2009 Mf Efolioa

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. I.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

No de Estudante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Turma: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidade Curricular: Matem´atica Finita Data: 21 a 27 de Abril

C´ odigo: 21082

Ano Lectivo: 2008/09

Docente: Ana Lu´ısa Correia

Classifica¸c˜ ao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Um e-F´olio ´e uma actividade avaliada e individual. A submiss˜ao do e-F´olio sup˜oe, sob compromisso de honra, que o aluno respondeu `as quest˜oes individualmente e que n˜ao recebeu aux´ılio de ningu´em nem prestou aux´ılio a nenhum colega.

˜o do e-F´ Para a resoluc ¸a olio A, aconselha-se que: • Imprima este documento (n˜ao necessariamente a cores). • Preencha devidamente o cabe¸calho do exemplar. • O e-F´olio ´e composto por 6 quest˜oes, cont´em 3 p´aginas e termina com a palavra FIM. Responda `as quest˜oes de escolha m´ ultipla no espa¸co destinado ao efeito. Para resolver as restantes quest˜oes pode usar no m´aximo 5 p´aginas A4 . • Utilize, sempre, uma letra leg´ıvel. • Depois de ter realizado o e-F´olio digitalize-o e carregue-o, na p´agina moodle da unidade curricular, em “e-F´olio A”, no t´opico 6, at´e ao dia 27 de Abril de 2008.

˜o e cotac ˜ o: Crit´ erios de avaliac ¸a ¸a • Com excep¸c˜ao das 3 quest˜oes de escolha m´ ultipla do Grupo I, ter´a de justificar todas as respostas e apresentar os c´alculos realizados. N˜ao ser˜ao pontuadas respostas que n˜ao sejam acompanhadas de uma justifica¸c˜ao, mesmo que estejam correctas. • A cota¸c˜ao total deste e-F´olio ´e de 4 valores. • Cada quest˜ao de escolha m´ ultipla do grupo I tem a cota¸c˜ao de 0.3 valores. Por ´ considerada errada uma cada resposta errada ser˜ao descontados 13 valores. E quest˜ao com mais de uma resposta. A classifica¸c˜ao m´ınima destas 3 quest˜oes ´e de 0 valores. As cota¸c˜oes s˜ao as seguintes: Grupo I C E R T AS

e-F´olio A

0 1 2 3

ERRADAS 0 1 2 0.0 0.0 0.0 0.3 0.2 0.1 0.6 0.5 0.9

3 0.0

4. 0.3 val.

5. 1.4 val.

6. 1.4 val.

1

Grupo I Em cada quest˜ao apenas uma das afirma¸c˜oes a), b), c), d) ´e verdadeira. Indique-a marcando × no quadrado respectivo. Caso pretenda anular alguma das suas respostas, basta escrever “Anulado” junto a essa resposta e indicar, se for caso disso, a que pretenda que seja considerada. 1. Seja X um subconjunto enumer´avel de R. Considere as afirma¸c˜oes seguintes: (i) O conjunto R \ X ´e enumer´avel; (ii) O conjunto X ∩ (R \ Z) ´e enumer´avel; (iii) X × Q ´e enumer´avel. Ent˜ao: a) Nenhuma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira. b) Apenas uma das afirma¸c˜oes ´e sempre verdadeira. c) Apenas duas das afirma¸c˜oes s˜ao sempre verdadeiras. d) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras. 2. No desenvolvimento da potˆencia (x + y + z)n+2 , com n ≥ 1, o coeficiente do mon´omio x2 y n−1 z ´e 30. Ent˜ao o valor de n ´e: a) 3

c) 5

b) 4

d) 6

3. Organizou-se um jantar para 12 antigos colegas de faculdade que se ir˜ao sentar numa mesa redonda num restaurante. Por uma discuss˜ao antiga dois deles, designemos por A e B, n˜ao se falam. Ent˜ao o n´ umero de maneiras de sentar as 12 pessoas de maneira a que A e B n˜ao se sentem ao lado um do outro, nem em frente um ao outro ´e: a) 9 · 10!.

c) 10 · 11!.

b) 8 · 10!.

d) 8 · 9!.

Verdadeiro/Falso Para mostrar que uma afirma¸c˜ao verdadeira tem de apresentar uma demonstra¸c˜ ao. Para mostrar que ´e falsa tem de obter uma contradi¸c˜ao ou exibir um contra-exemplo.

4. Diga, justificando, se ´e verdadeira ou falsa a afirma¸c˜ao seguinte: X X X X (−1)#(S\T ) . (−1)#(S\T ) = T ⊆S S⊆[3] #S par #T ´ımpar

2

T ⊆S S⊆[3] #S ´ımpar #T par

21082 - Matem´atica Finita

Justifique todas as afirma¸c˜oes e apresente os c´alculos realizados para as obter. Grupo II

5. Considere as 23 letras do alfabeto, com as quais queremos formar palavras com 8 letras que podem aparecer repetidas. a) Determine o n´ umero de palavras que tˆem exactamente 3 vogais que s˜ao distintas. b) Determine o n´ umero de palavras que tˆem, pelo menos, 3 vogais sem restri¸c˜oes. [Note que as palavras podem ter, por exemplo, 8 vogais.] c) Determine o n´ umero de palavras em que n˜ao ocorrem as subpalavras “ai”, “eu”, “ou” e “au”. 6.

a) Demonstre, pelo m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica que, para todo n ≥ 0, n X

(−1)k k =

k=0

(−1)n (2n + 1) − 1 . 4

b) Prove, pelo m´etodo da perturba¸c˜ao que n X

(−1)k k 2 =

k=0

(−1)n n(n + 1) . 2

c) Use o resultado da al´ınea anterior para calcular a diferen¸ca entre a soma dos quadrados dos primeiros 200 n´ umeros inteiros positivos pares e a soma dos quadrados dos 200 primeiros inteiros positivos ´ımpares. FIM

e-F´olio A

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