2018-ii Probabilidad Nociones.docx

NOCIONES BASICAS DE CONJUNTOS ELEMENTO. Objeto que forma la colección del conjunto A Notación. Si a es elemento de A, se denota así a  A. Si a no es un elemento de A se denota así a  A. SUBCONJUNTO. Dados dos conjuntos A y B: Si  a  A  a  B entonces A  B. CONJUNTOS IGUALES. A=B si y solo si A  B y B  A. CONJUNTO UNIVERSAL. Es el conjunto de referencia. Notación : Ω. CONJUNTO VACÍO. Es el conjunto que no contiene elementos. Notación Ø. PROPIEDADES DEL CONJUNTO NULO Y UNIVERSAL. 1. Para cualquier conjunto A se tiene Ø  A 2. A  Ω Ejemplos. Dados A=  X ; X 2  2 X  3  0 ;

B=

( X  2)( X

2

 2 X  3)  0 y

C = 3;1; 2 . ¿Qué relación hay entre A y B?. ……………………………………. ¿Qué relación hay entre B y C?................................................................................. OPERACIONES CON CONJUNTOS. Dados los conjuntos A y B se define: 1. UNIÓN DE CONJUNTOS. A  B = x; x  Aox  B 2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. A  B = x; x  A, x  B El conjunto intersección está formado por los elementos que pertenece a A y B . Si A  B = Ø , A y B son disjuntos. 3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS. A-B = x; x  A, x  B El conjunto diferencia está formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. 4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A = x; x  A El conjunto complemento está formado por todos los elementos que no pertenecen a A. IDENTIDADES 1. A  A 2. Si A  B y B  C  A  C 3. A  A = A A  A=………. 4. A  B = B  A A  B=………. 5. A  ( B  C) =…………….. 6. A  (B  C) =……………….. 7. Ø  A  Ω 8. A  B  A  A  B 9. A  B = B Ø  A= Ø 10. Ø  A= A 11. Ω  A = A

12. Ω  A =Ω 13. (A´)´ = 14. A  A´ = Ω 15. (A  B)´ = 16. A  B = 17. B = 18. A  ( B  C)= CONJUNTO PRODUCTO A x B= (a, b); a  A, b  B FAMILIA DE SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO DADO. Consideramos una clase o familia cuando los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Ejemplo. Es una familia 2;3 ;2 , 5;6 CONJUNTO POTENCIA. Está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. Ejemplo. Dado el conjunto A= 3;6;7 entonces el conjunto Potencia de A es P(A) =

;3;6;7;3;6;3;7;6;7;3;6;7 . Si el conjunto A tiene n elementos el

conjunto Potencia de A tendrá 2n elementos. En el ejemplo que hemos presentado #(A) = 3 entonces #P(A) = 23 =8 Ejercicio. Dados los conjuntos U = 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 A= x U ;2<x<5 , B= x U ;1  x  2 Hallar 1. A  B 2. A  B 3. A-B 4.A´ 5. AXB CONJUNTO NUMERABLE Un conjunto es numerable si sus elementos se encuentran en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números enteros positivos. Un conjunto numerable es infinito. Ejemplo  1 1 1  A= 1; ; ; ;...  2 3 4 

ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denota por Ω. Ejemplo . Si se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior, entonces el espacio muestral es Ω = 1;2;3;4;5;6 SUCESO ELEMENTAL. Es cada resultado particular del experimento aleatorio. En el ejemplo encontramos 6 sucesos elementales que se denotan por ω1, ω2, ω3,…, ω6. SUCESO. Es un conjunto de sucesos elementales Ejemplo. Sea el suceso A: ocurre número par en el lanzamiento de un dado luego A= 2;4;6 . SIGMA ALGEBRA DE EVENTOS  Es el conjunto de todos los sucesos que vamos a considerar. Se denota por  . Lo que de estos sucesos suponemos es: 1. Para todo suceso A de los que constituyen ,el complemento de A es elemento de  . 2. Si A1, A2, A3,…,An… es una sucesión numerable de sucesos en  ,también



An  

i 1

3.  PROBABILIDAD Definición: Probabilidad P es una función que asigna a cada suceso A   un número P(A), llamado probabilidad del suceso A, el cual cumple los axiomas siguientes. 1. P(A) ≥ 0  A   2. P ( Ω ) = 1 3. Para toda sucesión numerable de sucesos mutuamente excluyentes     A1 , A2 , A3 ,…,An ,… se cumple P  An  =  P  An   n 1  n 1 ALGUNOS RESULTADOS IMPORTANTES 1. P (  ) = 0 Demostración Sea A1=  , A2=  , A3 =  ,…, An =  ,…una sucesión numerable de sucesos 

disjuntos, entonces  =

An , luego tomando probabilidad a los sucesos de ambos n 1

   miembros de la ecuación tenemos P    = P  An  , luego por el axioma 3 de la  n 1  definición de Probabilidad

P   =



 P  A  , pero por definición de An=  n 1

n

tenemos P    =



 P    pero el único número real que satisface esta igualdad es el 0. n 1

Por lo tanto P    =0

 n  2. Si A1 , A 2 ,…, An son n sucesos mutuamente excluyentes se tiene P   Ai  =  i 1  n

 PA  i

i 1

Demostración Definimos los sucesos A1 , A2 , A 3 ,…, An , An+1=Ø , An+2=  , An+3=  ,….luego 

n

Ai = i 1

Ai y tomando Probabilidad a los sucesos en ambos miembros de la ecuación i 1

 n    P  Ai  = P  Ai  , pero por el axioma 3 de definición de Probabilidad  i 1   i 1    n  P  Ai  =  P  Ai  ,pero la sumatoria al infinito se puede descomponer como dos i 1  i 1  sumandos, uno de ellos desde i=1 hasta i=n y el otro dedes i=n+1 hasta  de la siguiente n   n  manera P  Ai  =  P  Ai  +  P  Ai  pero el segundo sumando i  n 1  i 1  i 1 igual a cero porque Ai=  desde i = n+1 al infinito y P    =0.

Por lo tanto



 P A 

i  n 1

i

es

 n  n P   Ai  =  P  Ai  .  i 1  i 1

3. P  A  B  = P ( A ) + P ( B ) - P  A  B  Demostración En la identidad 16 de teoría de conjuntos tenemos A  B = A  A´ B ; tomemos Probabilidad a los sucesos de ambos miembros de la ecuación P  A  B  = P ( A  A´ B ) y aplicando el resultado importante 2 tenemos P  A  B  = P (A) + P ( A´ B ) ….(*) y teniendo en cuenta la identidad 17 de Teoría de Conjuntos que dice B= AB  A´B Tomando Probabilidad P ( B ) = P ( AB  A´B ) Aplicando el resultado 2. P ( B ) = P (AB ) + P (A´B ) Despejando P ( A´B )= P ( B ) – P( AB ) ….(**) Reemplazando (**) en (*) tenemos P  A  B  = P ( A ) + P ( B ) - P  A  B  4. Si A  B entonces P ( A )  P ( B )

Demostración Por la identidad 17 de teoría de conjuntos B= AB  A´B …(*) Pero si A  B entonces AB = A …(**) reemplazando (**) en (*) tenemos B = A  A´B tomando Probabilidad a ambos sucesos P( B ) = P ( A ) + P ( A´B ) ; pero P ( A´B )  0 entonces P ( A )  P ( B )

5. Para cualquier suceso A se tiene P (A´ ) = 1- P ( A ) Demostración Por identidad 14 tenemos A  A´ = Ω ; tomando Probabilidad P(A  A´ ) = P ( Ω ), aplicando resultado 2 tenemos P ( A ) + P (A´ ) = 1 y despejando se obtiene P (A´ ) = 1- P ( A ). EXPERIMENTO ALEATORIO. CARACTERÍSTICAS 1. E1: Se lanza una moneda y se observa su cara superior. 2. E2: Se observa el sexo de un recién nacido. 3. E3: Se lanza dos monedas y se observa las caras superiores. Características 1. Es posible repetir el experimento indefinidamente sin cambiar esencialmente las condiciones. 2. Podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio. 3. Si el experimento se repite un gran número de veces aparece un modelo definido de regularidad denominado modelo de regularidad estadística. ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXPERIMENTO ALEATORIO Para los experimentos aleatorios presentados tenemos sus espacios muestrales correspondientes. 1.  1= c; s 2.  2= h; m 3.  3= cs; sc; cc; ss OCURRENCIA DE UN EVENTO Si al realizar el experimento aleatorio ocurre el suceso elemental ω y ω  A, entonces se dice que ha ocurrido el suceso A o que se ha realizado A. Debe tenerse en cuenta que por el hecho de que A ocurra no quiere decir que no ocurra otro suceso B. Ejemplo Sea E: Se lanza dos veces una moneda al aire entonces Ω = cc; cs; sc; ss . Sea el suceso A: sale cara en la primera jugada entonces A = cs; cc . Sea el suceso B: sale por lo menos una cara entonces B = cc; cs; sc . Si al realizar el experimento sale cc diremos que se ha realizado el suceso A y también el suceso B. OPERACIONES CON EVENTOS

Si A y B son dos sucesos tenemos 1. UNIÓN. A  B es el suceso siguiente: “Por lo menos uno de los sucesos ocurre”. De esta manera A  B ocurre en los 3 casos siguientes: i) Si A ocurre y B no. ii) Si B ocurre y A no. iii) Si A y B ocurren. 2. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Si ocurre uno de ellos no puede ocurrir el otro, es decir Si ω  A  ω  B y si ω  B  ω  A 3. SUBCONJUNTO A  B. Si ocurre el suceso A también ocurre el suceso B. Si ω  A  ω  B 4. INTERSECCION A  B = AB. Los dos conjuntos A y B ocurren simultáneamente. 5. SUCESO IMPOSIBLE  . No contiene ningún suceso elemental 6. SUCESO SEGURO. Cualquiera sea el suceso elemental ω que ocurra siempre ω  Ω. 7. SUCESOS IGUALES. A=B Todos los sucesos elementales de A lo son también de B: A  B y todos los sucesos elementales de B lo son también de A: B  A. 8. SUCESO COMPLEMENTO A´. No ocurre A. Sólo una de las posibilidades es verdadera: ω  A o ω  A. 

9. Si A1 , A 2 , A3 ,…es una sucesión numerable de sucesos entonces

Ai quiere decir i 1

“Por lo menos uno de los Ai ocurre”. ASIGNACION DE PROBABILIDADES A EVENTOS EN ESPACIOS FINITOS. Sea Ω un espacio muestral finito: Ω = 1;2 ;...;n  , un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada suceso elemental i   un número real pi llamado probabilidad de i que satisface las siguientes propiedades: i) Cada pi es no negativo, es decir pi  0. ii) La suma de los pi es cero, es decir p1+ p2+ p3+….+pn = 1 Ejemplo 1. Se lanza 3 monedas y se cuenta el número de caras que aparecen. Solución: Si observamos las caras superiores tendríamos: ccc, ccs,csc, css, scc, sss, ssc, scs pero el experimento consiste en contar el número de caras que aparecen entonces el muestral asociado será :  = 0,1, 2,3 entonces P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 1 y finalmente asociando probabilidad a cada suceso elemental tenemos : P ( 0 ) = P(2)=

1 , 8

P(1)=

3 , 8

3 1 , P(3)= 8 8

Ejemplo 2. Se carga una moneda de manera que la probabilidad de cara sea 3 veces la de sello. Hallar P ( c ) y P ( s ). Solución El espacio muestral  = {c, s}, entonces

P( c ) + P (s ) = 1, pero P(c) = 3P(s)  3P(s) + P(s) =1  4P(s) =1  P(s)= =

1 y 4

P(c)

3 . 4

Ejemplo 3. Tres estudiantes A, B, C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble que la de C. Si no hubo empates, hallar la probabilidad que gane B o C. Solución Sea Ω= 1 , 2 , 3 donde 1 : gana el estudiante A.

2 : gana el estudiante B 3 : gana el estudiante C. Sea el suceso M: “Gana B o C” p1 + p2 + p3 =1

pero

p1 = p2 y p1 =2p3

2p3 + 2p3 +p3 = 1 entonces 5p3 = 1 P(M)= p2 + p3 entonces P(M) =

despejando p3=

1 5

y reemplazando p2 =

2 5

2 1 3 + luego P(M) = 5 5 5

4. Un cliente entra a un supermercado. La probabilidad de que compre i) pan es 0,60 ii) leche es 0,50 iii) pan y leche es 0,30 ¿Cuál es la probabilidad de que compre pan ,leche ? SOLUCIÓN Sean los sucesos A: “El cliente compra pan” B: “El cliente compra leche” P(A  B) = P(A) + P(B) –P(AB) reemplazando tenemos P(A  B) = 0,60 + 0,50 -0,30 entonces P(A  B) = 0,80

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES Un espacio muestral finito  donde cada suceso elemental tiene la misma probabilidad de ocurrir se denomina un espacio equiprobable. Si  tiene n sucesos elementales entonces la probabilidad que ocurra cada suceso elemental 1 es . n #  A r Si A tiene r sucesos elementales entonces P ( A ) = . Por lo tanto P( A ) = . n #  Ejemplo. Se selecciona una carta al azar de una baraja de 52 cartas. Sea A={x   ;x es espada} , B={ x   ; x es figura, es decir J,Q, K }.Hallar P(A) , P(B) y P(A  B) 13 12 3 P(A) = P(B) = P(A  B) = . 52 52 52

TÉCNICAS DE CONTEO PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuando el procedimiento un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes y si después de efectuados un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1.n2.n3…. Ejemplo Un artículo manufacturado debe pasar por tres controles. En cada uno de los controles, se inspecciona una característica particular del artículo y se la anota de conformidad. En el primer control hay tres mediciones posibles mientras que en cada uno de los otros dos últimos controles hay cuatro mediciones posibles. ¿Cuántas maneras hay de anotar el artículo? 3 4 4 Hay 3x4x4= 48 maneras de anotar el artículo.

PERMUTACIONES Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número r de dichos objetos, r  n, en n! un orden dado se llama una permutación de los n objetos tomados r a la vez. nPr= .  n  r ! Ejemplo En un grupo hay seis personas, ¿De cuántas maneras se puede elegir un presidente y un secretario? 6! 6! = = 5x6 = 30 6P2=  6  2! 4! Observación: Nos interesa el orden. COMBINACIONES Si tenemos un conjunto de n objetos, una combinación de estos n objetos tomados r a la vez es n! Crn =  nr  = una selección donde el orden no se tiene en cuenta. r ! n  r ! Ejemplo En un grupo de 6 personas, ¿De cuántas maneras podemos elegir 2 representantes del grupo? Crn =  62  =

6! 5X 6 = = 15. Podemos elegir dos representantes de 15 maneras diferentes. 2!4! 2

DIAGRAMA DEL ARBOL Es una figura que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras. Ejemplo. Hallar el conjunto producto AXB.

a 1

b c

.

a 2

b c

Luego AXB=

1, a  , 1, b , 1, c  ,  2, a  ,  2, b ,  2, c 

PROBLEMAS RESUELTOS. Seis parejas de casados se encuentran en una habitación. i) Si se elige dos personas al azar, hallar la probabilidad de que: a) Sean esposos. b) Uno sea hombre y otro mujer. Solución a) El experimento aleatorio consiste en seleccionar 2 personas en un grupo de 12.¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 personas en un grupo de 12? C212 . Entonces el número de 12! 11X 12 elementos del espacio muestral es #   = C212 = = =66 . Sea el suceso A:”Las 2!10! 2 dos personas elegidas son esposos”.¿De cuántas maneras puedo elegir una pareja de esposos de un grupo formado por 6 parejas de esposos?...De 6 maneras. Entonces #(A) = 6. Por lo #( A) 6 1 tanto P(A) = = = . #    66 11 b) Sea el suceso B: “Uno es hombre y otro mujer”. ¿De cuántas maneras se puede elegir un hombre y una mujer en un grupo formado por 6 hombres y 6 mujeres? Entonces P(B) =

ii)

Solución

C16 C16 = 6X6.

#( B) 6 X 6 6 = = . 11 #    66

Si se elige 4 personas al azar , hallar la probabilidad de que : a) Se seleccione 2 parejas de casados. b) Ninguna pareja sean casados entre los 4. c) Haya exactamente una pareja de casados entre los 4.

a) El experimento aleatorio consiste en seleccionar 4 personas de un grupo formado por 12 personas. ¿De cuántas maneras se puede elegir 4 personas de un grupo de 12? C412 . Sea el suceso C: “ Se selecciona 2 parejas de casados”. ¿De cuántas maneras se puede elegir 2 parejas de casados en un grupo formado por 6 parejas de casados? C26 . #  C  C26 15 1 = 12 = = . 495 33 #    C4 b) Sea el suceso D: “Ninguna pareja son casados entre los 4”. Para lograr este objetivo procedamos de la siguiente manera : En primer lugar seleccionar 4 parejas de un grupo formado por 6 parejas; es decir hay C46 maneras . Contando con las 4 parejas

Entonces P( C ) =

seleccionadas, pasamos a elegir una persona de cada pareja; es decir C12 C12 C12 C12 16 X 15 16 = . 495 33 c) Si en 4 personas se cuenta el número de parejas de casados que puede ocurrir tenemos: 0 parejas de casados , 1 pareja de casados y 2 parejas de casados. Prestar atención y considerar un nuevo experimento aleatorio que consiste en contar el número de parejas de casados que se puede observar en un grupo de 4 personas. Entonces el nuevo espacio muestral es  = 0,1, 2 con las respectivas probabilidades asociadas P(0) + P(1) + P(2)

Entonces #(D)= C46 C12 C12 C12 C12 . Por lo tanto P(D)=

= 1, reemplazando las probabilidades conocidas de los incisos anteriores tenemos +

16 33

16 1 + P(1) = 1, por lo tanto P(1) = . 33 33

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Esta noción aparece del modo siguiente: Se dispone de información acerca de un suceso y se desea averiguar la probabilidad de otro suceso posterior tomando como dato que aquel suceso específico se ha realizado. Sea B un evento arbitrario de un espacio muestral  con P (B) >0. La probabilidad que un evento A suceda una vez que B haya sucedido o en otras palabras, la probabilidad P( A  B) condicional de A dado B se define como el cociente P(A/B) = , P (B)>0. P( B) CONSECUENCIAS TEOREMA 1. Si P (B)>0, P(./B) es una probabilidad es decir: 4. P(A/B)  0 para todo A   i) ii) P(  /B) = 1     iii) P   Ak / B  =  P  Ak / B  para cualquier sucesión numerable de sucesos  k 1  K 1 mutuamente excluyentes.

TEOREMA 2 Sea  un espacio muestral finito equiprobable con eventos A y B, entonces P(A/B) #  elementosdeA  B  = . #  elementosdeB  Ejemplo 1 Los empleados de una empresa son clasificados como personal gerencial o no gerencial y como graduados universitarios o no universitarios como sigue

Gerenciales No Gerenciales Totales

Universitarios 25 75 100

No universitarios 5 195 200

Total 30 270 300

Sea el suceso A: “Se selecciona un empleado gerencial” El suceso B: “Se selecciona un graduado universitario” Se elige un empleado al azar y la elección es un graduado universitario. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado sea gerencial sabiendo que es un graduado universitario? Solución #  elementosdeA  B  1 25 P(A/B) = = = . #  elementosdeB  100 4 Ejemplo 2 En cierta ciudad, la probabilidad de que llueva el día primero de junio es 0,50 y la probabilidad de que llueva los dos primeros días de junio es 0,40. Dado que llovió el día primero. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva al día siguiente? Solución Sea el suceso A: “Llueve el primero de junio” Se el suceso B: “Llueve el 2 de junio”. P(A) =0,50

P(A  B)= 0,40

P (B/A) =

P  B  A  0, 40 4 = = = 0,80. 5 0,50 P( A)

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Por definición de probabilidad condicional P(A/B) =

P  A  B , P(B) >0 P  B

Por la propiedad conmutativa A  B= B  A entonces P(A/B)=

P  B  A P  B

Luego P (B  A) = P(B). P(A/B). La lectura sería así: La probabilidad que ocurran simultáneamente los sucesos A y B es igual a la probabilidad que ocurra el primero por la probabilidad que ocurra el segundo sabiendo que el primero ya ocurrió.

TEOREMA DE CONDICIONAL.

LA

MULTIPLICACIÓN

PARA

PROBABILIDAD

Dados n+1 sucesos cualesquiera A0 , A1 ,…, An para los que P(A0A1…An-1) >0 se tiene P(A0A1…An) = P(A0)P(A1/A0)P(A2/A0A1)...P(An/A0A1…An-1). Demostración. La demostración se hará por inducción Si n=1 entonces por la regla de la multiplicación se cumple P(A0A1) = P(A0)P(A1/A0). Supongamos que se cumple para n=h entonces P(A0…Ah) = P(A0)P(A1/A0)…P(Ah/A0…Ah-1). (1) Demostrar que se cumple para n=h+1: P(A0…AhAh+1) = P(A0…Ah)P(Ah+1/A0…Ah) (2) Reemplazando (1) en (2) tenemos P(A0A1…AhAh+1) = P(A0)P(A1/A0)…P(Ah/A0…Ah-1) P(Ah+1/A0…Ah) Por lo tanto el teorema se cumple. Ejemplo. Un lote consta de 20 artículos defectuosos y 80 sin defectos. Si escogemos 2 artículos al azar sin sustitución, ¿cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos? Solución A: “ El primer artículo es defectuoso” B: “ El segundo artículo es defectuoso” 20 19 19 P(A  B) = P(A).P(B/A) = X = 100 99 495

PARTICIÓN. Definición Los sucesos A1,A2…Ak representan una partición del espacio muestral  si: i) Ai  Aj=  ;  i  j k

ii)

A =  i 1

i

iii) P(Ai)>0;  i. Es decir cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio ocurre uno y solo uno de los sucesos Ai. TEOREMA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES

 n  Si P  Ai  =1 donde n es un entero positivo o  y si P(An) >0 para todo n se tiene  i 1  n

cualesquiera que sea el suceso B, P(B) =

 P  A P  B / A  . i 1

i

i

DEMOSTRACIÓN B = A1B  A2B  …  AnB Tomando probabilidad a ambos miembros de la igualdad tenemos

P(B) = P(A1B  A2B  …  AnB) Tomando probabilidad a los sucesos mutuamente excluyentes P(B) = P(A1B) + P(A2B) +…+P(AnB) Aplicando la regla de la multiplicación P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) +...+ P(An)P(B/An) n

P(B) =

 P  A P  B / A  . i

i 1

i

Ejemplo La compañía ABC está considerando comercializar una computadora con determinadas características. De acuerdo con una investigación hecha en el mercado la probabilidad de que el producto tenga éxito es 0,80 si una firma competidora no introduce un producto similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la firma competidora comercializa un producto similar. Además la compañía estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora comercialice el producto.Calcule la probabilidad de que la computadora de ABC tenga éxito. Interpretar el problema con ayuda de un diagrama del árbol.

Éxito Otro comercializa Fracaso

Éxito Otro no comercializa Fracaso P(Éxito) = P(otro comercializa)P(éxito/otro comercializa)P(éxito/otro no comercializa). (3) P(éxito) = 0,40X0,30 + 0,60X0,80 P(éxito) = 0,12 + 0,48 P(éxito) = 0,60

comercializa)

+

P(otro

no

TEOREMA . REGLA DE BAYES

 n  P  Ai  = 1 donde n es entero positivo o infinito y P(B) >0 entonces  i 1  P  Ai  P  B / Ai  P(Ai/B) = n .  P  Ai  P  B / Ai  Si

i 1

Demostración P(Ai/B) =

P  Ai  B  = P( B)

P  Ai  P  B / Ai  n

 P A  PB / A  i 1

i

i

.

Ejemplo En el problema anterior dado que el producto de la compañía ABC tuvo éxito, ¿Cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya comercializado su producto? Solución Sea el suceso C: “La firma competidora comercializa un producto similar”. Sea el suceso E: “La computadora de ABC tiene éxito” P C  E  P(C ) P  E / C  0, 40 X 0,30 0,12 1 P(C/E) = = = = = . PE 5 0, 60 0, 60 P( E ) EVENTOS INDEPENDIENTES Sea C una colección de sucesos . Los sucesos de C se denominan mutuamente independientes si la probabilidad de que se realicen simultáneamente varios de ellos es igual al producto de sus probabilidades individuales. Definición. Si C consiste en solo un par de sucesos A y B éstos son independientes si P(AB) = P(A) P(B). Ejemplo . Se lanza un dado 2 veces. Se definen los sucesos A y B como sigue: A: “El primer dado muestra un número par” B: “El segundo dado muestra un 5 o un 6”

1,1 , 1, 2  , 1,3 , 1, 4  , 1,5  , 1, 6      2,1 ,....................................,  2, 6    3,1 ,....................................., 3, 6       =   4,1 ,.....................................,  4, 6    5,1 ,....................................., 5, 6       6,1 ,.....................................,  6, 6     P(A) =

18 1 = 36 2

P(B) =

1 12 = 3 36

P(A  B) = P(A).P(B) 1 1 1 = . 2 3 6 Por lo tanto A y B son 2 sucesos independientes.

P(A  B) =

1 6 = 36 6