2000 A

CE2000 附加數學(卷一)

P.1 參考公式

sin( A ± B ) = sin A cos B ± cos A sin B cos( A ± B ) = cos A cos B m sin A sin B tan A ± tan B tan( A ± B ) = 1 m tan A tan B 2 sin A cos B = sin( A + B ) + sin( A − B ) 2 cos A cos B = cos( A + B ) + cos( A − B ) 2 sin A sin B = cos( A − B ) − cos( A + B )

A+ B A− B cos 2 2 A+ B A− B sin A − sin B = 2 cos sin 2 2 A+ B A− B cos A + cos B = 2 cos cos 2 2 A+ B A− B cos A − cos B = −2 sin sin 2 2 sin A + sin B = 2 sin

甲部(42 分) 本部各題全答。 1.

解

2.

求

(a) (b)

1 >1 。 x

(3 分)

d sin 2 x ， dx d sin 2 (3x + 1) 。 dx (4 分)

3.

1

(a)

證明

(b)

從基本原理求

x + ∆x

−

1 x

=

− ∆x x ( x + ∆x )( x + x + ∆x )

。

d 1 ( ) 。 dx x (5 分)

4.

P(−1, 2)為曲線 ( x + 2)( y + 3) = 5 上的一點。求 dy (a) 於 P 的 值， dx (b) 曲線於 P 的切線方程。

(5 分) 5.

(a)

解 1− x = 2 。

(b)

通過考慮 x ≤ 1 和 x > 1 兩種情況，或用其他方法，解 1 − x = x − 1 。

(5 分)

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CE2000 附加數學(卷一) 6.

以極式表複數

1 + 3i

⎛ 1 + 3i ⎞ ⎟ 由此求 ⎜⎜ ⎟ + i 3 ⎠ ⎝ 7.

P.2

3+i

。

2000

的輻角 θ ，其中 θ 須限於 − π < θ ≤ π 的主值範圍內。 (6 分)

α、β 為二次方程 x 2 + ( p − 2) x + p = 0 的根，其中 p 為實數。 (a) 以 p 表 α + β 和 αβ 。 (b) 若 α 及 β 為實數且 α 2 + β 2 = 11 ，求 p 的值。 (7 分)

8.

圖 1 中， OA = i , OB = j 。C 為 OA 延線上一點使 AC = k ，其中 k > 0 。D 為 BC 上一 點使 BD : DC = 1 : 2 。 B D

O

(a) (b)

A

C

圖1

1+ k 2 i+ j 。 3 3 若 OD 為單位向量，求 (i) k ， (ii) ∠BOD ，答案須準確至最接近的度。 證明 OD =

(7 分)

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CE2000 附加數學(卷一)

P.3

乙部(48 分) 本部選答三題，每題 16 分。

9.

圖 2 中，OAC 為三角形。B、D 為 AC 上的點使 AD = DB = BC 。F 為 OD 延線上的點 使 OD = DF 。E 為 OB 延線上的點使 OE = k (OB) ，其中 k > 1 。設 OA = a 、

OB = b 。 F

E C

B

D

O

(a)

A

圖2

以 a 、 b 表 OD 。 1 3 (ii) 證明 OC = − a + b 。 2 2 (iii) 以 k 、 a 、 b 表 EF 。 (i)

(5 分) (b)

已知 OA = 3 、 OB = 2 、 ∠AOB = 60° 。 (i) 求 a ⋅ b 和 b ⋅ b 。 (ii) 設 ∠OEF = 90° 。 (1) 求 k 的值。 (2) 某學生認為點 C、E、F 共線。試解釋該學生的說法是否正確。 (11 分)

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CE2000 附加數學(卷一) 10.

設 f ( x) = (a)

(i) (ii)

P.4

7 − 4x 。 x2 + 2 求曲線 y = f ( x) 的 x 截距和 y 截距。 求 x 值的範圍使 f ( x) 遞減。

(iii) 證明 f ( x) 的極大值和極小值分別為 4 和 −

1 。 2 (9 分)

(b)

在圖 3 中，描繪曲線 y = f ( x) 在 − 2 ≤ x ≤ 5 的圖像。 (3 分)

(c)

設 p=

7 − 4 sin θ ，其中 θ 為實數。 sin 2 θ + 2

1 」的結論。試 2 解釋該學生的說法是否正確。若該學生說法有誤，則 p 的最大值和最小值應該是 多少？ (4 分)

從 (b) 中的圖像，某學生得出「p 的最大值和最小值分別為 4 和 −

10.

(b)

(續) y

−2

O

5

x

圖3

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CE2000 附加數學(卷一) 11.

(a)

P.5

設 w = cos θ + i sin θ ，其中 0 < θ < π 。已知複數 w 2 +

5 − 2 為純虛數。 w

證明 2 cos 2 θ + 5 cos θ − 3 = 0 。 由此，或用其他方法，求 w 。 (b)

(8 分) A 和 B 為阿根圖上兩點，分別代表相異非零複數 z1 和 z 2 。設 z 2 = wz1 ，其中 w 為 (a) 中求得的複數。 z z2 和 arg( 2 ) 。 z1 z1

(i)

求

(ii)

設點 O 代表複數 0。問∆OAB 屬於哪一種三角形？試加以解釋。 (8 分)

12.

考慮函數 f ( x) = x 2 − 4mx − (5m 2 − 6m + 1) ，其中 m > (a) (b)

1 。 3

證明方程 f ( x) = 0 有相異實根。 (3 分) 設 α、β 為方程 f ( x) = 0 的根，其中 α < β 。 (i) 以 m 表 α 和 β 。 (ii) 再者，已知 4 < β < 5 。 6 (1) 證明 1 < m < 。 5 (2) 圖 4 顯示三名學生所描繪的 y = f ( x) 的略圖。他們的老師指出三幅圖皆 不正確。試解釋為何每幅圖均不正確。 y

y

y

y = f (x) y = f (x)

y = f (x) O −1

x 4

5

O

O −1

x 4

5

−1

x 4

5

−1

略圖甲

略圖乙 圖4

略圖丙 (13 分)

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CE2000 附加數學(卷一) 13.

P.6

兩艘船 A 和 B 最初分別位於湖上兩點 P 和 Q，其中 Q 位於 P 的正北面 100 m 處。R 為湖邊一點，且位於 Q 的正西面 100 m 處 (見圖 5) 。從時間 (以秒為單 位) t = 0 開始，船 A 和 B 向正北面航 行。在時間 t 時，設 A 和 B 所航行的距 離分別為 x m 和 y m ，其中 0 ≤ x ≤ 100 。設 ∠ARB = θ 。

B N

ym

R

θ

Q 100 m A xm P

圖5 100 m

(a)

(b)

以 x 表 tan ∠ARQ 。 100(100 − x + y ) 。 (4 分) 由此證明 tan θ = 10000 − 100 y + xy 設船A以恒速率 2 ms−1 航行，而B則不斷調整其速率使 ∠ARB 的值維持不變。 100 x (i) 利用 (a) ，證明 y = 。 200 − x (ii) 求船 B 於 t = 40 時的速率。 (iii) 設船B的速率上限為 3 ms−1 。在船A到達Q點前， ∠ARB 的值能否維持不變？ 試加以解釋。 (12 分)

－試卷完－

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CE2000 附加數學(卷一)

P.7

簡略答案 1. 0<x<1 2. (a) 2 sin x cos x

(b)

6 sin(3x + 1) cos(3x + 1)

− x 2x 2 −5 x = −1 或 3

(b) (b)

5x + y + 3 = 0 x≥1

(b) (ii)

−1 48°

3.

(b)

4. 5.

(a) (a)

6.

cos

π

+ i sin

π

,−

2π 3

7. 8.

6 6 (a) 2 − p, p (b) (i) 5 −1

9.

(a)

(i)

OD =

(b)

(i)

a⋅b = 3, b⋅b = 4

(ii) (1) k =

(a)

(i)

7 7 x 截距為 ，y 截距為 4 2

(ii)

10.

1 (a + b) 2

(iii) EF = a + (1 − k )b

−

7 4

(2) 不正確

1 ≤x≤4 2

(b) y

1 (− ,4) 2 7 2 5 (−2, ) 2

y = f(x) 7 4

−2

O

5 1 (4,− ) 2

11.

x 13 (5,− ) 27

(c)

p 的最大值為 4，學生的說法正確；p 的最小值是 1，學生的說法不正確。

(a)

w = cos

(b) 12.

(b)

13.

(a) (b)

π 3

+ i sin

π 3

z z2 π (ii) 等邊三角形 = 1 , arg( 2 ) = z1 3 z1 (i) α = − m + 1 , β = 5m − 1 (ii) (2) 略圖甲：拋物線的開口應向上； 1 略圖乙：應該 − < α < 0 ，但圖中 α 小於−1 5 略圖丙：拋物線應與 y = −1 有交點 100 − x tan ∠ARQ = 100 25 ms−1 (iii) 不能 (ii) 9

(i)

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