2008 Al1 Efolioa Res

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. I.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N0 de Estudante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Unidade Curricular: Algebra Linear I

C´ odigo: 21002

Data: 3 de Novembro de 2008

Ano Lectivo: 2008/09

Docente: Ana Lu´ısa Correia

Classifica¸c˜ ao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˜o do e-F´ Para a resoluc ¸a olio A, aconselha-se que: • Imprima este documento (n˜ao necessariamente a cores). • Preencha devidamente o cabe¸calho do exemplar. • O e-F´olio ´e composto por 3 grupos de quest˜oes, cont´em 6 p´aginas e termina com a palavra FIM. Responda `as quest˜oes deste e-F´olio no espa¸co destinado ao efeito. • Utilize, sempre, uma letra leg´ıvel. • Depois de ter realizado o e-F´olio digitalize-o e carregue-o, na p´agina moodle da unidade curricular, em “e-F´olio A”, no t´opico 5, at´e ao dia 7 de Novembro.

˜o e cotac ˜ o: Crit´ erios de avaliac ¸a ¸a • A cota¸c˜ao total deste e-F´olio ´e de 4 valores. • Com excep¸c˜ao das 4 quest˜oes de escolha m´ ultipla do Grupo I, ter´a de justificar todas as respostas e apresentar os c´alculos realizados. N˜ao ser˜ao pontuadas respostas que n˜ao sejam acompanhadas de uma justifica¸c˜ao, mesmo que estejam correctas. • Cada quest˜ao de escolha m´ ultipla do grupo I tem a cota¸c˜ao de 0.25 valores. Por ´ considerada errada uma cada resposta errada ser˜ao descontados 13 valores. E quest˜ao com mais de uma resposta. A classifica¸c˜ao m´ınima destas 4 quest˜oes ´e de 0 valores. As cota¸c˜oes s˜ao as seguintes: Grupo I C E R T A S

e-F´olio A

0 1 2 3 4

0 0,0 0,25 0.5 0.75 1,0

ERRADAS 1 2 0,0 0,0 0,17 0,08 0.42 0,33 0,67

3 0,0 0,0

4 0,0

a) 0.5

Grupo II b) c1 ) c2 ) 0.5 0.4 0.6

Grupo III a) b) 0.55 0.45

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Grupo I Em cada quest˜ao apenas uma das afirma¸c˜oes a), b), c), d) ´e verdadeira. Indique-a marcando × no quadrado respectivo. Caso pretenda anular alguma das suas respostas, basta escrever “Anulado” junto a essa resposta e indicar, se for caso disso, a que pretenda que seja considerada. 

   1 − 2i −1 1 − i i 1 − i 1 + i  ∈ C3×3 , B =  −1  ∈ C3×1 , 1. Considere as matrizes A =  2 −2 + 2i 1 + i −1 1−i   1×3 C = 2 −i 1 + i ∈ C . Considere as afirma¸c˜oes seguintes: (i) (CA)(AB) = A2 BC.

(ii) A + BC = I3 . (iii) CA + AB ∈ C1×1 . Ent˜ao: a) Nenhuma das afirma¸c˜oes ´e verdadeira. @ @

b) Apenas uma das afirma¸c˜oes ´e sempre verdadeira. c) Apenas duas das afirma¸c˜oes s˜ao sempre verdadeiras. d) Todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras.

2. Seja A ∈ Rn×n uma matriz tal que In − A ´e invert´ıvel. Ent˜ao, tem-se sempre que: a) A n˜ao ´e invert´ıvel. b) A2 6= A. @ @

c) Existe uma matriz B ∈ Rn×n tal que B − AB = In .

d) B(In − A) = (In − A)B, para toda a matriz B ∈ Rn×n   1 0 −1 0 1 a a2 + b ab   ∈ R4×4 . Ent˜ao: 3. Considere a matriz A =  0 1 a b  1 a a2 + b a + ab a) rank A = 2 se e s´o se a = 0 ∨ b = −1. @ @

b) rank A = 3 se e s´o se (a 6= 0 ∧ b = −1) ∨ (a = 0 ∧ b 6= −1). c) rank A = 3 se e s´o se a 6= 0 ∧ b 6= 1. d) rank A < 4 para quaisquer a, b ∈ R.

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´ Algebra Linear I

4. Seja A ∈ R3×3 cujo polin´omio caracter´ıstico ´e pA (λ) = (1 + λ)2 (1 − λ). Considere as afirma¸c˜oes seguintes: (i) A−1 = A2 + A − I3 ; (ii) |A − 2I3 | = 6 0; (iii) tr A = −|A|. A lista completa de afirma¸c˜oes correctas ´e: a) (i) e (ii)

c) (i) @ @

b) (ii) e (iii)

d) (i), (ii) e (iii)

Justifique todas as afirma¸c˜oes e apresente os c´alculos realizados para as obter. Grupo II 

 k−1 2 2 1 + k 1 − k  ∈ R3×3 , k ∈ R. Considere as matrizes Ak =  2 2 k−1 k−1

a) Calcule |Ak | usando o desenvolvimento de Laplace em rela¸c˜ao `a segunda linha. b) Determine todos os k de modo que Ak seja invert´ıvel. Para |Ak | invert´ıvel determine | adj(Ak )| sem calcular a respectiva matriz adjunta. c) Fa¸ca k = 0 e fa¸ca A = A0 . c1 ) Determine a decomposi¸c˜ao LU da matriz A, onde U ´e uma matriz triangular superior e L ´e uma matriz triangular inferior.   1 c2 ) Determine o conjunto das solu¸c˜oes do sistema Ax = b, onde b =  2 , α ∈ R, α resolvendo dois sistemas triangulares. Indique, caso existam, duas solu¸c˜oes particulares para o sistema. Resolu¸c˜ao: a) Usando o desenvolvimento de Laplace em rela¸c˜ao `a segunda linha, obtemos 2 2 2 5 k − 1 4 k − 1 3 2 + (1 − k)(−1) + (1 + k)(−1) |Ak | = 2(−1) 2 k − 1 2 k − 1 k − 1 k − 1 = (1 + k − 1 + k)((k − 1)2 − 4) = 2k(k − 3)(k + 1) = .

b) De acordo com a) Ak ´e invert´ıvel ⇐⇒ |Ak | = 6 0 ⇐⇒ k 6= 0 ∧ k 6= 3 ∧ k 6= −1. Temos adj(Ak ) = |Ak |A−1 k e como Ak ´e uma matriz 3 × 3 3 −1 3 −1 | adj(Ak )| = ||Ak |A−1 = |Ak |2 = 4k 2 (k − 3)2 (k + 1)2 . k | = |Ak | |Ak | = |Ak | |Ak |

e-F´olio A

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(Continua¸c˜ao do espa¸co de resposta ao Grupo II)   −1 2 2 c) Como k = 0 ent˜ao A = A0 =  2 1 1 . 2 −1 −1 c1 ) Temos

    −1 2 2 −1 2 2  0 5 5 = U. A −→  0 5 5 −→ L2 +2L1 L3 − 35 L2 0 3 3 0 0 0 L3 +2L1

Como foram efectuadas as transforma¸c˜oes elementares

3 L2 → L2 + 2L1 , L3 → L3 + 2L1 , L3 → L3 − L2 5 ent˜ao os multiplicadores s˜ao: 2, 2, − 53 e assim     1 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 −1 −1 L = (E32 E31 E21 )−1 = E21 E31 E32 = −2 1 0  0 1 0 0 1 0 0 0 1 −2 0 1 0 3/5 1   1 0 0 = −2 1 0 . −2 3/5 1

c2 ) Como A = LU ent˜ao

( Ly = b , Ax = b ⇐⇒ LUx = b ⇐⇒ Ux = y   1  onde b = 2  com α ∈ R. Assim α

        1 0 0 y1 1 y1 = 1 y1 = 1       Ly = b ⇔ −2 1 0 y2 = 2 ⇔ −2y1 + y2 = 2 . ⇔ y2 = 4     3 2 −2 3/5 1 y3 α −2y1 + 5 y2 + y3 = α y3 = α − 5 

Agora

      3   −x + 2x + 2x = 1 1 2 3 −1 2 2 x1 1 x1 = 5  Ux = y ⇔  0 5 5 x2  =  4  ⇔ 5x2 + 5x3 = 4 ⇔ x2 = 54 − x3 .     0 0 0 x3 α − 25 α = 52 0 = α − 25 

Designando por CS o conjunto das solu¸c˜oes do sistema Ax = b, ent˜ao  ∅ se α 6= 2/5 . CS = {(3/5, 4/5 − x3 , x3 ) : x3 ∈ R} se α = 2/5

Para α = 52 , o sistema ´e poss´ıvel e indeterminado e admite, por exemplo, as solu¸c˜oes particulares (3/5, 4/5, 0) (fazendo x3 = 0) ,

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(3/5, −1/5, 1) (fazendo x3 = 1). ´ Algebra Linear I

(Continua¸c˜ao do espa¸co de resposta ao Grupo II) Grupo II - Observa¸c˜ oes 1. Em geral, dadas duas matrizes A e B n˜ao se tem A = B ⇐⇒ |A| = |B|. ´ verdadeira a implica¸c˜ao “ =⇒ ”, mas ´e falsa a implica¸c˜ao “⇐=”. Existem matrizes E com igual determinante e nem sequer s˜ao do mesmo tipo. Por exemplo, |I2 | = |I3 | ´ portanto, necess´ario ter cuidado com a cadeia de equivalˆencias que mas I2 6= I3 . E se escreve, pois pode valer uma das implica¸c˜oes e n˜ao valer a outra, o que torna a equivalˆencia falsa. 2. A factoriza¸c˜ao triangular ou decomposi¸c˜ao LU ´e u ´ nica - ver sec¸c˜ao 1.7 do manual. A matriz triangular superior U ´e obtida fazendo apenas transforma¸c˜oes elementares do tipo O3 : Lj → Lj + aLi `a matriz inicial A. A matriz triangular inferior L tem sempre 1’s na diagonal principal. 3. A matem´atica utiliza uma linguagem notacional para exprimir os seus conceitos de uma forma simplificada. Algumas nota¸c˜oes s˜ao universais: R, ∀, ∃, ∧, ∈,.... Mas h´a outras que podem variar. Por exemplo, |A| e det A abreviam “determinante de A”. No entanto,     a b a b − indica a matriz de tipo 2 × 2 com entradas ... = A= c d c d     a b a b a b − indica o determinante da matriz A det = det = c d c d c d - para matriz usam-se parˆentesis rectos ou curvos e nunca tra¸cos verticais - que s˜ao ´ fundamental fixar as nota¸c˜oes usadas em apenas usados para os determinantes. E cada disciplina, pois um uso incorrecto pode originar interpreta¸c˜oes erradas e invalidar respostas.

4. Quando fazemos transforma¸c˜oes elementares numa matriz A, a matriz resultante A′ n˜ ao ´ e igual a A, ´e equivalente. Assim: pode escrever-se A

−→

transf. elementares

mas ´e incorrecto escrever-se A

A′ =

transf. elementares

A′

´ incorrecto escrever-se 5. E Ax = b ⇐⇒ [A | b] − um sistema n˜ao ´e equivalente a uma matriz. 6. Correctamente os elementos de um conjunto dever˜ao estar entre chavetas. Os delimitadores s˜ao importantes para sabermos onde come¸ca e acaba o conjunto.

e-F´olio A

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Grupo III Seja A ∈ Cn×n uma matriz tal que A2 = −In . a) Mostre que A ´e invert´ıvel e determine |A|. b) Seja b ∈ Cn×1 . Mostre que o sistema Ax = b tem solu¸c˜ao u ´ nica e determine-a. Resolu¸c˜ao: a) Temos |A|2 = |A2 | = | − In | = (−1)n 6= 0 e, portanto, |A| = 6 0. Segue-se que A ´e invert´ıvel. Por outro lado, ( 1 se n par |A|2 = (−1)n = −1 se n ´ımpar donde

( ±1 se n par . |A| = ±i se n ´ımpar

b) Como A ´e invert´ıvel, ent˜ao o sistema Ax = b tem uma u ´ nica solu¸c˜ao. Assim, Ax = b

⇐⇒

A invert´ıvel

A−1 (Ax) = A−1 b ⇐⇒ x = A−1 b.

Mas A2 = −In ⇐⇒ −A2 = In ⇐⇒ (−A)A = In e, portanto, A−1 = −A. Segue-se que x = A−1 b = −Ab. Grupo III - Observa¸c˜ oes 1. Uma matriz A ∈ Cn×n que satisfa¸ca A2 = −In n˜ao ´e necessariamente da forma A =   0 −1 diag(i, i, ..., i). Por exemplo, para n = 2, a matriz A = satisfaz A2 = −I2 . 1 0   0 0 −1 Por exemplo, para n = 3, a matriz A = 0 i 0  satisfaz A2 = −I3 . 1 0 0

2. Para provar que uma afirma¸c˜ao ´e verdadeira n˜ao podemos verific´a-la apenas para um exemplo ou situa¸c˜ao particular. Temos de trabalhar com as hip´oteses dadas na sua generalidade. Os exemplos s´o podem servir para provar que uma afirma¸c˜ao ´e falsa nesse caso diz-se um contra-exemplo.

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´ Algebra Linear I

Escolha M´ ultipla - Justifica¸ c˜ ao 1.

• Como ( C A )( A B ) ´e uma matriz de tipo 1 × 1 1×3 3×3

3×3 3×1

A2 B C ´e uma matriz de tipo 3 × 3

3×3 3×1 1×3

ent˜ao (CA)(AB) 6= A2 BC. Assim (i) ´e falsa. • Temos 

   1 − 2i −1 1 − i 2i 1 −1 + i 1 − i 1 + i  +  −2 i −1 − i = I3 . A + BC =  2 −2 + 2i 1 + i −1 2 − 2i −1 − i 2

Logo (ii) ´e verdadeira.

• Como CA ∈ C1×3 e AB ∈ C3×1 , logo n˜ao ´e poss´ıvel efectuar CA + AB. Portanto (iii) ´e falsa. Segue-se que b) ´e a afirma¸c˜ao verdadeira. 2.

• Por exemplo, se A = −In ent˜ao In − A = 2In , que ´e uma matriz invert´ıvel, e A tamb´em ´e invert´ıvel. Portanto a) ´e falsa. • Por exemplo, se A = 0 ent˜ao In − A = In , que ´e uma matriz invert´ıvel, e A2 = A. Portanto b) ´e falsa. • Esta afirma¸c˜ao ´e verdadeira. Por defini¸c˜ao, de matriz invert´ıvel, existe uma matriz B ∈ Rn×n tal que B(In − A) = In = (In − A)B. Logo temos B − AB = In . • Esta afirma¸c˜ao s´o ´e verdadeira para as matrizes que comutam com A: B(In − A) = (In − A)B ⇐⇒ B − BA = B − AB ⇐⇒ BA = AB.       −1 0 0 1 2 0 Por exemplo, se n = 2 e A = eB = , ent˜ao I2 − A = ´e 1 0 0 1    0 0 0 −1 0 0 invert´ıvel e AB = 6= = BA. 0 0 −1 0

3. Ora

Assim

 1 0 A −→  L2 −L1 0 L4 −L1 0  1 0 −→  L3 −aL2 0 L4 −aL2 0

  1 0 −1 0 2   0 a a +b+1 ab  −→    1 a b L2 ↔L3 0 0 a a2 + b + 1 a + ab   1 0 −1 0 −1 0 0 1 a 1 a b  −→    0 b + 1 0 L4 −L3 0 0 b + 1 0 0 0 0 b+1 a

 0 −1 0 1 a b   a a2 + b + 1 ab  a a2 + b + 1 a + ab  0 b  0 a

  2 se b = −1 ∧ a = 0 rank A = 3 se (b 6= −1 ∧ a = 0) ∨ (b = −1 ∧ a 6= 0)   4 se b 6= −1 ∧ a 6= 0

.

Portanto b) ´e verdadeira e as restantes afirma¸c˜oes s˜ao falsas. e-F´olio A

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4. Como o polin´omio caracter´ıstico de A ´e pA (λ) = (1 + λ)2 (1 − λ) ent˜ao os valores pr´oprios de A s˜ao: −1, −1 e 1. Logo |A − λI3 | = 6 0 para λ 6= ±1, e A ´e invert´ıvel. Em particular, |A − 2I3 | = 6 0 e (ii) ´e verdadeira. Por outro lado, pelo Teorema de Cayley-Hamilton, A ´e raiz do seu polin´omio caracter´ıstico, isto ´e pA (A) = 0. Como pA (λ) = (1 + λ)2 (1 − λ) = −λ3 − λ2 + λ + 1, ent˜ao 0 = pA (A) = −A3 − A2 + A + I3 ⇐⇒ A3 + A2 − A = I3 ⇐⇒ A(A2 + A − I3 ) = I3 . Logo A−1 = A2 + A − I3 , o que prova que (i) ´e verdadeira. Por fim, sabemos que tr A = soma dos valores pr´oprios de A = (−1) + (−1) + 1 = −1, |A| = produto dos valores pr´oprios de A = (−1) · (−1) · 1 = 1, logo tr A = −|A|. Portanto (iii) ´e verdadeira. Segue-se que d) ´e a afirma¸c˜ao verdadeira.

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´ Algebra Linear I