2009 Epe Actividade Formativa 2

2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE I.

Considere a seguinte função:

x

0

1

2

3

4

f X ( x)

0,05

0,03

0,5

2k

k

a) Determine K para que f X ( x ) possa ser a função probabilidade da variável aleatória X correspondente ao número de livros encomendados num mês numa banca de jornais. b) Calcule a função distribuição de X. c) Calcule a probabilidade de num mês aleatoriamente seleccionado as encomendas serem de 3 livros.

II. Seja Y uma variável aleatória discreta, conhecendo-se a informação da respectiva função de probabilidade:

y

0

1

2

3

f Y ( y)

0,2

0,3

0,3

0,2

Calcule para a variável aleatória Y: a) O valor esperado. b) A variância e o desvio padrão. c) A moda e a mediana.

Fazem parte integrante desta actividade formativa os exercícios resolvidos do livro da bibliografia obrigatória Fonseca, J. e Torres, D.(2000), Exercícios de Estatística, (vol. I ) Ed. Sílabo, capítulo 1 da-pg 41 à pg. 53; capítulo 2-da pg 79 à pg 93.

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1

2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE III. Considere a variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade:

0

1

2

3

4

0,2

0,2

0,1

0,3

0,2

x

f X (x)

a) Calcule o E ( X ) e V ( X ) . b) Considerando Y = 1 − 3 X , calcule o E (Y ) e V (Y ) . c) Sendo Z = X − 2 , determine E (Z ) e V (Z ) .

IV. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas, conhecendo-se a informação da função de probabilidade conjunta e das funções probabilidades marginais dada pela seguinte tabela:

Y 0

1

2

fx(x)

0,20

0,45

X 0

0,10

1

a)

0,15

2

0,05

fY(y)

0,25

0,15

0,40

Complete a tabela apresentada de forma a que represente uma função de probabilidade conjunta do par aleatório (X,Y).

b)

Calcule a função densidade marginal de X.

c)

Calcule o E ( X ) e V ( X ) .

d)

Calcule a função densidade marginal de Y.

21037-AF2

2

2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE e)

Calcule o E (Y ) e V (Y ) .

f)

Calcule a cov( X , Y ) .

g)

Calcule a V ( X − Y ) .

h)

Calcule a o coeficiente de correlação linear entre X e Y e comente o seu valor.

i)

Obtenha a função distribuição conjunta.

V. A procura semanal de certo artigo em determinado estabelecimento é uma variável aleatória X, com a seguinte função distribuição:

X

X<0 0≤X<1 1≤X<2

FX(x)

0

0,2

X≥2

0,6

1

O número de artigos em stock, também por semana, nesse estabelecimento, é uma variável aleatória Y com a seguinte função distribuição:

Y FY(y)

Y<0 0≤Y<1 1≤Y<2 2≤Y<3 0

0,2

0,5

0,8

Y≥3 1

Considerando as variáveis X e Y como independentes:

a) Determine a função distribuição conjunta do par aleatório (X,Y); b) Num certa semana havia, em stock, um artigo. Qual a probabilidade de que, nessa semana, haja ruptura de stock?

VI. Diga qual das seguintes afirmações é verdadeira: Conhecendo a função densidade conjunta das variáveis aleatórias contínuas X e Y pode obter-se a função marginal de Y do seguinte modo:

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2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE f ( x, y ) fY ( y ) = XY . fY X ( y )

+∞

fY ( y) =

∫

f XY ( x, y )dy .

−∞

f ( x, y ) fY ( y ) = XY . f X Y ( x)

x y

f Y ( y) =

∫∫f

XY

(u , v)dudv

− ∞− ∞

VII. De um lote de peças produzidas por uma máquina, das quais 90 são perfeitas e 10 defeituosas, extraem-se cinco. Sendo X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas, determine:

a) O valor médio, a variância e a função de probabilidade, supondo que a extracção foi feita com reposição.

a1)

A probabilidade de nenhuma ser defeituosa.

a2)

A probabilidade de uma ser defeituosa.

b) O valor médio, a variância e a função de probabilidade, supondo que a extracção foi feita sem reposição.

c) A probabilidade da primeira peça defeituosa aparecer na 101 extracção, sabendo que se fazem extracções peça a peça com reposição.

VIII. Sabendo que a probabilidade de um indivíduo possuir uma determinada característica é 0,002.

a) Calcule a probabilidade exacta. b) Calcule a probabilidade aproximada de numa amostra de 1000 indivíduos, pelo menos três terem essa característica.

Fazem parte integrante desta actividade formativa os exercícios resolvidos do livro da bibliografia obrigatória Fonseca, J. e Torres, D.(2000), Exercícios de Estatística, (vol. I ) Ed. Sílabo, capítulo 1 da pg 53 à pg. 75.

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2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE IX. De um lote de peças produzidas por uma máquina, das quais 90 são perfeitas e 10 defeituosas, extraem-se cinco. Sendo X a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas, determine:

a) Com reposição o valor médio, a variância e a função de probabilidade. b) Sem reposição o valor médio, a variância e a função de probabilidade.

X. A média de ocorrência de cheias numa determinada região é uma cheia de 5 em 5 anos. Suponha que o modelo de Poisson é adequado para descrever o número de cheias. Determine a probabilidade de num período de oito anos:

a) Não haver cheias. b) Haver no máximo três cheias.

XI. Suponha que o número de avarias por semana, de uma máquina automática de venda de bebidas e chocolates, tem distribuição de Poisson de parâmetro λ = 1, 2 . Assim calcule a probabilidade de numa semana:

a) Não haver avarias. b) Haver uma avaria, sabendo que de facto ocorreram avarias nessa semana.

XII. A uma central telefónica chegam em média duas chamadas por minuto, sendo X a variável aleatória que representa o número de chamadas por minuto, calcule a probabilidade:

a) De chegarem três chamadas no primeiro minuto. b) De chegarem zero chamadas em seis minutos. c) De chegar pelo menos uma chamada em seis minutos.

XIII. Considere a variável aleatória X com a seguinte função: 0  FX ( x) =  −0,25 x 1 − e

;x ≤ 0 ;x > 0

a) Calcule o valor médio e a variância. 21037-EPE-ActF2

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2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE b) Calcule a probabilidade de em três observações independentes da variável aleatória X se obter, em todas elas, valores superiores a 1,5.

XIV. Sabe-se que as vendas de certa empresa, nos últimos 50 anos, têm aproximadamente

(

)

distribuição N µ , σ 2 . Atendendo a que as vendas foram inferiores a 13 milhões de euros com probabilidade 0,344578 e inferiores a 25 milhões de euros com probabilidade 0,97725, determine o valor esperado das vendas, nesse período, bem como o respectivo desvio padrão.

XV. Suponha que o tempo de vida de certa componente electrónica tem distribuição Uniforme no intervalo 0 , 4 em centenas de horas. Determinado equipamento funciona com uma componente que ao falhar é substituída automaticamente por outra, sabendo que existem 117 dessas componentes. Calcule a probabilidade aproximada de que ele falhe após 235,2 centenas de horas de utilização.

XVI. Uma máquina enche caixas com um certo detergente. De acordo com a especificação estabelecida, o peso do conteúdo de cada caixa deve estar entre 500 e 510 gramas. O peso do detergente introduzido pela máquina, em cada caixa, tem distribuição Normal. Na sequência de experiências anteriores, que consistiram em pesar grupos de 16 caixas, sabe-se que a média amostral do peso de uma caixa, tem valor médio igual a 507 gramas e desvio padrão igual a 1 grama.

a) Determine a proporção de caixas defeituosas, isto é, daquelas que não satisfazem a especificação.

b) Suponha desconhecida a distribuição da população, mas admita que cada caixa tem peso médio 507 gramas com desvio padrão igual a 1,2 gramas. Encheram-se 1500 conjuntos de 16 caixas para serem transportadas por um veículo que apenas poderá arrancar, se não levar carga superior 12 toneladas. Qual a probabilidade aproximada de que o veículo não arranque?

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2ª Actividade Formativa UC 21037 EPE XVII. Sendo X a variável aleatória que representa o número de acertos em três tiros e sendo a probabilidade de um individuo acertar cada tiro de 0,4. Determine a função geradora de momentos e a partir dela o valor médio e a variância.

XVIII. Diga qual das seguintes afirmações é verdadeira: a) Dadas duas variáveis aleatórias: X com distribuição de Bernoulli e Y com distribuição geométrica ambas de parâmetro p, pode afirmar-se que: E ( X ) = pq e V (Y ) =

V ( X ) = pq e

V (X ) = p e

V ( X ) = pq e

1− p com q = 1 − p . p2

V (Y ) =

V (Y ) =

p com q = 1 − p . q2

1 . p

V (Y ) =

q com q = 1 − p . p2

Fazem parte integrante desta actividade formativa os exercícios resolvidos do livro da bibliografia obrigatória Fonseca, J. e Torres, D.(2000), Exercícios de Estatística, (vol. I ) Ed. Sílabo, capítulo 2-da pg 93 à pg. 116 e da pg.119 à pg. 127. Bom Trabalho!

FIM

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