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Energía Específica y momenta

Mecánica de Fluidos II

CAPITULO V ENERGIA ESPECÍFICA Y MOMENTA 5.1 ENERGIA ESPECÍFICA Mediante la energía específica se pueden resolver los más complejos problemas de transiciones cortas en las que los efectos de rozamiento son despreciables.

La energía específica en una sección determinada de un canal es igual a la suma del tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de referencia arbitrariamente escogido. 𝑣2 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 = 𝑦 + +𝑧 2𝑔 FORMULAS Y UNIDADES A UTILIZAR: Si consideramos α = 1, se tiene:

Para comprender de una mejor forma la ecuación de energía a continuación se presenta su interpretación, se aclara que es para un canal de pendiente baja

Figura. 15. Interpretación grafica de la Energía Especifica.

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Pero, de la ecuación de continuidad, para un canal de cualquier forma, se

tiene Finalmente tendremos:

Suponiendo que Q es constante y A es función del tirante, la energía especifica es función únicamente del tirante.

A continuación se muestra la figura 1 6 que muestra un ejemplo de la curva de energía específica 16.

Figura. 16. Curva de energía especifica.

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5.2 ENERGIA ESPECÍFICA A GASTO CONSTANTE

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2. INTRODUCCION AL NUMERO DE FROUDE

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En el caso de que:   

Sea Sea Sea

el régimen del flujo será supercrítico el régimen del flujo será crítico el régimen del flujo será subcrítico

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3. PROPAGACION DE UNA ONDA SUPERFICIAL

4. RIOS Y TORRENTES

Torrente: son corrientes rápidas de agua, su velocidad depende de la pendiente del terreno que recorren, esto también permite que presenten variaciones bruscas en su caudal. En su recorrido van erosionando intensamente la superficie terrestre. Los torrentes se originan en las cuencas de recepción, las cuales se caracterizan por presentar forma de embudo Los Ríos: Los ríos son corrientes de agua que fluyen por un cauce desde tierras altas a tierras bajas y que finalmente llegan a un lago, a otro río o al mar, excepto en zonas desérticas, que pueden desaparecer al consumirse. La diferencia fundamental entre un río y un torrente es su longitud y periodicidad. Un río se caracteriza por tener mayor caudal y su régimen es permanente, aún cuando puede presentar un lecho menor (estrecho) y un lecho mayor (cauce mayor durante las crecidas).

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𝑣 2⁄ 2𝑔 La conclusión que obtenemos es que la relación describe el régimen de la 𝐸

corriente. 𝑣 2⁄ 2𝑔 La relación 𝐸

de la

es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma

sección.

5. PROPIEDADES DE LA CURVA DE LA ENERGIA ESPECÍFICA

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5.3 CALCULO DE LA VELOCIDAD CRÍTICA 1) SECCION RECTANGULAR

a) Condiciones criticas En una sección rectangular la ecuación de la velocidad crítica es: 𝑣 = √𝑔 ∗ 𝐴⁄𝑇 = √𝑔 ∗ 𝑦𝑐 De la que se obtiene que, 𝑉𝐶2 2𝑔

=

𝑦𝑐 2

De esta última ecuación que en un régimen critico en sección rectangular la energía de velocidad es igual a la mitad del tirante crítico. La energía que corresponde a las condiciones críticas es: 𝐸 = 𝑦𝑐 +

𝑉𝐶2 2𝑔

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene: 2 𝑦𝑐 = 3 𝑉𝐶2 1 = 𝐸 2𝑔 3

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto:

𝑦𝑐

=

3

𝑞2

√𝑔

2

= 0.467𝑞3

Donde q, es el gasto especifico, es decir, el gasto por unidad de ancho.

𝑞=

𝑄 𝑏

Además los investigadores han demostrado que, a partir de las condiciones críticas que están dadas por 𝑑𝐸⁄𝑑𝑌 = 0, se obtiene también que: 3 𝐸 = 𝑦𝑐 2

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b) Variación del gasto con el tirante a energía especifica constante: El gasto máximos que pueden transportar un canal con un contenido de energía específica dado es:

𝑞 = 1.704 𝐸 3/2 2) SECCION PARABOLICA: En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse.

𝑣𝑐

=

√𝑔 ∗ 𝐴⁄𝑇

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 del área del rectángulo circunscrito:

2 𝐴 = 𝑦𝑐 ∗ 𝑇 3 Remplazando esa ecuación en la ecuación general de la velocidad crítica 𝑉2 𝐸 = 𝑦𝑐 + 𝐶 y haciendo las respectivas combinaciones, obtenemos: 2𝑔

𝑦𝑐 =

3 𝐸 4

𝑉𝐶2 1 = 𝐸 2𝑔 4 El gasto máximo con energía específica constante que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a las condiciones críticas es:

𝑞 = 1.1067 𝐸 3/2 Se demuestra que en un canal parabólico(X2 = 2py) y el tirante crítico resulta ser:

1 𝑦𝑐 = 0.456( )1/4 ∗ 𝑞1/2 𝑝

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3) SECCION TRIANGULAR:

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse

𝑣𝑐

=

√𝑔 ∗ 𝐴⁄𝑇

El área del triángulo es:

1 𝐴 = 𝑦𝑐 𝑇 2 Reemplazando y combinando las ecuaciones, se obtiene:

4 𝑦𝑐 = 𝐸 5 𝑉𝐶2 1 = 𝐸 2𝑔 5 El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

𝑞 = 0.7920 𝐸 3/2 O bien,

𝑦𝑐 = 0.9346𝑞 2/3 Se demuestra que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es

2 𝑄 𝑦𝑐 = ( )0.2 ∗ ( )0.4 𝑔 𝑧 Si 𝜃 = 90°, en el sistema métrico:

𝑦𝑐 = 0.7277 𝑄 0.4

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4) SECCION TRAPEZOIDAL:

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse

𝑣𝑐

=

√𝑔 ∗ 𝐴⁄𝑇

En una sección trapezoidal se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones: 𝐴 = (𝑏 + 𝑧𝑦)𝑦 𝑇 = 𝑏 + 2𝑧𝑦 Reemplazando y combinando las ecuaciones se obtiene:

𝑦𝑐

=

4𝑇 5𝑇 + 𝑏

𝐸

𝑉𝐶2 𝑏+𝑇 = 𝐸 2𝑔 5𝑇 + 𝑏

En los flujos subcríticos y supercríticos las velocidades son menores y mayores que la Vc respectivamente, por lo tanto en el flujo subcrítico aparecerán pequeñas ondas superficiales avanzando corriente arriba, mientras que en el flujo supercrítico dichas ondas serán barridas corriente abajo, formando un ángulo ; este tipo de ondas se denominan ondas diamantes.

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5.4 FLUJO NOMINAL. PENDIENTE CRÍTICA La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica con una ecuación de la velocidad normal. (Manning, Chezy, etc.). 𝑣 = √𝑔 ∗ 𝐴⁄𝑇 𝑣=

𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛

Igualando ambas expresiones se obtiene: 𝑅 2/3 ∗ 𝑆 1/2 = √𝑔 ∗ 𝐴⁄𝑇 𝑛 De donde, 𝑆𝐶 = 𝑔

𝐴 𝑛2 ∗ 𝑇 𝑅 4/3

Que es la ecuación de la pendiente crítica si se usa la fórmula de Manning. Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de chezy, entonces la pendiente crítica sería: 𝑆𝐶 =

𝑔 𝐶2

Pero, f=8g/c2, de donde, C2=8g/f, siendo f el coeficiente de fricción de Darcy, luego, 𝑓

𝑆𝐶 = 8

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5.5 TRANSICIONES Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de la superficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambio puede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondo ascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho del canal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para el estudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la perdida de carga es despreciable. En consecuencia cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dos secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es: 𝑦1 +

𝑣21 2𝑔

= 𝑦2 +

𝑣22 2𝑔

+ 𝑎 …….. (5.34)

Siendo ´a´ la altura de una grada (positiva o negativa). La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de la continuidad 𝑉1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2 = 𝑄 Si no existiera una grada de fondo, entonces a=0. Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observa en las figuras 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre en varios casos. La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específica significa una disminución en los torrentes. El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el que corresponde a un flujo crítico sobre ella. (Fig.N°5.5).

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5.6 FUERZA ESPECÍFICA (MOMENTA) La segunda ley del movimiento de Newton dice que el cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo es igual a la resultante de las fuerzas exteriores. Consideremos un canal con un flujo permanente cualquiera y un volumen de control limitado por las dos secciones transversales 1 y 2, la superficie libre y el fondo del canal tal como se ve en la figura.

La fórmula de la Fuerza Específica o Momenta es: 𝑄2 𝑄2 + 𝑦1 𝐴1 = + 𝑦2 𝐴……………….. (5.35) 𝑔𝐴1 𝑔𝐴2 Cada uno de los términos de la ecuación de la Fuerza Especifica es dimensionalmente una fuerza por unidad de peso del agua. 𝑄2 𝑔𝐴

Es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de

tiempo y por unidad de peso 𝑦𝐴 es la fuerza hidrostática por unidad de peso El grafico de la fuerza específica es:

Se observa que para una Fuerza Especifica dada hay dos tirantes posibles y1 e y2. (Tirantes Conjugados). En el mismo grafico se aprecia que la Fuerza Especifica tiene un mínimo. 𝑑(𝐹. 𝐸) 𝑞 2 𝑑𝐴 𝑑(𝑦𝐴) =-− + =0 𝑑𝑦 𝑔𝐴2 𝑑𝑦 𝑑𝑦

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De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que: 𝑣2 𝑑 = 2𝑔 2 Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Especifica mínima corresponderá a condiciones críticas. Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Especifica a un caso particular se puede examinar un canal rectangular en el que: 𝑄 = 𝑏𝑞 , 𝐴1 = 𝑏𝑦1 , 𝐴2 = 𝑏𝑦2 𝑦1 =

𝑦1 2

, 𝑦2 =

𝑦2 2

Siendo b el ancho del canal. Efectuando estos reemplazos en la ecuación (5.35) y operando se llega luego de algunas simplificaciones a: 𝑞2 𝑔

1

= 2 𝑦1 𝑦2 (𝑦1 + 𝑦2 )……(5.36)

Pero en un canal rectangular el tirante crítico es: 𝑌𝑐 =

𝑞2 √𝑔

Sustituyendo en la ecuación 5.36 obtenemos: 1

𝑌 3 𝑐 = 2 𝑦1 𝑦2 (𝑦1 + 𝑦2 )…. (5.37) Siendo y1 e y2 tirantes conjugados (tienen la misma Fuerza Especifica).

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5.7 SALTO HIDRAULICO Definición El salto hidráulico es un fenómeno de la ciencia en el área de la hidráulica que es frecuentemente observado en canales abiertos como ríos y rápidos. Cuando un fluido a altas velocidades descarga a zonas de menores velocidades, se presenta una ascensión abrupta en la superficie del fluido. Éste fluido es frenado bruscamente e incrementa la altura de su nivel, convirtiendo parte de la energía cinética inicial del flujo en energía potencial, sufriendo una inevitable pérdida de energía en forma de calor. En un canal abierto, este fenómeno se manifiesta como el fluido con altas velocidades rápidamente frenando y elevándose sobre él mismo, de manera similar a cómo se forma una hondachoque.

Aplicaciones Las aplicaciones prácticas del salto hidráulico son muchas, entre las cuales se pueden mencionar: 



 



Para la disipación de la energía del agua escurriendo por los vertederos de las presas y otras obras hidráulicas, y evitar así la socavación aguas abajo de la obra; Para recuperar altura o levantar el nivel del agua sobre el lado aguas abajo de un canal de medida y así mantener alto el nivel del agua en un canal para riego u otros propósitos de distribución de agua; Para incrementar peso en la cuenca de disipación y contrarrestar así el empuje hacia arriba sobre la estructura; Para incrementar la descarga de una esclusa manteniendo atrás el nivel aguas abajo, ya que la altura será reducida si se permite que el nivel aguas abajo ahogue el salto. Para aerear el agua para abastecimiento de agua a las ciudades.

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Condiciones para la formación del salto hidráulico Canales rectangulares horizontales

Para un flujo supercrítico en un canal horizontal rectangular, la energía del flujo se disipa progresivamente a través de la resistencia causada por la fricción a lo largo de las paredes y del fondo del canal, resultando una disminución de velocidad y un aumento de la profundidad en la dirección del flujo. Un salto hidráulico se formará en el canal si el número de Froude (F) del flujo, la profundidad (y1) y una profundidad aguas abajo (y2) satisfacen la ecuación:

Esta ecuación se deduce de la conservación del momentum específico, ya que en un resalto hidráulico solo se conserva el momentum específico, la energia específica por el contrario por ser un fenómeno muy turbulento se disipa energia y por tanto la energia especifica no se conserva.

Tipos de salto hidráulico Los saltos hidráulicos se pueden clasificar, de acuerdo con el U.S. Bureau of Reclamation, de la siguiente forma, en función del número de Froude del flujo aguas arriba del salto (los límites indicados no marcan cortes nítidos, sino que se sobrelapan en una cierta extensión dependiendo de las condiciones locales):  

Para F1 = 1.0 : el flujo es crítico, y de aquí no se forma ningún salto. Para F1 > 1.0 y < 1.7: la superficie del agua muestra ondulaciones, y el salto es llamado salto ondular.



Para F1 > 1.7 y < 2.5: tenemos un salto débil. Este se caracteriza por la formación de pequeños rollos a lo largo del salto, la superficie aguas abajo del salto es lisa. La pérdida de energía es baja.



Para F1 > 2.5 y < 4.5: se produce un salto oscilante. Se produce un chorro oscilante entrando al salto del fondo a la superficie una y otra vez sin periodicidad. Cada oscilación produce una gran onda de período irregular, la cual comúnmente puede viajar por varios kilómetros causando daños aguas abajo en bancos de tierra y márgenes.

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

Para F1 > 4.5 y < 9.0 : se produce un salto llamado salto permanente: la extremidad aguas abajo del rollo de la superficie y el punto en el cual el chorro de alta velocidad tiende a dejar el flujo ocurre prácticamente en la misma sección vertical. La acción y posición de este salto son menos sensibles a la variación en la profundidad aguas abajo. El salto está bien balanceado y el rndimiento en la disipación de energía es el mejor, variando entre el 45 y el 70%.



Para F1 = 9.0 o mayor: se produce el llamado salto fuerte: el chorro de alta velocidad agarra golpes intermitentes de agua rodando hacia abajo, generando ondas aguas abajo, y puede prevalecer una superficie áspera. La efectividad del salto puede llegar al 85%.

Características básicas del salto hidráulico Las principales características de los saltos hidráulicos en canales rectangulares horizontales son:

Pérdida de energía La pérdida de energía en el salto es igual a la diferencia en energía específica 4 antes y después del salto. Se puede mostrar que la pérdida es:

La relación

se conoce como pérdida relativa.

Eficiencia La relación de la energía específica después del salto a aquella antes del salto se define como eficiencia del salto. Se puede mostrar que la eficiencia del salto es:

Esta ecuación indica que la eficiencia de un salto es una función adimensional, dependiendo solamente del número de Froude del flujo antes del salto.

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5.8 DESCARGA POR UNA COMPUERTA DE FONDO Como una aplicación del concepto de energía especifica examinaremos brevemente el flujo a través de una compuerta plana de fondo.

Consideramos un plano fondo e ignoremos la pérdida de carga. La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuerta debe ser igual a la energía especificada en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo. Sea “a” la abertura de la compuerta, Cc el coeficiente de contracción. Entonces Y2 = Cc.a La ecuación de la energía específica es: 𝑉12 𝑉22 𝑌1 + = 𝑌2 + 2𝑔 2𝑔 Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad: 𝑉1 . 𝐴1 = 𝑉2 . 𝐴2 = Q Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta. Evidentemente que si la perdida de carga (hf) es importante habrá que tomarla en cuenta. La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las condiciones de aguas abajo. Estas son: a) No se forma salto b) Se forma un salto libre c) Se forma un salto sumergido (ahogado)