Otázky k ústnej skúške - Matematická analýza II. 1. Definujte súčet číselného radu. Uveďte podielové (odmocninové, integrálne, porovnávacie, Leibnizove) kritérium pre konvergenciu číselného radu. 2. Definujte absolútnu konvergenciu číselného radu. 3. Uveďte ako vypočítame polomer konvergencie mocninového radu. Ktoré z nasledujúcich množín môžu ( 1, 6 ) , ( 1, ∞ ) , ( −1, 6 ) , ( 1, 2 ) ∪ ( 4, 6) . byť oborom konvergencie mocninového radu 4. Uveďte a dokážte vzťah medzi koeficientmi mocninového radu a jeho súčtom x 5. Definujte Taylorov rad, rozviňte funkciu sin x, cos x, e , ln(1 − x), arctan x do Taylorovho radu so stredom v 0. 1
−x ∫ e dx 3
6. Vypočítajte 0 s presnosťou 0.01. 7. Definujte Fourierov rad. Uveďte vorce pre koeficienty Fourierovho radu. Uveďte postup pri rozvoji funkcie do sínusového (resp. kosínusového) radu. 8. Napíšte rovnicu dotykovej roviny ku grafu funkcie z = f ( x, y ) v bode A . (5b) ∂f ( a1 , a2 ) ∂x 9. Definujte (3b) a vypočítajte ∂f ( a1 , a2 ) ∂y 10. Definujte (3b) a vypočítajte
∂ ( y + 2) x ∂x . (3b) . ∂ ( y + 2) x ∂y . (3b)
a. Uveďte (5b) Lagrangeovu vetu pre funkciu f ( x, y ) . 11. Definujte (3b) lokálné extrémy funkcie f ( x, y ) a uveďte (3b) nutnú podmienku pre existenciu extrému. 12. Definujte (3b) lokálné extrémy funkcie f ( x, y ) a uveďte (3b) postačujúcu podmienku pre existenciu extrému 13. Definujte (3b) viazané extrémy funkcie f ( x, y ) a uveďte (5b) postup pri ich hľadaní. 14. Uveďte (5b) postup pri hľadaní maxima a minima funkcie f ( x, y ) na uzavretej a ohraničenej množine. 15. Definujte (3b) deriváciu v smere jednotkového vektora a uveďte (5b) vetu o jej výpočte. 16. Definujte (3b) separovateľnú diferenciálnu rovnicu a popíšte (5b) jej riešenie. 17. Definujte (3b) lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu a popíšte (5b) jej riešenie. 18. Definujte (3b) lineárnu závislosť a nezávislosti funkcií. Vysvetlite (6b) použitie Wronskianu pri vyšetrovaní lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti riešení DR. 19. Vysvetlite (3b) a dokážte (5b) ako riešime y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = 0 pomocou charakteristickej rovnice. 20. Vysvetlite (8b) postup pri riešení y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = 0 , ak príslušná charakteristickej rovnica má komplexné korene. 21. Vysvetlite (8b) postup pri riešení y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = 0 , ak príslušná charakteristickej rovnica má dvojnásobný koreň.
22. Vysvetlite (8b) postup pri hľadaní všeobecného riešenia y ''( x) + p ( x) y '( x ) + q ( x ) y ( x) = f ( x ) . 23. Uveďte (3b) a dokážte (5b) Lagrangeovu metódu variácie konštánt pre y ''( x) + p ( x) y '( x) + q ( x) y ( x) = f ( x) 2x 24. Uveďte (5b) ako nájsť jedno riešenie y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = 3e . 2x 25. Uveďte (5b) ako nájsť jedno riešenie y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = ( x + 3)e . 26. Uveďte (5b) ako nájsť jedno riešenie y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = 3sin 2 x .
27. Uveďte (5b) ako nájsť jedno riešenie y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = 3cos 5 x .
Otázky k ústnej skúške - Matematická analýza II. 2 28. Uveďte (5b) ako nájsť jedno riešenie y ''( x) + py '( x ) + qy ( x) = x + 5 . Definujte (4b) dvojný integrál na možine a uveďte (5b) vetu o jeho výpočte. Vysvetlite (5b) substitúciu v dvojnom integráli pomocou polárnych súradníc, Definujte (4b) krivkový integrál 2. druhu a uveďte (5b) vetu o jeho výpočte.. Uveďte (6b) Greenovu vetu a jej dôsledky z 29. Definujte (3b) funkciu f ( z ) = e a uveďte jej (4b) vzťah s funkciami sin z a cos z . z 30. Definujte (3b) funkciu f ( z ) = sin z a vyjadrite ju pomocou funkcie e . z 31. Definujte funkciu f ( z ) = cos z a vyjadrite (3b) ju pomocou funkcie e . 32. Zdôvodnite (3b), že funkcia f ( z ) = cos z funkcia nie je ohraničená.
Definujte (3b) deriváciu funkcie komplexnej premennej a uveďte (5b) Cauchy – Reimanove podmienky pre existenciu derivácie. K : z = λ (t ), t ∈ [ a, b ] Uveďte (6b) vetu o výpočte integrálu funkcie komplexnej premennej po krivke Uveďte (6b) Cauchyho integrálny vzorec aj predpoklady. ez i∫K z ( z − i) dz i Vypočítajte ak patrí a 0 nepatrí do vnútra uzavretej krivky K, Vypočítajte Vypočítajte Vypočítajte Vypočítajte Vypočítajte Vypočítajte
i∫
K
i∫
K
i∫
K
i∫
K
i∫
K
i∫
K
ez dz z ( z − i) ak i nepatrí a 0 patrí í do vnútra uzavretej krivky K, z e dz z ( z − i) ak i aj 0 patria do vnútra uzavretej krivky K, ez dz z 2 ( z − i) ak i patrí a 0 nepatrí do vnútra uzavretej krivky K, ez dz z 2 ( z − i) ak i ne patrí a 0 patrí í do vnútra uzavretej krivky K, ez dz z 2 ( z − i) ak i aj 0 patria do vnútra uzavretej krivky K, ez dz z ( z − i)2 ak i patrí a 0 nepatrí do vnútra uzavretej krivky K,
ez i∫K z ( z − i)2 dz i Vypočítajte ak ne patrí a 0 patrí í do vnútra uzavretej krivky K, z e i∫K z ( z − i)2 dz i Vypočítajte ak aj 0 patria do vnútra uzavretej krivky K, Uveďte (6b) Cauchyho vetu. Uveďte (6b) a dokážte (2b) vetu o deformácii integrálnej krivky. at 33. Definujte (3b) Laplaceovu transformáciu a nájdite obraz f (t ) = e .
34. Definujte (3b) Laplaceovu transformáciu a nájdite obraz f (t ) = cos ω t . 35. Definujte (3b) Laplaceovu transformáciu a nájdite obraz f (t ) = sin ω t 36. Vysvetlite (8b) použitie Laplaceovej transformácie pri riešení DR x ′(t ) + 3x (t ) = t , x(0) = 1 37. 38.