2008 Eai - Af2

Actividade Formativa 2 ˜ es importantes: Recomendac ¸o • A resolu¸c˜ao correcta das quest˜oes envolve, al´em da ´obvia correc¸c˜ao do resultado final, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamente, de estruturar logicamente as respostas e de desenvolver e de apresentar os c´alculos e os racioc´ınios matem´aticos utilizando nota¸c˜ao apropriada. • Justifique cuidadosa e detalhadamente todos os c´alculos, racioc´ınios e afirma¸c˜oes que efectuar.

1. Determine os dom´ınios das seguintes fun¸c˜oes reais de vari´avel real e diga, justificando cuidadosamente, se s˜ao, ou n˜ao, cont´ınuas no seu dom´ınio 1 √ f (x) = x log log x2 , g(x) = 10log | cos x| , h(x) = + cos x, x 2. Mostre, recorrendo directamente `a defini¸c˜ao de continuidade de uma fun¸c˜ao num ponto, que a fun¸c˜ao u(x) = x12 ´e cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Investigue se esta fun¸c˜ao ´e, ou n˜ao, uniformemente cont´ınua. Calcule, recorrendo `a defini¸c˜ ao, o valor de lim u(x), ou prove que este limite n˜ao existe. x→0

3. Considere uma fun¸c˜ao cont´ınua ψ : [0, 1] → [0, 1]. Mostre que ψ tem um ponto fixo em [0, 1], ou seja, existe (pelo menos) um x0 ∈ [0, 1] tal que ψ(x0 ) = x0 . 4. Para cada uma das fun¸c˜oes reais de vari´avel real seguintes, determine (caso exista) a sua fun¸c˜ao derivada, indicando, para cada caso, tamb´em o dom´ınio de diferenciabilidade p θ(x) = logx e, v(x) = |x|, ℓ(x) = min{|x|, |x − 1|}, 5. a) Considere uma fun¸c˜ao G cont´ınua em R e seja F a fun¸c˜ao definida em R pela igualdade F (x) = 1+xG(x). Prove que F ´e diferenci´avel no ponto 0 e determine uma equa¸c˜ao da recta tangente ao gr´afico de F no ponto de intersec¸c˜ao deste com o eixo das ordenadas. Mostre que, se G for estritamente mon´otona, o gr´afico de F e a tangente que determinou apenas se intersectam no ponto de tangencia. √   b) Utilize o Teorema de Lagrange para concluir que 66 ∈ 8 + 19 , 8 + 81 c) Calcule os limites seguintes

sin x − x lim , x→0 x − tan x

lim x→0



1 1 − 2 x sin x x



,

lim x→0



sin x x

 x1

.

6. Fa¸ca um estudo anal´ıtico da fun¸c˜ao definida pela express˜ao ξ(x) = x+ π8 arctan x1 tendo em aten¸c˜ao os seguintes aspectos: dom´ınio, continuidade, diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, assimptotas. Esboce o gr´afico de ξ tendo em conta a informa¸c˜ao fornecida pelo seu estudo. fim 1