2009 Mf Actividade Formativa 3

21082 - Actividade Formativa 3 ´ltipla I - Escolha mu Em cada quest˜ao apenas uma das afirma¸co˜es a), b), c), d) ´e verdadeira. Indique-a marcando × no quadrado respectivo. ! an = bn−1 − 2an−1 1. Sejam "an # e "bn # duas sucess˜oes definidas pelo sistema , n ≥ 1. bn = 3bn−1 − an−1 Sabendo que a0 = 1, b0 = 1, ent˜ao: a) bn+1 = bn + 5bn−1 para todo n ≥ 1. b) an + bn = −3n+1 + 5 · 2n para todo n. c) an = bn para todo n. d) a2n+1 = −1 para todo n. 2. Relativamente `a sucess˜ao "un #, un = 7n − 2n , n ≥ 0, considere as afirma¸c˜oes seguintes: (i) Cada termo un da sucess˜ao ´e um m´ ultiplo de 5, (ii) "un # coincide com a sucess˜ ao "vn # definida por v0 = 0, v1 = 5, vn = 9vn−1 − 14vn−2 , n ≥ 2. a) Ambas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras. b) A afirma¸ca˜o (i) ´e verdadeira, mas a afirma¸ca˜o (ii) ´e falsa. c) A afirma¸c˜ao (i) ´e falsa, mas a afirma¸c˜ao (ii) ´e verdadeira. d) Ambas as afirma¸c˜oes s˜ao falsas. 3. Seja an = 2n + 3(−1)n uma solu¸c˜ao de uma f´ormula de recorrˆencia xn = axn−1 + bxn−2 , com a, b ∈ R, n ≥ 2, cujas ra´ızes do polin´omio caracter´ıstico s˜ao α e β. Ent˜ao: a) a = 1, b = 3.

c) α = 1, β = 3.

b) a = 2, b = −1.

d) α = 2, β = −1.

1

4. Para cada n´ umero natural n ≥ 1, an ´e o n´ umero de sequˆencias bin´arias de comprimento n que terminam em 1 e n˜ao contˆem nenhum bloco 00. Qual das seguintes rela¸co˜es de recorrˆencia define an ? a) an = an−1 + an−2 com a1 = 1, a2 = 1. b) an = an−1 + an−2 com a1 = 1, a2 = 2. c) an = an−1 + 2an−2 com a1 = 1, a2 = 1. d) an = an−1 + 2an−2 com a1 = 1, a2 = 2. 5. O desenvolvimento em s´erie da fun¸c˜ao (geradora) a)

∞ "

3n2n tn .

c)

n=0

b)

t2

∞ " 1 + 3n

2n

n=0

∞ " 1 + 3n

2n+2

n=0

n

t .

d)

t+1 ´e? − 4t + 4

∞ "

tn .

(2 + 3n)2n tn .

n=0

6. Considere a s´erie formal A(t) =

∞ "

(−1)n tn . Ent˜ao:

n=0

2

a) A(t) =

∞ "

n

2

t .

c) A(t) =

n=0

2

b) A(t) =

∞ "

∞ "

2

n n

d) A(t) =

2(−1) t .

an tn e B(t) =

n=0

B(t) ´e igual a: a)

(n + 1)(−1)n tn .

n=0

∞ "

(−1)n t2n .

n=0

n=0

7. Sejam A(t) =

∞ "

∞ "

bn tn . Se b2k =

n=0

a2i e b2k+1 =

i=0

A(t) . 1 − t2

c) A(t2 ).

b) A(' k ´e ´ımpar ' +t2 ). 1 8. O coeficiente de tn no produto 2 t −4 % &n+1 1 a) − . 2 % &n+1 1 b) . 2

k "

d)

A(t2 ) . 1−t

#∞ $−1 " 1 n t ´e igual a: 2n+1 n=0 % &n+1 1 c) − − . 2 % &n+1 1 d) − . 2

2

k " i=0

a2i+1 , ent˜ao

II - Problemas Justifique todas as afirma¸c˜oes e apresente os c´alculos realizados para as obter 9. Determine a solu¸ca˜o da rela¸ca˜o de recorrˆencia xn = 2n − xn−1 , com x0 = 1, pelo m´etodo da substitui¸ca˜o de diante para tr´as. 10. Considere a sucess˜ao "dn # definida por d0 = 1 e por dn = ndn−1 + 1, para n ≥ 1. n " 1 a) Mostre, por indu¸c˜ao matem´atica, que dn = n! . k! k=0

b) Obtenha a igualdade acima pelo m´etodo da substitui¸c˜ao de diante para tr´as. 11. No decurso da resolu¸c˜ao dum determinado problema diz-se que se est´a no n-´esimo estado se, e somente se, se estiver a n passos da solu¸c˜ao. Em cada estado n h´a cinco caminhos a seguir com vista a chegar `a solu¸ca˜o. Dois destes caminhos conduzem ao estado n − 1, enquanto os outros trˆes conduzem ao estado n − 2. Seja an o n´ umero de maneiras de chegar `a solu¸ca˜o a partir dum estado n. Suponha que a1 = 2. a) Mostre que a2 = 7. b) Obtenha uma rela¸ca˜o de recorrˆencia para an e resolva-a. 12. Designe por an o n´ umero de maneiras distintas de pavimentar uma superf´ıcie rectangular de dimens˜oes 2 por n com azulejos de dimens˜oes de 2 por 2 (todos iguais) e 1 e por 2 (tamb´em todos iguais). Determine uma rela¸c˜ao de recorrˆencia para a sucess˜ao < an >n≥1 e use-a para explicitar o termo geral an . 13. O Professor Cabe¸cudo costuma subir escadas de modo err´atico. Umas vezes sobe um degrau, outras vezes sobe dois degraus de uma s´o vez. Encontre uma f´ormula para o n´ umero an de maneiras diferentes do Professor subir escadas com n degraus. 14. Considere a rela¸c˜ao de recorrˆencia xn = xn−1 − xn−2 , n ≥ 2, sujeita `as condi¸c˜oes iniciais x0 = 2, x1 = 4. Determine, por recurso ao m´etodo do polin´omio caracter´ıstico, a solu¸c˜ao an , n ≥ 0. 15. Sejam "an # e "bn # duas sucess˜oes definidas recursivamente pelo sistema ! an = 3bn−1 − an−1 , n≥1 bn = bn−1 + an−1 e pelos termos a0 = 4, b0 = 0. a) Determine os termos a1 e a2 da sucess˜ao "an # e os termos b1 e b2 da sucess˜ao "bn #. b) Determine as express˜oes dos termos gerais an e bn . 16. Aplique o m´etodo das fun¸c˜oes geradoras para determinar a solu¸ca˜o da rela¸ca˜o de recorrˆencia xn = 6xn−1 − 12xn−2 + 8xn−3 , com x0 = 1, x1 = 6 e x2 = 28. 3

17. Qual ´e a s´erie formal inversa de s´erie

∞ "

(n2 + 4n + 2)tn ?

n=0

18. Considere a s´erie formal A(t) = coeficiente de t25 em A(t).

1

(1 −

t)2 (1

− t2 )

. Determine o coeficiente de t15 e o

19. Dado α > 0 um n´ umero real, considere as sucess˜oes "an # e "bn # tais que ∞ "

a0 = 1 , an = αan−1 (n ≥ 1) , A(t) =

n

an t

2

, A(t) =

n=0

bn tn .

n=0

a) Sem determinar o termo geral an mostre que: (i) bn = 2an + α2 bn−2 , n ≥ 2;

∞ "

(ii) bn = αbn−1 + α2 bn−2 − α3 bn−3 , n ≥ 3.

b) Por recurso ao m´etodo das fun¸c˜oes geradoras determine o termo geral bn . c) Determine uma forma fechada para a fun¸c˜ao geradora A(t). 20. a) Prove que, se B(t) =

∞ "

n

bn t e C(t) =

n=0

∞ "

n

2

cn t , ent˜ao B(t)C(t ) =

n=0

"

pn tn onde

n=0

$n % 2

pn =

∞ "

bn−2k ck

k=0

para todo o natural n.

b) Encontre uma forma fechada para a s´erie formal A(t) =

∞ "

an tn cujo n-´esimo coefi-

n=0

ciente ´e

n

$2% ' (' ( " r r an = k n − 2k k=0

onde r ´e um n´ umero natural n.

21. Seja < an > uma sucess˜ao de n´ umeros reais e seja A(t) =

∞ "

an tn a s´erie formal que

n=0

lhe est´a associada.

a) Verifique que P (t) = 12 [A(t) + A(−t)] ´e a s´erie formal que est´a associada `a sucess˜ao a0 , 0, a2 , 0, a4 , 0, . . .. b) Verifique que I(t) = 12 [A(t) − A(−t)] ´e a s´erie formal que est´a associada `a sucess˜ao 0, a1 , 0, a3 , 0, a5 , 0, . . .. c) Utilize as al´ıneas anteriores para provar que ∞ "

t F2n t = 1 − 3t + t2 n=0 n

e

∞ " n=0

F2n+1 tn =

1−t 1 − 3t + t2

- recorde que < Fn > ´e a sucess˜ao dos n´ umeros de Fibonacci. FIM 4