208046_15 Trabajo Colaborativo 3.docx

TRABAJO GRUPAL UNIDAD 3 VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

Tutor: WILLIAM MAURICIO SAENZ En la asignatura de: ALGEBRA LINEAL

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD JUNIO 2016

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo, se presenta para desarrollar la actividad POST- TAREA del curso “Algebra Lineal” de acuerdo con los parámetros y requerimientos establecidos en la guía de actividades y en la rúbrica de evaluación.

Los ejercicios que aquí se plantean, están directamente relacionados con las temáticas planteadas en la documentación del curso algebra lineal. Donde abarcaremos temas muy específicos de los sistemas lineales de ecuaciones, rectas, planos y espacios vectoriales.

PROBLEMAS A DESARROLLAR

1. Dado el conjunto 𝑽 = 𝑹𝟑 para 𝑽 = {𝒘𝟏, 𝒘𝟐} siendo 𝒘𝟏 = (𝟐, −𝟏, 𝟒) 𝒚 𝒘𝟐 = (𝟒, −𝟐, 𝟖) identificar dos combinaciones lineales para 𝑽 si existe. Solución: Si hay combinaciones lineal entre → 𝑦 → , entonces son vectores dependientes, por lo 𝑊1

𝑊2

tanto tendrán la mismas dirección. → =→ (2,-1,4) = k (4,-2,8) 𝑊1

𝑘 𝑊2

(2,-1,4) = (4k,-2k, 8k) 2 −1 4 𝑘= , , = 1⁄2 4 −2 8 𝑘 = 1⁄2 Es decir que 𝑘 = 1⁄2 es el escalar que genera → 𝑊2 Constituir 2 combinaciones lineales 𝑓 = 𝑧𝑤1 + 𝑏𝑤2 Sea 𝑓1 = 2𝑤1 + 0. 𝑤2 𝑓1 = 2 (2, −1,4) + 0. (4, −2,8) = (4, −2,8) 𝑓1 = (4, −2,8) 𝑓2 = 0. 𝑤1 + 1⁄2 𝑤2 = 0(2, −1,4) + 1⁄2 (4, −2,8) 𝑓2 = (2, −1,4) Respuesta. f1 = (4, −2,8) f2 = (2, −1,4)

2. Dado el conjunto 𝑺 = {𝑼𝟏, 𝑼𝟐} donde 𝑼𝟏 = (𝟏, 𝟏) y 𝑼𝟐 = (−𝟏, 𝟏) demostrar que 𝑺 genera a 𝑹𝟐 . Solución: Según la definición cualquier conjunto contenido en un determinado espacio vectorial se considera conjunto generador si todo vector se puede considerar una combinación lineal del conjunto original, por lo tanto: S = {u1, u2} 𝑈1 = {1,1}

𝑈2 = {−1,1} 𝑆 = {(1,1), (−1,1)} 𝑉 = (𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) = 𝑘1(1,1) + 𝑘2(−1,1) 𝑉 = 𝑘1(1,1) + 𝑘2(−1,1) Se puede demostrar que S es generador de 𝑅 2 ya que cualquier vector de dichos espacios se puede escribir como combinación lineal. 3. Cuál será la dimensión del espacio vectorial 𝑽 , dado el conjunto definido por 𝑺 = {𝒖𝟏, 𝒖𝟐} donde 𝒖𝟏 = (𝟏; 𝟎) y 𝒖𝟐 = (𝟎; 𝟏) Solución: ¿Cuál será la dimensión del espacio vectorial V, dado el conjunto definido por S= {u1u2}? Donde u1 = (1; 0) y u2 = (0; 1) Solución: 𝑠 = {𝑢1, 𝑢2} u1 = (1; 0) u2 = (0; 1)

Si u1 y u2 son linealmente independientes entonces la dimensión de S es 2 u1 = k (u2) (1,0) = k (0,1) 1= k.0 1= 0 No existe 0= k.1 0=k Como 1 ╪ 0 por lo tanto u1 y u2 son linealmente independientes entonces la dimensión es 2

𝟐 𝟏 𝟎 4. Dada la matriz 𝑨 = [𝟏 𝟏 𝟑]hallar el rango de dicha matriz. 𝟐 𝟏 𝟑 Se hallan los determinantes de la matriz A. IAI= 6 +6 – 0 – 0 – 3 – 6= IAI= 3 Rango  3

5. Dado el conjunto 𝑺 = {(𝒙, 𝒚, 𝟎)/𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹} sea el espacio vectorial 𝑽 definido en 𝑹𝟑. Demostrar que 𝑺 es un espacio de 𝑽 Solución: Para que 𝑆 sea un espacio de 𝑉, entonces 𝑉 debe ser capaz de contener al menos a 𝑆: 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∣ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} Donde z es cualquier número real, o al menos z=0, si cualquiera de esas condiciones se cumple, entonces S es un sub-espacio de V. Tomamos dos elementos de V: 𝑉1 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) 𝑉2 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) Su suma debe estar también en V 𝑉1 + 𝑉2 = ( 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) Si zi = -z2, entonces la suma pertenece a S, pero en cualquier otro caso pertenece a V, por lo tanto, S es un espacio de V. CONCLUSIÓN

Al concluir la realización del trabajo colaborativo 3 se identificó la importancia de la comprensión de los temas y documentos pertenecientes a todas las unidades de la materia.

Para la realización de estos ejercicios se utiliza métodos como videos que permiten guiar el desarrollo de estos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

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de

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