2008 Eai - Efolio-a

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. I.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N0 de Estudante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Licenciatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidade Curricular: Elementos de An´alise Infinitesimal I Data: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Docente: Fernando Pestana da Costa

C´ odigo: 21030

Ano Lectivo: 2008/09

Classifica¸c˜ ao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜o do e-F´ Para a resoluc ¸a olio A, aconselha-se que: • Preencha devidamente o cabe¸calho do exemplar. • O e-F´olio ´e composto por seis grupos de quest˜oes, num total de 2 p´aginas e termina com a palavra FIM. As suas respostas `as quest˜oes deste e-F´olio n˜ao podem ultrapassar nove p´aginas A4; p´aginas adicionais n˜ao ser˜ao classificadas. • Escreva sempre com letra leg´ıvel ou usando um processador de texto matem´atico conveniente. • Depois de ter realizado o e-F´olio produza um u ´ nico documento digital (de preferˆencia pdf) que deve incluir esta folha de rosto e insira-o na p´agina moodle da unidade curricular em “e-F´olio A” at´e ao dia 17 de Novembro.

˜o e cotac ˜ o: Crit´ erios de avaliac ¸a ¸a • A cota¸c˜ao total deste e-F´olio ´e de 4 valores. • Para a correc¸c˜ao das quest˜oes constituem crit´erios de primordial importˆancia, al´em da ´obvia correc¸c˜ao cient´ıfica das respostas, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamente, de estruturar logicamente as respostas e de desenvolver e de apresentar os c´alculos e o racioc´ınio matem´atico correctos, utilizando nota¸c˜ao apropriada. • Justifique cuidadosa e detalhadamente todos os c´alculos, racioc´ınios e afirma¸c˜oes que efectuar. N˜ao ser´a atribu´ıda classifica¸c˜ao a uma resposta n˜ao justificada.

1

1. Conjecture uma express˜ao para o valor da soma 1 1 1 1 + + +···+ 1·3 3·5 5·7 (2n − 1) · (2n + 1) e use o princ´ıpio de indu¸c˜ao para provar que a sua conjectura ´e v´alida. 2. Considere o conjunto   (x − 3)2 Ω= x∈R: >0 . log |x − 1| a) Escreva Ω sob a forma de um intervalo, ou de uma reuni˜ao de intervalos. b) Determine o interior, o exterior e a fronteira de Ω. c) Indique quais das afirma¸c˜oes seguintes s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas: (i) Toda a sucess˜ao crescente de termos em Ω ∩ R− ´e convergente para um ponto de Ω. (ii) Existem sucess˜oes xn e yn de termos em Ω tais que xn + yn n˜ao est´a em Ω. (iii) N˜ao existem sucess˜oes un em R \ Ω, estritamente crescentes e convergentes para 3. 3. Calcule, se existirem, ou prove que n˜ao existem, os limites das seguintes sucess˜oes: a) un = (n + 1)α − nα , onde α ∈ R ´e uma constante independente de n.
n−1 3n b) vn = n+1 .

4. a) Considere as sucess˜oes reais xn e yn definidas por xn+1 =

√ xn + yn , yn+1 = xn yn , 2

n∈N

e suponha que 0 < y1 < x1 . Mostre que as sucess˜oes xn e yn s˜ao ambas sucess˜oes convergentes e conclua que convergem para o mesmo limite. b) Seja un o termo geral de uma sucess˜ao mon´otona e vn o termo geral de uma sucess˜ao limitada. Seja wn uma sucess˜ao positiva convergente para zero. Suponha que se verifica a condi¸c˜ao ∀n ∈ N, |un − vn | < wn .

Prove que un ´e limitada. Prove que un e vn s˜ao ambas convergentes e que os seus limites s˜ao iguais.

5. Determine a natureza das seguintes s´eries num´ericas ∞ X n=5

1 , (n − 2)(n − 4)

∞ X n=1

n2 − 1 , (n2 + n − 1)β

∞ X cos(πx) log n n=1

n

,

e determine o valor da soma da primeira delas. P 6. Seja an uma sucess˜ao positiva tal que n an ´e uma s´erie convergente. Seja bn = Estude a natureza das s´eries X X X an bn , bn , b2n . n

n

fim 2

n

a1 +···+an . n