21b Tp6
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- Words: 780
- Pages: 2
UN GS
M ATEMÁTICA I A NUAL
Guía de TP No 6
Práctica 6 - Derivadas - Ejercicios resueltos 21 b). Estudie la continuidad y derivabilidad de las siguiente función:
f (x) =
⎧ ⎨
3−x2 2
1 ⎩ x
si x ≤ 1 si x > 1
Vamos a analizar continuidad tomando intervalos a izquierda y derecha de x = 1 y luego en un entorno de dicho punto. 2
Para x < 1 la función tiene la forma f (x) = 3−x 2 , que es un polinomio de grado 2, continuo en todo ℝ y en particular tenemos que f es continua en (−∞, 1). Para x > 1 la función tiene la forma f (x) = 1x , que es continua en todo ℝ excepto en x = 0, pero como dicho valor no pertenece a este intervalo la función no presenta problemas de continuidad en él y por lo tanto, f es continua en (1, +∞). Veamos ahora para x = 1. Recordemos que para que una función f sea continua en un x = a se deben cumplir simultáneamente las siguientes tres condiciones: i.
a ∈ Dom( f )
(es decir ∃ f (a))
ii.
∃ l´ım f (x)
(es decir l´ım− f (x) = l´ım− f (x) y son ambos finitos)
iii.
f (a) = l´ım f (x)
x→a
x→a
x→a
x→a
Entonces en nuestro ejemplo, para x = 1 tenemos: ∙ f (1) =
3−12 2
=1
∙ l´ım f (x), veamos los límites laterales: x→1 ⎫ 3 − x 2 3 − 12 l´ım− = =1 ⎬ 2 2 x→1 1 1 l´ım+ = = 1 1 x→1 x
⎭
∃ l´ım f (x) = 1 x→1
∙ f (1) = l´ım f (x) = 1 x→1
Por lo tanto f es continua en x = 1 y por lo visto antes podemos decir que f es continua en todo ℝ. Ahora analicemos la derivabilidad de f tomando los mismos intervalos que utilizamos para estudiar su continuidad y luego un entorno de x = 1 2
Para x < 1 la función tiene la forma: f (x) = 3−x 2 , que es un polinomio de segundo grado, derivable en todo ℝ. (Aquí se pueden utilizar las reglas de derivación).
2009
Hoja 1 de 2
UN GS
Guía de TP No 6
M ATEMÁTICA I A NUAL
Para x > 1 la función tiene la forma: f (x) = 1x . Esta función solo presenta problemas en x = 0, pues allí no es continua y por lo tanto tampoco es derivable. Sin embargo, como estamos en el intervalo (1; +∞), podemos decir que en el mismo la función es derivable por ser cociente de funciones derivables con denominador distinto de cero. (Podemos usar las reglas de derivación). En x = 1 debemos hacer un análisis particular pues es el punto de corte de f . Observación: Cuando trabajamos con funciones partidas, en los puntos de corte de la función, siempre debemos calcular la derivada por definición usando el límite del cociente incremental, no podemos usar las reglas de derivación. Recordemos que para que una función f sea derivable en un entorno cercano a un punto x0 se tiene que cumplir que: f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h f (x0 + h) − f (x0 ) Es decir l´ım h h→0− ∃ l´ım
=
f (x0 + h) − f (x0 ) h
l´ım
h→0+
y son ambos finitos.
Vamos a calcular los límites laterales: Cuando me acerco a x = 1 por la izquierda la función tiene la forma f (x) = mos: f (x0 + h) − f (x0 ) l´ım− h h→0
=
l´ım−
3−(1+h)2 2
=
h
h→0
2
−1
l´ım−
=
−h − h2 l´ım− h h→0
3−(1+2h+h2 ) 2
h→0
2
1 − h − h2 − 1 l´ım− h h→0
=
l´ım−
h→0
3−x2 2 ,
∕ h.(−1 − 2h ) ∕h
entonces tendre-
−1
h
=
−1
Busquemos ahora el límite por derecha. Cuando me acerco a x = 1 por la derecha la función tiene la forma f (x) = 1x , entonces: l´ım+
h→0
l´ım+
h→0
f (x) − f (x0 ) h
1−1−h 1+h
h
=
l´ım+
h→0
=
l´ım+
1 1+h
h→0
−∕h ∕ h.(1 + h)
−1 h
=
−1
Como los límites laterales existen, son finitos e iguales podemos decir que f es derivable en x = 1 y como vimos que también lo es en los intervalos anteriores, podemos decir que f es derivable en todo ℝ.
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Práctica 6 - Derivadas - Ejercicios resueltos 21 b). Estudie la continuidad y derivabilidad de las siguiente función:
f (x) =
⎧ ⎨
3−x2 2
1 ⎩ x
si x ≤ 1 si x > 1
Vamos a analizar continuidad tomando intervalos a izquierda y derecha de x = 1 y luego en un entorno de dicho punto. 2
Para x < 1 la función tiene la forma f (x) = 3−x 2 , que es un polinomio de grado 2, continuo en todo ℝ y en particular tenemos que f es continua en (−∞, 1). Para x > 1 la función tiene la forma f (x) = 1x , que es continua en todo ℝ excepto en x = 0, pero como dicho valor no pertenece a este intervalo la función no presenta problemas de continuidad en él y por lo tanto, f es continua en (1, +∞). Veamos ahora para x = 1. Recordemos que para que una función f sea continua en un x = a se deben cumplir simultáneamente las siguientes tres condiciones: i.
a ∈ Dom( f )
(es decir ∃ f (a))
ii.
∃ l´ım f (x)
(es decir l´ım− f (x) = l´ım− f (x) y son ambos finitos)
iii.
f (a) = l´ım f (x)
x→a
x→a
x→a
x→a
Entonces en nuestro ejemplo, para x = 1 tenemos: ∙ f (1) =
3−12 2
=1
∙ l´ım f (x), veamos los límites laterales: x→1 ⎫ 3 − x 2 3 − 12 l´ım− = =1 ⎬ 2 2 x→1 1 1 l´ım+ = = 1 1 x→1 x
⎭
∃ l´ım f (x) = 1 x→1
∙ f (1) = l´ım f (x) = 1 x→1
Por lo tanto f es continua en x = 1 y por lo visto antes podemos decir que f es continua en todo ℝ. Ahora analicemos la derivabilidad de f tomando los mismos intervalos que utilizamos para estudiar su continuidad y luego un entorno de x = 1 2
Para x < 1 la función tiene la forma: f (x) = 3−x 2 , que es un polinomio de segundo grado, derivable en todo ℝ. (Aquí se pueden utilizar las reglas de derivación).
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Para x > 1 la función tiene la forma: f (x) = 1x . Esta función solo presenta problemas en x = 0, pues allí no es continua y por lo tanto tampoco es derivable. Sin embargo, como estamos en el intervalo (1; +∞), podemos decir que en el mismo la función es derivable por ser cociente de funciones derivables con denominador distinto de cero. (Podemos usar las reglas de derivación). En x = 1 debemos hacer un análisis particular pues es el punto de corte de f . Observación: Cuando trabajamos con funciones partidas, en los puntos de corte de la función, siempre debemos calcular la derivada por definición usando el límite del cociente incremental, no podemos usar las reglas de derivación. Recordemos que para que una función f sea derivable en un entorno cercano a un punto x0 se tiene que cumplir que: f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h f (x0 + h) − f (x0 ) Es decir l´ım h h→0− ∃ l´ım
=
f (x0 + h) − f (x0 ) h
l´ım
h→0+
y son ambos finitos.
Vamos a calcular los límites laterales: Cuando me acerco a x = 1 por la izquierda la función tiene la forma f (x) = mos: f (x0 + h) − f (x0 ) l´ım− h h→0
=
l´ım−
3−(1+h)2 2
=
h
h→0
2
−1
l´ım−
=
−h − h2 l´ım− h h→0
3−(1+2h+h2 ) 2
h→0
2
1 − h − h2 − 1 l´ım− h h→0
=
l´ım−
h→0
3−x2 2 ,
∕ h.(−1 − 2h ) ∕h
entonces tendre-
−1
h
=
−1
Busquemos ahora el límite por derecha. Cuando me acerco a x = 1 por la derecha la función tiene la forma f (x) = 1x , entonces: l´ım+
h→0
l´ım+
h→0
f (x) − f (x0 ) h
1−1−h 1+h
h
=
l´ım+
h→0
=
l´ım+
1 1+h
h→0
−∕h ∕ h.(1 + h)
−1 h
=
−1
Como los límites laterales existen, son finitos e iguales podemos decir que f es derivable en x = 1 y como vimos que también lo es en los intervalos anteriores, podemos decir que f es derivable en todo ℝ.
Hoja 2 de 2
2009
