii monetar financiare internaţionale, Ed. Alma Mater, 2004, Sibiu 5. Karen, E. Smith, Politica externă a Uniunii Europene, Ed. Trei, 2004, Sibiu

4 5

Petru-Alexandru , Petrişor, Uniunea monetară europeană în perspectiva globalizării , Referat Master, 2004, Sibiu Charles, Zorfbibe, op. cit.

4

Curs sinteză nr. 2 Structura unei operaţii financiare Prin operaţie financiară se înţelege un ansamblu de acţiuni îndreptate spre realizarea unui scop. Prin urmare, atâta timp cât nu există scop nu există nici operaţie financiară. Într-o operaţie există un scop unic. Mulţimea acelor persoane sau automate, care acţionează într-o operaţie pentru îndeplinirea scopului propus se numeşte parte operativă. Această distincţie este necesară deoarece există, de regulă, persoane sau forţe naturale care nu participă la realizarea scopului. De exemplu, la realizarea unei investiţii, realizatorul investiţiei şi partea din societate la care se adresează investiţia formează partea operativă, mai există şi adversari activi care se opun realizării scopului. Partea operativă este un conglomerat ai cărei membri au roluri foarte diferite în realizarea operaţiei. În partea operativă se pot include şi participanţii care determină scopul operaţiei. Pentru a-şi realiza, partea operativă are la dispoziţie anumite resurse de mijloace active, prin folosirea şi, de regulă, prin cheltuirea cărora îşi poate atinge ţelul. În operaţia de îndeplinire a planului de producţie mijloacele active sunt: parcul de maşini– unelte, rezervele de maşini–unelte, rezervele de materii prime, forţa de muncă, mijloacele financiare, ş.a. Într-o operaţie care constă în efectuarea unor calcule financiare, mijloacele active sunt oamenii şi timpul necesitat de calculatoare. Modul de acţiune, adică modul de utilizare a mijloacelor active, se numeşte strategia părţii operative. Un exemplu îl constituie algoritmul utilizat în operaţia de calcul financiar menţionată mai sus. Rezultatele operaţiei depind, atunci când cantitatea de mijloace active este fixată, de strategia aleasă, deci de factorii care se află la dispoziţia părţii operative (factori controlabili). În afară de aceştia, rezultatele pot depinde şi de factori care nu sunt controlaţi de partea operativă. Aceşti factori formează condiţiile efectuării operaţiei. Astfel, în agricultură condiţiile meteorologice formează un factor necontrolabil. Ca în orice alt proces, desfăşurarea operaţiei poate fi descrisă cu ajutorul unui punct din spaţiul fazelor. Notăm cu n dimensiunea spaţiului şi cu ξi coordonatele punctului care descrie sistemul. Vom presupune că funcţiile ξi (t) descriu complet desfăşurarea operaţiei. În general, cu cât n este mai mare, cu atât operaţia este descrisă mai precis, însă şi studiul modelului devine mai complicat. Studiul de realizare a scopului propus se stabileşte cu ajutorul unei funcţionale: 5

[

W=F ξ 1 (t ), ξ ( (t ),....., ξ n (t )

]

numită criteriu de eficienţă sau funcţie obiectiv. Scopul operaţiei se reflectă în modelul matematic prin tendinţa de a mări, de exemplu, valoarea coeficientului de eficienţă. Mijloacele active sunt caracterizate prin cantitatea lor. Dacă ele sunt de diferite categorii (de exemplu banii, forţa de muncă, arme de diferite tipuri, maşini-unelte), atunci cantitatea de mijloace active formează un vector: A=(a1,a2,....an) şi faptul că aceste mijloace sunt limitate se exprimă prin: ai ≤

aio , i = 1, n

Posibilităţile de acţiune ale părţii operative pot fi reprezentate prin mărimile

xj

de care

depind coordonatele ξi ale sistemului. Aceste mărimi pot fi alese de partea operativă în mod arbitrar, dintr-o mulţime. În general, alegerea se modifică cu timpul sau pe măsură ce se obţin noi informaţii cu privire la desfăşurarea operaţiei, adică cu privire la poziţia pe care o are în spaţiul fazelor punctul care descrie mersul operaţiei. Mărimile xj pot fi interpretate ca o diviziune a mijloacelor active în grupe utilizate în locuri diferite şi la momente diferite. Strategia părţii operative este o regulă de comportare cu informaţie întârziată , adică un operator de forma: 1, n

xj= (t, ξ1(τ1),...., ξn(τn)) , τi ≤ t-ζi , i= 1, n

ζi reprezintă o întârziere inevitabilă datorită timpului necesar pentru obţinerea şi prelucrarea

informaţiei ca şi pentru luarea deciziei cu privire la valoarea pe care trebuie să o ia xi la momentul t . Informaţiile avute la dispoziţie delimitează o clasă de strategii admisibile şi mulţimea lor formează spaţiul strategiilor. Dacă, de exemplu, sunt cunoscute numai acelea ξi (τ) cu indice par, atunci spaţiul strategiilor conţine operatori de forma: Xj [(t, ξ2(τi),..., ξ2(τi)] , i,j=1, n 6

Dacă nu se pot obţine informaţii decât despre : n

∑

ξi(τ) ζ=(τ1,τ2,τn)

i =1

ζi ≤ t-δi , i=1, n

atunci spaţiul strategiilor conţine operatori de forma: n

1, p

1, p

j[(t, ∑ ξ2(ζi))], j= 1,p i =1

, p≤ n

La rândul lor ξ2(τi) depind de xj(τ), de vectorul A şi de factori necontrolabili de partea operativă , Ys (δ) care reflectă modificarea în timp a condiţiilor operaţiei. Factorii necontrolabili pot fi împărţiţi astfel: 1. Factori constanţi; 2. Factori aleatorii , deci procese aleatoare având repartiţii cunoscute; 3. factorii nedeterminaţi pentru care se cunoaşte domeniul în care se pot afla funcţiile lor de repartiţie. Factorii nedeterminaţi se divid în grupe: a) factori nedeterminaţi care apar ca urmare a prezenţei unor oameni sau calculatoare care acţionează independent de partea operativă şi care urmăresc un ţel diferit de al ei. Aceşti factori sunt consideraţi strategii ale adversarului, ele sunt determinate de mijloacele active ale adversarului şi de spaţiul strategiilor sale. b) Factorii nedeterminaţi care apar ca urmare a cunoaşterii insuficiente a anumitor procese sau mărimi. O nedeterminare de acest gen se numeşte naturală; c) Factorii nedeterminaţi oglindind o cunoaştere insuficientă a scopului operaţiei sau a criteriului de eficienţă. Exemple de factori nedeterminaţi din prima categorie se găsesc în investiţii financiare limitate unde neprevăzutul care se datorează intervenţiei adversarului influenţează desfăşurarea operaţiei. Un exemplu din a doua categorie îl constituie nedeterminarea generată de o funcţie de repartiţie pentru care se cunosc doar primele două momente: valoarea medie şi dispersia. Un exemplu de nedeterminare de tipul al treilea este incertitudinea în alegerea unui criteriu de estimare a activităţii unei întreprinderi având o producţie extrem de variată. Într-un model discret desfăşurarea operaţiei este complet caracterizată de valorile pe care le au coordonatele sistemului la momente discrete de timp, notate cu ξil, l fiind momentul 7

respectiv. Deciziile xj se iau discret şi vom utiliza notaţia xjl . factorii necontrolabili sunt ysl şi deci ξil sunt funcţii de elementele: xjl1, ysl1, A, l1 ≤ l strategiile se reprezintă prin sistemul de funcţii xjl(ξilj), li≤l- l

i 0

i

l 0 sunt întârzierile Pentru a simplifica scrierea vom nota: X l = (x jl ), Yl ( y sl ) ~

Vectorii X l

reprezintă valorile strategiilor la momentul l şi vectorul: −−

−−

1 X = { X l }, l∈N

valorile pe care le pot lua strategiile în intervalul de timp considerat şi strategia se va nota cu ~ X . În particular, dacă nu există informaţie particulară ξi, strategia se reduce la un sistem de −− −− valori X fixate, deci X = X~ . Datorită acestui lucru X se va numi adesea strategie. Totuşi, noţiunea de strategie este mai vastă când există o informaţie suplimentară ξ. Facem observaţiile: 1 Factorii necontrolabili constanţi se omit, deoarece sunt invariabili în momentul dat; 2 Se va utiliza în locul unui singur vector Yl , notaţii diferite pentru diferite tipuri de factori , de exemplu: I

Yl ,

Yl

II

, Yl

III

unde:

Yl

I

Yl

II

Yl

III

reprezintă factori necontrolabili aleatori reprezintă factori nedeterminaţi naturali reprezintă factori nedeterminaţi datorită inamicului

8

Vectorul mijloacelor active ale inamicului se notează cu B. 3) Deoarece ξil sunt funcţii de factori necontrolabili şi controlabili, rezultă că criteriul de eficienţă W depinde de aceşti factori prin intermediul lui ζ şi eliminând această dependenţă obţinem: W=

I,

F (X l, X

l1

X l 2 II, X l 3 III,Ao,Bo)

(1)

Din (1) deducem proprietatea: partea operativă caută să optimizeze valoarea lui W, vectorii:

X , Y I, Y II∈ Ω aparţin mulţimii date Ω şi pentru Yl

I

este cunoscută funcţia de repartiţie şi sunt cunoscute

familiile de strategie admisibile, adică o familie de funcţii vectoriale: X l ( X l , Y l1 I, Y l 2 II, Y l 3 III) 1

l1
X = X l ( X l , Y l1 I, Y l 2 II, Y l 3 III) 1

atunci când se cunoaşte mulţimea factorilor necontrolabili, se ştie şi X l , deci W. Din acest motiv (1) se asociază cu: ~~

W=F( X , Y ) unde Y are expresia: Y ={ Y l I, Y l II, Y l III ,l∈N}

Precizăm că pentru desfăşurarea operaţiei, cunoaşterea valorilor pe care le-a luat ζ până la momentul l este echivalentă cu cunoaşterea tuturor X şi Y anterior lui l, acest lucru este necesar în ce priveşte formularea modelului în cazul operaţiilor cu parte adversă. Exemple: 1. Analiza proceselor tehnologice

Fie n procese tehnologice cu care se realizează unul sau mai multe produse. Fie xj cantitatea de produse care urmează să fie planificată a se realiza cu ajutorul celui de-al j-lea proces tehnologic. În cadrul acestui proces, pentru obţinerea unei cantităţi unitare de produs este 9

necesară o cantitate cij de materie primă de tip i. Cantitatea de materie primă de tip i aflată la dispoziţia organizaţiei de planificare (partea operativă) este limitată de mărimea a io . Vor fi satisfăcute restricţiile: n

∑c i =1

ij

x j ≤ aio , i = 1, m

(2)

Drept criteriu de eficienţă se ia valoarea totală a producţiei : n

W= ∑ d i xi i =1

unde di reprezintă preţul unitar din producţia procesului i. Problema planificatorilor constă în maximizarea lui W. În acest model nu există: 1. factori aleatori; 2. factori nedeterminaţi. Dacă dj nu sunt cunoscuţi cu precizie, atunci există factori de tipul 1) şi 2). Mijloacele active sunt reprezentate de materia primă, iar strategiile constau în alegerea mărimilor xj încât: ~~

X = X ={xj} Acest model este un exemplu tipic de problemă de programare liniară. 2) Producţia la export

Fie n produse, numerotate cu indicele i, care pot fi vândute pe piaţa externă cu preţul unitar pi . Există o cantitate limitată din produsul i, anume Ki , care poate fi absorbită de piaţa externă în decursul unui an şi o sumă de bani C pe care cumpărătorii externi o pot folosi în decursul unui an pentru obţinerea tuturor acestor tipuri de produse. Mai departe, să presupunem că sectorul –producţia

X , ale cărui componente reprezintă

numărul de unităţi din produsul i fabricate într-un an , necesită gj ( X ) unităţi din factorul de producţie j. În total există m factori de producţie (bani, forţă de muncă, utilaje,…). Indicele j=1 se referă la bani. Fie V = (V1, V2,… Vn) vectorul resurselor de factori de producţie disponibili în decursul unui an. Să presupunem, în sfârşit, că există un concurent care produce anual yi unităţi din produsul i cu preţul de vânzare ri şi admitem că ri ≠pi .

10

Scopul operaţiei constă în maximizarea câştigului, adică a mărimii : min

 n    ∑ pi min xi ; K − y i ; max ∑ ri y i ;0  − g1 ( x1 , x 2 ..., x n )  i =1  

[

]

  p −r y1 = min  K i ; max i i  ri − pi 

  ,0  

gj (x1,x2,…xn) ≤Vj,j= 1, m În această problemă pi,ri sunt daţi . Strategiile sunt vectorii: ={ x1,x2,…xn } şi drept factori nedeterminaţi se pot lua cantităţile yi alese de concurent. În acest caz posibilităţile concurentului trebuie limitate prin introducerea funcţiilor gIj , vIIj analoage cu gj şi vj . Strategii ale părţii operative şi concurentului ar putea devenii vectorii (pi),(ri). Ultima situaţie este profitabilă când scopul concurentului este de a micşora venitul părţii operative. X

Bibliografie 1) R. Trandafir, A. Baciu, I. Duda, R. Ioan, Matematici pentru economişti , vol. II , Ed. Fundaţia România de Mâine, Bucureşti , 2001. 2) A. Baciu, Matematici economice şi financiare, Ed. Fundaţia România de Mâine, Bucureşti , 2003. 3) I. Purcaru , Matematici financiare şi decizii de afaceri Ed. Economică, Bucureşti, 1996

11

Curs sinteză nr. 3 Stabilitate Stabilitatea şi echilibrul reprezintă concepte cu conotaţie intuitivă şi se definesc pentru fiecare caz în parte . Considerăm un sistem a cărui comportare este reprezentată de ecuaţia : y (t ) = ae αt + be βt + c unde y este o funcţie scalară

(1)

şi ∝,β∈R. Vom cerceta două modele economice având

traiectoria (1). a) Model al dezechilibrului static. Putem interpreta pe c ca o valoare de echilibru pentru y(t) unde a,b sunt constante care stabilesc relaţia dintre traiectoria dinamică şi condiţiile iniţiale y(0) şi y1(0) . Desigur avem: lim

t→∞

y(t)= c ⇔ λ,β∈R-

Putem să spunem că sistemul este stabil dacă λ<0,β<0 şi nestabil dacă λ>0,β>0. b. Un model de creştere. Putem da modelului şi interpretarea de model cu multiplicare accelerare. Presupunem că β>0, deci modelul este instabil. Presupunem că beβt este o traiectorie de creştere în echilibru. Vom defini cantităţile:

g(t)=

g(t)=

1 1 1 y y (t ) (rata de creştere) y (t )

aαe dt + bβe βt = y (t ) + be βt ( abaterea de la echilibru) αt βt ae + be + c

Observăm că avem: h(t) =aeαt+c α-β<0 ⇒limg(t)= β t→∞ β>0⇐ α>0 şi în aceste condiţii rata de echilibru a creşterii este stabilă. Pe de altă parte, am putea spune că sistemul este instabil căci, abaterea de la traiectoria de echilibru a creşterii [h(t)] creşte cu t dacă α>0. Din nou remarcăm că devierea proporţională de la traiectoria de echilibru : 12

h(t ) > 0<α < β be βt converge la 0. Prin urmare avem:

lim

t→∞

h(t)=c

şi sistemul este stabil? Prin urmare, acelaşi model matematic poate fi interpretat în funcţie de aspectul material esenţial, pe care modelul doreşte să-l reprezinte. Remarcăm că definiţia stabilităţii depinde de definiţia echilibrului. Presupunem existenţa unei traiectorii yx(t), care este privită ca o traiectorie de echilibru şi y∈Rn . Presupunem , de asemenea, că există şi alte traiectorii y(t) legate funcţional de yx(t). Atunci spunem că sistemul este stabil dacă fiecare traiectorie y(t) ajunge şi rămâne, în cele din urmă, într-o regiune mărginită care conţine pe yx(t) dacă t creşte. Spunem că el este asimptotic stabil dacă regiunea precedentă este o vecinătate a lui yx(t). Vom spune că y(t) este stabil pentru α<0, deoarece: lim t →τ

y (t ) = y x (τ ) + c

şi este asimptotic stabil dacă α>0 & c=0. Pe de altă parte, putem transforma variabilele astfel:

z(t) =

y (t ) x , y (t ) = be βt , z x (t ) = 1 x y (t ) lim t →∞

z (t ) = z x (t )

şi sistemul transformat este asimptotic –stabil pentru c∈R şi 0 < α < β . Deci utilizarea mecanică

a definiţiilor stabilităţii nu este posibilă şi trebuie să analizăm fiecare situaţie în parte. În multe probleme economice, echilibrul poate fi o mulţime şi nu un punct. Cazul acesta este caracteristic echilibrului de piaţă când se studiază preţurile de echilibru. În absenţa unor iluzii despre bani, este de aşteptat ca, dacă preţurile px echilibrează piaţa, preţurile λ px să fie preţuri de echilibru, pentru orice λ>0. Există două abordări ale analizei stabilităţii: 1. soluţia explicită 2. metoda lui Liapunov Discutându-le pe amândouă, vom presupune: 13

a) sistemul este exprimat sub forma unor ecuaţii diferenţiale sau cu diferenţe finite; b) variabilele au fost astfel alese încât echilibrul este yx(t) =0, adică sistemul este considerat în forma în care variabilele reprezintă abateri de la echilibru. Dacă ecuaţiile pot fi rezolvate , obţinem funcţia y(t) a cărei comportare se studiază direct. Dacă ecuaţiile sistemului sunt liniare şi cu coeficienţi constanţi, deci: y(t)= ∑ k j e

λ jtt

v j (ecuaţia diferenţială)

j

y(t)= ∑ λ j (1 + λ j ) t v j (ecuaţia cu diferenţe) j

unde λj sunt rădăcini caracteristice tipice ale unei matrici (sau ale unui polinom pentru ecuaţia scalară de ordinul m). Sistemul este asimptotic stabil dacă şi numai dacă (⇔): Re(λj)<0 (∀) j∈N” (ecuaţia diferenţială)  1+ λj <1(∀) j∈N” (ecuaţia cu diferenţe) Din punct de vedere practic, dacă nu cunoaştem valorile numerice ale parametrilor, este greu de găsit criteriul potrivit care garantează că rădăcinile satisfac condiţiile de stabilitate. Când se dau valorile numerice, există o mare varietate de tehnici, desprinse din energetică, care ne permit să determinăm dacă soluţia este stabilă sau nu. În modelele economice sau financiare nu posedăm astfel de informaţii şi ne bazăm pe proprietatea unei matrici de a avea o diagonală dominantă. Dacă sistemul este reprezentat de ecuaţii liniare cu coeficienţi variabili, nu putem folosi tehnica soluţiei directe . În acest caz utilizăm anumite tipuri de ecuaţii. De obicei, în analiza economico-financiară, singura metodă care permite o soluţie directă, aplicabilă unui sistem liniar cu coeficienţi variabili, constă în aducerea sistemului la un sistem cu coeficienţi aproximativ constanţi şi prin calcul găsim o aproximaţie liniară în jurul echilibrului. Un instrument mai util este metoda lui Liapunov , care constă în aceea că nu necesită soluţii directe ale ecuaţiilor diferenţiale. Metoda lui Liapunov constă în construirea funcţiei V:D⊂R→R încât 1. V∈C1R(D) 2. V(y)≥0 (∀) y∈D 3. V(y)=0⇔y=0 Observăm că funcţia V are proprietăţile normei şi în plus avem:

14

dV ∂V d yi =∑ dt i ∂ yi dt

care sub formă vectorială devine: .

V = ΛV * Dy căci DV se confundă cu un produs matricial. Determinăm V prin proprietăţile (1)-(4) completate cu proprietatea .

(4) V <0 O funcţie cu proprietăţile 1-4 se numeşte funcţie Liapunov . Dacă scriem : Dy(t)= F[y(t)] Atunci obţinem condiţia: .

V = ΛV * yF ( y ) .

şi V se exprimă prin y fără să intervină ca o ecuaţie diferenţială . De de ce căutăm o funcţie Liapunov? Răspunsul este dat de teorema: TEOREMĂ. Dacă pentru un sistem există o funcţie Liapunov, sitemul este stabil. Dacă este verificată condiţia (4) , atunci sistemul este asimptotic stabil. O aplicaţie a celor de mai sus se referă la stabilitatea politicii economice descentralizate. Considerăm o economie, cu n variabile economice care constituie principala preocupare a politicii economico-financiare (ocuparea forţei de muncă, rata creşterii preţurilor, balanţa de plăţi,etc.) pe care le numim variabile obiectiv. Presupunem că există un nivel dorit, sau o valoare obiectiv, pentru fiecare variabilă. Guvernul are la dispoziţia sa instrumente ale politicii economice(bugetul, cantitatea de bani, cursul de schimb, etc.). Nivelul fiecărei variabile este o funcţie de diferite instrumente . Notăm vectorul variabilelor obiectiv cu y şi vectorul instrumentelor politicii economice cu x. Presupunem că ambii sunt măsuraţi la valorile de echilibru (valorile obiectiv pentru variabile, ale căror nivel dă valorile obiectiv ale instrumentelor). Există atunci o funcţie f cu valori vectoriale încât y=F(x). Simplificăm analiza presupunând că m=n şi că F este liniară sau a fost local liniarizată în jurul valorilor obiectiv. Prin urmare sistemul se scrie astfel:

y=Ax, A∈Mnxn( R) Să presupunem că există un input suplimentar faţă de specificaţiile formale, astfel că sistemul trebuie stabilizat în raport cu echilibrul y=0 .

15

Într-un sistem complet centralizat relaţia dintre instrumente şi variabile este cunoscută, deci nu se pune problema stabilizării. Cu toate acestea, ne preocupă următorul tip de politică centralizată: a) Există m controlori (banca centrală, ministerul finanţelor, etc) semiautonomi, fiecare dintre ei controlând un anumit segment(instrument); b) Fiecare controlor foloseşte instrumentul ca răspuns la modificările produse pentru o singură variabilă obiectiv pe care el are obligaţia să o supravegheze; c) Autoritatea centrală determină iniţial: I. Variabilele de care se ocupă fiecare controlor; II. Direcţia în care controlorul urmează să folosească instrumentul pentru o modificare a variabilei pe care o supraveghează; d) se presupune că folosirea instrumentelor de către controlori este promptă şi se face la un nivel proporţional cu abaterea variabilei obiectiv de la valoarea obiectiv. Alegând corespunzător o unitate de măsură, comportamentul controlorului i este descris de relaţia : Dxi=±yi unde semnul şi j sunt fixate centralizat. Întrucât yj =Ajx , unde Aj este linia de indice j a matricei A, comportamentul combinat al controlorilor este descris astfel: dx=A**x, unde A** constă din permutarea liniilor (nu şi a coloanelor) matricei A şi unde au fost schimbate unele semne ale liniilor. Modelul politicii descentralizate este stabil ⇔A** este stabilă. Există n! permutări posibile ale liniilor matricei. Este oare vreuna dintre matricele obţinute, fie şi după schimbarea unor semne, stabilă? În cazul în care este, cum o putem găsi? Dacă există mai multe matrici stabile, care este cea mai bună? Pentru a răspunde la aceste întrebări, vom folosi caracterizarea: TEOREMA [1] Dacă matricea A nu are nici o linie sau coloană ce conţine un element absolut dominant, adică un element a cărui valoare absolută depăşeşte suma valorilor absolute ale celorlalte elemente ale liniei sau coloanei, atunci A** nu poate avea o diagonală dominantă. Această teoremă este condiţie necesară ca A** să fie stabilă. Exemple: 1. Să se studieze stabilitatea soluţiei formale pentru sistemul:

16

dx = − xy 4 dt dy = x4 y dt Fie V:R2→R, V(α,y)=x4+y4. Avem proprietăţile: a) V(x,y)≥0 & v(0,0)=0

b)

∂v dv ∂v = f 2 = 4 x 4 (− xy 4 ) + 4 y 3 ( x 4 y ) = 4 x 4 y 4 + 4 x 4 y 4 = 0 f 1+ ∂y dt ∂x

şi deci soluţia banală este stabilă. 2. Studiaţi stabilitatea soluţiei formale a sistemului:

dx = − y − x3 dt dy = x − y3 dt fie V(x,y)=x2+y2. Avem: a) V(x,y)=x2+y2≥0, v(0,0)=0 b)

dv ∂v ∂v = f1+ f 2 = 2 x(− y − x 2 ) + 2 y ( x y 3 ) = −42( x 4 y 4 ) ≤ 0 dt ∂x ∂y

c) Funcţia V are o limită superioară infinit mică, deci soluţia banală este asimptotic stabilă.

Bibliografie 1. A. Baciu, Matematici economice şi financiare, Ed. Fundaţia România de Mâine, Bucureşti , 2003. 2. I. Purcaru , Matematici financiare şi decizii de afaceri Ed. Economică, Bucureşti, 1996

17

Curs de sinteză nr. 4 Calcule financiare 1.Se numeşte dobândă corespunzătoare plasării sumei S0 de către partenerul P1 către partenerul P2 pe durata de timp t în anumite condiţii, o sumă direct proporţională cu S0 şi t. Dobânda unitară anuală, notată cu i, este suma de bani obţinută de o unitate monetară pe un an. Dobânda obţinută pe urma plasării sumei de 100 de unităţi monetare (u.m.) pe un an se numeşte procent, notat cu p, deci avem: p 100 Dobânda pentru S0 pe perioada t se numeşte dobândă simplă şi avem:

p=100i, i=

D= S0it=

S0 pt 100

S0 pt k 100k Dacă tk este un număr de zile, atunci k=360, dacă tk este un număr de luni, atunci k=12. Dobânzile vor fi: Dacă anul este împărţit în k părţi şi tk este numărul de părţi, atunci D= S0itk=

1. D=

S 0 it zile 360

=

S 0 ptzile 36000

respectiv:

S0 it S 0 ptluni = 12 1200 Valoarea finală de cel care a plasat suma S0 pe perioada t cu dobânda i este : St= S0+D= S0+S0it= S0(1+it) În urma plasării sumelor S1,S2,…, Sn pe durata t1,t2,…, tn cu un procent p, ne propunem să înlocuim aceste sume şi durate cu o sumă unică S şi durata t, încât dobânzile aduse de cele n sume să fie egale cu dobânda adusă de S pe durata t cu acelaşi procent, obţinem: 2. D=

S ptn Spt S1 pt1 S 2 pt 2 + +,....., n = 100 100 100 ± 100 atunci are loc egalitatea: S1t1 + S2t2+,…,+ Sntn= St de unde obţinem: t=

S1t1 + S2t2 +, …,+ Sntn S

18

Acest timp se numeşte scadenţă comună. Dacă S=S1+S2+,….,+Sn, atunci: t=

S1t1 + S2t2+, …,+ Sntn S1 + S2+, ….,+Sn

şi t se numeşte scadenţa medie. Se poate determina şi un procent mediu de depunere a sumelor S1+S2+,….,+Sn plasate pe duratele t1,t2,…, tn cu procentele p1,p2,…, pn care va fi procentul comun de plasare a lui S1+S2+,….,+Sn pe duratele t1,t2,…, tn. Deci,

S S pt S1 S S pt p1t1 + 2 p 2 t 2 + ...... + n p n t n = 1 1 1 + ..... + n n n 100 100 100 100 100 de unde avem:

p=

S1 p1t1 + ... + Sn pn tn S1t1 + ..... + Sn tn

Se spune că o sumă S0 este plasată în regim de dobândă capitalizată dacă, la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade se adaugă la S0 şi, pentru perioada următoare, ea produce dobândă. Vom nota: S0= suma iniţială plasată i= dobânda unitară pe o perioadă etalon t= numărul de perioade St = suma finală după t perioade Se va întocmi tabelul: Anii

Suma plasată la începutul anului

Dobânda anului

Suma finală la sfârşitul anului

1

S0

S0i

S0(1+i)

2

S1= S0(1+i)

S0i(1+i)

S0(1+i)2

St-1i= S0i(1+i)t-1

Suma 1+i =µ se numeşte factor de fructificare . Obţinem St= S0(1+i)t D= St- S0= S0 [(1+i)t-1] 19

…

St= S0(1+i)t-1

…

…

…

n

S0(1+i)t

Din această relaţie se obţine suma iniţială sau valoarea actuală S0 în funcţie de St ca fiind: S0= St(1+i)-t=StVt V=

1 1+ i

h , atunci: k St= S0(1+i)n(1+i) h:k

V se numeşte factor de actualizare. Dacă t=n+

Această egalitate reprezintă formula de calcul a sumei finale în regim de dobândă capitalizată pentru suma S0 şi se numeşte soluţie comercială. Dacă pentru t= n+

h , se calculează suma finalădupă n ani cu formula: k

St =S0 [(1+i)t-1] Se obţine: Sn =S0(1+i)n. În acest mod obţinem: Sn i

şi suma finală dacă t= n+ St= S0(1+i)n+ S0(1+i)ni

h h = S0 [(1+i)t-1] i k k

h este: k

h k

care se scrie sub forma h ) k Această egalitate defineşte soluţia raţională.

St= S0(1+i)n(1+ i

Noţiunea de plată este o operaţie financiară între doi parteneri P1 şi P2, individual sau grupaţi , prin care unul dintre ei plasează celuilalt o sumă de bani în anumite condiţii cu un anumit scop. Dacă plata se face în intervale de timp, atunci avem plăţi eşalonate. Suma de bani care se plăteşte de fiecare dată, numită rată sau rentă pentru cel ce beneficiază de ea , poate fi constantă dacă se plăteşte de fiecare dată aceiaşi sumă, sau nu. Momentul efectuării plăţii poate fi posticipat, dacă plata se face la sfârşitul perioadei, sau anticipat, dacă plata se face la începutul perioadei.

20

Numărul de plăţi eşalonate este stabilit între parteneri şi poate fi temporar, perpetuu (nelimitat) sau viager (pe viaţă). Dacă perioada între două plăţi este anul, rata se numeşte anuitate, dacă este semestrul se numeşte semestrialitate şi dacă este luna se numeşte mensualitate. Între parteneri se mai stabileşte şi procentul cu care se operează, acelaşi sau variat de al o perioadă la alta. Scopul operaţiunii poate fi de fructificare prin păstrarea sau constituire a unui capital, sau prin împrumut (creditare), de fructificare prin diferite investiţii, de amortizare sau rambursare a unui împrumut. În finanţe se fac plăţi eşalonate în diferite condiţii prestabilite, existând 760 de situaţii. Vom discuta despre: 1. Anuităţi constante posticipate. Plata se face în suma constantă T, anual, la sfârşit de an, în n ani, cu dobânda egală cu i în regim de dobândă compusă. La sfârşitul anului n suma finală a şirului de amuităţi constante este:

(1 + i ) n − 1 S n =T+T(1+i)+….+ T(1+i) =T i n-1

Valoarea actuală, adică suma necesară şi suficientă la momentul iniţial pentru a plăti la fiecare perioadă (an), rata constantă este:

1 n 1− ( ) 1 1 1 1 1 + i +T +….+ T =T An= T 1 i +1 i +1 i + 12 i + 1n 1− 1+ i T 1+ i   1  =  1 −  1 + i i   1 + i 

n

 T =  i

  1 n    1 −    1 + i  

2. Anuităţi constante anticipate Plata eşalonată se face în sumă constantă t, anual, la începutul fiecărui an, chiar din momentul zero. Cele două sume, finală şi actuală calculate al momentul n, adică la început de an după ultima rentă sunt: S n =T(i+1)n+T(1+i)n-1+….+ T(1+i)=T

21

1 − (1 + i ) n i

An= T +

T T +….+ =T i +1 (1 + i ) n −1

=T

1 (i + 1) n −1 1 1− 1+ i

1−

 1+ i  1 1 − n −1  i  (1 + i) 

Operaţiunea financiară prin care un partener P1 individual sau grupat, numit creditor, plasează o sumă de bani, pe o perioadă de timp, în anumite condiţii, unui alt partener P2 individual sau grupat, numit debitor se numeşte împrumut. Rambursarea sau amortizarea împrumutului este operaţia de restituire de către debitor a împrumutului către creditor. Sumele care se vor rambursa anual cu scopul de a amortiza treptat suma împrumutată se vor numi amortismente, iar sumele plătite anual eşalonate se vor numi anuităţi sau rente. Considerăm: V0: suma împrumutată Qj: amortismentul plătibil în anul j n: durata în ani a rambursării Tj, T : anuitatea plătită în anul j dj: dobânda anului j i: dobânda unitară a împrumutului Cu ajutorul acestor date se întocmeşte un tablou de amortizare a împrumutului în n ani . Acest tablou este: Ani

Amortismentul

Dobânda

Anuitate

0

-

-

-

Suma rămasă de plată -

1

Q1

d1= V0i

T1= Q1+ d1

V1= V0- Q1

2

Q2

d2 =V1i

T2= Q2+ d2

V2= V1- Q2

1.

V0= Q1+ Q2+…+ Qn 22

…

Tn= Qn+ dn

Din definiţia amortismentelor avem:

Vp= Vp-1- Qp …

…

dn=Vn-1i

…

Tp= Qp+ dp

…

…

Qn

…

dp= Vp-1i

Qp

n

…

…

…

↑

Vn= Vn-1- Qn

2.

Vn= Vn-1- Qn=0 ⇒ Vn-1= Qn

3.

Tn= Qn+ dn= Qn +iVn-1 =Qn(1+i)

4.

Tp+1-Tp= Qp+1+iVpi-Qp- iVp-1i

= Qp+1 Qp+i(Vp- Vp-1)= = Qp+1- Qp-i Qp= Qp+1- Qp(1+i) Rambursare prin anuităţi (rate) constante participat. În acest caz avem: T1= T2=….=Tn=T Qn-1-Qp(1+i)=0 ⇒ Qp+1= Qp(1+i) Qj+1= Qj(1+i), j= 1, n Pe de altă parte avem: V0= Q1+ Q2+…+ Qn= Q1+ Q1(1+i)+…+ Q1(1+i)n-1 şi deci obţinem expresia : V0= Q1*

1 + i) n − 1 i

care conduce la egalitatea: Q1=

iV0 (1 + i ) n − 1

Exemple: 1) Să se determine dobânda simplă şi dobânda capitalizată produsă de suma de 20000 um. pe 2 ani cu un procent de 4%. S o pt 20000 * 4 * 2 = = 1600 ( dobânda simplă) 100 100 Suma finală în regim de dobândă capitalizată este

Ds=

St= So(i+1)t= 20000(1+0,4)2=21632 Dobânda capitalizată va fi: Dc= St- So= 21632-20000=1632 um. 2.să se calculeze suma finală a sumei de 45000 um. peste 4 ani şi 6 luni cu 4% calculată în regim de dobândă capitalizată şi cu dobândă simplă. Soluţia comercială cu dobândă capitalizată este :

23

S4+

6 12

= S0(1+i)n(1+ i)h:k)=45000*1,044*1,041/2=53686,20 um

Soluţia raţională este: S4+

6 12

= S0(1+i)n(1+ i)h:k=45000*1,044*1,02=53696,50 um.

Dobânda simplă pe 4 ani şi 6 luni este: Ds=

S o pt 45000 * 4 * 54 = = 8100 1200 1200

Dobânda finală este: S1=S0+Ds=45000+8100=53100 um. 3. Timp de 5 ani, la finele anului, se plasează suma S=100.000 um. în regim de dobândă compusă cu procent anual p=6%. Care este valoarea finală şi actuală a acestei operaţiuni financiare. Avem egalităţile : Sn= T An=T

(1 + i) n - 1 1,06 4 − 1 = 100000 = 563709,16um. i 0,06

1 − 1 : (1 + i ) n 1 − 1 : 1,06 5 = 100000 = 421666,6 i 0,06

4. Să se determine tabloul de amortizare al unui împrumut de 104um. care se rambursează în 4 ani prin rate constante participate cu procent de 5% Vom face notaţiile V0=104, n=4, p=5%, i=0,05 Avem Q1=

iV0 =2320,12 (1 + i ) n − 1

Q2= Q1(1+i)=2436,12 ; Q3= Q2(1+i)=2557,93 Q4= Q3(1+i)=2685,83 Dobânzile şi sumele rămase sunt: V1= V0-Q1=7679,88 d1= iV0=500; d2= iV1=383,99; V2= V1-Q2=5243,88 d3= iV2=262,20; V3= V2-Q3=2685,83 d4= iV3=134,29; V4= 0 anuităţile constante vor fi: T = Q1+d1=2820,12 =Q2+d2=2820,11 =Q3+d3=2820,13 =Q4+d4=2820,22 24

Tabloul de amortizare este: Ani

Amortisment

Dobândă

Anuitate

Suma rămasă de plată

1

2320,12

500

2820,12

7679,88

2

2436,12

383,99

2820,12

5243,88

3

2557,93

262,20

2820,13

2685,83

4

2685,83

134,29

2820,22

0

Avem: Q1+Q2+Q3+Q4= 10.000 um. d1+d2+d3+d4=1280,48 Creditorul primeşte după 4 ani suma 11280,48 um.

Bibliografie 1. A. Baciu, Matematici economice şi financiare, Ed. Fundaţia România de Mâine, Bucureşti , 2003. 2. I. Purcaru , Matematici financiare şi decizii de afaceri Ed. Economică, Bucureşti, 1996

25