2008 Osn Matematika Smp Tingkat Provinsi (solusi) - Salin.docx

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA TINGKAT PROVINSI TAHUN 2008 BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT 1.

Jika A  1  11  111  1111  ....  111 ..........   111   , maka 5 angka terakhir dari  adalah... 2008angka

Jawab: 5 angka terakhir dari susunan tersebut adalah : 

Karena suku terakhir dari A adala 1111.. sampai 2008 angka maka angka satuan terakhir adalah 2008, angka terakhir adalah 8



Selanjutnya untuk angka puluhannya, berjumlah 2007 karena angka atau suku pertamanya hanya berbentuk satuan, sehingga angka ke 2 terakhir adalah 7



Selanjutnya untuk angka ratusannya berjumlah 2006, sehingga angka ke 3 terakhir adalah 6



Selanjutnya untuk angka ribuan, berjumlah 2005,namun karena dijumlahkan dengan 2 dari angka 2008 untuk angka satuan maka angka ke 4 terakhir adalah 7



Terakhir untuk angka puluhan ribu, berjumlah 2004, namun karena dijumlahkan dengan angka 2 dari bilangan 2007 untuk angka puluhan sehingga angka ke 5 terakhir adalah 6

Jadi 5 angka terakhir adalah 67678

2. Seorang peternak memiliki 114 hewan peliharaan yang teriri dari kuda, sapi, kambing, ayam, dan bebek. Banyak hewan berkaki empat adalah 8 lebih sedikit dibanding hewan berkaki dua. Sedangkan sapi miliknya 3 lebih banyak dibanding kuda tetapi 20 lebih sedikit dari kambing. Disamping itu ayam miliknya adalah 13 lebih sedikit dibanding bebek. Hitung banyaknya sapidan ayam peternak itu . Jawab : Missal :hewan kaki 4 = x dan kaki 2 = y ( i ) x + y = 114 (ii ) x = y – 8 (ii) substitusu ke (i) jadi y – 8 + y = 114 2y = 122 y = 61 ( hewan kaki 2 ) x = 114 – 61 = 53 ( hewan kaki 4 ) sapi (S) = kuda (K) + 3 = kambing (Km) – 20 jadi K = S – 3 dan Km = S + 20 , sehingga S + ( S – 3 ) + ( S + 20 ) = 53 3S + 17 = 53 3S = 36

S = 12 ( banyak sapi ) Ayam (A) = bebek (B) – 13 atau B = A +13 sehingga : A + B = 61 A + ( A + 13 ) = 61 2A = 61 – 13 A = ( banyak ayam )

3. Perhatikan gambar 1. Hasil penjumlahan sudut : 1  2  3  4  5  6  7  8  9  .... 2 3

4 5

1 9 6

7

8

Penyelesaian: Kita melukis ulang sketsa gambar pada soal, seperti terlihat pada gambar berikut.

3a

4 5

b

2 c

1 9

6

7

8

6  7  8  9  a  360  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  a  b  c   900   1  2  3  4  5  6  7  8  9  900   180   720  Jadi, 1  2  3  4  5  6  7  8  9  720  4. Diketahui ada 11 orang pemain. Pertama, 2 orang ditimbang dan dihitung rata-ratanya. Kemudian orang ketiga ditimbang dan dihitung pula rata-rata 3 orang pertama. Begitu puk seterusnya. Rata-rata meningkat 1 kg sampai semua pemain ditimbang. Berarti : Misal R=rata-rata, T = berat total ( Jumlah org x rata-rata) 𝑅 2 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 2𝑥

𝑅 3 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 1 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 3𝑥 + 3 𝑅 4 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 4𝑥 + 8

𝑅 5 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 5𝑥 + 15 𝑅 6 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 4 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 6𝑥 + 24 𝑅 7 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 7𝑥 + 35 𝑅 8 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 6 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 8𝑥 + 48 𝑅 9 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 7 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 9𝑥 + 63 𝑅 10 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 8 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 10𝑥 + 80 𝑅 11 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 = 𝑥 + 9 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 11𝑥 + 99 Karena rata-rata berat badab meningkat setiap penambahan 1 orang maka dapat dipastikan disetiapkali penambahan orang, berat badannya makin bertambah. Cara mencari berat badan pemin tersebut adalah 𝑈𝑛 = 𝑛 − 𝑇𝑛−1 Selisih berat badan pemain paling berat yaitu U11 dengan pemain ke 3 (U3) adalah : 𝑈11 = 𝑇11 − 𝑇10 𝑚𝑎𝑘𝑎 (11𝑥 + 99) − (10𝑥 + 80) = 𝑥 + 19 𝑈3 = 𝑇3 − 𝑇2 𝑚𝑎𝑘𝑎 (3𝑥 + 3) − (2𝑥) = 𝑥 + 3 Selisihnya adalah (𝒙 + 𝟏𝟗) − (𝒙 + 𝟑) = 𝟏𝟕 𝒌𝒈





5. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 x 3 2006  1  3 2009  3 2007  24 adalah .... Penyelesaian:





4 x 32006  1  32009  32007  24

32009  32007  24 x 4 3 2006  1







3 2007 3 2  1  24 4 3 2006  1



83 3 2006 43 1



2.3 3 2006  1 6 3 2006  1

 



 

2007





 







Jadi, x  6

6.

Jika

6c 3a  2b  4c  1 , maka nilai adalah .... ab 4a  b  c

Penyelesaian: Perhatikan

3a  2b  4c 1 4a  b  c

3a  2b  4c  4a  b  c 4c  c  4a  b  3a  2b 3c  a  b 6c  2a  b  6c 2 ab 6c 2 ab

Jadi, nilai dari 7.

Perhatikan ABC di bawah. Diketahui  BAC 135 , titik D terletak ditengah AC, dan titik E di tengah AB. Jika panjang AC  10 2 cm, dan AB  14 cm, maka luas daerah BCDE adalah ......cm2

C

D

A

E

B

Penyelesaian: Diketahui AD  DC 

BAC  135 , AC  10 2

cm

dan

AB  14

cm,

berarti

1 1 2 AC  5 2 cm dan AE  EB  AB  7 cm. Berdasarkan aturan luas 2 2

dalam trigonometri, diperoleh: 1  AE  AD   sin 135 2 1  7  5 2  sin 45  2 1 1   7  5 2   2 2 2  35  cm 2 2

ADE , luas ADE 

 

 

1  AB  AC   sin 135 2 1  14 10 2  sin 45  2 1 1   14 10 2   2 2 2  140  cm 2 2

ABC luas ABC 









Luas terasir  luas ABC  luas ADE 

140 35 105   cm 2 2 2 2

Jadi, luas daerah terasir BCDE adalah 8.

105 cm 2  52,5 cm 2 . 2

Perhatikan gambar di samping. Diketahui  ABC

C

adalah sama sisi dengan panjang sisi 16 cm. Titik terletak di dalam  ABC . Dari titik O dibuat ruas garis

OP, OQ dan OR yang tegak lurus terhadap sisi – sisi R

 ABC . Jumlah panjang ruas garis OP  OQ  OR adalah ..... cm.

Q O

Penyelesaian: Pada ABC , AB  16 cm  PB  AP  8 cm

BC  16 cm  BQ  QC  8 cm AC  16 cm  AR  RC  8 cm OR : OB  1 : 2  OR 

1 BR 3

Analog dengan hal ini, OQ 

1 1 AQ dan OP  CP. 3 3

Perhatikan APC siku-siku di P.

CP  AQ  BR 

AC 2  AP 2

 16 2  8 2  8 2  4  1 CP  AQ  BR  8 3  OR  OQ  OP 

8 3 3

8  Jadi, OP  OQ  OR  3 3   8 3 cm. 3 

A

P

B

9.

Angka satuan dari 12008  3 2008  5 2008  7 2008  9 2008  112008  13 2008 adalah ..... Penyelesaian: Dalam penentuan angka satuan dari bilangan berpangkat, kita diharuskan menentukan angka satuan dari angka berpangkat istimewa, yaitu: 1, 5, dan 6 karena ketiga angka itu jika dipangkatkan bilangan asli akan mempunyai angka satuan yang sama yaitu 1, 5, dan 6. 12008 , angka satuan 1 dan 5 2008 angka satuan 5 . 31 angka satuan 3, 3 2 angka satuan 9 , 33 angka satuan 7 , 3 4 angka satuan 1 (stop), berarti:

32008  34   1502 angka satuan 1. Analog dengan 3, adalah 13 2008 , angka satuan 1. Perhatikan, 71 angka satuan 7, 7 2 angka satuan 9, 7 3 angka satuan 3, 7 4 angka satuan 502

 

1 (stop), berarti, 7 2008  7 4

502

angka satuan 1. Jadi, angka satuan dari ekspresi 12008  3 2008  5 2008  7 2008  9 2008  112008  13 2008 adalah 1  1  5  1  1  1  1  11, yaitu 1. 10. 15 teman yg 2 tidak bisa diundang bersama² dan hanya 10 yg diundang, 5 yg lain tidak 15-2 = 13 15-(2+5) = 8 banyak cara = 13x12x11x10x9/5x4x3x2x1 = 13x11x9 = 1.287 cara

11. Dua puluh ubin persegi yang kongruen akan disusun dalam 2 baris. Masing – masing baris berisi 10 ubin. Diantara ubin – ubin tersebut terdapat 9 ubin bergambar bunga. Banyak cara menyusun ubin tersebut agar sesama ubin bergambar bunga tidak saling bersinggungan adalah … (Catatan : dua ubin dikatakan bersinggungan jika ada salah satu sisi yang saling berimpit) Jawab: 36 1 1 1 1 12. Diketahui :      ...  . Bilangan kuadrat 1 2 2 3 32 9999  100 terdekat dengan A adalah .... Penyelesaian: Kita harus menggunakan perasionalan pada penyebut, yaitu:

1 a b

.

a b a b



a b diperoleh: a b

1 2   2  3   3  2   9999  100      ...    A          1  1   1   1   

 2  1  3  2  2  3  ....  100  9999

A  1  100  99  A  99 2

 A 2  9801

A

B

Jadi, bilangan kuadrat terdekat dengan A adalah 9801. 13. Pada gambar di samping, perbandingan luas daerah segienam beraturan CHIJDG terhadap

C

G

F

H

luas daerah segienam beraturan ABCDEF adalah …. E

Penyelesaian:

Misalkan panjang rusuk segienam CHIJDGH  a cm, berarti

D J

I

panjang rusuk segienam ABCDEF sebesar, CD 2  CG 2  GD 2  a2  a2



CD 2  a 2



2

 CD  a 2

Luas segienam beraturan CHIJDG  6 luas segitiga sama rusuk

 

1  6    a 2 sin 60  2

Luas segienam beraturan ABCDEF  6  luas segitiga sama rusuk

 

2 1  6    a 2 sin 60  2

Perbandingan luas daerah segienam CHIJDG terhadap luas segienam ABCDEF adalah

1 : 2. 14. Pak Asari akan mengikat semua buku yang dimilikinya. Ketika banyak buku dalam setiap ikatan sama dengan 12, ada 2 buku yang tidak terikat. Dia mengubah banyak buku dalam setiap ikatan. Sekarang dalam setiap ikatan terdapat tepat 9 buku, ternyata juga masih bersisa 2 buku yang tidak terikat. Seteiah dia mengikat 7 buku dalam setiap ikatan, tidak ada lagi buku yang tersisa. Jika banyak buku yang dimiliki pak Asari berkisar antara 100 dan 200, maka banyak buku yang dimiliki pak Asari adalah .... Jawab : Tentukan jika 12 buku satu ikat berapa ikatan yang memungkinkan sehingga buku berjumlah 100-200 Untuk buku yang diikat 12 dalam satu ikat bersisa 2 Untuk buku yang diikat 9 dalam satu ikat bersisa 2 Rumus nya (𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑢𝑘𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑖𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑖𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛 ) + 𝑠𝑖𝑠𝑎 Jumlah ikatan mungkin dg sisa 2 12 x 9 + 2 = 110 12 x 10 + 2 = 122

yg

Jumlah ikatan yang mungkin dengan sisa 2 9 x 12 +2 = 110 9 x 13 + 2 = 119

12 x 11 +2 = 134 12 x 12 + 2 = 146 12 x 13 + 2 = 158 12 x 14 + 2 = 170 12 x 15 + 2 = 182 12 x 16 + 2 = 194

9 x 14 + 2 = 128 9 x 15 + 2 = 137 9 x 16 + 2 = 146 9 x 17 + 2 = 155 9 x 18 + 2 = 164 9 x 19 + 2 = 173 9 x 20 + 2 = 182

Setelah dicari jumlah ikatan untuk 12 buku dan 9 buku maka ada 3 totsl yang sama, maka kemungkinan jumlah buku ada diantara kemungkinan tersebut. Cara mengujinya adalah dengan memasukkan ikatan terakhir yaitu ikatan dengan 7 buku . Total yang habis dibagi 7 diantara 110,146, dan 182 adalah 182 Maka jumlah buku adalah 182 buah karena telah sesuai dengan kondisi yang ditentukan. 15. Perhatikan bahwa 1  2  3  4  5  6  7  8  9  144 . Banyak cara yang mungkin dilakukan untuk menghasilkan 144 dengan hanya menggunakan bilangan-bilangan yang dibentuk dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 secara berurutan dari kiri ke kanan dan hanya menggunakan operasi penjumlahan adalah ....

Jawab: Ada 4 cara yaitu:    

16. Diketahui a dan x adalah dua bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan: 1 1 1 1    2 a 2a 3a x  2 x

Nilai terkecil dari ekspresi a  x adalah ....

Penyelesaian: Perhatikan ekspresi: 1 1 1 1    2 a 2a 3a x  2 x 11 1 11xx  2  a 6a x  x  2  6

Karena x dan a bilangan bulat positif, berarti :

11.64  44 nilai terkecil  6

x6a

Jadi, nilai terkecil dari a  x  adalah 50.

17. Jika f(x) =

2𝑥−4 𝑥

, 𝑥 ≠ 0 dan x bilangan real,maka 𝑓 2009 (6) = …

Catatan : Notasi 𝑓 2 (x) = f (f(x)), notasi 𝑓 3 (x) = f (f(f(x))) dan seterusnya

18. Sebuah boxplot, seperti pada gambar 5, biasanya digunkan untuk menampilkan data yang menunjukkan nilai kuartil bawah, median, kuartil atas, dan rentangnya 31 58 65 66

25

Data terkecil

86 87 94 96 98

66,5 67 70 71 72 73 73 74 76 78 82 83 84 85

Quartil Bawah

Quartil Atas

Median

100

Data Terbesar

Jawab:

Data dari soal dapat kita urutkan sebagai berikut 25,31,58,65,65,66,66,67,70,71,71,71,72,73,73,74,76,78,82,83,84,86,86,87,94,96,98,100 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ = 𝑥(28+2) 4

= 𝑥7,5 Maka dapat diketahui Q1 berada antara data 7 dan 8 yaitu 66 + 67 = 66,5 Dengan cara yang sama didapatkan Q3 84+86 = 85 Median adalah jumlah data dibagi 2 maka 28 ∶ 2 = 14 𝑑𝑎𝑛 28 ∶ 2 = 14 + 1 = 15 maka data 14 + data 15 yaitu 73 + 73 dibagi 2 = 73

25

31 58 65 66

Data terkecil

Quartil Bawah

66,5 67 70 71 72 73 73 74 76 78 82 83 84 85

Median

86 87 94 96 98

Quartil Atas

Data Terbesar

100

19. Pada suatu perusahaan, ada 3 lowongan pekerjaan yang disediakan hanya untuk pekerja pria, 5 lowongan pekerjaan hanya disediakan untuk pekerja wanita, dan 4 Iowongan pekerjaan untuk pekerja pria dan wanita. Jika terdapat 20 pelamar dengan komposisi 8 wanita dan 12 pria, maka banyak cara mengisi lowongan pekerjaan tersebut adalah .... Jawab : 59690400 cara

20. Diketahui empat persamaan garis berikut

ax  by  c, dx  ey  f , px  qy  r , dan sx  ty  u Agar terbentuk persegi panjang, hubungan yang mungkin antara a, b, c, d , e, f , g , p, q, r , s, t , dan u adalah .... Jawab: .

dan

. . .

BAGIAN B: Uraian 1. Pasangan bilangan bulat x, y, z  memenuhi sistem persamaan:

2 x  y  xy  2   y  3z  yz  7 2 x  3z  xz  30  Berapakah nilai dari

x 3  10 y 3  z 3 ?

Penyelesaian: Karena x, y, z  bilangan bulat, ambil y  1 , diperoleh sistem persamaan:

2 x  1  x  2  x  3 ... 1

 1  3z  z  7  z  4 ... 2 6  12  12  30 benar  ... 3 Jadi, nilai dari ekspresi

x 3  10 y 3  z 3  27  10  64  9

1. Balok pejal ABCD.EFGHberukuran 15 cm x 10 cm x 6 cm. Titik P terletak pada rusuk ABsedemikian AP = 3 cm. Seekor cicak yang ada di sudut G akan menangkap nyamuk yang ada di Pdengan merayap pada permukaan balok. Jika kecepatan cicak bergerak 2,5 cm/detik berapa waktutercepat yang dibutuhkan cicak agar dapat melahap nyamuk?

H

G

E

F D

A

C P

B

Pertama cari panjang PC

C

P

B

Panjang balok adalah 15 cm , diketahui AP adalah 3 cm maka PB = 12 cm. BC adalah lebar balok = 10 cm 𝑃𝐶 = √𝑃𝐵2 + 𝐵𝐶 2 𝑃𝐶 = √122 + 102 𝑃𝐶 = 2√61 𝑐𝑚 Untuk mencari panjang PG maka juga digunakan rumus Phytagoras yaitu 𝑃𝐺 = √𝑃𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 𝑃𝐺 = √244 + 36 𝑃𝐺 = 3√30 𝑐𝑚 Waktu tempuh adalah 𝟑√𝟑𝟎 𝒄𝒎 x 2,5 cm/ detik = 15 detik

2. Hasil kali 46 bilangan bulat sama dengan 1. Mungkinkah jumlah bilangan – bilangan bulat yang memenuhi syarat tersebut sama dengan 0 ? Jawab: Tidak mungkin. 3. Angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 akan ditempatkan ke masing – masing kotak pada gambar berikut sehingga jumlah mendatarnya sama dengan jumlah vertikalnya. A adalah bilangan 5 angka yang dibentuk dengan cara membaca secara vertikal dari atas kebawah masing – masing bilangan didalam kotak tersebut. Berapa banyak bilangan A yang mungkin terbentuk ?

3

7 8

Jawab : 48 4. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, didefinisikan a – . Bilangan asli dikatakan mitra bilangan asli jika terdapat bilangan asli yang memenuhi = . Sebagai contoh, 7 adalah mitra 13 karena terdapat bilangan asli 1 sehingga 7 1 = 7 – 1 + 7 . 1 = 7 – 1 + 7 = 13. Tentukan semua mitra dari 2008 Jawab :

670, 224, 10, 4, 2