2.2. Losa Circular.doc

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍAS – UNSE ALUMNO:

Sirevich, Claudio A.

Hoja Nº 1

UNIDAD TEMÁTICA 2:

HORMIGÓN II – Año 2008

2-2. LOSA CIRCULAR

Ing. E. D. Bailón

PLACA CIRCULAR Calcular los esfuerzos de una losa circular simplemente apoyada, en su contorno y en una columna en el centro. Datos: H=5m D = 20 m Uso: Local Bailable Hormigón: H – 21 Acero: ADN – 420 Predimensionado

L 0,8 D 1600  35  h    45 cm h 35 35 adoptamos h = 45 cm (en 2º d = 50 cm) Sobrecarga: p = 400 kg/m2 Peso Propio: g1 = h . HA = 900 kg/m2 g2 = 150 kg/m2 g = g1 + g2 = 900 + 150 = 1050 kg/m2 q = g + p = 1050 + 400  q = 1450 kg/m2

A.

APLICACIÓN DE TEORÍA DE LA ECUACIÓN DE LA PLACA:

4w 4w 4w q 2 2 2   4 4 N x x y y

N

 2w 2w   M X   N    2 2   x  y  

 3w 3 w Q X   N   3 x y 2  x

   

 2w 2w   M Y   N   μ 2 y 2   x

 3w 3w Q Y   N   3 y x 2  y

   

M XY   N 1 – μ 

2w x y

E h3 1 –  2 12

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Hoja Nº 2

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES:

x   . sen  y   . cos 



  arctg

x2  y2

w (x, y)  f  x (, ) , y (, )

y x

y

P w w ρ w φ   x ρ x φ x



ρ x y  cos   x x 2





1 2 2

ρ  x2  y2  sen   y y  sen   , x ρ



1 2



x



x2  y2



 x

y x2  y2

 cos   x ρ

La ecuación de la placa en coordenadas polares queda de la siguiente forma:

  2 w 1 w 1  2 w   2 w 1 w 1 2w  q  2          ρ ρ ρ ρ 2  2  ρ 2 ρ ρ ρ 2  2  N 

para cargas axiales simétricas

w 0 φ

q = f() entonces la ecuación  queda: d 4 w 2 d3 w 1 d2 w 1 dw q   2  3   4 3 ρ dρ N dρ ρ dρ 2 ρ dρ

 d2 w μ dw   Mρ   N  2  ρ dρ   dρ  1 dw d2 w  M   N   μ 2  dρ   ρ dρ Mρ  0  d3 w 1 d 2 w Qρ   N  3   ρ dρ 2  dρ Q  0

          1 dw   ρ dρ     

Placa circular bajo carga uniforme (solución particular + solución complementaria)

      0  C1  C 2    C 3 Ln    C 4   Ln    a a a a

radio de la placa

q = cte

0  k .  4

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remplazando nos queda:

0 

q 2 64 N

solución particular

C3 = C4 = 0, pues si no habría en el centro 

q   4  C1  C 2   64 N a



2

para   a ;   0 ; M  0

0

q  a 4  C1  C 2 64 N a

d q    3  2C 2 2 d 64 N a

d2  3 q 2 2C 2    2 2 16 N d a

C2 

q a2  5    q a2 3     ; C1  64 N  1    32 1  

Reemplazando en 3 M

q a2  3    1    16 a 

q a2 16

Q 

1 q 2

max 

2

  21 -    1  3   

M 

Hoja Nº 3

  a   

2

    

q a4 5   64 N 1  

Graficando:

M 29 tnm

Mf 14 tnm

14 tnm 29 tnm

Q

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Hoja Nº 4

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Placa simplemente apoyada con una carga concentrada P en el centro Q = 0, de la ecuación  obtenemos: 0  0 2

2

      C1  C 2    C 3 ln    C 3   ln   a a a       a

 2   a  d 2C 2  a  0  C 3  C 4  2 ln  2 d  a a   a a

2 2      1   2 ln      a a  a 

  1     1    ln a   

Q

-P 2

3.94

9.03

16.19

- M - [ton m]

Escala: 10 ton m/cm

- Mf - [ton m]

- 11.78

- 17.80

- 14.41

Escala: 10 ton m/cm

- 22.58

P P 1    ln  M  4 4 a

28.44

M 

Pa 2  3    8 N   1 

0  C1  C 2  C1  C 2

52.94

C4 

0

- 47.07

para   a

- 30.74

para   0

- Q - [ton m]

58.91

14.73

7.36

4.91

3.68

Escala: 20 ton m/cm

2.95

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Hoja Nº 5

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Sumando nos queda:

14 .3 8

2 7 .5 9

4 0 .5 5

5 6 .2 8

8 1.8 7

- M  - [ t n m ]

2 .7 2

5 .9 8 9 .2 6

5 .3 1

4 .10 10 .2 6

- 2 .3 2

- 18 .11

- M f - [ t n m ]

DIMENSIADO

h  cm

M max  81,97tnm  K h 

M  knm  b  m



50 819,7 1

10 .2 0

9 .4 8

16 .18

5 8 .9 1

- Q  - [ t n ]

 1,75

K S  0,53 k z  0,79 81,97 0,53  86,88 cm 2 , adopto 100 cm2 para cumplir con la Norma respecto a la armadura 0,50 principal mínima adopto 50 f 16 = 100,05 cm2 en sentido radial. A



TRAMO

50  6,45 , siendo este un valor muy bajo para dimensionar, por lo 60 tanto ponemos armadura mínima en la dirección f

Mf

max

 6tnm entonces K H

fT



Adopto f 6 C/20,0 cm en sentido angular.

M

MAXIMO

f APOYO

 18,11 tnmentonces k hA 

50 181,1

 3,72

Ks = 0,455 KZ = 0,94 Af

APOYO



18,11 0,445  16,02 cm2 adopto 8 f 16 en forma de emparrillado, con un radio de 2,5m. 0,50

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Hoja Nº 6

VERIFICACIONES Al corte en la mampostería:

M 

QM 10,2 kg kg  1000  2,17   011  4,5 2 K Z h 100 . 0,94 . 50 cm cm2

Al corte en centro de la losa.

0 





P  qr 2 kg kg  1,098  011  4,5 2  . 1m . d cm cm2

PLANILLA DE DETALLE

Pos.

 [mm]

Cantidad de barras

Lon. Parcial [m]

Lon. Total [m]

1

6

85

12

1020

2

16

50

12

600

3

16

8

3

24

Long. de Doblado [m]

Observaciones

Armadura circular

12 0 0

10

50

50 50

980

30 0

50

10

Armadura radial

Armadura malla

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DETALLES DE ARMADO

Hoja Nº 7

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