2008 Eai - Af1

Actividade Formativa 1 ˜ es importantes: Recomendac ¸o • A resolu¸c˜ao correcta das quest˜oes envolve, al´em da ´obvia correc¸c˜ao do resultado final, a capacidade de escrever clara, objectiva e correctamente, de estruturar logicamente as respostas e de desenvolver e de apresentar os c´alculos e os racioc´ınios matem´aticos utilizando nota¸c˜ao apropriada. • Justifique cuidadosa e detalhadamente todos os c´alculos, racioc´ınios e afirma¸c˜oes que efectuar.

1. Observe que

    √ √ 1 1 √ 1 1 1 > 2 = 2 1+ √ = 2 √ + + 2 2 2 2 2

e que

    √ 1 1 1 √ √ 1 1 1 1 1 > 3 = 3. 1+ √ + √ = 3 √ + √ + + + 3 3 3 2 3 3 6 3 Conjecture qual deva ser a express˜ao an´aloga para um minorante do valor da soma 1 1 1 1+ √ + √ +···+ √ , n 2 3

n ∈ {2, 3, 4, . . .}

e prove que a sua conjectura ´e verdadeira usando o princ´ıpio de indu¸c˜ao.  1 S 1 , 2n−1 . 2. Considere o conjunto B = n∈N Bn , onde Bn = 2n a) Determine o interior, o exterior e a fronteira de B. aberto/fechado, limitado/n˜ao-limitado.

Classifique B quanto a ser

b) Determine, caso existam, ou justifique porque n˜ao existem, o m´aximo, o m´ınimo, o supremo e o ´ınfimo de B. c) Indique quais das afirma¸c˜oes seguintes s˜ao verdadeiras e quais s˜ao falsas: P (i) Para qualquer sucess˜ao an tal que an ∈ Bn , ∀n, a s´erie n an ´e divergente.

(ii) Existem sucess˜oes estritamente decrescentes bn de termos em B para as quais ´e convergente.

P

n bn

(iii) Qualquer sucess˜ao estritamente decrescente de termos em B converge para zero. 3. Calcule, se existirem, ou prove que n˜ao existem, os limites das seguintes sucess˜oes: a) un =

an −3 , a2n +1

b) vn =

q n

onde a ∈ R ´e uma constante independente de n.

(2n)! . (n!)2

1

4. a) Sejam α e β duas constantes positivas. Considere uma sucess˜ao real xn definida por r αβ 2 + x2n xn+1 = , n∈N α+1 com x1 ∈]0, β[. Mostre que xn ´e convergente e calcule o seu limite. b) Uma sucess˜ao real wn diz-se contractiva se existir uma constante K ∈]0, 1[ tal que ∀n ∈ N, |wn+2 − wn+1| 6 K |wn+1 − wn | . Prove que qualquer sucess˜ao contractiva ´e de Cauchy e, portanto, convergente. 5. Determine a natureza das seguintes s´eries num´ericas ∞ X n=1

1 , n(n + 2)

∞ X n=3

2n ∞  X 2n − 1

1 , n(log n)(log log n)

n=1

3n + 1

,

e determine o valor da soma da primeira delas. 6. Sejam an e bn duas sucess˜oes de termos n˜ao-negativos tais que an → convergente. Estude a natureza das s´eries X X X an bn , (an + bn ), (an )n . n

n

n

fim

2

1 3

e a s´erie

P

n bn

´e