23072008
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- Words: 428
- Pages: 4
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universit`a di Milano Bicocca Corso di Laurea di primo livello in Scienze Statistiche ed economiche Corso di Laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informazioni Matematica I – 23 luglio 2008
1) Data una successione di numeri reali {a }n∈N , stabilire quali delle seguenti condizioni sono Pn ∞ necessarie e quali sono sufficienti affinch´e n=0 an diverga a +∞: a) che
lim an = +∞;
n→+∞
b) che esista n ¯ tale che an > 0 per ogni n ≥ n ¯; n X c) che esista n ¯ tale che ak ≥ 10 per ogni n ≥ n ¯. k=0
2) Studiare la funzione r
x−1 x + x2 precisandone il dominio di definizione, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, la monotonia e gli eventuali punti di massimo/minimo (non `e richiesto lo studio della derivata seconda). Tracciare quindi un grafico qualitativo della funzione. f (x) =
3) Tracciare un grafico della funzione Z F (x) = 1
x
es (1 − s) ds s
che ne evidenzi il dominio di definizione, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, la monotonia e gli eventuali punti di massimo/minimo, la convessit`a/concavit`a e gli eventuali punti di flesso. Tracciare quindi un grafico qualitativo della funzione. 4) Calcolare il seguente integrale, giustificando i passaggi svolti: Z 1 1 − ex dx. I= 2x + 1 0 e 5) Calcolare il limite n X
k
2 n 3 k=0 L = lim . n X n→∞ 2 k 3 k=1
1
SOLUZIONI 1) la condizione a) `e necessaria?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione a) `e sufficiente?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione b) `e necessaria?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione b) `e sufficiente?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione c) `e necessaria?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione c) `e sufficiente?
S`I
NO
Perch´e?
2) Dominio di f : Limiti ed eventuali asintoti:
Studio del segno di f 0 :
2
Grafico di f :
3) Dominio di F : Limiti ed eventuali asintoti:
Studio del segno di F 0 :
Studio del segno di F 00 :
3
Grafico di F :
4) I =
Giustificazione:
5) L =
Giustificazione:
4
Universit`a di Milano Bicocca Corso di Laurea di primo livello in Scienze Statistiche ed economiche Corso di Laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informazioni Matematica I – 23 luglio 2008
1) Data una successione di numeri reali {a }n∈N , stabilire quali delle seguenti condizioni sono Pn ∞ necessarie e quali sono sufficienti affinch´e n=0 an diverga a +∞: a) che
lim an = +∞;
n→+∞
b) che esista n ¯ tale che an > 0 per ogni n ≥ n ¯; n X c) che esista n ¯ tale che ak ≥ 10 per ogni n ≥ n ¯. k=0
2) Studiare la funzione r
x−1 x + x2 precisandone il dominio di definizione, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, la monotonia e gli eventuali punti di massimo/minimo (non `e richiesto lo studio della derivata seconda). Tracciare quindi un grafico qualitativo della funzione. f (x) =
3) Tracciare un grafico della funzione Z F (x) = 1
x
es (1 − s) ds s
che ne evidenzi il dominio di definizione, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, la monotonia e gli eventuali punti di massimo/minimo, la convessit`a/concavit`a e gli eventuali punti di flesso. Tracciare quindi un grafico qualitativo della funzione. 4) Calcolare il seguente integrale, giustificando i passaggi svolti: Z 1 1 − ex dx. I= 2x + 1 0 e 5) Calcolare il limite n X
k
2 n 3 k=0 L = lim . n X n→∞ 2 k 3 k=1
1
SOLUZIONI 1) la condizione a) `e necessaria?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione a) `e sufficiente?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione b) `e necessaria?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione b) `e sufficiente?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione c) `e necessaria?
S`I
NO
Perch´e?
la condizione c) `e sufficiente?
S`I
NO
Perch´e?
2) Dominio di f : Limiti ed eventuali asintoti:
Studio del segno di f 0 :
2
Grafico di f :
3) Dominio di F : Limiti ed eventuali asintoti:
Studio del segno di F 0 :
Studio del segno di F 00 :
3
Grafico di F :
4) I =
Giustificazione:
5) L =
Giustificazione:
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