2016 Osn Matematika Smp Kota (solusi).pdf

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA TAHUN 2016 KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 5 Maret 2016

BAGIAN A: PILIHAN GANDA 1.





2017  20162  16  2015 Nilai dari adalah .... 2020  20162  1 A. 2012 B. 2013





C. 2014 D. 2015 Pembahasan: A





2017  20162  16  2015 2020  20162  1





= = =

2016  1  20162  16 2016  1 2016  4  20162  1 2016  12016  1 20162  16 2016  4 20162  1 20162  1 2016  42016  4 2016  4  20162  1

= 2016 – 4 = 2012 2017  20162  16  2015 Jadi, nilai dari adalah 2012 2020  20162  1



2.







Misalkan x  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. 2 Jika x  , maka x  =.... 1 2 3 10    ...  1001 1002 1003 1010 A. 35 B. 36 C. 37 D. 38

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: C 2

Mencari pola penyelesaian untuk menentukan nilai dari x =

: 1 2 3 10    ...  1001 1002 1003 1010 2 2002 2 Pertama kita coba nilai dari = = = 36,4 55 1 2 3 10 55    ...  1001 1001 1001 1001 1001 2020 2 2 Kedua kita coba nilai dari = = = 36,727 1 2 3 10 55 55    ...  1010 1010 1010 1010 1010 Dari dua percobaan di atas, jelas bahwa nilai dari x berada di antara nilai 36,4 dan 36,727 atau nilai dari x adalah 36,4 < x < 36,727 Dengan demikian, nilai dari x  = 37 2 Jadi, Jika x  , maka x  = 37 1 2 3 10    ...  1001 1002 1003 1010

3.

Jika n! = n · (n – 1) · (n – 2) · .... · 2 · 1, maka 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = .... A. (n – 1)! + 1 B. (n + 1)! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n Pembahasan: B Perhatikan deret dari 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! Pada deret tersebut dapat diubah dalam bentuk pola sebagai berikut: = (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ....+ n! – (n – 1)! + (n + 1)! – n!) = – 1! + 2! – 2! + 3! – 3! + 4! – 4! + .... – (n – 1)! + n! – n! + (n + 1)! = – 1! + (n + 1)! = (n + 1)! – 1! = (n + 1)! – 1 Jadi, jumlah dari deret 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ....+ (n – 1) . (n – 1)! + n . n! = (n + 1)! – 1

4.

Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah .... cm2. A. 74,00 B. 72,25 C. 68,00 D. 63,75 Pembahasan: D

A

E

B

F G C

D

H

Perhatikan Ilustrasi gambar berikut. http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

A F

E

B 17 cm 8 cm

G D

17 cm

C

H Perhatikan segitiga BCE! Dengan pythagoras didapat panjang BE = 15 cm, sehingga panjang AE = 2 cm Perhatikan segitiga AEF! Misalkan panjang FE = x cm, maka panjang AF = (8 – x) cm Dengan pytahgoras didapat: x2 = (8 – x)2 + 22 = 64 – 16x + x2 + 4 0 = 68 – 16x x = 4,25 cm Perhatikan segiempat EFDC! Bangun tersebut merupakan layang-layang yang luasnya dua kali bangun segitiga DCF, karena panjang FE = FD = x = 4,25 cm Sehingga luas segiempat EFDC = 2 × Luas segitiga DCF 1 = 2 × × DC × FD 2 1 = 2 × × 17 × 4,25 2 = 17 × 4,25 = 72,25 Jadi, Luas segiempat EFDC adalah 72,25 cm2 5.

Diketahui dua titik A(1,1) dan B(12, –1). Garis l dengan gradien 

3 melalui titik B. Jarak antara 4

titik A dan garis l adalah .... satuan panjang. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Pembahasan: B

3 melalui titik B(12, –1), sehingga a = 12 dan b = –1 4 Dicari terlebih dulu persamaan garis l, sebagai berikut y – b = m(x – a) 3 sehingga m =  , a = 12 dan b = –1 4 y – b = m(x – a) 3 y – (–1) =  (x – 12) 4 Diketahui garis l dengan gradien m = 

http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

3 x+9 4 3 y =  x+8 4 3x + 4y – 32 = 0 y+1= 

Jarak antara titik yang memiliki koordinat A(1, 1) dengan garis lurus 3x + 4y – 32 = 0, adalah 3(1)  4(1)  32 Jarak = 32  4 2  25 = 25 25 = 5 =5 Jadi, Jarak antara titik A dan garis l adalah 5 satuan panjang

6.

Perhatikan gambar di samping. Jika BE = 2 cm, EF = 6 cm, dan FC = 4 cm, maka panjang DE adalah .... cm. 6 A. 4 6 B. 3 3 C. 4 2 3 D. 3

A

D B

E

F

C

Pembahasan: D Perhatikan ilustrasi gambar berikut. A

D B

2 cm E 6 cm

F 4 cm

C

Perhatikan segitiga AFC dan AFB, dengan konsep kesebangunan didapat AF FC   AF2 = FC × FB FB AF  AF2 = 4 × 8  AF2 = 32  AF = 32  AF = 4 2 Perhatikan segitiga AFC dan ABC, dengan konsep kesebangunan didapat

http://olimattohir.blogspot.co.id/

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

AC FC  BC AC

 AC2 = FC × BC

 AC2 = 4 × 12  AC2 = 48  AC = 48  AC = 4 3 Kemudian, perhatikan segitiga BDE dan ABC, dengan konsep kesebangunan didapat DE BE BE  DE = × AC  AC BC BC 2  DE = ×4 3 12 2 3  DE = 3 2 3 Jadi, panjang DE adalah cm 3 7.

Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 15 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi 1 m yang mempunyai bayangan sepanjang 3 m. Radius bola tersebut adalah .... m. 15 A. 10  3 15 B. 10  3 10 C. 52 10 D. 52 Pembahasan: A Perhatikan ilustrasi gambar berikut. C D r r 15 m O E 1m A 3 m F 15 m B Berdasarkan ilustrasi gambar di atas, coba perhatikan segitiga AFE dan ABC! Dengan konsep kesebangunan didapat panjang AC = 5 m, sehingga panjang OC = 5 – r, dan berdasarkan pythagoras didapat panjang EF = 10 m dan panjang BC = 5 10 . Sehingga panjang CD = 5 10 – 15 Kemudian perhatikan segitiga ODC!, dengan pytahgoras didapat OD2 + CD2 = OC2 r2 + (5 10 – 15)2 = (5 – r)2 r2 + 250 – 150 10 + 225 = 25 – 10r + r2

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

475 – 150 10 = 25 – 10r 10r = 25 + 150 10 – 475 10r = 150 10 – 450 r = 15 10 – 45 atau 10  3 r = 15 10  3  10  3 15 10  3 10  3 r = 10  3 1510  9 r = 10  3 15 r = 10  3 15 Jadi, radius bola tersebut adalah m 10  3

        

8.



 

Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 – x2014 = x2015 – x2013 adalah .... A. B. C. D.

0 1 2 3

Pembahasan: D x2016 – x2014 x – x – x2015 + x2013 x2014(x2 – 1) – x2013(x2 – 1) (x2014 – x2013)(x2 – 1) x2013(x – 1)( x2 – 1) x2013(x – 1)( x – 1)(x + 1) x2013(x – 1)2(x + 1) 2016

2014

1) x2013 = 0 2) (x – 1)2 = 0 3) (x + 1) = 0

x=0 x=1  x = –1

= x2015 – x2013 =0 =0 =0 =0 =0 =0 ada 3 nilai x yang memenuhi

Jadi, banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 – x2014 = x2015 – x2013 adalah 3 9.

Jika sistem persamaan mx + 3y = 21 4x – 3y = 0 memiliki penyelesaian bilangan bulat x dan y, maka nilai m + x + y yang mungkin adalah .... A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: B Dengan metode eliminasi didapat: mx + 3y = 21 4x – 3y = 0 – (m + 4)x = 21 21 x = (m  4) karena nilai x harus merupakan bilangan bulat, maka nilai m + 4 haruslah merupakan faktor dari 21. Faktor positif dari 21 terdiri dari 1, 3, 7, 21 1) m + 4 = 1, maka nilai x = 21 (tidak memenuhi) 2) m + 4 = 3, maka nilai x = 7 (memenuhi untuk nilai x) didapat nilai m = –1 (tapi tidak terpenuhi untuk nilai y bilangan bulat) 3) m + 4 = 7,

maka nilai x = 3

(memenuhi untuk nilai x) didapat nilai m = 3 (nilai y juga memenuhi, yaitu y = 4)

4) m + 4 = 21,

maka nilai x = 1

(memenuhi untuk nilai x) sehingga didapat nilai m = 17 (tapi tidak terpenuhi untuk nilai y bilangan bulat)

Dengan demikian nilai yang memenuhi m = 3, x = 3, dan y = 4, sehingga m + x + y = 3 + 3 + 4 = 10 Jadi, nilai m + x + y yang mungkin adalah 10

10.

Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:  25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;  90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri. Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah .... A. 9 : 1 B. 9 : 2 C. 9 : 3 D. 9 : 4 Pembahasan: D Misalkan banyak siswa putra adalah x banyak siswa putri adalah y Berdasarkan hasil survei pertama didapat Banyak siswa yang berminat mengikuti kegiatan paskibraka = 25% x + 50% y 1 1 = x+ y 4 2 Berdasarkan hasil survei kedua didapat 1 1 Dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri = 90%( x + y) 4 2 9 1 1 = ( x + y) 10 4 2

http://olimattohir.blogspot.co.id/

7

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Dengan demikian, didapat

9 1 1 ( x + y) 10 4 2 1 1 9( x + y) 4 2 9(x + 2y) 9x + 18y 9x y:x

=

1 y 2

1 y) 2 = 10(2y) = 20y = 2y =9:2 = 10(

kedua ruas dikalikan 4

Jadi, rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah 9 : 2

11.

Suatu fungsi ditentukan dengan rumus untuk x genap 2 x  1, f x    untuk x ganjil 2 x  1, Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah .... A. 21 B. 39 C. 61 D. 77 Pembahasan: B Berdasarkan informasi dari soal, maka perlu kita gunakan cara coba-coba untuk mempersingkat waktu, yakni dengan menguji satu-persatu nilai f(a) yang terdapat pada pilihan berikut. No.

f(a)

1.

21

2.

39

3.

61

4.

77

f(a) = 2a + 1, untuk a genap 21 = 2a + 1 2a = 20 a = 10 39 = 2a + 1 2a = 38 a = 19 (19 untuk f(a) ganjil) 61 = 2a + 1 2a = 60 a = 30 77 = 2a + 1 2a = 76 a = 38

f(a) = 2a – 1, untuk a ganjil

Keterangan

-

Benar untuk nilai a genap

39 = 2a – 1 2a = 40 a = 20 (20 untuk f(a) genap)

Tidak ada nilai yang memenuhi untuk f(a) = 39

-

Benar untuk nilai a genap

-

Benar untuk nilai a genap

(untuk mengetahui nilai f(a), boleh mencari satu-persatu dengan mensubstitusikan bilangan asli tersebut ke rumus fungsi yang telah ditentukan)

Jadi, nilai yang tidak mungkin untuk f(a) adalah 39 12.

Banyak bilangan bulat k > –20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran x2 + y2 = 9 adalah .... A. 20 B. 19 C. 11 D. 10

http://olimattohir.blogspot.co.id/

8

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Pembahasan: D Diketahui: y = x2 + k dan x2 + y2 = 9 Untuk menentukan titik potong, maka persamaan keduanya harus sama, yakni Terlebih dulu persamaan dari y = x2 + k diubah menjadi x2 = y – k x2 + y2 = 9 diubah menjadi x2 = 9 – y2, sehingga 2 y–k=9–y y2 + y – (k + 9) = 0 kemudian kita selidiki nikai k dengan deskriminan D = 0  b2 – 4ac = 0  (1)2 – 4(1)[– (k + 9)] = 0  1 + 4k + 36 = 0  4k = –37  k = –9,25 Artinya parabola y = x2 + k akan berpotongan dengan lingkaran x2 + y2 = 9 pada daerah nilai k adalah –9,25 < k ≤ 3. Sehingga, selain dari daerah nilai k tersebut kedua persamaan yang dimaksud tidak akan berpotongan, yakni nilai k < –9,25 dan k > 3 Karena diketahui bilangan bulat k > –20, maka kedua persamaan tersebut tidak akan pernah berpotongan ketika nilai k > 3 Jadi, tidak ada pilihan jawaban yang tersedia pada nomor soal 12 ini Akan tetapi, jika yang diketahui bilangan bulat negatif k > –20, maka kedua persamaan tersebut tidak akan pernah berpotongan ketika nilai –20 < k < –9,25; yaitu {–19, –18, –17, –16, –15, –14, –13, –12, –11, –10}. Dengan demikian ada 10 nilai k yang memenuhi Coba perhatikan ilustrasi gambar berikut:

Jadi, banyak bilangan bulat negatif k > –20 sehingga parabola y = x2 + k tidak berpotongan dengan lingkaran x2 + y2 = 9 adalah ada 10 http://olimattohir.blogspot.co.id/

9

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

13.

Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut. 100% 80% 60% 40% 20% 0% 2012

2014

2013 % Produk A

2015

% Produk B

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut. Tahun

2012

2013

2014

2015

Produk A

1200

2400

2400

3600

Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah .... A. 1000 B. 1340 C. 1350 D. 1500 Pembahasan: C Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun

2012

2013

2014

2015

Produk A

1200

60%

2400

80%

2400

40%

3600

90%

Produk B

a

40%

b

20%

c

60%

d

10%

40% × 1200 = 800 60% 20% b= × 2400 = 600 80% a=

60% × 2400 = 3600 40% 10% d= × 3600 = 400 90%

c=

a  b  c  d 800  600  3600  400 5400 = = = 1350 4 4 4 Jadi, rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah 1350

Dengan demikian, rata-ratanya =

http://olimattohir.blogspot.co.id/

10

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

14.

Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah .... A.

5 13

B.

8 26

C.

19 52

D.

31 104

Pembahasan: B Menurut informasi pada soal bahwa Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13, maka banyak masing-masing kartu ada 26 dan total semua kartu sebanyak 104 26 104 6 Banyak kartu bernomor 13 ada 8 – 2 = 6, maka peluang terambil kartu bernomor 13 = 104 26 6 Dengan demikian, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 = + 104 104 32 = 104 8 = 26 8 Jadi, Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah 26

Banyak kartu berwarna merah ada 26, maka peluang terambil kartu berwarna merah =

15.

Terdapat lima bilangan bulat positif dengan rata-rata 40 dan jangkauan 10. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah .... A. 50 B. 49 C. 48 D. 45 Pembahasan: C Misalkan lima bilangan tersebut adalah a, b, c, d, dan e Bilangan terbesar e dan bilangan terkecil a abcd e Maka  40  a + b + c + d + e = 200 5 e – a = 10

http://olimattohir.blogspot.co.id/

11

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

 b + c + d + e + a = 200 e – a = 10 + b + c + d + 2e = 210 210  b  c  d  e= 2  Jika dianggap kelima bilangan sama, maka masing-masing bilangannya adalah 40 sehingga untuk (b + c + d) = 40×3 = 120 210  120 90 oleh karena itu, e = = = 45  maka e = 45 dan a = 35 2 2 210  117 93  Akan tetapi jika (b + c + d) = 39×3 = 117  e = = = 46,5 (tidak memenuhi) 2 2 210  114 96  Coba kita cek lagi untuk (b + c + d) = 38×3 = 114  e = = = 48 2 2 maka e = 48 dan a = 38 a + b + c + d + e = 200

Jadi, nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah 48

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: [email protected] Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

12

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN / KOTA TAHUN 2016 KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDID KAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 5 Maret 2016

BAGIAN B: ISIAN SINGKAT

1.

 1 2  4  2  4  8  ....  n  2n  4n   Nilai dari   1 3  9  2  6 18  ....  n  3n  9n  Pembahasan:

2

3

adalah ....

4 9

 1 2  4  2  4  8  ....  n  2n  4n     1 3  9  2  6 18  ....  n  3n  9n 

2

3

 

 

1 2  4  1  8  16  ....  n3  =  3   1 3 9  1  8  16  ....  n   1 2  4   =   1 3 9   23  =  3  3 

2  = 3  3

3

2

2

2

2

2

3

3

3

3 3

22 = 2 3 4 = 9  1 2  4  2  4  8  ....  n  2n  4n   Jadi, nilai dari   1 3  9  2  6 18  ....  n  3n  9n  2.

2

3

adalah

4 9

Bilangan bulat terbesar n agar 2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 dapat dibagi 6n adalah .... Pembahasan: 26

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 = (2×1) · (2×3) · (2×5) · (2×7) · (2×9) · ... · (2×99) 100 bilangan 2 sebanyak = = 50 2 = 250 · (1 · 3 · 5 · 7 · 9 · ... · 99) = 250 · (3 · 9 · 15 · 21 · 27 · 33 · 39 · 45 · 51 · 57 · 63 · 69 · 75 · 81 · 87 · 93 · 99) × (1 · 5 · 7 · 11 · ... · 97) = 250 · (3×1) · (32) · (3×5) · (3×7) · (33) · (3×11) · (3×13) · (32×5) · (3×17) · (3×19) · (32×7) · (3×23) · (3×25) · (34) · (3×29) · (3×31) · (32×11) × (1 · 5 · 7 · 11 · ... · 97) bilangan 3 sebanyak = 26 = 250 · 326 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = 224 · 226 · 326 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = 226 · 326 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = (2 · 3)26 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) = 626 · 224 · (1 · 5 · 9 · ... · 97) Jadi, bilangan bulat terbesar n agar 2 · 6 · 10 · 14 · 18 · ... · 198 dapat dibagi 6n adalah 26 3.

Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut dengan volume 392π cm3. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan volume 1344π cm3. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah .... cm. Pembahasan: 25 cm Perhatikan iludtrasi gambar berikut c

b a

a

(i) Vi =

1 π a2 b 3

dan

c

b

(ii) Vii =

1 π b2 a 3

Kemudian mencari pola penyelesaian dari hubungan kedua volune kerucut tersebut, yakni sebagai berikut.

Vi  Vii

 a2 b 1  b2 a 3 1

3



392 = 1344



 a (ab) 1  b( ab) 3

1

3

a 7 = 24 b

Artinya bahwa nilai a = 7n dan b = 24n dengan n bilangan bulat Kemudian mencari nilai n dengan cara mensubstutusikan kesalah satu volume gambar (i) atau (ii), yakni sebagai berikut. 1 1 Vi = π a2 b  392π = π (7n)2 (24n) 3 3 http://olimattohir.blogspot.co.id/

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

 392 = (7n)2 (8n)  392 = 392n3 

n =1

Dengan demikian, panjang a = 7(1) = 7 cm dan b = 24(1) = 24 cm. Dengan pytagoras dicapat panjang c = 25 cm Jadi, panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 25 cm

4.

Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di samping. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Luas permukaan balok terpancung adalah .... satuan luas.

Pembahasan: 216 satuan luas Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

(a)

(b)

(c)

Dengan pytahgoras didapat panjang bangun datar yang dicetak tebal (persegipanjang) = 5 dan lebarnya = 3. Sehingga luasnya = 5 × 3 = 15 satuan luas. Balok terpancung terdapat pada gambar (c), sehingga luas permukaannnya sebagai berikut. Luas gambar (c) = Luas gambar (a) – Luas gambar (b) tanpa luas persegi panjang + Luas persegipanjang 1 = 2(11×3 + 11×6 + 3×6) – (2× ×3×4 + 3×3 + 3×4) + (3×5) 2 = 2(33 + 66 + 18) – (12 + 9 + 12) + (15) = 234 – 33 + 15 = 216 Jadi, Luas permukaan balok terpancung adalah 216 satuan luas

5.

f1 x , f 2 x , f 3 x , .... sedemikian barisan fungsi 1 f n1 x   untuk bilangan n ≥ 1. Nilai dari f 20162016  .... 1  f n x 

Diketahui

Pembahasan:

sehingga

f1 x   x dan

2015 2016

Diketahui f1 x   x dan f n1 x  

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1 untuk bilangan n ≥ 1 1  f n x  3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Kemudian mencari pola dari deret fungsi f, sebagai berikut. f1 x   x 1 1 f 2 x    1  f1 x  1  x 1 1 x 1 f 3 x     1  f 2 x  1  1 x 1 x 1 1 f 4 x    x 1  f 3 x  1  x  1 x ... ... .. dan seterusnya akan berulang setiap 3 suku.. Sehingga untuk f 20162016 , cukup 2016 : 3 = 672 (habis dibagi 3) Dengan demikian, f 20162016 terdapat pada suku ke-3 yaitu f 20162016 = Jadi, nilai dari f 20162016  6.

2016  1 2015 = 2016 2016

2015 2016

Jika akar-akar persamaan 2016 x   2015  2017x  1  0 adalah m dan n dengan m > n, serta 2

akar-akar persamaan x 2  2015x  2016  0 adalah a dan b dengan a > b, maka m – b = .... Pembahasan: 2017

2016x2  2015  2017x  1  0

 2016 x   2016  12016  1x  1 = 0 2



2016 x2  20162  1x  1 = 0

 





20162 x 2  20162  1 x  1 = 0 20162 x  1 x  1 = 0 1  sehingga x =  atau x = 1 2016 2 Diketahui m dan n merupakan akar-akar persamaan kuadratnya dan m > n, maka m = 1 x 2  2015x  2016  0





 x  2016x  1 = 0  sehingga x = –2016 atau x = 1

Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadratnya dan a > b, maka b = –2016 Dengan demikian, m – b = 1 – (– 2016) = 1 + 2016 = 2017 Jadi, maka m – b = 2017 7.

Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah an dengan

untuk n  2k  1 3k an   51  k untuk n  2k Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah .... Pembahasan: 5100 Untuk n = 1, n = 2,

k=1 k=1

http://olimattohir.blogspot.co.id/

 a1 = 3  a2 = 50 4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

n = 3,  k = 2  a3 = 6 n = 4,  k = 2  a4 = 49 n = 5,  k = 3  a5 = 9 n = 6,  k = 3  a6 = 48 ... ... ... dan seterusnya Berdasarkan pola di atas, terdapat dua kelompok barisan dengan beda tetap, yaitu a) 3, 6, 9, ....., 3n b) 50, 49, 48, ...., 51 – n Sehingga untuk mengetahui jumlah 100 suku pertama, cukup mengetahui jumlah 50 suku pertama dari masing-masing deret tersebut. a) 3 + 6 + 9 + ..... + 150 = 25(6 + 49×3) = 25(153) = 3825 b) 50 + 49 + 48 + .... + 1 = 25[100 + 49×(–1)] = 25(51) = 1275 Dengan demikian total jumlah 100 suku pertama = 3825 + 1275 = 5100 Jadi, jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah 5100 8.

Misalkan x dan y merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi 4x + 7y = 2016. Banyak pasangan (x, y) yang mungkin adalah .... Pembahasan: 71 4x + 7y = 2016 4x + 7y = 2016 7y = –4x + 2016 4x = –7y + 2016 4 7 y =  x + 288 x =  y + 504 7 4 Karena x dan y merupakan bilangan asli berbeda, maka nilai x harus kelipatan 7 dan nilai y harus kelipatan 4. Kemudian, berdasarkan kedua persamaan di atas, dapat ditentukan juga bahwa nilai x maksimal adalah 504 – 7 = 497 dan nilai y maksimal adalah 288 – 4 = 284

497 284 = 71 atau banyak nilai y = = 71 7 4 Akan tetapi, perlu kita selidiki apakah ada nilai x yang sama dengan nilai y, misalkan x = y maka 4x + 7x = 2016  11x = 2016  x = 183,27 (bukan bilangan asli), oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa x ≠ y Dengan demikian, banyak nilai x =

Jadi, Banyak pasangan (x, y) yang mungkin adalah 71

9.

Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku tersebut adalah .... Pembahasan: 420 cara Diantara 8 buku berbeda masing-masing anak A, B, dan C sudah ditentukan banyak buku yang akan mereka dapatkan, yaitu masing-masing akan mendapatkan 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Sehingga banyak cara pembagian buku yang akan mereka dapatkan dari delapan buku tersebut sebanyak = 8C4 × 4C2 × 2C2 =

8! 4! 2! × × = 70×6×1 = 420 4!4! 2!2! 0!2!

Jadi, banyak cara pembagian buku tersebut adalah 420 cara

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

10.

Di kelas VIII terdapat 11 siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah .... Pembahasan: 60 Diketahui nilai 10 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 20, 10, 40, 80, 50, 60, 40, 70, 90, dan 30. Jika data tersebut diurutkan: 10, 20, 30, 40, 40, 50, 60, 70, 80, 90 Diketahui juga nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Misalkan nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan adalah a Sehingga, median = nilai rata-rata Total jumlah dari 10 + 20 + 30 + 40 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 490 a  490 = Median (Me) 11 a  490 = Me 11 a + 490 = 11Me a = 11Me – 490 Dengan mempehatikan data yang ada, maka kemungkinan nilai Mediannya 49 ≤ Me ≤ 50 Selanjutnya, kita selidiki satu-persatu apakah mediannya sama dengan rata-ratanya Untuk Me = 49  a = 11Me – 490  a = 11(49) – 490  a = 539 – 490  a = 49 Sehingga urutan datanya: 10, 20, 30, 40, 40, 49, 50, 60, 70, 80, 90 Median = rata-rata = 49 dan a = 49  a = 11Me – 490  a = 11(50) – 490  a = 550 – 490  a = 60 Sehingga urutan datanya: 10, 20, 30, 40, 40, 50, 60, 60, 70, 80, 90 Median = rata-rata = 50 dan a = 60 Karena yang diminta oleh soal merupakan nilai terbesar untuk nilai a, maka a yang digunakan adalah a = 60 Untuk Me = 50

Jadi, nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah 60

Disusun oleh : Mohammad Tohir Jika ada saran, kritik maupun masukan silahkan kirim ke- My email: [email protected] Terima kasih. My blog : http://matematohir.wordpress.com/ http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

6