2008 Eai - Efolio-a Resolucao

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. I.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N0 de Estudante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Licenciatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidade Curricular: Elementos de An´alise Infinitesimal I Data: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Docente: Fernando Pestana da Costa

C´ odigo: 21030

Ano Lectivo: 2008/09

Classifica¸c˜ ao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜o do e-F´ Para a resoluc ¸a olio A, aconselha-se que: • Preencha devidamente o cabe¸calho do exemplar. • O e-F´olio ´e composto por seis grupos de quest˜oes, num total de 2 p´aginas e termina com a palavra FIM. As suas respostas `as quest˜oes deste e-F´olio n˜ao podem ultrapassar nove p´aginas A4; p´aginas adicionais n˜ao ser˜ao classificadas. • Escreva sempre com letra leg´ıvel ou usando um processador de texto matem´atico conveniente. • Depois de ter realizado o e-F´olio produza um u ´ nico documento digital (de preferˆencia pdf) que deve incluir esta folha de rosto e insira-o na p´agina moodle da unidade curricular em “e-F´olio A” at´e ao dia 17 de Novembro.

˜o e cotac ˜ o: Crit´ erios de avaliac ¸a ¸a • A cota¸c˜ao total deste e-F´olio ´e de 4 valores. • Para a correc¸c˜ao das quest˜oes constituem crit´erios de primordial importˆancia, al´em da ´obvia correc¸c˜ao cient´ıfica das respostas, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamente, de estruturar logicamente as respostas e de desenvolver e de apresentar os c´alculos e o racioc´ınio matem´atico correctos, utilizando nota¸c˜ao apropriada. • Justifique cuidadosa e detalhadamente todos os c´alculos, racioc´ınios e afirma¸c˜oes que efectuar. N˜ao ser´a atribu´ıda classifica¸c˜ao a uma resposta n˜ao justificada.

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1. Conjecture uma express˜ao para o valor da soma 1 1 1 1 + + +···+ 1·3 3·5 5·7 (2n − 1) · (2n + 1) e use o princ´ıpio de indu¸c˜ao para provar que a sua conjectura ´e v´alida. 2. Considere o conjunto

  (x − 3)2 Ω= x∈R: >0 . log |x − 1|

a) Escreva Ω sob a forma de um intervalo, ou de uma reuni˜ao de intervalos. b) Determine o interior, o exterior e a fronteira de Ω. c) Indique quais das afirma¸c˜oes seguintes s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas: (i) Toda a sucess˜ao crescente de termos em Ω ∩ R− ´e convergente para um ponto de Ω. (ii) Existem sucess˜oes xn e yn de termos em Ω tais que xn + yn n˜ao est´a em Ω. (iii) N˜ao existem sucess˜oes un em R \ Ω, estritamente crescentes e convergentes para 3. 3. Calcule, se existirem, ou prove que n˜ao existem, os limites das seguintes sucess˜oes: a) un = (n + 1)α − nα , onde α ∈ R ´e uma constante independente de n.
n−1 3n . b) vn = n+1

4. a) Considere as sucess˜oes reais xn e yn definidas por xn+1 =

xn + yn √ , yn+1 = xn yn , 2

n∈N

e suponha que 0 < y1 < x1 . Mostre que as sucess˜oes xn e yn s˜ao ambas sucess˜oes convergentes e conclua que convergem para o mesmo limite. b) Seja un o termo geral de uma sucess˜ao mon´otona e vn o termo geral de uma sucess˜ao limitada. Seja wn uma sucess˜ao positiva convergente para zero. Suponha que se verifica a condi¸c˜ao ∀n ∈ N, |un − vn | < wn . Prove que un ´e limitada. Prove que un e vn s˜ao ambas convergentes e que os seus limites s˜ao iguais. 5. Determine a natureza das seguintes s´eries num´ericas ∞ X n=5

1 , (n − 2)(n − 4)

∞ X n=1

n2 − 1 , (n2 + n − 1)β

∞ X cos(πn) log n n=1

n

,

e determine o valor da soma da primeira delas. P 6. Seja an uma sucess˜ao positiva tal que n an ´e uma s´erie convergente. Seja bn = Estude a natureza das s´eries X X X an bn , bn , b2n . n

n

fim 2

n

a1 +···+an . n

˜o do e-Fo ´ lio A resoluc ¸a 1. Comecemos por calcular a soma dada no enunciado para alguns valores de n a fim de observar se conseguimos inferir da´ı alguma regularidade: n=1 : n=2 : n=3 : n=4 : n=5 :

1 1·3 1 1·3 1 1·3 1 1·3 1 1·3

=

1 3

1 3·5 1 + 3·5 1 + 3·5 1 + 3·5 +

6 2 = 15 5 1 45 3 + = = 5·7 105 7 1 1 420 4 + + = = 5·7 7·9 945 9 1 1 1 4725 5 + + + = = 5 · 7 7 · 9 9 · 11 10395 11 =

´ agora ´obvio, por observa¸c˜ao destes casos particulares, que a conjectura quanto ao E valor da soma, para um n ∈ N arbitr´ario, deve ser 1 1 1 1 n + + +···+ = . 1·3 3·5 5·7 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1 Provemos isto por indu¸c˜ao: A verifica¸c˜ao do caso n = 1 est´a feita acima e n˜ao ´e necess´ario repeti-la. Verifiquemos agora a hereditariedade: suponhamos que, para um dado n, natural, fixo, se tem 1 1 1 1 n + + +···+ = 1·3 3·5 5·7 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1 e vejamos o que podemos concluir quanto a 1 1 1 1 1 + + +···+ + . 1·3 3·5 5·7 (2n − 1) · (2n + 1) (2(n + 1) − 1) · (2(n + 1) + 1) Utilizando a hip´otese do que se passa para n podemos escrever 1 1 1 1 1 + + +···+ = + 1·3 3·5 5·7 (2n − 1)(2n + 1) (2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1) | {z } n = 2n+1

n 1 n 1 + = + 2n + 1 (2(n + 1) − 1)(2(n + 1) + 1) 2n + 1 (2n + 1)(2n + 3) ((2n + 1) + 2)n + 1 (2n + 3)n + 1 = = (2n + 1)(2n + 3) (2n + 1)(2n + 3) (2n + 1)(n + 1) (2n + 1)n + 2n + 1 = = (2n + 1)(2n + 3) (2n + 1)(2n + 3) n+1 n+1 = = , 2n + 3 2(n + 1) + 1

=

o que prova que a hereditariedade ´e v´alida e que, portanto, a conjectura ´e verdadeira para todos os valores de n ∈ N. 3

2.a) Sabendo que (x − 3)2 > 0 para todos os valores reais de x excepto x = 3 e que, para (x−3)2 este, o seu valor ´e igual a 0, o estudo do sinal da fun¸c˜ao x 7→ log fica reduzido |x−1| ao estudo do sinal de log |x − 1|. Das propriedades conhecidas da fun¸c˜ao logaritmo sabe-se que log u = 0 se e s´o se u = 1 e que ´e negativa se 0 < u < 1 e positiva se u > 1. Isto permite concluir que os sinais da fun¸c˜ao que define Ω s˜ao os indicados na tabela seguinte: x (x − 3)2

−∞

0

1

+ + +

2

3

+∞

+0+

log |x − 1|

+0− − 0 + +

(x − 3)2 log |x − 1|

+ − −

+0+

Consequentemente, por simples inspec¸c˜ao da u ´ ltima linha do quadro, tem-se Ω =] − ∞, 0[∪]2, 3[∪]3, +∞[. 2.b) Como o conjunto Ω ´e a reuni˜ao de trˆes intervalos abertos disjuntos ´e, consequentemente, tamb´em um conjunto aberto, pelo que intΩ = Ω. Pela mesma raz˜ao, a fronteira de Ω ´e a reuni˜ao das fronteiras dos trˆes intervalos abertos disjuntos cuja reuni˜ao forma Ω (note-se que isto n˜ao ´e necessariamente v´alido se alguns dos intervalos n˜ao forem abertos ou n˜ao forem disjuntos); portanto, frontΩ = {0, 2, 3}. Por fim, como R = (intΩ) ∪ (frontΩ) ∪ (extΩ) e estes trˆes conjuntos s˜ao disjuntos, conclui-se que extΩ = R \ (intΩ ∪ frontΩ) =]0, 2[. 2.c)(i) Sabendo que Ω∩R− =]−∞, 0[, ´e evidente que se podem ter sucess˜oes neste conjunto que sejam crescentes e que convirjam para 0, o qual n˜ao ´e um ponto do conjunto; um exemplo ´e a subsucess˜ao un = − n1 . Consequentemente a afirma¸c˜ao ´e falsa. ´ at´e muito f´acil encontrar sucess˜oes xn e yn , ambas 2.c)(ii) A afirma¸c˜ao ´e verdadeira. E em Ω e tais que a soma n˜ao esteja em Ω. Por exemplo, considerem-se as sucess˜oes constantes xn = −3 e yn = 4: ambas est˜ao em Ω e xn + yn = 1 ∈ extΩ 6⊂ Ω. 2.c)(iii) Comecemos por reparar que R \ Ω = [0, 2] ∪ {3}. Suponhamos que a afirma¸c˜ao ´e falsa, i.e., suponhamos que existe pelo menos uma sucess˜ao vn nas condi¸c˜oes do enunciado: uma sucess˜ao estritamente crescente, tal que vn ∈ [0, 2] ∪ {3} e convergente para 3. O facto de convergir para 3 significa que, para qualquer ε > 0, existe uma ordem p a partir da qual (i.e., para todos os n > p) se tem |vn − 3| < ε, ou seja 3 − ε < vn < 3 + ε. Sendo vn estritamente crescente, todos os seus termos ter˜ao de ser estritamente inferiores ao limite, ou seja vn < 3, ∀n ∈ N. Mas, como ε > 0 pode ser escolhido arbitrariamente, pode-se tomar ε < 1, e ent˜ao, a partir de certa ordem p, tem-se 2 < 3 − ε < vn < 3, o que significa que vn ∈]2, 3[⊂ Ω. Mas isto contradiz a hip´otese inicial de vn ∈ R \ Ω. Esta contradi¸c˜ao prova que a afirma¸c˜ao do enunciado ´e verdadeira. 3.a) Importa come¸car por distinguir trˆes casos de α. Se α = 0 ent˜ao k α = k 0 = 1, ∀k ∈ N, 1 →0 e portanto un = 1 − 1 = 0, ∀n ∈ N, pelo que lim un = 0. Se α < 0 ent˜ao k α = k|α| quando k → ∞; portanto, tamb´em neste caso tem-se lim un = 0−0 = 0. Finalmente, se α > 0 h´a ainda um caso em que o resultado ´e imediato: se α = 1 tem-se vn = (n + 1) − 4

n = 1 → 1. Resta-nos estudar o
caso
de α positivo e diferente de 1: Se 0 < α < 1 tem
α se (n + 1)α − nα = nα 1 + n1 − 1 < nα
1 + n1
− 1 = nα−1 →
0. Analogamente, α se α > 1 tem-se (n + 1)α − nα = nα 1 + n1 − 1 > nα 1 + n1 − 1 = nα−1 → +∞.
a m → ea , conclui-se que 3.b) Sabendo n´os, pelo Teorema 1.3.22, que 1 + m 

n−1 n+1

3n

= = = →

3n (n + 1) − 2 n+1 3n+3−3  −2 1+ n+1 " n+1 #3  −3 2 −2 1− 1+ n+1 n+1
3 e−2 1−3 = e−6 

4.a) Se soubermos que as sucess˜oes xn e yn s˜ao ambas convergentes, digamos xn → L e yn → ℓ, ent˜ao ´e f´acil concluirmos que se tem de ter L = ℓ. De facto, tendo em conta que xn+1 ´e uma subsucess˜ao de xn e que yn+1 ´e uma subsucess˜ao de yn , conclui-se, √ n aplicando limites a ambos os termos das igualdades xn+1 = xn +y e yn+1 = xn yn , 2 √ que se tem L = L+ℓ e ℓ = Lℓ. Basta-nos a primeira destas igualdades para concluir 2 ´ claro que esta dedu¸c˜ao ´e feita sob a hip´otese das sucess˜oes serem que L = ℓ. E convergentes. Vejamos agora que assim ´e: Atendendo ao que se sabe sobre os primeiros termos, ´e razo´avel tentar ver primeiro se se tem 0 < yn < xn , ∀n ∈ N. Argumentando por indu¸c˜ao tem-se que a desigualdade ´e v´alida para n = 1 (´e dadop no enunciado) e, √ supondo que ´e v´alida para n, tem-se, para n+1, 0 < yn+1 = xn yn < x2n = |xn | = xn ; n n por outro lado, como tamb´em xn+1 = xn +y > xn +x = xn , conclui-se que, de facto, 2 2 yn+1 < xn+1 . Note-se que a desigualdade yn < xn , ∀n ∈ N, que acab´amos de provar, n˜ao nos permite (ainda) concluir nem que as sucess˜oes s˜ao limitadas nem que s˜ao mon´otonas. Mas ambas estas propriedades s˜ao, agora, mais f´aceis de obter. Utilizando, n na igualdade xn+1 = xn +y , a desigualdade que acab´amos de obter, conclui-se que 2 xn +yn xn +xn xn+1 = 2 < 2 = xn e, portanto, xn ´e estritamente decrescente. Analogamente, √ √ √ da igualdade yn+1 = xn yn obt´em-se yn+1 = xn yn > yn yn = |yn | = yn e, portanto, yn ´e estritamente crescente. Observe-se que isto prova tamb´em que todos os termos das duas sucess˜oes ent˜ao contidos em ]0, x1 ] : 0 < y1 < yn < xn < x1 , ∀n ∈ N. Isto, claro est´a, prova que ambas as sucess˜oes s˜ao limitadas, o que, conjuntamente com a sua monotonia, provada acima, permite-nos concluir que ambas s˜ao convergentes (para limites que, em princ´ıpio, n˜ao teriam de ser iguais, mas, pelo que prov´amos no in´ıcio desta al´ınea, j´a conclu´ımos que s˜ao mesmo iguais). 4.b) Observe-se que, sendo wn convergente, ´e, necessariamente limitada. Portanto, ambas as sucess˜oes vn e wn s˜ao limitadas, ou seja, existem constantes reais positivas K e L tais que, para quaisquer n ∈ N, tem-se −K < vn < K e −L < wn < L. A rela¸c˜ao entre un , vn e wn dada no enunciado permite-nos escrever ∀n ∈ N, vn − wn < un < vn + wn e, portanto, ∀n ∈ N, −K − L < vn − wn < un < vn + wn < K + L, 5

ou seja, un ´e uma sucess˜ao limitada. Tendo acabado de provar que a sucess˜ao un ´e limitada e, sendo dado no enunciado que ela ´e uma sucess˜ao mon´otona, concluimos que ´e convergente. Seja ℓ o seu limite, ℓ = lim un . Pretendemos concluir que a sucess˜ao vn ´e tamb´em convergente e que o seu limite ´e o mesmo valor ℓ. Utilizando a defini¸c˜ao de limite de uma sucess˜ao, pretendemos estimar |vn − ℓ| e mostrar que esta diferen¸ca pode ser t˜ao pequena quanto se queira, desde que se tome n suficientemente grande. Repare-se que a u ´ nica informa¸c˜ao que temos sobre este tipo de diferen¸cas ´e a que resulta da condi¸c˜ao dada no enunciado, pelo que ´e natural tentar transformar a express˜ao |vn − ℓ| em algo que envolva |vn − un |. O modo mais ´obvio de fazer isto ´e adicionar e subtrair un e utilizar a desigualdade triangular: |vn − ℓ| = |vn − un + un − ℓ| = |(vn − un ) + (un − ℓ)| ≤ |vn − un | + |un − ℓ| < wn + |un − ℓ|. Agora note-se que, da informa¸c˜ao, dada no enunciado, de que wn → 0, concluimos que, δ ∀δ > 0, ∃p1 ∈ N : ∀n > p1 , wn < ; 2 do mesmo modo, pelo facto de ℓ ser o limite de un , podemos escrever δ ∀δ > 0, ∃p2 ∈ N : ∀n > p2 , |un − ℓ| < . 2 Consequentemente, tomando p = max{p1 , p2 } conclu´ımos que ´e verdadeira a afirma¸c˜ao ∀δ > 0, ∃p ∈ N : ∀n > p, |vn − ℓ| < wn + |un − ℓ| <

δ δ + = δ, 2 2

o que prova que vn → ℓ, como pretendiamos. 5. Para a primeira s´erie, comecemos por observar que o seu termo geral pode ser escrito como a diferen¸ca de dois termos de uma outra sucess˜ao conveniente e que, portanto, se
1 1 1 trata de uma s´erie de Mengoli. De facto, podemos escrever (n−4)(n−2) = 21 n−4 − n−2 e, portanto, para a sucess˜ao das somas parciais da s´erie, tem-se1 ! ! N N −4 N N −2 X X 1 X 1 1 1 1 X 1 = = − − SN = 2 n=5 n − 4 n=5 n − 2 2 n−4=1 n − 4 n−2=3 n − 2 !   N −4 N −2 1 X1 X1 1 1 1 1 1 = = = − + − − 2 j=1 j j 2 1 2 N −3 N −2 j=3   3 1 3 1 1 = −−−→ ∈ R, − + 4 2 N − 3 N − 2 N →∞ 4 e portanto a s´erie ´e convergente e a sua soma ´e 34 . Para estudarmos a segunda s´erie comecemos por observar que, se β = 1 tem-se 2 −1 n2 −1 n2 −1 an = (n2n+n−1) β = n2 +n−1 → 1 6= 0, e quando β < 1 tem-se an = (n2 +n−1)β = 1

Alguns dos passos da dedu¸ca˜o poderiam estar ausentes, visto tratarem-se apenas de passos elementares de manipula¸ca˜o de somat´orios. S˜ ao apresentados apenas para que n˜ ao surjam quaisquer d´ uvidas sobre as manipula¸co˜es envolvidas.

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1−n−2

(n2(1−β

−1 )

+n1−2β −1 −n−2β −1 )

β

→

1 0

= +∞ = 6 0. Portanto, em qualquer dos casos, o termo

geral da sucess˜ao n˜ao tende para zero e, portanto, a s´erie ´e divergente. Investiguemos agora o caso β > 1. Pelos c´alculos que j´a fizemos podemos concluir que neste caso an → 0, o que n˜ao nos permite concluir nada quanto `a convergˆencia da s´erie. Observe-se, no entanto, que quando β > 1, o termo dominante do denominador de an ´e n2β e portanto ´e natural esperar que o comportamento da nossa sucess˜ao seja semelhante ao da sucess˜ao an´aloga cujos numerador e denominador contˆem apenas os 2 −1 n2 1 termos dominantes, ou seja (n2n+n−1) β ∼ n2β = n2(β−1) . Isto sugere que se considere a 1 sucess˜ao bn = n2(β−1) e apliquemos o corol´ario do P crit´1erio de compara¸c˜ao (cf. Sarrico, p´g. 74). Note-se que as naturezas das s´eries n n2(β−1) s˜ao bem conhecidas: a s´erie converge se 2(β − 1) > 1 e divergente se 2(β − 1) 6 1. Como se tem an = bn =

n2 −1 n2(β−1) n2 − 1 (n2 +n−1)β = 1 (n2 + n − 1)β 1 n2(β−1) 2β 2(β−1) −2

=

n −n 1−n → 1 ∈]0, +∞[ = 2 β (n + n − 1) (1 + n−1 − n−2 )β

a aplica¸c˜ao do corol´ario Pdo crit´erio de compara¸c˜ao permite concluir que a s´erie dada no enunciado e a s´erie n bn s˜ao da mesma natureza. Portanto, conclui-se que a s´erie dada diverge se β 6 23 e converge se β > 32 .

Por fim, para a u ´ ltima s´erie, comece-se por observar que cos(πn) = (−1)n e, como log 1 = 0, o primeiro termo n˜ao nulo da s´erie ´e o termo n = 2. Observe-se tamb´em que, a partir de n = 3, inclusive, tem-se logn n > 0. Agora, ´e f´acil de concluir que a s´erie n˜ao ´e absolutamente convergente visto que o termo geral da s´erie dos m´odulos log n | = | logn n| > n1 e como a s´erie cujo termo geral ´e n1 ´e divergente, o satisfaz | cos(πn) n log n | ´e crit´erio de compara¸c˜ao permite concluir que a s´erie cujo termo geral ´e | cos(πn) P cos(πn) log nn tamb´em divergente. Para vermos se a s´erie dada originalmente, n , ´e, ou n n˜ao, simplesmente convergente, ´e agora natural aplicar o crit´erio de Leibnitz (Sarrico, p´ag. 73). Como se sabe que logn n → 0, resta-nos concluir que a sucess˜ao logn n ´e mon´otona decrescente para concluirmos que a s´erie dada ´e (simplesmente) convergente. Para tal, observe-se que n log(n + 1) − (n + 1) log n log(n + 1) log n − = n+1 n n(n + 1) n (log(n + 1) − log n) − log n = n(n + 1)
1 n log 1 + n − log n = n(n + 1) 1 − log n < 0, < n(n + 1)
n onde a primeira desigualdade vem do facto de que 1 + n1 ´e uma sucess˜ao mon´otona crescente e convergente para e (Sarrico, pp. 40 e 41) e de que a fun¸c˜ao logaritmo ´e estritamente crescente, e a segunda desigualdade vem de que log n > 1 se n > e > 2. Isto prova o que se pretendia. P 6. Sabendo an ´e uma sucess˜ao positiva e n an ´e uma s´erie convergente, concluimos que, P para qualquer N ∈ N, a sucess˜ao das somas parciais de n an , que designaremos 7

por SN , satisfaz SN < S, ∀N ∈ N, onde S ´e a soma da s´erie. Ent˜ao, atendendo n a isto, tem-se tamb´em bn > 0 e bn = a1 +···+a = Snn < Sn 6 S. Consequentemente, n |an bn | = an bnP < San e, pelo crit´erio de compara¸ c˜ao (Sarrico, p´ag. 71) conclui-se que, P como a s´erie n an ´e convergente, a s´erie n an bn tamb´em ´e convergente.

Para estudar a segunda s´erie basta retomar a observa¸c˜ao feita acima de Pque a soma que surge no numerador de bn ´e exactamente a soma parcial Sn da s´erie n an , a qual sabemos que ´e convergente para S. Portanto, para n ≫ 1 ´e natural esperar que bn =

Tomemos esta sucess˜ao p´ag. 74): como

S n

S Sn ∼ . n n

e apliquemos o corol´ario do crit´erio de compara¸c˜ao (Sarrico, bn S n

=

Sn n S n

=

Sn → 1 ∈]0, +∞[, S

conclu´ da mesma natureza e, portanto, como a s´erie P 1ımos que as s´eries s˜aoP S n n ´e divergente, a s´erie n bn ´e tamb´em divergente.

P

S n n

=

Finalmente, pode-se utilizar exactamente o mesmo racioc´ınio para estudar a u ´ ltima s´erie: como ´e natural esperar que  2 S2 Sn 2 ∼ 2 bn = n n tome-se agora a sucess˜ao

S2 n2

e comparˆe-mo-la com a sucess˜ao b2n : b2n S2 n2

=

2 Sn n2 S2 n2

=

Sn2 → 1 ∈]0, +∞[. S2

P 2 P 1 Como a s´erie n Sn2 = S 2 P e convergente, o corol´ario do crit´erio de compara¸c˜ao n n2 ´ permite concluir que a s´erie n b2n ´e tamb´em convergente.

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