2009 Mf Actividade Formativa 2

21082 - Actividade Formativa 2 ´ltipla I - Escolha mu Em cada quest˜ao apenas uma das afirma¸co˜es a), b), c), d) ´e verdadeira. Indique-a marcando × no quadrado respectivo. 1. A soma

n ! n !

2 ´e igual a:

i=1 j=i

a) n2 + 2n. " n # ! b) k 2 − n.

c) n2 − n. d) n2 + n.

k=1

2. Para n > 0,

n ! i=0

$ % n (−1) i = i

a) (−2)n . b)

n !

c) 0. n $ % ! n d) 2 i .

i i

(−1) 2 .

i=0 i par

i=0

3. Considere as afirma¸co˜es seguintes: & '! ' n & ' n & ! n n n−2 (i) =2 ; i n−2 i i=1

i=1

" n # n n ! ! ! 1 ni+1 + i · ni . (ii) ni = n i=1 i=1 i=1

(iii)

n ! i=1

Ent˜ao:

i

(−n) = −

n !

ni .

i=1

a) Nenhuma das afirma¸co˜es ´e verdadeira. b) Apenas uma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira. c) Apenas duas das afirma¸co˜es s˜ao verdadeiras. d) Todas as afirma¸co˜es s˜ao verdadeiras. 1

4. O coeficiente de t3 na soma

! !

t#(S∪{a}) ´e:

S⊆[4] a∈[4]\S

a) 1. $ % 4 b) 2 . 5.

!!

c) 2. $ % 4 d) 2 · 2.

2#(S\{a}) ´e igual a:

S⊆[2] a∈S

a) 6.

c) 4.

b) 5.

d) 3.

6. A que ´e igual ∆(iHi )? a) Hi+1 .

c)

1 + 1. i+1

b) 1 + Hi .

d)

1 + Hi+1 . i+1

$ % n−1 7. Se ak = (−1)k−1 k − 1 , ent˜ao ∆ak ´e: $$ % $ %% n−1 n−1 k a) (−1) − k−1 . k $ % n b) (−1)k k .

c) ((−1)k − (−1)k−1 ) k−1

d) (−1)

8.

n !

$

% n−1 k−1 .

$$

% $ %% n−1 n−1 − k k−1 .

(i + 1)m ´e igual a:

i=1

a)

" n ! i=1

(i + 1)

#m

" m #" n # ! $m% ! c) ik . k

.

k=0

" n # m $ % ! ! m b) ik . k k=0

m $ % ! m k d) k i .

i=1

k=0

2

i=1

II - Problemas Justifique todas as afirma¸c˜oes e apresente os c´alculos realizados para as obter 9. Explicite as parcelas do seguinte somat´orio e calcule o valor final: 3 ! i ! !! i a) . b) #(S \ T ). i+j i=0 j=1 T ⊆S S⊆[3]

10. Considere o triplo somat´orio

3 ! 3 ! 3 !

αijk .

k=1 j=k i=j

a) Explicite este somat´orio para n = 3. b) Troque a ordem dos somat´orios de modo a que o primeiro ´ındice seja i, o segundo seja k e o terceiro seja j. n & ' ! n i 3 = 4n 11. Mostre que i i=0

a) utilizando o teorema binomial; b) por indu¸ca˜o. 12. Use o m´etodo da perturba¸ca˜o para calcular as duas somas seguintes: n n ! ! a) Sn = (−1)n−i . b) Tn = (−1)n−i i. i=0

i=0

13. a) Calcule a soma

n ! n !

ij.

i=1 j=1

b) Mostre que 2

n ! i ! i=1

c) Calcule

n !

n

n2 (n + 1)2 ! 2 ij = + i. 4 j=1 i=1

i3 aplicando o m´etodo da expans˜ao-contrac¸ca˜o `a soma

i=1

14. Mostre que se tem, para n ≥ 1,

n ! i2 + i i=1

2n ! k=1

2

.

(−1)k+1 k 2 = −n(2n + 1).

a) Por indu¸ca˜o matem´atica. b) Como se n˜ao soubesse o resultado do somat´orio. [Sugest˜ao: decomponha [2n] em pares e em ´ımpares.] 15. a) Mostre que k 2 (k − 1) = (k + 1)3 − k 2 . 3

b) Utilizando a igualdade da al´ınea anterior calcule

n ! k=0

c) Calcule

n ! i=0

i(n − 1 − i)(n − i).

16. a) Mostre que im = b) Mostre que

k 2 (k − 1).

n !

( ) 1 ∆ im+1 para quaisquer naturais i, m. m+1

i2 =

i=1

(n − 1)n(n + 1) . 3

c) Mostre, por recurso `as al´ıneas anteriores, que

n !

i2 =

i=1

d) Calcule a soma

17. Mostre que

n(n + 1)(2n + 1) . 6

n 2n ! ! (i2 − j 2 )2 . 2 (i + j) i=1 j=n+1

n ! n ! i=k j=i

$ %$ % i j (−1)j−i k i = 1.

18. a) Seja X um ! conjunto de cardinalidade ´ımpar. Use a mudan¸ca de vari´avel S $→ X \ S para mostrar que (−1)#S = 0. S⊆X

b) Mostre que a igualdade acima tamb´em ´e verdadeira quando X ´e n˜ao vazio * de qualquer cardinalidade. [Sugest˜ ao. Fixe um elemento a ∈ X e mostre que S⊆X (−1)#S = a∈S * − S⊆X\{a} (−1)#S .] 19. a) Mostre, por recurso ao m´etodo de indu¸c˜ao matem´atica, que

n ! k=0

$ % n (−1)k k k m = 0,

para todos os naturais 0 ≤ m < n. n $ % ! k n b) Mostre que (−1) k (a + k)m = 0, para todos a ∈ N, 0 ≤ m < n. k=0

c) Mostre que

n !

(−1)#S (#S)m = 0, para qualquer conjunto X n˜ao vazio e qualquer

S⊆X

natural m tal que 0 ≤ m < #S. 20. a) Mostre que

n ! n n ! ! ! 1 1 1 =2 + Hn(2) onde Hn(2) = . 2 i · j i · j k i=1 j=1 1≤i<j≤n k=1

b) Com a ajuda da al´ınea anterior, argumente que

FIM 4

!

) 1 1 ( (2) = Hn + (Hn )2 . i·j 2 1≤i≤j≤n