22084_14501_bab 8 Transenden Ok.pdf

8. FUNGSI TRANSENDEN

1

8.1 Fungsi Invers Misalkan f : D f  R f dengan

x  y  f (x) Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika u  v maka f (u)  f (v)

yx

y  x2

y  x

u fungsi y=x satu-satu

fungsi y=-x satu-satu

v

fungsi y  x 2 tidak satu-satu

2

1

Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik. Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f 1

f 1 : R f  D f

y  x  f 1  y 

R

R

Df

f

x

x  f 1 ( y)

f

Berlaku hubungan Rf

f 1 ( f ( x))  x

y=f(x)

f ( f 1 ( y))  y

1

D f 1  R f ,

R f 1  D f

3

Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers f(x)=x

f ' ( x)  1  0, x  R f selalu naik

f(x)=-x f ' ( x)  1  0, x  R f selalu turun

 0, x  0 f ' ( x)  2 x    0, x  0 f naik untuk x>0 turun untuk x <0

f ( x)  x

f ( x)  x 2

f ( x)   x

v

u

f

1

ada

f

1

ada

f

1

tidak ada

4

2

Contoh : Diketahui f ( x ) 

x 1 x2

a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab a. f ' ( x) 

3 1.( x  2)  1.( x  1)   0, x  Df 2 ( x  2) 2 ( x  2)

Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers Misal y  x  1

b.

x2

xy  2 y  x  1 f 1 ( y) 

 2y 1 y 1

x y  x  2 y  1  x   f 1 ( x) 

 2y 1 y 1

 2x  1 x 1

5

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.

f ( x)  x 2

f ( x)  x 2

u

Untuk x>0 f

1

ada

Untuk x<0 f

1

ada

v

Untuk x  R f 1 tidak ada

f ( x)  x 2

6

3

Grafik fungsi invers Titik (x,y) terletak pada grafik f

Titik (y,x) terletak pada grafik f 1

Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x

f

Grafik f dan f f

1

semetri terhadap garis y=x

1

7

Turunan fungsi invers Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan pada selang I. Jika f 1 ( x)  0, x  I maka f 1 dapat diturunkan di y=f(x) dan

( f 1 )' ( y ) 

1 f ' ( x)

Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

dx 1  dy dy / dx Contoh Diketahui f ( x)  x 5  2 x  1 tentukan ( f 1 )' (4) Jawab :

f ' ( x)  5x 4  2 ,y=4 jika hanya jika x=1

( f 1 )' (4) 

1 1  f ' (1) 7

8

4

Soal Latihan Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari

1 , x0 x

1.

f (x )  x 

2.

f (x )  3 2x  1

3. f (x )  5 4x  2 4. f (x ) 

5

, x0

x2  1

5. f ( x )  x  1 x 1 6.

f ( x) 

2x  3 x2

9

8.2 Fungsi Logaritma Asli 

Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

x1

ln x  

1 

t

dt , x  0

Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

x1  1 Dx ln x  Dx   dt   1 t  x

.



Secara umum, jika u = u(x) maka

 u ( x ) 1  1 du Dx ln u   Dx   dt      1 t  u dx 10

5

Contoh : Diberikan

f ( x)  ln(sin(4 x  2)) 1 f ' ( x)  Dx (sin(4 x  2))  4 cot(4 x  2) sin(4 x  2)

maka Jika

y  ln | x | , x  0 y  ln x  y ' 

 ln x , x  0  ln(  x) , x  0 Jadi,

d 1 (ln | x |)  , x  0. dx x

Dari sini diperoleh :

1 x

y  ln(  x)  y ' 

1 1  x x

1

Sifat-sifat Ln :

 x dx  ln | x |  C

1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)

4. ln a r  r ln a 11

4

Contoh: Hitung

 0

x2 dx x3  2

jawab Misal u  x  2  du  3x dx 3

2

x2 x 2 du dx   x 3  2  u 3x 2



1 1 1 du  ln | u | c  3 u 3

1  ln | x 3  2 | c 3 sehingga 4



4 x2 1 3 0 x 3  2dx  3 ln | x  2 | 0

1 1  (ln 66  ln 2)  ln 33. 3 3 12

6

Grafik fungsi logaritma asli Diketahui x

a. f ( x)  ln x 

 1

b. f ' ( x)  f(x)=lnx

dt ,x  0 t

1  0 x  D f x

f selalu monoton naik pada Df c. f ' ' ( x)  

1

1  0 x  D f x2

Grafik selalu cekung kebawah

d. f(1) = 0

13

8.3 Fungsi Eksponen Asli 

, Karena Dx ln x   0 untuk x  0maka fungsi logaritma asli x monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan 1

y  exp( x)  x  ln y

 

Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))exp (x)  e Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh x

e r  exp(ln e r )  exp r ln e  exp r 14

7

Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan

y  ex



x  ln y

dy 1   y  ex dx dx / dy

dx 1  dy y

Jadi, Dx (e x )  e x

Dx (eu ( x ) )  eu .u'

Secara umum

Sehingga

e

x

dx  e x  C 15

Grafik fungsi eksponen asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x

y=exp (x)

y=ln x

1 1

Contoh

Dx (e 3x ln x )  e 3x ln x .Dx (3x ln x)  e 3 x ln x (3 ln x  3).

16

8

Contoh Hitung

e3/ x  x 2 dx Jawab : Misalkan u 

3 3 1 1  du  2 dx  2 dx   du x 3 x x

Sehingga

e3 / x 1 u 1 u 1 3/ x  x 2 dx    3 e du   3 e  c   3 e  c.

17

Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi Diketahui

f ( x)  ( g ( x))h( x ) , f ' ( x)  ?

ln( f ( x))  h( x) ln( g ( x)) Dx (ln( f ( x)))  Dx (h( x) ln( g ( x))) f ' ( x) h( x )  h' ( x) ln( g ( x))  g ' ( x) f ( x) g ( x)   h( x ) f ' ( x)   h' ( x) ln( g ( x))  g ' ( x)  f ( x) g ( x)  

18

9

Contoh Tentukan turunan fungsi f ( x)  (sin x) 4 x Jawab Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli

ln f ( x)  ln(sin x) 4 x  4 x ln(sin( x)) Turunkan kedua ruas

Dx (ln f ( x))  Dx (4 x ln(sin( x)))

f ' ( x) 4x  4 ln(sin( x))  cos x  4 ln(sin( x))  4 x cot x f ( x) sin x f ' ( x)  (4 ln(sin( x))  4 x cot x)(sin x) 4 x 19

b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi

lim f ( x) g ( x )  ? x a

Untuk kasus (i) lim f ( x)  0, lim g ( x)  0 x a

xa

f ( x)  , lim g ( x)  0 (ii) lim x a xa

f ( x)  1, lim g ( x)   (iii) lim x a x a Penyelesaian : Tulis lim ( f ( x) x a

g ( x)

)  lim[exp ( ln f ( x) g ( x ) )]  lim exp g ( x)ln f ( x) x a

Karena fungsi eksponen kontinu, maka

xa



lim exp g ( x) ln ( f ( x)  exp lim g ( x) ln f ( x) x a

x a



20

10

Contoh Hitung a.

lim x x

x 0

b. lim 1  x  x

1

x 0





c. lim x 3  1 x 

1 / ln x

Jawab a.

lim ( x x )  exp lim x ln x

x 0

x 0

(bentuk 0. )

Rubah ke bentuk  /  lalu gunakan dalil L’hopital 1 ln x x  exp( 0)  1  exp lim 1  exp xlim 0  1 x 0 x  2 x b.

1 ln (1  x) lim ( (1  x)1 / x )  lim exp . . ln(1  x)  exp lim x 0 x 0 x x 0 x 21

Gunakan dalil L’hopital

1  exp 1  e x 0 1  x 1 sehingga lim 1  x  x  e  exp lim

x 0

c.

ln( x 3  1) 1 ln( x 3  1)  exp lim x  x  ln x x  ln x Gunakan dalil L’hopital 2 lim x 3  1

1 / ln x

 exp lim

3x 3 3x 3 x 3 (3)  exp lim  exp lim x  1 . exp lim x  x 3  1 x  x 3 (1  1 ) x  1 / x x3 (3) 3  exp 3  e .  exp lim x  (1  1 ) 3 x 22

11

Soal latihan A.Tentukan

y ' dari



1.

y  sec e 2 x  e 2 sec x

6.

y  ln x 2  5x  6

2.

y  x 5 e 3 ln x

7.

y  ln cos 3x

3.

y  tan e

8.

y

4. y

2 2x

e

x

ln x x

2



 xy 3  1

9. y  ln sin x

5. e y  ln( x 3  3 y)





10. y  sin(ln(2 x  1))

23

e y  ln( x 3  3 y)

8. y 2 e 2 x  xy 3  1

B. Selesaikan integral tak tentu berikut 1. 

4 dx 2x  1

6.



4x  2 2

x x5

2

ln 3x dx x

7.

 (x  3) e

3 x 3.  2 dx x 1

8.

e

2.



tan(ln x) dx 4.  x

5. 

2 x  ln x

dx 2

x

dx



dx x

sec 2  e

9.

 (cos x) e

10.

e

2 ln x

x e

2 2 x3

dx

2

x  6x

2

11.

sin x

dx

 dx

e2x 12.  e x  3 dx 13.

e3x  (1  2e 3 x ) 2 dx

dx

24

12

C. Selesaikan integral tentu berikut ln 2 4 3 dx 1.  6. e 3 x dx 1  2 x 1

 0

4

1

2. 1 x 1  x  dx ln 3

3. 

e

7.

x

2

x

 ln 3 e  4 ln 5 x 4.

dx



8.

x



5.

1

e

4 x  xe dx 2

0

 e 3  4e dx

0

3

2 e x  2 dx 1 x

9.

2x 3

e2

dx

 x(ln x)

2

e

dx

0

25

D. Hitung limit berikut :

1.

lim x

1 1 x

5.

2.

lim1  sin 2 x  x

3.

2 x  lim  cos  x x 

4.



1

x 0





lim e 2 x  1

x 0



lim 1  x x 

x 1

1 2 ln x

6.

2

1 ln x

lim ln x  x 1

x 

7.



lim 3  5 x 

x



1 x x

 x  1 lim   8. x  x  2 

x

26

13

8.5 Fungsi Eksponen Umum Fungsi f ( x)  a x , a > 0 disebut fungsi eksponen umum Untuk a > 0 dan x  R, didefinisikan

x

x ln a

a e

Turunan dan integral

Dx (a x )  Dx (e x ln a )  e x ln a ln a  a x ln a Jika u = u(x), maka

Dx (au )  Dx (eu ln a )  eu ln a ln a.u'  au u ' ln a

Dari sini diperoleh : x  a dx 

:

1 x a C ln a

27

Sifat–sifat fungsi eksponen umum Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku 1.

a x a y  a x y

2.

ax  a x y ay

3.

(a x ) y  a xy

4.

(ab) x  a x b x

5.

ax a    x b b

x

28

14

Contoh 1. Hitung turunan pertama dari

f ( x)  32 x 1  2sin 2 x Jawab :

f ' ( x)  2.32 x1 ln 3  2 cos 2 x 2sin 2 x ln 2 2. Hitung x  4 .xdx 2

Jawab : Misal

u  x 2  du  2 xdx  xdx  12 du



2

du 1 4 u 4x 4 .xdx   4  C  C 2 2 ln 4 2 ln 4 x2

u

29

Grafik fungsi eksponen umum Diketahui a.

f ( x)  a x , a  1

Df  (, ) a x ln a  0 , 0  a  1 x b. f ' ( x)  a ln a   x  a ln a  0 , a  1 f monoton naik jika a > 1 monoton turun jika 0 < a < 1

c.

f ( x)  a x ,0  a  1

f ( x)  a x , a  0

f ' ' ( x)  a x (ln a) 2  0  x  D f Grafik f selalu cekung keatas

d. f(0) = 1

30

15

8.6 Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi

a

, sehingga berlaku : log x

y y  a log x  x  a

Dari hubungan ini, didapat

ln x  ln a y  y ln a  y 

Sehingga

Dx ( a log x)  Dx (

 a log x 

ln x ln a

ln x 1 ) ln a x ln a

Dx ( a log u )  Dx (

Jika u=u(x), maka

ln x ln a

ln u u' ) ln a u ln a

31

Contoh Tentukan turunan pertama dari 1. f ( x) 3 log( x 2  1) 2. f ( x) log( 4

x 1 ) x 1

Jawab : 1.

f ( x) 3 log( x 2  1) 

2.

f ( x) 4 log(

ln( x 2  1) ln 3

x  1 ln( xx11 ) ) x 1 ln 4

f ' ( x) 

2x 1 x  1 ln 3

f ' ( x) 

1 1 x 1 Dx( ) x 1 ln 4  x 1  x 1

2

1 x  1 x  1  ( x  1) ln 4 x  1 ( x  1) 2 1 2  ln 4 ( x  1)( x  1)



32

16

Grafik fungsi logaritma umum Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x Untuk a > 1

Untuk 0 < a < 1

f ( x)  a , a  1

f ( x)  a x ,0  a  1

x

33

Soal Latihan A. Tentukan

y ' dari 4

2x  4x

1. y  3



10 2 2. y  log x  9



3. x 3 log( xy )  y  2 B. Hitung 5x 1

1.

 10

2.

x 2

dx

x

2

dx

34

17

8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satusatu sehingga mempunyai invers. a. Invers fungsi sinus y  sin 1 x  x  sin y

 2

Diketahui f(x) = sinx ,

 2

x

 2

Karena pada  x  2 f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau sin 1 ( x)  2

 2



Sehingga berlaku

35

Turunan Dari hubungan

y  sin 1 x  x  sin y

 1  x  1, 2  y  2

dan rumus turunan fungsi invers diperoleh

dy 1 1 1 1     , | x | 1 2 dx dx / dy cos y 1  sin y 1 x2 atau Dx (sin 1 x) 

1 1 x2

Jika u=u(x) Dx (sin 1 u ) 

u' 1 u2

Dari rumus turunan diperoleh



dx 1 x

2

 sin 1 x  C 36

18

b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx ,0  x  

monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos 1 ( x)

f ( x)  cos x

Berlaku hubungan



y  cos 1 x  x  cos y

y  cos 1 x  x  cos y Turunan Dari

,1  x  1, 0  y  

dy 1 1   dx dx / dy sin y

atau

Dx (cos 1 x) 

Jika u= u(x)

1



1  cos 2 y



1 1 x2

diperoleh

, | x | 1 37

1 1 x2

Dx (cos 1 u ) 

 u' 1 u2

Dari rumus turunan diatas diperoleh dx 1  1  x 2   cos x  C Contoh

Dx (sin 1 ( x 2 )) 

Dx (cos 1 (tan x)) 

1

Dx ( x 2 ) 

2x

1 x4  sec 2 x 1 Dx (tan x)  1  (tan x) 2 1  tan 2 x

1  (x )

2 2

38

19

Contoh Hitung



Gunakan rumus

1 4 x

2



dx

1 1 u2

du  sin 1 (u )  C

Jawab :



1 4  x2

dx  

Misal u 



1 4(1 

2

dx

x ) 4



1 2

1 x (1  ( ) 2 2

dx

x  du  12 dx  dx  2du 2

1

2 dx  1 du  sin 1 u  C  2 4 x 2 (1  u 2

 sin 1 ( 2x )  C

39

c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx,

y  tan 1 x  x  tan y

 2

 x  2 Monoton murni (selalu naik)

sehingga mempunyai invers.

Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, 1 notasi arc tanx atau tan ( x) Berlaku hubungan



 2

2

f(x)=tanx

dy 1 1   dx dx / dy sec 2 y

Turunan Dari y  tan 1 x  x  tan y 

1 1  1  tan 2 y 1  x 2

, 2  y  2

dan turunan fungsi invers diperoleh 40

20

atau Dx (tan 1 x)  Jika u=u(x)

dx

1 1 x2

1 x

Dx (tan 1 u ) 

2

 tan 1 x  C

u' 1 u2

d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x)= cot x ,0  x   selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers Definisi Invers dari fungsi cot x disebut 1 Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot x

f(x)=cotx

Berlaku hubungan

y  cot 1 x  x  cot y

 Turunan

1 1 dy 1 1     2 2 1  cot y 1  x 2 dx dx / dy csc y 41

atau

Dx (cot 1 x) 

Jika u=u(x)

1 1 x2

dx

 1 x

Dx (cot 1 u ) 

2

  cot 1 x  C

 u' 1 u2

Contoh

Dx (tan1 ( x 2  1)) 

Dx (cot 1 (sin x))

2x 1 Dx( x 2  1)  2 2 1  ( x 2  1) 2 1  ( x  1) 1  Dx(sin x)   cos x 1  (sin x) 2 1  sin 2 x

Contoh Hitung

dx

a.

 4 x

b.

x

2

2

dx  2x  4 42

21

Jawab a.

1

4 x

dx  

2

1 x2 4(1  ) 4

dx

x  du  12 dx  dx  2du 2

u

1

 4 x

2

1 2 1 du  tan 1 u  C 2  4 1 u 2

dx 



Gunakan rumus 1

 1 u

2

1 1 dx 4  1  ( x )2 2



1 x tan 1 ( )  C 2 2

du  tan 1 (u )  C

43

x

b.

2

dx 1  dx    2x  4 ( x  1) 2  3



Misal

1 3

u

1

2

 ( x  1)  1     3 

x 1

Gunakan rumus

 1 u

1

3

 du 

x

2

1 dx ( x  1) 2 3(1  ) 3

dx

2

1 3

dx  dx  3du

dx 1 3 1   du  tan 1 u  C 2  2x  4 3 1  u 3

du  tan 1 (u )  C



 x  1 tan 1    C 3  3 

1

44

22

e. Invers fungsi secan Diberikan f(x) = sec x ,0  x   , x  2

f ' ( x)  sec x tan x  0,0  x   , x 

 2

f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau sec 1 x Sehingga

y  sec1 x  x  sec y 45

Turunan Dari

sec 1 x  cos 1  1x 

y  sec1 x  x  sec y cos y 

1 x

y  cos 1  1x 

Sehingga

1

Dx (sec 1 x)  Dx (cos 1  1x   Jika u = u(x)

x

Dx (sec 1 u ) 

1 x 1 2

1 ( )

1 2 x

1 |x| 1   2 2 x x2 x2 1 | x | x 1

u' | u | u 2 1

dx  sec 1 | x | c 46

23

e. Invers fungsi cosecan Diberikan f(x) = csc x , 2  x  2 , x  0

f ' ( x)   csc x cot x  0, 2  x  2 , x  0 f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau csc1 x Sehingga

y  csc1 x  x  csc y 47

Turunan Dari

csc1 x  sin 1  1x 

y  csc1 x  x  csc y sin y 

1 x

y  sin 1  1x 

Sehingga

Dx (csc1 x)  Dx (sin 1  1x  Dx (sec1 u ) 

Jika u = u(x)

x

1 x 1 2



1 1 ( )

1 2 x

1 | x| 1   2 x | x | x2 1 x2 x2 1

 u' | u | u 2 1

dx   csc 1 | x | c 48

24

Contoh A. Hitung turunan pertama dari a. f ( x)  sec 1 ( x 2 ) 1

b. f ( x)  sec (tan x) Jawab

a.

1

f ' ( x) 

| x | (x ) 1 2

f ' ( x) 

b.

2 2

2x

Dx( x 2 )  x

1 | tan x | (tan x) 2  1

2



x 1 4

Dx(tan x) 

2 x x4 1

sec 2 x | tan x | tan 2 x  1

49

B. Hitung

x

1 x2  4

dx

Jawab

x

1 x 4 2

Misal

x

u

1 x 4 2

dx  

1 2

x x 4(  1) 4

dx 

1 2

1 2

dx

 x x   1 2

x  du  12 dx  dx  2du 2

dx 



1 1 1 1 2du   du 2  2u u 2  1 2 u u 2 1

1 1 x sec 1 | u | C  sec 1 | | C 2 2 2

50

25

Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1.

y  (sin 1 x) 2

2.

y  tan 1 (e x )

3.

y  tan 1 x ln x

4.

f (t )  e sec

5.

y  x 2 cot 1 (3x)

6.

y  tan 1 ( x  1  x 2 )

1

t

51

B. Hitung 1.

 9x

2.

 4x

3.

 1/ 2

4.

 0

dx 16

5.

2

dx x 2 16

dx 2  5x 2 sin 1 x 1 x2

ex  e 2 x  1 dx



e2x

dx 1  e4x dx 7.  x[4  (ln x) 2 ]

6.

dx

52

26

8.8 Fungsi Hiperbolik Definisi a. Fungsi kosinus hiperbolik :

f ( x)  cosh x 

e x  ex 2

b. Fungsi sinus hiperbolik :

f ( x)  sinh x 

e x  ex 2

c. Fungsi tangen hiperbolik :

f ( x)  tanh x 

sinh x e x  e  x  cosh x e x  e  x

d. Fungsi cotangen hiperbolik :

f ( x)  coth x 

cosh x e x  e  x  sinh x e x  e  x

e. Fungsi secan hiperbolik :

f ( x)  sec h x 

1 2  x cosh x e  e  x

f. Fungsi cosecan hiperbolik :

f ( x)  csc h x 

1 2  sinh x e x  e  x

53

Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik 1.

cosh x  sinh x  e x

2. cosh x  sinh x  e 4.

x

3.

cosh 2 x  sinh 2 x  1

1  tanh 2 x  sec h 2 x

5. coth 2 x  1  csc h 2 x

Turunan  e x  e x  e x  e x   Dx (cosh x)  Dx   sinh x 2  2 

 e x  e x  e x  e x   Dx (sinh x)  Dx   cosh x 2  2 

 sinh x dx  cosh x  C

 cosh xdx  sinh x  C

54

27

Dx (tanh x)  Dx ( Dx (coth x)  Dx (

2 2 sinh x 1 )  cosh x  sinh x   sec h 2 x cosh x cosh 2 x cosh 2 x

2 2 2 2 cosh x )  sinh x  cosh x   (cosh x  sinh x) sinh x sinh 2 x sinh 2 x

1   csc h 2 x 2 sinh x 1  sinh x Dx (sec hx)  Dx ( )    sec hx tanh x cosh x cosh 2 x 

Dx (csc hx)  Dx (

1  cosh x )    csc hx coth x sinh x sinh 2 x

55

Grafik f(x) = coshx Diketahui (i)

f ( x)  cosh x 

e x  e x , xR 2

x x (ii) f ' ( x)  e  e   f ' ( x)  0 , x  0

2

 f ' ( x)  0 , x  0

f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0

1 (iii)

f ' ' ( x) 

e x  ex  0 , x  R 2

Grafik f selalu cekung keatas (iv) f(0)=1 56

28

Grafik f(x) = sinhx Diketahui (i)

f ( x)  sinh x 

(ii) f ' ( x) 

e x  e x , xR 2

e x  e x 0 2

f selalu monoton naik (iii)

f ' ' ( x) 

e x  e  x  0, x  0  2  0, x  0

Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv) f(0)= 0 57

Contoh Tentukan y ' dari 2 1. y  tanh( x  1)

2. x 2 sinh x  y 2  8 Jawab 1.

y '  sec h 2 ( x 2  1) Dx( x 2  1)  2 x sec h 2 ( x 2  1)

2.

Dx( x 2 sinh x  y 2 )  Dx(8)

2 x sinh x  x 2 cosh x  2 y y '  0 y'  

2 x sinh x  x 2 cosh x 2y

58

29

Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama dari 1.

f ( x)  tanh 4 x

2.

g ( x)  sinh 2 x

3.

g ( x) 

4.

h(t )  coth 1  t 2

5.

g (t )  ln(sinh t ))

6.

f ( x)  x cosh x 2

1  cosh x 1  cosh x

59

B. Hitung integral berikut 1.

 Sinh(1  4x)dx

2.

 sinh x cosh

3.

 tanh x dx

4.

sec h 2 x  2  tanh x dx

2

x dx

60

30